矮寨特大悬索桥怪事-8月节日

第一讲 计数原理
知识纵横：
如果完成一件事情，有几类 不同的方法，而且每类方法中又有几种可能的方法，那么求完成这件事
的方法总数，即各类方法的总和， 就是我们要掌握的加法原理。
加法原理：完成某件事情，如果有几类方法，而在第一类方法中有m1
种方法，第二类方法中有m
2
种
方法……第n类有m
n
种，那么完成这件事的方法总数可以表示为m
1
+ m
2
+ m
3
+…+m
n
。
完成一件事，需要分几个步骤来完成，而完成每 步又有几种不同的方法，要求完成这件事的方法的
总数，应当将各步骤方法总数相乘，这就是我们应掌握 的乘法原理。
乘法原理：完成一件事需要分成几个步骤，第一步有m
1
种方法，第二 步有m
2
种方法，第三步有m
3
种方法……第n步有m
n
种 方法，那么完成这件事共有m
1
×m
2
×m
3
×…×mn
种不同的方法。
例题求解：
【例1】 10个人进行乒乓球比赛，每两个人之间比赛一场，问：一共要比赛多少场？





【例2】一天有6节不同的课，这一天的课表有多少种排法？





【例3】 1000至1999这些自然数中，个位数大于百位数的有多少个？





【例4】 4只鸟飞入4个不同的笼子里，每只小鸟都有自己的一个笼子（不同的鸟，笼子也 不同），
每个笼子只能进一只鸟。若都不飞进自己的笼子里去，有 种不同的飞法。







1
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【例5】 如果组成三位数abc的三个数字a，b，c中，有一个数字是另 外两个数字的乘积，则称它为
“特殊数”。在所有的三位数中，共有 个“特殊数”。







【例6】 如下图所示， 用红、绿、蓝、黄四种颜色，涂编号为1、2、3、4的长方形，使任何相邻的
两个长方形的颜色都不相 同，一共有多少种不同的涂法？

1
3











基础夯实 < br>1、一件工作可以用3种方法完成，有5人会用第1种方法完成，有4人会用第2种方法完成，有6
人会用第3种方法完成。选出一个人来完成这项工作共有多少种选法？





2、一件工序可以分3步方法完成，有5人会做第1步，有4人会做第2步，有6 人会做第3步，每
个人只会做一步。选出三个人来完成这组工序共有多少种选法？




2
内部资料，请勿外传
2
4
【例7】恰有两位数字相同的三位数共有多少个？

3、用1、2、3、4、5这五个数字组成的不含重复数字的四位数有多少个？其中有多少个偶数？





4、有20个队参加篮球比赛，比赛先分三组， 第一组7个队，第二组6个队，第三组7个队，每组先
进行单循环赛，然后由每小组的前两名共6个队， 再进行单循环赛，决出冠亚军。问：共需要比赛多少场？





5、7个人并排站成一排，如果甲必须站在中间，有多少种排法？如甲、乙两人必须站在两端，有多少< br>种排法？





6、某信号兵用红、黄、蓝三 面旗子从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂一面、二面
或三面，并且不同的顺序表示不同 的信号，一共可以表示多少种不同的信号？







7、四位数2336、2445、2782、2116等有一些共同的特征，每个数都以2开 头，并且恰好每个数中只
有两个相同的数字，求这样的四位数一共有多少个？








3
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综合创新：
8、如下图，一共有九个点，相邻两个点之间的距离为 1厘米，求用这九个点一共可以组成多少个三
角形？










第二讲 抽屉原理
知识纵横：
抽屉原理：有m件物体，放进n个抽屉里去。如果物体比抽屉多（即m大于n）， 那么必有一个抽屉要放进
两件或两件以上的物体。

例题求解：
【例1】把10个苹果摆到9个盘子里，不管怎么摆，一定有一个盘子里至少有_______个苹果。


有4个同学练习投篮，一共投进30个球，一定有一个人至少投进了几个球？


【 例2】有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子。请问，这5个人
中至少 有几个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的？




【例3】一副扑克牌（去掉两张王），每人随意摸两张牌，至少有多少人才能保证他们当中一定有两人
所摸两张牌花色情况是相同的？




4
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【例4】从2，4，6，…30这15个偶数中，任取9个数，证明：其中一定有两个数之和是34.



【例5】用红、蓝两种颜色将一个3×9的矩形中的小方格随意涂色， 证明：必有两列，他们的小方格
中涂的颜色完全相同。



【例 6】学校图书馆里有A、B、C、D四类书，规定每个同学最我可以借2本书，在借书的85名同学
中， 可以保证至少几个人所借书的类型是完全一样的？



【例7】问在1， 3，5，7……97，99这50个奇数中，最多能取出多少个数，使其中任何一个数都不
是另一个数的 倍数。





基础夯实
1、6只小鸡飞进5个鸟笼里，不管怎么飞，一定有一个笼子里至少飞进了（ ）只小鸟。
2、三名同学到图书馆借书，他们共借了7本书，那么一定有一个同学至少借了（ ）本书。
3、一位同学一星期读完了一本80页的故事书，那么他一定有一天至少读了（ ）页。
4、某小学有367个同学，那么一定有两人的生日是同一天，为什么？
5、有13个学生，其中至少有两个人在同一个月内过生日，为什么？
6、棕、蓝、绿、橙四 种颜色的小球各10个，混合放在一个布袋里，一次摸出小球5个，其中至少有
几个小球的颜色是相同的 ？










5
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7、小朋友 帮助幼儿园的阿姨搬运兔、狗、长颈鹿三种塑料玩具，每个小朋友从中任意选择两件，那
么，至少要有几 个小朋友才能保证总有两人选择的玩具相同？






8、一副扑克牌有4种花色，每种花色有13张，从中任意抽牌，问最少要抽多少张牌，才能 保证有4
张牌是同一花色的？






9、有19个同学参加了生物组、音乐组、美术组等课外活动，每人可参加一个组，两个组或三个组， 这
些同学中至少有几个同学参加了相同的组？






10、从10到20这11上自然数中，任取7个数，证明：其中一定有两个数之和是29.







拓展延伸：
用 红、黄两种颜色将一个2×5的矩形中的小方格，随意涂色，每个方格涂一种颜色。证明：必有两
列，他 们的小方格中涂的颜色完全相同。




6
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第三讲 容斥原理
知识纵横：
容斥原理：当两个计数部分有重复时，为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分，这种计数方法叫
做容斥原理，也叫包含与排除。
例题求解：
【例1】、在1～2003的自然数中，能被2整除或能被5整除的数共有多少个？



【例2】、在1～500中，不能被2整除，也不能被3整除，又不能被7整除的数有多少个？



【例3】、六年级的160名学生参加期末考试，其中数学得满分的有 58名，语文得满分的有53分，英语得
满分的有59名，数学、语文都得满分的有17名，数学、英语 都得满分的有22名，语文、英语都得满分
的有20名，数学、语文、英语都得满分的有10名。问六年 级三科考试都没有得满分的有多少名？




【例4】、如图所 示，A、B、C分别代表面积为12、28、16的三张不同形状的纸片，它们放在一起盖住的
面积为3 8，且A与B，B与C，C与A公共部分面积为8，7，6，求A、B、C三个图形公共部分的面积。






【例5】、星期日小丰骑自行车去同学A、B、 C三家玩，他如果从A出发经过
B到C，共行10千米，如果从B出发经C达A，共行13千米，如果从 C出发经过A到达B，共行11千米。
问：哪两个同学家之间的距离最短？最短的距离是多少千米？







7
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B
C
A

【例 5】、如图，在长方形ABCD中，AD=15厘米，AB=8厘米，四边形OEFG的面积是9平方厘米，求阴 影部
分的总面积。








基础夯实
1、50以内5的倍数和7的倍数的自然数共有多少个？



2、在1至100的全部自然数中，既不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少？



3、在从1到60的整数中，能被3或4或5整除的数有多少个？



4、四（一）班50个学生，每人至少参加了一个兴趣小组，其中37 人参加科技组，25人参加美术组，求
同时参加两个兴趣小组的人数是多少？



5、六（一）班全体同学在期末测试中，语文、数学这两科至少有一门获得优秀，其中有30 人语文获得优
秀，有32人数学获得优秀，两科都获得优秀的学生有17人。求该班学生的总人数。



6、六年级有60人爱好数学，50人爱好语文，42人爱好体育，3 0人既爱好数学又爱好语文，20人既爱好
语文又爱好体育，35人既爱好优育又爱好数学，有18人则 三方面都爱好，请问这个年级中数学、语文、
体育三个方面至少爱好一项的学生有多少名？



8
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7、五年 级四班48个学生中，每个人至少会骑自行车和游泳中的一项，平均每12个人中有7人会游泳，
每4个 人中有一个人两样都会，并且每个人至少会一样，求会骑自行车的有多少人？





8、有一个数，除以3余数是2，除以4余数是1，问这个数除以12余数是几？





9、有50名同学面向老师站成一行。老师让同 学们从左到右依次按1、2、3、4、……的顺序报数，报完后，
让报数是4的倍数的同学向后转，接着 又让报数是6的倍数的同学向后转，问此时还有多少名同学面向老
师？









第四讲 推理与论证
知识纵横：
本专题主要涉及计算推理、列表推理来进行逻辑推理和用奇偶分析法、极端化思考 来进行证明的一些方法。
这类数学题似乎不像数学题，因为题目中有时没有数据和图形，只出现一些相 互关联的条件，有时也不需
要演算或作图来解决，但是讨论这些问题必须有条理清晰的思维和严谨的推理 与证明方法，这种训练对提
高我们的数学思维能力，形成良好的思维方式和意识，具有不可低估的作用。

例题求解：
【例1】、甲说：“乙和丙都说谎。”乙说：“甲和丙都说谎。”丙说 ：“甲和乙都说谎。”根据三人所说，下面
四种说法中，哪一种说法是正确的。（1）三人都说谎；（2 ）三人都不说谎；
（3）三人中有一人且只有一人说谎；
（4）三人中有一人且只有一人不说谎。

9
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【例2】、甲、乙、丙三名运动员囊括了全部比赛项目的前三名，他们的总分 分别是：8、7和17分，甲得
了一个第一名，已知各个比赛项目分数相同，且第一名得分不低于二、三 名得分的和，那么比赛共有多少
个赛项？甲的每项得分分别是多少？




【例3】、孙明、李冬和陈元是中学教师，在语文、数学、政治、地理、音乐和图画六门课中 每人教两门，
现在已知：
（1）政治老师和数学老师是邻居。
（2）陈元最年轻。
（3）李冬老师常对地理老师和数学老师说他爱看书、爱听音乐。
（4）地理老师比语文老师年纪大。
（5）陈元、音乐老师和语文老师三人常一起看足球赛。
问：三位老师每人教哪两门？





【例4】、一本书的页码共需N个数字来表示。例如，一本书11页，页码1～11就需13个数字表示，小 冬
统计了5本书页码所用数字的个数，分别是109，157，1005，1995，2002，这5个 统计数据中的错误的数
据是哪个数？






【例5】、6个人围成一圈，每人心里想一个数，并把这个数告诉左、右相邻的两个人。然后每个人把左 、
右两个相邻人告诉自己的数的平均数亮出来，如下图。问：亮出数11的人原来心中想的数是多少？







10
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基础夯实
1、某年的三月有五个星期一，四个星期二，这一年的四月一日是星期几？




2、A、B、C三人所读学校为甲校、乙校和丙校，分别爱好篮球、足球、排球。 已知：A不在甲校；B在乙
校；爱好排球的不在丙校；爱好篮球的在甲校；B不爱好篮球。问A在什么学 校？爱好什么？




3、A、B、C、D四支足球队进行单循 环比赛，共要比赛多少场？规定：胜一场得2分，平一场得1分，负
一场得0分。全部比赛结束后，A、 B两队的总分并列第一名，C队第二名，D队第三名，C队最多得多少
分？




4、某校由A、B、C三个班各出3名选手比赛长跑。规定第一名得9分，以后每 个名次得8、7、6、5、4、
3、2、1分。比赛结果，三个班总分相同，没有并列名次，也没有同一 个班的学生得相连名次，如果第一
名是C班，第二名是B班，那么最后一名是哪个班的？




5、已知A、B、C、D、E、F、G、H、I、K代表十个互不相同 的大于0的自然数，要使下列等式都成立，A
最小是多少？
B+C=A D+E=B E+F=C G+H=D H+I=E I+K=F




6、平面上有99条直线，这些直线最多有多少个交点？





11
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7、能不能把54 个棋子放进十个盒子，并且每个盒子里的棋子数都不相同，如果能，怎么做？如果不能，
为什么？（每个 盒子都不能空）




8、如果某个月有5个星期天，并且有三个星期天都是在双号，那么这个月的18日是星期几？





第五讲 探究规律
知识纵横：
“探究给定事物中隐含的规律或变化趋势”是小学数学新课标的具体目标。寻找和探索规律是人类认识世界的重要图径，找到规律并灵活利用规律不只在数学上，而且在人类社会的发展过程中都具有非常重要的意义。小学数学“探究规律”题大致有以下几类：
例题求解：
一、探索自然数间的某种规律
【例1】 在下列横线上填上合适的数字，并说明理由：
（1）1，2，5，14，41， ；
（2）3，4，6，8，9，16，18，19，36， ， ， 。
试一试：按一定的规律排列的一列数依次为：
,
12
,
内部资料，请勿外传

,
,
规律排列下去，这列数中的第7个数是 。
二、探索算式所反映的规律
【例2】 观察下列算式：5
2
=25, 15
2
=225, 25
2
625, 35
2
=1225,45
2
=2025,55
2
=3025……通过观察猜想，85
2
的是（ ）
A、4225 B、5625 C、7225 D、9025
试一试：观察算式：1=1
2
；
1+3=4=2
2
；
1+3+5=9=3
2
；
1+3+5+7=16=4
2
；
13
,
……，按此
内部资料，请勿外传

1+3+5+7+9=25=5；
用式子表示这个规律（n为不等于0的自然数）：
1+3+5+7+9+……+（2n-1）= 。
2


三、探索图形拼接的规律
【例3】如右图：是用火柴棍摆出的
一系列三角形图案，按这种方式
摆下去，当每边上摆n=5根时，
需要的火柴棍总数为 标。

试一试：如下图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若 将露出的表面
都涂上颜色（底面不涂色），则第4个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有 个
14
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四、探索实际问题中隐含的规律
【例4】 庆祝“六一”联欢会上，小明按照3个红气球、 2个黄气球、1个绿气球的顺序把气球串起
来装饰会场。你知道第20个气球是什么颜色吗？



试一试：A,B,C,D,E,F,G七盏灯各自装有一个拉线开关，开始B,D ,F亮着，一个小朋友从A到G，再
从A到G，再……的顺序依次拉开头，一共拉了2009次，这时亮 着的灯是 。
基础夯实
1、有数组（1，1，1），（2，4，8），（3，9，27），…，求第100组的三个数之和。



2、有一列数2，3，6，8，8，…从第三个数起，每个数都是前两 个数乘积的个位数字，那么这一列数
的第2002个数应是几？



3、将1到200的自然数，分成A、B、C三组：
A组：1，6，7，12，13，18，…
B组：2，5，8，11，14，17，… C组：3，4，9，10，15，16，…
根据分组规律，请回答：
（1）B组中一共有（ ）个自然数；
（2）A组中第24个数是（ ）；
15
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（3）178是（ ）组里的第（ ）个数。
4、数列3，48，1，5，49，4，7，50，7，9，51，10，11，…的第2002个数是多少？



5、500个同学从前往后排成一列，按下面的规定报数：如果某个同 学报的是一位数，后面的同学就要报出
这个数与7的和，如果某个同学报的是两位数，后面的同学就要报 出这个数的个位数与4的和。现在让第
一个同学报“1”，问最后一个同学报几？









第六讲 概率
知识纵横：
概率：是表示事件发生可能性大小的数量，它产生于博弈，原来主要用于统计中， 现在随着电脑的普
及及运用，概率知识在生活中的运用越来越广泛，本讲主要是概率的初步识识，求概率 的这类问题往往要
借助于枚举和其他计数原理进行分类、计数，然后根据总数求出概率。
基础练习
1、抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列 事件中是不可能
事件的是（ ）
（A）点数之和为12
（C）点数之和大于4且小于8
2、下列说法正确的是（ ）
（A）可能性很小的事件在一次实验中一定不会发生
（B）可能性很小的事件在一次实验中一定发生
（C）可能性很小的事件在一次实验中有可能发生
（D）不可能事件在一次实验中也可能发生
3、下列事件中，概率是1的是（ ）
（A）太平洋中的水常年不干
（B）男生比女生高
（C）计算机随机产生的两位数是偶数
（D）星期天是晴天
16
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（B）点数之和小于3
（D）点数之和为13

4、一只小鸟自由自在地在空中飞行，然后 随意落在如图所示的某个方格中（每个方格除颜色外完全
一样），小鸟停在黑色方格中的概率是（ ）
（A）


（C
B）
）

（
17
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（D）

5、一个均匀的立方体六个面上分别标有1、2、3、4、5、6，如图所示是这个立 方体表面的展开图，
抛掷这个立方体，则朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的2倍的概率是
18
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A）

（B）（

19
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（C） （D）

6、一个口袋里有黑球10个和若干个黄球，从口袋中随机摸出一球记下其颜色，再把 它放回口袋口摇
匀，重复上述过程，共试验200次，其中有120次摸到黄球，由此估计袋中的黄球有 （ ）
（A）15
例题求解：
【例1】在四张相同的卡片上标有 1、2、3、4四个数字，从中任意抽出两张：①两张都是偶数的概率
是（ ）；
②第一张为奇数第二张为偶数的概率是（ ）； ③总是出现一奇一偶的概率是（ ）
（B）30 （C）6 （D）10
20
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【例2】 如果一枚某种防空导弹击中敌机的可能性为
么二枚同样的 防空导弹同时发射，至少有一枚击中敌机的可能性为多少？



，那
【例3】 小华有四双式样相同的袜子，其中两双为蓝色，两双为白色。这八只袜子散放在 一起，小华
不看而取，一次取一只，问：
（1）小华必须取几次，才能保证取得同样颜色的一双袜子。
（2）她连续取两次，这时取得一双蓝色袜子的可能性是多少？






【例4】 某商场设了一个可以自由转动的转般如图，并规定：顾客购 物10元以上就能获得一次转动
转盘的机会，当转般停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品。 下表是活动进行中的数组统计数
据：
（1）计算并完成表格：
转动转般的次数n
落在“钢笔”的次数m
落在“钢笔”的频率
100 150 200 500 800 1000
68

111 136 345 564 701

21
内部资料，请勿外传

（2）请估计，当n很大时，频率将会接近多少？



【例5】 杨华与季红用5张同样规格的硬纸片做拼图游戏，正面如图1所示，背面完全一样，将它们
背面朝上搅匀 后，同时抽出两张，规则如下：当两张硬纸片上的图形可拼成电灯或小人时，杨华得1分，
当两张硬纸片 上的图形可拼出房子或小山时，季红得1分（如图2），问题：（1）游戏规则对双方公平吗？
请说明理 由；（2）若你认为不公平，如何修改游戏规则才能使游戏对双方公平？






基础夯实
1、下列事件中：①太阳从西边出来；②树上的苹 果飞到月球上；③普通玻璃从三楼摔到一楼的水泥
地面上碎了；④小颖的数学测试得了100分，随机事 件为（ ）；哪些事件是必须发生的（ ）；哪些
事件是不可能发生的（ ）（只填序号） < br>2、中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商< br>标牌中，有5个商标牌的背面注明一定的奖金额，其余商标牌的背面是一张哭脸，若翻到哭脸，就不得奖，
参与这个游戏的观众有三次翻牌的机会（翻过的牌不能再翻），某观众前两次翻牌均获得若干奖金，那么
他第三次翻牌获奖的概率是（ ）
3、有大、小两枚骰子，每枚上的6个面分别画着1～ 6点，同时抛这两枚骰子，两枚骰子的总数之差
等于1与等于2的可能性相比，等于几的可能性大？





4、小红的和小明参加一种有奖游戏，每人中奖 的可能为50%，求两人中至少有一人中奖的可能性为百
分之几？

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5、四个装药的瓶子都贴了标签，其中恰好有三个贴错了，那么错的情况有多少种？






6、一张圆桌旁有四个座位，A先生在如图所示 的座位上，B、C、D三人随机坐到其他三个座位上，求
A与B不相邻而坐的概率。







7、准备了三张大小相同的纸片，其 中两张纸片上各画一个半径相等的半圆，另一张纸片上画一个正
方形。将这三张纸片放在一个盒子里摇匀 ，随机地抽取两张纸片，若可以拼成一个圆形（取出的两张纸片
都画有半圆形）则甲方赢；若可以拼成一 个蘑菇形（取出的一张纸片画有半圆、一张画有正方形）则乙方
赢。你认为这个游戏对双方公的吗？若不 是，有利于谁？










第七讲 综合训练
一、填空题
1、如右图是一个养禽专业户去年养的鸡、鸭、鹅的扇形统计图。如果这个专业户
23
内部资料，请勿外传

养了450只鹅，则他养鸡 只。
2、仓库里有20吨钢材，第一次用去总数的
剩下的25%，还剩 吨钢材。
3、把一根长3米，底面半径1分米的圆柱体钢材截成3段，表面积增加了 。
4、在如图的长方体中，过棱CC1和平面AD1垂直的平面图是 。
，第二 次和去
5、一件工作，乙单独做需要8天完成，甲的工效是乙的2倍，如果两人合做，则要 天完成这件工作。
6、有3个连续自然数，他们的积是和的120倍，这3个数是 。 7、我校学生王某在参加全省中学生数学颁奖大会后，对好友说：“我的名次、分数和我的年龄乘起来是2716。”请你猜想王某 岁，竞赛得第 名，分数是 分。 8、雅雅家住平安待，礼礼向她打听：“雅雅，你家门牌几号？”“我住的那条街的各家门牌号从1开始，< br>除我家外，其余各家门牌号加起来恰好等于1000。”雅雅回答说。那么雅雅住 号。
二、单一选择题
9、从一幅扑克中（除去大小王），任意摸出一张，能摸到红桃的可能性是（ ）。
24
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A、


C
25
B、
、


内部资料，请勿外传

D、

2
10、如果x=5，y=7满足2x-1=ky，那么k是（ ）。


A、5
A、




B、7

C、3 D、4
D、以上都不对
11、已知线段AB=5，C是AB延长线上一点，BC=2，则线段AC长为（ ）
B、3 C、3或7
12、若一年期定期储蓄利率为2.75 %，所得利息要交纳5%的利息税，则存入一年期1000元，到期后储户
利息扣税后为（ ）。
13、如下图，三角形一共有（ ）。
A、4个 B、6个 C、9个 D、15个
14、下列图形中不是轴对称图形的有（ ）。
长方形、平行四边形、等腰三角形、圆形、梯形
A、5个 B、4个 C、3个 D、2个
15、观察下列数的规律：3、4、6、8、9、16、18、19、 36、38、39、76、78、79、156…继续写出后面的
三个数是（ ）。
A、158、159、316 B、157、312、314 C、157、158、314 D、无规律，写不出
26
内部资料，请勿外传

、规定“*”为一种运算，它满足a*b=
2007*2007）=（ ）
A、2007 B、

D、无法计算
27
，那么2007*
C、

16
（


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三、计算题
17、用简便方法计算：3.14×5.6+3.14×5.5-1
×





4
28
×3.14+2.5

×
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18、用“裂
+

项法”计
+
+
29
算：
+
+…


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19、解比例：(x-66):2=(15-2x):5 0.4:0.25=





四、应用题
< br>20、某校小六（1）班全体同学在“支援灾区献爱心”活动中都捐了款，具体捐款情况如右表，则该班学生捐款的平均数是多少元？（要求列综合算式解答）
捐款数（元）
捐款人数




1
2
2
24
3
21
4
3
30
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21、甲乙两堆煤共140吨。当甲堆运走，乙堆运走10
吨时，乙 堆煤剩下的吨数是甲堆煤剩下吨数的
乙两堆煤各有多少吨？（要求列方程解答）




。求原来甲、
22、一种电视机，商场将进价加35%定价，然后按定价 打九折出售，并且每台送“打的”费50元，
这样每台可获利208元。这种电视机的进价是多少元？




31
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23、有三个分子相同的最简假分数，化成带分数后为a，
b，c 。已知
a、b、c都小于10,a、b、c依次为（ ）、（ ）、（ ）。
24、钟面上3点过几分时，时针和分针于“3”的距离相等，并且在“3”的两旁？




25、如图，ABC是等腰直角三角形，D是半圆周上的中点，BC是 半圆的直径，且AB=BC=10，求阴影部分面
积（π取3.14）





32
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第八讲 模拟测试
一、填空题（每题4分，共32分）
1、若一个整数a数2，3，……，9这8个自然数除，所得的余数都为1，则a的最小值是 。
2、一艘轮船从甲地到乙地每小时航行60千米，然后按原路返回，若想往返的平均速度为80千米 小时，
则返回时每小时应艇行 千米。
3、一个长方体下底周长是28厘米，高是10厘米。这个长方体的棱长总和是 。
4、两数相除的商是3，余数是1，如果把被除除数、商和余数相加，它们的和是193，则被除数是 ，
除数是 。
5、观察下列三角形数阵，则第50行的最后一个数是 。
6、把一根10米长的绳子，剪成每段一样长的小段，共剪5次，每段为
米。如果剪成两段需要3分钟，剪成5段共需要 分钟。
7、一个直角三角形的三条边分别 长为5厘米、4厘米、3厘米，以一直角边为轴，旋转一周后，得到的图
形的体积是 立方厘米（结果中的π保留，不必取近似值计算）。
8、在正方形里画一个最大的圆，圆的面积是正方形面积 ，在圆里面画一个最大的正方形，正方
形面积是圆的 （结果中的π保留，不必取近似值计算）。
二、选择题（每题4分，共24分）
9、一件工作，甲单独做用的时间比乙单独做少
作效率的比是（ ）。
A、4：3 B、3：4 C、3：2 D、2：3
，甲和乙工
33
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10、甲 、乙、丙三人共做了183道数学题，乙做的题比丙的2倍少4道，甲做的题比丙的3倍多7道。丙
做了 多少道题？正确算式是（ ）。
A、183÷（1+2+3）-4+7
C、（183-4+7）÷（1+2+3）




B、183×（1+2+3）+4-7
D、（183+4-7）÷（1+2+3）
11、随机掷一枚均匀的硬币两次，两次都正面朝上的概率是（ ）。
A、
C
34
B、
、
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、把一个棱长为a的正方体，切成两个长方体表面积为（
35
D、
12 ）。
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A、5
6

2
2

36
B
C
、
、


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7
8

2
D
2

37
、
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13、如果a，b，c是三个任意整数，那么，
，
A、都不是整数
C、至少有两个整数








B、至少有一个整数
D、都是整数
（ ）。
14、现有A、B、C、D、E五个同学，他们分别为来自一中、二中、三中的学生，已知：（1）每所学校至
少有他们中的一名学生；（2）在二中的晚会上，A、B、E作为被邀请的客人演奏了小提琴；（3）B 过去
曾在三中学习，后来转学了，现在同D在同一个班学习；（4）D、E是同一所学校的三好学生，根 据以上
叙述可以断定A所在学校为（ ）。
A、一中

三、计算题（每题5分，共10分）
15、


38
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B、二中 C、三中 D、不确定

16、观察后面等式： 将前面三个等式
两边分别相加得：
（1）猜想并写出：
（2）

（3）探究并计算：




= 。
直接写出下面式子的计算结果：
；
39
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四、解答题
17、甲、乙两人现在的年龄之和为98岁，当甲的年 龄是乙的年龄的一半时，乙恰是甲现在的年龄。求甲、
乙现在各多少岁？（6分）




18、求在6点与7点之间，分针与时针成直角的时间（6分）




19、下图中长方形的面积是180平方厘米，S1与S2的面积都是 60平方厘米，阴影部分的面积是多少平方
厘米？（5分）





20、某农场有马和牛240头，一次卖出马总数的
45头牛，这时马和牛的头数相 等，求原来马和牛各多少头？（用方程解答）（5分）






40
，又买回
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重难点专题复习： 圆和扇形
【例题分析】
例1 如图，从大圆中挖去互相相切的三个小圆，如果大圆的直径20厘米，求阴影部分的周长。






例2 如图，正方形
ABCD
边长为1 厘米，现依次以
A
、
B
、
C
、
D
为圆心， 以
AD
、
BE
、
CF
、
D
、
G< br>为半径
画出去圆，求阴影部分外围的周长。





例3一只豹追捕一只小狗，眼看马上就要追上时，小狗跳到圆形的水塘中，豹在岸上跟着小狗 跑动，
等待小狗上岸时逮住它，豹跑动的速度是狗的2.5倍。你能否想出一种办法让小狗上岸时不被豹 逮住?







例4 求围成图中阴影部分的周长是多少?(单位：厘米)






例5 如图，是机器上传动带示意图，三个轮子的直径都是2米，三个轮子的中心向的距离 分别是5
米、4米、3米，那么传动带的长度是多少?



41
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例6 有一 边长为2的等边三角形，现将三角形沿水平线滚动，如下图所示，点B从开始位置到结束位
置，它所经过 的的路线的总长度是多少？













【巩固练习】
1．如图，圆的面积是15.7平方厘米，那么阴影部分的面积是多少?







2．如右图，阴影部分的面积是5.7平方厘米，三角形ABC的面积是多少平方厘米?








3．一块正方形草地，面 积l5平方米。在相对两角A、B处各有一棵树，树上各拴了一只羊，拴羊的绳长
与正方形边长相等。两 只羊都能吃到草地面积是多少平方米？
42
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4．如图，三 角形
ABC
是直角三角形，AB是圆的直径，并且AB=20厘米，如果阴影①的面积比阴影② 的面
积大7平方厘米，那么BC的长度是多少厘米?








5．如图，已知三个圆的半径都是4厚米，O
1< br>，O
2
，O
3
分别为圆心，求阴影部分的面积?(1999年奥林匹克 决
赛题)












6．如右图，大圆半径为6，则其阴影部分的面积为





43
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。

44

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第一讲 计数原理
知识纵横：
如果完成一件事情 ，有几类不同的方法，而且每类方法中又有几种可能的方法，那么求完成这件事
的方法总数，即各类方法 的总和，就是我们要掌握的加法原理。
加法原理：完成某件事情，如果有几类方法，而在第一类方法中 有m
1
种方法，第二类方法中有m
2
种
方法……第n类有m
n
种，那么完成这件事的方法总数可以表示为m
1
+ m
2
+ m
3
+…+m
n
。
完成一件事，需要分几个步骤来完成，而完成每 步又有几种不同的方法，要求完成这件事的方法的
总数，应当将各步骤方法总数相乘，这就是我们应掌握 的乘法原理。
乘法原理：完成一件事需要分成几个步骤，第一步有m
1
种方法，第二 步有m
2
种方法，第三步有m
3
种方法……第n步有m
n
种 方法，那么完成这件事共有m
1
×m
2
×m
3
×…×mn
种不同的方法。
例题求解：
【例1】 10个人进行乒乓球比赛，每两个人之间比赛一场，问：一共要比赛多少场？





【例2】一天有6节不同的课，这一天的课表有多少种排法？





【例3】 1000至1999这些自然数中，个位数大于百位数的有多少个？





【例4】 4只鸟飞入4个不同的笼子里，每只小鸟都有自己的一个笼子（不同的鸟，笼子也 不同），
每个笼子只能进一只鸟。若都不飞进自己的笼子里去，有 种不同的飞法。







1
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【例5】 如果组成三位数abc的三个数字a，b，c中，有一个数字是另 外两个数字的乘积，则称它为
“特殊数”。在所有的三位数中，共有 个“特殊数”。







【例6】 如下图所示， 用红、绿、蓝、黄四种颜色，涂编号为1、2、3、4的长方形，使任何相邻的
两个长方形的颜色都不相 同，一共有多少种不同的涂法？

1
3











基础夯实 < br>1、一件工作可以用3种方法完成，有5人会用第1种方法完成，有4人会用第2种方法完成，有6
人会用第3种方法完成。选出一个人来完成这项工作共有多少种选法？





2、一件工序可以分3步方法完成，有5人会做第1步，有4人会做第2步，有6 人会做第3步，每
个人只会做一步。选出三个人来完成这组工序共有多少种选法？




2
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2
4
【例7】恰有两位数字相同的三位数共有多少个？

3、用1、2、3、4、5这五个数字组成的不含重复数字的四位数有多少个？其中有多少个偶数？





4、有20个队参加篮球比赛，比赛先分三组， 第一组7个队，第二组6个队，第三组7个队，每组先
进行单循环赛，然后由每小组的前两名共6个队， 再进行单循环赛，决出冠亚军。问：共需要比赛多少场？





5、7个人并排站成一排，如果甲必须站在中间，有多少种排法？如甲、乙两人必须站在两端，有多少< br>种排法？





6、某信号兵用红、黄、蓝三 面旗子从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂一面、二面
或三面，并且不同的顺序表示不同 的信号，一共可以表示多少种不同的信号？







7、四位数2336、2445、2782、2116等有一些共同的特征，每个数都以2开 头，并且恰好每个数中只
有两个相同的数字，求这样的四位数一共有多少个？








3
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综合创新：
8、如下图，一共有九个点，相邻两个点之间的距离为 1厘米，求用这九个点一共可以组成多少个三
角形？










第二讲 抽屉原理
知识纵横：
抽屉原理：有m件物体，放进n个抽屉里去。如果物体比抽屉多（即m大于n）， 那么必有一个抽屉要放进
两件或两件以上的物体。

例题求解：
【例1】把10个苹果摆到9个盘子里，不管怎么摆，一定有一个盘子里至少有_______个苹果。


有4个同学练习投篮，一共投进30个球，一定有一个人至少投进了几个球？


【 例2】有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子。请问，这5个人
中至少 有几个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的？




【例3】一副扑克牌（去掉两张王），每人随意摸两张牌，至少有多少人才能保证他们当中一定有两人
所摸两张牌花色情况是相同的？




4
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【例4】从2，4，6，…30这15个偶数中，任取9个数，证明：其中一定有两个数之和是34.



【例5】用红、蓝两种颜色将一个3×9的矩形中的小方格随意涂色， 证明：必有两列，他们的小方格
中涂的颜色完全相同。



【例 6】学校图书馆里有A、B、C、D四类书，规定每个同学最我可以借2本书，在借书的85名同学
中， 可以保证至少几个人所借书的类型是完全一样的？



【例7】问在1， 3，5，7……97，99这50个奇数中，最多能取出多少个数，使其中任何一个数都不
是另一个数的 倍数。





基础夯实
1、6只小鸡飞进5个鸟笼里，不管怎么飞，一定有一个笼子里至少飞进了（ ）只小鸟。
2、三名同学到图书馆借书，他们共借了7本书，那么一定有一个同学至少借了（ ）本书。
3、一位同学一星期读完了一本80页的故事书，那么他一定有一天至少读了（ ）页。
4、某小学有367个同学，那么一定有两人的生日是同一天，为什么？
5、有13个学生，其中至少有两个人在同一个月内过生日，为什么？
6、棕、蓝、绿、橙四 种颜色的小球各10个，混合放在一个布袋里，一次摸出小球5个，其中至少有
几个小球的颜色是相同的 ？










5
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7、小朋友 帮助幼儿园的阿姨搬运兔、狗、长颈鹿三种塑料玩具，每个小朋友从中任意选择两件，那
么，至少要有几 个小朋友才能保证总有两人选择的玩具相同？






8、一副扑克牌有4种花色，每种花色有13张，从中任意抽牌，问最少要抽多少张牌，才能 保证有4
张牌是同一花色的？






9、有19个同学参加了生物组、音乐组、美术组等课外活动，每人可参加一个组，两个组或三个组， 这
些同学中至少有几个同学参加了相同的组？






10、从10到20这11上自然数中，任取7个数，证明：其中一定有两个数之和是29.







拓展延伸：
用 红、黄两种颜色将一个2×5的矩形中的小方格，随意涂色，每个方格涂一种颜色。证明：必有两
列，他 们的小方格中涂的颜色完全相同。




6
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第三讲 容斥原理
知识纵横：
容斥原理：当两个计数部分有重复时，为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分，这种计数方法叫
做容斥原理，也叫包含与排除。
例题求解：
【例1】、在1～2003的自然数中，能被2整除或能被5整除的数共有多少个？



【例2】、在1～500中，不能被2整除，也不能被3整除，又不能被7整除的数有多少个？



【例3】、六年级的160名学生参加期末考试，其中数学得满分的有 58名，语文得满分的有53分，英语得
满分的有59名，数学、语文都得满分的有17名，数学、英语 都得满分的有22名，语文、英语都得满分
的有20名，数学、语文、英语都得满分的有10名。问六年 级三科考试都没有得满分的有多少名？




【例4】、如图所 示，A、B、C分别代表面积为12、28、16的三张不同形状的纸片，它们放在一起盖住的
面积为3 8，且A与B，B与C，C与A公共部分面积为8，7，6，求A、B、C三个图形公共部分的面积。






【例5】、星期日小丰骑自行车去同学A、B、 C三家玩，他如果从A出发经过
B到C，共行10千米，如果从B出发经C达A，共行13千米，如果从 C出发经过A到达B，共行11千米。
问：哪两个同学家之间的距离最短？最短的距离是多少千米？







7
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B
C
A

【例 5】、如图，在长方形ABCD中，AD=15厘米，AB=8厘米，四边形OEFG的面积是9平方厘米，求阴 影部
分的总面积。








基础夯实
1、50以内5的倍数和7的倍数的自然数共有多少个？



2、在1至100的全部自然数中，既不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少？



3、在从1到60的整数中，能被3或4或5整除的数有多少个？



4、四（一）班50个学生，每人至少参加了一个兴趣小组，其中37 人参加科技组，25人参加美术组，求
同时参加两个兴趣小组的人数是多少？



5、六（一）班全体同学在期末测试中，语文、数学这两科至少有一门获得优秀，其中有30 人语文获得优
秀，有32人数学获得优秀，两科都获得优秀的学生有17人。求该班学生的总人数。



6、六年级有60人爱好数学，50人爱好语文，42人爱好体育，3 0人既爱好数学又爱好语文，20人既爱好
语文又爱好体育，35人既爱好优育又爱好数学，有18人则 三方面都爱好，请问这个年级中数学、语文、
体育三个方面至少爱好一项的学生有多少名？



8
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7、五年 级四班48个学生中，每个人至少会骑自行车和游泳中的一项，平均每12个人中有7人会游泳，
每4个 人中有一个人两样都会，并且每个人至少会一样，求会骑自行车的有多少人？





8、有一个数，除以3余数是2，除以4余数是1，问这个数除以12余数是几？





9、有50名同学面向老师站成一行。老师让同 学们从左到右依次按1、2、3、4、……的顺序报数，报完后，
让报数是4的倍数的同学向后转，接着 又让报数是6的倍数的同学向后转，问此时还有多少名同学面向老
师？









第四讲 推理与论证
知识纵横：
本专题主要涉及计算推理、列表推理来进行逻辑推理和用奇偶分析法、极端化思考 来进行证明的一些方法。
这类数学题似乎不像数学题，因为题目中有时没有数据和图形，只出现一些相 互关联的条件，有时也不需
要演算或作图来解决，但是讨论这些问题必须有条理清晰的思维和严谨的推理 与证明方法，这种训练对提
高我们的数学思维能力，形成良好的思维方式和意识，具有不可低估的作用。

例题求解：
【例1】、甲说：“乙和丙都说谎。”乙说：“甲和丙都说谎。”丙说 ：“甲和乙都说谎。”根据三人所说，下面
四种说法中，哪一种说法是正确的。（1）三人都说谎；（2 ）三人都不说谎；
（3）三人中有一人且只有一人说谎；
（4）三人中有一人且只有一人不说谎。

9
内部资料，请勿外传

【例2】、甲、乙、丙三名运动员囊括了全部比赛项目的前三名，他们的总分 分别是：8、7和17分，甲得
了一个第一名，已知各个比赛项目分数相同，且第一名得分不低于二、三 名得分的和，那么比赛共有多少
个赛项？甲的每项得分分别是多少？




【例3】、孙明、李冬和陈元是中学教师，在语文、数学、政治、地理、音乐和图画六门课中 每人教两门，
现在已知：
（1）政治老师和数学老师是邻居。
（2）陈元最年轻。
（3）李冬老师常对地理老师和数学老师说他爱看书、爱听音乐。
（4）地理老师比语文老师年纪大。
（5）陈元、音乐老师和语文老师三人常一起看足球赛。
问：三位老师每人教哪两门？





【例4】、一本书的页码共需N个数字来表示。例如，一本书11页，页码1～11就需13个数字表示，小 冬
统计了5本书页码所用数字的个数，分别是109，157，1005，1995，2002，这5个 统计数据中的错误的数
据是哪个数？






【例5】、6个人围成一圈，每人心里想一个数，并把这个数告诉左、右相邻的两个人。然后每个人把左 、
右两个相邻人告诉自己的数的平均数亮出来，如下图。问：亮出数11的人原来心中想的数是多少？







10
内部资料，请勿外传

基础夯实
1、某年的三月有五个星期一，四个星期二，这一年的四月一日是星期几？




2、A、B、C三人所读学校为甲校、乙校和丙校，分别爱好篮球、足球、排球。 已知：A不在甲校；B在乙
校；爱好排球的不在丙校；爱好篮球的在甲校；B不爱好篮球。问A在什么学 校？爱好什么？




3、A、B、C、D四支足球队进行单循 环比赛，共要比赛多少场？规定：胜一场得2分，平一场得1分，负
一场得0分。全部比赛结束后，A、 B两队的总分并列第一名，C队第二名，D队第三名，C队最多得多少
分？




4、某校由A、B、C三个班各出3名选手比赛长跑。规定第一名得9分，以后每 个名次得8、7、6、5、4、
3、2、1分。比赛结果，三个班总分相同，没有并列名次，也没有同一 个班的学生得相连名次，如果第一
名是C班，第二名是B班，那么最后一名是哪个班的？




5、已知A、B、C、D、E、F、G、H、I、K代表十个互不相同 的大于0的自然数，要使下列等式都成立，A
最小是多少？
B+C=A D+E=B E+F=C G+H=D H+I=E I+K=F




6、平面上有99条直线，这些直线最多有多少个交点？





11
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7、能不能把54 个棋子放进十个盒子，并且每个盒子里的棋子数都不相同，如果能，怎么做？如果不能，
为什么？（每个 盒子都不能空）




8、如果某个月有5个星期天，并且有三个星期天都是在双号，那么这个月的18日是星期几？





第五讲 探究规律
知识纵横：
“探究给定事物中隐含的规律或变化趋势”是小学数学新课标的具体目标。寻找和探索规律是人类认识世界的重要图径，找到规律并灵活利用规律不只在数学上，而且在人类社会的发展过程中都具有非常重要的意义。小学数学“探究规律”题大致有以下几类：
例题求解：
一、探索自然数间的某种规律
【例1】 在下列横线上填上合适的数字，并说明理由：
（1）1，2，5，14，41， ；
（2）3，4，6，8，9，16，18，19，36， ， ， 。
试一试：按一定的规律排列的一列数依次为：
,
12
,
内部资料，请勿外传

,
,
规律排列下去，这列数中的第7个数是 。
二、探索算式所反映的规律
【例2】 观察下列算式：5
2
=25, 15
2
=225, 25
2
625, 35
2
=1225,45
2
=2025,55
2
=3025……通过观察猜想，85
2
的是（ ）
A、4225 B、5625 C、7225 D、9025
试一试：观察算式：1=1
2
；
1+3=4=2
2
；
1+3+5=9=3
2
；
1+3+5+7=16=4
2
；
13
,
……，按此
内部资料，请勿外传

1+3+5+7+9=25=5；
用式子表示这个规律（n为不等于0的自然数）：
1+3+5+7+9+……+（2n-1）= 。
2


三、探索图形拼接的规律
【例3】如右图：是用火柴棍摆出的
一系列三角形图案，按这种方式
摆下去，当每边上摆n=5根时，
需要的火柴棍总数为 标。

试一试：如下图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若 将露出的表面
都涂上颜色（底面不涂色），则第4个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有 个
14
内部资料，请勿外传

四、探索实际问题中隐含的规律
【例4】 庆祝“六一”联欢会上，小明按照3个红气球、 2个黄气球、1个绿气球的顺序把气球串起
来装饰会场。你知道第20个气球是什么颜色吗？



试一试：A,B,C,D,E,F,G七盏灯各自装有一个拉线开关，开始B,D ,F亮着，一个小朋友从A到G，再
从A到G，再……的顺序依次拉开头，一共拉了2009次，这时亮 着的灯是 。
基础夯实
1、有数组（1，1，1），（2，4，8），（3，9，27），…，求第100组的三个数之和。



2、有一列数2，3，6，8，8，…从第三个数起，每个数都是前两 个数乘积的个位数字，那么这一列数
的第2002个数应是几？



3、将1到200的自然数，分成A、B、C三组：
A组：1，6，7，12，13，18，…
B组：2，5，8，11，14，17，… C组：3，4，9，10，15，16，…
根据分组规律，请回答：
（1）B组中一共有（ ）个自然数；
（2）A组中第24个数是（ ）；
15
内部资料，请勿外传

（3）178是（ ）组里的第（ ）个数。
4、数列3，48，1，5，49，4，7，50，7，9，51，10，11，…的第2002个数是多少？



5、500个同学从前往后排成一列，按下面的规定报数：如果某个同 学报的是一位数，后面的同学就要报出
这个数与7的和，如果某个同学报的是两位数，后面的同学就要报 出这个数的个位数与4的和。现在让第
一个同学报“1”，问最后一个同学报几？









第六讲 概率
知识纵横：
概率：是表示事件发生可能性大小的数量，它产生于博弈，原来主要用于统计中， 现在随着电脑的普
及及运用，概率知识在生活中的运用越来越广泛，本讲主要是概率的初步识识，求概率 的这类问题往往要
借助于枚举和其他计数原理进行分类、计数，然后根据总数求出概率。
基础练习
1、抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列 事件中是不可能
事件的是（ ）
（A）点数之和为12
（C）点数之和大于4且小于8
2、下列说法正确的是（ ）
（A）可能性很小的事件在一次实验中一定不会发生
（B）可能性很小的事件在一次实验中一定发生
（C）可能性很小的事件在一次实验中有可能发生
（D）不可能事件在一次实验中也可能发生
3、下列事件中，概率是1的是（ ）
（A）太平洋中的水常年不干
（B）男生比女生高
（C）计算机随机产生的两位数是偶数
（D）星期天是晴天
16
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（B）点数之和小于3
（D）点数之和为13

4、一只小鸟自由自在地在空中飞行，然后 随意落在如图所示的某个方格中（每个方格除颜色外完全
一样），小鸟停在黑色方格中的概率是（ ）
（A）


（C
B）
）

（
17
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（D）

5、一个均匀的立方体六个面上分别标有1、2、3、4、5、6，如图所示是这个立 方体表面的展开图，
抛掷这个立方体，则朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的2倍的概率是
18
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A）

（B）（

19
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（C） （D）

6、一个口袋里有黑球10个和若干个黄球，从口袋中随机摸出一球记下其颜色，再把 它放回口袋口摇
匀，重复上述过程，共试验200次，其中有120次摸到黄球，由此估计袋中的黄球有 （ ）
（A）15
例题求解：
【例1】在四张相同的卡片上标有 1、2、3、4四个数字，从中任意抽出两张：①两张都是偶数的概率
是（ ）；
②第一张为奇数第二张为偶数的概率是（ ）； ③总是出现一奇一偶的概率是（ ）
（B）30 （C）6 （D）10
20
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【例2】 如果一枚某种防空导弹击中敌机的可能性为
么二枚同样的 防空导弹同时发射，至少有一枚击中敌机的可能性为多少？



，那
【例3】 小华有四双式样相同的袜子，其中两双为蓝色，两双为白色。这八只袜子散放在 一起，小华
不看而取，一次取一只，问：
（1）小华必须取几次，才能保证取得同样颜色的一双袜子。
（2）她连续取两次，这时取得一双蓝色袜子的可能性是多少？






【例4】 某商场设了一个可以自由转动的转般如图，并规定：顾客购 物10元以上就能获得一次转动
转盘的机会，当转般停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品。 下表是活动进行中的数组统计数
据：
（1）计算并完成表格：
转动转般的次数n
落在“钢笔”的次数m
落在“钢笔”的频率
100 150 200 500 800 1000
68

111 136 345 564 701

21
内部资料，请勿外传

（2）请估计，当n很大时，频率将会接近多少？



【例5】 杨华与季红用5张同样规格的硬纸片做拼图游戏，正面如图1所示，背面完全一样，将它们
背面朝上搅匀 后，同时抽出两张，规则如下：当两张硬纸片上的图形可拼成电灯或小人时，杨华得1分，
当两张硬纸片 上的图形可拼出房子或小山时，季红得1分（如图2），问题：（1）游戏规则对双方公平吗？
请说明理 由；（2）若你认为不公平，如何修改游戏规则才能使游戏对双方公平？






基础夯实
1、下列事件中：①太阳从西边出来；②树上的苹 果飞到月球上；③普通玻璃从三楼摔到一楼的水泥
地面上碎了；④小颖的数学测试得了100分，随机事 件为（ ）；哪些事件是必须发生的（ ）；哪些
事件是不可能发生的（ ）（只填序号） < br>2、中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商< br>标牌中，有5个商标牌的背面注明一定的奖金额，其余商标牌的背面是一张哭脸，若翻到哭脸，就不得奖，
参与这个游戏的观众有三次翻牌的机会（翻过的牌不能再翻），某观众前两次翻牌均获得若干奖金，那么
他第三次翻牌获奖的概率是（ ）
3、有大、小两枚骰子，每枚上的6个面分别画着1～ 6点，同时抛这两枚骰子，两枚骰子的总数之差
等于1与等于2的可能性相比，等于几的可能性大？





4、小红的和小明参加一种有奖游戏，每人中奖 的可能为50%，求两人中至少有一人中奖的可能性为百
分之几？

22
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5、四个装药的瓶子都贴了标签，其中恰好有三个贴错了，那么错的情况有多少种？






6、一张圆桌旁有四个座位，A先生在如图所示 的座位上，B、C、D三人随机坐到其他三个座位上，求
A与B不相邻而坐的概率。







7、准备了三张大小相同的纸片，其 中两张纸片上各画一个半径相等的半圆，另一张纸片上画一个正
方形。将这三张纸片放在一个盒子里摇匀 ，随机地抽取两张纸片，若可以拼成一个圆形（取出的两张纸片
都画有半圆形）则甲方赢；若可以拼成一 个蘑菇形（取出的一张纸片画有半圆、一张画有正方形）则乙方
赢。你认为这个游戏对双方公的吗？若不 是，有利于谁？










第七讲 综合训练
一、填空题
1、如右图是一个养禽专业户去年养的鸡、鸭、鹅的扇形统计图。如果这个专业户
23
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养了450只鹅，则他养鸡 只。
2、仓库里有20吨钢材，第一次用去总数的
剩下的25%，还剩 吨钢材。
3、把一根长3米，底面半径1分米的圆柱体钢材截成3段，表面积增加了 。
4、在如图的长方体中，过棱CC1和平面AD1垂直的平面图是 。
，第二 次和去
5、一件工作，乙单独做需要8天完成，甲的工效是乙的2倍，如果两人合做，则要 天完成这件工作。
6、有3个连续自然数，他们的积是和的120倍，这3个数是 。 7、我校学生王某在参加全省中学生数学颁奖大会后，对好友说：“我的名次、分数和我的年龄乘起来是2716。”请你猜想王某 岁，竞赛得第 名，分数是 分。 8、雅雅家住平安待，礼礼向她打听：“雅雅，你家门牌几号？”“我住的那条街的各家门牌号从1开始，< br>除我家外，其余各家门牌号加起来恰好等于1000。”雅雅回答说。那么雅雅住 号。
二、单一选择题
9、从一幅扑克中（除去大小王），任意摸出一张，能摸到红桃的可能性是（ ）。
24
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A、


C
25
B、
、


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D、

2
10、如果x=5，y=7满足2x-1=ky，那么k是（ ）。


A、5
A、




B、7

C、3 D、4
D、以上都不对
11、已知线段AB=5，C是AB延长线上一点，BC=2，则线段AC长为（ ）
B、3 C、3或7
12、若一年期定期储蓄利率为2.75 %，所得利息要交纳5%的利息税，则存入一年期1000元，到期后储户
利息扣税后为（ ）。
13、如下图，三角形一共有（ ）。
A、4个 B、6个 C、9个 D、15个
14、下列图形中不是轴对称图形的有（ ）。
长方形、平行四边形、等腰三角形、圆形、梯形
A、5个 B、4个 C、3个 D、2个
15、观察下列数的规律：3、4、6、8、9、16、18、19、 36、38、39、76、78、79、156…继续写出后面的
三个数是（ ）。
A、158、159、316 B、157、312、314 C、157、158、314 D、无规律，写不出
26
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、规定“*”为一种运算，它满足a*b=
2007*2007）=（ ）
A、2007 B、

D、无法计算
27
，那么2007*
C、

16
（


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三、计算题
17、用简便方法计算：3.14×5.6+3.14×5.5-1
×





4
28
×3.14+2.5

×
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18、用“裂
+

项法”计
+
+
29
算：
+
+…


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19、解比例：(x-66):2=(15-2x):5 0.4:0.25=





四、应用题
< br>20、某校小六（1）班全体同学在“支援灾区献爱心”活动中都捐了款，具体捐款情况如右表，则该班学生捐款的平均数是多少元？（要求列综合算式解答）
捐款数（元）
捐款人数




1
2
2
24
3
21
4
3
30
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21、甲乙两堆煤共140吨。当甲堆运走，乙堆运走10
吨时，乙 堆煤剩下的吨数是甲堆煤剩下吨数的
乙两堆煤各有多少吨？（要求列方程解答）




。求原来甲、
22、一种电视机，商场将进价加35%定价，然后按定价 打九折出售，并且每台送“打的”费50元，
这样每台可获利208元。这种电视机的进价是多少元？




31
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23、有三个分子相同的最简假分数，化成带分数后为a，
b，c 。已知
a、b、c都小于10,a、b、c依次为（ ）、（ ）、（ ）。
24、钟面上3点过几分时，时针和分针于“3”的距离相等，并且在“3”的两旁？




25、如图，ABC是等腰直角三角形，D是半圆周上的中点，BC是 半圆的直径，且AB=BC=10，求阴影部分面
积（π取3.14）





32
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第八讲 模拟测试
一、填空题（每题4分，共32分）
1、若一个整数a数2，3，……，9这8个自然数除，所得的余数都为1，则a的最小值是 。
2、一艘轮船从甲地到乙地每小时航行60千米，然后按原路返回，若想往返的平均速度为80千米 小时，
则返回时每小时应艇行 千米。
3、一个长方体下底周长是28厘米，高是10厘米。这个长方体的棱长总和是 。
4、两数相除的商是3，余数是1，如果把被除除数、商和余数相加，它们的和是193，则被除数是 ，
除数是 。
5、观察下列三角形数阵，则第50行的最后一个数是 。
6、把一根10米长的绳子，剪成每段一样长的小段，共剪5次，每段为
米。如果剪成两段需要3分钟，剪成5段共需要 分钟。
7、一个直角三角形的三条边分别 长为5厘米、4厘米、3厘米，以一直角边为轴，旋转一周后，得到的图
形的体积是 立方厘米（结果中的π保留，不必取近似值计算）。
8、在正方形里画一个最大的圆，圆的面积是正方形面积 ，在圆里面画一个最大的正方形，正方
形面积是圆的 （结果中的π保留，不必取近似值计算）。
二、选择题（每题4分，共24分）
9、一件工作，甲单独做用的时间比乙单独做少
作效率的比是（ ）。
A、4：3 B、3：4 C、3：2 D、2：3
，甲和乙工
33
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10、甲 、乙、丙三人共做了183道数学题，乙做的题比丙的2倍少4道，甲做的题比丙的3倍多7道。丙
做了 多少道题？正确算式是（ ）。
A、183÷（1+2+3）-4+7
C、（183-4+7）÷（1+2+3）




B、183×（1+2+3）+4-7
D、（183+4-7）÷（1+2+3）
11、随机掷一枚均匀的硬币两次，两次都正面朝上的概率是（ ）。
A、
C
34
B、
、
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、把一个棱长为a的正方体，切成两个长方体表面积为（
35
D、
12 ）。
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A、5
6

2
2

36
B
C
、
、


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7
8

2
D
2

37
、
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13、如果a，b，c是三个任意整数，那么，
，
A、都不是整数
C、至少有两个整数








B、至少有一个整数
D、都是整数
（ ）。
14、现有A、B、C、D、E五个同学，他们分别为来自一中、二中、三中的学生，已知：（1）每所学校至
少有他们中的一名学生；（2）在二中的晚会上，A、B、E作为被邀请的客人演奏了小提琴；（3）B 过去
曾在三中学习，后来转学了，现在同D在同一个班学习；（4）D、E是同一所学校的三好学生，根 据以上
叙述可以断定A所在学校为（ ）。
A、一中

三、计算题（每题5分，共10分）
15、


38
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B、二中 C、三中 D、不确定

16、观察后面等式： 将前面三个等式
两边分别相加得：
（1）猜想并写出：
（2）

（3）探究并计算：




= 。
直接写出下面式子的计算结果：
；
39
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四、解答题
17、甲、乙两人现在的年龄之和为98岁，当甲的年 龄是乙的年龄的一半时，乙恰是甲现在的年龄。求甲、
乙现在各多少岁？（6分）




18、求在6点与7点之间，分针与时针成直角的时间（6分）




19、下图中长方形的面积是180平方厘米，S1与S2的面积都是 60平方厘米，阴影部分的面积是多少平方
厘米？（5分）





20、某农场有马和牛240头，一次卖出马总数的
45头牛，这时马和牛的头数相 等，求原来马和牛各多少头？（用方程解答）（5分）






40
，又买回
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重难点专题复习： 圆和扇形
【例题分析】
例1 如图，从大圆中挖去互相相切的三个小圆，如果大圆的直径20厘米，求阴影部分的周长。






例2 如图，正方形
ABCD
边长为1 厘米，现依次以
A
、
B
、
C
、
D
为圆心， 以
AD
、
BE
、
CF
、
D
、
G< br>为半径
画出去圆，求阴影部分外围的周长。





例3一只豹追捕一只小狗，眼看马上就要追上时，小狗跳到圆形的水塘中，豹在岸上跟着小狗 跑动，
等待小狗上岸时逮住它，豹跑动的速度是狗的2.5倍。你能否想出一种办法让小狗上岸时不被豹 逮住?







例4 求围成图中阴影部分的周长是多少?(单位：厘米)






例5 如图，是机器上传动带示意图，三个轮子的直径都是2米，三个轮子的中心向的距离 分别是5
米、4米、3米，那么传动带的长度是多少?



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例6 有一 边长为2的等边三角形，现将三角形沿水平线滚动，如下图所示，点B从开始位置到结束位
置，它所经过 的的路线的总长度是多少？













【巩固练习】
1．如图，圆的面积是15.7平方厘米，那么阴影部分的面积是多少?







2．如右图，阴影部分的面积是5.7平方厘米，三角形ABC的面积是多少平方厘米?








3．一块正方形草地，面 积l5平方米。在相对两角A、B处各有一棵树，树上各拴了一只羊，拴羊的绳长
与正方形边长相等。两 只羊都能吃到草地面积是多少平方米？
42
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4．如图，三 角形
ABC
是直角三角形，AB是圆的直径，并且AB=20厘米，如果阴影①的面积比阴影② 的面
积大7平方厘米，那么BC的长度是多少厘米?








5．如图，已知三个圆的半径都是4厚米，O
1< br>，O
2
，O
3
分别为圆心，求阴影部分的面积?(1999年奥林匹克 决
赛题)












6．如右图，大圆半径为6，则其阴影部分的面积为





43
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。

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