过中秋节作文-华光股份

各单元知识点归纳
第一单元分数乘法
一、分数乘法
(一)分数乘法的意义：
1、分数乘整数与整数乘法的意义相同。都是求几个相同加数的和的简便运算。
1
1
例如：65×5表示求5个65的和是多少? ×5表示求5个的和是多少?
3
3
2、一个数乘分数的意义是求一个数的几分之几是多少。
1
4
1
3
4
3
例如：×表示求的是多少。4×表示求4的是多少.
3
7
3
7
8
8
(二)、分数乘法的计算法则：
1、分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子，分母不变。(整数和分母约分)
2、分数 与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。注意：当带
分数进行乘法计算时，要先把带 分数化成假分数再进行计算。
3、为了计算简便，能约分的要先约分，再计算。（尽量约分，不会约分 的就不约，
常考的质因数有11×11=121；13×13=169；17×17=289；19×1 9=361）
4、小数乘分数，可以先把小数化为分数，也可以把分数化成小数再计算（建议把
小数化分数再计算）。
(三)、 乘法中比较大小的规律
一个数(0除外)乘大于1的数，积大于这个数。
一个数(0除外)乘小于1的数(0除外)，积小于这个数。
一个数(0除外)乘1，积等于这个数。
(四)、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同 。整数乘法的交换律、
结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。

1

乘法交换律： a × b = b × a
乘法结合律： ( a × b )×c = a × ( b × c )
乘法分配律： ( a + b )×c = a c + b c
二、分数乘法的解决问题(已知单位“1”的量(用乘法)，即求单位“1”的几分
之几是多少) 1、画线段图：(1)两个量的关系：画两条线段图，先画单位一的量，注意两条线段
的左边要对齐 。(2)部分和整体的关系：画一条线段图。
2、找单位“1”： 单位“1” 在分数句中分数的前面；或在“占”、“是”、“比”“相
当于”的后面。
3、写数量关系式的技巧：
(1)“的” 相当于 “×” ，“占”、“相当于”“是”、“比”相当于 “ = ”
(2)分数前是“的”字：用单位“1”的量×分数=具体量
1
1
例如：甲数是20，甲数的是多少？列式是：20×
3
3
4、看分数前有没有多或少的问题；分数前是“多或少”的关系式：
（比少）：单位“1”的量×(1-分数)=具体量；
1
例如：甲数是50，乙数比甲数少，乙数是多少？
2
1
列式是：50×（1-）
2
（比多）：单位“1”的量×(1+分数)=具体量
3
例如：小红有30元钱，小明比小红多
5
，小红有多少钱？
3
列式是：50×（1+
5
）
3、求一个数的几倍是多少：用 一个数×几倍；

2

4、求一个数的几分之几是多少： 用一个数×几分之几。
5、求几个几分之几是多少：用几分之几×个数
6、求已知一个部分量是总量的几分之几，求另一个部分量的方法：
(1)、单位“1”的量×(1-分数)=另一个部分量（建议用）
(2)、单位“1”的量-已知占单位“1”的几分之几的部分量=要求的部分量
例如：教材15页做一做和16页练习第七题（题目中有时候会有这种题的关键字“其
中”）

第二单元位置与方向（二）

一、确定物体位置的方法：1、先找观测点 ；2、再定方向（看方向夹角的度数）；3、
最后确定距离（看比例尺）
二、描绘路线图的关键是选好观测点，建立方向标，确定方向和路程。
三、位置关系的相对性 ：1、两地的位置具有相对性在叙述两地的位置关系时，观
测点不同，叙述的方向正好相反，而度数和距 离正好相等。
四、相对位置：东--西；南--北；南偏东--北偏西。
第三单元分数除法

三、倒数
1、倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数。
强调：互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们互相依存，倒数不能单独存在。 (要
说清谁是谁的倒数)。
2、求倒数的方法：

3

(1)、求分数的倒数：交换分子分母的位置。
(2)、求整数的倒数：把整数看做分母是1的分数，再交换分子分母的位置。
(3)、求带分数的倒数：把带分数化为假分数，再求倒数。
(4)、求小数的倒数： 把小数化为分数，再求倒数。
3、 1的倒数是1； 因为1×1=1；0没有倒数，因为0乘任何数都得0，(分
母不能为0)
4、真分数的倒数大于1;假分数的倒数小于或等于1;带分数的倒数小于1。
222
11< br>5、运用，a×=b×求a和b是多少。把a×=b×看成等于1,也就是求的
333
4 4
1
倒数和求的倒数。
4
1、分数除法的意义：
乘法： 因数 × 因数 = 积
除法： 积 ÷ 一个因数 = 另一个因数
分数除法与整数除 法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数，求另一
个因数的运算。
33
11
例如：÷意义是：已知两个因数的积是与其中一个因数，求另一个因数
55
22< br>的运算。
2、分数除法的计算法则：
除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。
3、分数除法比较大小时的规律：
(1)当除数大于1，商小于被除数;
(2)当除数小于1(不等于0)，商大于被除数;
(3)当除数等于1，商等于被除数。

4

“[ ]”叫做中括号。一个算式里，如果既有小括号，又有中括号，要先算小括
号里面的， 再算中括号里面的。
二、分数除法解决问题
1，解法：(1)方程： 根据数量关系式设未知量为X（一般把单位1设为X），用方
程解答。
解：设未知量为X （一定要解设）,再列方程 用 X×分数=具体量
例如：公鸡有20只，是母鸡只数的
1
3
，母鸡有多少只。（单位一是母鸡只数，单位
一未知.）解：设母鸡有X只。列方 程为：X×
1
3
=20
(2)算术(用除法)：单位“1”的量未知用除法：
即已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1”的量。
分数对应量÷对应分数 = 单位“1”的量
例如：公鸡有20只，是母鸡只数的
1
3
，母鸡有多少只。 （单位一是母鸡只数，单位
一未知，）用除法，列式是：20÷
1
3

2、看分数前有没有比多或比少的问题；
分数前是“多或少”的关系式：
（比少）：具体量÷ (1-分数)= 单位“1”的量；
例如:桃树有50棵，比苹果树少
1
6
，苹果树有多少棵。
列式是：50÷（1-
1
6
）
（比多）：具体量 ÷ (1+分数)= 单位“1”的量
例如:一种商品现在是80元，比原价增加了
1
7
，原价多少？

5

1
列式是：80÷（1+）
7
3、求一个数是另一个数的几分之几是多少： 用一个数除以另一个数，结果写为
分数形式。
例如:男生有20人，女生有15人，女生人数占男生人数的几分之几。
15
3
列式是：15÷20==
20
4
4、求一个数比另一个数多几分之几的方法：
用两个数的相差量÷单位“1”的量 =分数
即①求一个数比另一个数多几分之几：用（大数–小数） ÷另一个数（比那个数
就除以那个数），结果写为分数形式。
2
例如：5比3多几分之几？（5－3）÷3=
3
②求一个数比另一个数少几分之几：用（大数–小数） ÷另一个数（比那个数就
除以那个数），结果写为分数形式。
2
例如：3比5少几分之几？（5－3）÷5=
5
说明：多几分之几不等于少几分之几，因为单位一不同。
5、工程问题：把工作总 量看作单位“1”，合做多长时间完成一项工程用1÷工作
111
效率和，即1÷（+），（工 作效率=）
A时间B时间时间
例如：一项工程甲单独做要5天完成，乙单独做要10天完成， 甲单独做要3天完
111
成，三人合做几天可以完成？列式：1÷（
5
+10
+
3
）



6

第四单元比
(一)、比的意义
1、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。
2、在两个数的比中，比号前面的数叫做比的 前项，比号后面的数叫做比的后项。
比的前项除以后项所得的商，叫做比值。
3
例如 15 ：10 = 15÷10=(比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示)
2
3
15 ∶ 10 ＝
2
前项 比号 后项 比值
3、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系。例：长是宽的几倍。
也可以表示两个不同量的比，得到一个新量。例： 路程÷速度=时间。
4、区分比和比值
比：表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。
比值：相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。
5、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。
6、 比和除法、分数的联系：
比 前 项 比号“：”
除号“÷”
后 项 比值
除 数 商
分 母 分数值
除 法 被除数
分 数 分 子 分数线“—”
7、比和除法、分数的区别：除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个数的关
系。
8、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为0。
9、体育比赛中出现两队的分是2：0等，这只是一种记分的形式，不表示两个数相

7

除的关系。
10、求比值：用前项除以后项，结果最好是写为分数（不会约分的就不约分）
3
15
例如：15∶ 10 ＝15÷10＝＝
2
10
(二)、比的基本性质
1、根据比、除法、分数的关系：
商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外)，商不变。
分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时(0除外)，分数值不
变。
比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变。
2、最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整
数比。
3、根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。
4.化简比：
①两个整数比：用比的前项和后项同时乘分母的最大公因数。
②两个分数比：用前项和后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整数比的方法
化简。
③两个小数比：比的前项和后项同时向右移动小数点的位置，要移几位都移几位，
先化成整数比再化简 。
④一个分数和一个整数的比：分数和整数同时乘分数的分母，把分数化成整数再化
简。 < br>⑤一个小数和一个分数的比：先把小数化成分数（能约分的先约分），再按化简分
数比的方法化简 。


8

(2)用求比值的方法。注意： 最后结果要写成比的形式。
3
15
例如： 15∶10 = 15÷10 =＝ = 3∶2
2
10
3
还可以15∶10 = 15÷10 = 最简整数比是3∶2
2
5、比中有单位的，化简和求比值时要把单位化相同再化简和求比值， 结果没有单
位。
6.按比例分配：把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按 比例分
配。一般有两种解题法
１，用分率（分数）解:按比例分配通常把总量看作单位一，即 转化成分数。要先
求出总份数，再求出几份占总份数的几分之几，最后再用总量分别乘几分之几。
例如：有糖水25克，糖和水的比为1:4，糖和水分别有几克？
1144
1+4=5 糖占 用 25×得到糖的数量，水占 用 25×得到水的数量。
5555
2，用份数解：要先求出总份数，再求出每一份是多少，最后分别求出几份是多少。
例如：有糖水25克，糖和水的比为1:4，糖和水分别有几克？
糖和水的份数一共有1+4=5， 一份就是25÷5=5，糖有1份就是5×1，水有4分
就是5×4
第六单元百分数
一、百分数的意义和写法
（一）、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。百分数 是指的两个数
的比，因此也叫百分率或百分比。
（二）、百分数和分数的主要联系与区别：
联系：都可以表示两个量的倍比关系。
区别：①、意义不同：百分数只表示两个数的倍比关系，不能表示具体的数量，所

9

以不能带单位;
分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，表示具体数时可以带单位。
②、百分数的分子可以是整数，也可以是小数;
分数的分子不能是小数，只能是除0以外的自然数。
3、百分数的写法：通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“%”来表示，读
作百分之。
二、百分数和分数、小数的互化
(一)百分数与小数的互化：
1、小数化成百分数：把小数点向右移动两位（数位不够用0补足），同时在后面添
上百分号。
2. 百分数化成小数：把小数点向左移动两位（数位不够用0补足），同时去掉百分
号。
(二)百分数的和分数的互化
1、百分数化成分数：先把百分数改写成分母是100的分数，能约分要约成最简分
数。
2、分数化成百分数：
① 用分数的基本性质，把分数分母扩大或缩小成分母是100的分数 ，再写成百分
数形式。②先把分数化成小数(除不尽时，通常保留三位小数)，再把小数化成百分
数。（建议用这种方法）
三、用百分数解决问题
(一)一般应用题
1、常见的百分率的计算方法：

10

一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%，出米率、出油率达
不到1 00%，完成率、增长了百分之几等可以超过100%。
2、求一个数是另一个数的百分之几用一个数除以另一个数，结果写为百分数形式。
例如：例如:男生有20人，女生有15人，女生人数占男生人数的百分之几。
列式是：15÷20=1520=75﹪
3、已知单位“1”的量(用乘法)，求单位“1 ”的百分之几是多少的问题，数量关
系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：
(1)百分率前是“的”： 单位“1”的量×百分率=百分率对应量
(2百分率前是“多或少”的数量关系：
单位“1”的量×(1±百分率)=百分率对应量
4、未知单位“1”的量(用除法)，已知单位“1”的百分之几是多少，求单位“1”。
方法与分数的方法相同。
解法： (1)方程： 根据数量关系式设未知量为X，用方程解答。
(2)算术(用除法)： 百分率对应量÷对应百分率 = 单位“1”的量
5、求一个数比另一个数多(少)百分之几的方法与分数的方法相同。只是结果要 写
为百分数形式。看百分率前有没有比多或比少的问题；
百分率前是“多或少”的关系式：
（比少）：具体量÷ (1-百分率)= 单位“1”的量；

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例如:大米有50千克，比面粉树少50﹪，面粉有多少千克。
列式是：50÷（1-50﹪）
（比多）：具体量 ÷ (1+百分率)= 单位“1”的量
例如:工人做110个零件，比原计划多做了10﹪，原计划做多少个？
列式是：110÷（1+10﹪）
6、求一个数比另一个数多百分之几的方法：方法与分数的方法相同。
用两个数的相差量÷单位“1”的量 =百分之几
即①求一个数比另一个数多百分之几：用（大数–小数） ÷另一个数（比那个数
就除以那个数），结果写为百分数形式。
甲比乙多几分之几的问题，方法A，（甲-乙）÷乙 （建议用）
方法B，甲÷乙-100﹪
例如：老师计划改40本作业，实际改了50本，实际比计划多改了百分之几？
列式是：（50－40）÷40=0.25=25﹪
②求一个数比另一个数少几分之几：用（大数–小数） ÷另一个数（比那个数就
除以那个数），结果写为百分数形式。
乙比甲少几分之几的问题，方法A,（甲-乙）÷甲（建议用）
方法B， 100﹪-乙÷甲
例如：张三家用了100度电，李四家用了90度电，李四家比张三家少用百分之几？
（100－90）÷100=0.1=10﹪
说明：多百分之几不等于少百分之几，因为单位一不同。
7、如果甲比乙多或少a﹪，求乙比甲少或多百分之几，用a﹪÷（1±a﹪）
8、求价格先 降a﹪又上升a﹪后的价格：1×（1-a﹪）×（1+a﹪）（假设原来的价
格为“1”。求变化幅度 （求降价后的价格是涨价后价格的百分之几）用1-降价后

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第五单元圆的认识
一、认识圆形
1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。
2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕 相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。
一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等.
3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。把圆规
两脚分开，两脚之间 的距离就是圆的半径。
4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。直 径
是一个圆内最长的线段。
5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
6、在同 一个圆内或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等，
所有的直径都相等。
7.在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的。用字母表
示为：d=2r或r= d÷2
8、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这
个图 形是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。
9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。
10、只有1条对称轴的图形有： 角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆;只有2
条对称轴的图形是： 长方形;只有3条对称轴的图形是： 等边三角形;只有4条对
称轴的图形是： 正方形;有无数条对称轴的图形是： 圆、圆环。
１１、画对称轴要用铅笔画，同时要用尺子（三角板 ）画出虚线，这条虚线两端要
超出图形一点。

13
1
2

二、圆的周长
1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表示。
3、圆周率：任意一个圆 的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做
圆周率。用字母π(pai) 表示。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家
祖冲之。
(1)、一个圆的周长总是 它直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。圆周率
π是一个无限不循环小数。在计算时，一般取π ≈ 3.14。
(2)、在判断时，圆周长与它直径的比值是π倍，而不是3.14倍。
4、圆的周长公式： 圆的周长等于圆周率乘直径用字母表示C= πd 或圆的周长等
于２乘圆周率乘半径，用字母表示C=2πr
(1)、已知圆的周长求直径用圆的周长除以圆周率，用字母表示d = C ÷π
(2)、已知圆的周长求半径用圆的周长除以圆周率的２倍字母表示 r = C ÷ 2π
5、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。在一个长方形
里画一个最大的圆，圆 的直径等于长方形的宽。
6、区分周长的一半和半圆的周长：
(1)、半圆弧的周长（周长的一半）：等于圆的周长÷2
计算方法：2π r ÷ 2 即C半= π r
(2)半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。 计算方法：半圆的周长=5.14 r （推
导过程C半=2π r ÷ 2+d=πr+d=πr+2r =5.14 r）
三、圆的面积
1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。 用字母S表示。
2、圆面积公式的推导： (1)把一个圆等分(偶数份)成的扇形份数越多，拼成的图像
越接近长方形。长方形的长相当于圆的周 长的一半，长方形的宽相当于圆的半径。

14

(2)拼出的图形与圆的周长和半径的关系。

圆的半径 = 长方形的宽
圆的周长的一半 = 长方形的长
3、圆面积的计算方法：因为：长方形面积 = 长 ×宽
所以：圆的面积 = 圆周长的一半 × 圆的半径
即S圆 = Ｃ÷2× r＝πr × r＝πr
2
圆的面积公式：S圆 =πr
4、环形的面积：一个环形，外圆的半径用字母R表示，内圆的半径用字母r表示。
S
环
= πR-πr或环形的面积公式：S环 = π(R-r)（建议用这个公式）。
2222
2
5、一个圆，半径扩大或缩小多少倍 ，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面
积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。
例如： 在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径和周长就都扩大3倍，而面积扩大
3的平方倍得到9倍。
6、两个圆： 半径比 = 直径比 = 周长比；而面积比等于这比的平方。
例如：两个圆 的半径比是2∶3，那么这两个圆的直径比和周长比都是2∶3，而面
积比是4∶9
7、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即：4∶π
8、当长方形，正方 形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积
最小。反之，面积相同时，长方形的周长最 长，正方形居中，圆的周长最短。
9、常用各π值结果：π = 3.14；2π = 6.28 ；5π=15.7

15

10、外方内圆（内切圆）公式S=S正-S圆或S=0.86r。
2
11、外圆内 方（外切圆）：把正方形看成两个面积相等的三角形，三角形的底就是
直径，高是半径，公式S=S圆- S正=S圆-dr或S=1.14r
2
12、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图 形叫做扇形。顶点在圆心的角
叫做圆心角。扇形的面积与圆心角大小和半径长短有关。
13、S扇=S圆×
n
；S
360
扇环=S环×
n

360
14、求阴影部分的面积：S阴影=大图形的面积- 小图形的面积，也可用割补法把阴
影部分组合成一个图形。

第七单元：扇形统计图

一、扇形统计图的意义：用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示各部
分 数量同总数之间的关系。也就是各部分数量占总数的百分比(因此也叫百分比
图)。
二、常用统计图的优点：
1、条形统计图：可以清楚的看出各种数量的多少。
2、折线统计图：不仅可以看出各种数量的多少，还可以清晰看出数量的增减变化
情况。 3、扇形统计图：能够清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系。（要在统计图上
写出百分率）
四、应用：1.会观察统计图。 2、你得到什么数学信息？
回答①、***占总体的百分之几；②、**占的百分比最多，**占的百分比最少；
3、你还能提什么数学问题：**和**一共占百分之几。

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各单元知识点归纳
第一单元分数乘法
一、分数乘法
(一)分数乘法的意义：
1、分数乘整数与整数乘法的意义相同。都是求几个相同加数的和的简便运算。
1
1
例如：65×5表示求5个65的和是多少? ×5表示求5个的和是多少?
3
3
2、一个数乘分数的意义是求一个数的几分之几是多少。
1
4
1
3
4
3
例如：×表示求的是多少。4×表示求4的是多少.
3
7
3
7
8
8
(二)、分数乘法的计算法则：
1、分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子，分母不变。(整数和分母约分)
2、分数 与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。注意：当带
分数进行乘法计算时，要先把带 分数化成假分数再进行计算。
3、为了计算简便，能约分的要先约分，再计算。（尽量约分，不会约分 的就不约，
常考的质因数有11×11=121；13×13=169；17×17=289；19×1 9=361）
4、小数乘分数，可以先把小数化为分数，也可以把分数化成小数再计算（建议把
小数化分数再计算）。
(三)、 乘法中比较大小的规律
一个数(0除外)乘大于1的数，积大于这个数。
一个数(0除外)乘小于1的数(0除外)，积小于这个数。
一个数(0除外)乘1，积等于这个数。
(四)、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同 。整数乘法的交换律、
结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。

1

乘法交换律： a × b = b × a
乘法结合律： ( a × b )×c = a × ( b × c )
乘法分配律： ( a + b )×c = a c + b c
二、分数乘法的解决问题(已知单位“1”的量(用乘法)，即求单位“1”的几分
之几是多少) 1、画线段图：(1)两个量的关系：画两条线段图，先画单位一的量，注意两条线段
的左边要对齐 。(2)部分和整体的关系：画一条线段图。
2、找单位“1”： 单位“1” 在分数句中分数的前面；或在“占”、“是”、“比”“相
当于”的后面。
3、写数量关系式的技巧：
(1)“的” 相当于 “×” ，“占”、“相当于”“是”、“比”相当于 “ = ”
(2)分数前是“的”字：用单位“1”的量×分数=具体量
1
1
例如：甲数是20，甲数的是多少？列式是：20×
3
3
4、看分数前有没有多或少的问题；分数前是“多或少”的关系式：
（比少）：单位“1”的量×(1-分数)=具体量；
1
例如：甲数是50，乙数比甲数少，乙数是多少？
2
1
列式是：50×（1-）
2
（比多）：单位“1”的量×(1+分数)=具体量
3
例如：小红有30元钱，小明比小红多
5
，小红有多少钱？
3
列式是：50×（1+
5
）
3、求一个数的几倍是多少：用 一个数×几倍；

2

4、求一个数的几分之几是多少： 用一个数×几分之几。
5、求几个几分之几是多少：用几分之几×个数
6、求已知一个部分量是总量的几分之几，求另一个部分量的方法：
(1)、单位“1”的量×(1-分数)=另一个部分量（建议用）
(2)、单位“1”的量-已知占单位“1”的几分之几的部分量=要求的部分量
例如：教材15页做一做和16页练习第七题（题目中有时候会有这种题的关键字“其
中”）

第二单元位置与方向（二）

一、确定物体位置的方法：1、先找观测点 ；2、再定方向（看方向夹角的度数）；3、
最后确定距离（看比例尺）
二、描绘路线图的关键是选好观测点，建立方向标，确定方向和路程。
三、位置关系的相对性 ：1、两地的位置具有相对性在叙述两地的位置关系时，观
测点不同，叙述的方向正好相反，而度数和距 离正好相等。
四、相对位置：东--西；南--北；南偏东--北偏西。
第三单元分数除法

三、倒数
1、倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数。
强调：互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们互相依存，倒数不能单独存在。 (要
说清谁是谁的倒数)。
2、求倒数的方法：

3

(1)、求分数的倒数：交换分子分母的位置。
(2)、求整数的倒数：把整数看做分母是1的分数，再交换分子分母的位置。
(3)、求带分数的倒数：把带分数化为假分数，再求倒数。
(4)、求小数的倒数： 把小数化为分数，再求倒数。
3、 1的倒数是1； 因为1×1=1；0没有倒数，因为0乘任何数都得0，(分
母不能为0)
4、真分数的倒数大于1;假分数的倒数小于或等于1;带分数的倒数小于1。
222
11< br>5、运用，a×=b×求a和b是多少。把a×=b×看成等于1,也就是求的
333
4 4
1
倒数和求的倒数。
4
1、分数除法的意义：
乘法： 因数 × 因数 = 积
除法： 积 ÷ 一个因数 = 另一个因数
分数除法与整数除 法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数，求另一
个因数的运算。
33
11
例如：÷意义是：已知两个因数的积是与其中一个因数，求另一个因数
55
22< br>的运算。
2、分数除法的计算法则：
除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。
3、分数除法比较大小时的规律：
(1)当除数大于1，商小于被除数;
(2)当除数小于1(不等于0)，商大于被除数;
(3)当除数等于1，商等于被除数。

4

“[ ]”叫做中括号。一个算式里，如果既有小括号，又有中括号，要先算小括
号里面的， 再算中括号里面的。
二、分数除法解决问题
1，解法：(1)方程： 根据数量关系式设未知量为X（一般把单位1设为X），用方
程解答。
解：设未知量为X （一定要解设）,再列方程 用 X×分数=具体量
例如：公鸡有20只，是母鸡只数的
1
3
，母鸡有多少只。（单位一是母鸡只数，单位
一未知.）解：设母鸡有X只。列方 程为：X×
1
3
=20
(2)算术(用除法)：单位“1”的量未知用除法：
即已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1”的量。
分数对应量÷对应分数 = 单位“1”的量
例如：公鸡有20只，是母鸡只数的
1
3
，母鸡有多少只。 （单位一是母鸡只数，单位
一未知，）用除法，列式是：20÷
1
3

2、看分数前有没有比多或比少的问题；
分数前是“多或少”的关系式：
（比少）：具体量÷ (1-分数)= 单位“1”的量；
例如:桃树有50棵，比苹果树少
1
6
，苹果树有多少棵。
列式是：50÷（1-
1
6
）
（比多）：具体量 ÷ (1+分数)= 单位“1”的量
例如:一种商品现在是80元，比原价增加了
1
7
，原价多少？

5

1
列式是：80÷（1+）
7
3、求一个数是另一个数的几分之几是多少： 用一个数除以另一个数，结果写为
分数形式。
例如:男生有20人，女生有15人，女生人数占男生人数的几分之几。
15
3
列式是：15÷20==
20
4
4、求一个数比另一个数多几分之几的方法：
用两个数的相差量÷单位“1”的量 =分数
即①求一个数比另一个数多几分之几：用（大数–小数） ÷另一个数（比那个数
就除以那个数），结果写为分数形式。
2
例如：5比3多几分之几？（5－3）÷3=
3
②求一个数比另一个数少几分之几：用（大数–小数） ÷另一个数（比那个数就
除以那个数），结果写为分数形式。
2
例如：3比5少几分之几？（5－3）÷5=
5
说明：多几分之几不等于少几分之几，因为单位一不同。
5、工程问题：把工作总 量看作单位“1”，合做多长时间完成一项工程用1÷工作
111
效率和，即1÷（+），（工 作效率=）
A时间B时间时间
例如：一项工程甲单独做要5天完成，乙单独做要10天完成， 甲单独做要3天完
111
成，三人合做几天可以完成？列式：1÷（
5
+10
+
3
）



6

第四单元比
(一)、比的意义
1、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。
2、在两个数的比中，比号前面的数叫做比的 前项，比号后面的数叫做比的后项。
比的前项除以后项所得的商，叫做比值。
3
例如 15 ：10 = 15÷10=(比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示)
2
3
15 ∶ 10 ＝
2
前项 比号 后项 比值
3、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系。例：长是宽的几倍。
也可以表示两个不同量的比，得到一个新量。例： 路程÷速度=时间。
4、区分比和比值
比：表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。
比值：相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。
5、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。
6、 比和除法、分数的联系：
比 前 项 比号“：”
除号“÷”
后 项 比值
除 数 商
分 母 分数值
除 法 被除数
分 数 分 子 分数线“—”
7、比和除法、分数的区别：除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个数的关
系。
8、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为0。
9、体育比赛中出现两队的分是2：0等，这只是一种记分的形式，不表示两个数相

7

除的关系。
10、求比值：用前项除以后项，结果最好是写为分数（不会约分的就不约分）
3
15
例如：15∶ 10 ＝15÷10＝＝
2
10
(二)、比的基本性质
1、根据比、除法、分数的关系：
商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外)，商不变。
分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时(0除外)，分数值不
变。
比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变。
2、最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整
数比。
3、根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。
4.化简比：
①两个整数比：用比的前项和后项同时乘分母的最大公因数。
②两个分数比：用前项和后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整数比的方法
化简。
③两个小数比：比的前项和后项同时向右移动小数点的位置，要移几位都移几位，
先化成整数比再化简 。
④一个分数和一个整数的比：分数和整数同时乘分数的分母，把分数化成整数再化
简。 < br>⑤一个小数和一个分数的比：先把小数化成分数（能约分的先约分），再按化简分
数比的方法化简 。


8

(2)用求比值的方法。注意： 最后结果要写成比的形式。
3
15
例如： 15∶10 = 15÷10 =＝ = 3∶2
2
10
3
还可以15∶10 = 15÷10 = 最简整数比是3∶2
2
5、比中有单位的，化简和求比值时要把单位化相同再化简和求比值， 结果没有单
位。
6.按比例分配：把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按 比例分
配。一般有两种解题法
１，用分率（分数）解:按比例分配通常把总量看作单位一，即 转化成分数。要先
求出总份数，再求出几份占总份数的几分之几，最后再用总量分别乘几分之几。
例如：有糖水25克，糖和水的比为1:4，糖和水分别有几克？
1144
1+4=5 糖占 用 25×得到糖的数量，水占 用 25×得到水的数量。
5555
2，用份数解：要先求出总份数，再求出每一份是多少，最后分别求出几份是多少。
例如：有糖水25克，糖和水的比为1:4，糖和水分别有几克？
糖和水的份数一共有1+4=5， 一份就是25÷5=5，糖有1份就是5×1，水有4分
就是5×4
第六单元百分数
一、百分数的意义和写法
（一）、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。百分数 是指的两个数
的比，因此也叫百分率或百分比。
（二）、百分数和分数的主要联系与区别：
联系：都可以表示两个量的倍比关系。
区别：①、意义不同：百分数只表示两个数的倍比关系，不能表示具体的数量，所

9

以不能带单位;
分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，表示具体数时可以带单位。
②、百分数的分子可以是整数，也可以是小数;
分数的分子不能是小数，只能是除0以外的自然数。
3、百分数的写法：通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“%”来表示，读
作百分之。
二、百分数和分数、小数的互化
(一)百分数与小数的互化：
1、小数化成百分数：把小数点向右移动两位（数位不够用0补足），同时在后面添
上百分号。
2. 百分数化成小数：把小数点向左移动两位（数位不够用0补足），同时去掉百分
号。
(二)百分数的和分数的互化
1、百分数化成分数：先把百分数改写成分母是100的分数，能约分要约成最简分
数。
2、分数化成百分数：
① 用分数的基本性质，把分数分母扩大或缩小成分母是100的分数 ，再写成百分
数形式。②先把分数化成小数(除不尽时，通常保留三位小数)，再把小数化成百分
数。（建议用这种方法）
三、用百分数解决问题
(一)一般应用题
1、常见的百分率的计算方法：

10

一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%，出米率、出油率达
不到1 00%，完成率、增长了百分之几等可以超过100%。
2、求一个数是另一个数的百分之几用一个数除以另一个数，结果写为百分数形式。
例如：例如:男生有20人，女生有15人，女生人数占男生人数的百分之几。
列式是：15÷20=1520=75﹪
3、已知单位“1”的量(用乘法)，求单位“1 ”的百分之几是多少的问题，数量关
系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：
(1)百分率前是“的”： 单位“1”的量×百分率=百分率对应量
(2百分率前是“多或少”的数量关系：
单位“1”的量×(1±百分率)=百分率对应量
4、未知单位“1”的量(用除法)，已知单位“1”的百分之几是多少，求单位“1”。
方法与分数的方法相同。
解法： (1)方程： 根据数量关系式设未知量为X，用方程解答。
(2)算术(用除法)： 百分率对应量÷对应百分率 = 单位“1”的量
5、求一个数比另一个数多(少)百分之几的方法与分数的方法相同。只是结果要 写
为百分数形式。看百分率前有没有比多或比少的问题；
百分率前是“多或少”的关系式：
（比少）：具体量÷ (1-百分率)= 单位“1”的量；

11

例如:大米有50千克，比面粉树少50﹪，面粉有多少千克。
列式是：50÷（1-50﹪）
（比多）：具体量 ÷ (1+百分率)= 单位“1”的量
例如:工人做110个零件，比原计划多做了10﹪，原计划做多少个？
列式是：110÷（1+10﹪）
6、求一个数比另一个数多百分之几的方法：方法与分数的方法相同。
用两个数的相差量÷单位“1”的量 =百分之几
即①求一个数比另一个数多百分之几：用（大数–小数） ÷另一个数（比那个数
就除以那个数），结果写为百分数形式。
甲比乙多几分之几的问题，方法A，（甲-乙）÷乙 （建议用）
方法B，甲÷乙-100﹪
例如：老师计划改40本作业，实际改了50本，实际比计划多改了百分之几？
列式是：（50－40）÷40=0.25=25﹪
②求一个数比另一个数少几分之几：用（大数–小数） ÷另一个数（比那个数就
除以那个数），结果写为百分数形式。
乙比甲少几分之几的问题，方法A,（甲-乙）÷甲（建议用）
方法B， 100﹪-乙÷甲
例如：张三家用了100度电，李四家用了90度电，李四家比张三家少用百分之几？
（100－90）÷100=0.1=10﹪
说明：多百分之几不等于少百分之几，因为单位一不同。
7、如果甲比乙多或少a﹪，求乙比甲少或多百分之几，用a﹪÷（1±a﹪）
8、求价格先 降a﹪又上升a﹪后的价格：1×（1-a﹪）×（1+a﹪）（假设原来的价
格为“1”。求变化幅度 （求降价后的价格是涨价后价格的百分之几）用1-降价后

12

第五单元圆的认识
一、认识圆形
1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。
2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕 相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。
一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等.
3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。把圆规
两脚分开，两脚之间 的距离就是圆的半径。
4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。直 径
是一个圆内最长的线段。
5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
6、在同 一个圆内或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等，
所有的直径都相等。
7.在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的。用字母表
示为：d=2r或r= d÷2
8、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这
个图 形是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。
9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。
10、只有1条对称轴的图形有： 角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆;只有2
条对称轴的图形是： 长方形;只有3条对称轴的图形是： 等边三角形;只有4条对
称轴的图形是： 正方形;有无数条对称轴的图形是： 圆、圆环。
１１、画对称轴要用铅笔画，同时要用尺子（三角板 ）画出虚线，这条虚线两端要
超出图形一点。

13
1
2

二、圆的周长
1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表示。
3、圆周率：任意一个圆 的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做
圆周率。用字母π(pai) 表示。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家
祖冲之。
(1)、一个圆的周长总是 它直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。圆周率
π是一个无限不循环小数。在计算时，一般取π ≈ 3.14。
(2)、在判断时，圆周长与它直径的比值是π倍，而不是3.14倍。
4、圆的周长公式： 圆的周长等于圆周率乘直径用字母表示C= πd 或圆的周长等
于２乘圆周率乘半径，用字母表示C=2πr
(1)、已知圆的周长求直径用圆的周长除以圆周率，用字母表示d = C ÷π
(2)、已知圆的周长求半径用圆的周长除以圆周率的２倍字母表示 r = C ÷ 2π
5、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。在一个长方形
里画一个最大的圆，圆 的直径等于长方形的宽。
6、区分周长的一半和半圆的周长：
(1)、半圆弧的周长（周长的一半）：等于圆的周长÷2
计算方法：2π r ÷ 2 即C半= π r
(2)半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。 计算方法：半圆的周长=5.14 r （推
导过程C半=2π r ÷ 2+d=πr+d=πr+2r =5.14 r）
三、圆的面积
1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。 用字母S表示。
2、圆面积公式的推导： (1)把一个圆等分(偶数份)成的扇形份数越多，拼成的图像
越接近长方形。长方形的长相当于圆的周 长的一半，长方形的宽相当于圆的半径。

14

(2)拼出的图形与圆的周长和半径的关系。

圆的半径 = 长方形的宽
圆的周长的一半 = 长方形的长
3、圆面积的计算方法：因为：长方形面积 = 长 ×宽
所以：圆的面积 = 圆周长的一半 × 圆的半径
即S圆 = Ｃ÷2× r＝πr × r＝πr
2
圆的面积公式：S圆 =πr
4、环形的面积：一个环形，外圆的半径用字母R表示，内圆的半径用字母r表示。
S
环
= πR-πr或环形的面积公式：S环 = π(R-r)（建议用这个公式）。
2222
2
5、一个圆，半径扩大或缩小多少倍 ，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面
积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。
例如： 在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径和周长就都扩大3倍，而面积扩大
3的平方倍得到9倍。
6、两个圆： 半径比 = 直径比 = 周长比；而面积比等于这比的平方。
例如：两个圆 的半径比是2∶3，那么这两个圆的直径比和周长比都是2∶3，而面
积比是4∶9
7、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即：4∶π
8、当长方形，正方 形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积
最小。反之，面积相同时，长方形的周长最 长，正方形居中，圆的周长最短。
9、常用各π值结果：π = 3.14；2π = 6.28 ；5π=15.7

15

10、外方内圆（内切圆）公式S=S正-S圆或S=0.86r。
2
11、外圆内 方（外切圆）：把正方形看成两个面积相等的三角形，三角形的底就是
直径，高是半径，公式S=S圆- S正=S圆-dr或S=1.14r
2
12、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图 形叫做扇形。顶点在圆心的角
叫做圆心角。扇形的面积与圆心角大小和半径长短有关。
13、S扇=S圆×
n
；S
360
扇环=S环×
n

360
14、求阴影部分的面积：S阴影=大图形的面积- 小图形的面积，也可用割补法把阴
影部分组合成一个图形。

第七单元：扇形统计图

一、扇形统计图的意义：用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示各部
分 数量同总数之间的关系。也就是各部分数量占总数的百分比(因此也叫百分比
图)。
二、常用统计图的优点：
1、条形统计图：可以清楚的看出各种数量的多少。
2、折线统计图：不仅可以看出各种数量的多少，还可以清晰看出数量的增减变化
情况。 3、扇形统计图：能够清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系。（要在统计图上
写出百分率）
四、应用：1.会观察统计图。 2、你得到什么数学信息？
回答①、***占总体的百分之几；②、**占的百分比最多，**占的百分比最少；
3、你还能提什么数学问题：**和**一共占百分之几。

16