成长的故事-七年级上册语文复习资料

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与圆相关的计算
一、选择题
︵
1.如图，半圆的圆心为O，直径AB的长为12， C为半圆上一点，∠CAB＝30°，AC的长是( )

A. 12π B. 6π C. 5π D. 4π
2.已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则它的侧面展开图的面积等于（ ）
A．24cm B．48cm C．24πcm D．12πcm
2222
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3.如图，是一圆锥的左视图，根据图中所标数据，圆锥侧面展开图的扇形圆心角的大小为
( )

A. 90° B. 120° C. 135° D. 150°
4.以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角
形，则该三角形的面积是（ ）
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A． B． C． D．

5.如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝23，以直角边AC为直径 作⊙O交AB于点D，则
图中阴影部分的面积是( )
【版权所有：21教育】


15331533
A. －π B. －π
4222
73π73π
C. － D. －
4626
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6.如图，AB，CD是⊙O的两条互相 垂直的直径，点O
1
，O
2
，O
3
，O
4
分别是OA、OB、OC、OD的
中点，若⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为（ ）
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A．8 B．4 C．4π＋4 D．4π－4
二、填空题
7.用一个圆心角为180 °,半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆的半径
为________.
8.如图，把一个圆锥沿母线OA剪开，展开后得到扇形AOC，已知圆锥的高h为12cm，OA=13cm，
则扇形AOC中
AC
的长是 cm；（结果保留

）


9.如图,某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心 ,AB为半径的扇
形(忽略铁丝的粗细),则所得的扇形ABD的面积为________.

10.如图，已知⊙O的半径为2，A为⊙O外一点，过点A作⊙O的一条切线AB，切点是B，AO< br>的延长线交⊙O于点C，若∠BAC=30°，则劣弧的长为 ．
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︵︵
11.如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，以点A为圆心， OA的长为半径作OC交AB于点C.若
OA＝2，则阴影部分面积为________．2

12.如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，边CD在直线l上，将矩形ABCD沿直线l作无 滑动
翻滚，当点A第一次翻滚到点A
1
位置时，点A经过的路线长为________ ．

三、解答题
︵
13.如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为AD中点，连接BM，CM.
(1)求证：BM＝CM；
︵
(2)当⊙O的半径为2时，求BM的长．

14.我市某中学决定在学生中开展丢沙包、打篮球、跳大绳和踢毽球四种项目的活动，为了解
学生对四种项目的喜欢情况，随机调查了该校m名学生最喜欢的一种项目（2016•沈阳）如图，
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在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别 于BC，AC相交于点D，E，BD=CD，过点D作⊙O的切线
交边AC于点F．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为5，∠CDF=30°，求的长（结果保留π）．

15.如 图，AB是以BC为直径的半圆O的切线，D为半圆上一点，AD=AB，AD，BC的延长线相
交于点 E．
（1）求证：AD是半圆O的切线；
（2）连结CD，求证：∠A=2∠CDE；
（3）若∠CDE=27°，OB=2，求的长．

16.如图,在△ABC中,∠ C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,点O在AB上,以点O为圆心,OA
为半径的圆恰好经过 点D,分别交AC,AB于点E,F.2-1-c-n-j-y
(1)试判断直线BC与☉O的位置关系,并说明理由.
(2)若BD=2错误！未找到引用源。,BF=2,求阴影部分的面积(结
果保留π).




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17.如图，CD是⊙O的弦，AB是直径，且CD∥AB，连结AC，AD，OD，其中A C＝CD，过点B
的切线交CD的延长线于E.
(1)求证：DA平分∠CDO；
(2)若AB＝12，求图中阴影部分的周长之和(参考数据：π≈3.1，2≈1.4，3≈1.7)．







18.如图，AB是⊙O 的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得
CD＝BD，连接AC交⊙ O于点F，连接AE，DE，DF.
【来源：21cnj**m】

(1)证明：∠E＝∠C；
(2)若∠E＝55°，求∠BDF的度数；
︵
2
(3)设DE交AB于点G，若DF＝4，COsB＝，E是AB的中点，求EG·ED的值．
3






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参考答案
一、选择题
︵
1.如图，半圆的圆心为O，直径AB的长为12，C为半 圆上一点，∠CAB＝30°，AC的长是( )
A. 12π B. 6π C. 5π D. 4π
︵
120π×6
【解析】如解图，连接OC ，∵OA＝OC，∴∠C＝∠A＝30°，∴∠AOC＝120°，∴AC＝
180
＝4π.

答案：D
2．已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则它的侧面展开图的面积等于（ ）
A．24cm B．48cm C．24πcm D．12πcm
【分析】根据圆锥的侧面积=×底面圆的周长×母线长即可求解．
【解答】解：底面半径为4 cm，则底面周长=8πcm，侧面面积=×8π×6=24π（cm
2
）．
故选：C．
3.如图，是一圆锥的左视图，根据图中所标数据，圆锥侧面展开图的扇形圆心角的大小为
( )
A. 90° B. 120° C. 135° D. 150°
2222

nπRnπ×9
【解析】圆锥的母线长＝（62）＋3＝9， ∵l＝
180
＝2πr，∴
180
＝2π×3，解得n
22
＝120，∴扇形圆心角的度数为120°，
故选B.
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4.以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角
形， 则该三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由于内接正三角形、正方形 、正六边形是特殊内角的多边形，可构造
直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角 形是直角三角
形，进而可得其面积．
【解答】解：如图1，
∵OC=1，
∴OD=1×sin30°=
如图2，
；
∵OB=1，
∴OE=1×sin45°=
如图3，
；
∵OA=1，
∴OD=1×cos30°=，
则该三角形的三边分别为：、、，
∵（）+（
2
）=（
2
），
2
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∴该三角形是以、为直角边，为斜边的直角三角形，
∴该三角形的面积是
故选：D
．
××=，
5.如图，在Rt△A BC中，∠A＝30°，BC＝23，以直角边AC为直径作⊙O交AB于点D，则
图中阴影部分的面积 是( )
15331533
A. －π B. －π
4222
73π73π
C. － D. －
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【解析】如解图，连接OD，过点D作DE⊥AC于点E.在Rt△ABC中，
BC233
tan∠A＝tan30°＝＝＝，∴AC＝6，∴OA＝OC＝3.
ACAC3
∵∠A＝30°，∴∠DOC＝60°.
DEDE3
在Rt△ODE中，OD＝OA＝3，sin60°＝＝＝，
OD32< br>33113360π×31533π
∴DE＝，∴S
阴影
＝S
△ABC
－S
△AOD
－S
扇形OCD
＝×23×6－×3×－＝－，
222236042
故选A.
6.如图，AB，CD是⊙O的两条互相垂直的直径， 点O
1
，O
2
，O
3
，O
4
分别是OA、 OB、OC、OD的
中点，若⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为（ ）
2

A．8 B．4 C．4π＋4 D．4π－4 【解析】扇形面积的计算；圆与圆的位置关系．首先根据已知得出正方形内空白面积，进而
得出扇形 COB中两空白面积相等，进而得出阴影部分面积．【出处：21教育名师】
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【解答】解：如图所示：可得正方形EFMN，边长为2，正方形中两部分阴影面积为：4－π，
∴正方形内空白面积为：4－2（4－π）＝2π－4，
∵⊙O的半径为2，∴O
1
，O
2
，O
3
，O
4
的半径为1，∴小圆的面积为 ：π×1＝π，
扇形COB的面积为：
2
2
＝π，∴扇形COB中两空白面积相等，
∴阴影部分的面积为：π×2－2（2π－4）＝8．

二、填空题
7. 用一个圆心角为180°,半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆的半径
为____ ____.
2-1-c-n-j-y

【解析】设这个圆锥的底面圆的半径为R.由题意:2πR=错误！未找到引用源。,解得R=2.
答案:2
8.如图，把一个圆锥沿母线OA剪开，展开后得到扇形AOC，已知圆锥的高h为 12cm，OA=13cm，
则扇形AOC中
AC
的长是 cm；（结果保留

）
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
【解析】勾股定理，圆锥的侧面展开图，弧长公式。由勾股定理，得圆锥的底面半径为：
13
2
12
2
＝5，扇形的弧长＝圆锥的底面圆周长＝
2

510


答案：
10


9.如图,某数学 兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心,AB为半径的扇
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形(忽略铁丝的粗细),则所得的扇形ABD的面积为________.
【解题指南】由操作方式求出弧长和半径,利用S
扇
=错误！未找到引用源。lr求出结果 .
【解析】∵正方形的边长为5,∴弧BD的长=10,
∴S
扇形ABD
=错误！未找到引用源。lr=错误！未找到引用源。×10×5=25.
答案:25
10 .如图，已知⊙O的半径为2，A为⊙O外一点，过点A作⊙O的一条切线AB，切点是B，AO
的延长 线交⊙O于点C，若∠BAC=30°，则劣弧的长为 ．

【分析】根据已知条件求出圆心角∠BOC的大小，然后利用弧长公式即可解决问题．
【解答】解：∵AB是⊙O切线，
∴AB⊥OB，
∴∠ABO=90°，
∵∠A=30°，
∴∠AOB=90°﹣∠A=60°，
∴∠BOC=120°，
∴的长为
．
=．
故答案为

︵︵
11.如图， 在扇形AOB中，∠AOB＝90°，以点A为圆心，OA的长为半径作OC交AB于点C.若
OA＝2 ，则阴影部分面积为________．2
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【解析】连接OC和AC ，∵OA＝OC，AO＝AC，∴OC＝OA＝AC＝2，
∴△OAC是等边三角形，∴∠AOC＝∠OAC＝60°，
过点O作OE⊥AC于点E，在Rt△OAE中，OE＝OA·sin60°＝3，
60π· 212
∴S
弓形OC
＝S
扇形AOC
－S
△OAC
＝－×2×3＝π－3，
36023
90π·2260π·2π
S
阴影＝S
扇形OBA
－ S
弓形OC
－S
扇形OCA
＝－(π－3)－＝3－.
36033603
π
答案：3－
3
12.如图，矩形ABCD中 ，AB＝4，BC＝3，边CD在直线l上，将矩形ABCD沿直线l作无滑动
翻滚，当点A第一次翻滚 到点A
1
位置时，点A经过的路线长为________．
22
2

90π×4
22
【解析】∵AB＝4，AD＝3，∴矩形对角线＝4＋3＝5，顶点A 所经过的路线长为：
180
＋
90π×590π×3
＋＝6π.
180180
答案： 6π
三、解答题
13.如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为
（1）求证：BM=CM；
（2）当⊙O的半径为2时，求的长．
中点，连接BM，CM．
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【分析】（1）根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可；
（2）根据弧长公式计算．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，
∴=，
中点，
，
=+，即=，
∵M为
∴
∴
=
+
∴BM=CM；
（2）解：∵⊙O的半径为2，
∴⊙O的周长为4π，
∠BOC=360°÷4= 90°，∵BM=CM，∴∠BOM=∠COM=（360°-90°）÷2=135°

∴
3
的长=
8
3
×4π=
2
π．
14.我市某中学决定在学生中开展丢沙包、打篮球、跳大绳和踢毽球四种项目的活动，为了解
学生对四种项目的喜欢情况，随机调查了该校m名学生最喜欢的一种项目（2016•沈阳）如图，
在△ ABC中，以AB为直径的⊙O分别于BC，AC相交于点D，E，BD=CD，过点D作⊙O的切线
交 边AC于点F．


（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为5，∠CDF=30°，求的长（结果保留π）．
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【分析】（1）连接OD，由 切线的性质即可得出∠ODF=90°，再由BD=CD，OA=OB可得出OD
是△ABC的中位线， 根据三角形中位线的性质即可得出，根据平行线的性质即可得出∠CFD=
∠ODF=90°，从而证出 DF⊥AC；


（2）由∠CDF=30°以及∠ODF=90°即可算出∠ODB= 60°，再结合OB=OD可得出△OBD是等边
三角形，根据弧长公式即可得出结论．
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【解答】（1）证明：连接OD，如图所示．

∵DF是⊙O的切线，D为切点，
∴OD⊥DF，
∴∠ODF=90°．
∵BD=CD，OA=OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∴∠CFD=∠ODF=90°，
∴DF⊥AC．
（2）解：∵∠CDF=30°，
由（1）得∠ODF=90°，
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∴∠ODB=180°﹣∠CDF﹣∠ODF=60°．
∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD=60°，
∴的长===π．
1 5.如图，AB是以BC为直径的半圆O的切线，D为半圆上一点，AD=AB，AD，BC的延长线相
交于点E．
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（1）求证：AD是半圆O的切线；
（2）连结CD，求证：∠A=2∠CDE；
（3）若∠CDE=27°，OB=2，求的长．

【分析】（1）连接OD，BD ，根据圆周角定理得到∠ABO=90°，根据等腰三角形的性质得到
∠ABD=∠ADB，∠DBO= ∠BDO，根据等式的性质得到∠ADO=∠ABO=90°，根据切线的判定定理
即可得到即可；2·1·c·n·j·y

（2）由AD是半圆O的切线得到∠ODE=90°，于是得到 ∠ODC+∠CDE=90°，根据圆周角定理
得到∠ODC+∠BDO=90°，等量代换得到∠DO C=2∠BDO，∠DOC=2∠CDE即可得到结论；
（3）根据已知条件得到∠DOC=2∠CD E=54°，根据平角的定义得到∠BOD=180°﹣54°=126°，
然后由弧长的公式即可计算 出结果．
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【解答】（1）证明：连接OD，BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AB⊥BC，即∠ABO=90°，
∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，
∵OB=OD，∴∠DBO=∠BDO，
∴∠ABD+∠DBO=∠ADB+∠BDO，
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∴∠ADO=∠ABO=90°，
∴AD是半圆O的切线；
（2）证明：由（1）知，∠ADO=∠ABO=90°，
∴∠A=360°﹣∠ADO﹣∠ABO﹣∠BOD=180°﹣∠BOD，
∵AD是半圆O的切线，
∴∠ODE=90°，
∴∠ODC+∠CDE=90°，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠ODC+∠BDO=90°，
∴∠BDO=∠CDE，
∵∠BDO=∠OBD，
∴∠DOC=2∠BDO，
∴∠DOC=2∠CDE，
∴∠A=∠CDE；
（3）解：∵∠CDE=27°，
∴∠DOC=2∠CDE=54°，
∴∠BOD=180°﹣54°=126°，
∵OB=2，
∴的长=
7
5
= π．
16.如图 ,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,点O在AB上,以点O为圆心,OA
为半径的圆恰好经过点D,分别交AC,AB于点E,F.
(1)试判断直线BC与☉O的位置关系,并说明理由.
(2)若BD=2错误！未找到引用源。,BF=2,求阴影部分的面积(结
果保留π).
【解析】(1)BC与☉O相切,理由如下:连接OD.
∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠OAD,
又∵∠OAD=∠ODA,
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∴∠CAD=∠ODA,∴OD∥AC,
∴∠BDO=∠C=90°,
∴BC与☉O相切.
(2)设☉O的半径为r,则OD=r,OB=r+2,
由(1)知∠BDO=90°,
∴OD+BD=OB,即r+(2错误！未找到引用源。)=(r+2),
解得r=2. < br>∵tan∠BOD=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,∴∠
BOD=60°,
S
阴影
=S
△OBD
-S
扇形BDF
=错误！未找到引用源。×OD×BD- 错误！未找到引用源。×πr=2错误！未
找到引用源。-错误！未找到引用源。π.
17． 如图，CD是⊙O的弦，AB是直径，且CD∥AB，连结AC，AD，OD，其中AC＝CD，过点B
的切线交CD的延长线于E.
(1)求证：DA平分∠CDO；
(2)若AB＝12，求 图中阴影部分的周长之和(参考数据：π≈3.1，2≈1.4，3≈1.7)．
（1）证明：∵CD∥AB，∴∠CDA＝∠BAD，
又∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠BAD，
∴∠ADO＝∠CDA，
∴DA平分∠CDO.
（2）连结BD(图略)，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，
∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠CDA，
︵︵︵
又∵CD∥AB，∴∠CDA＝∠B AD，∴∠CDA＝∠BAD＝∠CAD，∴AC＝DC＝DB，
又∵∠AOB＝180°，∴∠DOB＝60°，
1
∵OD＝OB，∴△DOB是等边三角形，∴BD＝OB＝AB＝6，
2
︵︵
∵AC＝BD，∴AC＝BD＝6，
∵BE切⊙O于B，∴BE⊥AB，∴∠DBE＝∠ABE－∠ABD＝30°，
13
∵CD∥AB，∴BE⊥CE，∴DE＝BD＝3，BE＝BD×cos∠DBE＝6×＝33，
22
【来源：21·世纪·教育·网】
2
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︵
60π×6
∴BD的长＝＝2π，
180
∴图中阴影部分周长之和为：
2π＋6＋2π＋3＋33＝4π＋9＋33≈4×3.1＋9＋3×1.7＝26.5.
1 8.如图，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得
CD ＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE，DE，DF.
【出处：21教育名师】

(1)证明：∠E＝∠C；
(2)若∠E＝55°，求∠BDF的度数；
︵
2
(3)设DE交AB于点G，若DF＝4，COsB＝，E是AB的中点，求EG·ED的值．
3
(1)证明：如解图①，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵CD＝BD，
∴AD垂直平分BC，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
又∵∠B＝∠E，
∴∠E＝∠C；(2分)
(2)解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，
∴∠AFD＝180°－∠E，
又∵∠CFD＝180°－∠AFD，
∴∠CFD＝∠E＝55°，
又∵∠C＝∠E＝55°，
∴∠BDF＝∠C＋∠CFD＝110°；
(3)解：如解图②，连接OE，
∵∠CFD＝∠AED＝∠C，
∴FD＝CD＝BD＝4，
2
在Rt△ABD中，cosB＝，BD＝4，
3
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解图①
解图②

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BD
∴AB＝＝6，
cosB
︵
∵点E是AB的中点，AB是⊙O的直径，
∴∠AOE＝90°，
∵AO＝OE＝3，
∴AE＝32，
︵
∵点E是AB的中点，
∴∠ADE＝∠EAB，
∴△AEG∽△DEA，
∴
AEDE
＝，
EGAE
2
即EG·ED＝AE＝18.




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与圆相关的计算
一、选择题
︵
1.如图，半圆的圆心为O，直径AB的长为12， C为半圆上一点，∠CAB＝30°，AC的长是( )

A. 12π B. 6π C. 5π D. 4π
2.已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则它的侧面展开图的面积等于（ ）
A．24cm B．48cm C．24πcm D．12πcm
2222
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3.如图，是一圆锥的左视图，根据图中所标数据，圆锥侧面展开图的扇形圆心角的大小为
( )

A. 90° B. 120° C. 135° D. 150°
4.以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角
形，则该三角形的面积是（ ）
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A． B． C． D．

5.如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝23，以直角边AC为直径 作⊙O交AB于点D，则
图中阴影部分的面积是( )
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A. －π B. －π
4222
73π73π
C. － D. －
4626
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6.如图，AB，CD是⊙O的两条互相 垂直的直径，点O
1
，O
2
，O
3
，O
4
分别是OA、OB、OC、OD的
中点，若⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为（ ）
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A．8 B．4 C．4π＋4 D．4π－4
二、填空题
7.用一个圆心角为180 °,半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆的半径
为________.
8.如图，把一个圆锥沿母线OA剪开，展开后得到扇形AOC，已知圆锥的高h为12cm，OA=13cm，
则扇形AOC中
AC
的长是 cm；（结果保留

）


9.如图,某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心 ,AB为半径的扇
形(忽略铁丝的粗细),则所得的扇形ABD的面积为________.

10.如图，已知⊙O的半径为2，A为⊙O外一点，过点A作⊙O的一条切线AB，切点是B，AO< br>的延长线交⊙O于点C，若∠BAC=30°，则劣弧的长为 ．
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︵︵
11.如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，以点A为圆心， OA的长为半径作OC交AB于点C.若
OA＝2，则阴影部分面积为________．2

12.如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，边CD在直线l上，将矩形ABCD沿直线l作无 滑动
翻滚，当点A第一次翻滚到点A
1
位置时，点A经过的路线长为________ ．

三、解答题
︵
13.如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为AD中点，连接BM，CM.
(1)求证：BM＝CM；
︵
(2)当⊙O的半径为2时，求BM的长．

14.我市某中学决定在学生中开展丢沙包、打篮球、跳大绳和踢毽球四种项目的活动，为了解
学生对四种项目的喜欢情况，随机调查了该校m名学生最喜欢的一种项目（2016•沈阳）如图，
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在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别 于BC，AC相交于点D，E，BD=CD，过点D作⊙O的切线
交边AC于点F．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为5，∠CDF=30°，求的长（结果保留π）．

15.如 图，AB是以BC为直径的半圆O的切线，D为半圆上一点，AD=AB，AD，BC的延长线相
交于点 E．
（1）求证：AD是半圆O的切线；
（2）连结CD，求证：∠A=2∠CDE；
（3）若∠CDE=27°，OB=2，求的长．

16.如图,在△ABC中,∠ C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,点O在AB上,以点O为圆心,OA
为半径的圆恰好经过 点D,分别交AC,AB于点E,F.2-1-c-n-j-y
(1)试判断直线BC与☉O的位置关系,并说明理由.
(2)若BD=2错误！未找到引用源。,BF=2,求阴影部分的面积(结
果保留π).




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17.如图，CD是⊙O的弦，AB是直径，且CD∥AB，连结AC，AD，OD，其中A C＝CD，过点B
的切线交CD的延长线于E.
(1)求证：DA平分∠CDO；
(2)若AB＝12，求图中阴影部分的周长之和(参考数据：π≈3.1，2≈1.4，3≈1.7)．







18.如图，AB是⊙O 的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得
CD＝BD，连接AC交⊙ O于点F，连接AE，DE，DF.
【来源：21cnj**m】

(1)证明：∠E＝∠C；
(2)若∠E＝55°，求∠BDF的度数；
︵
2
(3)设DE交AB于点G，若DF＝4，COsB＝，E是AB的中点，求EG·ED的值．
3






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参考答案
一、选择题
︵
1.如图，半圆的圆心为O，直径AB的长为12，C为半 圆上一点，∠CAB＝30°，AC的长是( )
A. 12π B. 6π C. 5π D. 4π
︵
120π×6
【解析】如解图，连接OC ，∵OA＝OC，∴∠C＝∠A＝30°，∴∠AOC＝120°，∴AC＝
180
＝4π.

答案：D
2．已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则它的侧面展开图的面积等于（ ）
A．24cm B．48cm C．24πcm D．12πcm
【分析】根据圆锥的侧面积=×底面圆的周长×母线长即可求解．
【解答】解：底面半径为4 cm，则底面周长=8πcm，侧面面积=×8π×6=24π（cm
2
）．
故选：C．
3.如图，是一圆锥的左视图，根据图中所标数据，圆锥侧面展开图的扇形圆心角的大小为
( )
A. 90° B. 120° C. 135° D. 150°
2222

nπRnπ×9
【解析】圆锥的母线长＝（62）＋3＝9， ∵l＝
180
＝2πr，∴
180
＝2π×3，解得n
22
＝120，∴扇形圆心角的度数为120°，
故选B.
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4.以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角
形， 则该三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由于内接正三角形、正方形 、正六边形是特殊内角的多边形，可构造
直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角 形是直角三角
形，进而可得其面积．
【解答】解：如图1，
∵OC=1，
∴OD=1×sin30°=
如图2，
；
∵OB=1，
∴OE=1×sin45°=
如图3，
；
∵OA=1，
∴OD=1×cos30°=，
则该三角形的三边分别为：、、，
∵（）+（
2
）=（
2
），
2
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∴该三角形是以、为直角边，为斜边的直角三角形，
∴该三角形的面积是
故选：D
．
××=，
5.如图，在Rt△A BC中，∠A＝30°，BC＝23，以直角边AC为直径作⊙O交AB于点D，则
图中阴影部分的面积 是( )
15331533
A. －π B. －π
4222
73π73π
C. － D. －
4626

【解析】如解图，连接OD，过点D作DE⊥AC于点E.在Rt△ABC中，
BC233
tan∠A＝tan30°＝＝＝，∴AC＝6，∴OA＝OC＝3.
ACAC3
∵∠A＝30°，∴∠DOC＝60°.
DEDE3
在Rt△ODE中，OD＝OA＝3，sin60°＝＝＝，
OD32< br>33113360π×31533π
∴DE＝，∴S
阴影
＝S
△ABC
－S
△AOD
－S
扇形OCD
＝×23×6－×3×－＝－，
222236042
故选A.
6.如图，AB，CD是⊙O的两条互相垂直的直径， 点O
1
，O
2
，O
3
，O
4
分别是OA、 OB、OC、OD的
中点，若⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为（ ）
2

A．8 B．4 C．4π＋4 D．4π－4 【解析】扇形面积的计算；圆与圆的位置关系．首先根据已知得出正方形内空白面积，进而
得出扇形 COB中两空白面积相等，进而得出阴影部分面积．【出处：21教育名师】
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【解答】解：如图所示：可得正方形EFMN，边长为2，正方形中两部分阴影面积为：4－π，
∴正方形内空白面积为：4－2（4－π）＝2π－4，
∵⊙O的半径为2，∴O
1
，O
2
，O
3
，O
4
的半径为1，∴小圆的面积为 ：π×1＝π，
扇形COB的面积为：
2
2
＝π，∴扇形COB中两空白面积相等，
∴阴影部分的面积为：π×2－2（2π－4）＝8．

二、填空题
7. 用一个圆心角为180°,半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆的半径
为____ ____.
2-1-c-n-j-y

【解析】设这个圆锥的底面圆的半径为R.由题意:2πR=错误！未找到引用源。,解得R=2.
答案:2
8.如图，把一个圆锥沿母线OA剪开，展开后得到扇形AOC，已知圆锥的高h为 12cm，OA=13cm，
则扇形AOC中
AC
的长是 cm；（结果保留

）
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
【解析】勾股定理，圆锥的侧面展开图，弧长公式。由勾股定理，得圆锥的底面半径为：
13
2
12
2
＝5，扇形的弧长＝圆锥的底面圆周长＝
2

510


答案：
10


9.如图,某数学 兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心,AB为半径的扇
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形(忽略铁丝的粗细),则所得的扇形ABD的面积为________.
【解题指南】由操作方式求出弧长和半径,利用S
扇
=错误！未找到引用源。lr求出结果 .
【解析】∵正方形的边长为5,∴弧BD的长=10,
∴S
扇形ABD
=错误！未找到引用源。lr=错误！未找到引用源。×10×5=25.
答案:25
10 .如图，已知⊙O的半径为2，A为⊙O外一点，过点A作⊙O的一条切线AB，切点是B，AO
的延长 线交⊙O于点C，若∠BAC=30°，则劣弧的长为 ．

【分析】根据已知条件求出圆心角∠BOC的大小，然后利用弧长公式即可解决问题．
【解答】解：∵AB是⊙O切线，
∴AB⊥OB，
∴∠ABO=90°，
∵∠A=30°，
∴∠AOB=90°﹣∠A=60°，
∴∠BOC=120°，
∴的长为
．
=．
故答案为

︵︵
11.如图， 在扇形AOB中，∠AOB＝90°，以点A为圆心，OA的长为半径作OC交AB于点C.若
OA＝2 ，则阴影部分面积为________．2
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【解析】连接OC和AC ，∵OA＝OC，AO＝AC，∴OC＝OA＝AC＝2，
∴△OAC是等边三角形，∴∠AOC＝∠OAC＝60°，
过点O作OE⊥AC于点E，在Rt△OAE中，OE＝OA·sin60°＝3，
60π· 212
∴S
弓形OC
＝S
扇形AOC
－S
△OAC
＝－×2×3＝π－3，
36023
90π·2260π·2π
S
阴影＝S
扇形OBA
－ S
弓形OC
－S
扇形OCA
＝－(π－3)－＝3－.
36033603
π
答案：3－
3
12.如图，矩形ABCD中 ，AB＝4，BC＝3，边CD在直线l上，将矩形ABCD沿直线l作无滑动
翻滚，当点A第一次翻滚 到点A
1
位置时，点A经过的路线长为________．
22
2

90π×4
22
【解析】∵AB＝4，AD＝3，∴矩形对角线＝4＋3＝5，顶点A 所经过的路线长为：
180
＋
90π×590π×3
＋＝6π.
180180
答案： 6π
三、解答题
13.如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为
（1）求证：BM=CM；
（2）当⊙O的半径为2时，求的长．
中点，连接BM，CM．
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【分析】（1）根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可；
（2）根据弧长公式计算．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，
∴=，
中点，
，
=+，即=，
∵M为
∴
∴
=
+
∴BM=CM；
（2）解：∵⊙O的半径为2，
∴⊙O的周长为4π，
∠BOC=360°÷4= 90°，∵BM=CM，∴∠BOM=∠COM=（360°-90°）÷2=135°

∴
3
的长=
8
3
×4π=
2
π．
14.我市某中学决定在学生中开展丢沙包、打篮球、跳大绳和踢毽球四种项目的活动，为了解
学生对四种项目的喜欢情况，随机调查了该校m名学生最喜欢的一种项目（2016•沈阳）如图，
在△ ABC中，以AB为直径的⊙O分别于BC，AC相交于点D，E，BD=CD，过点D作⊙O的切线
交 边AC于点F．


（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为5，∠CDF=30°，求的长（结果保留π）．
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【分析】（1）连接OD，由 切线的性质即可得出∠ODF=90°，再由BD=CD，OA=OB可得出OD
是△ABC的中位线， 根据三角形中位线的性质即可得出，根据平行线的性质即可得出∠CFD=
∠ODF=90°，从而证出 DF⊥AC；


（2）由∠CDF=30°以及∠ODF=90°即可算出∠ODB= 60°，再结合OB=OD可得出△OBD是等边
三角形，根据弧长公式即可得出结论．
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【解答】（1）证明：连接OD，如图所示．

∵DF是⊙O的切线，D为切点，
∴OD⊥DF，
∴∠ODF=90°．
∵BD=CD，OA=OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∴∠CFD=∠ODF=90°，
∴DF⊥AC．
（2）解：∵∠CDF=30°，
由（1）得∠ODF=90°，
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∴∠ODB=180°﹣∠CDF﹣∠ODF=60°．
∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD=60°，
∴的长===π．
1 5.如图，AB是以BC为直径的半圆O的切线，D为半圆上一点，AD=AB，AD，BC的延长线相
交于点E．
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（1）求证：AD是半圆O的切线；
（2）连结CD，求证：∠A=2∠CDE；
（3）若∠CDE=27°，OB=2，求的长．

【分析】（1）连接OD，BD ，根据圆周角定理得到∠ABO=90°，根据等腰三角形的性质得到
∠ABD=∠ADB，∠DBO= ∠BDO，根据等式的性质得到∠ADO=∠ABO=90°，根据切线的判定定理
即可得到即可；2·1·c·n·j·y

（2）由AD是半圆O的切线得到∠ODE=90°，于是得到 ∠ODC+∠CDE=90°，根据圆周角定理
得到∠ODC+∠BDO=90°，等量代换得到∠DO C=2∠BDO，∠DOC=2∠CDE即可得到结论；
（3）根据已知条件得到∠DOC=2∠CD E=54°，根据平角的定义得到∠BOD=180°﹣54°=126°，
然后由弧长的公式即可计算 出结果．
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【解答】（1）证明：连接OD，BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AB⊥BC，即∠ABO=90°，
∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，
∵OB=OD，∴∠DBO=∠BDO，
∴∠ABD+∠DBO=∠ADB+∠BDO，
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∴∠ADO=∠ABO=90°，
∴AD是半圆O的切线；
（2）证明：由（1）知，∠ADO=∠ABO=90°，
∴∠A=360°﹣∠ADO﹣∠ABO﹣∠BOD=180°﹣∠BOD，
∵AD是半圆O的切线，
∴∠ODE=90°，
∴∠ODC+∠CDE=90°，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠ODC+∠BDO=90°，
∴∠BDO=∠CDE，
∵∠BDO=∠OBD，
∴∠DOC=2∠BDO，
∴∠DOC=2∠CDE，
∴∠A=∠CDE；
（3）解：∵∠CDE=27°，
∴∠DOC=2∠CDE=54°，
∴∠BOD=180°﹣54°=126°，
∵OB=2，
∴的长=
7
5
= π．
16.如图 ,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,点O在AB上,以点O为圆心,OA
为半径的圆恰好经过点D,分别交AC,AB于点E,F.
(1)试判断直线BC与☉O的位置关系,并说明理由.
(2)若BD=2错误！未找到引用源。,BF=2,求阴影部分的面积(结
果保留π).
【解析】(1)BC与☉O相切,理由如下:连接OD.
∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠OAD,
又∵∠OAD=∠ODA,
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∴∠CAD=∠ODA,∴OD∥AC,
∴∠BDO=∠C=90°,
∴BC与☉O相切.
(2)设☉O的半径为r,则OD=r,OB=r+2,
由(1)知∠BDO=90°,
∴OD+BD=OB,即r+(2错误！未找到引用源。)=(r+2),
解得r=2. < br>∵tan∠BOD=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,∴∠
BOD=60°,
S
阴影
=S
△OBD
-S
扇形BDF
=错误！未找到引用源。×OD×BD- 错误！未找到引用源。×πr=2错误！未
找到引用源。-错误！未找到引用源。π.
17． 如图，CD是⊙O的弦，AB是直径，且CD∥AB，连结AC，AD，OD，其中AC＝CD，过点B
的切线交CD的延长线于E.
(1)求证：DA平分∠CDO；
(2)若AB＝12，求 图中阴影部分的周长之和(参考数据：π≈3.1，2≈1.4，3≈1.7)．
（1）证明：∵CD∥AB，∴∠CDA＝∠BAD，
又∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠BAD，
∴∠ADO＝∠CDA，
∴DA平分∠CDO.
（2）连结BD(图略)，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，
∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠CDA，
︵︵︵
又∵CD∥AB，∴∠CDA＝∠B AD，∴∠CDA＝∠BAD＝∠CAD，∴AC＝DC＝DB，
又∵∠AOB＝180°，∴∠DOB＝60°，
1
∵OD＝OB，∴△DOB是等边三角形，∴BD＝OB＝AB＝6，
2
︵︵
∵AC＝BD，∴AC＝BD＝6，
∵BE切⊙O于B，∴BE⊥AB，∴∠DBE＝∠ABE－∠ABD＝30°，
13
∵CD∥AB，∴BE⊥CE，∴DE＝BD＝3，BE＝BD×cos∠DBE＝6×＝33，
22
【来源：21·世纪·教育·网】
2
222222

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︵
60π×6
∴BD的长＝＝2π，
180
∴图中阴影部分周长之和为：
2π＋6＋2π＋3＋33＝4π＋9＋33≈4×3.1＋9＋3×1.7＝26.5.
1 8.如图，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得
CD ＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE，DE，DF.
【出处：21教育名师】

(1)证明：∠E＝∠C；
(2)若∠E＝55°，求∠BDF的度数；
︵
2
(3)设DE交AB于点G，若DF＝4，COsB＝，E是AB的中点，求EG·ED的值．
3
(1)证明：如解图①，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵CD＝BD，
∴AD垂直平分BC，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
又∵∠B＝∠E，
∴∠E＝∠C；(2分)
(2)解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，
∴∠AFD＝180°－∠E，
又∵∠CFD＝180°－∠AFD，
∴∠CFD＝∠E＝55°，
又∵∠C＝∠E＝55°，
∴∠BDF＝∠C＋∠CFD＝110°；
(3)解：如解图②，连接OE，
∵∠CFD＝∠AED＝∠C，
∴FD＝CD＝BD＝4，
2
在Rt△ABD中，cosB＝，BD＝4，
3
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解图①
解图②

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BD
∴AB＝＝6，
cosB
︵
∵点E是AB的中点，AB是⊙O的直径，
∴∠AOE＝90°，
∵AO＝OE＝3，
∴AE＝32，
︵
∵点E是AB的中点，
∴∠ADE＝∠EAB，
∴△AEG∽△DEA，
∴
AEDE
＝，
EGAE
2
即EG·ED＝AE＝18.




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