雷锋简历-有关克服困难的名言

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一、贝叶斯方法原理简介
§1贝叶斯方法起源
英国学者 T.贝叶斯1763年在《论有关机遇问题的求解》中提出一种归纳推理的理论，后
被一些统计学者发展为一种系统的统计推断方法， 称为贝叶斯方法。采用这种方法作统计推
断所得的全部结果， 构成贝叶斯统计的内容。 认为贝叶斯方法是唯一合理的统计推断方法的
统计学者，组成数理统计学中的贝叶斯学派，其形成可追溯到
60 年代，已发展为一个有影响的学派。时至今日，其影响日益扩
大。§2贝叶斯定理及其特点
记 p(y,θ)为一个随机观察向量y的联合概率密度函数，θ为一个参数向量，它也看成
是随机的。根据 通常对概率密度的运算有：

p(y,θ)p(y|θ)p(θ)p(θ|y)p(y)


因而
p(θ)p(y|θ)
p(θ|y)





其中p(y) 0。将上式表达如下：
p(y)


(1.2.2)

(1.2.1)
20世纪 30年代。到 50～
贝叶斯向量自回归模型（ BVAR）简介


p(θ|y) p(θ)p(y|θ)
先验概率密度

似然函数
(1.2.3)
其中
表示成比例，p(θ|y)是在给定样本信息 y后，参数向量θ的后验概率密度，p(θ)是







预报密度

的函数，就是熟知的似然函数。
(1.2.3)将所
参数向量 的先验概率密度， 看作 式

p(y|θ)

θ θ

先验信息通过先验密度进入后验密
有的先验的、样本的信息融入其中， 度， 而所有的样本信

息通过似然函数进入。
样本信

后验信息（见图1）
贝叶斯推断的一般模式：先验信息 息










先验信息




后验分布



贝叶斯定理

样本信息
图1贝叶斯推断的基本模式
贝叶斯学派认 为，先验分布反映了实验前对总体分布的认识，在获得样本信息后，人们对这
个认识有了改变，其结果就 反映在后验分布中，即后验分布综合了参数先验分布和样本信
息。由此可以看出，频率学派统计推断是“从无到有”的过程：在实验前，关于未知参数的
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情况是一无所知， 而试验后则有些了解， 但对了解多少并无普遍的表述方法， 在实践中有赖
于所使用的统计量的针对性。贝叶斯推断则不然，它是一个“从有到有”的过程，且结果清
楚自然，符合人们的思维习惯。 根据所获得的信息修正以前的看法，不一定从零开始。 从本
质上说，贝叶斯推断方法概括了一般人的学习过程。
贝叶斯方法只能基于参数的后验分布来分析问题。 也就是说，在获得后验分布后， 如果把
样本、原来的统计模型（包括总体分布和先验分布）都丢掉， 一点也不会影响将来的统计推
断问题，凡是符合这个准则的推断就是贝叶斯推断。据此，频率学派中的矩估计、
计检验和置信区间估计都不属于贝叶斯推断的范畴，但
先验分布下的贝叶斯估计而已。
§3先验分布理论
式(1.2.3)中p(θ)表示的先验概率密度代表了我们对于一个模型中参数的先验信息，是一



个事前的自觉的认识（分“基于数据”的先验和“非基于数据”的先验）
，即在贝叶斯方
法
中，关于模型参数的先验信息。 先验分布是贝叶斯推断理论的基础和出发

点，
它大体上可以
分为扩散先验分布和共轭先验分布两大类。
§3.1扩散先验分布

3.1.1位置参数的扩散先验分布



Y的分布密度函数
f(y ),
如果随机变，则为位置参数。假没有信

量 称 设
为


息可以被利用，现在要确的先验分布。

定

如果将随机变
Y做平移变换，
Z Y
a，同时对位置参数也做同样的平移变换

量

的分布密度函数
，显然(Y, )与(Z,)有相同的统计结
f(z
),

a，则Z
为




构，从
和 有相同的先验分布
p()和概率空间。由
Radom- Nikodym
定理有

而




p() pa),
(1.3.1)

(




取 a，可以得到
p( ) const,
，从而位置参的扩散先验分布为

数




p( ) 1,
(1.3.2)







对于正态分
N(,
02)
， 0已知，此
是位置参数，利用上述结论，参的扩

布
数
时
散先验分布为
p
(
3.1.2尺度参数的扩散先验分布





Y
的密度函数的形式如果随机变
量 为


) 1,


R


(1.3.3)




为尺度参数。如果改变尺

显著性统
MLE估计则可视为均匀先验分布下
的贝叶斯估计。因此，作为频率学派中一个很重要的极大似然估计， 不过是在一种很特殊的



















1

y

f ,



0，则称
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度单位，令Z aY, a, 0，易知Z的分布密度函数为 f；同样地，(Y,)与
1z
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p()，由
Radom- Nikodym
定理，对于
(Z,)有相同的统计结构，
和 有相同的先验分

布





尺度参，在无先验信息可利用时，尺度参的先验密度函数，
p()可取做

数 数





1,


p( ) 0
(1.3.4)








N( 0,
2)
，0已知，
对于正态分是尺度参数，利用上
0
未知，此时标准

布 差


述结论，参的扩散先验分布为

数


1


p( ) , 0
(1.3.5)



§3
共轭先验分布
.2

共轭分布是贝叶斯分析中常见的另一类参数先验分布，其思想基础是先验的规律和后验的规< br>律具有一致性，这一要求的具体化就是先验分布和后验分布要属于同一类分布族。对于每个具
体的 分布来说，都有其共轭分布，下面利用似然函数的因子分解式和充分统计量等分析方法来
构造所需的共轭 先验分布。





f(y| )
定
3.2.1假设Y1,Y2, ,Yn是来自分布密度函数
的总体的一个样本，
，

为
理
t
n
t(Y
1
,Y
2
, ,Y
n
)是参数 的充分统计量，即似然函数可做下面分解：
n






L()

f(|Y
i
)g
n
(t
n
,
i1
)h(Y
1
,,,Y
n
)

(1.3.6
)

其中（hY
1
,Y
2
,
（1）p(
（2）

















则
,Yn)与参数
无关。如果存在函数
p()，它满足如下两个条件：

) 0,
；

有限，

















[2]。




g
n
(t
n
, )p()d

为参数 的共轭分布族。
这里只介绍共轭先验分布的具体定义，有关它的相关结论见参考文
献
§4贝叶斯方法的优点
贝叶斯理论的哲理有很大的吸引力， 并且方法简单，它在统计推断模式上与频率学派的不
同之处在于：频率学派认为，似然函数概括了有关参数的全部信息， 因此关于参数 θ的统计
推断只要利用似然函数就够了；而贝叶斯方法既利用了似然函数，又利用了参数先验信息。
如果先验信息很少或者没有先验信息， 这时贝叶斯推断方法所得到的结论与频率方法基本相
同。
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与频率方法比较， 贝叶斯方法有以下几方面优点： ①贝叶斯方法充分利用了样本信息和参
数的先验信息，在进行参数估计时， 通常贝叶斯估计量具有更小的方差或平方误差， 能得到
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更精确的预测结果；②贝叶斯
HPD置信区间（最高后验概率密度区间）比不考虑参数先验
信息的频率置信区间短；③能对假设检验或估计问题所做出的判断结果进行量化评
价， 而不

是频率统计理论中的接受、拒绝的简单判

断。

二、贝叶斯向量自回归模型（
BVAR）
在变量较多，滞后阶数较高时，即所要估计的参数较多的情况下，
Bayesian估计方法提供


了一个较好的方法，拟合效果要比传统的极大似然估计方法好。
§1贝叶斯非限制性VAR模型
如果令y
t
(y
1t
,y
2t
,

表示m个变量在t点处的取值，则向量序
T
,y
mt
)
列

Ay

y
t

的滞后阶

(2.1.1)
u
t
是一个m维白
数为p的非限制性VAR( p)模型可以表示为
y
t
cA
1
y
t

此处c是一个m维向量，A
j

噪声向量，即



1 2t2
,j 1,2

Ay

u
t
,t1,2

,n ptp
,m均为m

m的系数矩阵，向量








u
t
~i..id.N
m
(0,Σ),t 1,2,n

而Σ是一个mm正定阵向量。
易知非限制性VAR(p)模型中的每个方程的解释变量是相同的。

模型系统形式
y
t
Bz
t

T

可以将(2.1.1)化成多方
程


(2.1.2) u
t
,t 1,2 ,n
其中









B
T

c
A
1

A
2

T
T



,z
t


1
y
t
1
y
t
2


















T


A
p

(mp1)m
T
y
t
p
(mp1)1












进一步，若将向量y
t
,Bz
t
和u
t
,t1,2,

,n的转置分别按行依次排列，各自形成一个nm
矩阵，则上述 n个方程可以简化为一个更为紧凑的矩阵表达形式
YZBU,U~N
nm
(0,ΣI
n
)
其中
(2.1.3)
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p)模型参数的后验分布有如下结
特别地，对于扩散先验分布，非限制
VAR(
论：

性
(B,Σ|Σ(m1)
) | 2
下，非限制性VAR(p)模型参数的后验分布
定理1.1在扩散先验分布

为
?
(B|Y,Z)~Mt
km
(B,Z
其中

T








Z,S,n k),(Σ|Y,Z)~IW
m
(S,n m),kmp1

? T
B(Z
1 T

T
[I
m


T 1 T
Z) Z Y,SY (Z Z) Z ]Y
(2.1.4

)





§2贝叶斯限制性VAR模型

如各方程中解释变量并不完
在VAR(p)模型中，模型系数B可能受到某些条件的限制，
全

相同，某些变量可能在部分方程中出但并不出现在其他方程中；或

者，

现， 部分方程中有线
性趋势项或季节变量，而其他方程不包含这些变

量。
根据Zeller的观点，在一般排斥性限制条件

(2.1.1)式中的VAR(
p)模型模型能够写

下，
成如下似不相关模型：


i

,i1,2,

,m

Y
i
Z
i
i

(2.2.1
)
nk
i
设 此处Y
i
是由第i个变量n个观测值构成的
n维向量，
Z
i
是第i
个变量单方程模型的
计矩阵，它由变量
y1,y2,






,y
m
的部分滞后项组成；
i
是第i
个变量单方程模型的
k
i
维系数
向量，
i
是n维正态随机误差向量。若将这个方程写成一个矩阵形式，则有


其中






Y Z

1

2
,
,~



N
( , )




1

2


(2.2.2)





mn
0 Σ I
n


Z 0

1
0 Z
2


0

Y
1


Y
2

Y

,Z
0
,
Y
m
m
由于这一情形不作为我们研究的重

点，

0 0 Z
m
m
所以这一部分的相关结论暂时省
去， 详见参考文献




[3]。
§3共轭先验分布下 VAR模型的贝叶斯分析
对于一般共轭分布而言，由于超参数太多， VAR(p)模型的贝叶斯推断只具有理论上的意
义，而不能应用于实际预测分析中，本节研究一类特殊的参数共轭先验分
Minnesota共

布：
轭先验分布

VAR(p)模型的贝叶斯分析理论。
下
先验分布
Minnesota
是
Litterman于1986年提出来的，它主要用于解决共轭先验分布下


贝叶斯VAR(p)模型中超参数过多问题，提高模型的预测精度。
§3.1Minnesota先验分

布

如果(2.1.1)式的VAR(
p)模型不含常数项，则模型中的具体方程如下：

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y
m p
it
a
ijr
y
jtr
u< br>it
,i1,2,,m;t1,2,,n.
j 1r 1

(2.3.1)
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显然a
表示第i个方程中变量
y
的r阶滞后项y
的系数，如果随机参数
a服从均值为

i
j
r j jr ijr



ijr
、方差为S
ijr
的正态分布，此时模型 (2.3.1)中参数先验分布中需要确定的超参数至少有
2
2mp个：mp个先验均值
22

ijr
和mp个先验方差S
ijr
。如果不考虑先验信息的可取性，
22
在
2
2mp个超参数的取值是相当复杂和困难的，
因此，必须想办法

一般情况下要合理地给定这
减少需要赋值的超参数的数量，确定超参数的合理取值，提高模型的预测能
Minnesota
力。

先验分布就是解决这一问题的有效方法，它的基本假定包括以下几个方面：
（1）正态性u
t
(u
1
,u
2
, u
m
)~N
m
(0,Σ)；















, 1,2, ,, 1,2,
,相互独立；

（2）协方差阵Σ和系数
ai
jr i mr p
（3）协方差阵Σ的模型先验分布取为扩散先验分布，

即

(Σ)
Σ
(m1)2
,Σ0
(2.3.2)



N(
ijr
,S
ijr
（4）a
ijr
相互独立服从正态分布 表示参数a
ijr
的最佳猜测值，而
映了对这个猜测的信心，其取值越小表示对此猜测的信心越大；
2
ijr
)，
S
ijr
反
2
（5）均值


ijr
按照下述公式确定：




ij
r
，
1,i
j,r1













0,其他情况，
即方程左边的变量只由其系数
1的滞后一阶变量表示；
为
（6）标准差S
ijr
可以分解为
4个因子的乘积，即



代表了对先验信息的较大把
握；

Sij
r

s
i

g(r)
f(i,j)
s
j

(2.3.3)






(2.3.4)

较小的值


此处是总体紧度，它的取值大小反映了分析人员对先验信息的信心大小程度，
g(r)是r阶滞后变量相对一阶变量的紧度，它表示过去信




j个变量相对于
息比当前信息有用程度的减少；函数
f(i,j)是第i个方程中第 第
紧度，s
i
是变量y
i
的单变量自回归模型的标准差。
§3.2

滞后延迟函数

Minnesota
在


先验分布中，滞后延迟函数
i个变量的

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g(r)的选择必须能反映这样一个基本信念：随



Doan推荐的调和滞后延迟函
着滞后长度的增加，滞后变量的系数趋向于零；据此这里
使用数，形式如下：




g(r)
rd,d
0
(2.3.5)
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§3
相对紧度函数

.3




和g(r)
后，先验分布中超参数数量已经在确
r
定

从



f(i,j)，以
r
和g(r)
；若进一步选择合适函
数
及
的





m m矩阵
F
减少。显然，
f(i,j)
可以看做一
个
f(i,j)取如下形式的函数：
1,
i

f(i,j)


m2p减少到
m2


f(i,j)，则先验分布中参数个数可大为



(f(i,j))mm的(i,j)处的元素，如果



2：m2
个相对紧度




j
w
ij
,i j

(2.3.6)

其中w
ij
是一个介于0~1的常数，它的取值大小反映了第
i个方程中其他变量（不包括
x
i
及
其滞后变量）的相对紧度。如果对所有
，均有
jw
ij

i
的
选取问题转化为确定一个超参

w的大小。

数
§3.4标准差之比s
i
s
j
的涵义

w成立，则m个参数f(i,j)的




2
在Minnesota先验分布的基本假设（
6）中，s
i

s
j

是第i个序列{yit}的自回归残差标准

差与第j个序列{y
jt
}自回归残差标准差之比， s
i
由{y
it
}对常数项和其p阶滞后项的
OLS

s
i
s
j
主要用于反应：先验分布的设定必须考虑实际的样本

回归的残差标准差得到。比例
数





























括号内的第一项为先验分布的均值，第二项为先验分布的方差。
§3.5模型参数的后验估计
据信息。
以上是Minnesota先验分布的基本含义及其参数设定问题的研究，为使上述描述更直观， 这里以一个滞后长度为2阶的双变量VAR(2)模型加以说明，该模型系数的Minnesota先验分布
为
(2.3.7)
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然后再写成(2.2.2)的形式

Y Z , ~N
mn
(0,Σ I
n
)
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§3.6模型预测结果及其精度预测
§3.7具体数值算例
Estima公司提供的时间序列数据，利
首先，根据美国
用
Sims似然比检验量确定模型的
最
优滞后阶数，模型
VAR(p)对模型VAR(p)的似然比检验统计量为
1 2
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然后，选择贝叶斯 VAR模型中3个超参数，衰减参数 (d)、总体紧度(r)和相对紧度(w)，

此处考虑超参数的三种组合情况（表 2），并将相应的贝叶斯 VAR模型分别记为 BVAR1、

BVAR2和BVAR3.

表2. 模型超参数的选择




























统计值，有关结果列于表 3和表4.

表3. 1~4步超前预测的平均西尔 U统计值（1993:1~1998:4）













































表4. 5~8步超前预测的平均西尔 U统计值（1993:1~1998:4）
表1. 模型最优滞后阶数的 LR检验结果
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表3和表4所列的计算结果表明： 在AR模型，VAR模型和三类贝叶斯 VAR模型中，BVAR1、
BVAR2和BVAR3模型的平均西尔 U统计值均小于前两类模型的平均西尔 U统计值，这一
点也可以从表 5中看出，这说明贝叶斯 VAR模型预测效果优于 AR模型和VAR模型。
表5. 超前预测的组合综合平均西尔 U统计值

§3.8结论
贝叶斯向量自回归估计技术用一种简单的方法来处
理


VAR模型中参数过多的问题，原则是
当参数被判定在某一值时，使模型参数趋近于这一值而不是锁定该确定值。 所以，只要有必

要的数据支持，这种随机变量有某种可能的先验分
布， 该先验分布被认为包含了预测者在预


测前所获取的某种相关信息。如果这种信息缺乏，则可能是由于存在扩散的先验分布。 模型
采用的先验分布是随机先验分
也称为Minnesota 先验分布。相比VAR方法，贝叶斯向量

布，
自回归模型（BVAR）通常在短期预测时能提供更高的预测精度，同时，也不会产生传统
[4
]

方法的不可信结构。

参考文献：

VAR






[1]阿诺德·泽尔纳著；张尧庭译.计量经济学贝叶斯推断引论 [M].—上海；上海财经大学出


版社，2005.7
[2] 朱慧明，韩玉启.贝叶斯多元统计推断理论[M].—北京；科学出版社，2006
[3] 朱慧明，林静.贝叶斯计量经济模型[M].—北京；科学出版社，2009
[4]吴剑飞，方勇，中国的通货膨：一个新开放宏观模型及其检验，金融研
究，
期
2010年第5



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整理人：吉林大学商学院 曹阳 金门之家讨论班内容 邮箱：heqijiayou@
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一、贝叶斯方法原理简介
§1贝叶斯方法起源
英国学者 T.贝叶斯1763年在《论有关机遇问题的求解》中提出一种归纳推理的理论，后
被一些统计学者发展为一种系统的统计推断方法， 称为贝叶斯方法。采用这种方法作统计推
断所得的全部结果， 构成贝叶斯统计的内容。 认为贝叶斯方法是唯一合理的统计推断方法的
统计学者，组成数理统计学中的贝叶斯学派，其形成可追溯到
60 年代，已发展为一个有影响的学派。时至今日，其影响日益扩
大。§2贝叶斯定理及其特点
记 p(y,θ)为一个随机观察向量y的联合概率密度函数，θ为一个参数向量，它也看成
是随机的。根据 通常对概率密度的运算有：

p(y,θ)p(y|θ)p(θ)p(θ|y)p(y)


因而
p(θ)p(y|θ)
p(θ|y)





其中p(y) 0。将上式表达如下：
p(y)


(1.2.2)

(1.2.1)
20世纪 30年代。到 50～
贝叶斯向量自回归模型（ BVAR）简介


p(θ|y) p(θ)p(y|θ)
先验概率密度

似然函数
(1.2.3)
其中
表示成比例，p(θ|y)是在给定样本信息 y后，参数向量θ的后验概率密度，p(θ)是







预报密度

的函数，就是熟知的似然函数。
(1.2.3)将所
参数向量 的先验概率密度， 看作 式

p(y|θ)

θ θ

先验信息通过先验密度进入后验密
有的先验的、样本的信息融入其中， 度， 而所有的样本信

息通过似然函数进入。
样本信

后验信息（见图1）
贝叶斯推断的一般模式：先验信息 息










先验信息




后验分布



贝叶斯定理

样本信息
图1贝叶斯推断的基本模式
贝叶斯学派认 为，先验分布反映了实验前对总体分布的认识，在获得样本信息后，人们对这
个认识有了改变，其结果就 反映在后验分布中，即后验分布综合了参数先验分布和样本信
息。由此可以看出，频率学派统计推断是“从无到有”的过程：在实验前，关于未知参数的
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情况是一无所知， 而试验后则有些了解， 但对了解多少并无普遍的表述方法， 在实践中有赖
于所使用的统计量的针对性。贝叶斯推断则不然，它是一个“从有到有”的过程，且结果清
楚自然，符合人们的思维习惯。 根据所获得的信息修正以前的看法，不一定从零开始。 从本
质上说，贝叶斯推断方法概括了一般人的学习过程。
贝叶斯方法只能基于参数的后验分布来分析问题。 也就是说，在获得后验分布后， 如果把
样本、原来的统计模型（包括总体分布和先验分布）都丢掉， 一点也不会影响将来的统计推
断问题，凡是符合这个准则的推断就是贝叶斯推断。据此，频率学派中的矩估计、
计检验和置信区间估计都不属于贝叶斯推断的范畴，但
先验分布下的贝叶斯估计而已。
§3先验分布理论
式(1.2.3)中p(θ)表示的先验概率密度代表了我们对于一个模型中参数的先验信息，是一



个事前的自觉的认识（分“基于数据”的先验和“非基于数据”的先验）
，即在贝叶斯方
法
中，关于模型参数的先验信息。 先验分布是贝叶斯推断理论的基础和出发

点，
它大体上可以
分为扩散先验分布和共轭先验分布两大类。
§3.1扩散先验分布

3.1.1位置参数的扩散先验分布



Y的分布密度函数
f(y ),
如果随机变，则为位置参数。假没有信

量 称 设
为


息可以被利用，现在要确的先验分布。

定

如果将随机变
Y做平移变换，
Z Y
a，同时对位置参数也做同样的平移变换

量

的分布密度函数
，显然(Y, )与(Z,)有相同的统计结
f(z
),

a，则Z
为




构，从
和 有相同的先验分布
p()和概率空间。由
Radom- Nikodym
定理有

而




p() pa),
(1.3.1)

(




取 a，可以得到
p( ) const,
，从而位置参的扩散先验分布为

数




p( ) 1,
(1.3.2)







对于正态分
N(,
02)
， 0已知，此
是位置参数，利用上述结论，参的扩

布
数
时
散先验分布为
p
(
3.1.2尺度参数的扩散先验分布





Y
的密度函数的形式如果随机变
量 为


) 1,


R


(1.3.3)




为尺度参数。如果改变尺

显著性统
MLE估计则可视为均匀先验分布下
的贝叶斯估计。因此，作为频率学派中一个很重要的极大似然估计， 不过是在一种很特殊的



















1

y

f ,



0，则称
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度单位，令Z aY, a, 0，易知Z的分布密度函数为 f；同样地，(Y,)与
1z
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p()，由
Radom- Nikodym
定理，对于
(Z,)有相同的统计结构，
和 有相同的先验分

布





尺度参，在无先验信息可利用时，尺度参的先验密度函数，
p()可取做

数 数





1,


p( ) 0
(1.3.4)








N( 0,
2)
，0已知，
对于正态分是尺度参数，利用上
0
未知，此时标准

布 差


述结论，参的扩散先验分布为

数


1


p( ) , 0
(1.3.5)



§3
共轭先验分布
.2

共轭分布是贝叶斯分析中常见的另一类参数先验分布，其思想基础是先验的规律和后验的规< br>律具有一致性，这一要求的具体化就是先验分布和后验分布要属于同一类分布族。对于每个具
体的 分布来说，都有其共轭分布，下面利用似然函数的因子分解式和充分统计量等分析方法来
构造所需的共轭 先验分布。





f(y| )
定
3.2.1假设Y1,Y2, ,Yn是来自分布密度函数
的总体的一个样本，
，

为
理
t
n
t(Y
1
,Y
2
, ,Y
n
)是参数 的充分统计量，即似然函数可做下面分解：
n






L()

f(|Y
i
)g
n
(t
n
,
i1
)h(Y
1
,,,Y
n
)

(1.3.6
)

其中（hY
1
,Y
2
,
（1）p(
（2）

















则
,Yn)与参数
无关。如果存在函数
p()，它满足如下两个条件：

) 0,
；

有限，

















[2]。




g
n
(t
n
, )p()d

为参数 的共轭分布族。
这里只介绍共轭先验分布的具体定义，有关它的相关结论见参考文
献
§4贝叶斯方法的优点
贝叶斯理论的哲理有很大的吸引力， 并且方法简单，它在统计推断模式上与频率学派的不
同之处在于：频率学派认为，似然函数概括了有关参数的全部信息， 因此关于参数 θ的统计
推断只要利用似然函数就够了；而贝叶斯方法既利用了似然函数，又利用了参数先验信息。
如果先验信息很少或者没有先验信息， 这时贝叶斯推断方法所得到的结论与频率方法基本相
同。
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与频率方法比较， 贝叶斯方法有以下几方面优点： ①贝叶斯方法充分利用了样本信息和参
数的先验信息，在进行参数估计时， 通常贝叶斯估计量具有更小的方差或平方误差， 能得到
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更精确的预测结果；②贝叶斯
HPD置信区间（最高后验概率密度区间）比不考虑参数先验
信息的频率置信区间短；③能对假设检验或估计问题所做出的判断结果进行量化评
价， 而不

是频率统计理论中的接受、拒绝的简单判

断。

二、贝叶斯向量自回归模型（
BVAR）
在变量较多，滞后阶数较高时，即所要估计的参数较多的情况下，
Bayesian估计方法提供


了一个较好的方法，拟合效果要比传统的极大似然估计方法好。
§1贝叶斯非限制性VAR模型
如果令y
t
(y
1t
,y
2t
,

表示m个变量在t点处的取值，则向量序
T
,y
mt
)
列

Ay

y
t

的滞后阶

(2.1.1)
u
t
是一个m维白
数为p的非限制性VAR( p)模型可以表示为
y
t
cA
1
y
t

此处c是一个m维向量，A
j

噪声向量，即



1 2t2
,j 1,2

Ay

u
t
,t1,2

,n ptp
,m均为m

m的系数矩阵，向量








u
t
~i..id.N
m
(0,Σ),t 1,2,n

而Σ是一个mm正定阵向量。
易知非限制性VAR(p)模型中的每个方程的解释变量是相同的。

模型系统形式
y
t
Bz
t

T

可以将(2.1.1)化成多方
程


(2.1.2) u
t
,t 1,2 ,n
其中









B
T

c
A
1

A
2

T
T



,z
t


1
y
t
1
y
t
2


















T


A
p

(mp1)m
T
y
t
p
(mp1)1












进一步，若将向量y
t
,Bz
t
和u
t
,t1,2,

,n的转置分别按行依次排列，各自形成一个nm
矩阵，则上述 n个方程可以简化为一个更为紧凑的矩阵表达形式
YZBU,U~N
nm
(0,ΣI
n
)
其中
(2.1.3)
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p)模型参数的后验分布有如下结
特别地，对于扩散先验分布，非限制
VAR(
论：

性
(B,Σ|Σ(m1)
) | 2
下，非限制性VAR(p)模型参数的后验分布
定理1.1在扩散先验分布

为
?
(B|Y,Z)~Mt
km
(B,Z
其中

T








Z,S,n k),(Σ|Y,Z)~IW
m
(S,n m),kmp1

? T
B(Z
1 T

T
[I
m


T 1 T
Z) Z Y,SY (Z Z) Z ]Y
(2.1.4

)





§2贝叶斯限制性VAR模型

如各方程中解释变量并不完
在VAR(p)模型中，模型系数B可能受到某些条件的限制，
全

相同，某些变量可能在部分方程中出但并不出现在其他方程中；或

者，

现， 部分方程中有线
性趋势项或季节变量，而其他方程不包含这些变

量。
根据Zeller的观点，在一般排斥性限制条件

(2.1.1)式中的VAR(
p)模型模型能够写

下，
成如下似不相关模型：


i

,i1,2,

,m

Y
i
Z
i
i

(2.2.1
)
nk
i
设 此处Y
i
是由第i个变量n个观测值构成的
n维向量，
Z
i
是第i
个变量单方程模型的
计矩阵，它由变量
y1,y2,






,y
m
的部分滞后项组成；
i
是第i
个变量单方程模型的
k
i
维系数
向量，
i
是n维正态随机误差向量。若将这个方程写成一个矩阵形式，则有


其中






Y Z

1

2
,
,~



N
( , )




1

2


(2.2.2)





mn
0 Σ I
n


Z 0

1
0 Z
2


0

Y
1


Y
2

Y

,Z
0
,
Y
m
m
由于这一情形不作为我们研究的重

点，

0 0 Z
m
m
所以这一部分的相关结论暂时省
去， 详见参考文献




[3]。
§3共轭先验分布下 VAR模型的贝叶斯分析
对于一般共轭分布而言，由于超参数太多， VAR(p)模型的贝叶斯推断只具有理论上的意
义，而不能应用于实际预测分析中，本节研究一类特殊的参数共轭先验分
Minnesota共

布：
轭先验分布

VAR(p)模型的贝叶斯分析理论。
下
先验分布
Minnesota
是
Litterman于1986年提出来的，它主要用于解决共轭先验分布下


贝叶斯VAR(p)模型中超参数过多问题，提高模型的预测精度。
§3.1Minnesota先验分

布

如果(2.1.1)式的VAR(
p)模型不含常数项，则模型中的具体方程如下：

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y
m p
it
a
ijr
y
jtr
u< br>it
,i1,2,,m;t1,2,,n.
j 1r 1

(2.3.1)
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显然a
表示第i个方程中变量
y
的r阶滞后项y
的系数，如果随机参数
a服从均值为

i
j
r j jr ijr



ijr
、方差为S
ijr
的正态分布，此时模型 (2.3.1)中参数先验分布中需要确定的超参数至少有
2
2mp个：mp个先验均值
22

ijr
和mp个先验方差S
ijr
。如果不考虑先验信息的可取性，
22
在
2
2mp个超参数的取值是相当复杂和困难的，
因此，必须想办法

一般情况下要合理地给定这
减少需要赋值的超参数的数量，确定超参数的合理取值，提高模型的预测能
Minnesota
力。

先验分布就是解决这一问题的有效方法，它的基本假定包括以下几个方面：
（1）正态性u
t
(u
1
,u
2
, u
m
)~N
m
(0,Σ)；















, 1,2, ,, 1,2,
,相互独立；

（2）协方差阵Σ和系数
ai
jr i mr p
（3）协方差阵Σ的模型先验分布取为扩散先验分布，

即

(Σ)
Σ
(m1)2
,Σ0
(2.3.2)



N(
ijr
,S
ijr
（4）a
ijr
相互独立服从正态分布 表示参数a
ijr
的最佳猜测值，而
映了对这个猜测的信心，其取值越小表示对此猜测的信心越大；
2
ijr
)，
S
ijr
反
2
（5）均值


ijr
按照下述公式确定：




ij
r
，
1,i
j,r1













0,其他情况，
即方程左边的变量只由其系数
1的滞后一阶变量表示；
为
（6）标准差S
ijr
可以分解为
4个因子的乘积，即



代表了对先验信息的较大把
握；

Sij
r

s
i

g(r)
f(i,j)
s
j

(2.3.3)






(2.3.4)

较小的值


此处是总体紧度，它的取值大小反映了分析人员对先验信息的信心大小程度，
g(r)是r阶滞后变量相对一阶变量的紧度，它表示过去信




j个变量相对于
息比当前信息有用程度的减少；函数
f(i,j)是第i个方程中第 第
紧度，s
i
是变量y
i
的单变量自回归模型的标准差。
§3.2

滞后延迟函数

Minnesota
在


先验分布中，滞后延迟函数
i个变量的

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g(r)的选择必须能反映这样一个基本信念：随



Doan推荐的调和滞后延迟函
着滞后长度的增加，滞后变量的系数趋向于零；据此这里
使用数，形式如下：




g(r)
rd,d
0
(2.3.5)
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§3
相对紧度函数

.3




和g(r)
后，先验分布中超参数数量已经在确
r
定

从



f(i,j)，以
r
和g(r)
；若进一步选择合适函
数
及
的





m m矩阵
F
减少。显然，
f(i,j)
可以看做一
个
f(i,j)取如下形式的函数：
1,
i

f(i,j)


m2p减少到
m2


f(i,j)，则先验分布中参数个数可大为



(f(i,j))mm的(i,j)处的元素，如果



2：m2
个相对紧度




j
w
ij
,i j

(2.3.6)

其中w
ij
是一个介于0~1的常数，它的取值大小反映了第
i个方程中其他变量（不包括
x
i
及
其滞后变量）的相对紧度。如果对所有
，均有
jw
ij

i
的
选取问题转化为确定一个超参

w的大小。

数
§3.4标准差之比s
i
s
j
的涵义

w成立，则m个参数f(i,j)的




2
在Minnesota先验分布的基本假设（
6）中，s
i

s
j

是第i个序列{yit}的自回归残差标准

差与第j个序列{y
jt
}自回归残差标准差之比， s
i
由{y
it
}对常数项和其p阶滞后项的
OLS

s
i
s
j
主要用于反应：先验分布的设定必须考虑实际的样本

回归的残差标准差得到。比例
数





























括号内的第一项为先验分布的均值，第二项为先验分布的方差。
§3.5模型参数的后验估计
据信息。
以上是Minnesota先验分布的基本含义及其参数设定问题的研究，为使上述描述更直观， 这里以一个滞后长度为2阶的双变量VAR(2)模型加以说明，该模型系数的Minnesota先验分布
为
(2.3.7)
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然后再写成(2.2.2)的形式

Y Z , ~N
mn
(0,Σ I
n
)
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§3.6模型预测结果及其精度预测
§3.7具体数值算例
Estima公司提供的时间序列数据，利
首先，根据美国
用
Sims似然比检验量确定模型的
最
优滞后阶数，模型
VAR(p)对模型VAR(p)的似然比检验统计量为
1 2
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然后，选择贝叶斯 VAR模型中3个超参数，衰减参数 (d)、总体紧度(r)和相对紧度(w)，

此处考虑超参数的三种组合情况（表 2），并将相应的贝叶斯 VAR模型分别记为 BVAR1、

BVAR2和BVAR3.

表2. 模型超参数的选择




























统计值，有关结果列于表 3和表4.

表3. 1~4步超前预测的平均西尔 U统计值（1993:1~1998:4）













































表4. 5~8步超前预测的平均西尔 U统计值（1993:1~1998:4）
表1. 模型最优滞后阶数的 LR检验结果
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表3和表4所列的计算结果表明： 在AR模型，VAR模型和三类贝叶斯 VAR模型中，BVAR1、
BVAR2和BVAR3模型的平均西尔 U统计值均小于前两类模型的平均西尔 U统计值，这一
点也可以从表 5中看出，这说明贝叶斯 VAR模型预测效果优于 AR模型和VAR模型。
表5. 超前预测的组合综合平均西尔 U统计值

§3.8结论
贝叶斯向量自回归估计技术用一种简单的方法来处
理


VAR模型中参数过多的问题，原则是
当参数被判定在某一值时，使模型参数趋近于这一值而不是锁定该确定值。 所以，只要有必

要的数据支持，这种随机变量有某种可能的先验分
布， 该先验分布被认为包含了预测者在预


测前所获取的某种相关信息。如果这种信息缺乏，则可能是由于存在扩散的先验分布。 模型
采用的先验分布是随机先验分
也称为Minnesota 先验分布。相比VAR方法，贝叶斯向量

布，
自回归模型（BVAR）通常在短期预测时能提供更高的预测精度，同时，也不会产生传统
[4
]

方法的不可信结构。

参考文献：

VAR






[1]阿诺德·泽尔纳著；张尧庭译.计量经济学贝叶斯推断引论 [M].—上海；上海财经大学出


版社，2005.7
[2] 朱慧明，韩玉启.贝叶斯多元统计推断理论[M].—北京；科学出版社，2006
[3] 朱慧明，林静.贝叶斯计量经济模型[M].—北京；科学出版社，2009
[4]吴剑飞，方勇，中国的通货膨：一个新开放宏观模型及其检验，金融研
究，
期
2010年第5



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整理人：吉林大学商学院 曹阳 金门之家讨论班内容 邮箱：heqijiayou@
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