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1分数乘法
一、知识梳理
概要
内容
1.分数乘整数(1)意义:表示求几个相同分数的()的简便运算
(2)计算方法:分母( )，用分子与整数相乘的积做( )，能约分的要约
分
2.分数乘分数，
(1)意义:表示求一个分数的几分之几是多少
(2)计算方法:用( )做分子，( )做分母,能约分的要约分
3.分数乘小数
(1)意义:表示求一个数(小数)的几分之几是多少
(2)计算方法:①( );②把分数化成小数计算;③小数和分
数的分母存在某种倍数关系时，直接“约分”再计算
注意:若所来分数不能化成有服小数，则不要把分数化成小数计算
4.分数四则混合运算。
运算顺序:与整数混合运算的运算顺序相同。都是先算( )，再算（ )，
有括号的先算( )。
5.整数乘法运算定律推广到分数。
整数乘法的运算定律对于分数乘法同样适用。
乘法交換律:ab＝b×a
乘法结合律:a×b×c＝a×(b×c)
乘法分配律:(a+b)×c＝a×c+b×c
6.解决问题
(1)连续求一个数的几分之几是多少的问题
方法:单位“1＂的量×分率＝分率对应的量
(2)求比一个数多(或少)几分之几的数是多少的向题
方法一:单位“1＂的量士单位“1”的量×另一个量比单位1多(或少)的几
分之几＝另一个量
方法二:单位“1”的量×[1士另一个量比单位1”多(或少)的几分之几]ー
另一个量
注意:解决问题类题目正确单位“1”是关键。
二、错题纠正
幸福泉幼儿园买来1 56个苹果。中班小朋友拿走三分之一、大班小明友拿走余下
的四分之一，大班小朋友拿走多少个苹果?
1
1
156××=13（个）
3
4
答：大班小明友拿走13个苹果。
[错因分析]本题错在：

[正确解答]
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三、典题精讲
简算：
5997
×+×
17241724
思路分析：算式中相乘的 两组分数算式非常形似，但并没有相同的分数。所以我
们不能直接应用运算定律。互换两个分数的分子或 分母，积的大小不变。

解答 方法一：
59975997
×+× 方法二：×+×
41724
59795997
×+× =×+×
71724
957957
×（+） =×（+）
241717172424
99
=
3434
=
=
=
举一反三





答案：
844811
×
-
×
潜能开发 26×28×（+
）
1339133926272728
一、1.(1)和 (2)不变 分子 2.(2)分子相乘的积 分母相乘的积 3.(2)①把小
数化成分数计算 4.乘除法 加减法 括号里面的
二、求大班小朋友拿走多少苹果时单位“1”弄错156×(1-
答:大班小朋友拿走26个苹 果
三、举一反三:0 潜能开发:2

11
)x
＝26(个)
34

2位置与方向(二)
一、知识梳理
1.根据平面示意图，用方向和距离描述某个点的位置：
确定物体的位置，在选定( )后，要根据( )和( )来确定，
缺一不可
2.根据方向和距离的描述，在图上确定某个点的位置：
先定方向，再定距离，最后标出物体的具体位置，并标明名称
3.物体位置的相对性：
两个地点的位置关系是相对的:
东偏北→西偏南
东偏南→西偏北
北偏西→南偏东
北偏东→南偏西
4.简单的路线图
(1)描述简单的路线图:按行驶路线，先确定观测点及行走的方向和路程再描述路线
(2) 绘制简单的路线图的方法:①确定方向标和单位长度;②以起点为观测点，从起点出
发，根据描述确定所 走的方向和距离。
注意:每走一段路，都要重新确定新的观测点
二、错题纠正
1. 画图
气象学家发现，台风中心在A市东偏南30°方向，距离A市120km处，画出 台风中心的
位置。
[错因分析]本题错在：
[正确解答]
2.甲市和乙市两地大约相距137km，根据右图填空。
甲市在乙市的(东)偏(南)(45°)的方向上。
乙市在甲市的(西)偏(北)(45°)的方向上。
[错因分析]本题错在：

[正确解答]
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三、典题精讲
根据下面的描述画出路线图
妈妈带华华出去玩。从家出发，先向东偏南30方向走200m到 达商场，再向正东方向走
300m到达少年宫，后向南偏东20方向走200m到达公园。


思路分析:此题需要根据题目描述的过程画出路线图，从家出发，然后依次到达商
场、少年宫和公园，每画一步都要按要求找到相应的方向，测量好角度，按单位长度表
示出相应的长度， 准确把握方向和距离。






举一反三在图中画出各景点的位置。
1.猴山在大象馆西偏南40°方向，距离是300m
2.狮虎山在大象馆东偏北60方向，距离是500m
3.从猴山向正东方向走500m就是熊猫馆。

答案
一、1.观测点 方向 距离
二、1.东南30°与南国东3两个方向
西
30°
台风中心
南
A市
东
北
2.对于相对的两个位置关系特点不清。西 北 (或北 西
45度 东 南 (南东)45度
三、举一反三画图略

3分数除法
一、知识梳理
1. 倒数的认识
(1)意义:( )的两个数互为倒数
(2)找倒数的方法分数的分子、分母（ ）
(3)特殊数的倒数:1的倒数是( )；0( )倒数
带分数的倒数先把带分数化成()，再把分子和分母(
小数的倒数:先把小数化成()，再把分子和分母(
2.分数除以整数
(1)意义:表示把一个数平均分成几份，其中的()是多少，即个数除以几表示求
这个数的（ ）是多少
(2)计算方法:一个数除以几，就是求这个数的( )，写成乘法，能约分的
要约分
3.一个数除以分数
(1)意义:表示已知一个数的几分之几是多少，求这个数是多少
(2)计算方法:一个数除以一个不等于0的数，等于乘这个数的()
注:除数不能为0
4.分数四则混合运算
运算顺序：与整数混合运算的运算顺序相同都是先算乘除法，再算加减 法，有括
号的先算括号里面的
5解决问题
(1)已知一个数的几分之几是多少，求这个数是多少的问题
(2)已知比一个数多(或少)几分之几的数是多少，求这个数的问题
(3)已知两个数的和(或差)及这两个数的倍数关系，求这两个数的问题
解决以上3类问题 的方法:①设单位“1”的量为x，列方程求解②分率对应的量
÷分率=单位“1”的量
(4)工程题
基本数量关系：工作总量=工作效率X工作时间
工作效率=工作总量÷工作时间
工作时间=工作总量÷工作效率


二、错题纠正
22
1.×a=b，c÷=b，(a，b，c均大于0)，那么a和c相比较(a＜c)
33
[错因分析]本题错在对分数乘法中积与因数的大小关系以及分数除法中商与被
除数的大小关系理解不清
[正确解答]

2.妈妈今年39岁，小丽的年龄是妈妈的
，又恰好是奶奶年龄的，奶奶今年多少岁?
39÷x
＝23.4(岁)答:奶奶今年23.4岁
[错因分析]本题错在两次年龄比较时单位“1”选择错误
[正确解答]

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三、典题精讲
1.一辆小汽车每小时行驶60km，比快速奔跑的非洲鸵鸟的速度慢
时能跑多少千米?
思路分析：此题是典型的已知比单位“1”少几分之几的数是多少，求单位“1”的问
题。以非洲鸵鸟每小时能跑的千米数为单位“1”，找到小汽车每小时行驶60km所
对应的分率，相除求得单位“1”。另外本题也可以用方程的方法求解。
解答 方法一: 60÷（1-
1
3
1
5
11
35
1
，非洲 鸵鸟每小
6
1
）=72(km)
6
方法二:解:设非洲鸵鸟每小时能跑χkm
(1-
1
)χ=60
6
χ=72
答:非洲鸵鸟每小时能跑72km。
举一反三：一辆汽车从甲地开往乙地，已经行驶了28km，再行驶全程的就正
好到达中点，甲、乙两地相距多少千米?





1
3

2.某车间要加工180个零件，张师傅单 独做需要6天，李师傅单独做需要9天，
如果两人合作，他们两天一共做多少个零件?3天做完这批零件 的几分之几?合作
完成全部零件需要几天?
思路分析：此题第一问求合作两天完成多少个零件 ，是求具体数量的问题，而第
二问和第三问把工作总量看作单位“1”，工作时间的倒数就是工作效率， 直接
用分率就可以解决。
解答：(180÷6+180÷9)×2＝100(个)
5115
(180÷6+180÷9)×3÷180=()或（+）×3=
6966
11
1÷（+）＝3.6(天)
96
答:他们两天一共做 100个零件，3天做完这批零件的，合作完成全部零件需要
3.6天。
举一反三：一批零件，甲单独做要4天完成，乙单独做要8天完成。甲先做了2
天，临时有事，剩下的乙接着做，乙需要几天完成剩下的零件?




潜能开发:两辆货车从甲、乙两地同时相对开出快车行完全程需要20小时，慢
车 行完全程需要30小时。开出15小时后两车相遇。已知快车中途停留4小时，
慢车停留了几小时?





答案
一、1.(1)乘积是1 (2)交换位置 (3)1 没有 假分数 交换
位置 分数 交换位置
2.(1)一份 几分之一 (2)几分之一 3.(2)倒数
11
二、1.a＞c 2. 39×÷＝65(岁)答:奶奶今年65岁
35
11
三、1.举一反三：28÷(- )＝168(km)答：甲、乙两地相距168km。
23
11
2.举一反三：[1 -(×2)]÷＝4(天)答：乙需要4天完成剩下的零件。
48
1991
潜能开发:1-×(15-4)＝ ÷＝13.5(时) 15-13.5＝1.5(时)答:慢
20202030
车停留了1.5小时

4比
一、知识梳理
1.比
(1)意义:( )又叫做两个数的比
(2)各部分名称:“:”叫做比号，在两个数的比中，比号前面的数叫做比的
( )，比号后面的数叫做比的( )比的前项除以后项所得的商，叫做( )
2.比与除法、分数的关系
比的前项相当于分数的分子，除法中的被除数;比号相当于分数的分数线，除
法中的除号;比的后项相当于分数的分母，除法中的除数;比值相当于分数值，
除法中的商
注意:比是一种关系，分数是一个数，除法是一种运算
3.比的基本性质
意义:比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)( )不变
4.化简比
(1)方法:根据比的基本性质进行化简
(2)最简整数比:比的前项和后项只有公因数( )
5.按比分配
已知总量是多少，按照一定的比进行分配
方法一:先求出总份数，再求出各部分量占总量的几分之几，用总量乘各部分
量对应的几分之几，求出各部分的量
方法二:先求出每份是多少，再用每份的量乘各部分量对应的份数，求出各部
分量
二、错题纠正
5
1.有大、小两个水桶，把小桶装满水后全部倒入大桶，只相当于大 桶的，大、
7
小两个水桶的容积的比是(5):(7)。×
[错因分析]本题错在
[正确解答]

2.110g的糖水中含糖10g，糖与水的质量比是(A)。×
A.1:11
B.1:10
C.1:9
[错因分析]本题错在
[正确解答]

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四、典题精讲
甲、乙两地之间的公路长315km，客车和货车同时从两地出 发相向行驶，经过
3.5小时在途中相遇。客车和货车的速度比是4:5，客车和货车每小时各行驶多< br>少千米?
思路分析：在按比分配之前，要弄清是把谁进行分配。速度比是已知的，所以要
先求出它们的速度和，再按比分配。
45
解答 315÷3.5＝90(km) 90×=40（km） 90×=50（km）
4545
答:客车每小时行驶40km，货车每小时行驶50km。
举一反三： 幸福大街8号大院里有4户居民共用一个水表，各户水费按人口数分
摊。甲户4人，乙户3人，丙户6人 ，丁户2人。某月4户共缴水费60元，各
户应分摊水费多少元?




潜能开发：某中学三个年级共有学生1050人，七年级和八年级的人数比为3:4，
八年级和九年级的人数比是6:7，求七、八、九三个年级各有多少学生。






答案
、1.(1)两个数相除 (2)前项 后项 比值 3.比值 4. 1
二、1.大、小桶的关系弄反了 7 5
2.
按比分配中部分与整体的关系没理解 B
三、举一反三:4+3+6+2＝15(人)
436
甲户:60×＝16(元)乙户:60×＝12(元)丙户:60×＝24(元)

151515
2
＝8(元)
15
答:甲户应分摊水费16元， 乙户应分摊水费12元，丙户应分摊水费24元，丁户
应分摊水费8元。
9
潜能开发:七、八、九年级的人数比是9：12：14 七年级1050×=270
9+12+14
（人）
1214
八年级:105×＝360(人) 九年级:1050×＝420(人)
9+12+149+12+14
9+12+14
答:七年级有学生270人，八年级有学生360人，九年级有学生420人。
丁户:60×

5圆
一、知识梳理
1.圆的认识
(1) 概念:用圆规画圆时，针尖所在的点叫做( )，一般用字母( )表示;连
接圆心和圆上任意一点的线段叫做( )，一般用字母( )表示;半径的长度就
是圆规( )之间的距离；通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做( ）一
般用字母( )表示
(2)圆心确定圆的位置，半径或直径决定了圆的( )
(3)圆有( )条对称轴
2.圆的周长
(1) 意义:围成圆的曲线的长是圆的周长，一般用字母C表示
(2)圆周率:任意一个圆的( )与它的( )的比值是一个固定的数
我们把它叫做圆周率，通常用字母π表示
(3)计算方法:C＝( )或C＝( )
3.圆的面积
(1) 圆的面积计算方法:S＝( )或S＝( )
(2)圆环的面积计算方法:S＝( )(R为外圆半径，r为内圆半径)
(2) 方中圆与圆中方，求正方形与圆中间部分的面积的方法:分别求出圆与正
方形的面积，再求差
注意:看清图形中所标出的数据是否为计算面积公式所需的条件
4.扇形
概念:一条弧和经过这条弧两端的两条( )所围成的图形叫做扇形，顶点
在圆心的角叫做圆心角
二、错题纠正
1.一个圆半径扩大到原来的3倍，直径扩大到原来的(3)倍，周长扩大到原来
(3)倍，面积扩大到原来的(3)倍。
[错因分析]本题错在
[正确解答]


2.在长8cm，宽6cm的长方形内画一个最大的半圆，这个半圆的面积是多少平方
厘米?
222
3.14×6÷2＝56.52(cm)答:这个半圆的面积是56.52cm。
[错因分析]本题错在
[正确解答]

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三、典题精讲
1一辆自行车轮胎的外直径是60cm，如果平均每分钟转100圈，通过长约 1670m
的武汉长江大桥，大约需要多少分钟?(自行车车身长度忽略不计，得数保留整数)
思路分析：自行车轮胎转动行驶是关于圆的周长问题，每分钟转100圈，那么1
分钟行驶的距离就是 速度，要通过的桥长是行驶的路程，这样已知路程和速度就
能求时间了。

解答：轮胎一周周长:60×π＝60π(cm)
每分钟行驶路程:60π×100＝6000π(cm) 6000πcm＝60πm
通过大桥大约需要的时间:1670÷(60π)≈9(分)
答:大约需要9分钟。

举一反三：一条长47.1m的路上，小明在滚铁环，铁环直径为30cm，从路的一端
滚到另一端，铁环要转多少圈?






潜能开发：下图中圆和长方形的面积相等。圆周长的一半和长方形的长相等，都
是9.42cm。长方形的宽是多少厘米?

2.如图 ，在正方形内做一个最大的圆，再在这个圆内做一个最大的正方形，这时
圆外正方形与圆内正方形的面积 比是多少? 思
路分析：这是“方中圆”与“圆中方”结合的图形，求
大、小正方形的
积比，可以用面积公式进行推导和演算。
答：圆的半径是r，S
大正方形
＝ (2r)
2
＝4r
2

1
×2＝2r
2

正方形
＝2r·r×
2
S
大正方形
:S
小正方形< br>＝4r
2
:r
2
＝2:1
答:圆外正方形与圆内正方形的面积比是2:1
面
解
S
小

举一反三：如图，圆的面积是12.56cm
2
，大正方形的面积是( )，小正方形
的面积是( )



潜能开发：用三根长度相等的绳
子(都是1.84m)，借助一面墙， 分别围出甲、乙、丙三块地(如下图)。甲是长方
形，且长是宽的2倍;乙是半圆;丙是正方形。把三块 地按面积从小到大排列
是:( )＜( )＜( );最大一块地的面积是( )m
2
答案
一、1.(1)圆心 O 半径 r 两个脚 直径 d (2)大小
(3)无数 2.(2)周长 直径 (3)πd 2πr
d
3.(1)πr
2
π（）
2
(2)π(R
2
-r
2
) 4.半径
2
二、1，将圆面积扩大的倍数等同于半径、直径、周长扩大的倍数 3 3 9
2.最大的半圆对应的直径应该是长方形的长，而不是宽，计算半圆面积时，把直
径当半径代入公式
3.14×(8÷2)
2
÷2＝25.12(cm
2
) 答:这个半圆的面积是25.12cm
2

三、1.举一反三:3.14×30＝94.2(cm) 94.2cm＝0.942m 47.1÷0.942＝50(圈)
答:铁环要转50圈。
潜能开发:9.42×2÷3.14÷2＝3(cm) 3
2
×3.14÷9.42＝3(cm)
答:长方形的宽是3cm。
2.举一反三:16cm
2
8cm
2
潜能开发：丙 甲 乙 56.52

6百分数(一)
一、知识梳理
1.百分数
(1)意义:百分数表示一个数是另一个数的百分之几。百分数又叫做( )或( )
(2)读、写法读百分数时，先读“％”，再读分子;写百分数时，通常不写成分数
形式，在原来的分子后面加“％”来表示
2.百分数和分数、小数的互化
(1)小数化成百分数:小数点向右移动两位，同时在后面添上( ）
百分数化成小数:去掉百分号，小数点( )移动两位
(2)分数化成百分数:分子除以分母，化成( )，再化成百分数
百分数化成分数:写成分母是100的分数，约分化简成( ）
3.用百分数解决问题
(1)常见的百分率问题
出勤率＝( )合格率＝( )
(2)求一个数的百分之几是多少
方法:单位“1”的量×百分率=百分率对应的量
(3)求一个数比另一个数多(或少)百分之几
方法:两个数量的差÷单位“1”的量＝多(或少)百分之几
(4)求比一个数多(或少)百分之几的数是多少
方法:一个数×(1±百分率)＝另一个数
(5)求一个数连续两次增减变化的问题
方法:单位“1”有两个，一个数×(1±百分率)(1±百分率)＝两次增减变化后的
量
二、错题纠正
1.六(1)班在一次体育测试中，有33人达标，2人没有达标，这个班的达标率是
多少?
(33-2)÷33×100％≈93.94％答:这个班的达标率是93.94％
[错因分析]本题错在
[正确解答]


2.服装店衣服现价是 原价的60％，妈妈花了180元买了一件衣服，这件衣服的原
价是多少元?
180×60％＝108(元)答:这件衣服的原价是108元。
[错因分析]本题错在
[正确解答]

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三、典题精讲
商场“ 双十一”促销活动中，一件上衣降价20％销售，活动结束后，又涨价
20％，现在的价格与最初相比是 涨了还是降了?变化幅度是多少?
思路分析：本题是求一个数连续两次增减变化的问题，关键是分清两 次增减变化
的单位“1”。可以设具体的数计算，也可以设成单位“1”计算，算完后与原来
比 较，看看是增还是减，就能算出变化幅度。
解答方法一:设原价100元。 方法二:原价为单位“1”。
100×(1-20％)＝80(元) 1(1-20%)×(1+20%)×100%=96%
80×(1+20％)＝96(元) 1-96%=4%
(100-96)÷100=4%
答：现在的价格与最初相比是降了，降低4％。

举一反三：某洗衣机的价格在五一 促销期间比平时降了10％，店庆时价格又比五
一促销时降了5％，这款洗衣机店庆时的价格是平时价格 的百分之几?两次降价共
降了百分之几?






答案
一、1.百分率 百分比 2.(1)百分号 向左 (2)小数 最简分数
出勤人数合格产品数
3.(1)×100％ ×100％
应出勤人数产品总数
二、1部分与整体的关系混淆 33÷(33+2)100％≈94.29％
答这个班的达标率是94.29％
2.没找对单位“1”，把现价当作单位“1”
180÷60％＝300(元)答：这件衣服的原价是300元。
三、举一反三：1×(1-10％)×(1-5％)×100％＝85.5％
1-85.5％＝14.5％
答:这款洗衣机店庆时是平时价格的85.5％两次降价共降了14.5％。

7扇形统计图
一、知识梳理
扇形统计图
意义:用整个圆表示总数，用圆内各个扇形的大小表示各部分占总数的百分数

根据统计图的特点和统计内容的特点，选用合适的统计图
1.条形统计图能够直观地表示数量的多少
2.折线统计图不仅能够表示数量的多少还能看到数量的增减变化情况
3.扇形统计图能够清楚地反映各部分数量与总数之间的关系
二、典题精讲
在学校组织的“环保知识竞赛”中，六年级学生获奖情况如下，图( )能正确
表示出这个统计结果。


思路分析：扇形统计图的主要特点就是 反映各部分数量与总数之间的关系，先根
据统计表算出总人数是120人，再计算每部分占总数的百分之 几，容易得出获得
优秀奖的人数占50％，排除A、D，获得三等奖的人数是获得优秀奖的一半，占25％，依此推出获得一、二等奖的人数占比。
解答：C
举一反三：右图是小明家2017年11月支出情况统计图，这
个月总支出6000元，请解答下面问题。
1.小明家( )支出最多，是( )元。
2.文化教育支出多少元?比购买衣物多多少元?


答案
二、举一反三:1.伙食 2100
2.6000×25％＝1500(元) 1500-6000×20％＝
300(元)
答:文化教育支出1500元，比购买衣物多300元。

8数学广角——数与形
一、知识梳理
数与形
数形结合寻找规律
1，正方形数:1
2
＝1 2
2
＝1+3 3
2
＝1+3+5 4
2
＝( )…
规律:1+3+5+7+…+(2n-1)＝n
2

111111
2. +++++=（ ）=（ ）
248163264
1111
规律:++…+
n
＝1-
n

2422
二、典题精讲


1 1+4=5 1+4+7=12 （ ）
根据图中的规律完成上面的填空。
照这样画下去，第5幅图共有( )个点，8幅图共有( )个点。
思路分析：第1幅图有1个点，第2幅图有1+4＝5(个)点，第3幅图有1+4+7
＝12(个)点，第4幅图有1+4+7+10＝22(个)点，以此类推第n幅图比第(n-1)幅
图多(3n-2)个点。所以第5幅图有1+4+7+10+13＝35(个)点，第8幅图有1+4
+7+10+13+16+19+22＝92(个)点。
解答：(1)1+4+7+10＝22 (2)35 92
举一反三：下面每个图中各有多少个白色小正方形和灰色小正方形?

白色（ ） ( ) ( ) ( )
灰色（ ) ( ) ( ) ( )
照这样画下去，第6个图形有( )个白色小正方形和( )个灰色小正方形;
第10个图形有( )个白色小正方形和( )个灰色小正方形。

答案
一、1. 1+3+5+7 2. 1-
163

6464

二、举一反三:2 4 6 8 10 12 14 16 12 20 20 28

1分数乘法
一、知识梳理
概要
内容
1.分数乘整数(1)意义:表示求几个相同分数的()的简便运算
(2)计算方法:分母( )，用分子与整数相乘的积做( )，能约分的要约
分
2.分数乘分数，
(1)意义:表示求一个分数的几分之几是多少
(2)计算方法:用( )做分子，( )做分母,能约分的要约分
3.分数乘小数
(1)意义:表示求一个数(小数)的几分之几是多少
(2)计算方法:①( );②把分数化成小数计算;③小数和分
数的分母存在某种倍数关系时，直接“约分”再计算
注意:若所来分数不能化成有服小数，则不要把分数化成小数计算
4.分数四则混合运算。
运算顺序:与整数混合运算的运算顺序相同。都是先算( )，再算（ )，
有括号的先算( )。
5.整数乘法运算定律推广到分数。
整数乘法的运算定律对于分数乘法同样适用。
乘法交換律:ab＝b×a
乘法结合律:a×b×c＝a×(b×c)
乘法分配律:(a+b)×c＝a×c+b×c
6.解决问题
(1)连续求一个数的几分之几是多少的问题
方法:单位“1＂的量×分率＝分率对应的量
(2)求比一个数多(或少)几分之几的数是多少的向题
方法一:单位“1＂的量士单位“1”的量×另一个量比单位1多(或少)的几
分之几＝另一个量
方法二:单位“1”的量×[1士另一个量比单位1”多(或少)的几分之几]ー
另一个量
注意:解决问题类题目正确单位“1”是关键。
二、错题纠正
幸福泉幼儿园买来1 56个苹果。中班小朋友拿走三分之一、大班小明友拿走余下
的四分之一，大班小朋友拿走多少个苹果?
1
1
156××=13（个）
3
4
答：大班小明友拿走13个苹果。
[错因分析]本题错在：

[正确解答]
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三、典题精讲
简算：
5997
×+×
17241724
思路分析：算式中相乘的 两组分数算式非常形似，但并没有相同的分数。所以我
们不能直接应用运算定律。互换两个分数的分子或 分母，积的大小不变。

解答 方法一：
59975997
×+× 方法二：×+×
41724
59795997
×+× =×+×
71724
957957
×（+） =×（+）
241717172424
99
=
3434
=
=
=
举一反三





答案：
844811
×
-
×
潜能开发 26×28×（+
）
1339133926272728
一、1.(1)和 (2)不变 分子 2.(2)分子相乘的积 分母相乘的积 3.(2)①把小
数化成分数计算 4.乘除法 加减法 括号里面的
二、求大班小朋友拿走多少苹果时单位“1”弄错156×(1-
答:大班小朋友拿走26个苹 果
三、举一反三:0 潜能开发:2

11
)x
＝26(个)
34

2位置与方向(二)
一、知识梳理
1.根据平面示意图，用方向和距离描述某个点的位置：
确定物体的位置，在选定( )后，要根据( )和( )来确定，
缺一不可
2.根据方向和距离的描述，在图上确定某个点的位置：
先定方向，再定距离，最后标出物体的具体位置，并标明名称
3.物体位置的相对性：
两个地点的位置关系是相对的:
东偏北→西偏南
东偏南→西偏北
北偏西→南偏东
北偏东→南偏西
4.简单的路线图
(1)描述简单的路线图:按行驶路线，先确定观测点及行走的方向和路程再描述路线
(2) 绘制简单的路线图的方法:①确定方向标和单位长度;②以起点为观测点，从起点出
发，根据描述确定所 走的方向和距离。
注意:每走一段路，都要重新确定新的观测点
二、错题纠正
1. 画图
气象学家发现，台风中心在A市东偏南30°方向，距离A市120km处，画出 台风中心的
位置。
[错因分析]本题错在：
[正确解答]
2.甲市和乙市两地大约相距137km，根据右图填空。
甲市在乙市的(东)偏(南)(45°)的方向上。
乙市在甲市的(西)偏(北)(45°)的方向上。
[错因分析]本题错在：

[正确解答]
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三、典题精讲
根据下面的描述画出路线图
妈妈带华华出去玩。从家出发，先向东偏南30方向走200m到 达商场，再向正东方向走
300m到达少年宫，后向南偏东20方向走200m到达公园。


思路分析:此题需要根据题目描述的过程画出路线图，从家出发，然后依次到达商
场、少年宫和公园，每画一步都要按要求找到相应的方向，测量好角度，按单位长度表
示出相应的长度， 准确把握方向和距离。






举一反三在图中画出各景点的位置。
1.猴山在大象馆西偏南40°方向，距离是300m
2.狮虎山在大象馆东偏北60方向，距离是500m
3.从猴山向正东方向走500m就是熊猫馆。

答案
一、1.观测点 方向 距离
二、1.东南30°与南国东3两个方向
西
30°
台风中心
南
A市
东
北
2.对于相对的两个位置关系特点不清。西 北 (或北 西
45度 东 南 (南东)45度
三、举一反三画图略

3分数除法
一、知识梳理
1. 倒数的认识
(1)意义:( )的两个数互为倒数
(2)找倒数的方法分数的分子、分母（ ）
(3)特殊数的倒数:1的倒数是( )；0( )倒数
带分数的倒数先把带分数化成()，再把分子和分母(
小数的倒数:先把小数化成()，再把分子和分母(
2.分数除以整数
(1)意义:表示把一个数平均分成几份，其中的()是多少，即个数除以几表示求
这个数的（ ）是多少
(2)计算方法:一个数除以几，就是求这个数的( )，写成乘法，能约分的
要约分
3.一个数除以分数
(1)意义:表示已知一个数的几分之几是多少，求这个数是多少
(2)计算方法:一个数除以一个不等于0的数，等于乘这个数的()
注:除数不能为0
4.分数四则混合运算
运算顺序：与整数混合运算的运算顺序相同都是先算乘除法，再算加减 法，有括
号的先算括号里面的
5解决问题
(1)已知一个数的几分之几是多少，求这个数是多少的问题
(2)已知比一个数多(或少)几分之几的数是多少，求这个数的问题
(3)已知两个数的和(或差)及这两个数的倍数关系，求这两个数的问题
解决以上3类问题 的方法:①设单位“1”的量为x，列方程求解②分率对应的量
÷分率=单位“1”的量
(4)工程题
基本数量关系：工作总量=工作效率X工作时间
工作效率=工作总量÷工作时间
工作时间=工作总量÷工作效率


二、错题纠正
22
1.×a=b，c÷=b，(a，b，c均大于0)，那么a和c相比较(a＜c)
33
[错因分析]本题错在对分数乘法中积与因数的大小关系以及分数除法中商与被
除数的大小关系理解不清
[正确解答]

2.妈妈今年39岁，小丽的年龄是妈妈的
，又恰好是奶奶年龄的，奶奶今年多少岁?
39÷x
＝23.4(岁)答:奶奶今年23.4岁
[错因分析]本题错在两次年龄比较时单位“1”选择错误
[正确解答]

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三、典题精讲
1.一辆小汽车每小时行驶60km，比快速奔跑的非洲鸵鸟的速度慢
时能跑多少千米?
思路分析：此题是典型的已知比单位“1”少几分之几的数是多少，求单位“1”的问
题。以非洲鸵鸟每小时能跑的千米数为单位“1”，找到小汽车每小时行驶60km所
对应的分率，相除求得单位“1”。另外本题也可以用方程的方法求解。
解答 方法一: 60÷（1-
1
3
1
5
11
35
1
，非洲 鸵鸟每小
6
1
）=72(km)
6
方法二:解:设非洲鸵鸟每小时能跑χkm
(1-
1
)χ=60
6
χ=72
答:非洲鸵鸟每小时能跑72km。
举一反三：一辆汽车从甲地开往乙地，已经行驶了28km，再行驶全程的就正
好到达中点，甲、乙两地相距多少千米?





1
3

2.某车间要加工180个零件，张师傅单 独做需要6天，李师傅单独做需要9天，
如果两人合作，他们两天一共做多少个零件?3天做完这批零件 的几分之几?合作
完成全部零件需要几天?
思路分析：此题第一问求合作两天完成多少个零件 ，是求具体数量的问题，而第
二问和第三问把工作总量看作单位“1”，工作时间的倒数就是工作效率， 直接
用分率就可以解决。
解答：(180÷6+180÷9)×2＝100(个)
5115
(180÷6+180÷9)×3÷180=()或（+）×3=
6966
11
1÷（+）＝3.6(天)
96
答:他们两天一共做 100个零件，3天做完这批零件的，合作完成全部零件需要
3.6天。
举一反三：一批零件，甲单独做要4天完成，乙单独做要8天完成。甲先做了2
天，临时有事，剩下的乙接着做，乙需要几天完成剩下的零件?




潜能开发:两辆货车从甲、乙两地同时相对开出快车行完全程需要20小时，慢
车 行完全程需要30小时。开出15小时后两车相遇。已知快车中途停留4小时，
慢车停留了几小时?





答案
一、1.(1)乘积是1 (2)交换位置 (3)1 没有 假分数 交换
位置 分数 交换位置
2.(1)一份 几分之一 (2)几分之一 3.(2)倒数
11
二、1.a＞c 2. 39×÷＝65(岁)答:奶奶今年65岁
35
11
三、1.举一反三：28÷(- )＝168(km)答：甲、乙两地相距168km。
23
11
2.举一反三：[1 -(×2)]÷＝4(天)答：乙需要4天完成剩下的零件。
48
1991
潜能开发:1-×(15-4)＝ ÷＝13.5(时) 15-13.5＝1.5(时)答:慢
20202030
车停留了1.5小时

4比
一、知识梳理
1.比
(1)意义:( )又叫做两个数的比
(2)各部分名称:“:”叫做比号，在两个数的比中，比号前面的数叫做比的
( )，比号后面的数叫做比的( )比的前项除以后项所得的商，叫做( )
2.比与除法、分数的关系
比的前项相当于分数的分子，除法中的被除数;比号相当于分数的分数线，除
法中的除号;比的后项相当于分数的分母，除法中的除数;比值相当于分数值，
除法中的商
注意:比是一种关系，分数是一个数，除法是一种运算
3.比的基本性质
意义:比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)( )不变
4.化简比
(1)方法:根据比的基本性质进行化简
(2)最简整数比:比的前项和后项只有公因数( )
5.按比分配
已知总量是多少，按照一定的比进行分配
方法一:先求出总份数，再求出各部分量占总量的几分之几，用总量乘各部分
量对应的几分之几，求出各部分的量
方法二:先求出每份是多少，再用每份的量乘各部分量对应的份数，求出各部
分量
二、错题纠正
5
1.有大、小两个水桶，把小桶装满水后全部倒入大桶，只相当于大 桶的，大、
7
小两个水桶的容积的比是(5):(7)。×
[错因分析]本题错在
[正确解答]

2.110g的糖水中含糖10g，糖与水的质量比是(A)。×
A.1:11
B.1:10
C.1:9
[错因分析]本题错在
[正确解答]

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四、典题精讲
甲、乙两地之间的公路长315km，客车和货车同时从两地出 发相向行驶，经过
3.5小时在途中相遇。客车和货车的速度比是4:5，客车和货车每小时各行驶多< br>少千米?
思路分析：在按比分配之前，要弄清是把谁进行分配。速度比是已知的，所以要
先求出它们的速度和，再按比分配。
45
解答 315÷3.5＝90(km) 90×=40（km） 90×=50（km）
4545
答:客车每小时行驶40km，货车每小时行驶50km。
举一反三： 幸福大街8号大院里有4户居民共用一个水表，各户水费按人口数分
摊。甲户4人，乙户3人，丙户6人 ，丁户2人。某月4户共缴水费60元，各
户应分摊水费多少元?




潜能开发：某中学三个年级共有学生1050人，七年级和八年级的人数比为3:4，
八年级和九年级的人数比是6:7，求七、八、九三个年级各有多少学生。






答案
、1.(1)两个数相除 (2)前项 后项 比值 3.比值 4. 1
二、1.大、小桶的关系弄反了 7 5
2.
按比分配中部分与整体的关系没理解 B
三、举一反三:4+3+6+2＝15(人)
436
甲户:60×＝16(元)乙户:60×＝12(元)丙户:60×＝24(元)

151515
2
＝8(元)
15
答:甲户应分摊水费16元， 乙户应分摊水费12元，丙户应分摊水费24元，丁户
应分摊水费8元。
9
潜能开发:七、八、九年级的人数比是9：12：14 七年级1050×=270
9+12+14
（人）
1214
八年级:105×＝360(人) 九年级:1050×＝420(人)
9+12+149+12+14
9+12+14
答:七年级有学生270人，八年级有学生360人，九年级有学生420人。
丁户:60×

5圆
一、知识梳理
1.圆的认识
(1) 概念:用圆规画圆时，针尖所在的点叫做( )，一般用字母( )表示;连
接圆心和圆上任意一点的线段叫做( )，一般用字母( )表示;半径的长度就
是圆规( )之间的距离；通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做( ）一
般用字母( )表示
(2)圆心确定圆的位置，半径或直径决定了圆的( )
(3)圆有( )条对称轴
2.圆的周长
(1) 意义:围成圆的曲线的长是圆的周长，一般用字母C表示
(2)圆周率:任意一个圆的( )与它的( )的比值是一个固定的数
我们把它叫做圆周率，通常用字母π表示
(3)计算方法:C＝( )或C＝( )
3.圆的面积
(1) 圆的面积计算方法:S＝( )或S＝( )
(2)圆环的面积计算方法:S＝( )(R为外圆半径，r为内圆半径)
(2) 方中圆与圆中方，求正方形与圆中间部分的面积的方法:分别求出圆与正
方形的面积，再求差
注意:看清图形中所标出的数据是否为计算面积公式所需的条件
4.扇形
概念:一条弧和经过这条弧两端的两条( )所围成的图形叫做扇形，顶点
在圆心的角叫做圆心角
二、错题纠正
1.一个圆半径扩大到原来的3倍，直径扩大到原来的(3)倍，周长扩大到原来
(3)倍，面积扩大到原来的(3)倍。
[错因分析]本题错在
[正确解答]


2.在长8cm，宽6cm的长方形内画一个最大的半圆，这个半圆的面积是多少平方
厘米?
222
3.14×6÷2＝56.52(cm)答:这个半圆的面积是56.52cm。
[错因分析]本题错在
[正确解答]

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三、典题精讲
1一辆自行车轮胎的外直径是60cm，如果平均每分钟转100圈，通过长约 1670m
的武汉长江大桥，大约需要多少分钟?(自行车车身长度忽略不计，得数保留整数)
思路分析：自行车轮胎转动行驶是关于圆的周长问题，每分钟转100圈，那么1
分钟行驶的距离就是 速度，要通过的桥长是行驶的路程，这样已知路程和速度就
能求时间了。

解答：轮胎一周周长:60×π＝60π(cm)
每分钟行驶路程:60π×100＝6000π(cm) 6000πcm＝60πm
通过大桥大约需要的时间:1670÷(60π)≈9(分)
答:大约需要9分钟。

举一反三：一条长47.1m的路上，小明在滚铁环，铁环直径为30cm，从路的一端
滚到另一端，铁环要转多少圈?






潜能开发：下图中圆和长方形的面积相等。圆周长的一半和长方形的长相等，都
是9.42cm。长方形的宽是多少厘米?

2.如图 ，在正方形内做一个最大的圆，再在这个圆内做一个最大的正方形，这时
圆外正方形与圆内正方形的面积 比是多少? 思
路分析：这是“方中圆”与“圆中方”结合的图形，求
大、小正方形的
积比，可以用面积公式进行推导和演算。
答：圆的半径是r，S
大正方形
＝ (2r)
2
＝4r
2

1
×2＝2r
2

正方形
＝2r·r×
2
S
大正方形
:S
小正方形< br>＝4r
2
:r
2
＝2:1
答:圆外正方形与圆内正方形的面积比是2:1
面
解
S
小

举一反三：如图，圆的面积是12.56cm
2
，大正方形的面积是( )，小正方形
的面积是( )



潜能开发：用三根长度相等的绳
子(都是1.84m)，借助一面墙， 分别围出甲、乙、丙三块地(如下图)。甲是长方
形，且长是宽的2倍;乙是半圆;丙是正方形。把三块 地按面积从小到大排列
是:( )＜( )＜( );最大一块地的面积是( )m
2
答案
一、1.(1)圆心 O 半径 r 两个脚 直径 d (2)大小
(3)无数 2.(2)周长 直径 (3)πd 2πr
d
3.(1)πr
2
π（）
2
(2)π(R
2
-r
2
) 4.半径
2
二、1，将圆面积扩大的倍数等同于半径、直径、周长扩大的倍数 3 3 9
2.最大的半圆对应的直径应该是长方形的长，而不是宽，计算半圆面积时，把直
径当半径代入公式
3.14×(8÷2)
2
÷2＝25.12(cm
2
) 答:这个半圆的面积是25.12cm
2

三、1.举一反三:3.14×30＝94.2(cm) 94.2cm＝0.942m 47.1÷0.942＝50(圈)
答:铁环要转50圈。
潜能开发:9.42×2÷3.14÷2＝3(cm) 3
2
×3.14÷9.42＝3(cm)
答:长方形的宽是3cm。
2.举一反三:16cm
2
8cm
2
潜能开发：丙 甲 乙 56.52

6百分数(一)
一、知识梳理
1.百分数
(1)意义:百分数表示一个数是另一个数的百分之几。百分数又叫做( )或( )
(2)读、写法读百分数时，先读“％”，再读分子;写百分数时，通常不写成分数
形式，在原来的分子后面加“％”来表示
2.百分数和分数、小数的互化
(1)小数化成百分数:小数点向右移动两位，同时在后面添上( ）
百分数化成小数:去掉百分号，小数点( )移动两位
(2)分数化成百分数:分子除以分母，化成( )，再化成百分数
百分数化成分数:写成分母是100的分数，约分化简成( ）
3.用百分数解决问题
(1)常见的百分率问题
出勤率＝( )合格率＝( )
(2)求一个数的百分之几是多少
方法:单位“1”的量×百分率=百分率对应的量
(3)求一个数比另一个数多(或少)百分之几
方法:两个数量的差÷单位“1”的量＝多(或少)百分之几
(4)求比一个数多(或少)百分之几的数是多少
方法:一个数×(1±百分率)＝另一个数
(5)求一个数连续两次增减变化的问题
方法:单位“1”有两个，一个数×(1±百分率)(1±百分率)＝两次增减变化后的
量
二、错题纠正
1.六(1)班在一次体育测试中，有33人达标，2人没有达标，这个班的达标率是
多少?
(33-2)÷33×100％≈93.94％答:这个班的达标率是93.94％
[错因分析]本题错在
[正确解答]


2.服装店衣服现价是 原价的60％，妈妈花了180元买了一件衣服，这件衣服的原
价是多少元?
180×60％＝108(元)答:这件衣服的原价是108元。
[错因分析]本题错在
[正确解答]

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三、典题精讲
商场“ 双十一”促销活动中，一件上衣降价20％销售，活动结束后，又涨价
20％，现在的价格与最初相比是 涨了还是降了?变化幅度是多少?
思路分析：本题是求一个数连续两次增减变化的问题，关键是分清两 次增减变化
的单位“1”。可以设具体的数计算，也可以设成单位“1”计算，算完后与原来
比 较，看看是增还是减，就能算出变化幅度。
解答方法一:设原价100元。 方法二:原价为单位“1”。
100×(1-20％)＝80(元) 1(1-20%)×(1+20%)×100%=96%
80×(1+20％)＝96(元) 1-96%=4%
(100-96)÷100=4%
答：现在的价格与最初相比是降了，降低4％。

举一反三：某洗衣机的价格在五一 促销期间比平时降了10％，店庆时价格又比五
一促销时降了5％，这款洗衣机店庆时的价格是平时价格 的百分之几?两次降价共
降了百分之几?






答案
一、1.百分率 百分比 2.(1)百分号 向左 (2)小数 最简分数
出勤人数合格产品数
3.(1)×100％ ×100％
应出勤人数产品总数
二、1部分与整体的关系混淆 33÷(33+2)100％≈94.29％
答这个班的达标率是94.29％
2.没找对单位“1”，把现价当作单位“1”
180÷60％＝300(元)答：这件衣服的原价是300元。
三、举一反三：1×(1-10％)×(1-5％)×100％＝85.5％
1-85.5％＝14.5％
答:这款洗衣机店庆时是平时价格的85.5％两次降价共降了14.5％。

7扇形统计图
一、知识梳理
扇形统计图
意义:用整个圆表示总数，用圆内各个扇形的大小表示各部分占总数的百分数

根据统计图的特点和统计内容的特点，选用合适的统计图
1.条形统计图能够直观地表示数量的多少
2.折线统计图不仅能够表示数量的多少还能看到数量的增减变化情况
3.扇形统计图能够清楚地反映各部分数量与总数之间的关系
二、典题精讲
在学校组织的“环保知识竞赛”中，六年级学生获奖情况如下，图( )能正确
表示出这个统计结果。


思路分析：扇形统计图的主要特点就是 反映各部分数量与总数之间的关系，先根
据统计表算出总人数是120人，再计算每部分占总数的百分之 几，容易得出获得
优秀奖的人数占50％，排除A、D，获得三等奖的人数是获得优秀奖的一半，占25％，依此推出获得一、二等奖的人数占比。
解答：C
举一反三：右图是小明家2017年11月支出情况统计图，这
个月总支出6000元，请解答下面问题。
1.小明家( )支出最多，是( )元。
2.文化教育支出多少元?比购买衣物多多少元?


答案
二、举一反三:1.伙食 2100
2.6000×25％＝1500(元) 1500-6000×20％＝
300(元)
答:文化教育支出1500元，比购买衣物多300元。

8数学广角——数与形
一、知识梳理
数与形
数形结合寻找规律
1，正方形数:1
2
＝1 2
2
＝1+3 3
2
＝1+3+5 4
2
＝( )…
规律:1+3+5+7+…+(2n-1)＝n
2

111111
2. +++++=（ ）=（ ）
248163264
1111
规律:++…+
n
＝1-
n

2422
二、典题精讲


1 1+4=5 1+4+7=12 （ ）
根据图中的规律完成上面的填空。
照这样画下去，第5幅图共有( )个点，8幅图共有( )个点。
思路分析：第1幅图有1个点，第2幅图有1+4＝5(个)点，第3幅图有1+4+7
＝12(个)点，第4幅图有1+4+7+10＝22(个)点，以此类推第n幅图比第(n-1)幅
图多(3n-2)个点。所以第5幅图有1+4+7+10+13＝35(个)点，第8幅图有1+4
+7+10+13+16+19+22＝92(个)点。
解答：(1)1+4+7+10＝22 (2)35 92
举一反三：下面每个图中各有多少个白色小正方形和灰色小正方形?

白色（ ） ( ) ( ) ( )
灰色（ ) ( ) ( ) ( )
照这样画下去，第6个图形有( )个白色小正方形和( )个灰色小正方形;
第10个图形有( )个白色小正方形和( )个灰色小正方形。

答案
一、1. 1+3+5+7 2. 1-
163

6464

二、举一反三:2 4 6 8 10 12 14 16 12 20 20 28