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果每人分7个，少5个.问有多少个小朋友？多少个苹果和桔子？
【分析与解】
因为桔子每人分3个多4个，而苹果是桔子的2倍，因此苹果每人分6个就多8个.又已知
苹果每人分 7个少5个，所以应有（8+5）÷（6-5）=13（人）.
苹果个数为13×7-5=86（个）.
桔子数为 13×3+4=43（个）.
答：有13个小朋友，86个苹果和43个桔子.

【例6】（难度等级 ※※※）
甲、乙两人各买了相同数量的信封与相同数量的信纸，甲每封信用2 张信纸，乙每封
信用3 张信纸，一段时间后，甲用完了所有的信封还剩下20 张信纸，乙用完所有信
纸还剩下10 个信封，则他们每人各买了多少张信纸？
【分析与解】
由题意，如果乙用完所有的信封，那么缺30 张信纸．这是盈亏问题，盈亏总额为(20＋30)
张信纸， 两次分配的差为(3－2)张信纸，所以 有信封(20＋30)÷(3－2)＝50(个)，有信纸
2×50＋20＝120(张)．

【例7】（难度等级 ※※※）
幼儿园把一袋糖果分给小朋友．如果分给大班的小朋友，每人5 粒就缺6 粒．如果分
给小班的小朋友，每人4 粒就余4 粒．已知大班比小班少2 个小朋友， 这袋糖果共
有多少粒？
【分析与解】
如果大班增加2 个小朋友，大、小班人数就相等了，变为“每人5 粒缺16 粒，每人4 粒
多4 粒” 的盈亏问题．小班有(16＋4)÷(5－4)＝20(人)．这袋糖果有4×20＋4＝84(粒)．

【例8】（难度等级 ※※※）
实验小学少先队员去植树．如果每人种5棵，还有 3棵没人种；如果其中2人各种4
棵，其余的人各种6棵，这些树苗正好种完．问有多少少先队员参加植 树，一共种多
少树苗？
【分析与解】
这是一道较难的盈亏问题，主要难在对第 二个已知条件的理解上：如果其中2人各种4棵，
其余的人各种6棵，就恰好种完，这组条件中包含着两 种种树的情况——2人各种4棵，其
余的人各种6棵．如果我们把它统一成一种情况，让每人都种6棵， 那么，就可以多种树
（6－4）×2＝4（棵）．因此，原问题就转化为：如果每人各种5棵树苗，还有 3棵没人种；

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如果每人种6棵树苗，还缺4棵．问有多少少先队员，一共种多少树苗？
人数： [3＋（6－4）×2]÷（6－5）＝7（人），
棵数：5×7＋3＝38（棵）或6×7－4＝38（棵）．

【例9】（难度等级 ※※※）
李明的妈妈去超市买洗衣粉，雕牌和碧浪的单价分别为8元和10元，李妈妈带的钱买
雕牌洗衣粉比买碧浪洗衣粉可多买3袋，并且没有剩余的钱．问：李妈妈带了多少钱？
【分析与解】

（法1）“李妈妈带的钱买雕牌洗衣粉比买碧浪洗衣粉可多买3袋 ”，这三袋洗衣粉多花8×
3＝24（元），又因为花的钱总数一样多，所以在买碧浪洗衣粉的时候要把 这些钱补上，而
碧浪比雕牌每袋贵2元，所以要买碧浪洗衣粉袋数24÷2＝12（件）．这样李妈妈带 的钱数
是10×12＝120（元）．
（法2）如果买雕牌与碧浪洗衣粉数量一样多，则买雕 牌洗衣粉以后还剩3×8＝24（元），
根据普通的盈亏问题解法，买碧浪洗衣粉的数量是：24÷（1 0－8）＝24÷2＝12（件），所
以李妈妈带的钱数是：12×10＝120（元）．

【例10】（难度等级 ※※※）
有若干个苹果和梨，如果按1个苹果配3个梨分一堆，那么 苹果分完时，还剩2个梨；如
果按半个苹果配2个梨分一堆，那么梨分完时，还剩半个苹果.问梨有多少 个？
【分析与解】
1个苹果配3个梨，多2个梨；半个苹果配2个梨，即1个苹果配4个梨 ，剩半个苹果，即
少2个梨.苹果有（2+2）÷（4-3）=4（个），梨有 3×4+2=14（个）.

【例11】（难度等级 ※※※）
小同有一个储蓄筒 ，存放的都是硬币，其中2分币比5分币多22个；按钱数算，5分
币却比2分币多4角；另外，还有3 6个1分币．小同共存了多少钱?
【分析与解】
假设去掉22个2分币，那么按钱数算，5 分币比2分币多8角4分，一个5分币比一个2
分币多3分，所以5分币有： 84÷(5－2)＝28(个) 2分币有： 28＋22＝50(个)
5×28＋2×50＋1×36＝140＋100＋36＝276(分).


【例12】（难度等级 ※※※※）
学而思学校买来一批体育用品，羽毛球拍是乒乓球拍的2 倍，分给同学们，每组分乒

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乓球拍5副，余 乒乓球拍15副，每组分羽毛球拍14副，则差30副，问：学而思学
校买来羽毛球拍、乒乓球拍各多少 副？
【分析与解】
因为羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，如果每次分羽毛球拍5×2=10（副 ），最后应余下15×2=30
（副），因为14-5×2=4（副），分到最后还差30副，所以比每 次分10副总共差30+30=60
（副），所以有小组：60÷4=15（组），乒乓球拍有：5×1 5+15=90（副），羽毛球拍90×2=180
（副）.

【例13】（难度等级 ※※※※）
体育队将一些羽毛球分给若干个人，每人5个还多余10 个羽毛球，如果人数增加到3
倍，那么每人分2个羽毛球还缺少8个，问有羽毛球多少个？
【分析与解】
考虑人数增加3倍后，相当于按原人数每人给2×3＝6（个），每人给5个与 给6个，总数
相差10＋8＝18 (个），所以原有人数 18÷（6－5)＝18（人），乒乓球总数是 5×18＋10
＝100（个）．

【例14】（难度等级 ※※※※）
小白兔和小灰兔各有若干只．如果5只小白兔和3只小灰 兔放到一个笼子中，小白兔
还多4只，小灰兔恰好放完；如果7只小白兔和3只小灰兔放到一个笼子中， 小白兔
恰好放完，小灰兔还多12只．那么小白兔和小灰兔共有多少只？
【分析与解】 “7只小白兔和3只小灰兔装一个笼子，小白兔恰好装完，小灰兔还多12只”说明小白兔
少了12 ÷3×7＝28（只），这样原来笼子数有：（28＋4）÷（7－5）＝16（个），所以小白
兔有1 6×5＋4＝84（只），小灰兔有16×3＝48（只），合起来有84＋48＝132（只）．

【例15】（难度等级 ※※※※）
四(2)班在这次的班级评比中，获得了“全优班”的称 号．为了奖励同学们，班主任刘老
师买了一些铅笔和橡皮．刘老师把这些铅笔和橡皮分成一小堆一小堆， 以便分给几位
优秀学生．如果每堆有1块橡皮2支铅笔，铅笔分完时橡皮还剩5块；如果每堆有3
块橡皮和5支铅笔，橡皮分完时还剩5支铅笔．那么，刘老师一共买了多少块橡皮?
多少支铅笔?

【分析与解】
如果增加10支铅笔，则按1块橡皮、2支铅笔正好分完；而按3块 橡皮、5支铅笔分，则

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剩下10+5=15 (支)铅笔，但如果按3块橡皮、6支铅笔分，则正好分完，可以分成：
15÷(6—5)=15(堆) ，所以，橡皮数为：15×3=45(块)，铅笔数为：15×6—10=80(支)．


【作业】
1.
小强由家里到学校，如果每分钟走
50
米，上课就要 迟到
3
分钟；如果每分钟走
60
米，
就可以比上课时间提前
2
分钟到校
.
小强家到学校的路程是多少米？

【答案】1500
2.
少先队员参加绿化植树，他们准备栽的苹果树苗是梨树苗的
2
倍
.
如果每人栽
3
棵梨树苗，
还余
2
棵；如果每人栽
7
棵苹果树苗，要少
6
棵
.
问有多少少先队员？他们准备栽多少棵苹
果树和梨树？

【答案】64
，
2
3.
学校进 行大扫除，分配若干人擦玻璃，其中两人各擦
4
块，其余各擦
5
块，则余12
块；
若每人擦
6
块，则正好擦完，求擦玻璃的人数及玻璃的块数？< br>
【答案】10，60
4. 兔子妈妈分白菜：如果其中2只小兔子每只分4棵，其余 每只分2棵，则多4棵白菜；
如果其中一只小兔子分6棵，其余每只分4棵，则差12棵白菜，问：一共 有多少只小兔子？
一共有多少棵白菜？
【答案】9，26
5. 有48个香蕉分给 两个笼子的小猩猩，已知第二个笼子比第一个笼子多5只猩猩．如果
把香蕉全部分给第一个笼子的猩猩， 那么每只猩猩4个，有剩余；每只猩猩5个，香蕉不
够．如果把香蕉全分给第二个笼子，那么每只猩猩3 个，有剩余；每只猩猩4个，香蕉不
够．问第二个笼子有多少只猩猩？
【答案】15

挑战自己
（难度等级 ※※※※）


若干盒卡片 ，每盒中卡片数一样多．把这些卡片分给一些小朋友，如果只分一盒，每
人均至少可得7张，但若都分8 张则还缺少5张．现在把所有卡片都分完，每人都分
到60张，而且还多出4张．问共有小朋友多少人？

【答案】11人

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第四讲 复杂盈亏问题


【专题知识点概述】

盈亏问题是一类生活中很常见的问题．按不同的方法分配物品时，经常发
生不能均分 的情况．如果有物品剩余就叫盈，如果物品不够就叫亏，这就是盈
亏问题的含义．
【授课批注】
本节与实际生活练习较为紧密，生活中经常遇到此类问题，学生较感兴趣。合理 提炼分配
的总量和份数，能够在多个条件下，统一关系，对于盈亏问题的变型，更是学生需要注意
的，是对学生能力的考察，对学生来说是一个挑战。

解盈亏问题的公式：
（1）一次有余（盈），一次不够（亏），可用公式：
（盈+亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。
（2）两次都有余（盈），可用公式：
（大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差）=人数。
（3）两次都不够（亏），可用公式：
（大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。
（4）一次不够（亏），另一次刚好分完，可用公式：
亏÷（两次每人分配数的差）=人数。
（5）一次有余（盈），另一次刚好分完，可用公式：
盈÷（两次每人分配数的差）=人数。
【授课批注】
注意总量与份数是恒定不变的，能够将多个条件统一到统一条件关系下，利用画图表解题。

【重点难点解析】
1．理解掌握并运用直接计算型盈亏问题；
2．理解掌握条件转换型盈亏问题；
3．理解掌握关系互换型盈亏问题．

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【竞赛考点挖掘】
1.条件转换
2.关系互换


【习题精讲】

【例1】（难度等级 ※）
实验小学学生乘车去春游，如果每辆车坐60人，则有15人上不了车；如果每辆车多
坐 5人，恰好多出一辆车.问一共有几辆车，多少个学生？
【分析与解】
每辆车坐60人 ，则多余15人，每辆车坐60+5=65人，则多出一辆车，也就是差65人.因
此车辆数目为：
（65+15）÷5=80÷5=16（辆）.
学生人数为：
60×（16-1）+15=60×15+15
=900+15=915（人）.
答：一共有16辆车，915名学生.

【例2】（难度等级 ※）
小胖 的爷爷买回一筐梨，分给全家人.如果小胖和小妹二人每人分4个，其余每人分2
个，还多出4个，如果 小胖1人分6个，其余每人分4个，又差12个.问小胖家有多
少人？这筐梨子有多少个？
【分析与解】
第一次分法是小胖、小妹各4个，其余每人2个，多余4个.假设小胖、小 妹也分2个，那
么会多多少个梨呢？很容易想，那就会多出：2×2+4=8（个）.
第二次 分法是小胖一人得6个，其余每人4个，差12个，假如小胖也只分4个呢，那么就
只差：12-2=1 0（个）.
这样一想，就变成和前面讲的例子一样了.
解 小胖家的人数为：
［2×2+4+（12-2）］÷2=（8+10）÷2=9（人）.
梨子数为：
4×2+2×（9-2）+4=8+14+4=26（个），
或者 6+4×（9-1）-12=6+32-12=26（个）.

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答：小胖家有9人，这筐梨有26个.

【例3】（难度等级 ※） < br>用一根长绳测量井的深度，如果绳子两折时，多5米；如果绳子3折时，差4米.求绳
子长度和井 深.
【分析与解】
井的深度为：（5×2+4×3）÷（3-2）=22÷1=22（米）.
绳子长度为：（22+5）×2=27×2=54（米），或者 （22-4）×3=18×3=54（米）.

【例4】（难度等级 ※※）
食堂 采购员小李到集贸市场去买肉，如果买牛肉18千克，则差4元；如果买猪肉20
千克，则多2元.已知 牛肉、猪肉每千克差价8角.问牛肉、猪肉各多少钱一千克？
【分析与解】
这里有两种肉， 思考起来比较困难，能否化为一种肉的问题呢？仔细分析一下已知条件，
买牛肉18千克差4元，而买猪 肉20千克还多2元，说明牛肉贵一些.每千克贵8角，如果
18千克牛肉换成18千克猪肉，就要少花
8×18=144（角）=14元4角.
这样就会多出 14元4角-4元=10元4角.
因此问题就可变为：
“小李买猪肉18千克多余10元4角，买20千克多余2元，求猪肉单价和钱数.”
虽然两次都是盈余，仍属盈亏问题，不过猪肉单价=两次钱的差÷两次千克量差.
解 由已知条件知牛肉比猪肉贵，每千克贵8角.18千克牛肉比18千克猪肉贵
8×18=144（角）=14元4角.
因此小李若买18千克猪肉就会多余
14元4角-4元=10元4角.
由已知小李买20干克猪肉多余2元，所以猪肉每千克价格为
（104-20）÷（20-18）=84÷2=42（角）=4元2角.
所以牛肉每千克价格为：
4元2角+8角=5元.
小李带的钱为：4.2×20+2=86（元）.


【例5】（难度等级 ※※）
王老师给小朋友分苹果和桔子，苹果数是桔子数的2倍.桔子每人分3个，多4个；苹