麻省理工学院校训-简单的道理

六年级计算与巧算

例5 、 333387×79+790×66661
=333387.5×79+790×66661.25
=33338.75×790＋790×66661.25
=790×(33338.75+66661.25)
=790×100000
=79000000

练习: ① 3.5×
1
+125%+
1
÷














3

② 975×0.25+
9
×76-9.75
4











1
4
1
2
4
5
1
2
1
4

例6

19931994-1

199319921994
=

(19921)1994-1

199319921994
199219941994-1

199319921994
199219931993

199319921994
=

=

=1

练习：
362548361
①

362548186














198819891987
②

198819891

例7.有一串数1.4.9.16.25……它们按一 定规律排列，那么第2000
个数与第2001个数相差多少？
2001
2
-2000
2

= （2000+1）×2001-2000×2000
= 2000×2001+2001-2000×2000
= 2000×（2001-2000）+2001】
= 2000+2001
= 4001
练习
①
1991-1990
2 2







②
9999+19999









③
999×274+6274





2

例8 . 1998÷
1998
1998

1999
199819991998
= 1998÷
1999
1998(19991)
= 1998÷
1999
1999
= 1998×
19982000
1999
=
2000










①

54÷17














2
5
② 238÷238








238

239

巧算（二）
拆项公式：
①
②
如
11111
1
=- 如=-
23
2
3
a(a1)
a
a1
1
1
1
=
1
×（-）
a
an
a(an)
n111
1

×（-）
35
2
3
5
111
1
=×（-）
47
3
4
7
ab11
=+
ab
ab
2311
=+
232
3

③

如

平方差公式：
a
2
- b
2
=(a+b)(a-b)
1
2
n( n1)(2n1)
1
2
+2
2
+3
2
+……＋ n
2
=
6
1
1+2+3+……n=n(n+1)
2n(n1)(2n1)
1
2
+2
2
+3
2
+……＋n
2
=
6
1
1
3
+2
3
+3
3
+……+n
3
=n
2
(n+1)
2

4
1
1
3
+3
3
+5
3
+… …＋(2n－1)
2
=n(4n
2
－1)
3
1＋2＋3＋……＋n=n(n＋1)

1111
＋＋＋……＋
12233499100
1111111
=1－＋－＋－＋……＋－
33100
22499
1
=1－
100
99
=
100
例1．

练习: ①







1111
＋＋＋……＋
45563940
67
②







③









111111
＋＋＋＋＋
2042
261230
11111
＋＋＋＋
10111112121313141415

1111
＋＋＋……＋
684850
2446
2222
1
=（＋＋＋……＋）×
684850
2446
2
例2：
=〔〔－〕＋（-）＋……＋（
=（－
=
1
2
1
1
）×
50
2
1
2< br>1
4
1
4
1
6
11
1
-）〕×
48
50
2
1
24
×
50
2
6
=
25
1111
练习：① ＋＋＋……＋
3557799799














1111
②
＋＋＋……
1471097100
47

③






















④


1111
1
＋＋＋＋
2870130
4208
1111
＋＋＋……＋
3337
15
59
913

111
＋＋（借“1”还“1”）
64
1632
11111111
=＋＋＋＋＋＋－
8646464
241632
1
=1－
64
63
=
64

11111
1
法二：设x=＋＋＋＋＋ ①
2864
41632
1111
1
则2x=1＋＋＋＋＋ ②
28
41632

用②－①得

111111111
11

2x－x=（1＋＋＋＋＋）－（＋＋＋＋＋）
282864
4163241632
1
x=1－
64
63
x=
64


练习：

1111
1
①
＋＋＋＋……＋
28
416256


















例3： ＋＋＋
1
2
1
4
1
8

② ＋＋




















2
3
2
9
2221
＋＋ （提示加）
27243243
81
③ 9.6+99.6+999.6+9999.6+99999.6

例4.计算
(1+＋＋)×(＋＋＋)－(1+＋＋＋)×(＋＋
1
) < br>4
1
2
1
3
1
4
1
2
1< br>3
1
4
1
5
1
2
1
3
1< br>4
1
5
1
2
1
3
解设: 1+＋＋=x ＋＋=y
则： x×（y＋）－（ⅹ＋）×y
=ⅹy＋ⅹ－ⅹy－ⅹ
1
5
111
1
11
1
=(1+＋＋---)
523
4
23
4
1
=×1
5
1
=
5

练习：①（＋＋＋）×（＋＋+）-（＋＋＋
8911911
12
89
101010
11111
+）×（ ＋＋）
11
12
911
10
1
5
1
5< br>1
5
1
5
1
2
1
3
1
4< br>1
2
1
3
1
4
=（ⅹ－y）





② (＋＋＋)×（＋＋+）-（＋＋＋+）
×（＋＋）




1
3
1
4
1
5
1
2
1
3
1
4
1
5
1
3
1
4
1
5
1
6
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6

2255
79
7
9
656555
=（+）÷（+）
797
9
1111
=[65×（+）]÷[5×（+）]
7
9
7
9
1111
=65×（+）÷5÷（+）
7
9
7
9
例5.（
9
＋
7
）÷（ +）
=65÷5
=13
练习：①







②








1242483612......100200400

13926183927......100300900
111222 333......999

100200300......900

综合练习：
1、+（+）+（++）+（+++）+……+(
（2012年小升初试题）
注：=0.5+1+1.5+……+(








(2
2
4
2
6
2
.. ....100
2
)(1
2
3
2
5
2......99
2
)
2、
1234......10 98...21
119
+)×19÷2
2020
1
2< br>1
3
2
3
1
4
2
4
3
4< br>1
5
2
5
3
5
4
5
12319+++……+)
20202020
（2005奥赛试题）

3、1×2+2×3+3×4+4×5+……+49×50 (07奥赛)
提示=1×（1+1）+2×（2+1）+3×（3+1）+……+49×（49+1）











4.2005+2004-2003-2002+2001+2000-1999-1998 +1997+1996-……-7-
6+5+4-3-2+1 (05奥赛B卷)

5.
1111
+++……+(奥赛)
1232343459 9100101
1
1
11
=×[-]
n(n1)(n2)
2
n(n1)(n1)(n2)
111111
-)+(-)+……+( -)]
1223233499100100101
分析；
1
2
原式=[(








1111
+++……+(华赛)
1353575792001200 32005
1111111
原式=[(-)+(-)+……+(-)]
35572001200320032005
413
35
6.

7. 1+
111
++……+（小升初试题）
1212312.....10
=1+
(12)2
+
(1 3)3
+……+
(110)10

222
111









8.
22222
+++……++
58811111444474750

9、
3333
+++……+
2558811197200












10.
11111
+++……++
72
90
110132156

六年级计算与巧算

例5 、 333387×79+790×66661
=333387.5×79+790×66661.25
=33338.75×790＋790×66661.25
=790×(33338.75+66661.25)
=790×100000
=79000000

练习: ① 3.5×
1
+125%+
1
÷














3

② 975×0.25+
9
×76-9.75
4











1
4
1
2
4
5
1
2
1
4

例6

19931994-1

199319921994
=

(19921)1994-1

199319921994
199219941994-1

199319921994
199219931993

199319921994
=

=

=1

练习：
362548361
①

362548186














198819891987
②

198819891

例7.有一串数1.4.9.16.25……它们按一 定规律排列，那么第2000
个数与第2001个数相差多少？
2001
2
-2000
2

= （2000+1）×2001-2000×2000
= 2000×2001+2001-2000×2000
= 2000×（2001-2000）+2001】
= 2000+2001
= 4001
练习
①
1991-1990
2 2







②
9999+19999









③
999×274+6274





2

例8 . 1998÷
1998
1998

1999
199819991998
= 1998÷
1999
1998(19991)
= 1998÷
1999
1999
= 1998×
19982000
1999
=
2000










①

54÷17














2
5
② 238÷238








238

239

巧算（二）
拆项公式：
①
②
如
11111
1
=- 如=-
23
2
3
a(a1)
a
a1
1
1
1
=
1
×（-）
a
an
a(an)
n111
1

×（-）
35
2
3
5
111
1
=×（-）
47
3
4
7
ab11
=+
ab
ab
2311
=+
232
3

③

如

平方差公式：
a
2
- b
2
=(a+b)(a-b)
1
2
n( n1)(2n1)
1
2
+2
2
+3
2
+……＋ n
2
=
6
1
1+2+3+……n=n(n+1)
2n(n1)(2n1)
1
2
+2
2
+3
2
+……＋n
2
=
6
1
1
3
+2
3
+3
3
+……+n
3
=n
2
(n+1)
2

4
1
1
3
+3
3
+5
3
+… …＋(2n－1)
2
=n(4n
2
－1)
3
1＋2＋3＋……＋n=n(n＋1)

1111
＋＋＋……＋
12233499100
1111111
=1－＋－＋－＋……＋－
33100
22499
1
=1－
100
99
=
100
例1．

练习: ①







1111
＋＋＋……＋
45563940
67
②







③









111111
＋＋＋＋＋
2042
261230
11111
＋＋＋＋
10111112121313141415

1111
＋＋＋……＋
684850
2446
2222
1
=（＋＋＋……＋）×
684850
2446
2
例2：
=〔〔－〕＋（-）＋……＋（
=（－
=
1
2
1
1
）×
50
2
1
2< br>1
4
1
4
1
6
11
1
-）〕×
48
50
2
1
24
×
50
2
6
=
25
1111
练习：① ＋＋＋……＋
3557799799














1111
②
＋＋＋……
1471097100
47

③






















④


1111
1
＋＋＋＋
2870130
4208
1111
＋＋＋……＋
3337
15
59
913

111
＋＋（借“1”还“1”）
64
1632
11111111
=＋＋＋＋＋＋－
8646464
241632
1
=1－
64
63
=
64

11111
1
法二：设x=＋＋＋＋＋ ①
2864
41632
1111
1
则2x=1＋＋＋＋＋ ②
28
41632

用②－①得

111111111
11

2x－x=（1＋＋＋＋＋）－（＋＋＋＋＋）
282864
4163241632
1
x=1－
64
63
x=
64


练习：

1111
1
①
＋＋＋＋……＋
28
416256


















例3： ＋＋＋
1
2
1
4
1
8

② ＋＋




















2
3
2
9
2221
＋＋ （提示加）
27243243
81
③ 9.6+99.6+999.6+9999.6+99999.6

例4.计算
(1+＋＋)×(＋＋＋)－(1+＋＋＋)×(＋＋
1
) < br>4
1
2
1
3
1
4
1
2
1< br>3
1
4
1
5
1
2
1
3
1< br>4
1
5
1
2
1
3
解设: 1+＋＋=x ＋＋=y
则： x×（y＋）－（ⅹ＋）×y
=ⅹy＋ⅹ－ⅹy－ⅹ
1
5
111
1
11
1
=(1+＋＋---)
523
4
23
4
1
=×1
5
1
=
5

练习：①（＋＋＋）×（＋＋+）-（＋＋＋
8911911
12
89
101010
11111
+）×（ ＋＋）
11
12
911
10
1
5
1
5< br>1
5
1
5
1
2
1
3
1
4< br>1
2
1
3
1
4
=（ⅹ－y）





② (＋＋＋)×（＋＋+）-（＋＋＋+）
×（＋＋）




1
3
1
4
1
5
1
2
1
3
1
4
1
5
1
3
1
4
1
5
1
6
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6

2255
79
7
9
656555
=（+）÷（+）
797
9
1111
=[65×（+）]÷[5×（+）]
7
9
7
9
1111
=65×（+）÷5÷（+）
7
9
7
9
例5.（
9
＋
7
）÷（ +）
=65÷5
=13
练习：①







②








1242483612......100200400

13926183927......100300900
111222 333......999

100200300......900

综合练习：
1、+（+）+（++）+（+++）+……+(
（2012年小升初试题）
注：=0.5+1+1.5+……+(








(2
2
4
2
6
2
.. ....100
2
)(1
2
3
2
5
2......99
2
)
2、
1234......10 98...21
119
+)×19÷2
2020
1
2< br>1
3
2
3
1
4
2
4
3
4< br>1
5
2
5
3
5
4
5
12319+++……+)
20202020
（2005奥赛试题）

3、1×2+2×3+3×4+4×5+……+49×50 (07奥赛)
提示=1×（1+1）+2×（2+1）+3×（3+1）+……+49×（49+1）











4.2005+2004-2003-2002+2001+2000-1999-1998 +1997+1996-……-7-
6+5+4-3-2+1 (05奥赛B卷)

5.
1111
+++……+(奥赛)
1232343459 9100101
1
1
11
=×[-]
n(n1)(n2)
2
n(n1)(n1)(n2)
111111
-)+(-)+……+( -)]
1223233499100100101
分析；
1
2
原式=[(








1111
+++……+(华赛)
1353575792001200 32005
1111111
原式=[(-)+(-)+……+(-)]
35572001200320032005
413
35
6.

7. 1+
111
++……+（小升初试题）
1212312.....10
=1+
(12)2
+
(1 3)3
+……+
(110)10

222
111









8.
22222
+++……++
58811111444474750

9、
3333
+++……+
2558811197200












10.
11111
+++……++
72
90
110132156