高考数学复习专题向量的模长问题几何法_「金点文库网」分享知识创造价值

英语感叹句-幼儿园班级工作计划

第34炼向量的模长问题——几何法
一、基础知识：
rr
a
1、向量和差的几何意义：已知向量
,b
，则有：
rrrr
rrrr
（1）若
a,b
共起点，则利用平行四边形法则求
ab
，可得
ab
是以
a,b
为邻边的平行四边
形的对角线
rrrr
rrrr
（2）若
a,b
首尾相接，则利用三角形法则求出
ab
，可得
ab
，
a,b
围成一个三角形
r
2、向量数乘的几何意义：对于

a

r
rr
r
r
（1）共线（平行）特点：

a
与
a 为共线向量，其中

0
时，

a
与
a同向；

0
时，

a
r
与
a
反向
rr
（2）模长关系：

a

a

3、与向量模长问题相关的定理：
（1）三角形中的相关定理：设
VABC
三个内角
A,B,C
所对的边为
a,b,c

① 正弦定理：
abc


sinAsinBsinC
222
② 余弦定理：
abc2bccosA

（2）菱形：对角线垂直平分，且为内角的角平分线
特别的，对于底角
60
的菱形，其中一条对角线将此菱形分割为两个全等的等边三角形。
（3）矩形：若四边形
AB CD
的平行四边形，则对角线相等是该四边形为矩形的充要条件
4、利用几何法求模长的条件：条件中的向量运算可构成特殊的几何图形，且所求向量与几何
图形中的某条线段相关，则可考虑利用条件中的几何知识处理模长
二、典型例题：
o
rr
o
例1：（20 15届北京市重点中学高三8月开学测试数学试卷）已知向量
a,b
的夹角为
45，且
rrrr
a1,2ab10
，则
b
（）
A.
2
B.
2
C.
22
D.
32

思路：本题利用几何图形可解，运用向量加减运算作出如下图形：可知

- 1 -

AB2,B

4
,AC10
，只需利用余弦定理求出
BC
即可。
r
222
解：如图可得：
b BC
，在
VABC
中，有：
ACABBC2ABBCcosB

即：
104BC22BCcos
2
2

4

BC22BC60
解得
BC32
或
BC 2
（舍）
r
所以
b32
，
答案：选
D

rrr
rrrrrr
例2：若平面向量a,b,c
两两所成的角相等，且
ab1,c3
，则
abc 等于（）
A.
2
B.
5
C.
2
或
5
D.
2
或
5

rrrrrr
思路：首先由
a,b ,c
两两所成的角相等可判断出存在两种情况：一是
a,b,c
同向（如图1，此rrrrr
2

时夹角均为0），则
abc
为
5 ，另一种情况为两两夹角（如图2），以
ab1
为
3
rrrr
rrr
o
突破口，由平行四边形法则作图得到
ab
与a,b
夹角相等，
aba1
（底角为
60
的菱
r
rrr
形性质），且与
c
反向，进而由图得到
abc2
，选C
答案：C

rr
r rrr
例3：已知向量
a,b
，且
a1,b2
，则
2b a
的取值范围是（）
A.

1,3

B.

2,4

C.

3,5

D.

4,6


r
rrr
思路：先作出
a
，即有向线段
AB
，考虑
2ba
，将
2b
的起点与
A
重合，终点
C
绕
A
旋转
rrrrr
且
AC2b4
，则
2ba
即为
BC
的长度，通过观察可得
C
与
A,B
共线时
2ba
达到
rr
最值。所以
2ba

max
rr
5,2ba
min
rrrr
3
，且
2ba
连续变化，所以
2ba
的取值范围是
- 2 -


3,5


答案：C

rr
rrrrrr
例4：设a,b
是两个非零向量，且
abab2
，则
ab
_ ______
rrrr
rrrr
思路：可知
a,b,ab
为平行四边形的一组邻边和一条对角线，由
abab2
可知满
足条件的只能是底角为
60
，边长
a2
的菱形，从而可
求出另一条对角线的长度为
3a23

答案：
23

o
r
a
rr
r r
r

rr
r

例5：已知
a,b
为平面向量，若
ab
与
a
的夹角为，
ab
与
b
的夹角为，则
r

（）
34
b
A.
3656
B. C. D.
3433
rrrr
思路：可知
ab,a,b
为平行四边形的一组邻边及对角线，通
过作图和平行四边形性质得：在
VABD
中，
r r

ABa,ADb,ABD,ADB
，由正弦定理
34r

sin
a
AB
sinADB6
6
4
可得：，即
r



3
ADsinABD
s in

3
b
3
答案：D
r
r
r
r
r
r
rr

r
例6：已知
a,b
是单位向量，且
a,b
的夹角为，若向量
c
满足
|ca2b|2，则
|c|
的最
3
大值为（）
A.
23
B.
23
C.
72
D.
72

uurrurrrr
rr
思路：本题已知
a,b
模长且夹角特殊，通过作图可得 2ba
为模长为
3
，设
mc2ba
，
 

- 3 -

ur
uurr
urrurr r
则可得
m2
且
cm2ba
，而
m
可视为以
2ba
共起点，终点在以起点为圆心，2

ur
r
为半径的圆上。通过数形结合可得
c
的最大值为
23
（此时
m
的终点位于
A
点）
答案：A
例7：在
VABC
中， B
r

uuu
6
uuuruuuruuurr
u uur
平面内的一点，且
3OA2OBOC0
，则
DO
的值是
（）
uuur
,AB33,BC6
，设
D
是
AB
的中点，
O
是
VABC
所在
1
B.
1
C.
3
D.
2

2
uuur
思路：本题的关键在于确定
O
点的位置，从而将
DO
与已知
A.
uuuruuuruuurr
线段找到联系，将
3OA2OBOC0
考虑变形为
uuuruuuruuuruu uruuuruuuruuuruuur
uuuruuur
1
uuur
3OA 2OBOC3OAOBOBOCCB
，即
OAOBCB
，设3
uuuruuuruuur
OEOAOB
，则
O,D,E
三点共线，且
OE∥BC
，所以由平行四边形性质可得：

uuur
1
uuur
1
uuur
ODOECB1

26
答案：B
rrrrrrrrrr
例8：已知向量
ae,e 1
，对任意的
tR
，恒有
ateae
，则
ea e
的值为

________
uuurruuurr
rrrr 思路：本题以
ateae
作为突破口，通过作图设
ABa,ACe ，
D
为直线
l
上一点，
uuurr
rrrr
则有
ADte
。从而可得
aeBC,ateBD
，即
BD BC
，所以
C
点为直线
l
上
到
B
距离最短的线段，由平面几何知识可得最短的线段为
B
到
l
的垂线段。所以
BCl
，即
rrrrrr
eae
，所以有
eae0

答案：0
rrrr
小炼有话说：本题若用图形解决，找到 ate,ae
在图上的位置和两个向量的联系是关键

rr rr
rrr
例9：已知平面向量
a,b,c
满足
a1,b 2
，且
ab1
，
C

- 4 -
D
A
B

r
rrrr
o
若向量
a c,bc
的夹角为
60
，则
c
的最大值是_________ rr
rrrr
ab1
o
思路：由
a,b
条件可得 a,b
夹角

的余弦值
cos


rr

120
，若用代数方法处
2
ab
uuurr uuurruuurr
理夹角
60
的条件，则运算量较大。所以考虑利用图形，设ABa,ADb,ACc
，则
o
uuurrruuurrr
CD bc,CBac
，即
DCB60
o
，从而
DCB
180
o
，可判定
A,B,C,D
四点
uuur 共圆，则
AC
的最大值为四边形
ABCD
外接圆的直径，即
V ABD
的直径。在
VABD
中，由
余弦定理可得：
BDABAD 2ADABcos

7
，所以
BD
222
7
，由正弦定理
r
221221

可得：
d2R
，即 c

max
sinBAD33
BD
答案：
221

3 小炼有话说：若条件中向量的夹角为特殊角且很难用数量积，模长进行计算时，可考虑寻找
几何图形进行求解。
ur
u
urururrururur
rur
例10：（2010年，浙江，16）已知平面向量

,

0,



满足

=1
，且

与



的

夹角为
120
，则

的取值范围是___________
思路：本题很难找到与数量积相关的条件，那么考虑利用图形辅助求解。从图中可观察到
o
ur
urururur

,

,



构成
VBCD
，
C60
o，从而可利用正
余弦定理求出

即
CD
的取值范围
解：在
VBCD
中，由正弦定理可得：
ur

BDCD


sinCsinDBCsinCsinDBC
ur

ur12


sinDBCsinDBCsinDBC
sinC33
2

urur

2

而
DBC

0,

3

ur
23

2



sinDBC

sinDBC0,1



0,



3

3


- 5 -

答案：

的取值范围是

0,
ur


23



3


小炼有话说：例题中的部分问题也可采用模长平方的方式，从而转化成为数量积求解。具体
解法如下：
rr
2
r
2
rrr
2
rrrr
2
例1：解：
2ab 4a4abb44bcosa,bb10

r
2
r
r
b22b60
，解得
b32

rrr
2
r
2
r
2
r
2
rrrrrr
例2：解：
a bcabc2ab2bc2ac

rrr
Qa,b,c
夹角相同
rrr
rrr
2
r rr
a,b,c
abc25
当同向时，可得，所以
abc5
rrr
rr
2

1
rr
3
rr3
当
a,b,c
两两夹角时，可得
ab,bc,ac

3222
rrr
rrr
2
abc4
，所以
abc2

rrr
综上所述：
abc2
或
5

rr2
r
2
rrr
2
rrrrrr
例3：解：
2b a4b4aba174abcosa,b178cosa,b

rrrr rr
2
因为
cosa,b

1,1


2ba

9,25

即
2ba

3,5


rrrr
rr
例4：解：
abab2
可得
ab

2
r
2
r
2
rr
ab2ab4

rr
rr
rr
2
r2
r
2
rr
代入
ab2
得
ab2 
abab2ab12

rr
ab23

例8：解：以
B
为原点，
B C
为
x
轴建立直角坐标系。所以
C

6,0
,A

,

933


22


，设
O

x,y

，

uuuru uuruuurr
uuur

9
ruuur

uuu
33
3OA2OBOC0
可
y

则
OA

x,

2

,OB

x,y

,OC

6x,y

，由
2

13

39

6x0x


1333
4

2

得：

，所以
O

,






44

93
6y0

y
33

24 

- 6 -

因为
D
为
AB
中点
D
,

933


44




uuur
OD1

rrrrrr
2
rr 2
例9：解：
ateaeateae

r
2 rrr
2
rr
2
a2aetta2ae1

rrrr
t2aet2ae10
对
tR
恒成立
2
rr
2
rrrr
2ae42ae10
即
4ae

2
rr
8ae40

rr
rr
2
4ae10
，所以
ae1


rrrrrr
2
eaeeae0



- 7 -

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