编者按范文-个人借条范本

小学六年级奥数题集锦

搬运一个仓库的 货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时.有同样
的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B 仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，
中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙 帮助甲、乙各多少时
间？
解：设搬运一个仓库的货物的工作量是1.现在相当于三人共同完成工作量2，
所需时间是










答：丙帮助甲搬运3小时，帮助乙搬运5小时
解本题的关键，是先算出三人共同 搬运两个仓库的时间.本题计算当然也可以
整数化，设搬运一个仓库全部工作量为 60.甲每小时搬运 6，乙每小时搬运 5，
丙每小时搬运4
三人共同搬完，需要
60 × 2÷（6+ 5+ 4）= 8（小时）
甲需丙帮助搬运
（60- 6× 8）÷ 4= 3（小时）
乙需丙帮助搬运
（60- 5× 8）÷4= 5（小时）
一件工作,若由甲单独做72天完成,现在甲做1天后,乙加入一起工作,合作2天后,
丙也一起工作,三人再一起工作4天,完成全部工作的13,又过了8天,完成了全部
工作的5 6,若余下的工作由丙单独完成,还需要几天?

答案
甲乙丙3人8天完成 :56-13=12
甲乙丙3人每天完成 :12÷8=116，
甲乙丙3人4天完成 :116×4=14
则甲做一天后乙做2天要做 :13-14=112
那么乙一天做 :[112-172×3]2=148

则丙一天做 :116-172-148=136
则余下的由丙做要 :[1-56]÷136=6天
答：还需要6天




某书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次购书用100元，按该书定价
2.8元出售， 很快售完。第二次购书时，每本的批发价比第一次增多了0.5元，
用去150元，所购数量比第一次多 10本，当这批书售出45时出现滞销，便以
定价的5折售完剩余图书。试问该老板第二次售书是赔钱还 是赚钱，若赔，赔多
少，若赚，赚多少
答案
（100+40）2.8=50本 10050=2 150(2+0.5）=60本 60*80%=48本
48*2.8+2.8*50*12-150=1.2 盈利1.2元

育才小学原来体育达标人数与未达标人数比是3：5，后来又有60名同学达标，
这时达标人数是未达标人数的911，育才小学共有学生多少人？
答案
原来达标人数占总人数的
3÷（3＋5）＝38
现在达标人数占总人数的
911÷（1＋911）＝920
育才小学共有学生
60÷（920－38）＝800人

875原来甲乙丙三个村合修一条水渠， 修完后，甲乙丙村可灌溉的面积比是：：
三个村计划按可灌溉的面积比派出劳力，后来因为丙村抽不出劳 力，经协商，丙
1350元，结果，甲村村应抽出的劳力由甲乙两村分担，丙村付给甲乙两村工钱
6040 人，问甲乙两村各应分得工钱多少元？共派出人，乙村共派出 答案
8+7+5=20 份根据甲乙丙村可灌溉的面积比算出总份数：20=5 60+40÷）每份需
要的人数：人（5=4060-40=20 8×甲村需要的人数：人人，多出劳力人数：
5=3540-35=5 7×乙村需要的人数：人，多出劳力人数：人5=25 20+5=25 5×丙
村需要的人数：或人人25=54 1350÷每人应得的钱数：元20=1080 54×甲村应
得的工钱：元5=270 54×乙村应得的工钱：元
某人到商店买红蓝两 种钢笔，红钢笔定价5元，蓝钢笔定价9元，由于购买量
较多，商店给予优惠，红钢笔八五折，蓝钢笔八 折，结果此人付的钱比原来节省
的18%，已知他买了蓝钢笔30枝，那么。他买了几支红钢笔？
答案红笔买了x支。
（5x+30×9）×（1-18%)=5x×0.85+30×9×0.8
x=36.
十字交叉法，需要算总钱数比



甲说：“我乙丙共有100 元。”乙说：“如果甲的钱是现有的6倍，我的钱是现有
的13，丙的钱不变，我们仍有钱100元。” 丙说：“我的钱都没有30元。”三人
原来各有多少钱？

答案
乙的话表明：甲钱5倍与乙钱23一样多
所以，乙钱是3*5=15的倍数，甲钱是偶数

丙钱不足30，所以，甲乙钱和多于70，
而乙多于甲的6倍，
所以，乙多于60

设乙=75，甲=75*23÷5=10,丙=100-10-75=15
设乙=90，甲=90*23÷5=12,90+12>100,不行

所以，三人原来：甲10元，乙75元，丙15元

两支成分不同的蜡烛,其中 1支以均匀速度燃烧,2小时烧完,另一支可以燃烧3小
时,傍晚6时半同时点燃蜡烛，到什么1支剩余 部分正好是另一支剩余的2倍？
答案
两支蜡烛分别设为A蜡烛和B蜡烛，其中A蜡烛是那支烧得快点的
A蜡烛，两小时烧完，那么每小时燃烧12
B蜡烛，三小时烧完，那么每小时燃烧13
设过了x小时以后，B蜡烛剩余的部分是A的两倍
2（1—x2）=1—x3
解得x=1.5
由于是6点半开始的，所以到8点的时候刚刚好


1点从学校出发，走了一段平路，爬了一座山后按原学校组织春游，同学们下午
4Km3Km小 时，爬山路返回，下午七点回到学校。已知他们的步行速度平路
6Km2.5 时。问：他们一共行了多少路小时，下山为小时，返回时间为答案1
设走的平路是X公里 山路是Y公里
因为1点到七点共用时间6小时 返回为2.5小时 则去时用3.5小时
Y3-Y6=1小时
Y=6公里
去时共用3.5小时 则X4+Y3=3.5 X=6
所以总路程为2（6+6）=24km
2
答案解：春游共用时：7：00－1：00＝6（小时）
上山用时：6－2.5＝3.5（小时）
上山多用：3.5－2.5＝1（小时）
山路：（6－3）×1÷（3÷6）＝6（千米）
（小时）1＝66÷下山用时：



平路：（2.5－1）×4＝6（千米）
单程走路：6＋6＝12（千米）
共走路：12×2＝24（千米）

答：他们共走24千米。



工程问题
1．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20 小时，16小时.丙水管单独
开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后， 再打
开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？
解：
120+116＝980表示甲乙的工作效率
980×5＝4580表示5小时后进水量
1-4580＝3580表示还要的进水量
3580÷（980-110）＝35表示还要35小时注满
答：5小时后还要35小时就能将水池注满。

2．修一条水渠，单独修，甲队 需要20天完成，乙队需要30天完成。如果两队
合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低 ，甲队的工作效率是原来
的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。现在计划16天修完这条水渠 ，
且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？
解：由题意得，甲的工效为12 0，乙的工效为130，甲乙的合作工效为
120*45+130*910＝7100，可知甲乙合作工 效>甲的工效>乙的工效。
又因为，要求“两队合作的天数尽可能少”，所以应该让做的快的甲多做 ，16天
内实在来不及的才应该让甲乙合作完成。只有这样才能“两队合作的天数尽可能
少”。
设合作时间为x天，则甲独做时间为（16-x）天
120*（16-x）+7100*x＝1
x＝10
答：甲乙最短合作10天

3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。现在先请
甲 、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多
少小时？
解：
由题意知，14表示甲乙合作1小时的工作量，15表示乙丙合作1小时的工作
量
（14+15）×2＝910表示甲做了2小时、乙做了4小时、丙做了2小时的工
作量。
根据“甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成”可知甲做2小时、
乙做6小时、丙做 2小时一共的工作量为1。
所以1－910＝110表示乙做6-4＝2小时的工作量。
110÷2＝120表示乙的工作效率。
1÷120＝20小时表示乙单独完成需要20小时。
小时。20答：乙单独完成需要．

4．一 项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替
轮流做，那么恰好用整数天完工 ；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，
第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种 多半天。已知乙单独做
这项工程需17天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？
解：由题意可知
1甲+1乙+1甲+1乙+……+1甲＝1
1乙+1甲+1乙+1甲+……+1乙+1甲×0.5＝1
（1甲表示甲的工作效率、1乙 表示乙的工作效率，最后结束必须如上所示，否
则第二种做法就不比第一种多0.5天）
1甲＝1乙+1甲×0.5（因为前面的工作量都相等）
得到1甲＝1乙×2
又因为1乙＝117
所以1甲＝217，甲等于17÷2＝8.5天
5．师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了12时，徒弟完成了120个。当
师傅完成了任务时 ，徒弟完成了45这批零件共有多少个？
答案为300个
120÷（45÷2）＝300个
可以这样想：师傅第一次完成了12，第二次也是12， 两次一共全部完工，那
么徒弟第二次后共完成了45，可以推算出第一次完成了45的一半是25，刚< br>好是120个。

6．一批树苗，如果分给男女生栽，平均每人栽6棵；如果单份 给女生栽，平均
每人栽10棵。单份给男生栽，平均每人栽几棵？
答案是15棵
算式：1÷（16-110）＝15棵

7．一个池上装有3根水管。甲管为进 水管，乙管为出水管，20分钟可将满池水
放完，丙管也是出水管，30分钟可将满池水放完。现在先打 开甲管，当水池水
刚溢出时，打开乙,丙两管用了18分钟放完，当打开甲管注满水是，再打开乙管，< br>而不开丙管，多少分钟将水放完？
答案45分钟。
1÷（120+130）＝12 表示乙丙合作将满池水放完需要的分钟数。
112*（18-12）＝112*6＝12 表示乙丙合作将漫池水放完后，还多放了6分钟
的水，也就是甲18分钟进的水。
12÷18＝136 表示甲每分钟进水
最后就是1÷（120-136）＝45分钟。

8．某工程队需要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙队去
做 ，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如
期完成，问规定日期为几天 ？
答案为6天

解：



由“若 乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单
独做，恰好如期完成，”可知：
乙做3天的工作量＝甲2天的工作量
即：甲乙的工作效率比是3：2
甲、乙分别做全部的的工作时间比是2：3
时间比的差是1份
实际时间的差是3天
所以3÷（3-2）×2＝6天，就是甲的时间，也就是规定日期
方程方法：
[1x+1（x+2）]×2+1（x+2）×（x-2）＝1
解得x＝6

9．两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小时，而点完一根细 蜡烛要1小时，
一天晚上停电，小芳同时点燃了这两根蜡烛看书，若干分钟后来点了，小芳将两
支蜡烛同时熄灭，发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍，问：停电多少分钟？
答案为40分钟。
解：设停电了x分钟
根据题意列方程
1-1120*x＝（1-160*x）*2
解得x＝40


二．鸡兔同笼问题
1．鸡与兔共100只,鸡的腿数比兔的腿数少28条,问鸡与兔各有几只?
解：
4*100＝400，400-0＝400 假设都是兔子，一共有400只兔子的脚，那么鸡的
脚为0只，鸡的脚比兔子的脚少400只。
400-28＝372 实际鸡的脚数比兔子的脚数只少28只，相差372只，这是为什么？
4+2＝6 这是因为只要将一只兔子换成一只鸡，兔子的总脚数就会减少4只（从
400只变 为396只），鸡的总脚数就会增加2只（从0只到2只），它们的相差
数就会少4+2＝6只（也就是 原来的相差数是400-0＝400，现在的相差数为396-2
＝394，相差数少了400-394 ＝6）
372÷6＝62 表示鸡的只数，也就是说因为假设中的100只兔子中有62只改为了鸡，所以脚的相差数从400改为28，一共改了372只
100-62＝38表示兔的只数




三．数字数位问题
1．把1至200 5这2005个自然数依次写下来得到一个多位数123456789.....2005,
这个多位数 除以9余数是多少?

解：
整除，那么9整除的数的特点：如果各个数位上的数字之和能被9首先研究能
被



这个数也能被9整除；如果各个位数字之和不能被9整除，那么得的余数就是这个数除以9得的余数。
解题：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；45能被9整除
依次类推：1~1999这些数的个位上的数字之和可以被9整除
10~19，20~29 ……90~99这些数中十位上的数字都出现了10次，那么十位上
的数字之和就是10+20+30+ ……+90=450 它有能被9整除
同样的道理，100~900 百位上的数字之和为4500 同样被9整除
也就是说1~999这些连续的自然数的各个位上的数字之和可以被9整除；
同样的道理：1000~1999这些连续的自然数中百位、十位、个位 上的数字之和
可以被9整除（这里千位上的“1”还没考虑，同时这里我们少
2
从1000~1999千位上一共999个“1”的和是999，也能整除；
2的各位数字之和是27，也刚好整除。
最后答案为余数为0。

2．A和B是小于100的两个非零的不同自然数。求A+B分之A-B的最小值...
解：
(A-B)(A+B) = (A+B - 2B)(A+B) = 1 - 2 * B(A+B)
前面的 1 不会变了，只需求后面的最小值，此时 (A-B)(A+B) 最大。
对于 B (A+B) 取最小时，(A+B)B 取最大，
问题转化为求 (A+B)B 的最大值。
(A+B)B = 1 + AB ，最大的可能性是 AB = 991
(A+B)B = 100
(A-B)(A+B) 的最大值是： 98 100

3．已知A.B.C都是非0自然数,A2 + B4 + C16的近似值市6.4,那么它的准确
值是多少?
答案为6.375或6.4375
因为A2 + B4 + C16＝8A+4B+C16≈6.4，
所以8A+4B+C≈ 102.4，由于A、B、C为非0自然数，因此8A+4B+C为一个
整数，可能是102，也有可能 是103。
当是102时，10216＝6.375
当是103时，10316＝6.4375

4．一个三位数的各位数字 之和 是17.其中十位数字比个位数字大1.如果把这个
三位数的百位数字与个位数字对调,得到一个新的三 位数,则新的三位数比原三位
数大198,求原数.
答案为476
解：设原数个位为a，则十位为a+1，百位为16-2a
根据题意列方程100a+10a+16-2a－100（16-2a）-10a-a＝198

解得a＝6，则a+1＝7 16-2a＝4
答：原数为476。

求原来24,倍多7所组成的三位数比原两位数的3,在它的前面写上,．一个两位数5．



的两位数.
答案为24
解：设该两位数为a，则该三位数为300+a
7a+24＝300+a
a＝24
答：该两位数为24。

6．把一个两位数的个位数字与 十位数字交换后得到一个新数,它与原数相加,和
恰好是某自然数的平方,这个和是多少?
答案为121
解：设原两位数为10a+b，则新两位数为10b+a
它们的和就是10a+b+10b+a＝11（a+b）
因为这个和是一个平方数，可以确定a+b＝11
因此这个和就是11×11＝121
答：它们的和为121。

7．一个六位数的末位数字是2,如果把2移到首位,原数就是新数的3倍,求原数.
答案为85714
解：设原六位数为abcde2，则新六位数为2abcde（字母上无 法加横线，请将整
个看成一个六位数）
再设abcde（五位数）为x，则原六位数就是10x+2，新六位数就是200000+x
根据题意得，（200000+x）×3＝10x+2
解得x＝85714
所以原数就是857142
答：原数为857142

8．有一个 四位数,个位数字与百位数字的和是12,十位数字与千位数字的和是9,
如果个位数字与百位数字互换 ,千位数字与十位数字互换,新数就比原数增加
2376,求原数.
答案为3963
解：设原四位数为abcd，则新数为cdab，且d+b＝12，a+c＝9
根据“新数就比原数增加2376”可知abcd+2376=cdab,列竖式便于观察
abcd
2376
cdab
根据d+b＝12，可知d、b可能是3、9；4、8；5、7；6、6。
再观察竖式中的个位，便可以知道只有当d＝3，b＝9；或d＝8，b＝4时成立。
先取d＝3，b＝9代入竖式的百位，可以确定十位上有进位。

根据a+c＝9，可知a、c可能是1、8；2、7；3、6；4、5。
再观察竖式中的十位，便可知只有当c＝6，a＝3时成立。
再代入竖式的千位，成立。
得到：abcd＝3963
再取d＝8，b＝4代入竖式的十位，无法找到竖式的十位合适的数，所以不成立。




9．有一个两位数,如果用它去除以个位数字,商为9余数为6,如果 用这个两位数
除以个位数字与十位数字之和,则商为5余数为3,求这个两位数.
解：设这个两位数为ab
10a+b＝9b+6
10a+b＝5（a+b）+3
化简得到一样：5a+4b＝3
由于a、b均为一位整数
得到a＝3或7，b＝3或8
原数为33或78均可以

10．如果现在是上午的10点21分,那么在经过 28799...99(一共有20个9)分钟
之后的时间将是几点几分?
答案是10：20
解：
（28799……9（20个9）+1）6024整除 ，表示正好过了整数天，时间仍然还
是10：21，因为事先计算时加了1分钟，所以现在时间是10： 20

四．排列组合问题
1．有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有（ ）
A 768种 B 32种 C 24种 D 2的10次方中
解：
根据乘法原理，分两步： 第一步是把5对夫妻看作5个整体，进行排列有5×4×3×2×1＝120种不同的
排法，但是因 为是围成一个首尾相接的圈，就会产生5个5个重复，因此实际
排法只有120÷5＝24种。 第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫妻均有2种排法，
总共又2×2×2× 2×2＝32种
综合两步，就有24×32＝768种。

2 若把英语单词hello的字母写错了,则可能出现的错误共有 ( )
A 119种 B 36种 C 59种 D 48种
解：
5全排列5*4*3*2*1=120
有两个l所以1202=60
原来有一种正确的所以60-1=59

五．容斥原理问题
1． 有100种赤贫.其中含钙的有68种,含铁的有43种,那么,同时含钙和铁的食
品种 类的最大值和最小值分别是( )
A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11



解：根据容斥原理最小值68+43-100＝11
最大值就是含铁的有43种

2．在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知: (1)某校25名学生参加竞赛,每个
学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解 出第二题的人数是
解出第三题的人数的2倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的< br>人数多1人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二
题的学生人 数是( )
A，5 B，6 C，7 D，8
解：根据“每个人至少答出三题中的一道 题”可知答题情况分为7类：只答第1
题，只答第2题，只答第3题，只答第1、2题，只答第1、3题 ，只答2、3题，
答1、2、3题。
分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123
由（1）知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123＝25…①
由（2）知：a2+a23＝（a3+ a23）×2……②
由（3）知：a12+a13+a123＝a1－1……③
由（4）知：a1＝a2+a3……④
再由②得a23＝a2－a3×2……⑤
再由③④得a12+a13+a123＝a2+a3－1⑥
然后将④⑤⑥代入①中，整理得到
a2×4+a3＝26
由于a2、a3均表示人数，可以求出它们的整数解：
当a2＝6、5、4、3、2、1时，a3＝2、6、10、14、18、22
又根据a23＝a2－a3×2……⑤可知：a2>a3
因此，符合条件的只有a2＝6，a3＝2。
然后可以推出a1＝8，a12+a13+a 123＝7，a23＝2，总人数＝8+6+2+7+2＝25，
检验所有条件均符。
故只解出第二题的学生人数a2＝6人。

3．一次考试共有5道试题。做对第 1、2、3、、4、5题的分别占参加考试人数
的95%、80%、79%、74%、85%。如果做对 三道或三道以上为合格，那么这
次考试的合格率至少是多少？
答案：及格率至少为71％。
假设一共有100人考试
100-95＝5
100-80＝20

100-79＝21
100-74＝26
100-85＝15
5+20+21+26+15＝87（表示5题中有1题做错的最多人数）
87÷3＝29（表示5题中有3题做错的最多人数，即不及格的人数最多为29人）
100-29＝71（及格的最少人数，其实都是全对的）
及格率至少为71％





六．抽屉原理、奇偶性问题
1． 一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种，
问最少要摸出几只手套才能保 证有3副同色的？
解：可以把四种不同的颜色看成是4个抽屉，把手套看成是元素，要保证有一副< br>同色的，就是1个抽屉里至少有2只手套，根据抽屉原理，最少要摸出5只手
套。这时拿出1副同 色的后4个抽屉中还剩3只手套。再根据抽屉原理，只要
再摸出2只手套，又能保证有一副手套是同色的 ，以此类推。
把四种颜色看做4个抽屉，要保证有3副同色的，先考虑保证有1副就要摸出5
只手套。这时拿出1副同色的后，4个抽屉中还剩下3只手套。根据抽屉原理，
只要再摸出2只手套， 又能保证有1副是同色的。以此类推，要保证有3副同
色的，共摸出的手套有：5+2+2=9（只）
答：最少要摸出9只手套，才能保证有3副同色的。

2．有四种颜色的积木若 干，每人可任取1-2件，至少有几个人去取，才能保证
有3人能取得完全一样？
答案为21
解：
每人取1件时有4种不同的取法,每人取2件时,有6种不同的取法.
当有11人时,能保证至少有2人取得完全一样:
当有21人时,才能保证到少有3人取得完全一样.

3．某盒子内装50只球 ，其中10只是红色，10只是绿色，10只是黄色，10只
是蓝色，其余是白球和黑球，为了确保取出 的球中至少包含有7只同色的球，问：
最少必须从袋中取出多少只球？
解：需要分情况讨论，因为无法确定其中黑球与白球的个数。
当黑球或白球其中没有大于或等于7个的，那么就是：
6*4+10+1=35(个)
如果黑球或白球其中有等于7个的，那么就是：
6*5+3+1＝34（个）
如果黑球或白球其中有等于8个的，那么就是：
6*5+2+1＝33
如果黑球或白球其中有等于9个的，那么就是：
6*5+1+1＝32
< /p>

4．地上有四堆石子，石子数分别是1、9、15、31如果每次从其中的三堆同时
各取出1个，然后都放入第四堆中，那么，能否经过若干次操作，使得这四堆石
子的个数都相同?（如 果能请说明具体操作，不能则要说明理由）
不可能。
因为总数为1+9+15+31＝56
564＝14
14是一个偶数
而原来1、9、15、31都是奇数，取出1个和放入3个也都是奇数，奇数加减若
干 。个）14次奇数后，结果一定还是奇数，不可能得到偶数（．




七．路程问题
1．狗跑5步的时间马跑3步，马跑4步的距离狗跑7步，现在狗已跑出30 米，
马开始追它。问：狗再跑多远，马可以追上它？
解：
根据“马跑4步的距离狗跑7步”，可以设马每步长为7x米，则狗每步长为4x
米。 根据“狗跑5步的时间马跑3步”，可知同一时间马跑3*7x米＝21x米，则狗跑
5*4x＝2 0米。
可以得出马与狗的速度比是21x：20x＝21：20
根据“现在狗已跑出3 0米”，可以知道狗与马相差的路程是30米，他们相差的
份数是21-20＝1，现在求马的21份是 多少路程，就是 30÷（21-20）×21＝
630米

2．甲乙辆车同时从a b两地相对开出，几小时后再距中点40千米处相遇？已知，
甲车行完 全程要8小时，乙车行完全程要10小时，求a b 两地相距多少千米？
答案720千米。 < br>由“甲车行完全程要8小时，乙车行完全程要10小时”可知，相遇时甲行了10
份，乙行了8份 （总路程为18份），两车相差2份。又因为两车在中点40千米
处相遇，说明两车的路程差是（40+ 40）千米。所以算式是（40+40）÷（10-8）
×（10+8）＝720千米。

3．在一个600米的环形跑道上，兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，
两人每隔12 分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发，
哥哥改为按逆时针方向跑，则两人每隔 4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分
钟？
答案为两人跑一圈各要6分钟和12分钟。
解：
600÷12=50，表示哥哥、弟弟的速度差
600÷4=150，表示哥哥、弟弟的速度和
（50+150）÷2=100，表示较快的速度，方法是求和差问题中的较大数
（150-50）2=50，表示较慢的速度，方法是求和差问题中的较小数
600÷100=6分钟，表示跑的快者用的时间
60050=12分钟，表示跑得慢者用的时间

4．慢车车长 125米，车速每秒行17米，快车车长140米，车速每秒行22米，
慢车在前面行驶，快车从后面追 上来，那么，快车从追上慢车的车尾到完全超过
慢车需要多少时间？
答案为53秒
算式是（140+125)÷(22-17)=53秒
可以这样理解：“快车从追上慢车的 车尾到完全超过慢车”就是快车车尾上的点
追及慢车车头的点，因此追及的路程应该为两个车长的和。

5．在300米长的环形跑道上，甲乙两个人同时同向并排起跑，甲平均速度是每
秒5米，乙平均速度是每秒4.4米，两人起跑后的第一次相遇在起跑线前几米？
米100答案为



300÷（5-4.4）＝500秒，表示追及时间
5×500＝2500米，表示甲追到乙时所行的路程
2500÷300＝8圈……100 米，表示甲追及总路程为8圈还多100米，就是在原
来起跑线的前方100米处相遇。

6．一个人在铁道边，听见远处传来的火车汽笛声后，在经过57秒火车经过她
前面，已知火车 鸣笛时离他1360米，(轨道是直的),声音每秒传340米，求火车
的速度（得出保留整数）
答案为22米秒
算式：1360÷(1360÷340+57）≈22米秒
关 键理解：人在听到声音后57秒才车到，说明人听到声音时车已经从发声音的
地方行出1360÷340 ＝4秒的路程。也就是1360米一共用了4+57＝61秒。

7．猎犬发现在离它1 0米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去，猎犬
的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但 是兔子的动作快，猎犬跑2步
的时间，兔子却能跑3步，问猎犬至少跑多少米才能追上兔子。
正确的答案是猎犬至少跑60米才能追上。
解：
由“猎犬跑5步的路程，兔子 要跑9步”可知当猎犬每步a米，则兔子每步59
米。由“猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步”可知同 一时间，猎犬跑2a米，
兔子可跑59a*3＝53a米。从而可知猎犬与兔子的速度比是2a：53a ＝6：5，
也就是说当猎犬跑60米时候，兔子跑50米，本来相差的10米刚好追完

8． AB两地,甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是4:5,如果甲乙二人分别
同时从 AB两地相对行使,40分钟后两人相遇,相遇后各自继续前行,这样，乙到达
A地比甲到达B地要晚多 少分钟?
答案：18分钟
解：设全程为1,甲的速度为x乙的速度为y
列式40x+40y=1
x:y=5:4
得x=172 y=190

走完全程甲需72分钟,乙需90分钟
故得解
9．甲乙两车同 时从AB两地相对开出。第一次相遇后两车继续行驶，各自到达
对方出发点后立即返回。第二次相遇时离 B地的距离是AB全程的15。已知甲
车在第一次相遇时行了120千米。AB两地相距多少千米？
答案是300千米。
解：通过画线段图可知，两个人第一次相遇时一共行了1个AB的路程 ，从开始
到第二次相遇，一共又行了3个AB的路程，可以推算出甲、乙各自共所行的路
程分别 是第一次相遇前各自所走的路程的3倍。即甲共走的路程是120*3＝360
千米，从线段图可以看出 ，甲一共走了全程的（1+15）。
因此360÷（1+15）＝300千米

AB小时，现在甲乙分别6小时、4地，甲、乙两人骑自行车分别需要B地到A
从



两地同时出发相向而行，相遇时距AB两地中点2千米。如果二人分别至B地，< br>A地后都立即折回。第二次相遇点第一次相遇点之间有（）千米

10．一船以同 样速度往返于两地之间，它顺流需要6小时;逆流8小时。如果水
流速度是每小时2千米，求两地间的距 离？
解：（16-18）÷2＝148表示水速的分率
2÷148＝96千米表示总路程

11．快车和慢车同时从甲乙两地相对开出 ，快车每小时行33千米，相遇是已行
了全程的七分之四，已知慢车行完全程需要8小时，求甲乙两地的 路程。
解：
相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是4：3
时间比为3：4
所以快车行全程的时间为84*3＝6小时
6*33＝198千米

12．小华从甲地到乙地,3分之1骑车,3分之2乘 车;从乙地返回甲地,5分之3骑
车,5分之2乘车,结果慢了半小时.已知,骑车每小时12千米,乘 车每小时30千米,
问:甲乙两地相距多少千米?
解：
把路程看成1，得到时间系数
去时时间系数：13÷12+23÷30
返回时间系数：35÷12+25÷30
两者之差：（35÷12+25÷30）-（13÷12+23÷30）=175相当于12小时
去时时间：12×（13÷12）÷175和12×（23÷30）175
路程：12×〔 12×（13÷12）÷175〕+30×〔12×（23÷30）175〕=37.5
（千米）

小学奥数题80道

六年综合奥数题 工 程问题1．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小
时.丙水管单独开，排一池水 要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开
排水管丙，问水池注

满还是要多少小时？

980表示甲乙的工作效率 120+116＝解：


小时后进水量4580表示5＝980×5

表示还要的进水量1-4580＝3580

35小时注满）＝
（980-11035表示还要3580÷

小时就能将水池注满。5答：小时后还要35 2．修一条水渠，
单独修，甲队需要20天完成，乙队需 要30天完成。如果两队合作，由于彼此施工有影响，他们
的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来 的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。
现在计划16天修完这条水渠，且要求两队合作的天数 尽可能少，

那么两队要合作几天？



解：由题意 得，甲的工效为120，乙的工效为130，甲乙的合作工效为120*45+130*910

乙
的工效。甲的工效>＝7100，可知甲乙合作工效>又因为，要求“两队合作的天数尽 可能少”，所
以应该让做的快的甲多做，16天内实在来不

。两队合作的天数尽可能少”及的才应该让甲乙
合作完成。只有这样才能“

16-x天，则甲独做时间为（）天设合作时间为x

10天 答：
甲乙最短合作1 x＝10 120*（16-x）+7100*x＝ 3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，
乙、丙合做需5小时完成。现在先请甲、丙合做

6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小
时？2小时后，余下的乙还需做

1小时的工作量小时的工作量，15表示乙丙合作解： 由题
意知，14表示甲乙合作1

小时的工作量。2小时、乙做了4小时、丙做了 ×2＝910表示甲
做了2（14+15）根据“甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成”可 知甲做2小时、
乙做6小时、丙

。2小时一共的工作量为1做

小时的工作量。6-4＝2－910＝110表示乙
做所以1

表示乙的工作效率。＝120110÷2

小时。小时表示乙单独完成需要201÷120＝
20

小时。答：乙单独完成需要20 4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第
四天乙做， 这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙
做，第四天甲做，这 样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需
17天完成，甲单独做

这项工程要多少天完成？

解：由题意可知


甲＝1 甲+1乙+……+11甲+1乙+1

1 ×0.5＝甲乙+1甲+…… +1乙+1甲1乙+1+1（1甲
表示甲的工作效率、1乙表示乙的工作效率，最后结束必须如上所示， 否则第二种做

天）法
就不比第一种多0.5

（因为前面的工作量都相等）×0.5甲＝1乙+1甲1

×2 乙得到1甲＝
1

乙＝117 又因为1

天2＝8.517÷所以1甲＝217，甲等于 5．师徒俩人加工同样多的零
件。当师傅完成了12时，徒弟完成了120个。当师傅完成了

这批零件共有多少个？任务时，
徒弟完成了45

300个答案为

个2）＝300120÷（45÷可以这样想：师傅第一次完成了12，
第二次也是12，两次一共全部完工，那么徒弟第二

个。120，刚好是25的一半是45，可以
推算出第一次完成了45次后共完成了．



6．一批树苗，如果分给男女生栽，平均每人栽6棵；如果单份给女生栽，平均每人栽10

棵。
单份给男生栽，平均每人栽几棵？

15棵答案是

15棵1÷（16-110）＝算式：7．一个池
上装有3根水管。甲管为进水管，乙管为 出水管，20分钟可将满池水放完，丙管也是出水管，
30分钟可将满池水放完。现在先打开甲管，当水 池水刚溢出时，打开乙,丙两

而不开丙管，
多少分钟将水放完？分钟放完，当打开甲管注满水是，再打开乙管，管用了18

45分钟。答
案

表示乙丙合作将满池水放完需要的分钟数。120+130（）＝12 1÷112*（18-12）＝112*6
＝12 表示乙丙合作将漫池水放完后，还多放了6分钟的水，也就

分钟进的水。是甲18

表
示甲每分钟进水18＝136 12÷

分钟。120-136）＝45最后就是1÷（ 8．某工程队需要在
规定日期内完成，若 由甲队去做，恰好如期完成，若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先
由甲乙合作二天，再由乙队单 独做，恰好如期完成，问规定日期为

几天？

天答案为6解：
由“若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，

可知：

恰好如期完成，”

2天的工作量天的工作量＝甲乙做3

：2 即：甲乙的工作效率比是3

：
3 甲、乙分别做全部的的工作时间比是2

1份时间比的差是

3天实际时间的差是

天，
就是甲的时间，也就是规定日期2＝6×所以3÷（3-2）

方程方法：

1 x-2）＝（x+2）×
（2+1[1x+1（x+2）]×

6 x＝解得 9． 两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小时，而点
完一根细蜡烛要1小时，一天晚上停电，小芳同时点 燃了这两根蜡烛看书，若干分钟后来点了，
小芳将两支蜡烛同时熄灭，发

2倍，问：停电多少分钟？现粗蜡烛的长是细蜡烛的

分钟。
答案为40

分钟解：设停电了x

40 解得x＝ *2 1-1120*x根据题意列方程 ＝（1-160*x）


二．鸡兔同笼问题


? 问鸡与兔各有几只,条28鸡的腿数比兔的腿数少,只100．鸡与兔共1．



解： 4*100＝400，400-0＝400 假设都是兔子，一共有400只兔子的脚，那么鸡的脚为0

只。
只，鸡的脚比兔子的脚少400

只，这是为什么？只，相差372＝372 实际鸡的脚数比兔子的
脚数只少28400-284+2＝6 这是因为只要将一只兔子换成一只鸡，兔 子的总脚数就会减少4只（从
400只变为396只），鸡的总脚数就会增加2只（从0只到2只），它 们的相差数就会少4+2＝6
只（也

6）394，相差数少了400-394＝ 就是原来的相差数是400-0＝400，现在的相差数为396-2
＝372÷6＝62 表示鸡的只数，也就是说因为假设中的100只兔子中有62只改为了鸡，所以脚


372只改为28，一共改了的相差数从400

38表示兔的只数100-62＝

三．数字数位问题
1．把1至2005这 2005个自然数依次写下来得到一个多位数123456789.....2005,这个多位数

? 除
以9余数是多少解：首先研究能被9整除的数的特点：如果各个数位上的数字之和能被 9整除，
那么这个数也能被9整除；如果各个位数字之和不能被9整除，那么得的余数就是这个数除以9
得的余

数。

整除能被91+2+3+4+5+6+7+8+9=45解题：；45

整除这些数的个位 上的数字
之和可以被9依次类推：1~199910~19，20~29……90~99这些数中十位上 的数字都出现了10次，
那么十位上的数字之和就

整除它有能被9是10+20+30+……+90=450


9整除同样被同样的道理，100~900 百位上的数字之和为4500


9整除；也就是说1~999这些连续的自然数的各个位上的数字之和可以被同样的道理：
1000~1 999这些连续的自然数中百位、十位、个位 上的数字之和可以被9整

还没考虑，同时
这里我们少2 除（这里千位上的“1”

，也能整除；999个“1”
的和是从1000~1999千位上一共999

，也刚好整除。2的各位数字
之和是27

。最后答案为余数为0

... A-B的最小值是小于100的两个非零的不同自然数。求
A+B分之2 ．A和B

解：(A-B)(A+B) = (A+B - 2B)(A+B) = 1 - 2 * B(A+B)


最大。 1 不会变了，只需求后面的最小值，此时 (A-B)(A+B) 前面的


取最小时，(A+B)B 取最大，B (A+B) 对于


(A+B)B 的最大值。 问题转化为求

，最大的可能性是AB = 991 (A+B)B = 1 + AB


(A+B)B = 100


98 100 的最大值是：(A-B)(A+B)


? 的近似值市6.4,那么它的准确值是多少,A2 + B4 + C160A.B.C3 ．已知都是非自然数


6.4375 或6.375答案为




8A+4B+C16≈6.4，因为A2 + B4 + C16＝所以8A +4B+C≈102.4，由于A、B、C为非0自
然数，因此8A+4B+C为一个整数，可能是
。 102，也有可能是103

＝6.375 当是102时，
10216

＝6.4375 103时，10316当是 4．一个三位数的各位数字 之和是17.其中十位数字比个
位数字大1.如果把这个三位数的百

求原数. ,则新的三位数比原三位数大198,位数字与个位数
字对调,得到一个新的三位数

476 答案为

16-2a ，则十位为a+1，百位为解：设原数个位为a


198 ）-10a-a＝根据题意列方程100a+10a+16-2a－100（16-2a

4 ＝7 16-2a＝a＝6，则a+1解得

。

答：原数为476

. 24,求原来的两位数在它的前面写上3,所组成的三位数比原两位数的7倍多
5．一个两位数,

24 答案为

300+a a，则该三位数为解：设该两位数为

＝300+a 7a+24

＝
24 a

24。答：该两位数为 6．把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数,它与
原数相加,和恰好是某自

这个和是多少? 然数的平方,

答案为121


10b+a 解：设原两位数为10a+b，则新两位数为

）11（a+b它们的和就是10a+b+10b+a＝

11
a+b＝因为这个和是一个平方数，可以确定

121 11＝因此这个和就是11×

121答：它们的和
为。

. 求原数3倍,如果把7．一个六位数的末位数字是2,2移到首位,原数就是新数的


85714 答案为解：设原六位数为abcde2，则新六位数为2abcde（字母上无法加横线 ，请将整
个看成一个

六位数）

，新六位数就是200000+x （五位数）为x，则原六位数就是10x+2
再设abcde

10x+2 3＝）根据题意得，（200000+x×

85714 x解得＝

所以原数就是857142


857142 答：原数为



8．有一个四位数,个位数字与百位数字的和是12,十位数字与千位数字的和是9,如果个位数

.
新数就比原数增加2376,求原数字与百位数字互换,千位数字与十位数字互换,

3963 答案为


9 ，a+c＝cdab，且d+b＝12解：设原四位数为abcd，则新数为

列竖式便于观察2376”可知
abcd+2376=cdab,根据“新数就比原数增加

cdab 2376 abcd


。、65、7；6b可能是3、9；4、8；根据d+b＝12，可知d、

时成立。＝4＝8，b＝再观察
竖式中的个位，便可以知道只有当d3，b＝9；或d

代入竖式的百位，可以确定十位上有进位。
＝9＝3，b先取d

5。6；4、8；2、7；3、，可知根据a+c＝9a、c可能是1、

3时成立。6，
a＝再观察竖式中的十位，便可知只有当c＝

再代入竖式的千位，成立。


＝3963 得到：abcd

4代入竖式的十位，无法找到竖式的十位合适的数，所以不成立。，b
＝再取d＝8 9．有一个两位数,如果用它去除以个位数字,商为9余数为6,如果用这个两位数除以
个位数

. 余数为3,求这个两位数字与十位数字之和,则商为5

ab 解：设这个两位数为

+3
（a+b） 10a+b＝510a+b＝9b+6


3 5a+4b＝化简得到一样：

均为一位整数、b由于a

8 3或7，b＝得到a＝3或

78均可
以原数为33或 10．如果现在是上午的10点21分,那么在经过28799...99( 一共有20个9)分钟之
后的时间

将是几点几分?


：20 答案是10解： （28799……9（20个9）+1）6024整除，表示正好过了整 数天，时间
仍然还是10：

20 10：21，因为事先计算时加了1分钟，所以现在时间是

四．排列组合问
题

．有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有（）1

次方中D 2
的10种种 B 32 C 24种 A 768

根据乘法原理，分两步 ：解：第一步是把5对夫妻看作5个
整体，进行排列有5×4×3×2×1＝120种不同的排法，但是 因为

24＝种。个重复，因此实
际排法只有是围成一个首尾相接的圈，就会产生 5个5120÷5第二步每一对夫妻之间又可以相互
换位置，也就是说每一对夫妻均有2种排法，总共又

种32＝22×2×2×2×．




种。32＝768综合两步，就有24×

( ) ,则可能出现的错误共有 2 若把英语单词hello的字
母写错了

种 D 48B 36种 C 59种种A 119


5*4*3*2*1=120 5全排列解：


1202=60 l所以有两个

60-1=59 原来有一种正确的所以

五．容斥原理问题1． 有100
种赤贫.其中含钙的 有68种,含铁的有43种,那么,同时含钙和铁的食品种类的最大

( ) 值和最小
值分别是

A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11


11 68+43-100＝解：根据容斥原理最小值

43种最大值就是含铁的有 2．在多元智能大赛的
决赛中只有三道题.已知:(1)某校 25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解
出第一题的学生中,解出第二题的 人数是解出第三题的人数的2倍:(3)只解出第一题的学生比余下

的学生中解出第一题 的人数多1人;(4)只解出一道题的学

那么只解出第二题的学生人数是( )
生中,有一半没有解出第一题,

，8 6 C，7 DA，5 B，解：根据“每 个人至少答出三题中的一道
题”可知答题情况分为7类：只答第1题，只答第2

题。2、32、3题，答1、、题，只答第3
题，只答第12题，只答第1、3题，只答

a123 、a23、a3、a12、a13分别设各类的人数为a1、
a2、

25…①由（1）知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123＝

×2……②）知：a2+a23＝（a3+ a23）
由（2

③ 1……a12+a13+a123＝a1－由（3）知：

④ ）知：a1＝a2+a3……由（4

⑤ a2－a3
×2……a23再由②得＝

⑥ a2+a3－1再由③④得a12+a13+a123＝

然后将④⑤⑥代入①中，
整理得到

26 a2×4+a3＝

均表示人数，可以求出它们的整数解：a2、a3由于

、22 14、1810
时，a3＝2、6、、135a2当＝6、、4、、2、

a2>a3 －a3×2……⑤可知：又根据a23＝a2

2。a3
＝6，＝a 2因此，符合条件的只有然后可以推出a1＝8，a12+a13+a123＝7，a23＝2，总人数＝
8+6+2+7+2＝25，检验所有条件

均符。

人。6＝a2故只解出第二题的学生人数．



3．一次考试共有5道试 题。做对第1、2、3、、4、5题的分别占参加考试人数的95%、80%、
79%、74%、85% 。如果做对三道或三道以上为合格，那么这次考试的合格率至少是

多少？


71％。答案：及格率至少为

100人考试假设一共有

＝5 100-95

＝20 100-80

＝21 100-79


＝26 100-74

＝15 100-85

1题做错的最多人数）（表示5题中有5+20+21+26+15＝87

人）
3题做错的最多人数，即不及格的人数最多为29387÷＝29（表示5题中有

（及格的最少人
数，其实都是全对的）100-29＝71

％及格率至少为71

六．抽屉原理、奇偶性问题1．一
只布袋中装有大小相同 但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种，问最少要摸

副同色
的？出几只 手套才能保证有3解：可以把四种不同的颜色看成是4个抽屉，把手套看成是元素，
要保证有一副同色的 ，就是1个抽屉里至少有2只手套，根据抽屉原理，最少要摸出5只手套。
这时拿出1副同色的后4个抽 屉中还剩3只手套。再根据抽屉原理，只要再摸出2只手套，又能
保证有一副手套

是同色的，以此类推。把四种颜色看做4个抽屉，要保证有3副同色的，先
考虑保证有1副就要摸出5只 手套。这时拿出1副同色的后，4个抽屉中还剩下3只手套。根据
抽屉原理，只要再摸出2只手套，
5+2+2=9（只）3副同色的，共摸出的手套有：又能保证
有1副是同色的。以 此类推，要保证有

副同色的。9只手套，才能保证有3答：最少要摸出 2．有
四种颜色的积木若干，每人可任取1-2件，至少有几个人去取，才能保证有3人能取

21 答
案为得完全一样？

种不同的取法. 件时,有62 解： 每人取1件时有4种不同的取法,每人取


人取得完全一样: ,能保证至少有2当有11人时

. 才能保证到少有3人取得完全一样当有21人
时, 3．某盒子内装50只球，其中10只是红色，10 只是绿色，10只是黄色，10只是蓝色，其余
是白球和黑球，为了确保取出的球中至少包含有7只同色 的球，问：最少必须从袋中取出

多
少只球？

解：需要分情况讨论，因为无法确定其中黑球与白球的个数。


7当黑球或白球其中没有大于或等于个的，那么就是：

) 个6*4+10+1=35(




个的，那么就是：如果黑球或白球其中有等于7

（个）＝346*5+3+1

个的，那么就是：
如果黑球或白球其中有等于8

33 6*5+2+1＝

9个的，那么就是：如果黑球或白球其中有等
于

＝32 6*5+1+1 4．地上有四堆石子，石子数分别是1、9、15、31如果每次从其中的 三堆同
时各取出1个，然后都放入第四堆中，那么，能否经过若干次操作，使得这四堆石子的个数都相< br>同?（如果

能请说明具体操作，不能则要说明理由）

不可能。


＝56 因为总数为1+9+15+31

＝14 564

14是一个偶数而原来1、9、15、31都是奇数，取
出1个 和放入3个也都是奇数，奇数加减若干次奇数后，

个）。结果一定还是奇数，不可能
得到偶数（14

七．路程问题1．狗跑5步 的时间马跑3步，马跑4步的距离狗跑7步，现在
狗已跑出30米，马开始追它。

问：狗再跑多远，马可以追上它？

解：

米。米，则狗
每步长为4x7步”，可以设马每步长为7x根据“马跑4步的距离狗跑

20米。＝21x米，则狗

跑5*4x5步的时间马跑3步”，可知同一时 间马跑3*7x米＝根据“狗跑

：20 ：20x＝21可以
得出马与狗的速度比 是21x根据“现在狗已跑出30米”，可以知道狗与马相差的路程是30米，
他们相差的份数是21- 20

米21＝630（份是多少路程，就是 30÷21-20）×＝1，现在求马的
21 2．甲乙辆车同时从a b两地相对开出，几小时后再距中点40千米处相遇？已知，甲车行

两
地相距多少千米？小时，求a b 完全程要8小时，乙车行完全程要10

千 米。答案720由“甲
车行完全程要8小时，乙车行完全程要10小时”可知，相遇时甲行了10份，乙 行了8份（总路
程为18份），两车相差2份。又因为两车在中点40千米处相遇，说明两车的路程
千米。）＝
72010-8）×（10+8（）千米。所以算式是（差是（40+4040+40）÷ 3．在一个600米的环形跑
道上，兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人每隔12分钟相遇 一次，若两个人速度
不变，还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方

分钟相遇一次，两人跑一圈各要多
少分钟？向跑，则两人每隔4

12分钟。6答案为两人跑一圈各要分钟和

12=50600÷，表示
哥哥、弟弟的速度差解：

，表示哥哥、弟弟的速度和4=150600÷．




，表示较快的速度，方法是求和差问题中的较大数÷2=100（50+150）

，表示较慢的速度，
方法是求和差问题中的较小数）2=50（150-50

100=6分钟，表示跑的快者用的时间600÷


60050=12分钟，表示跑得慢者用的时间 4．慢车车长125米，车速每秒行17米，快车车长 140
米，车速每秒行22米，慢车在前面

行驶，快车从后面追上来，那么，快车从追上慢车的车
尾到完全超过慢车需要多少时间？

53秒答案为

(22-17)=53秒算式是（140+125)÷可以这
样理解：“快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车”就是快车车尾上的点追及慢车车头

的点，
因此追及的路程应该为两个车长的和。 5．在300米长的环形跑道上，甲乙两个人同时同向并排
起跑，甲平均速度是每秒5米，乙

4.4米，两人起跑后的第一次相遇在起跑线前几米？平均
速度是每秒

100米答案为

秒，表示追及时间）＝（5-4.4500300÷

米，表示甲追到乙时
所行的路程500＝25005×2500÷300＝8圈……100米，表示甲追 及总路程为8圈还多100米，
就是在原来起跑线的前

米处相遇。方100 6．一个人在铁道边，听见远处传来的火车汽笛声
后，在经过57秒火车经过她前面，已知

（得出保留整数）米，求火车的速度(轨道是直的),
声音每秒传340火车鸣笛时离他1 360米，

秒米答案为22

秒米(1360÷340+57）≈ 22算
式：1360÷关键理解：人在听到声音后57秒才车到，说明人听到声音时车已经从发声音的地 方
行出

61秒。1360米一共用了4+57＝1360÷340＝4秒的路程。也就是


7．猎犬发现在离它10米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去，猎犬的步子大，它跑5
步的 路程，兔子要跑9步，但是兔子的动作快，猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步，

问猎
犬至少跑多少米才能追上兔子。

米才能追上。正确的答案是猎犬至少跑60解： 由“猎犬
跑5步的路程，兔子要跑9步”可知当猎犬 每步a米，则兔子每步59米。由“猎犬跑2步的时
间，兔子却能跑3步”可知同一时间，猎犬跑2a米 ，兔子可跑59a*3＝53a米。从而可知猎犬
与兔子的速度比是2a：53a＝6：5，也就是说当 猎犬跑60米时候，兔子

米刚好追完50米，
本来相差的10跑 8． AB两 地,甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是4:5,如果甲乙二人分
别同时从AB两地相对行使,4 0分钟后两人相遇,相遇后各自继续前行,这样，乙到达A地比甲到
达B地要

晚多少分钟?


分钟答案：18

y 乙的速度为x甲的速度为1,解：设全程为




40x+40y=1 列式

x:y=5:4


x=172 y=190 得

分钟乙需90走完全程甲需72分钟,

故得解 9．甲乙两车同时从AB两
地相对开出。第一次相遇后两车继续行驶，各自到达对方出发点后立即返回。 第二次相遇时离B
地的距离是AB全程的15。已知甲车在第一次相遇时行了

两地相距多少千米？千米。AB120


300千米。答案是解：通过画线段图可 知，两个人第一次相遇时一共行了1个AB的路程，从开

始到第二次相遇，一共又行了3 个AB的路程，可以推算出甲、乙各自共所行的路程分别是第一
次相遇前各自所走的路程的3倍。即甲共 走的路程是120*3＝360千米，从线段图可以看出，甲
一共

1+15）。走了全程的（

300千米（1+15）＝360÷因此 从A地到B地，甲 、乙两人
骑自行车分别需要4小时、6小时，现在甲乙分别AB两地同时出发相向而行，相遇时距AB两
地中点2千米。如果二人分别至B地，A地后都立即折回。

第二次相遇点第一次相遇点之间
有（）千米 10．一船以同样速度往返于两地之间，它顺流需要6小时;逆流8小时。如果水流速
度是每

千米，求两地间的距离？小时2

表示水速的分率2＝148解：（16-18）÷

千米
表示总路程148＝962÷ 11．快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，快车每小时行33千米，相
遇是已行了全程的七

小时，求甲乙两地的路程。分之四，已知慢车行完全程需要8

3 4：解：
相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是

4 3：时间比为

6＝小时所以快车行全程
的时间为84*3

198千米6*33＝ 12．小华从甲地到乙地,3分之1骑车,3分之2乘车;从乙地返
回甲地,5分之3骑车,5分之2乘 车,结果慢了半小时.已知,骑车每小时12千米,乘车每小时30千米,
问:甲乙两地相距多少千
? 米

，得到时间系数把路程看成1解：


30 13÷12+23÷去时时间系数：

12+25÷30 返回时间系数：35÷

小时=175相当于
123030）-（13÷12+2 3÷）35÷两者之差：（12+25÷

）175 12×（23÷30和12去时时间：
12×（13÷）÷175

（千米）=3 7.5〕175）3023÷（12×〔+30×〕175÷）1213÷（12
×〔12×路程：



八．比例问题1．甲乙两人在河边钓鱼,甲钓了三条,乙 钓了两条,正准备吃,有一个人请求跟他
们一起吃,于是

,甲、乙怎么分？快快快,过路人留下10元三人将五条鱼平分了,为了表示感谢


2元。答案：甲收8元，乙收

解：
“三人将五条鱼平分，客人拿出10元”，可以理解为五条鱼总价值为30元，那么每条鱼价值

6
元。又因为“甲钓了三条”，相当于甲吃之前已经出资3*6＝18元，“乙钓了两条” ，相当于乙吃
之

12元。前已经出资2*6＝

10元，所以而甲乙两人吃了的价值都是

元8甲还可以收
回18-10＝

元12-10＝2乙还可以收回

刚好就是客人出的钱。 2．一种商品，今年的成本
比去年增加了10分之1，但仍保持原售价，因此，每份利润下

，那么，今年这种商品的成本
占售价的几分之几？5分之2降了

2225 答案

最好画线段图思考：把去年原来成本看成20
份，利润看成5份 ，则今年的成本提高110，就是22份，利润下降

份。份。售价都是25份。
增加的成本2份刚好是下降利润的225了，今年的利润只有3

。所以，今年的成本占售价的
2225


3．甲乙两车分别 从A.B两地出发,相向而行,出发时,甲.乙的速度比是5:4,相遇后,甲的速度减少
20%,乙的 速度增加20%,这样,当甲到达B地时,乙离A地还有10千米,那么A.B两地相距

? 多
少千米

解：

5:4 原来甲.乙的速度比是

4 1-20％）＝现在的甲：5×（

％）1+204.8 现在
的乙：4×（

＝0.2 后，乙离A还有：5-4.8甲到B

千米4+5）＝4500.2×总路程：10÷（




，现在的高和原来的高度比是多少？，要使体积增加134．一个圆柱的底面周长减少25%

：
27 答案为64解：根据“周长减少25％”，可知周长是原来的34，那么半径也是原来的34， 则
面积是原

。916来的

。43，可知体积是原来的13”体积增加“根据




÷底面积＝高体积

，也就是说现在的高是原来的高的6427 43÷916＝6427现在的高是

：
27 1＝64或者现在的高：原来的高＝6427：


5．某市场运来香蕉、苹果、橘子和梨四种水果其中橘子、苹果共30吨香蕉、橘子和梨共

2。
一共运来水果多少吨？吨。橘子正好占总数的13分之45

65吨第二题：答案为

吨+梨＝75+
苹果+香蕉+橘子30吨 香蕉+橘子+梨＝45吨 所以橘子苹果＝橘子+




213 +梨）＝+÷（香蕉+苹果橘子橘子

份梨是13+苹果+橘子+说明：橘子是2份，香蕉

份

＝15橘子+梨一共是2+13橘子+香蕉+苹果+

1）过桥问题（1. 一列火车经过南京长江大桥，
大桥长6700米，这列火车长140米，火车每分 钟行400米，

这列火车通过长江大桥需要多
少分钟？分析：这道题求的是通过 时间。根据数量关系式，我们知道要想求通过时间，就要知道
路程

和速度。路程是用桥长加上车长。火车的速度是已知条件。


分钟。 答：这列火车通过长江大桥需要17.1（米） 通过时间： （分钟）总路程：




秒钟，这列火车每秒行多少米？米的桥需要302002. 一列火车长米， 全车通过长700分析与
解答：这是一道求车速的过桥问题。我们知道，要想求车速，我们就要知道路程 和通过时间这两
个条件。可以用已知条件桥长和车长求出路程，通过时间也是已知条件，所以车

速可以很方
便求出。

30米。 答：这列火车每秒行（米）总路程： （米） 火车速度：



3. 一列火车长240米，这列火车每秒行15米，从车头进山洞到全车出山洞共用20秒，山

洞
长多少米？分析与解答：火车过山洞和火车过桥的思路是一样的。火车头进山洞就相当于火车头
上桥；全车出洞就相当于车尾下桥。这道题求山洞的长度也就相当于求桥长，我们就必须知道总
路
程和车长，车长是已知条件，那么我们就要利用题中所给的车速和通过时间求出总路程。


米。答：这个山洞长60 山洞长：总路程： （米）





和倍问题1. 秦奋和妈妈的年龄加在一起是40岁，妈妈的年龄是秦奋年龄的4倍，问秦奋和
妈妈各是

多少岁？



我们把秦奋的年龄作为1倍，“妈妈的年龄是秦 奋的4倍”，这样秦奋和妈妈年龄的和就相当于秦
奋年龄的5倍是40岁，也就是（4＋1）倍，也可以 理解为5份是40岁，那么求1倍是

4倍
是多少？多少，接着再求

5（倍）4＋1＝（1）秦奋和妈妈年龄倍数和是：

8岁）秦奋的年
龄：40÷5＝（2

32岁8×4＝（3）妈妈的年龄：

32岁8×4＝4＋1）＝8岁 综合：40÷（

为
了保证此题的正确，验证


（倍）8＝4岁 （2）32÷（1）8＋32＝40

计算结果符合条件，所以解题正确。2. 甲乙两
架飞机同时从机场向相反方向飞行，3小时共飞行3600千米，甲的速度是乙的2

倍，求它们
的速度各是多少？已知两架飞机3小时共飞行3600千米，就可以求出两架飞 机每小时飞行的航
程，也就是两架飞机的速度和。看图可知，这个速度和相当于乙飞机速度的3倍，这样 就可以求
出乙飞机

的速度，再根据乙飞机的速度求出甲飞机的速度。

千米。千米、400甲乙飞机的
速度分别每小时行8003. 弟弟有课外书20本，哥哥有课外书25本，哥哥给弟弟多少本后，弟弟
的课外书是哥哥

倍？的2

1）哥哥在给弟弟课外书前后，题目中不变的数量是什么？思考：
（

2）要想求 哥哥给弟弟多少本课外书，需要知道什么条件？（（3）如果把哥哥剩下的课外
书看作1倍，那么这时（ 哥哥给弟弟课外书后）弟弟的课外书

可看作是哥哥剩下的课外书的
几倍？思考以 上几个问题的基础上，再求哥哥应该给弟弟多少本课外书。根据条件需要先求出哥
哥剩下多少本课外书。 如果我们把哥哥剩下的课外书看作1倍，那么这时弟弟的课外书可看作是
哥哥剩下的课外书的2倍，也就 是兄弟俩共有的倍数相当于哥哥剩下的课外书的3倍，而

兄
弟俩人课外书的总数始终是不变的数量。

。25＝45（1）兄弟俩共有课外书的数量是20＋

。
＝32）哥哥给弟弟若干本课外书后，兄弟俩共有的倍数是2＋1（

15。45÷3）哥哥剩下的课
外书的本数是3＝（

10。－15＝4（）哥哥给弟弟课外书的本数是25

试着列出综合算式：
4. 甲乙两个粮库原来共存粮170吨，后来从甲库运出30吨，给乙库运进10吨，这时甲库

倍，
两个粮库原来各存粮多少吨？存粮是乙库存粮的2根据甲乙两个粮库原来共存粮170吨，后来从< br>甲库运出30吨，给乙库运进10吨，可求出这时甲、乙两库共存粮多少吨。根据“这时甲库存粮
是乙库存粮的2倍”，如果这时把乙库存粮作为1倍，那么甲、乙库所存粮就相当于乙存粮的3
倍。于是 求出这时乙库存粮多少吨，进

而可求出乙库原来存粮多少吨。最后就可求出甲库原

来存粮多少吨。．




吨。130吨，乙库原存粮40甲库原存粮




列方程组解应用题（一）1. 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身16个 ，或制盒底43个，
一个盒身和两个盒底配成一个罐头盒，现有150张铁皮，用多少张制盒身，多少张 制盒底，才能
使盒身与盒底正好

配套？依据题意可知这个题有两个未知量，一个 是制盒身的铁皮张数，一
个是制盒底的铁皮张数，这样就可以用两个未知数表示，要求出这两个未知数， 就要从题目中找
出两个等量关系，列

出两个方程，组在一起，就是方程组。

铁皮总张数做盒底的张数=两
个等量关系是：A做盒身张数+

制出的盒底数×2=B制出的盒身数

64张白铁皮做盒身，张
白铁皮做盒底。用86




奇数与偶数（一）


其实，在日常生活中同学们就已经接触了很多的奇数、偶数。
凡是能被2整除的数叫偶数，大于零的偶数又叫双数；凡是不能被2整除的数叫奇数，大于

零
的奇数又叫单数。因为偶数是2的倍数，所以通常用 这个式子来表示偶数（这里 是整数）。因
为任何奇数除

是整数）。 来表示奇数（这里 以2其余数都是1，所以通常用式子

奇数和
偶数有许多性质，常用的有：

两个偶数的和或者差仍然是偶数。性质1


等。，8-4=4例如：8+4=12

两个奇数的和或差也是偶数。

9-3=6等。例如：9+3=12，

奇
数与偶数的和或差是奇数。


9-4=5等。例如：9+4=13，

单数个奇数的和是奇，双数个奇数的和是偶数，几个偶数的和
仍是偶数。

奇数与奇数的积是奇数。性质2


偶数与整数的积是偶数。

3 任何一个奇数一定不等于任何一个偶数。 性质1. 有5张扑
克牌，画面向上。小明每次翻转其中的4张，那么，他能在翻动若干次后，使5

张牌的画面
都向下吗？同学们可以试验一下，只有将一张牌翻动奇数次，才能使它的画面由 向上变为向下。
要想使

张牌的画面都向下，那么每张牌都要翻动奇数次。55个 奇数的和是奇数，所以翻动的
总张数为奇数时才能使5张牌的牌面都向下。而小明每次

张，不管翻多少次，翻动的总张数
都是偶数。4翻动．




张牌画面都向下。所以无论他翻动多少次，都不能使52. 甲盒中放有180个白色围 棋子和181
个黑色围棋子，乙盒中放有181个白色围棋子，李平每次任意从甲盒中摸出两个棋子，如 果两个
棋子同色，他就从乙盒中拿出一个白子放入甲盒；如果两个棋子不同色，他就把黑子放回甲盒。< br>那么他拿多少后，甲盒中只剩下一个棋子，

这个棋子是什么颜色的？不论李平从甲 盒中拿出
两个什么样的棋子，他总会把一个棋子放入甲盒。所以他每拿一次，

1 80+181-1=360次后，
甲盒里只剩下一个棋子。甲盒子中的棋子数就减少一个，所以他拿如果 他拿出的是两个黑子，那
么甲盒中的黑子数就减少两个。否则甲盒子中的黑子数不变。也就是说，李平每 次从甲盒子拿出
的黑子数都是偶数。由于181是奇数，奇数减偶数等于奇数。所以，甲盒中剩下的黑子 数应是奇
数，而不大于1的奇数只有1，所以甲盒里剩下的一

个棋子应该是黑子。

-- 称球问题 奥
赛专题
例1 有4堆外表上一样的球，每堆4个。已知其中三堆是正品、一堆是次品，正品球每个

11
克，请你用天平只称一次，把是次品的那堆找出来。重10克，次品球每个重解 ：依次从第一、
二、三、四堆球中，各取1、2、3、4个球，这10个球一起放到天平上

克多几克，第几堆就
是次品球。去称，总重量比1002 有27个外表上一样的球，其中只有一个是次品，重量比正品
轻，请你用天平只称三次（不

用砝码），把次品球找出来。解 ：第一次：把27个球分为三
堆，每堆9个，取其中两堆 分别放在天平的两个盘上。若天平不平衡，可找到较轻的一堆；若天
平平衡，则剩下来称的一堆必定较轻 ，次品必在较轻的

一堆中。第二次：把第一次判定为较

轻的一堆 又分成三堆，每堆3个球，按上法称其中两堆，又可找

出次品在其中较轻的那一堆。第三次：从第二次找出的较轻的一堆3个球中取出2个称一次，若天平不平衡，则较轻的就

是
次品，若天平平衡，则剩下一个未称的就是次品。

把次品找出来。其中只有一个是次品，请
你用天平只称三次，3 把10个外表上一样的球，例解：把1 0个球分成3个、3个、3个、1个
四组，将四组球及其重量分别用A、B、C、D表

B两组分别放在天平的两个盘上去称，则示。
把A、（1）若A=B，则A、B中都是正品 ，再称B、C。如B=C，显然D中的那个球是次品；如
B＞C，则次品在C中且次品比正品轻，再在C 中取出2个球来称，便可得出结论。如B＜

的
情况也可得出结论。＞CC，仿照 B（2）若A＞B，则C、D中都是正品，再称B、C，则有B=C，
或B＜C（B＞C不可能，为什么 ？）如B=C，则次品在A中且次品比正品重，再在A中取出2
个球来称，便可得出结

C，仿前也可得出结论。＜论；如B

的情况，可分析得出结论。＞
BAA（3）若＜B，类似于

抽屉原理-- 奥赛专题


名同学同一个月过生日。为什么？2名同学，其中至少有13】一个小组共有1【例



【分析】每年里共有12个月，任何一个人的生日，一定在其中的某一个月。如果把这12个 月看
成12个“抽屉”，把13名同学的生日看成13只“苹果”，把13只苹果放进12个抽屉

名同
学在同一个月过生日。个苹果，也就是说，至少有2里，一定有一个抽屉里至少放2

的倍数。
这是为什么？个自然数，其中至少有两个数的差是3 2】任意4【例【分析与解 】首先我们要弄
清这样一条规律：如果两个自然数除以3的余数相同，那么这两个自然数的差是3的倍数 。而任
何一个自然数被3除的余数，或者是0，或者是1，或者是2，根据这三种情况，可以把自然数< br>分成3类，这3种类型就是我们要制造的3个“抽屉”。我们把4个数看作“苹果”，根据抽屉原
理，必定有一个抽屉里至少有2个数。换句话说，4个自然数分成3类，至少有两个是同一类。
既然是同 一类，那么这两个数被3除的余数就一

3的倍数。个自然数，至少有2个自然数的
差是定相同。所以，任意4【例3】有规格尺寸相同的5种颜色的袜子各15只混装在箱内，试问
不论 如何取，从箱中

3双袜子（袜子无左、右之分）？至少取出多少只就能保证有

双袜子
吗？回答是否定的。9只袜子，能配成3【分析与解】试想一下，从箱中取出6只、 按5种颜色
制作5个抽屉，根据抽屉原理1，只要取出6只袜子就总有一只抽屉里装2只，这2只就可配 成
一双。拿走这一双，尚剩4只，如果再补进2只又成6只，再根据抽屉原理1，又可配成一双拿
走。如果再补进2只，又可取得第3双。所以，至少要取6＋2＋2=10

双。只袜子，就一定会
配成3

，直接得到结果吗？能用抽屉原理2思考：1.

双不同色袜子，至少应取出多少只？
把题中的要求改为32.

3把题中的要求改 为双同色袜子，又如何？3.【例4】一个布袋中有35
个同样大小的木球，其中白、黄、红三种颜色球 各有10个，另外还有3个蓝色球、2个绿色球，
试问一次至少取出多少个球，才能保证取出的球中至少 有4

个是同一颜色的球？

”的取出
情况入手。【分析与解】从最“不利

个绿色球。2个球中，有3个是蓝 色球、最不利的情况是
首先取出的5接下来，把白、黄、红三色看作三个抽屉，由于这三种颜色球相等均 超过4个，所
以，根据抽屉原理2，只要取出的球数多于（4-1）×3=9个，即至少应取出10个球 ，就可以保
证取出

个是同一抽屉（同一颜色）里的球。的球至少有4

个球，才能符合要求。＋5=15
故总共至少应取出10

个不同色 ，或者是两两同色，情形又如何？思考：把题中要求改为4当
我们遇到“判别具有某种事物的性质有没有 ，至少有几个”这样的问题时，想到它——抽屉

”
之路。原理，这是你的一条“决胜

还原问题奥赛专题 --
【例1】某人去银行取款，第一次取了存款的一半多50元，第二次取了余下的一半多100

元。
他原有存款多少元？元。这时他的存折上还剩1250【分析】从上面那个“重新包装 ”的事例中，
我们应受到启发：要想还原，就得反过来做（倒推）。由“第二次取余下的一半多100元 ”可知，
“余下的一半少100元”是1250元，从而“余

（元）1250+100=1350 是”下的一半

2=2700（元）2倍）是： 1350×余下的钱（余下一半钱的

”。综合算式是：”和“原有存
款用同样道理可算出“存款的一半

2=5500 （元）1250+100）×2+50]×[（还原问题的一般特
点是：已知对某个数按照一定的顺序施 行四则运算的结果，或把一定数量的物品增加或减少的结
果，要求最初（运算前或增减变化前）的数量。 解还原问题，通常应

当按照与运算或增减变
化相反的顺序，进行相应的逆运算。
【例2】有26块砖，兄弟2人争着去挑，弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶来了。哥哥看

弟
弟挑得太多，就拿来一半给自己。弟弟觉得自己能行，又从哥哥那里拿来一半。哥哥不让 ，弟弟
只好给哥哥5块，这样哥哥比弟弟多挑2块。问最初

弟弟准备挑多少块？ 【分析】我们得先
算出最后哥哥、弟弟各挑多少块。只要解一个“和差问题”就知道：哥哥挑

块。“26-14=12”
“（26+2）÷2=14”块，弟弟挑提示：解还原问题所作 的相应的“逆运算”是指：加法用减法还
原，减法用加法还原，乘法用除法还原，除法用乘法还原，并且 原来是加（减）几，还原时应为
减（加）几，原来是乘（除）

以几，还原时应为 除（乘）以几。对于一些比较复杂的还原问
题，要学会列表，借助表格倒推，既能理清数量关系，又便于 验

算。

鸡兔同笼问题 -- 奥
赛专题

，鸡兔各几只？，足共128例1 鸡兔同笼，头共46[分析] ：如果 46只都是兔，一共
应有 4×46=184只脚，这和已知的128只脚相比多了184-128=5 6只脚.如果用一只鸡来置换一只
兔，就要减少4-2=2（只）脚.那么，46只兔里应该换进几只鸡 才能使56只脚的差数就没有了呢？
显然，56÷2=28，只要用28只鸡去置换28

46-28=18。所以，鸡的只数就是28，兔的只数是
只兔就行了.

解：①鸡有多少只？

）÷（4-2（4×6-128）

2 ）÷=（184-128

2 =56÷

（只）
=28

②免有多少只？

46-28=18（只）

18只。答：鸡有28只，免有

只，问鸡与兔各
多少只？100只，鸡的脚比兔的脚多80鸡与兔共有例2
[分析]： 这个例题与前面例题是有区别的，没有给出它们脚数的总和，而是给出了它们脚

这
又如何解答呢？数的差.假设100只全是鸡，那么脚的总数是2×100=200（只）这时兔的脚数为0，鸡脚比兔脚多200只，而实际上鸡脚比兔脚多80只.因此，鸡脚与兔脚的差数比已知多了
（ 200-80）=120（只），4只，兔的脚数减少2每把一只兔换成鸡，鸡的脚数将增加.这是因为把
其中的兔换成了鸡．



只.那么，鸡脚与兔脚的差数增加（2+4）= 6（只），所以换成鸡的兔子有120÷6=20（只）.

=80
（只）。有鸡（100-20）

=20（只）。÷（2+4）解：（2×100-80）

100-20=80（只）。

20
只。答：鸡与兔分别有80只和例3 红英小学三年级有3个班共135人，二班比一班多5人，三
班比二班少7人，三个班

各有多少人？[分析1] 我们设想，如果条件中三个班人数同样多，
那么，要求每班有多少人就很容易了.

由此得到启示，是否可以通过假设三个班人数同样多来
分析求解。结合下图可以想，假设二班、三班人数 和一班人数相同，以一班为标准，则二班人数
要比实际人数少5人.三班人数要比实际人数多7-5=2 （人）.那么，请你算一算，假设二班、三
班

人数和一班人数同样多，三个班总人数应该是多少？

：解法1

3 ）]÷3=132÷一班：
[135-5+（7-5

（人）=44

（人）二班：44+5=49

（人）三班：49-7=42

人。 4244人、
49人和答：三年级一班、 二班、三班分别有[分析2] 假设一、三班人数和二班人数同样多，那
么，一班人数比实际要多5人，而三班要

.这时的总人数又该是多少？人比实际人数多7

3
= 49（人）135+ 5+ 7）÷3 = 147÷解法2：（

49-7=42（人）49-5=44（人），

42人。人、49
人和答：三年级一班、二班、三班分别有44例4 刘老师带了41名同学去北海公园划船，共租
了10条船.每条大船坐6人，每条小船坐

人，问大船、小船各租几条？4

我们分步来考虑：
[分析]


（人）。6×10= 60①假设租的 10条船都是大船，那么船上应该坐
②假设后的总人数比实际人数多了 60-（41+1）=18（人），多的原因是把小船坐的4人都

6
人。假设成坐

（条）小船当成大船。人是把18÷2=918③一条小船当成 大船多出2人，多出

的

）（6-4[6×解：10-(41+1）÷

10-9=1（条）= 18÷2=9（条）


条大船。9条小船，1答：有例5 有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀
20对（蜘蛛8条腿；蜻蜓6

条腿，一对翅膀），求蜻蜓有多少只？6条腿，两对翅膀；蝉．



[分析] 这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题.观察数字特点，蜻蜓、蝉都是6条腿，只有蜘蛛8条腿.因此，可先从腿数入手，求出蜘蛛的只数.我们假设三种动物都是6条腿，则总腿数为 6
×18=108（条），所差 118-108=10（条），必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的 .所以，应有
（118-108）÷（8-6）=5（只）蜘蛛.这样剩下的18-5=13（只）便是 蜻蜓和蝉的只数.再从翅膀数
入手，假设13只都是蝉，则总翅膀数1×13=13（对），比实际数少 20-13＝7（对），这是由于
蜻蜓有两对翅膀，而我们只按一对翅膀计算所差，这样蜻蜓只数可求< br>
（只）. 2-1）=77÷（

6
条腿，三种动物共有多少条腿？解：①假设蜘蛛也是

18=108（条）6×

②有蜘蛛多少只？


=5（只）（8-6）（118-108）÷

③蜻蜒、蝉共有多少只？

（只）18-5=13

（对）④假设蜻
蜒也是一对翅膀，共有多少对翅膀？1×13=13

⑤蜻蜒多少只？

（只） 2-1）= 7（20-13）
÷

. 只答：蜻蜒有7

牛吃草问题 1． 一个牧场，草每天匀速生长，每头牛每 天吃的草量相
同，17头牛30天可以将草吃完，19头牛只需要24天就可以将草吃完，现有一群牛， 吃了6天
后，卖掉4头牛，余下的牛再

头牛之前，这一群牛一共有多少头？天就将草吃完。问没有卖
掉4吃217×30=510（头） 19 ×24=456（头）（510-456）÷（30-24）=9（头）30×17-30×9=240
（头）

=40（头）（6+2）×9=72（头）240+72+2×4=320（头）320÷6+2（） 2． 一 个蓄水
池，每分钟流入4立方米水。如果打开5个水龙头，2小时半就把水池中的水放光；如果打开8< br>个水龙头，1小时半就把池中的水放光，现打开13个水龙头，问要多

少时间才能把水池中的
水放光（每个水龙头每小时放走的水量相同）？











3． 甲、 乙、丙3个仓库，各存放着同样数量的化肥，甲仓库用皮带输送机一台和12个工人，
需要5小时才能把 甲仓库搬空；乙仓库用一台皮带输送机和28个工人，需要3小时才能把乙仓
库搬空；丙仓库有两台皮带 输送机，如果要求2小时把丙仓库搬空，同时还需要多少工人（皮带
输送机的功效相同，每个工人每小时 的搬运量相同，皮带输送机与工人同时往

处搬运化肥）？
1×5=5（台） 1 2×5=60（人）28×3=84（人）1×3=3（台）84-60=24（人）24÷（5-3）=12（ 人）


（人）2=36÷）120-48（人）（12=482×2×（人）5=12060+12× （人）12=605×1×．



4． 快、中、慢3辆车同时从同一 地点出发，沿同一条公路追赶前面的一个骑车的小偷，这3
辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟，追 上小偷，现在知道快车的速度是每小时24

千米，
问慢车的速度是多少？。千米，中车的速度是每小时20

列车过桥问题 -- 奥赛专题1、一列
长300米的火车以每分1080米的速度通过一座大桥。从车头开上桥到车 尾离开桥一

3分。这
座大桥长多少米？共需2、某人步行的速度为每秒2米.一 列火车从后面开来,超过他用了10秒.
已知火车长90米.求

火车的速度。3 、.在环形跑道上，两人都按顺时针方向跑时，每12分钟
相遇一次，如果两人速度不变，

,问两人各跑一圈需要几分钟？其中一人改成按逆时针方向跑，
每隔4分钟相遇一次4、一 列长300米的火车，以每分1080米的速度通过一座长为940米的在
桥，从车头开上桥

到车尾离开桥需要多少分钟？5、一列火车通过530米的桥需40秒钟，以
同样的速度穿 过380米的山洞需30秒钟。求这

秒，全长是多少米？列火车的速度是多少米6、铁路沿线的电杆间隔是40米，某旅客在运行的火车中，从看到第一根电线杆到看到第

分钟，
火车每小时行多少千米。51根电线杆正好是27、一个人站在铁道旁,听见行近来的火车汽笛声 后,
再过57秒钟火车经过他面前.已知火车汽

) ?(得数保留整数声速是每秒 钟340米,求火车的速度

轨道是笔直的笛时离他1360米;()

米长的铁桥，需要几秒钟？米的速度通过一座570一列450
米长的货车，以每秒128、现有两列火 车同时同方向齐头行进，行12秒后快车超过慢车。快车
每秒行18米，慢车每秒行10米。如果这两列 火车车尾相齐同时同方向行进，则9秒后快车超过
慢车，求两列

火车的车身长。 9、李明和张忆在300米的环形跑道上练习跑步，李明每秒跑
5米，张忆每秒跑3米，两人

同时从起跑点出发同向而行，问出发后李明第一次追上张忆时，
张忆跑了多少米？10、速 度为快、中、慢的三辆汽车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面
一个骑车人，这三辆车分别用6分 钟、10分钟、12分钟追上骑车人，现在知道快车每小时24
千米，中速

20 千米，那么慢车每小时行多少千米？（选做题）车每小时11、周长为400米
的圆形跑道上，有相距1 00米的A、B两点，甲、乙两人分别从A、B两点同时相背而跑，两人
相遇后，乙立刻转身与甲同向而 跑，当甲跑到A时，乙恰好跑到B.

？甲共跑了多少米（从出
发时算起）如果以后甲、乙跑的速度和方向都不变，那么追上乙时，

平均数问题 -- 奥赛专
题1 蔡琛在期末考试中，政治、语文、数学、英语、生物五科的平均分是 89分.政治、数学两
科的平均分 是91.5分.语文、英语两科的平均分是84分.政治、英语两科的平均分是86 分，

问
蔡琛这次考试的各科成绩应是多少分？10分.而且英语比语文多2 果品店把2千克酥糖，3千克
水果糖，5千克奶糖混合成什锦糖.已知酥糖每千克4.40元，

问：什锦糖每千克多少元？7.20
元.元，奶糖每千克水果糖每千克4.203甲乙两块 棉田，平均亩产籽棉185斤.甲棉田有5亩，平
均亩产籽棉203斤；乙棉田平均亩

斤，乙棉田有多少亩？170产籽棉．



4已知八个连续奇 数的和是144，求这八个连续奇数。新华小学订了若干张《中国少年报》，如果
三张三张地数，余数为 1张；五张五张地数，余数为2张；七张七张地数，余数为2张。新华小
学订了多少张《中国年呢？ 商店里三天共卖出1026米布。第二天卖出的是第一

倍。求三天
各卖出多少米布？2倍；第三天卖出的是第二天的3天的

13+115 +135+ 163 +199 +1143 1.
分数的四则混和运算：求

简便方法：

(13)=12(1-13) 13=1×

(15)=12(13-15) 115 =(13)
×

(17)=12(15-17) （15)×135=

(19)=12(17-19) 163 =(17)×

(111)=12(19-111) 199
=(19)×

(113)=12(111-113) 1143=(111)× 所以13+115 +135+ 163 +199


+1143=12(1- 13)+12(13-15)+12(15-17)+12(17-19)+12(19-111)+12(11 1-113)


得12(1-13+13-15+15-17+17-19+19-111+111-113) 12提公因式

可观察到式子中间部
分都抵消，最后只剩下12(1-113)=613


也就是13+115 +135+ 163 +199 +1143=613.


概念题型
2.八分之a、十分之b、十五分之c是三个最简分数，已知三个分数的积是二分之一，求这

三
个分数各是多少？

b10×c15=abc1200 a8×

abc=600 因为它们的积是12 所以

5 5×3
×2×把600分解质因数600=2×2×又因为它们的分母分别是8、10、15 而且是最简分数，它
们的分子里依次不能有2、2和5、

和5 3

2=8、，2×2×5=25因此，只能是5×，3

815 、
310、所以这三个分数分别是：258

分类讨论题型：

哪根剩下的多? 第一根剪下五分之三
米,第二根剪下五分之三,两根同样长的绳子3.,

当绳子大于一米时，第一根剩下的多，

当
绳子等于一米时，两根剩下的一样多，

当绳子小于一米时，第二根剩下的多

公约公倍和同
余

天是星期几？1000今天是星期六，再过1.



2.已知两个自然数a和b（a＞b），已知a和b除以13的余数分别是5和9，求a+b，a-b，

的
余数。a2-b2各自除以13a×b，

，求这个两位数。3.2100除以一个两位数得到的余数是56


，求被除数。35，余数是2 4.被除数、除数、商与余数之和是903，已知除数是

，求这个
数。543所得的余数相同，且商相差9 5.用一个整数去除345和

，求这个数。123得到的三个
余数之和是41有一个整数，用它去除312，231， 6. 1．答 ：根据题意不难看出，这个大班小朋

友的人数是115-7=108，148-4=14 4，74-2=72的

人．最大公约数．所以，这个大班的小朋友
最多有362 ．答：与上题类似，依题意，正方体的棱长应是9，6，7的最小公倍数，9，6，7的
最小

) =5292(块9×6×7）126÷公倍数是126．所以，至少需要这种长方体木块 126×126×
（

。方法同例题。、答：此数为283

24。方法同例题。与与40，或20与120，或8与60，
或124、答：这两个数为45答：所求 的两个数为15与150，或30与135，或45与120，或60
与105，或75与90。

方法同例题。6、答：因为1+2+…+9=5×9，所以无论这些九位数的值
如何， 它们的数字之和总可以被9整除，因而9是所有这些九位数的公约数．现任取这些九位数
中的两个相差9 的数，如

413798265。413798256和7、答：1925=5×5×7×11 两个商为5
和11， 1925÷5=385 ； 1925÷11=175 答：根据1。题意不难看 出，这个大班小朋友的人数是
115-7=108，148-4=144，74-2=72的最大公约数 ．所

人．以，这个大班的小朋友最多有362．答：
与上题类似，依题意，正方 体的棱长应是9，6，7的最小公倍数，9，6，7的最小

) =5292(块
（9×6×7） 公倍数是126．所以，至少需要这种长方体木块126×126×126÷

。方法同例
题。．答：此数为283

24。方法同例题。40与，或20与4与 120，或8与60，或124．答：
这两个数为5．答：所求的两个数为15与150，或30与13 5，或45与120，或60与105，或75
与90。

方法同例题。6．答： 因为1+2+…+9=5×9，所以无论这些九位数的值如何，它们的
数字之和总可以被9整除，因而9 是所有这些九位数的公约数．现任取这些九位数中的两个相差
9的数，如

。413798256和413798265

1925÷ 11=175 1925÷5=385 ；和答：1925=5×5
×7×11 两个商为511， 7．幼儿园有糖1 15颗、饼干148块、桔子74个，平均分给大班小朋
友，结果糖多出7颗，

个．这个大班的小朋友最多有几个人？4饼干多出块，桔子多出2 8．用
长是9厘米、宽是6厘米、高是7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要这种

长方体
木块多少块．

，求此数。4，最小公倍数为168的最大公约数为 9．已知某数与24

，求这
两个数。12010 ．已知两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为

，求这两个数。15，它
们的最大公约数为165．已知两个自然数的和为11




选做题12．把1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数依不同的次序 排列，可以得到362880个
不同的

九位数，求所有这些九位数的最大公约数．


13．两个整数的最小公倍数是1925，这两个整数分别除以他们的最大公约数，得到两个商

16，
请写出这两个整数（第七届华杯赛试题）。的和是

奇数与偶数及奇偶性的应用 （必做）第五
讲


[376]次 发布日期：[2007-4-22 17:23:11] 共阅

”，使等式成立？“+”，“-1.能否在下式中
填入适当的

9□8□7□6□5□4□3□2□1=28
2.在a、b、c三个数中，有一个是2003，一 个是2004，一个是2005。问（a－1）（b－2）

）
是奇数还是偶数。3（c－

写成等式组：c、d3.用代表整数的字母a、b、


d-a=1983 a×b×c×

d-b=1993 a×b×c×


d-c=2003 a×b×c×


d-d=2013 b×c× a×

是否存在。、da、b、c 试说明：符合条件的整数 4.有一串数，最前面的四个数依次是1、9、8、7.从第五个数起，每一个数都是它前面相邻

8这四个数吗？9、8、
四个数之和的个位数字.问：在这一串数中，会依次出现1、 5.任意改变某一个三位数的各位数
字的顺序得到一个新数.试证新数与原数之和不能等于

999。

闫老师班) 最大公约数和最小
公倍数(

次[2007-10-16 19:01:58] 共阅[154] 发布日期：1.甲、乙两地相 距465千米，一辆汽车
从甲地开往乙地，以每小时60千米的速度行驶一段

千 米的速度行驶了几小时？小时到达乙
地。每小时60千米，共用了后，每小时加速1572.笼中装有鸡 和兔若干只，共100只脚，若将鸡
换成兔，兔换成鸡，则共92只脚。笼中原

有兔、鸡各多少只？3.蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条
腿和2对翅膀。蝉有6条腿和1对翅膀。现在这三种 小虫共18

对翅膀，每种小虫各几只？118

条腿和20只，有 4.学雷锋活动中，同学们共做好事240件，大同学每人做好事8件，小同学每
人做好事3件，

6件。参加这次活动的小同学有多少人？他们平均每人做好事5.某班42个同
学参加 植树，男生平均每人种3棵，女生平均每人种2棵，已知男生比女生

56多种棵，男、
女生各有多少人？

答案：

小时。x千米的速度行驶了60解：设每小时1.




60x+(60+15)(7-x)=465


60x+525-75x=465


525-15x=465


15x=60


x=4


小时。千米的速度行驶了4答：每小时60

只脚。解：兔换成鸡，每只就减少了2 2.

只，
(100-92)2=4

只。兔子有4

只(100-4*4)2=42

42只，鸡有只。答：兔子有4

z只。18
只，蜻蜓y只，蝉 3.解：设蜘蛛

18只，得：三种小虫共

x+y+z=18……a式

118条腿，
得：有

8x+6y+6z=118……b式

对翅膀，得：有20

式2y+z=20……c

式，得：b式-6*a
将

8x+6y+6z-6(x+y+z)=118-6*18


2x=10


x=5


只，蜘蛛有5

18-5=13则蜻蜓和蝉共有只。

(13-y)只。再将z化为

c式，得：再代入


2y+13-y=20


y=7


只。蜻蜓有7

只。蝉有18-5-7=6

6只。5只，蜻蜓有7只，蝉有答：蜘蛛有

件, 6240
4.解：同学们共做好事件,他们平均每人做好事

人说明他们共有2406=40

人。(40-x)人，小
同学有x设大同学有．




8x+3(40-x)=240


8x+120-3x=240


5x+120=240


5x=120


x=24


40-x=16


人。人，小同学有16答：大同学有24




(42-x)人。5.解：设男生x人，女生

3x-2(42-x)=56


3x+2x-84=56


5x=140


x=28


42-x=14


14人答：男生28人，女生 1．答：根据题意不难看出，这个大班小朋友的人数是115-7= 108，
148-4=144，74-2=72的

36人．最大公约数．所以， 这个大班的小朋友最多有2．答：与上题
类似，依题意，正方体的棱长应是9，6，7的最小公倍数，9 ，6，7的最小

) ）=5292(块126
÷126×126×（9×6×7公 倍数是126．所以，至少需要这种长方体木块


。方法同例题。3、答：此数为28

。方法同例题。20与24，或12与40，或4、 答：这两
个数为4与120，或8与605答：所求的两个数为15与150，或30与135，或45 与120，或60
与105，或75与90。

方法同例题。6、答：因为1+2 +…+9=5×9，所以无论这些九位数的值
如何，它们的数字之和总可以被9整除，因而9是所有这些 九位数的公约数．现任取这些九位数

中的两个相差9的数，如

413798265。413798256和7、答：1925=5×5×7×11 两个商为5
和11， 1925÷5=385 ； 1925÷11=175 答：根据1。题意不难看 出，这个大班小朋友的人数是
115-7=108，148-4=144，74-2=72的最大公约数 ．所

人．以，这个大班的小朋友最多有362．答：
与上题类似，依题意，正方 体的棱长应是9，6，7的最小公倍数，9，6，7的最小

块) 6×7）
=5292( 公倍数是126．所以，至少需要这种长方体木块126×126×126÷（9×

。方法同例题。
283．答：此数为

24。方法同例题。40与，或20与60 1204．答：这两个数为4与，或8与，
或125．答：所求的两个数为15与150，或30与13 5，或45与120，或60与105，或75与90。


方法同例题。．



6．答：因为1+2+…+9=5×9，所以 无论这些九位数的值如何，它们的数字之和总可以被9整除，
因而9是所有这些九位数的公约数．现任取 这些九位数中的两个相差9的数，如

413798265。
413798256和

1925÷11=175 1925÷5=385 ； 7×11 两个商为5和11， 答：1925=5×5× 7．幼
儿园有糖115颗、饼干148块、桔子74个，平均分给大班小朋友，结果糖多出7

2个．这个
大班的小朋友最多有几个人？颗，饼干多出4块，桔子多出


8．用长是9厘米、宽是6厘米、高是7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要这种

长
方体木块多少块．

，求此数。，最小公倍数为的最大公约数为4168 9．已知某数与24

，求
这两个数。4，最小公倍数为120 10．已知两个自然数的最大公约数为

，求这两个数。165，
它们的最大公约数为15 11．已知两个自然数的和为

选做题12．把1，2，3，4，5，6，7，
8，9九个数依不同的次序排列，可以得到362880 个不同的

九位数，求所有这些九位数的最
大公约数．


13．两个整数的最小公倍数是1925，这两个整数分别除以他们的最大公约数，得到两个商

，
请写出这两个整数（第七届华杯赛试题）。的和是16

闫老师班) 最大公约数和最小公倍数
(

[154]次 发布日期：[2007-10-16 19:01:58] 共阅

一、填空
1、用96朵红花和72朵白花做成花束，如果每束花里红花的朵数相同，白花的朵数也相同，

朵
花？每束花里最少有2、7月6日，宝珠从避暑山庄打电话向拴柱问好，贾六来看望拴 柱，喜子
在打扫房间。如

天看望一次，至少经过6天打一次电话，贾六每隔5果喜子每隔3天打扫一
次，宝珠每隔

天，问好、看望、打扫这三件事才能同时发生。3、一筐梨，按每份两个梨分
多1个，每份 3个梨分多2个，每份5个梨分多4个，则筐里

个梨。至少有

二、解答题
1、 为了搞试验，将一块长为75米，宽为60米的长方形土地分为面积相等的小正方形土地，

那
么小正方形土地的面积最大是多少平方米？

，求这两个数各是多少？两个数相差最小公倍数
是180，54，、 2 两个数的最大公约数是18 3、有一种新型的电子钟，每到正点和半点都响一次
铃，每过9分钟亮一次灯，如果中午

点时，它既响了铃，又亮了灯，那么下一次既响铃又亮
灯要到什么时间？12

1-14 18:49 四级千总 100 回答者：知道℃-


周期问题．




绿花的顺序排列着，最后一朵是什么颜色的花？9朵黄花，131.有249朵花，按5朵红花，


根据题意可知，者写按5红，9黄，13绿的顺序轮流排列着，即5+9+13=27（朵 )花为一个周期，
不断循环。因为249除以27等于9余6，也就是经过9个周期还余下6朵花，是黄

花。

小
数点后的第一百位是多少？等于0.7.....2.1除以7

8 4，是除以6等于16余142857，
有6个数在循环，就用100

一、填 空题1.有两列火车,一列长102米,每秒行20米;一列长120
米,每秒行17米.两车同向而行 ,从第一

? 列车追及第二列车到两车离开需要几秒2.某人步行的
速度为每秒2 米.一列火车从后面开来,超过他用了10秒.已知火车长90米.求火

车的速度. < br>3.现有两列火车同时同方向齐头行进,行12秒后快车超过慢车.快车每秒行18米,慢车每秒行10< br>米.如果这两列火车车尾相齐同时同方向行进,则9秒后快车超过慢车,求两列火车的车身

长.

4.一列火车通过440米的桥需要40秒,以同样的速度穿过31 0米的隧道需要30秒.这列火车

的
速度和车身长各是多少?
5.小 英和小敏为了测量飞驶而过的火车速度和车身长,他们拿了两块跑表.小英用一块表记下了火
车从她面前 通过所花的时间是15秒;小敏用另一块表记下了从车头过第一根电线杆到车尾过第二
根电线杆所花的时 间是20秒.已知两电线杆之间的距离是100米.你能帮助小英和小

? 敏算出
火车的全长和时速吗6.一列火车通过530米的桥需要40秒,以同样的速度穿过380米的山洞需要
30秒.求这列火

. 车的速度与车身长各是多少米7.两人沿着铁路线边的小道,从两地 出发,以相
同的速度相对而行.一列火车开来,全列车从甲身边开过用了10秒.3分后,乙遇到火车, 全列火车从
乙身边开过只用了9秒.火车离开乙多少

? 时间后两人相遇8. 两 列火车,一列长120米,每秒行
20米;另一列长160米,每秒行15米,两车相向而行,从车头< br>
相遇到车尾离开需要几秒钟?
9.某人步行的速度为每秒钟2米.一列火车从后 面开来,越过他用了10秒钟.已知火车的长为

. 米,
求列车的速度9010. 甲、乙二人沿铁路相向而行,速度相同,一列火车从甲身边开过用了8秒钟,离
甲后5分钟又

问从乙与火车相遇开始再过几分钟甲乙二人相遇? 只用了,7秒钟,遇乙,从乙身边
开过




二、解答题
11.快车长182米,每秒行20米,慢车长1034米,每秒行18米.两车同向并 行,当快车车尾接慢车

求
快车穿过慢车的时间? 车尾时,12.快车长182米 ,每秒行20米,慢车长1034米,每秒行18米.两车同
向并行,当两车车头齐时,

? 快车几秒可越过慢车．



13.一人以每分钟120米的 速度沿铁路边跑步.一列长288米的火车从对面开来,从他身边通过

. ,
求列 车的速度用了8秒钟14.一列火车长600米,它以每秒10米的速度穿过长200米的隧道,从车
头 进入隧道到车尾离

? 开隧道共需多少时间 ———————————————答 案

—
—————————————————————

一、填空题


头 尾 头 17x米 20x米 尾120米 102米1. 这题是“两列车”的追及问题.在这里,
“追及”就是第一列车的车头追 及第二列车的车尾,“离

就是第一列车的车尾离开第二列车的
车头. 开”

列方程得: x秒,设从第一列车追及第二列车到两列车离开需要

x =74.
102+120+17 x =20 x


列方程得x米, 2. 设列车的速度是每秒

10 10 x =90+2×

x =11.


) 12-10×12=96(米 3. ( 则快车长:18×

快车,同时同方向行进,(2)车尾相齐

) 9=72(米 则
慢车长:18×9-10×




) 秒4. (1)火车的速度是:(440-310)÷(40-30)=13(米

) 30-310=80(米(2)车身长是:13×

小时)
60×60=72000(米 5. (1)火车的时速是:100÷(20-15)×

米) (2)车身长是:20×15=300(

得,米.根
据题意6. 设火车车身长x米,车身长y

①②

解得

得列方程组,米.根据题意,zx 7. 设火车
车身长米,甲、乙两人每秒各走y米,火车每秒行

①②


得: -②,①


: 火车离开乙后两人相遇时间为

). 秒) (分( 8. 解:从车头相遇到车尾离开,两车所行距离之
和恰为两列车长之和,故用相遇问题得所求时

秒). 间为:(120+60)?(15+20)=8( 9. 这样想:列车越
过人时, 它们的路程差就是列车长.将路程差(90米)除以越过所用时间(10

. 这速度差加上人的步
行速度就是列车的速度.就得到列车与人的速度差)秒．




) 10+2=9+2=11(米90÷

. 11米答:列车的速度是每秒种 10. 要求过几分钟甲、乙二人相遇,就
必须求出甲、乙二人这时的 距离与他们速度的关系,而与此相关联的是火车的运动,只有通过火车
的运动才能求出甲、乙二人的距离 .火车的运行时间是已知的,因此必须求出其速度,至少应求出它
和甲、乙二人的速度的比例关系.由于 本问

故分步详解如下,: 题较难

则: 的关系,设火车车长

为l,①求出火车速度 与甲、乙二人速度


这个过程为追及问题: 火车开过甲身边用8秒钟,(i)

(1) 故

这个过程为相遇问题: 火车开
过乙身边用7秒钟,(i i)

. (2) 故

可得: , (1)、(2)由

所以, .


②火车头遇到甲处与火车遇到乙处之间的距离是:


③求火车头遇到乙时甲、乙二人之间的距离. .火车头遇甲后,又经过(8+5×60)秒后,火车 头才遇
乙,所以,火车头遇到乙时,甲、乙二人之间的距

: 离为

? ④求甲、乙二人过几分钟相遇

) 秒)
(分钟(

. 分钟甲乙二人相遇:答再过

二、解答题11. 1034÷(20-18)=91(秒) 12. 182÷
(20-18)=91(秒) 13. 288÷8-120÷60=36-2=34(米秒) 答:列车的速度是每秒34米. 14.
(600+200)÷10=80(秒) 答:从车头进入隧道到车尾离开隧道共

. 80秒需1．答：根据题意不难看
出，这个大班小朋友的人数是115-7=108，14 8-4=144，74-2=72的

36人．最大公约数．所以，
这个大班的小 朋友最多有2．答：与上题类似，依题意，正方体的棱长应是9，6，7的最小公倍
数，9，6，7的最 小

) =5292(块（9×6×7） 公倍数是126．所以，至少需要这种长方体木块
126×126×126÷

28、答：此数为。方法同例题。3

。方法同例题。20与24408与60，或
12与，或1204、答：这两个数为4与，或5答：所求的两个数为15与150，或30与135，或45与120，或60与105，或75与90。

方法同例题。6、答：因为1+2 +…+9=5×9，所以无
论这些九位数的值如何，它们的数字之和总可以被9整除，因而9是所有这些 九位数的公约数．现
任取这些九位数中的两个相差9的数，如

。413798265和413798256．



7、答：1925=5×5×7×11 两个商为5和11， 1925÷5=385 ； 1925÷11=175 答：根据1。题
意不难看出，这个大班小朋友的人数是115-7=108， 148-4=144，74-2=72的最大公约数．所

人．以，
这个大班的小 朋友最多有362．答：与上题类似，依题意，正方体的棱长应是9，6，7的最小公
倍数，9，6，7 的最小

) =5292(块（9×6×7）公倍数是126．所以，至少需要这种长方体木块
126×126×126÷

。方法同例题。．答：此数为283

。方法同例题。与24与40，或204与
120，或8与60，或124．答：这两个数 为5．答：所求的两个数为15与150，或30与135，或
45与120，或60与105，或75 与90。

方法同例题。6．答：因为1+2+…+9=5×9，所以无
论这些九 位数的值如何，它们的数字之和总可以被9整除，因而9是所有这些九位数的公约数．现
任取这些九位数 中的两个相差9的数，如

413798265。413798256和

1925÷11=175 5=385 ；
两个商为5和11， 1925÷答：1925=5×5×7×11
7．幼儿园有糖115颗、饼干148块、桔子74个，平均分给大班小朋友，结果糖多出7颗，

个．这
个大班的小朋友最多有几个人？4块，桔子多出2饼干多出 8．用长是9厘米、宽是6厘米、高
是7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要这种

长方体木块多少块．

，求此数。4，
最小公倍数为168 9．已知某数与24的最大公约数为


，求这两个数。，最小公倍数为120 10．已知两个自然数的最大公约数为4

，求这两个
数。，它们的最大公约数为15 11．已知两个自然数的和为165

选做题12．把1，2，3，4，
5，6，7，8，9九个数依不同的次序排列，可以得到362880 个不同的

九位数，求所有这些九
位数的最大公约数． 13．两个整数的最小公倍数是1925，这两个整数分别除以他们的最大公约
数，得到两个商

16，请写出这两个整数（第七届华杯赛试题）。的和是

（必做）第五讲
奇数与偶数及奇偶性的应用


次[2007-4-22 17:23:11] 共阅[376] 发布日期：

，使等式成立？-”，1.能否在下式中填入适
当的“+”“

9□8□7□6□5□4□3□2□1=28
2.在a、b、c三个数中，有一个是2003， 一个是2004，一个是2005。问（a－1）（b－2）

）
是奇数还是偶数。c－3（

d写成等式组：c、b、、a 3.用代表整数的字母

c×a×b×d-a=1983


d-b=1993 b×c×a×

d-c=2003 a× b×c×

d-d=2013 c×b×a×

是否存在。、d、试说明：符合条件的整数ab、c
4.有一串数，最前面的四个数依次是1、9、8、7.从第五个数起，每一个数都是它前面相邻

这
四个数吗？、9、88、问：在这一串数中，会依次出现四个数之和的个位数字.1

试证新数与原数
之和不能等.5. 任意改变某一个三位数的各位数字的顺序得到一个新数

小学六年级奥数题集锦

搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要1 5小时.有同样
的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，
中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时
间？
解：设搬运一个仓库的货物的工作量是1.现在相当于三人共同完成工作量2，
所需时间是










答：丙帮助甲搬运3小时，帮助乙搬运5小时
解本题的关键，是先算出三人共同 搬运两个仓库的时间.本题计算当然也可以
整数化，设搬运一个仓库全部工作量为 60.甲每小时搬运 6，乙每小时搬运 5，
丙每小时搬运4
三人共同搬完，需要
60 × 2÷（6+ 5+ 4）= 8（小时）
甲需丙帮助搬运
（60- 6× 8）÷ 4= 3（小时）
乙需丙帮助搬运
（60- 5× 8）÷4= 5（小时）
一件工作,若由甲单独做72天完成,现在甲做1天后,乙加入一起工作,合作2天后,
丙也一起工作,三人再一起工作4天,完成全部工作的13,又过了8天,完成了全部
工作的5 6,若余下的工作由丙单独完成,还需要几天?

答案
甲乙丙3人8天完成 :56-13=12
甲乙丙3人每天完成 :12÷8=116，
甲乙丙3人4天完成 :116×4=14
则甲做一天后乙做2天要做 :13-14=112
那么乙一天做 :[112-172×3]2=148

则丙一天做 :116-172-148=136
则余下的由丙做要 :[1-56]÷136=6天
答：还需要6天




某书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次购书用100元，按该书定价
2.8元出售， 很快售完。第二次购书时，每本的批发价比第一次增多了0.5元，
用去150元，所购数量比第一次多 10本，当这批书售出45时出现滞销，便以
定价的5折售完剩余图书。试问该老板第二次售书是赔钱还 是赚钱，若赔，赔多
少，若赚，赚多少
答案
（100+40）2.8=50本 10050=2 150(2+0.5）=60本 60*80%=48本
48*2.8+2.8*50*12-150=1.2 盈利1.2元

育才小学原来体育达标人数与未达标人数比是3：5，后来又有60名同学达标，
这时达标人数是未达标人数的911，育才小学共有学生多少人？
答案
原来达标人数占总人数的
3÷（3＋5）＝38
现在达标人数占总人数的
911÷（1＋911）＝920
育才小学共有学生
60÷（920－38）＝800人

875原来甲乙丙三个村合修一条水渠， 修完后，甲乙丙村可灌溉的面积比是：：
三个村计划按可灌溉的面积比派出劳力，后来因为丙村抽不出劳 力，经协商，丙
1350元，结果，甲村村应抽出的劳力由甲乙两村分担，丙村付给甲乙两村工钱
6040 人，问甲乙两村各应分得工钱多少元？共派出人，乙村共派出 答案
8+7+5=20 份根据甲乙丙村可灌溉的面积比算出总份数：20=5 60+40÷）每份需
要的人数：人（5=4060-40=20 8×甲村需要的人数：人人，多出劳力人数：
5=3540-35=5 7×乙村需要的人数：人，多出劳力人数：人5=25 20+5=25 5×丙
村需要的人数：或人人25=54 1350÷每人应得的钱数：元20=1080 54×甲村应
得的工钱：元5=270 54×乙村应得的工钱：元
某人到商店买红蓝两 种钢笔，红钢笔定价5元，蓝钢笔定价9元，由于购买量
较多，商店给予优惠，红钢笔八五折，蓝钢笔八 折，结果此人付的钱比原来节省
的18%，已知他买了蓝钢笔30枝，那么。他买了几支红钢笔？
答案红笔买了x支。
（5x+30×9）×（1-18%)=5x×0.85+30×9×0.8
x=36.
十字交叉法，需要算总钱数比



甲说：“我乙丙共有100 元。”乙说：“如果甲的钱是现有的6倍，我的钱是现有
的13，丙的钱不变，我们仍有钱100元。” 丙说：“我的钱都没有30元。”三人
原来各有多少钱？

答案
乙的话表明：甲钱5倍与乙钱23一样多
所以，乙钱是3*5=15的倍数，甲钱是偶数

丙钱不足30，所以，甲乙钱和多于70，
而乙多于甲的6倍，
所以，乙多于60

设乙=75，甲=75*23÷5=10,丙=100-10-75=15
设乙=90，甲=90*23÷5=12,90+12>100,不行

所以，三人原来：甲10元，乙75元，丙15元

两支成分不同的蜡烛,其中 1支以均匀速度燃烧,2小时烧完,另一支可以燃烧3小
时,傍晚6时半同时点燃蜡烛，到什么1支剩余 部分正好是另一支剩余的2倍？
答案
两支蜡烛分别设为A蜡烛和B蜡烛，其中A蜡烛是那支烧得快点的
A蜡烛，两小时烧完，那么每小时燃烧12
B蜡烛，三小时烧完，那么每小时燃烧13
设过了x小时以后，B蜡烛剩余的部分是A的两倍
2（1—x2）=1—x3
解得x=1.5
由于是6点半开始的，所以到8点的时候刚刚好


1点从学校出发，走了一段平路，爬了一座山后按原学校组织春游，同学们下午
4Km3Km小 时，爬山路返回，下午七点回到学校。已知他们的步行速度平路
6Km2.5 时。问：他们一共行了多少路小时，下山为小时，返回时间为答案1
设走的平路是X公里 山路是Y公里
因为1点到七点共用时间6小时 返回为2.5小时 则去时用3.5小时
Y3-Y6=1小时
Y=6公里
去时共用3.5小时 则X4+Y3=3.5 X=6
所以总路程为2（6+6）=24km
2
答案解：春游共用时：7：00－1：00＝6（小时）
上山用时：6－2.5＝3.5（小时）
上山多用：3.5－2.5＝1（小时）
山路：（6－3）×1÷（3÷6）＝6（千米）
（小时）1＝66÷下山用时：



平路：（2.5－1）×4＝6（千米）
单程走路：6＋6＝12（千米）
共走路：12×2＝24（千米）

答：他们共走24千米。



工程问题
1．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20 小时，16小时.丙水管单独
开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后， 再打
开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？
解：
120+116＝980表示甲乙的工作效率
980×5＝4580表示5小时后进水量
1-4580＝3580表示还要的进水量
3580÷（980-110）＝35表示还要35小时注满
答：5小时后还要35小时就能将水池注满。

2．修一条水渠，单独修，甲队 需要20天完成，乙队需要30天完成。如果两队
合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低 ，甲队的工作效率是原来
的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。现在计划16天修完这条水渠 ，
且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？
解：由题意得，甲的工效为12 0，乙的工效为130，甲乙的合作工效为
120*45+130*910＝7100，可知甲乙合作工 效>甲的工效>乙的工效。
又因为，要求“两队合作的天数尽可能少”，所以应该让做的快的甲多做 ，16天
内实在来不及的才应该让甲乙合作完成。只有这样才能“两队合作的天数尽可能
少”。
设合作时间为x天，则甲独做时间为（16-x）天
120*（16-x）+7100*x＝1
x＝10
答：甲乙最短合作10天

3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。现在先请
甲 、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多
少小时？
解：
由题意知，14表示甲乙合作1小时的工作量，15表示乙丙合作1小时的工作
量
（14+15）×2＝910表示甲做了2小时、乙做了4小时、丙做了2小时的工
作量。
根据“甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成”可知甲做2小时、
乙做6小时、丙做 2小时一共的工作量为1。
所以1－910＝110表示乙做6-4＝2小时的工作量。
110÷2＝120表示乙的工作效率。
1÷120＝20小时表示乙单独完成需要20小时。
小时。20答：乙单独完成需要．

4．一 项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替
轮流做，那么恰好用整数天完工 ；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，
第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种 多半天。已知乙单独做
这项工程需17天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？
解：由题意可知
1甲+1乙+1甲+1乙+……+1甲＝1
1乙+1甲+1乙+1甲+……+1乙+1甲×0.5＝1
（1甲表示甲的工作效率、1乙 表示乙的工作效率，最后结束必须如上所示，否
则第二种做法就不比第一种多0.5天）
1甲＝1乙+1甲×0.5（因为前面的工作量都相等）
得到1甲＝1乙×2
又因为1乙＝117
所以1甲＝217，甲等于17÷2＝8.5天
5．师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了12时，徒弟完成了120个。当
师傅完成了任务时 ，徒弟完成了45这批零件共有多少个？
答案为300个
120÷（45÷2）＝300个
可以这样想：师傅第一次完成了12，第二次也是12， 两次一共全部完工，那
么徒弟第二次后共完成了45，可以推算出第一次完成了45的一半是25，刚< br>好是120个。

6．一批树苗，如果分给男女生栽，平均每人栽6棵；如果单份 给女生栽，平均
每人栽10棵。单份给男生栽，平均每人栽几棵？
答案是15棵
算式：1÷（16-110）＝15棵

7．一个池上装有3根水管。甲管为进 水管，乙管为出水管，20分钟可将满池水
放完，丙管也是出水管，30分钟可将满池水放完。现在先打 开甲管，当水池水
刚溢出时，打开乙,丙两管用了18分钟放完，当打开甲管注满水是，再打开乙管，< br>而不开丙管，多少分钟将水放完？
答案45分钟。
1÷（120+130）＝12 表示乙丙合作将满池水放完需要的分钟数。
112*（18-12）＝112*6＝12 表示乙丙合作将漫池水放完后，还多放了6分钟
的水，也就是甲18分钟进的水。
12÷18＝136 表示甲每分钟进水
最后就是1÷（120-136）＝45分钟。

8．某工程队需要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙队去
做 ，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如
期完成，问规定日期为几天 ？
答案为6天

解：



由“若 乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单
独做，恰好如期完成，”可知：
乙做3天的工作量＝甲2天的工作量
即：甲乙的工作效率比是3：2
甲、乙分别做全部的的工作时间比是2：3
时间比的差是1份
实际时间的差是3天
所以3÷（3-2）×2＝6天，就是甲的时间，也就是规定日期
方程方法：
[1x+1（x+2）]×2+1（x+2）×（x-2）＝1
解得x＝6

9．两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小时，而点完一根细 蜡烛要1小时，
一天晚上停电，小芳同时点燃了这两根蜡烛看书，若干分钟后来点了，小芳将两
支蜡烛同时熄灭，发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍，问：停电多少分钟？
答案为40分钟。
解：设停电了x分钟
根据题意列方程
1-1120*x＝（1-160*x）*2
解得x＝40


二．鸡兔同笼问题
1．鸡与兔共100只,鸡的腿数比兔的腿数少28条,问鸡与兔各有几只?
解：
4*100＝400，400-0＝400 假设都是兔子，一共有400只兔子的脚，那么鸡的
脚为0只，鸡的脚比兔子的脚少400只。
400-28＝372 实际鸡的脚数比兔子的脚数只少28只，相差372只，这是为什么？
4+2＝6 这是因为只要将一只兔子换成一只鸡，兔子的总脚数就会减少4只（从
400只变 为396只），鸡的总脚数就会增加2只（从0只到2只），它们的相差
数就会少4+2＝6只（也就是 原来的相差数是400-0＝400，现在的相差数为396-2
＝394，相差数少了400-394 ＝6）
372÷6＝62 表示鸡的只数，也就是说因为假设中的100只兔子中有62只改为了鸡，所以脚的相差数从400改为28，一共改了372只
100-62＝38表示兔的只数




三．数字数位问题
1．把1至200 5这2005个自然数依次写下来得到一个多位数123456789.....2005,
这个多位数 除以9余数是多少?

解：
整除，那么9整除的数的特点：如果各个数位上的数字之和能被9首先研究能
被



这个数也能被9整除；如果各个位数字之和不能被9整除，那么得的余数就是这个数除以9得的余数。
解题：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；45能被9整除
依次类推：1~1999这些数的个位上的数字之和可以被9整除
10~19，20~29 ……90~99这些数中十位上的数字都出现了10次，那么十位上
的数字之和就是10+20+30+ ……+90=450 它有能被9整除
同样的道理，100~900 百位上的数字之和为4500 同样被9整除
也就是说1~999这些连续的自然数的各个位上的数字之和可以被9整除；
同样的道理：1000~1999这些连续的自然数中百位、十位、个位 上的数字之和
可以被9整除（这里千位上的“1”还没考虑，同时这里我们少
2
从1000~1999千位上一共999个“1”的和是999，也能整除；
2的各位数字之和是27，也刚好整除。
最后答案为余数为0。

2．A和B是小于100的两个非零的不同自然数。求A+B分之A-B的最小值...
解：
(A-B)(A+B) = (A+B - 2B)(A+B) = 1 - 2 * B(A+B)
前面的 1 不会变了，只需求后面的最小值，此时 (A-B)(A+B) 最大。
对于 B (A+B) 取最小时，(A+B)B 取最大，
问题转化为求 (A+B)B 的最大值。
(A+B)B = 1 + AB ，最大的可能性是 AB = 991
(A+B)B = 100
(A-B)(A+B) 的最大值是： 98 100

3．已知A.B.C都是非0自然数,A2 + B4 + C16的近似值市6.4,那么它的准确
值是多少?
答案为6.375或6.4375
因为A2 + B4 + C16＝8A+4B+C16≈6.4，
所以8A+4B+C≈ 102.4，由于A、B、C为非0自然数，因此8A+4B+C为一个
整数，可能是102，也有可能 是103。
当是102时，10216＝6.375
当是103时，10316＝6.4375

4．一个三位数的各位数字 之和 是17.其中十位数字比个位数字大1.如果把这个
三位数的百位数字与个位数字对调,得到一个新的三 位数,则新的三位数比原三位
数大198,求原数.
答案为476
解：设原数个位为a，则十位为a+1，百位为16-2a
根据题意列方程100a+10a+16-2a－100（16-2a）-10a-a＝198

解得a＝6，则a+1＝7 16-2a＝4
答：原数为476。

求原来24,倍多7所组成的三位数比原两位数的3,在它的前面写上,．一个两位数5．



的两位数.
答案为24
解：设该两位数为a，则该三位数为300+a
7a+24＝300+a
a＝24
答：该两位数为24。

6．把一个两位数的个位数字与 十位数字交换后得到一个新数,它与原数相加,和
恰好是某自然数的平方,这个和是多少?
答案为121
解：设原两位数为10a+b，则新两位数为10b+a
它们的和就是10a+b+10b+a＝11（a+b）
因为这个和是一个平方数，可以确定a+b＝11
因此这个和就是11×11＝121
答：它们的和为121。

7．一个六位数的末位数字是2,如果把2移到首位,原数就是新数的3倍,求原数.
答案为85714
解：设原六位数为abcde2，则新六位数为2abcde（字母上无 法加横线，请将整
个看成一个六位数）
再设abcde（五位数）为x，则原六位数就是10x+2，新六位数就是200000+x
根据题意得，（200000+x）×3＝10x+2
解得x＝85714
所以原数就是857142
答：原数为857142

8．有一个 四位数,个位数字与百位数字的和是12,十位数字与千位数字的和是9,
如果个位数字与百位数字互换 ,千位数字与十位数字互换,新数就比原数增加
2376,求原数.
答案为3963
解：设原四位数为abcd，则新数为cdab，且d+b＝12，a+c＝9
根据“新数就比原数增加2376”可知abcd+2376=cdab,列竖式便于观察
abcd
2376
cdab
根据d+b＝12，可知d、b可能是3、9；4、8；5、7；6、6。
再观察竖式中的个位，便可以知道只有当d＝3，b＝9；或d＝8，b＝4时成立。
先取d＝3，b＝9代入竖式的百位，可以确定十位上有进位。

根据a+c＝9，可知a、c可能是1、8；2、7；3、6；4、5。
再观察竖式中的十位，便可知只有当c＝6，a＝3时成立。
再代入竖式的千位，成立。
得到：abcd＝3963
再取d＝8，b＝4代入竖式的十位，无法找到竖式的十位合适的数，所以不成立。




9．有一个两位数,如果用它去除以个位数字,商为9余数为6,如果 用这个两位数
除以个位数字与十位数字之和,则商为5余数为3,求这个两位数.
解：设这个两位数为ab
10a+b＝9b+6
10a+b＝5（a+b）+3
化简得到一样：5a+4b＝3
由于a、b均为一位整数
得到a＝3或7，b＝3或8
原数为33或78均可以

10．如果现在是上午的10点21分,那么在经过 28799...99(一共有20个9)分钟
之后的时间将是几点几分?
答案是10：20
解：
（28799……9（20个9）+1）6024整除 ，表示正好过了整数天，时间仍然还
是10：21，因为事先计算时加了1分钟，所以现在时间是10： 20

四．排列组合问题
1．有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有（ ）
A 768种 B 32种 C 24种 D 2的10次方中
解：
根据乘法原理，分两步： 第一步是把5对夫妻看作5个整体，进行排列有5×4×3×2×1＝120种不同的
排法，但是因 为是围成一个首尾相接的圈，就会产生5个5个重复，因此实际
排法只有120÷5＝24种。 第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫妻均有2种排法，
总共又2×2×2× 2×2＝32种
综合两步，就有24×32＝768种。

2 若把英语单词hello的字母写错了,则可能出现的错误共有 ( )
A 119种 B 36种 C 59种 D 48种
解：
5全排列5*4*3*2*1=120
有两个l所以1202=60
原来有一种正确的所以60-1=59

五．容斥原理问题
1． 有100种赤贫.其中含钙的有68种,含铁的有43种,那么,同时含钙和铁的食
品种 类的最大值和最小值分别是( )
A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11



解：根据容斥原理最小值68+43-100＝11
最大值就是含铁的有43种

2．在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知: (1)某校25名学生参加竞赛,每个
学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解 出第二题的人数是
解出第三题的人数的2倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的< br>人数多1人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二
题的学生人 数是( )
A，5 B，6 C，7 D，8
解：根据“每个人至少答出三题中的一道 题”可知答题情况分为7类：只答第1
题，只答第2题，只答第3题，只答第1、2题，只答第1、3题 ，只答2、3题，
答1、2、3题。
分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123
由（1）知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123＝25…①
由（2）知：a2+a23＝（a3+ a23）×2……②
由（3）知：a12+a13+a123＝a1－1……③
由（4）知：a1＝a2+a3……④
再由②得a23＝a2－a3×2……⑤
再由③④得a12+a13+a123＝a2+a3－1⑥
然后将④⑤⑥代入①中，整理得到
a2×4+a3＝26
由于a2、a3均表示人数，可以求出它们的整数解：
当a2＝6、5、4、3、2、1时，a3＝2、6、10、14、18、22
又根据a23＝a2－a3×2……⑤可知：a2>a3
因此，符合条件的只有a2＝6，a3＝2。
然后可以推出a1＝8，a12+a13+a 123＝7，a23＝2，总人数＝8+6+2+7+2＝25，
检验所有条件均符。
故只解出第二题的学生人数a2＝6人。

3．一次考试共有5道试题。做对第 1、2、3、、4、5题的分别占参加考试人数
的95%、80%、79%、74%、85%。如果做对 三道或三道以上为合格，那么这
次考试的合格率至少是多少？
答案：及格率至少为71％。
假设一共有100人考试
100-95＝5
100-80＝20

100-79＝21
100-74＝26
100-85＝15
5+20+21+26+15＝87（表示5题中有1题做错的最多人数）
87÷3＝29（表示5题中有3题做错的最多人数，即不及格的人数最多为29人）
100-29＝71（及格的最少人数，其实都是全对的）
及格率至少为71％





六．抽屉原理、奇偶性问题
1． 一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种，
问最少要摸出几只手套才能保 证有3副同色的？
解：可以把四种不同的颜色看成是4个抽屉，把手套看成是元素，要保证有一副< br>同色的，就是1个抽屉里至少有2只手套，根据抽屉原理，最少要摸出5只手
套。这时拿出1副同 色的后4个抽屉中还剩3只手套。再根据抽屉原理，只要
再摸出2只手套，又能保证有一副手套是同色的 ，以此类推。
把四种颜色看做4个抽屉，要保证有3副同色的，先考虑保证有1副就要摸出5
只手套。这时拿出1副同色的后，4个抽屉中还剩下3只手套。根据抽屉原理，
只要再摸出2只手套， 又能保证有1副是同色的。以此类推，要保证有3副同
色的，共摸出的手套有：5+2+2=9（只）
答：最少要摸出9只手套，才能保证有3副同色的。

2．有四种颜色的积木若 干，每人可任取1-2件，至少有几个人去取，才能保证
有3人能取得完全一样？
答案为21
解：
每人取1件时有4种不同的取法,每人取2件时,有6种不同的取法.
当有11人时,能保证至少有2人取得完全一样:
当有21人时,才能保证到少有3人取得完全一样.

3．某盒子内装50只球 ，其中10只是红色，10只是绿色，10只是黄色，10只
是蓝色，其余是白球和黑球，为了确保取出 的球中至少包含有7只同色的球，问：
最少必须从袋中取出多少只球？
解：需要分情况讨论，因为无法确定其中黑球与白球的个数。
当黑球或白球其中没有大于或等于7个的，那么就是：
6*4+10+1=35(个)
如果黑球或白球其中有等于7个的，那么就是：
6*5+3+1＝34（个）
如果黑球或白球其中有等于8个的，那么就是：
6*5+2+1＝33
如果黑球或白球其中有等于9个的，那么就是：
6*5+1+1＝32
< /p>

4．地上有四堆石子，石子数分别是1、9、15、31如果每次从其中的三堆同时
各取出1个，然后都放入第四堆中，那么，能否经过若干次操作，使得这四堆石
子的个数都相同?（如 果能请说明具体操作，不能则要说明理由）
不可能。
因为总数为1+9+15+31＝56
564＝14
14是一个偶数
而原来1、9、15、31都是奇数，取出1个和放入3个也都是奇数，奇数加减若
干 。个）14次奇数后，结果一定还是奇数，不可能得到偶数（．




七．路程问题
1．狗跑5步的时间马跑3步，马跑4步的距离狗跑7步，现在狗已跑出30 米，
马开始追它。问：狗再跑多远，马可以追上它？
解：
根据“马跑4步的距离狗跑7步”，可以设马每步长为7x米，则狗每步长为4x
米。 根据“狗跑5步的时间马跑3步”，可知同一时间马跑3*7x米＝21x米，则狗跑
5*4x＝2 0米。
可以得出马与狗的速度比是21x：20x＝21：20
根据“现在狗已跑出3 0米”，可以知道狗与马相差的路程是30米，他们相差的
份数是21-20＝1，现在求马的21份是 多少路程，就是 30÷（21-20）×21＝
630米

2．甲乙辆车同时从a b两地相对开出，几小时后再距中点40千米处相遇？已知，
甲车行完 全程要8小时，乙车行完全程要10小时，求a b 两地相距多少千米？
答案720千米。 < br>由“甲车行完全程要8小时，乙车行完全程要10小时”可知，相遇时甲行了10
份，乙行了8份 （总路程为18份），两车相差2份。又因为两车在中点40千米
处相遇，说明两车的路程差是（40+ 40）千米。所以算式是（40+40）÷（10-8）
×（10+8）＝720千米。

3．在一个600米的环形跑道上，兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，
两人每隔12 分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发，
哥哥改为按逆时针方向跑，则两人每隔 4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分
钟？
答案为两人跑一圈各要6分钟和12分钟。
解：
600÷12=50，表示哥哥、弟弟的速度差
600÷4=150，表示哥哥、弟弟的速度和
（50+150）÷2=100，表示较快的速度，方法是求和差问题中的较大数
（150-50）2=50，表示较慢的速度，方法是求和差问题中的较小数
600÷100=6分钟，表示跑的快者用的时间
60050=12分钟，表示跑得慢者用的时间

4．慢车车长 125米，车速每秒行17米，快车车长140米，车速每秒行22米，
慢车在前面行驶，快车从后面追 上来，那么，快车从追上慢车的车尾到完全超过
慢车需要多少时间？
答案为53秒
算式是（140+125)÷(22-17)=53秒
可以这样理解：“快车从追上慢车的 车尾到完全超过慢车”就是快车车尾上的点
追及慢车车头的点，因此追及的路程应该为两个车长的和。

5．在300米长的环形跑道上，甲乙两个人同时同向并排起跑，甲平均速度是每
秒5米，乙平均速度是每秒4.4米，两人起跑后的第一次相遇在起跑线前几米？
米100答案为



300÷（5-4.4）＝500秒，表示追及时间
5×500＝2500米，表示甲追到乙时所行的路程
2500÷300＝8圈……100 米，表示甲追及总路程为8圈还多100米，就是在原
来起跑线的前方100米处相遇。

6．一个人在铁道边，听见远处传来的火车汽笛声后，在经过57秒火车经过她
前面，已知火车 鸣笛时离他1360米，(轨道是直的),声音每秒传340米，求火车
的速度（得出保留整数）
答案为22米秒
算式：1360÷(1360÷340+57）≈22米秒
关 键理解：人在听到声音后57秒才车到，说明人听到声音时车已经从发声音的
地方行出1360÷340 ＝4秒的路程。也就是1360米一共用了4+57＝61秒。

7．猎犬发现在离它1 0米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去，猎犬
的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但 是兔子的动作快，猎犬跑2步
的时间，兔子却能跑3步，问猎犬至少跑多少米才能追上兔子。
正确的答案是猎犬至少跑60米才能追上。
解：
由“猎犬跑5步的路程，兔子 要跑9步”可知当猎犬每步a米，则兔子每步59
米。由“猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步”可知同 一时间，猎犬跑2a米，
兔子可跑59a*3＝53a米。从而可知猎犬与兔子的速度比是2a：53a ＝6：5，
也就是说当猎犬跑60米时候，兔子跑50米，本来相差的10米刚好追完

8． AB两地,甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是4:5,如果甲乙二人分别
同时从 AB两地相对行使,40分钟后两人相遇,相遇后各自继续前行,这样，乙到达
A地比甲到达B地要晚多 少分钟?
答案：18分钟
解：设全程为1,甲的速度为x乙的速度为y
列式40x+40y=1
x:y=5:4
得x=172 y=190

走完全程甲需72分钟,乙需90分钟
故得解
9．甲乙两车同 时从AB两地相对开出。第一次相遇后两车继续行驶，各自到达
对方出发点后立即返回。第二次相遇时离 B地的距离是AB全程的15。已知甲
车在第一次相遇时行了120千米。AB两地相距多少千米？
答案是300千米。
解：通过画线段图可知，两个人第一次相遇时一共行了1个AB的路程 ，从开始
到第二次相遇，一共又行了3个AB的路程，可以推算出甲、乙各自共所行的路
程分别 是第一次相遇前各自所走的路程的3倍。即甲共走的路程是120*3＝360
千米，从线段图可以看出 ，甲一共走了全程的（1+15）。
因此360÷（1+15）＝300千米

AB小时，现在甲乙分别6小时、4地，甲、乙两人骑自行车分别需要B地到A
从



两地同时出发相向而行，相遇时距AB两地中点2千米。如果二人分别至B地，< br>A地后都立即折回。第二次相遇点第一次相遇点之间有（）千米

10．一船以同 样速度往返于两地之间，它顺流需要6小时;逆流8小时。如果水
流速度是每小时2千米，求两地间的距 离？
解：（16-18）÷2＝148表示水速的分率
2÷148＝96千米表示总路程

11．快车和慢车同时从甲乙两地相对开出 ，快车每小时行33千米，相遇是已行
了全程的七分之四，已知慢车行完全程需要8小时，求甲乙两地的 路程。
解：
相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是4：3
时间比为3：4
所以快车行全程的时间为84*3＝6小时
6*33＝198千米

12．小华从甲地到乙地,3分之1骑车,3分之2乘 车;从乙地返回甲地,5分之3骑
车,5分之2乘车,结果慢了半小时.已知,骑车每小时12千米,乘 车每小时30千米,
问:甲乙两地相距多少千米?
解：
把路程看成1，得到时间系数
去时时间系数：13÷12+23÷30
返回时间系数：35÷12+25÷30
两者之差：（35÷12+25÷30）-（13÷12+23÷30）=175相当于12小时
去时时间：12×（13÷12）÷175和12×（23÷30）175
路程：12×〔 12×（13÷12）÷175〕+30×〔12×（23÷30）175〕=37.5
（千米）

小学奥数题80道

六年综合奥数题 工 程问题1．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小
时.丙水管单独开，排一池水 要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开
排水管丙，问水池注

满还是要多少小时？

980表示甲乙的工作效率 120+116＝解：


小时后进水量4580表示5＝980×5

表示还要的进水量1-4580＝3580

35小时注满）＝
（980-11035表示还要3580÷

小时就能将水池注满。5答：小时后还要35 2．修一条水渠，
单独修，甲队需要20天完成，乙队需 要30天完成。如果两队合作，由于彼此施工有影响，他们
的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来 的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。
现在计划16天修完这条水渠，且要求两队合作的天数 尽可能少，

那么两队要合作几天？



解：由题意 得，甲的工效为120，乙的工效为130，甲乙的合作工效为120*45+130*910

乙
的工效。甲的工效>＝7100，可知甲乙合作工效>又因为，要求“两队合作的天数尽 可能少”，所
以应该让做的快的甲多做，16天内实在来不

。两队合作的天数尽可能少”及的才应该让甲乙
合作完成。只有这样才能“

16-x天，则甲独做时间为（）天设合作时间为x

10天 答：
甲乙最短合作1 x＝10 120*（16-x）+7100*x＝ 3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，
乙、丙合做需5小时完成。现在先请甲、丙合做

6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小
时？2小时后，余下的乙还需做

1小时的工作量小时的工作量，15表示乙丙合作解： 由题
意知，14表示甲乙合作1

小时的工作量。2小时、乙做了4小时、丙做了 ×2＝910表示甲
做了2（14+15）根据“甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成”可 知甲做2小时、
乙做6小时、丙

。2小时一共的工作量为1做

小时的工作量。6-4＝2－910＝110表示乙
做所以1

表示乙的工作效率。＝120110÷2

小时。小时表示乙单独完成需要201÷120＝
20

小时。答：乙单独完成需要20 4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第
四天乙做， 这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙
做，第四天甲做，这 样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需
17天完成，甲单独做

这项工程要多少天完成？

解：由题意可知


甲＝1 甲+1乙+……+11甲+1乙+1

1 ×0.5＝甲乙+1甲+…… +1乙+1甲1乙+1+1（1甲
表示甲的工作效率、1乙表示乙的工作效率，最后结束必须如上所示， 否则第二种做

天）法
就不比第一种多0.5

（因为前面的工作量都相等）×0.5甲＝1乙+1甲1

×2 乙得到1甲＝
1

乙＝117 又因为1

天2＝8.517÷所以1甲＝217，甲等于 5．师徒俩人加工同样多的零
件。当师傅完成了12时，徒弟完成了120个。当师傅完成了

这批零件共有多少个？任务时，
徒弟完成了45

300个答案为

个2）＝300120÷（45÷可以这样想：师傅第一次完成了12，
第二次也是12，两次一共全部完工，那么徒弟第二

个。120，刚好是25的一半是45，可以
推算出第一次完成了45次后共完成了．



6．一批树苗，如果分给男女生栽，平均每人栽6棵；如果单份给女生栽，平均每人栽10

棵。
单份给男生栽，平均每人栽几棵？

15棵答案是

15棵1÷（16-110）＝算式：7．一个池
上装有3根水管。甲管为进水管，乙管为 出水管，20分钟可将满池水放完，丙管也是出水管，
30分钟可将满池水放完。现在先打开甲管，当水 池水刚溢出时，打开乙,丙两

而不开丙管，
多少分钟将水放完？分钟放完，当打开甲管注满水是，再打开乙管，管用了18

45分钟。答
案

表示乙丙合作将满池水放完需要的分钟数。120+130（）＝12 1÷112*（18-12）＝112*6
＝12 表示乙丙合作将漫池水放完后，还多放了6分钟的水，也就

分钟进的水。是甲18

表
示甲每分钟进水18＝136 12÷

分钟。120-136）＝45最后就是1÷（ 8．某工程队需要在
规定日期内完成，若 由甲队去做，恰好如期完成，若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先
由甲乙合作二天，再由乙队单 独做，恰好如期完成，问规定日期为

几天？

天答案为6解：
由“若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，

可知：

恰好如期完成，”

2天的工作量天的工作量＝甲乙做3

：2 即：甲乙的工作效率比是3

：
3 甲、乙分别做全部的的工作时间比是2

1份时间比的差是

3天实际时间的差是

天，
就是甲的时间，也就是规定日期2＝6×所以3÷（3-2）

方程方法：

1 x-2）＝（x+2）×
（2+1[1x+1（x+2）]×

6 x＝解得 9． 两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小时，而点
完一根细蜡烛要1小时，一天晚上停电，小芳同时点 燃了这两根蜡烛看书，若干分钟后来点了，
小芳将两支蜡烛同时熄灭，发

2倍，问：停电多少分钟？现粗蜡烛的长是细蜡烛的

分钟。
答案为40

分钟解：设停电了x

40 解得x＝ *2 1-1120*x根据题意列方程 ＝（1-160*x）


二．鸡兔同笼问题


? 问鸡与兔各有几只,条28鸡的腿数比兔的腿数少,只100．鸡与兔共1．



解： 4*100＝400，400-0＝400 假设都是兔子，一共有400只兔子的脚，那么鸡的脚为0

只。
只，鸡的脚比兔子的脚少400

只，这是为什么？只，相差372＝372 实际鸡的脚数比兔子的
脚数只少28400-284+2＝6 这是因为只要将一只兔子换成一只鸡，兔 子的总脚数就会减少4只（从
400只变为396只），鸡的总脚数就会增加2只（从0只到2只），它 们的相差数就会少4+2＝6
只（也

6）394，相差数少了400-394＝ 就是原来的相差数是400-0＝400，现在的相差数为396-2
＝372÷6＝62 表示鸡的只数，也就是说因为假设中的100只兔子中有62只改为了鸡，所以脚


372只改为28，一共改了的相差数从400

38表示兔的只数100-62＝

三．数字数位问题
1．把1至2005这 2005个自然数依次写下来得到一个多位数123456789.....2005,这个多位数

? 除
以9余数是多少解：首先研究能被9整除的数的特点：如果各个数位上的数字之和能被 9整除，
那么这个数也能被9整除；如果各个位数字之和不能被9整除，那么得的余数就是这个数除以9
得的余

数。

整除能被91+2+3+4+5+6+7+8+9=45解题：；45

整除这些数的个位 上的数字
之和可以被9依次类推：1~199910~19，20~29……90~99这些数中十位上 的数字都出现了10次，
那么十位上的数字之和就

整除它有能被9是10+20+30+……+90=450


9整除同样被同样的道理，100~900 百位上的数字之和为4500


9整除；也就是说1~999这些连续的自然数的各个位上的数字之和可以被同样的道理：
1000~1 999这些连续的自然数中百位、十位、个位 上的数字之和可以被9整

还没考虑，同时
这里我们少2 除（这里千位上的“1”

，也能整除；999个“1”
的和是从1000~1999千位上一共999

，也刚好整除。2的各位数字
之和是27

。最后答案为余数为0

... A-B的最小值是小于100的两个非零的不同自然数。求
A+B分之2 ．A和B

解：(A-B)(A+B) = (A+B - 2B)(A+B) = 1 - 2 * B(A+B)


最大。 1 不会变了，只需求后面的最小值，此时 (A-B)(A+B) 前面的


取最小时，(A+B)B 取最大，B (A+B) 对于


(A+B)B 的最大值。 问题转化为求

，最大的可能性是AB = 991 (A+B)B = 1 + AB


(A+B)B = 100


98 100 的最大值是：(A-B)(A+B)


? 的近似值市6.4,那么它的准确值是多少,A2 + B4 + C160A.B.C3 ．已知都是非自然数


6.4375 或6.375答案为




8A+4B+C16≈6.4，因为A2 + B4 + C16＝所以8A +4B+C≈102.4，由于A、B、C为非0自
然数，因此8A+4B+C为一个整数，可能是
。 102，也有可能是103

＝6.375 当是102时，
10216

＝6.4375 103时，10316当是 4．一个三位数的各位数字 之和是17.其中十位数字比个
位数字大1.如果把这个三位数的百

求原数. ,则新的三位数比原三位数大198,位数字与个位数
字对调,得到一个新的三位数

476 答案为

16-2a ，则十位为a+1，百位为解：设原数个位为a


198 ）-10a-a＝根据题意列方程100a+10a+16-2a－100（16-2a

4 ＝7 16-2a＝a＝6，则a+1解得

。

答：原数为476

. 24,求原来的两位数在它的前面写上3,所组成的三位数比原两位数的7倍多
5．一个两位数,

24 答案为

300+a a，则该三位数为解：设该两位数为

＝300+a 7a+24

＝
24 a

24。答：该两位数为 6．把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数,它与
原数相加,和恰好是某自

这个和是多少? 然数的平方,

答案为121


10b+a 解：设原两位数为10a+b，则新两位数为

）11（a+b它们的和就是10a+b+10b+a＝

11
a+b＝因为这个和是一个平方数，可以确定

121 11＝因此这个和就是11×

121答：它们的和
为。

. 求原数3倍,如果把7．一个六位数的末位数字是2,2移到首位,原数就是新数的


85714 答案为解：设原六位数为abcde2，则新六位数为2abcde（字母上无法加横线 ，请将整
个看成一个

六位数）

，新六位数就是200000+x （五位数）为x，则原六位数就是10x+2
再设abcde

10x+2 3＝）根据题意得，（200000+x×

85714 x解得＝

所以原数就是857142


857142 答：原数为



8．有一个四位数,个位数字与百位数字的和是12,十位数字与千位数字的和是9,如果个位数

.
新数就比原数增加2376,求原数字与百位数字互换,千位数字与十位数字互换,

3963 答案为


9 ，a+c＝cdab，且d+b＝12解：设原四位数为abcd，则新数为

列竖式便于观察2376”可知
abcd+2376=cdab,根据“新数就比原数增加

cdab 2376 abcd


。、65、7；6b可能是3、9；4、8；根据d+b＝12，可知d、

时成立。＝4＝8，b＝再观察
竖式中的个位，便可以知道只有当d3，b＝9；或d

代入竖式的百位，可以确定十位上有进位。
＝9＝3，b先取d

5。6；4、8；2、7；3、，可知根据a+c＝9a、c可能是1、

3时成立。6，
a＝再观察竖式中的十位，便可知只有当c＝

再代入竖式的千位，成立。


＝3963 得到：abcd

4代入竖式的十位，无法找到竖式的十位合适的数，所以不成立。，b
＝再取d＝8 9．有一个两位数,如果用它去除以个位数字,商为9余数为6,如果用这个两位数除以
个位数

. 余数为3,求这个两位数字与十位数字之和,则商为5

ab 解：设这个两位数为

+3
（a+b） 10a+b＝510a+b＝9b+6


3 5a+4b＝化简得到一样：

均为一位整数、b由于a

8 3或7，b＝得到a＝3或

78均可
以原数为33或 10．如果现在是上午的10点21分,那么在经过28799...99( 一共有20个9)分钟之
后的时间

将是几点几分?


：20 答案是10解： （28799……9（20个9）+1）6024整除，表示正好过了整 数天，时间
仍然还是10：

20 10：21，因为事先计算时加了1分钟，所以现在时间是

四．排列组合问
题

．有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有（）1

次方中D 2
的10种种 B 32 C 24种 A 768

根据乘法原理，分两步 ：解：第一步是把5对夫妻看作5个
整体，进行排列有5×4×3×2×1＝120种不同的排法，但是 因为

24＝种。个重复，因此实
际排法只有是围成一个首尾相接的圈，就会产生 5个5120÷5第二步每一对夫妻之间又可以相互
换位置，也就是说每一对夫妻均有2种排法，总共又

种32＝22×2×2×2×．




种。32＝768综合两步，就有24×

( ) ,则可能出现的错误共有 2 若把英语单词hello的字
母写错了

种 D 48B 36种 C 59种种A 119


5*4*3*2*1=120 5全排列解：


1202=60 l所以有两个

60-1=59 原来有一种正确的所以

五．容斥原理问题1． 有100
种赤贫.其中含钙的 有68种,含铁的有43种,那么,同时含钙和铁的食品种类的最大

( ) 值和最小
值分别是

A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11


11 68+43-100＝解：根据容斥原理最小值

43种最大值就是含铁的有 2．在多元智能大赛的
决赛中只有三道题.已知:(1)某校 25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解
出第一题的学生中,解出第二题的 人数是解出第三题的人数的2倍:(3)只解出第一题的学生比余下

的学生中解出第一题 的人数多1人;(4)只解出一道题的学

那么只解出第二题的学生人数是( )
生中,有一半没有解出第一题,

，8 6 C，7 DA，5 B，解：根据“每 个人至少答出三题中的一道
题”可知答题情况分为7类：只答第1题，只答第2

题。2、32、3题，答1、、题，只答第3
题，只答第12题，只答第1、3题，只答

a123 、a23、a3、a12、a13分别设各类的人数为a1、
a2、

25…①由（1）知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123＝

×2……②）知：a2+a23＝（a3+ a23）
由（2

③ 1……a12+a13+a123＝a1－由（3）知：

④ ）知：a1＝a2+a3……由（4

⑤ a2－a3
×2……a23再由②得＝

⑥ a2+a3－1再由③④得a12+a13+a123＝

然后将④⑤⑥代入①中，
整理得到

26 a2×4+a3＝

均表示人数，可以求出它们的整数解：a2、a3由于

、22 14、1810
时，a3＝2、6、、135a2当＝6、、4、、2、

a2>a3 －a3×2……⑤可知：又根据a23＝a2

2。a3
＝6，＝a 2因此，符合条件的只有然后可以推出a1＝8，a12+a13+a123＝7，a23＝2，总人数＝
8+6+2+7+2＝25，检验所有条件

均符。

人。6＝a2故只解出第二题的学生人数．



3．一次考试共有5道试 题。做对第1、2、3、、4、5题的分别占参加考试人数的95%、80%、
79%、74%、85% 。如果做对三道或三道以上为合格，那么这次考试的合格率至少是

多少？


71％。答案：及格率至少为

100人考试假设一共有

＝5 100-95

＝20 100-80

＝21 100-79


＝26 100-74

＝15 100-85

1题做错的最多人数）（表示5题中有5+20+21+26+15＝87

人）
3题做错的最多人数，即不及格的人数最多为29387÷＝29（表示5题中有

（及格的最少人
数，其实都是全对的）100-29＝71

％及格率至少为71

六．抽屉原理、奇偶性问题1．一
只布袋中装有大小相同 但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种，问最少要摸

副同色
的？出几只 手套才能保证有3解：可以把四种不同的颜色看成是4个抽屉，把手套看成是元素，
要保证有一副同色的 ，就是1个抽屉里至少有2只手套，根据抽屉原理，最少要摸出5只手套。
这时拿出1副同色的后4个抽 屉中还剩3只手套。再根据抽屉原理，只要再摸出2只手套，又能
保证有一副手套

是同色的，以此类推。把四种颜色看做4个抽屉，要保证有3副同色的，先
考虑保证有1副就要摸出5只 手套。这时拿出1副同色的后，4个抽屉中还剩下3只手套。根据
抽屉原理，只要再摸出2只手套，
5+2+2=9（只）3副同色的，共摸出的手套有：又能保证
有1副是同色的。以 此类推，要保证有

副同色的。9只手套，才能保证有3答：最少要摸出 2．有
四种颜色的积木若干，每人可任取1-2件，至少有几个人去取，才能保证有3人能取

21 答
案为得完全一样？

种不同的取法. 件时,有62 解： 每人取1件时有4种不同的取法,每人取


人取得完全一样: ,能保证至少有2当有11人时

. 才能保证到少有3人取得完全一样当有21人
时, 3．某盒子内装50只球，其中10只是红色，10 只是绿色，10只是黄色，10只是蓝色，其余
是白球和黑球，为了确保取出的球中至少包含有7只同色 的球，问：最少必须从袋中取出

多
少只球？

解：需要分情况讨论，因为无法确定其中黑球与白球的个数。


7当黑球或白球其中没有大于或等于个的，那么就是：

) 个6*4+10+1=35(




个的，那么就是：如果黑球或白球其中有等于7

（个）＝346*5+3+1

个的，那么就是：
如果黑球或白球其中有等于8

33 6*5+2+1＝

9个的，那么就是：如果黑球或白球其中有等
于

＝32 6*5+1+1 4．地上有四堆石子，石子数分别是1、9、15、31如果每次从其中的 三堆同
时各取出1个，然后都放入第四堆中，那么，能否经过若干次操作，使得这四堆石子的个数都相< br>同?（如果

能请说明具体操作，不能则要说明理由）

不可能。


＝56 因为总数为1+9+15+31

＝14 564

14是一个偶数而原来1、9、15、31都是奇数，取
出1个 和放入3个也都是奇数，奇数加减若干次奇数后，

个）。结果一定还是奇数，不可能
得到偶数（14

七．路程问题1．狗跑5步 的时间马跑3步，马跑4步的距离狗跑7步，现在
狗已跑出30米，马开始追它。

问：狗再跑多远，马可以追上它？

解：

米。米，则狗
每步长为4x7步”，可以设马每步长为7x根据“马跑4步的距离狗跑

20米。＝21x米，则狗

跑5*4x5步的时间马跑3步”，可知同一时 间马跑3*7x米＝根据“狗跑

：20 ：20x＝21可以
得出马与狗的速度比 是21x根据“现在狗已跑出30米”，可以知道狗与马相差的路程是30米，
他们相差的份数是21- 20

米21＝630（份是多少路程，就是 30÷21-20）×＝1，现在求马的
21 2．甲乙辆车同时从a b两地相对开出，几小时后再距中点40千米处相遇？已知，甲车行

两
地相距多少千米？小时，求a b 完全程要8小时，乙车行完全程要10

千 米。答案720由“甲
车行完全程要8小时，乙车行完全程要10小时”可知，相遇时甲行了10份，乙 行了8份（总路
程为18份），两车相差2份。又因为两车在中点40千米处相遇，说明两车的路程
千米。）＝
72010-8）×（10+8（）千米。所以算式是（差是（40+4040+40）÷ 3．在一个600米的环形跑
道上，兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人每隔12分钟相遇 一次，若两个人速度
不变，还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方

分钟相遇一次，两人跑一圈各要多
少分钟？向跑，则两人每隔4

12分钟。6答案为两人跑一圈各要分钟和

12=50600÷，表示
哥哥、弟弟的速度差解：

，表示哥哥、弟弟的速度和4=150600÷．




，表示较快的速度，方法是求和差问题中的较大数÷2=100（50+150）

，表示较慢的速度，
方法是求和差问题中的较小数）2=50（150-50

100=6分钟，表示跑的快者用的时间600÷


60050=12分钟，表示跑得慢者用的时间 4．慢车车长125米，车速每秒行17米，快车车长 140
米，车速每秒行22米，慢车在前面

行驶，快车从后面追上来，那么，快车从追上慢车的车
尾到完全超过慢车需要多少时间？

53秒答案为

(22-17)=53秒算式是（140+125)÷可以这
样理解：“快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车”就是快车车尾上的点追及慢车车头

的点，
因此追及的路程应该为两个车长的和。 5．在300米长的环形跑道上，甲乙两个人同时同向并排
起跑，甲平均速度是每秒5米，乙

4.4米，两人起跑后的第一次相遇在起跑线前几米？平均
速度是每秒

100米答案为

秒，表示追及时间）＝（5-4.4500300÷

米，表示甲追到乙时
所行的路程500＝25005×2500÷300＝8圈……100米，表示甲追 及总路程为8圈还多100米，
就是在原来起跑线的前

米处相遇。方100 6．一个人在铁道边，听见远处传来的火车汽笛声
后，在经过57秒火车经过她前面，已知

（得出保留整数）米，求火车的速度(轨道是直的),
声音每秒传340火车鸣笛时离他1 360米，

秒米答案为22

秒米(1360÷340+57）≈ 22算
式：1360÷关键理解：人在听到声音后57秒才车到，说明人听到声音时车已经从发声音的地 方
行出

61秒。1360米一共用了4+57＝1360÷340＝4秒的路程。也就是


7．猎犬发现在离它10米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去，猎犬的步子大，它跑5
步的 路程，兔子要跑9步，但是兔子的动作快，猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步，

问猎
犬至少跑多少米才能追上兔子。

米才能追上。正确的答案是猎犬至少跑60解： 由“猎犬
跑5步的路程，兔子要跑9步”可知当猎犬 每步a米，则兔子每步59米。由“猎犬跑2步的时
间，兔子却能跑3步”可知同一时间，猎犬跑2a米 ，兔子可跑59a*3＝53a米。从而可知猎犬
与兔子的速度比是2a：53a＝6：5，也就是说当 猎犬跑60米时候，兔子

米刚好追完50米，
本来相差的10跑 8． AB两 地,甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是4:5,如果甲乙二人分
别同时从AB两地相对行使,4 0分钟后两人相遇,相遇后各自继续前行,这样，乙到达A地比甲到
达B地要

晚多少分钟?


分钟答案：18

y 乙的速度为x甲的速度为1,解：设全程为




40x+40y=1 列式

x:y=5:4


x=172 y=190 得

分钟乙需90走完全程甲需72分钟,

故得解 9．甲乙两车同时从AB两
地相对开出。第一次相遇后两车继续行驶，各自到达对方出发点后立即返回。 第二次相遇时离B
地的距离是AB全程的15。已知甲车在第一次相遇时行了

两地相距多少千米？千米。AB120


300千米。答案是解：通过画线段图可 知，两个人第一次相遇时一共行了1个AB的路程，从开

始到第二次相遇，一共又行了3 个AB的路程，可以推算出甲、乙各自共所行的路程分别是第一
次相遇前各自所走的路程的3倍。即甲共 走的路程是120*3＝360千米，从线段图可以看出，甲
一共

1+15）。走了全程的（

300千米（1+15）＝360÷因此 从A地到B地，甲 、乙两人
骑自行车分别需要4小时、6小时，现在甲乙分别AB两地同时出发相向而行，相遇时距AB两
地中点2千米。如果二人分别至B地，A地后都立即折回。

第二次相遇点第一次相遇点之间
有（）千米 10．一船以同样速度往返于两地之间，它顺流需要6小时;逆流8小时。如果水流速
度是每

千米，求两地间的距离？小时2

表示水速的分率2＝148解：（16-18）÷

千米
表示总路程148＝962÷ 11．快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，快车每小时行33千米，相
遇是已行了全程的七

小时，求甲乙两地的路程。分之四，已知慢车行完全程需要8

3 4：解：
相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是

4 3：时间比为

6＝小时所以快车行全程
的时间为84*3

198千米6*33＝ 12．小华从甲地到乙地,3分之1骑车,3分之2乘车;从乙地返
回甲地,5分之3骑车,5分之2乘 车,结果慢了半小时.已知,骑车每小时12千米,乘车每小时30千米,
问:甲乙两地相距多少千
? 米

，得到时间系数把路程看成1解：


30 13÷12+23÷去时时间系数：

12+25÷30 返回时间系数：35÷

小时=175相当于
123030）-（13÷12+2 3÷）35÷两者之差：（12+25÷

）175 12×（23÷30和12去时时间：
12×（13÷）÷175

（千米）=3 7.5〕175）3023÷（12×〔+30×〕175÷）1213÷（12
×〔12×路程：



八．比例问题1．甲乙两人在河边钓鱼,甲钓了三条,乙 钓了两条,正准备吃,有一个人请求跟他
们一起吃,于是

,甲、乙怎么分？快快快,过路人留下10元三人将五条鱼平分了,为了表示感谢


2元。答案：甲收8元，乙收

解：
“三人将五条鱼平分，客人拿出10元”，可以理解为五条鱼总价值为30元，那么每条鱼价值

6
元。又因为“甲钓了三条”，相当于甲吃之前已经出资3*6＝18元，“乙钓了两条” ，相当于乙吃
之

12元。前已经出资2*6＝

10元，所以而甲乙两人吃了的价值都是

元8甲还可以收
回18-10＝

元12-10＝2乙还可以收回

刚好就是客人出的钱。 2．一种商品，今年的成本
比去年增加了10分之1，但仍保持原售价，因此，每份利润下

，那么，今年这种商品的成本
占售价的几分之几？5分之2降了

2225 答案

最好画线段图思考：把去年原来成本看成20
份，利润看成5份 ，则今年的成本提高110，就是22份，利润下降

份。份。售价都是25份。
增加的成本2份刚好是下降利润的225了，今年的利润只有3

。所以，今年的成本占售价的
2225


3．甲乙两车分别 从A.B两地出发,相向而行,出发时,甲.乙的速度比是5:4,相遇后,甲的速度减少
20%,乙的 速度增加20%,这样,当甲到达B地时,乙离A地还有10千米,那么A.B两地相距

? 多
少千米

解：

5:4 原来甲.乙的速度比是

4 1-20％）＝现在的甲：5×（

％）1+204.8 现在
的乙：4×（

＝0.2 后，乙离A还有：5-4.8甲到B

千米4+5）＝4500.2×总路程：10÷（




，现在的高和原来的高度比是多少？，要使体积增加134．一个圆柱的底面周长减少25%

：
27 答案为64解：根据“周长减少25％”，可知周长是原来的34，那么半径也是原来的34， 则
面积是原

。916来的

。43，可知体积是原来的13”体积增加“根据




÷底面积＝高体积

，也就是说现在的高是原来的高的6427 43÷916＝6427现在的高是

：
27 1＝64或者现在的高：原来的高＝6427：


5．某市场运来香蕉、苹果、橘子和梨四种水果其中橘子、苹果共30吨香蕉、橘子和梨共

2。
一共运来水果多少吨？吨。橘子正好占总数的13分之45

65吨第二题：答案为

吨+梨＝75+
苹果+香蕉+橘子30吨 香蕉+橘子+梨＝45吨 所以橘子苹果＝橘子+




213 +梨）＝+÷（香蕉+苹果橘子橘子

份梨是13+苹果+橘子+说明：橘子是2份，香蕉

份

＝15橘子+梨一共是2+13橘子+香蕉+苹果+

1）过桥问题（1. 一列火车经过南京长江大桥，
大桥长6700米，这列火车长140米，火车每分 钟行400米，

这列火车通过长江大桥需要多
少分钟？分析：这道题求的是通过 时间。根据数量关系式，我们知道要想求通过时间，就要知道
路程

和速度。路程是用桥长加上车长。火车的速度是已知条件。


分钟。 答：这列火车通过长江大桥需要17.1（米） 通过时间： （分钟）总路程：




秒钟，这列火车每秒行多少米？米的桥需要302002. 一列火车长米， 全车通过长700分析与
解答：这是一道求车速的过桥问题。我们知道，要想求车速，我们就要知道路程 和通过时间这两
个条件。可以用已知条件桥长和车长求出路程，通过时间也是已知条件，所以车

速可以很方
便求出。

30米。 答：这列火车每秒行（米）总路程： （米） 火车速度：



3. 一列火车长240米，这列火车每秒行15米，从车头进山洞到全车出山洞共用20秒，山

洞
长多少米？分析与解答：火车过山洞和火车过桥的思路是一样的。火车头进山洞就相当于火车头
上桥；全车出洞就相当于车尾下桥。这道题求山洞的长度也就相当于求桥长，我们就必须知道总
路
程和车长，车长是已知条件，那么我们就要利用题中所给的车速和通过时间求出总路程。


米。答：这个山洞长60 山洞长：总路程： （米）





和倍问题1. 秦奋和妈妈的年龄加在一起是40岁，妈妈的年龄是秦奋年龄的4倍，问秦奋和
妈妈各是

多少岁？



我们把秦奋的年龄作为1倍，“妈妈的年龄是秦 奋的4倍”，这样秦奋和妈妈年龄的和就相当于秦
奋年龄的5倍是40岁，也就是（4＋1）倍，也可以 理解为5份是40岁，那么求1倍是

4倍
是多少？多少，接着再求

5（倍）4＋1＝（1）秦奋和妈妈年龄倍数和是：

8岁）秦奋的年
龄：40÷5＝（2

32岁8×4＝（3）妈妈的年龄：

32岁8×4＝4＋1）＝8岁 综合：40÷（

为
了保证此题的正确，验证


（倍）8＝4岁 （2）32÷（1）8＋32＝40

计算结果符合条件，所以解题正确。2. 甲乙两
架飞机同时从机场向相反方向飞行，3小时共飞行3600千米，甲的速度是乙的2

倍，求它们
的速度各是多少？已知两架飞机3小时共飞行3600千米，就可以求出两架飞 机每小时飞行的航
程，也就是两架飞机的速度和。看图可知，这个速度和相当于乙飞机速度的3倍，这样 就可以求
出乙飞机

的速度，再根据乙飞机的速度求出甲飞机的速度。

千米。千米、400甲乙飞机的
速度分别每小时行8003. 弟弟有课外书20本，哥哥有课外书25本，哥哥给弟弟多少本后，弟弟
的课外书是哥哥

倍？的2

1）哥哥在给弟弟课外书前后，题目中不变的数量是什么？思考：
（

2）要想求 哥哥给弟弟多少本课外书，需要知道什么条件？（（3）如果把哥哥剩下的课外
书看作1倍，那么这时（ 哥哥给弟弟课外书后）弟弟的课外书

可看作是哥哥剩下的课外书的
几倍？思考以 上几个问题的基础上，再求哥哥应该给弟弟多少本课外书。根据条件需要先求出哥
哥剩下多少本课外书。 如果我们把哥哥剩下的课外书看作1倍，那么这时弟弟的课外书可看作是
哥哥剩下的课外书的2倍，也就 是兄弟俩共有的倍数相当于哥哥剩下的课外书的3倍，而

兄
弟俩人课外书的总数始终是不变的数量。

。25＝45（1）兄弟俩共有课外书的数量是20＋

。
＝32）哥哥给弟弟若干本课外书后，兄弟俩共有的倍数是2＋1（

15。45÷3）哥哥剩下的课
外书的本数是3＝（

10。－15＝4（）哥哥给弟弟课外书的本数是25

试着列出综合算式：
4. 甲乙两个粮库原来共存粮170吨，后来从甲库运出30吨，给乙库运进10吨，这时甲库

倍，
两个粮库原来各存粮多少吨？存粮是乙库存粮的2根据甲乙两个粮库原来共存粮170吨，后来从< br>甲库运出30吨，给乙库运进10吨，可求出这时甲、乙两库共存粮多少吨。根据“这时甲库存粮
是乙库存粮的2倍”，如果这时把乙库存粮作为1倍，那么甲、乙库所存粮就相当于乙存粮的3
倍。于是 求出这时乙库存粮多少吨，进

而可求出乙库原来存粮多少吨。最后就可求出甲库原

来存粮多少吨。．




吨。130吨，乙库原存粮40甲库原存粮




列方程组解应用题（一）1. 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身16个 ，或制盒底43个，
一个盒身和两个盒底配成一个罐头盒，现有150张铁皮，用多少张制盒身，多少张 制盒底，才能
使盒身与盒底正好

配套？依据题意可知这个题有两个未知量，一个 是制盒身的铁皮张数，一
个是制盒底的铁皮张数，这样就可以用两个未知数表示，要求出这两个未知数， 就要从题目中找
出两个等量关系，列

出两个方程，组在一起，就是方程组。

铁皮总张数做盒底的张数=两
个等量关系是：A做盒身张数+

制出的盒底数×2=B制出的盒身数

64张白铁皮做盒身，张
白铁皮做盒底。用86




奇数与偶数（一）


其实，在日常生活中同学们就已经接触了很多的奇数、偶数。
凡是能被2整除的数叫偶数，大于零的偶数又叫双数；凡是不能被2整除的数叫奇数，大于

零
的奇数又叫单数。因为偶数是2的倍数，所以通常用 这个式子来表示偶数（这里 是整数）。因
为任何奇数除

是整数）。 来表示奇数（这里 以2其余数都是1，所以通常用式子

奇数和
偶数有许多性质，常用的有：

两个偶数的和或者差仍然是偶数。性质1


等。，8-4=4例如：8+4=12

两个奇数的和或差也是偶数。

9-3=6等。例如：9+3=12，

奇
数与偶数的和或差是奇数。


9-4=5等。例如：9+4=13，

单数个奇数的和是奇，双数个奇数的和是偶数，几个偶数的和
仍是偶数。

奇数与奇数的积是奇数。性质2


偶数与整数的积是偶数。

3 任何一个奇数一定不等于任何一个偶数。 性质1. 有5张扑
克牌，画面向上。小明每次翻转其中的4张，那么，他能在翻动若干次后，使5

张牌的画面
都向下吗？同学们可以试验一下，只有将一张牌翻动奇数次，才能使它的画面由 向上变为向下。
要想使

张牌的画面都向下，那么每张牌都要翻动奇数次。55个 奇数的和是奇数，所以翻动的
总张数为奇数时才能使5张牌的牌面都向下。而小明每次

张，不管翻多少次，翻动的总张数
都是偶数。4翻动．




张牌画面都向下。所以无论他翻动多少次，都不能使52. 甲盒中放有180个白色围 棋子和181
个黑色围棋子，乙盒中放有181个白色围棋子，李平每次任意从甲盒中摸出两个棋子，如 果两个
棋子同色，他就从乙盒中拿出一个白子放入甲盒；如果两个棋子不同色，他就把黑子放回甲盒。< br>那么他拿多少后，甲盒中只剩下一个棋子，

这个棋子是什么颜色的？不论李平从甲 盒中拿出
两个什么样的棋子，他总会把一个棋子放入甲盒。所以他每拿一次，

1 80+181-1=360次后，
甲盒里只剩下一个棋子。甲盒子中的棋子数就减少一个，所以他拿如果 他拿出的是两个黑子，那
么甲盒中的黑子数就减少两个。否则甲盒子中的黑子数不变。也就是说，李平每 次从甲盒子拿出
的黑子数都是偶数。由于181是奇数，奇数减偶数等于奇数。所以，甲盒中剩下的黑子 数应是奇
数，而不大于1的奇数只有1，所以甲盒里剩下的一

个棋子应该是黑子。

-- 称球问题 奥
赛专题
例1 有4堆外表上一样的球，每堆4个。已知其中三堆是正品、一堆是次品，正品球每个

11
克，请你用天平只称一次，把是次品的那堆找出来。重10克，次品球每个重解 ：依次从第一、
二、三、四堆球中，各取1、2、3、4个球，这10个球一起放到天平上

克多几克，第几堆就
是次品球。去称，总重量比1002 有27个外表上一样的球，其中只有一个是次品，重量比正品
轻，请你用天平只称三次（不

用砝码），把次品球找出来。解 ：第一次：把27个球分为三
堆，每堆9个，取其中两堆 分别放在天平的两个盘上。若天平不平衡，可找到较轻的一堆；若天
平平衡，则剩下来称的一堆必定较轻 ，次品必在较轻的

一堆中。第二次：把第一次判定为较

轻的一堆 又分成三堆，每堆3个球，按上法称其中两堆，又可找

出次品在其中较轻的那一堆。第三次：从第二次找出的较轻的一堆3个球中取出2个称一次，若天平不平衡，则较轻的就

是
次品，若天平平衡，则剩下一个未称的就是次品。

把次品找出来。其中只有一个是次品，请
你用天平只称三次，3 把10个外表上一样的球，例解：把1 0个球分成3个、3个、3个、1个
四组，将四组球及其重量分别用A、B、C、D表

B两组分别放在天平的两个盘上去称，则示。
把A、（1）若A=B，则A、B中都是正品 ，再称B、C。如B=C，显然D中的那个球是次品；如
B＞C，则次品在C中且次品比正品轻，再在C 中取出2个球来称，便可得出结论。如B＜

的
情况也可得出结论。＞CC，仿照 B（2）若A＞B，则C、D中都是正品，再称B、C，则有B=C，
或B＜C（B＞C不可能，为什么 ？）如B=C，则次品在A中且次品比正品重，再在A中取出2
个球来称，便可得出结

C，仿前也可得出结论。＜论；如B

的情况，可分析得出结论。＞
BAA（3）若＜B，类似于

抽屉原理-- 奥赛专题


名同学同一个月过生日。为什么？2名同学，其中至少有13】一个小组共有1【例



【分析】每年里共有12个月，任何一个人的生日，一定在其中的某一个月。如果把这12个 月看
成12个“抽屉”，把13名同学的生日看成13只“苹果”，把13只苹果放进12个抽屉

名同
学在同一个月过生日。个苹果，也就是说，至少有2里，一定有一个抽屉里至少放2

的倍数。
这是为什么？个自然数，其中至少有两个数的差是3 2】任意4【例【分析与解 】首先我们要弄
清这样一条规律：如果两个自然数除以3的余数相同，那么这两个自然数的差是3的倍数 。而任
何一个自然数被3除的余数，或者是0，或者是1，或者是2，根据这三种情况，可以把自然数< br>分成3类，这3种类型就是我们要制造的3个“抽屉”。我们把4个数看作“苹果”，根据抽屉原
理，必定有一个抽屉里至少有2个数。换句话说，4个自然数分成3类，至少有两个是同一类。
既然是同 一类，那么这两个数被3除的余数就一

3的倍数。个自然数，至少有2个自然数的
差是定相同。所以，任意4【例3】有规格尺寸相同的5种颜色的袜子各15只混装在箱内，试问
不论 如何取，从箱中

3双袜子（袜子无左、右之分）？至少取出多少只就能保证有

双袜子
吗？回答是否定的。9只袜子，能配成3【分析与解】试想一下，从箱中取出6只、 按5种颜色
制作5个抽屉，根据抽屉原理1，只要取出6只袜子就总有一只抽屉里装2只，这2只就可配 成
一双。拿走这一双，尚剩4只，如果再补进2只又成6只，再根据抽屉原理1，又可配成一双拿
走。如果再补进2只，又可取得第3双。所以，至少要取6＋2＋2=10

双。只袜子，就一定会
配成3

，直接得到结果吗？能用抽屉原理2思考：1.

双不同色袜子，至少应取出多少只？
把题中的要求改为32.

3把题中的要求改 为双同色袜子，又如何？3.【例4】一个布袋中有35
个同样大小的木球，其中白、黄、红三种颜色球 各有10个，另外还有3个蓝色球、2个绿色球，
试问一次至少取出多少个球，才能保证取出的球中至少 有4

个是同一颜色的球？

”的取出
情况入手。【分析与解】从最“不利

个绿色球。2个球中，有3个是蓝 色球、最不利的情况是
首先取出的5接下来，把白、黄、红三色看作三个抽屉，由于这三种颜色球相等均 超过4个，所
以，根据抽屉原理2，只要取出的球数多于（4-1）×3=9个，即至少应取出10个球 ，就可以保
证取出

个是同一抽屉（同一颜色）里的球。的球至少有4

个球，才能符合要求。＋5=15
故总共至少应取出10

个不同色 ，或者是两两同色，情形又如何？思考：把题中要求改为4当
我们遇到“判别具有某种事物的性质有没有 ，至少有几个”这样的问题时，想到它——抽屉

”
之路。原理，这是你的一条“决胜

还原问题奥赛专题 --
【例1】某人去银行取款，第一次取了存款的一半多50元，第二次取了余下的一半多100

元。
他原有存款多少元？元。这时他的存折上还剩1250【分析】从上面那个“重新包装 ”的事例中，
我们应受到启发：要想还原，就得反过来做（倒推）。由“第二次取余下的一半多100元 ”可知，
“余下的一半少100元”是1250元，从而“余

（元）1250+100=1350 是”下的一半

2=2700（元）2倍）是： 1350×余下的钱（余下一半钱的

”。综合算式是：”和“原有存
款用同样道理可算出“存款的一半

2=5500 （元）1250+100）×2+50]×[（还原问题的一般特
点是：已知对某个数按照一定的顺序施 行四则运算的结果，或把一定数量的物品增加或减少的结
果，要求最初（运算前或增减变化前）的数量。 解还原问题，通常应

当按照与运算或增减变
化相反的顺序，进行相应的逆运算。
【例2】有26块砖，兄弟2人争着去挑，弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶来了。哥哥看

弟
弟挑得太多，就拿来一半给自己。弟弟觉得自己能行，又从哥哥那里拿来一半。哥哥不让 ，弟弟
只好给哥哥5块，这样哥哥比弟弟多挑2块。问最初

弟弟准备挑多少块？ 【分析】我们得先
算出最后哥哥、弟弟各挑多少块。只要解一个“和差问题”就知道：哥哥挑

块。“26-14=12”
“（26+2）÷2=14”块，弟弟挑提示：解还原问题所作 的相应的“逆运算”是指：加法用减法还
原，减法用加法还原，乘法用除法还原，除法用乘法还原，并且 原来是加（减）几，还原时应为
减（加）几，原来是乘（除）

以几，还原时应为 除（乘）以几。对于一些比较复杂的还原问
题，要学会列表，借助表格倒推，既能理清数量关系，又便于 验

算。

鸡兔同笼问题 -- 奥
赛专题

，鸡兔各几只？，足共128例1 鸡兔同笼，头共46[分析] ：如果 46只都是兔，一共
应有 4×46=184只脚，这和已知的128只脚相比多了184-128=5 6只脚.如果用一只鸡来置换一只
兔，就要减少4-2=2（只）脚.那么，46只兔里应该换进几只鸡 才能使56只脚的差数就没有了呢？
显然，56÷2=28，只要用28只鸡去置换28

46-28=18。所以，鸡的只数就是28，兔的只数是
只兔就行了.

解：①鸡有多少只？

）÷（4-2（4×6-128）

2 ）÷=（184-128

2 =56÷

（只）
=28

②免有多少只？

46-28=18（只）

18只。答：鸡有28只，免有

只，问鸡与兔各
多少只？100只，鸡的脚比兔的脚多80鸡与兔共有例2
[分析]： 这个例题与前面例题是有区别的，没有给出它们脚数的总和，而是给出了它们脚

这
又如何解答呢？数的差.假设100只全是鸡，那么脚的总数是2×100=200（只）这时兔的脚数为0，鸡脚比兔脚多200只，而实际上鸡脚比兔脚多80只.因此，鸡脚与兔脚的差数比已知多了
（ 200-80）=120（只），4只，兔的脚数减少2每把一只兔换成鸡，鸡的脚数将增加.这是因为把
其中的兔换成了鸡．



只.那么，鸡脚与兔脚的差数增加（2+4）= 6（只），所以换成鸡的兔子有120÷6=20（只）.

=80
（只）。有鸡（100-20）

=20（只）。÷（2+4）解：（2×100-80）

100-20=80（只）。

20
只。答：鸡与兔分别有80只和例3 红英小学三年级有3个班共135人，二班比一班多5人，三
班比二班少7人，三个班

各有多少人？[分析1] 我们设想，如果条件中三个班人数同样多，
那么，要求每班有多少人就很容易了.

由此得到启示，是否可以通过假设三个班人数同样多来
分析求解。结合下图可以想，假设二班、三班人数 和一班人数相同，以一班为标准，则二班人数
要比实际人数少5人.三班人数要比实际人数多7-5=2 （人）.那么，请你算一算，假设二班、三
班

人数和一班人数同样多，三个班总人数应该是多少？

：解法1

3 ）]÷3=132÷一班：
[135-5+（7-5

（人）=44

（人）二班：44+5=49

（人）三班：49-7=42

人。 4244人、
49人和答：三年级一班、 二班、三班分别有[分析2] 假设一、三班人数和二班人数同样多，那
么，一班人数比实际要多5人，而三班要

.这时的总人数又该是多少？人比实际人数多7

3
= 49（人）135+ 5+ 7）÷3 = 147÷解法2：（

49-7=42（人）49-5=44（人），

42人。人、49
人和答：三年级一班、二班、三班分别有44例4 刘老师带了41名同学去北海公园划船，共租
了10条船.每条大船坐6人，每条小船坐

人，问大船、小船各租几条？4

我们分步来考虑：
[分析]


（人）。6×10= 60①假设租的 10条船都是大船，那么船上应该坐
②假设后的总人数比实际人数多了 60-（41+1）=18（人），多的原因是把小船坐的4人都

6
人。假设成坐

（条）小船当成大船。人是把18÷2=918③一条小船当成 大船多出2人，多出

的

）（6-4[6×解：10-(41+1）÷

10-9=1（条）= 18÷2=9（条）


条大船。9条小船，1答：有例5 有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀
20对（蜘蛛8条腿；蜻蜓6

条腿，一对翅膀），求蜻蜓有多少只？6条腿，两对翅膀；蝉．



[分析] 这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题.观察数字特点，蜻蜓、蝉都是6条腿，只有蜘蛛8条腿.因此，可先从腿数入手，求出蜘蛛的只数.我们假设三种动物都是6条腿，则总腿数为 6
×18=108（条），所差 118-108=10（条），必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的 .所以，应有
（118-108）÷（8-6）=5（只）蜘蛛.这样剩下的18-5=13（只）便是 蜻蜓和蝉的只数.再从翅膀数
入手，假设13只都是蝉，则总翅膀数1×13=13（对），比实际数少 20-13＝7（对），这是由于
蜻蜓有两对翅膀，而我们只按一对翅膀计算所差，这样蜻蜓只数可求< br>
（只）. 2-1）=77÷（

6
条腿，三种动物共有多少条腿？解：①假设蜘蛛也是

18=108（条）6×

②有蜘蛛多少只？


=5（只）（8-6）（118-108）÷

③蜻蜒、蝉共有多少只？

（只）18-5=13

（对）④假设蜻
蜒也是一对翅膀，共有多少对翅膀？1×13=13

⑤蜻蜒多少只？

（只） 2-1）= 7（20-13）
÷

. 只答：蜻蜒有7

牛吃草问题 1． 一个牧场，草每天匀速生长，每头牛每 天吃的草量相
同，17头牛30天可以将草吃完，19头牛只需要24天就可以将草吃完，现有一群牛， 吃了6天
后，卖掉4头牛，余下的牛再

头牛之前，这一群牛一共有多少头？天就将草吃完。问没有卖
掉4吃217×30=510（头） 19 ×24=456（头）（510-456）÷（30-24）=9（头）30×17-30×9=240
（头）

=40（头）（6+2）×9=72（头）240+72+2×4=320（头）320÷6+2（） 2． 一 个蓄水
池，每分钟流入4立方米水。如果打开5个水龙头，2小时半就把水池中的水放光；如果打开8< br>个水龙头，1小时半就把池中的水放光，现打开13个水龙头，问要多

少时间才能把水池中的
水放光（每个水龙头每小时放走的水量相同）？











3． 甲、 乙、丙3个仓库，各存放着同样数量的化肥，甲仓库用皮带输送机一台和12个工人，
需要5小时才能把 甲仓库搬空；乙仓库用一台皮带输送机和28个工人，需要3小时才能把乙仓
库搬空；丙仓库有两台皮带 输送机，如果要求2小时把丙仓库搬空，同时还需要多少工人（皮带
输送机的功效相同，每个工人每小时 的搬运量相同，皮带输送机与工人同时往

处搬运化肥）？
1×5=5（台） 1 2×5=60（人）28×3=84（人）1×3=3（台）84-60=24（人）24÷（5-3）=12（ 人）


（人）2=36÷）120-48（人）（12=482×2×（人）5=12060+12× （人）12=605×1×．



4． 快、中、慢3辆车同时从同一 地点出发，沿同一条公路追赶前面的一个骑车的小偷，这3
辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟，追 上小偷，现在知道快车的速度是每小时24

千米，
问慢车的速度是多少？。千米，中车的速度是每小时20

列车过桥问题 -- 奥赛专题1、一列
长300米的火车以每分1080米的速度通过一座大桥。从车头开上桥到车 尾离开桥一

3分。这
座大桥长多少米？共需2、某人步行的速度为每秒2米.一 列火车从后面开来,超过他用了10秒.
已知火车长90米.求

火车的速度。3 、.在环形跑道上，两人都按顺时针方向跑时，每12分钟
相遇一次，如果两人速度不变，

,问两人各跑一圈需要几分钟？其中一人改成按逆时针方向跑，
每隔4分钟相遇一次4、一 列长300米的火车，以每分1080米的速度通过一座长为940米的在
桥，从车头开上桥

到车尾离开桥需要多少分钟？5、一列火车通过530米的桥需40秒钟，以
同样的速度穿 过380米的山洞需30秒钟。求这

秒，全长是多少米？列火车的速度是多少米6、铁路沿线的电杆间隔是40米，某旅客在运行的火车中，从看到第一根电线杆到看到第

分钟，
火车每小时行多少千米。51根电线杆正好是27、一个人站在铁道旁,听见行近来的火车汽笛声 后,
再过57秒钟火车经过他面前.已知火车汽

) ?(得数保留整数声速是每秒 钟340米,求火车的速度

轨道是笔直的笛时离他1360米;()

米长的铁桥，需要几秒钟？米的速度通过一座570一列450
米长的货车，以每秒128、现有两列火 车同时同方向齐头行进，行12秒后快车超过慢车。快车
每秒行18米，慢车每秒行10米。如果这两列 火车车尾相齐同时同方向行进，则9秒后快车超过
慢车，求两列

火车的车身长。 9、李明和张忆在300米的环形跑道上练习跑步，李明每秒跑
5米，张忆每秒跑3米，两人

同时从起跑点出发同向而行，问出发后李明第一次追上张忆时，
张忆跑了多少米？10、速 度为快、中、慢的三辆汽车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面
一个骑车人，这三辆车分别用6分 钟、10分钟、12分钟追上骑车人，现在知道快车每小时24
千米，中速

20 千米，那么慢车每小时行多少千米？（选做题）车每小时11、周长为400米
的圆形跑道上，有相距1 00米的A、B两点，甲、乙两人分别从A、B两点同时相背而跑，两人
相遇后，乙立刻转身与甲同向而 跑，当甲跑到A时，乙恰好跑到B.

？甲共跑了多少米（从出
发时算起）如果以后甲、乙跑的速度和方向都不变，那么追上乙时，

平均数问题 -- 奥赛专
题1 蔡琛在期末考试中，政治、语文、数学、英语、生物五科的平均分是 89分.政治、数学两
科的平均分 是91.5分.语文、英语两科的平均分是84分.政治、英语两科的平均分是86 分，

问
蔡琛这次考试的各科成绩应是多少分？10分.而且英语比语文多2 果品店把2千克酥糖，3千克
水果糖，5千克奶糖混合成什锦糖.已知酥糖每千克4.40元，

问：什锦糖每千克多少元？7.20
元.元，奶糖每千克水果糖每千克4.203甲乙两块 棉田，平均亩产籽棉185斤.甲棉田有5亩，平
均亩产籽棉203斤；乙棉田平均亩

斤，乙棉田有多少亩？170产籽棉．



4已知八个连续奇 数的和是144，求这八个连续奇数。新华小学订了若干张《中国少年报》，如果
三张三张地数，余数为 1张；五张五张地数，余数为2张；七张七张地数，余数为2张。新华小
学订了多少张《中国年呢？ 商店里三天共卖出1026米布。第二天卖出的是第一

倍。求三天
各卖出多少米布？2倍；第三天卖出的是第二天的3天的

13+115 +135+ 163 +199 +1143 1.
分数的四则混和运算：求

简便方法：

(13)=12(1-13) 13=1×

(15)=12(13-15) 115 =(13)
×

(17)=12(15-17) （15)×135=

(19)=12(17-19) 163 =(17)×

(111)=12(19-111) 199
=(19)×

(113)=12(111-113) 1143=(111)× 所以13+115 +135+ 163 +199


+1143=12(1- 13)+12(13-15)+12(15-17)+12(17-19)+12(19-111)+12(11 1-113)


得12(1-13+13-15+15-17+17-19+19-111+111-113) 12提公因式

可观察到式子中间部
分都抵消，最后只剩下12(1-113)=613


也就是13+115 +135+ 163 +199 +1143=613.


概念题型
2.八分之a、十分之b、十五分之c是三个最简分数，已知三个分数的积是二分之一，求这

三
个分数各是多少？

b10×c15=abc1200 a8×

abc=600 因为它们的积是12 所以

5 5×3
×2×把600分解质因数600=2×2×又因为它们的分母分别是8、10、15 而且是最简分数，它
们的分子里依次不能有2、2和5、

和5 3

2=8、，2×2×5=25因此，只能是5×，3

815 、
310、所以这三个分数分别是：258

分类讨论题型：

哪根剩下的多? 第一根剪下五分之三
米,第二根剪下五分之三,两根同样长的绳子3.,

当绳子大于一米时，第一根剩下的多，

当
绳子等于一米时，两根剩下的一样多，

当绳子小于一米时，第二根剩下的多

公约公倍和同
余

天是星期几？1000今天是星期六，再过1.



2.已知两个自然数a和b（a＞b），已知a和b除以13的余数分别是5和9，求a+b，a-b，

的
余数。a2-b2各自除以13a×b，

，求这个两位数。3.2100除以一个两位数得到的余数是56


，求被除数。35，余数是2 4.被除数、除数、商与余数之和是903，已知除数是

，求这个
数。543所得的余数相同，且商相差9 5.用一个整数去除345和

，求这个数。123得到的三个
余数之和是41有一个整数，用它去除312，231， 6. 1．答 ：根据题意不难看出，这个大班小朋

友的人数是115-7=108，148-4=14 4，74-2=72的

人．最大公约数．所以，这个大班的小朋友
最多有362 ．答：与上题类似，依题意，正方体的棱长应是9，6，7的最小公倍数，9，6，7的
最小

) =5292(块9×6×7）126÷公倍数是126．所以，至少需要这种长方体木块 126×126×
（

。方法同例题。、答：此数为283

24。方法同例题。与与40，或20与120，或8与60，
或124、答：这两个数为45答：所求 的两个数为15与150，或30与135，或45与120，或60
与105，或75与90。

方法同例题。6、答：因为1+2+…+9=5×9，所以无论这些九位数的值
如何， 它们的数字之和总可以被9整除，因而9是所有这些九位数的公约数．现任取这些九位数
中的两个相差9 的数，如

413798265。413798256和7、答：1925=5×5×7×11 两个商为5
和11， 1925÷5=385 ； 1925÷11=175 答：根据1。题意不难看 出，这个大班小朋友的人数是
115-7=108，148-4=144，74-2=72的最大公约数 ．所

人．以，这个大班的小朋友最多有362．答：
与上题类似，依题意，正方 体的棱长应是9，6，7的最小公倍数，9，6，7的最小

) =5292(块
（9×6×7） 公倍数是126．所以，至少需要这种长方体木块126×126×126÷

。方法同例
题。．答：此数为283

24。方法同例题。40与，或20与4与 120，或8与60，或124．答：
这两个数为5．答：所求的两个数为15与150，或30与13 5，或45与120，或60与105，或75
与90。

方法同例题。6．答： 因为1+2+…+9=5×9，所以无论这些九位数的值如何，它们的
数字之和总可以被9整除，因而9 是所有这些九位数的公约数．现任取这些九位数中的两个相差
9的数，如

。413798256和413798265

1925÷ 11=175 1925÷5=385 ；和答：1925=5×5
×7×11 两个商为511， 7．幼儿园有糖1 15颗、饼干148块、桔子74个，平均分给大班小朋
友，结果糖多出7颗，

个．这个大班的小朋友最多有几个人？4饼干多出块，桔子多出2 8．用
长是9厘米、宽是6厘米、高是7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要这种

长方体
木块多少块．

，求此数。4，最小公倍数为168的最大公约数为 9．已知某数与24

，求这
两个数。12010 ．已知两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为

，求这两个数。15，它
们的最大公约数为165．已知两个自然数的和为11




选做题12．把1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数依不同的次序 排列，可以得到362880个
不同的

九位数，求所有这些九位数的最大公约数．


13．两个整数的最小公倍数是1925，这两个整数分别除以他们的最大公约数，得到两个商

16，
请写出这两个整数（第七届华杯赛试题）。的和是

奇数与偶数及奇偶性的应用 （必做）第五
讲


[376]次 发布日期：[2007-4-22 17:23:11] 共阅

”，使等式成立？“+”，“-1.能否在下式中
填入适当的

9□8□7□6□5□4□3□2□1=28
2.在a、b、c三个数中，有一个是2003，一 个是2004，一个是2005。问（a－1）（b－2）

）
是奇数还是偶数。3（c－

写成等式组：c、d3.用代表整数的字母a、b、


d-a=1983 a×b×c×

d-b=1993 a×b×c×


d-c=2003 a×b×c×


d-d=2013 b×c× a×

是否存在。、da、b、c 试说明：符合条件的整数 4.有一串数，最前面的四个数依次是1、9、8、7.从第五个数起，每一个数都是它前面相邻

8这四个数吗？9、8、
四个数之和的个位数字.问：在这一串数中，会依次出现1、 5.任意改变某一个三位数的各位数
字的顺序得到一个新数.试证新数与原数之和不能等于

999。

闫老师班) 最大公约数和最小
公倍数(

次[2007-10-16 19:01:58] 共阅[154] 发布日期：1.甲、乙两地相 距465千米，一辆汽车
从甲地开往乙地，以每小时60千米的速度行驶一段

千 米的速度行驶了几小时？小时到达乙
地。每小时60千米，共用了后，每小时加速1572.笼中装有鸡 和兔若干只，共100只脚，若将鸡
换成兔，兔换成鸡，则共92只脚。笼中原

有兔、鸡各多少只？3.蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条
腿和2对翅膀。蝉有6条腿和1对翅膀。现在这三种 小虫共18

对翅膀，每种小虫各几只？118

条腿和20只，有 4.学雷锋活动中，同学们共做好事240件，大同学每人做好事8件，小同学每
人做好事3件，

6件。参加这次活动的小同学有多少人？他们平均每人做好事5.某班42个同
学参加 植树，男生平均每人种3棵，女生平均每人种2棵，已知男生比女生

56多种棵，男、
女生各有多少人？

答案：

小时。x千米的速度行驶了60解：设每小时1.




60x+(60+15)(7-x)=465


60x+525-75x=465


525-15x=465


15x=60


x=4


小时。千米的速度行驶了4答：每小时60

只脚。解：兔换成鸡，每只就减少了2 2.

只，
(100-92)2=4

只。兔子有4

只(100-4*4)2=42

42只，鸡有只。答：兔子有4

z只。18
只，蜻蜓y只，蝉 3.解：设蜘蛛

18只，得：三种小虫共

x+y+z=18……a式

118条腿，
得：有

8x+6y+6z=118……b式

对翅膀，得：有20

式2y+z=20……c

式，得：b式-6*a
将

8x+6y+6z-6(x+y+z)=118-6*18


2x=10


x=5


只，蜘蛛有5

18-5=13则蜻蜓和蝉共有只。

(13-y)只。再将z化为

c式，得：再代入


2y+13-y=20


y=7


只。蜻蜓有7

只。蝉有18-5-7=6

6只。5只，蜻蜓有7只，蝉有答：蜘蛛有

件, 6240
4.解：同学们共做好事件,他们平均每人做好事

人说明他们共有2406=40

人。(40-x)人，小
同学有x设大同学有．




8x+3(40-x)=240


8x+120-3x=240


5x+120=240


5x=120


x=24


40-x=16


人。人，小同学有16答：大同学有24




(42-x)人。5.解：设男生x人，女生

3x-2(42-x)=56


3x+2x-84=56


5x=140


x=28


42-x=14


14人答：男生28人，女生 1．答：根据题意不难看出，这个大班小朋友的人数是115-7= 108，
148-4=144，74-2=72的

36人．最大公约数．所以， 这个大班的小朋友最多有2．答：与上题
类似，依题意，正方体的棱长应是9，6，7的最小公倍数，9 ，6，7的最小

) ）=5292(块126
÷126×126×（9×6×7公 倍数是126．所以，至少需要这种长方体木块


。方法同例题。3、答：此数为28

。方法同例题。20与24，或12与40，或4、 答：这两
个数为4与120，或8与605答：所求的两个数为15与150，或30与135，或45 与120，或60
与105，或75与90。

方法同例题。6、答：因为1+2 +…+9=5×9，所以无论这些九位数的值
如何，它们的数字之和总可以被9整除，因而9是所有这些 九位数的公约数．现任取这些九位数

中的两个相差9的数，如

413798265。413798256和7、答：1925=5×5×7×11 两个商为5
和11， 1925÷5=385 ； 1925÷11=175 答：根据1。题意不难看 出，这个大班小朋友的人数是
115-7=108，148-4=144，74-2=72的最大公约数 ．所

人．以，这个大班的小朋友最多有362．答：
与上题类似，依题意，正方 体的棱长应是9，6，7的最小公倍数，9，6，7的最小

块) 6×7）
=5292( 公倍数是126．所以，至少需要这种长方体木块126×126×126÷（9×

。方法同例题。
283．答：此数为

24。方法同例题。40与，或20与60 1204．答：这两个数为4与，或8与，
或125．答：所求的两个数为15与150，或30与13 5，或45与120，或60与105，或75与90。


方法同例题。．



6．答：因为1+2+…+9=5×9，所以 无论这些九位数的值如何，它们的数字之和总可以被9整除，
因而9是所有这些九位数的公约数．现任取 这些九位数中的两个相差9的数，如

413798265。
413798256和

1925÷11=175 1925÷5=385 ； 7×11 两个商为5和11， 答：1925=5×5× 7．幼
儿园有糖115颗、饼干148块、桔子74个，平均分给大班小朋友，结果糖多出7

2个．这个
大班的小朋友最多有几个人？颗，饼干多出4块，桔子多出


8．用长是9厘米、宽是6厘米、高是7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要这种

长
方体木块多少块．

，求此数。，最小公倍数为的最大公约数为4168 9．已知某数与24

，求
这两个数。4，最小公倍数为120 10．已知两个自然数的最大公约数为

，求这两个数。165，
它们的最大公约数为15 11．已知两个自然数的和为

选做题12．把1，2，3，4，5，6，7，
8，9九个数依不同的次序排列，可以得到362880 个不同的

九位数，求所有这些九位数的最
大公约数．


13．两个整数的最小公倍数是1925，这两个整数分别除以他们的最大公约数，得到两个商

，
请写出这两个整数（第七届华杯赛试题）。的和是16

闫老师班) 最大公约数和最小公倍数
(

[154]次 发布日期：[2007-10-16 19:01:58] 共阅

一、填空
1、用96朵红花和72朵白花做成花束，如果每束花里红花的朵数相同，白花的朵数也相同，

朵
花？每束花里最少有2、7月6日，宝珠从避暑山庄打电话向拴柱问好，贾六来看望拴 柱，喜子
在打扫房间。如

天看望一次，至少经过6天打一次电话，贾六每隔5果喜子每隔3天打扫一
次，宝珠每隔

天，问好、看望、打扫这三件事才能同时发生。3、一筐梨，按每份两个梨分
多1个，每份 3个梨分多2个，每份5个梨分多4个，则筐里

个梨。至少有

二、解答题
1、 为了搞试验，将一块长为75米，宽为60米的长方形土地分为面积相等的小正方形土地，

那
么小正方形土地的面积最大是多少平方米？

，求这两个数各是多少？两个数相差最小公倍数
是180，54，、 2 两个数的最大公约数是18 3、有一种新型的电子钟，每到正点和半点都响一次
铃，每过9分钟亮一次灯，如果中午

点时，它既响了铃，又亮了灯，那么下一次既响铃又亮
灯要到什么时间？12

1-14 18:49 四级千总 100 回答者：知道℃-


周期问题．




绿花的顺序排列着，最后一朵是什么颜色的花？9朵黄花，131.有249朵花，按5朵红花，


根据题意可知，者写按5红，9黄，13绿的顺序轮流排列着，即5+9+13=27（朵 )花为一个周期，
不断循环。因为249除以27等于9余6，也就是经过9个周期还余下6朵花，是黄

花。

小
数点后的第一百位是多少？等于0.7.....2.1除以7

8 4，是除以6等于16余142857，
有6个数在循环，就用100

一、填 空题1.有两列火车,一列长102米,每秒行20米;一列长120
米,每秒行17米.两车同向而行 ,从第一

? 列车追及第二列车到两车离开需要几秒2.某人步行的
速度为每秒2 米.一列火车从后面开来,超过他用了10秒.已知火车长90米.求火

车的速度. < br>3.现有两列火车同时同方向齐头行进,行12秒后快车超过慢车.快车每秒行18米,慢车每秒行10< br>米.如果这两列火车车尾相齐同时同方向行进,则9秒后快车超过慢车,求两列火车的车身

长.

4.一列火车通过440米的桥需要40秒,以同样的速度穿过31 0米的隧道需要30秒.这列火车

的
速度和车身长各是多少?
5.小 英和小敏为了测量飞驶而过的火车速度和车身长,他们拿了两块跑表.小英用一块表记下了火
车从她面前 通过所花的时间是15秒;小敏用另一块表记下了从车头过第一根电线杆到车尾过第二
根电线杆所花的时 间是20秒.已知两电线杆之间的距离是100米.你能帮助小英和小

? 敏算出
火车的全长和时速吗6.一列火车通过530米的桥需要40秒,以同样的速度穿过380米的山洞需要
30秒.求这列火

. 车的速度与车身长各是多少米7.两人沿着铁路线边的小道,从两地 出发,以相
同的速度相对而行.一列火车开来,全列车从甲身边开过用了10秒.3分后,乙遇到火车, 全列火车从
乙身边开过只用了9秒.火车离开乙多少

? 时间后两人相遇8. 两 列火车,一列长120米,每秒行
20米;另一列长160米,每秒行15米,两车相向而行,从车头< br>
相遇到车尾离开需要几秒钟?
9.某人步行的速度为每秒钟2米.一列火车从后 面开来,越过他用了10秒钟.已知火车的长为

. 米,
求列车的速度9010. 甲、乙二人沿铁路相向而行,速度相同,一列火车从甲身边开过用了8秒钟,离
甲后5分钟又

问从乙与火车相遇开始再过几分钟甲乙二人相遇? 只用了,7秒钟,遇乙,从乙身边
开过




二、解答题
11.快车长182米,每秒行20米,慢车长1034米,每秒行18米.两车同向并 行,当快车车尾接慢车

求
快车穿过慢车的时间? 车尾时,12.快车长182米 ,每秒行20米,慢车长1034米,每秒行18米.两车同
向并行,当两车车头齐时,

? 快车几秒可越过慢车．



13.一人以每分钟120米的 速度沿铁路边跑步.一列长288米的火车从对面开来,从他身边通过

. ,
求列 车的速度用了8秒钟14.一列火车长600米,它以每秒10米的速度穿过长200米的隧道,从车
头 进入隧道到车尾离

? 开隧道共需多少时间 ———————————————答 案

—
—————————————————————

一、填空题


头 尾 头 17x米 20x米 尾120米 102米1. 这题是“两列车”的追及问题.在这里,
“追及”就是第一列车的车头追 及第二列车的车尾,“离

就是第一列车的车尾离开第二列车的
车头. 开”

列方程得: x秒,设从第一列车追及第二列车到两列车离开需要

x =74.
102+120+17 x =20 x


列方程得x米, 2. 设列车的速度是每秒

10 10 x =90+2×

x =11.


) 12-10×12=96(米 3. ( 则快车长:18×

快车,同时同方向行进,(2)车尾相齐

) 9=72(米 则
慢车长:18×9-10×




) 秒4. (1)火车的速度是:(440-310)÷(40-30)=13(米

) 30-310=80(米(2)车身长是:13×

小时)
60×60=72000(米 5. (1)火车的时速是:100÷(20-15)×

米) (2)车身长是:20×15=300(

得,米.根
据题意6. 设火车车身长x米,车身长y

①②

解得

得列方程组,米.根据题意,zx 7. 设火车
车身长米,甲、乙两人每秒各走y米,火车每秒行

①②


得: -②,①


: 火车离开乙后两人相遇时间为

). 秒) (分( 8. 解:从车头相遇到车尾离开,两车所行距离之
和恰为两列车长之和,故用相遇问题得所求时

秒). 间为:(120+60)?(15+20)=8( 9. 这样想:列车越
过人时, 它们的路程差就是列车长.将路程差(90米)除以越过所用时间(10

. 这速度差加上人的步
行速度就是列车的速度.就得到列车与人的速度差)秒．




) 10+2=9+2=11(米90÷

. 11米答:列车的速度是每秒种 10. 要求过几分钟甲、乙二人相遇,就
必须求出甲、乙二人这时的 距离与他们速度的关系,而与此相关联的是火车的运动,只有通过火车
的运动才能求出甲、乙二人的距离 .火车的运行时间是已知的,因此必须求出其速度,至少应求出它
和甲、乙二人的速度的比例关系.由于 本问

故分步详解如下,: 题较难

则: 的关系,设火车车长

为l,①求出火车速度 与甲、乙二人速度


这个过程为追及问题: 火车开过甲身边用8秒钟,(i)

(1) 故

这个过程为相遇问题: 火车开
过乙身边用7秒钟,(i i)

. (2) 故

可得: , (1)、(2)由

所以, .


②火车头遇到甲处与火车遇到乙处之间的距离是:


③求火车头遇到乙时甲、乙二人之间的距离. .火车头遇甲后,又经过(8+5×60)秒后,火车 头才遇
乙,所以,火车头遇到乙时,甲、乙二人之间的距

: 离为

? ④求甲、乙二人过几分钟相遇

) 秒)
(分钟(

. 分钟甲乙二人相遇:答再过

二、解答题11. 1034÷(20-18)=91(秒) 12. 182÷
(20-18)=91(秒) 13. 288÷8-120÷60=36-2=34(米秒) 答:列车的速度是每秒34米. 14.
(600+200)÷10=80(秒) 答:从车头进入隧道到车尾离开隧道共

. 80秒需1．答：根据题意不难看
出，这个大班小朋友的人数是115-7=108，14 8-4=144，74-2=72的

36人．最大公约数．所以，
这个大班的小 朋友最多有2．答：与上题类似，依题意，正方体的棱长应是9，6，7的最小公倍
数，9，6，7的最 小

) =5292(块（9×6×7） 公倍数是126．所以，至少需要这种长方体木块
126×126×126÷

28、答：此数为。方法同例题。3

。方法同例题。20与24408与60，或
12与，或1204、答：这两个数为4与，或5答：所求的两个数为15与150，或30与135，或45与120，或60与105，或75与90。

方法同例题。6、答：因为1+2 +…+9=5×9，所以无
论这些九位数的值如何，它们的数字之和总可以被9整除，因而9是所有这些 九位数的公约数．现
任取这些九位数中的两个相差9的数，如

。413798265和413798256．



7、答：1925=5×5×7×11 两个商为5和11， 1925÷5=385 ； 1925÷11=175 答：根据1。题
意不难看出，这个大班小朋友的人数是115-7=108， 148-4=144，74-2=72的最大公约数．所

人．以，
这个大班的小 朋友最多有362．答：与上题类似，依题意，正方体的棱长应是9，6，7的最小公
倍数，9，6，7 的最小

) =5292(块（9×6×7）公倍数是126．所以，至少需要这种长方体木块
126×126×126÷

。方法同例题。．答：此数为283

。方法同例题。与24与40，或204与
120，或8与60，或124．答：这两个数 为5．答：所求的两个数为15与150，或30与135，或
45与120，或60与105，或75 与90。

方法同例题。6．答：因为1+2+…+9=5×9，所以无
论这些九 位数的值如何，它们的数字之和总可以被9整除，因而9是所有这些九位数的公约数．现
任取这些九位数 中的两个相差9的数，如

413798265。413798256和

1925÷11=175 5=385 ；
两个商为5和11， 1925÷答：1925=5×5×7×11
7．幼儿园有糖115颗、饼干148块、桔子74个，平均分给大班小朋友，结果糖多出7颗，

个．这
个大班的小朋友最多有几个人？4块，桔子多出2饼干多出 8．用长是9厘米、宽是6厘米、高
是7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要这种

长方体木块多少块．

，求此数。4，
最小公倍数为168 9．已知某数与24的最大公约数为


，求这两个数。，最小公倍数为120 10．已知两个自然数的最大公约数为4

，求这两个
数。，它们的最大公约数为15 11．已知两个自然数的和为165

选做题12．把1，2，3，4，
5，6，7，8，9九个数依不同的次序排列，可以得到362880 个不同的

九位数，求所有这些九
位数的最大公约数． 13．两个整数的最小公倍数是1925，这两个整数分别除以他们的最大公约
数，得到两个商

16，请写出这两个整数（第七届华杯赛试题）。的和是

（必做）第五讲
奇数与偶数及奇偶性的应用


次[2007-4-22 17:23:11] 共阅[376] 发布日期：

，使等式成立？-”，1.能否在下式中填入适
当的“+”“

9□8□7□6□5□4□3□2□1=28
2.在a、b、c三个数中，有一个是2003， 一个是2004，一个是2005。问（a－1）（b－2）

）
是奇数还是偶数。c－3（

d写成等式组：c、b、、a 3.用代表整数的字母

c×a×b×d-a=1983


d-b=1993 b×c×a×

d-c=2003 a× b×c×

d-d=2013 c×b×a×

是否存在。、d、试说明：符合条件的整数ab、c
4.有一串数，最前面的四个数依次是1、9、8、7.从第五个数起，每一个数都是它前面相邻

这
四个数吗？、9、88、问：在这一串数中，会依次出现四个数之和的个位数字.1

试证新数与原数
之和不能等.5. 任意改变某一个三位数的各位数字的顺序得到一个新数