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小学六年级奥数题及答案

某市举行小学数学竞赛，结果不低于80分的人数 比80分以下的人数的4倍还
多2人，及格的人数比不低于80分的人数多22人，恰是不及格人数的6 倍，
求参赛的总人数？
解：
设不低于80分的为A人，则80分以下的人数是（A -2）4，及格的就是A+22，
不及格的就是A+（A-2）4-（A+22）=（A-90）4，而 6*（A-90）4=A+22，
则A=314，80分以下的人数是（A-2）4，也即是78，参赛 的总人数314+78=392

电影票原价每张若干元,现在每张降低3元出售,观众增加 一半,收入增加五分之
一,一张电影票原价多少元？
解：设一张电影票价x元
(x-3)×（1+12）=(1+15)x
(1+15)x这一步是什么意思，为什么这么做
(x-3){现在电影票的单价}×（1 +12){假如原来观众总数为整体1，则现在的观众
人数为（1+21)}
左边算式求出了总收入
(1+15）x{其实这个算式应该是：1x*（1+51） 把原观 众人数看成整体1，则原
来应收入1x元，而现在增加了原来的五分之一，就应该再*（1+51），减 缩后
得到（1+15x）}
如此计算后得到总收入，使方程左右相等

甲 乙在银行存款共9600元，如果两人分别取出自己存款的40%，再从甲存款中
提120元给乙。这时 两人钱相等，求 乙的存款
答案
取40％后，存款有
9600×（1－40％）＝5760（元）
这时，乙有：5760÷2＋120＝3000（元）
乙原来有：3000÷（1－40％）＝5000（元）


由奶糖和巧克 力糖混合成一堆糖，如果增加10颗奶糖后，巧克力糖占总数的
60%。再增加30颗巧克力糖后，巧克 力糖占总数的75%,那么原混合糖中有奶
糖多少颗？巧克力糖多少颗？
答案
加10颗奶糖，巧克力占总数的60%，说明此时奶糖占40%，

巧克力是奶糖的6040=1。5倍

再增加30颗巧克力，巧克力占75%，奶糖占25%，巧克力是奶糖的3倍
增加了3-1.5=1.5倍，说明30颗占1.5倍
奶糖=301.5=20颗

巧克力=1.5*20=30颗
奶糖=20-10=10颗



小明和小亮各有一些玻璃球，小明说：“你有球的个数比我少14！”小亮说：“你
要是能给我 你的16，我就比你多2个了。”小明原有玻璃球多少个？
答案
小明说：“你有球的个数 比我少14！”，则想成小明的球的个数为4份，则小亮
的球的个数为3份
4*16＝23 （小明要给小亮23份玻璃球）
小明还剩：4-23＝3又13（份）
小亮现有：3+23＝3又23（份）
这多出来的13份对应的量为2，则一份里有：3*2＝6（个）
小明原有4份玻璃球，又知每份玻璃球为6个，则小明原有玻璃球4*6＝24（个）
搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时.有同样
的仓库A和B， 甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，
中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库 货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时
间？
解：设搬运一个仓库的货物的工作量是1.现在相当于三人共同完成工作量
2，所需时间是

答：丙帮助甲搬运3小时，帮助乙搬运5小时
解本题的关键，是先算出三人共同搬运两个仓库的时间.本题计算当然也可
以整数化，设搬 运一个仓库全部工作量为 60.甲每小时搬运 6，乙每小时搬运 5，
丙每小时搬运4
三人共同搬完，需要
60 × 2÷（6+ 5+ 4）= 8（小时）
甲需丙帮助搬运
（60- 6× 8）÷ 4= 3（小时）
乙需丙帮助搬运
（60- 5× 8）÷4= 5（小时）
一件工作,若由甲单独做72天完成,现在甲 做1天后,乙加入一起工作,合作2天后,
丙也一起工作,三人再一起工作4天,完成全部工作的13, 又过了8天,完成了全部
工作的56,若余下的工作由丙单独完成,还需要几天?

答案
甲乙丙3人8天完成 :56-13=12
甲乙丙3人每天完成 :12÷8=116，
甲乙丙3人4天完成 :116×4=14
则甲做一天后乙做2天要做 :13-14=112
那么乙一天做 :[112-172×3]2=148
则丙一天做 :116-172-148=136
则余下的由丙做要 :[1-56]÷136=6天
答：还需要6天

股票交易中，每买进或卖出一种股票都必须按成交易额的1％和2％分别交纳印
花税和佣金（通常所说的 手续费）。老王10月8日以股票10.65元的价格买进一
种科技股票3000股，6月26日以每月 13.86元的价格将这些股票全部卖出，老
王卖出这种股票一共赚了多少钱？
答案
10.65*1％=0.1065(元) 10.65*2％=0.213(元)
10.1065+0.213=0.3195(元) 0.3195+10.65=10.9695(元)
13.86*1％=0.1386(元) 13.86*2％=0.2772(元)
0.1386+0.2772=0.4158 13.86+0.4158=14.2758(元)

14.2758-10.9695=3.3063(元)
答:老王卖出这种股票一共赚了3.3063元.

某书店老板去图书批发市场购 买某种图书，第一次购书用100元，按该书定价
2.8元出售，很快售完。第二次购书时，每本的批发 价比第一次增多了0.5元，
用去150元，所购数量比第一次多10本，当这批书售出45时出现滞销 ，便以
定价的5折售完剩余图书。试问该老板第二次售书是赔钱还是赚钱，若赔，赔多
少，若赚 ，赚多少
答案
（100+40）2.8=50本 10050=2 150(2+0.5）=60本 60*80%=48本
48*2.8+2.8*50*12-150=1.2 盈利1.2元
一件工程原计划40人做,15天完成.如果要提前3天完成,需要增加多少人
解: 设需要增加x人
(40+x)(15-3)=40*15
x=10
所以需要增加10人

仓库有一批货物，运走的货物与剩下的货物的质量比为 2：7.如果又运走64吨，
那么剩下的货物只有仓库原有货物的五分之三。仓库原有货物多少吨？
解：第1次运走：2（2+7）=29.
64（1-29-35）=360吨。
答：原仓库有360吨货物。

育才小学原来体育达标人数与未达标人数比是3：5 ，后来又有60名同学达标，
这时达标人数是未达标人数的911，育才小学共有学生多少人？
答案
原来达标人数占总人数的
3÷（3＋5）＝38
现在达标人数占总人数的
911÷（1＋911）＝920
育才小学共有学生
60÷（920－38）＝800人

小王，小李，小张三人做数学练习题，小王做 的题数的一半等于小李的13,等于
小张的18,而且小张比小王多做了72道,小王,小张,小李各做 多少道?
答案
设小王做了a道，小李做了b道，小张做了c道
由题意12a=13b=18c
c-a=72
解得a=24 b=36 c=96

甲乙二人共同完成242个机器零件。甲做一个零件要6分钟，乙 做一个零件要5
分钟。完成这批零件时，两人各做了多少个零件？
答案
设甲做了X个，则乙做了（242-X）个
6X=5（242-X）
X=110
242-110=132（个）
答：甲做了110个，乙做了132个
某工会男 女会员的人数之比是3：2，分为甲乙丙三组，已知甲乙丙三组人数之
比是10:8:7，甲组中男女比 是3：1，乙组中男女比是5：3。求丙组男女人数之
比
答案
设男会员是3N，则女会员是2N，总人是：5N
甲组有：5N*10[10+8+7]=2N，其中：男：2N*34=3N2，女：2N*14=N2
乙级有：5N*825=85N，其中男：85N*58=N，女：85N*38=35N
丙级有：5N*725=75N
丙级中男有：3N-3N2-N=N2，女有：2N-N2-35N=910N
那么丙组中男女之比是：N2：910N=5：9
甲乙丙三个村合修一条水渠，修完后，甲乙 丙村可灌溉的面积比是
8
：
7
：
5
原来
三个村计划 按可灌溉的面积比派出劳力，后来因为丙村抽不出劳力，经协商，丙
村应抽出的劳力由甲乙两村分担，丙 村付给甲乙两村工钱
1350
元，结果，甲村
共派出
60
人，乙村共 派出
40
人，问甲乙两村各应分得工钱多少元？

答案

根据甲乙丙村可灌溉的面积比算出总份数：
8+7+5=20
份

20=5
人

每份需要的人数：（
60+40
）
÷
5=40
人，多出劳力人数：
60-40=20
人

甲村需 要的人数：
8×
5=35
人，多出劳力人数：
40-35=5
人
乙村需要的人数：
7×
5=25
人

或
20+5=25
人

丙村需要的人数：
5×
25=54
元

每人应得的钱数：
1350÷
20=1080
元

甲村应得的工钱：
54×
5=270
元

乙村应得的工钱：
54×

p166
19
题

李明的爸爸经营已个水果店，按开始的定价，每买出
1
千克水果，可获 利
0.2
元。
后来李明建议爸爸降价销售，结果降价后每天的销量增加了
1< br>倍，每天获利比原
来增加了
50%
。问：每千克水果降价多少元？

答案

设以前卖出
X
降价
a
那么
0.2X * (1+0.5)=(0.2-a) * 2x
则
0.1X=2aX a=0.05


.哈利.波特参加数学竞 赛，他一共得了68分。评分的标准是：每做对一道得20
分，每做错一道倒扣6分。已知他做对题的数 量是做错题的两倍，并且所有的题
他都做了，请问这套试卷共有多少道题？
解：设哈利波特答对2X题，答错X题
20×2X-6X=68
40X-6X=68
34X=68
X=2
答对：2×2=4题
共有：4+2=6题
爸爸妈妈和奶奶乘飞机去旅行，三人所带 行李的质量都超过了可免费携带行李的
质量，要另付行李费，三人共付了4元，而三人行李共重150千 克，如果这些
行李让一个人带，那么除了免费部分，应另付行李费8元，求每人可免费携带行
李 的质量。
答案
设可免费携带的重量为x kg，则：
（150-3x）4=(150-x)8 等式两边非免费部分单价相同；
解方程：x=30


一队少先队员乘船过河，如果每船坐15人，还剩9 人，如果每船坐18人，刚
好剩余1只船，求有多少只船？
答案
解法一：

设船数为X，则
（15X+9）18=X-1
15X+9=18X-18
27=3X

X=9
答：有9只船。

解法二：

(15+9)÷（18-15）=8只船 --每船坐18人时坐了8只船
8+1=9只船


建筑工地有两堆沙子,一堆比2堆多85吨,两堆沙子各用去30吨后,一堆剩的 是
2堆的2倍,两堆沙子原来各有多少吨?
答案
设2堆为X吨,则一堆为X+85吨
X+85-30=2(X-30)
x=115(2堆)
x+85=115+85=200(1堆)

自然数1-100排列，用长方形框出二行六个数，六个数和为432，问这六个数最
小的是几
答案
六个数分别是46 47 48 96 97 98

甲乙两地相距420千米,其中一段路面铺了柏油,另一段是泥土路.一辆汽车从甲
地驶到乙地用了8小 时,已知在柏油路上行驶的速度是每小时60千米,而在泥土
路上的行驶速度是每小时40千米.泥土路 长多少千米?

答案
两段路所用时间共8小时。

柏油路时间：（420－x）÷60

泥土路时间： x÷40

7-(x÷60)+(x÷40)=8
有x÷120=1
所以x=120

一少先队中队去野营,炊事员问多少人,中队长答: 一个人一个碗,两个人一只菜
碗,三个人一只汤碗,放在你这儿有55只碗,你算算有多少人?
设有x个人
x＋x／2＋x／3＝55
x＝30


学校购买840本图书分给高、中、低三个年级段，高年级段分的是低年级段的2
倍，中年级段分的是低 年级段的3倍少120本。三个年级段各分得多少本图书？
设低年级段分得x本书，则高年级段分得2x本,中年级段分得（3x-120）本
x+2x+3x-120=840
6x-120=840
6x=840+120
6x=960
x=9606
x=160
高年级段为：160*2=320( 本) 中年级段为：160*3-120=360(本)
答：低年级段分得图书160本，中年级段分得图书360本，高年级段分得图书
320本.

学校田径组原来女生人数占13,后来又有6名女生参加进来,这样女生就占田径
组 总人数的49。现在田径组有女生多少人?
解 设 原来田径队男女生一共x人
13x+6= 49(x+6)
x=30
13x+6=30*13+6=16
女生16人

小华有连环画本数是小明
6
倍如果两人各再买
2
本那么小华所有本数是小明
4
倍两人原来各有连环画多少本？

解：设小华的有x本书
4(x+2)=6x+2
4x+8=6x+2
x=3
6x=18

小春一家四口人今年的年龄之和为147岁，爷 爷比爸爸大38岁，妈妈比小春大
27岁，爷爷的年龄是小春与妈妈年龄之和的2倍。小春一家四口人的 年龄各是
多少？
答案
1

设小春x岁，则妈妈x+27 岁，爷爷(x+x+27)*2=4x+54岁，爸爸4x+54-38=4x+16
岁
x+x+27+4x+54+4x+16=147,x=5
所以小春5岁，妈妈32岁，爷爷74岁，爸爸36岁。

2
爷爷+爸爸+（妈妈+小春）
=爷爷+（爷爷-38）+（爷爷2)=147
爷爷=74岁
爸爸=36岁
妈妈+小春=小春+27+小春=742=37
小春=5岁
妈妈=5+27=32岁
小春一家四口人的年龄各是74，36，32，5岁

3
(147+38)÷(2×2+1)=37(岁）
36×2＝74（岁） 爷爷的年龄
74－38＝36（岁） 爸爸的年龄
（37+27）÷2＝32（岁） 妈妈的年龄
32－27＝5（岁） 小华的年龄
甲乙两校共有22人参加竞赛，甲校参加人数的5分之 1比乙校参加人数的4分
之1少1人，甲乙两校各多少人参赛？
解：设甲校有x人参加，则乙校有（22-x）人参加。
0.2 x=（22-x）×0.25-1
0.2x=5.5-0.25x-1
0.45x=4.5
x=10
22-10=12（人）
答： 甲校有10人参加，乙校有12人参加。


在浓度为40%的盐水中加入千克水,浓度变为30%,再加入多千克盐,浓度变为
50%?
答案1
解
设原有盐水x千克，则有盐40％x千克，所以根据关系列出方程：
(40％x)(x＋1)＝30％ 得出x＝3，再设须加入y千克盐，则有方程：

（1.2＋y）(4+y)=50%得出y＝1.6

54比45多20％，算法，设所求为x，x（1＋20％）=54 算出结果45

答案2
设原有溶液为x千克，加入y千克盐后，浓度变为50%
由题意，得溶质为40%x，则有
40%x(x+5)=30%
解之得
x=15千克
则溶质有15*40%=6千克
由题意，得
（6+y）(15+5+y）=50%
解之得
y=8千克
故再加入8千克盐，浓度变为50%


某人到商店买红蓝两种钢笔，红钢 笔定价5元，蓝钢笔定价9元，由于购买量
较多，商店给予优惠，红钢笔八五折，蓝钢笔八折，结果此人 付的钱比原来节省
的18%，已知他买了蓝钢笔30枝，那么。他买了几支红钢笔？
答案

红笔买了x支。
（5x+30×9）×（1-18%)=5x×0.85+30×9×0.8
x=36.


甲说：“我乙丙共有100元。”乙说：“如果甲的钱是现有的6倍，我的钱是现 有
的13，丙的钱不变，我们仍有钱100元。”丙说：“我的钱都没有30元。”三人
原来各 有多少钱？
答案
乙的话表明：甲钱5倍与乙钱23一样多
所以，乙钱是3*5=15的倍数，甲钱是偶数

丙钱不足30，所以，甲乙钱和多于70，
而乙多于甲的6倍，
所以，乙多于60

设乙=75，甲=75*23÷5=10,丙=100-10-75=15
设乙=90，甲=90*23÷5=12,90+12>100,不行

所以，三人原来：甲10元，乙75元，丙15元

某厂 向银行申请甲乙两种贷款共
30
万，每年需支付利息
4
万元
,
甲种贷款年利率
为
12%
，乙种贷款年利率为
14%
，该厂申请甲 乙两种贷款金额各多少元？

答案
设：甲厂申请贷款金额x万元,则乙厂申请贷款金额（30-x）万元。
列式：x*0.12+(30-x)*0.14=4
化简：4.2-0.02x=4
0.02x=0.2
解得：x=10(万元)


某书店对顾客有一项优惠，凡购买同一种书100本以上，就按书价的90%收款。
某学校到书店购买甲 、乙两种书，其中乙种书的册数是甲种书册数的35只有甲
种书得到了90%的优惠。其中买甲种书所付 的钱数是买乙种书所付钱数的2倍。
已知乙种书每本1.5元，那么甲种书每本定价多少元？
答案
1
根据题意，
甲种超过了100本，乙种不到100 本
甲乙花的总钱数比为2:1
那么甲打折以前，和乙的总钱数比为：
（2÷0.9）：1=20:9
甲乙册数比为5:3
甲乙单价比为（20÷5）：（9÷3）=4:3
优惠前，甲种每本：1.5×43=2元

答案
2
答案
设甲买了x本,则乙为35x,x>100
买乙共付了:35x*1.5=0.9x元
则甲共付了:0.9x*2=1.8x元
所以甲优惠后每本为:1.8xx=1.8元
则优惠前:1.80.9=2元


两支成分不同的蜡烛,其中1支以均匀速度燃烧,2小时烧完,另一支可以燃烧3小
时,傍晚6时半同时点燃蜡烛，到什么1支剩余部分正好是另一支剩余的2倍？
答案
两支蜡烛分别设为A蜡烛和B蜡烛，其中A蜡烛是那支烧得快点的
A蜡烛，两小时烧完，那么每小时燃烧12
B蜡烛，三小时烧完，那么每小时燃烧13
设过了x小时以后，B蜡烛剩余的部分是A的两倍
2（1—x2）=1—x3
解得x=1.5

由于是6点半开始的，所以到8点的时候刚刚好


学校组织春游，同学们下午
1
点从学校出发，走了一段平路，爬了一座山后 按原
路返回，下午七点回到学校。已知他们的步行速度平路
4Km
小时，爬山
3Km
小时，下山为
6Km
小时，返回时间为
2.5
时。问：他们一 共行了多少路

答案1
设走的平路是X公里 山路是Y公里
因为1点到七点共用时间6小时 返回为2.5小时 则去时用3.5小时
Y3-Y6=1小时
Y=6公里
去时共用3.5小时 则X4+Y3=3.5 X=6
所以总路程为2（6+6）=24km
答案
2
解：春游共用时：7：00－1：00＝6（小时）
上山用时：6－2.5＝3.5（小时）
上山多用：3.5－2.5＝1（小时）
山路：（6－3）×1÷（3÷6）＝6（千米）
下山用时：6÷6＝1（小时）
平路：（2.5－1）×4＝6（千米）
单程走路：6＋6＝12（千米）
共走路：12×2＝24（千米）
答：他们共走24千米。




工程问题
1 ．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独开，
排一池水要10小 时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水
管丙，问水池注满还是要多少小时？
解：
120+116＝980表示甲乙的工作效率
980×5＝4580表示5小时后进水量
1-4580＝3580表示还要的进水量

3580÷（980-110）＝35表示还要35小时注满
答：5小时后还要35小时就能将水池注满。

2．修一条水渠，单独修，甲队需要 20天完成，乙队需要30天完成。如果两队合
作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲 队的工作效率是原来的
五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。现在计划16天修完这条水渠，< br>且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？
解：由题意得，甲的工效为120，乙 的工效为130，甲乙的合作工效为
120*45+130*910＝7100，可知甲乙合作工效>甲 的工效>乙的工效。
又因为，要求“两队合作的天数尽可能少”，所以应该让做的快的甲多做，16天 内
实在来不及的才应该让甲乙合作完成。只有这样才能“两队合作的天数尽可能
少”。
设合作时间为x天，则甲独做时间为（16-x）天
120*（16-x）+7100*x＝1
x＝10
答：甲乙最短合作10天

3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。现在先请甲、
丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时？
解：
由题意知，14表示甲乙合作1小时的工作量，15表示乙丙合作1小时的工作量
（14+15）×2＝910表示甲做了2小时、乙做了4小时、丙做了2小时的工作量。
根 据“甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成”可知甲做2小时、乙做6
小时、丙做2小时一共 的工作量为1。
所以1－910＝110表示乙做6-4＝2小时的工作量。
110÷2＝120表示乙的工作效率。
1÷120＝20小时表示乙单独完成需要20小时。
答：乙单独完成需要20小时。

4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交 替
轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，
第四天甲做， 这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做
这项工程需17天完成，甲单独做这项 工程要多少天完成？
解：由题意可知
1甲+1乙+1甲+1乙+……+1甲＝1
1乙+1甲+1乙+1甲+……+1乙+1甲×0.5＝1
（1甲表示甲的工作效率、1乙表 示乙的工作效率，最后结束必须如上所示，否
则第二种做法就不比第一种多0.5天）
1甲＝1乙+1甲×0.5（因为前面的工作量都相等）
得到1甲＝1乙×2
又因为1乙＝117
所以1甲＝217，甲等于17÷2＝8.5天

5 ．师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了12时，徒弟完成了120个。当师
傅完成了任务时，徒弟 完成了45这批零件共有多少个？
答案为300个
120÷（45÷2）＝300个 可以这样想：师傅第一次完成了12，第二次也是12，两次一共全部完工，那么
徒弟第二次后共完 成了45，可以推算出第一次完成了45的一半是25，刚好是
120个。

6．一 批树苗，如果分给男女生栽，平均每人栽6棵；如果单份给女生栽，平均
每人栽10棵。单份给男生栽， 平均每人栽几棵？
答案是15棵
算式：1÷（16-110）＝15棵

7．一个池上装有3根水管。甲管为进水管，乙管为出水管，20分钟可将满池水
放完 ，丙管也是出水管，30分钟可将满池水放完。现在先打开甲管，当水池水
刚溢出时，打开乙,丙两管用 了18分钟放完，当打开甲管注满水是，再打开乙管，
而不开丙管，多少分钟将水放完？
答案45分钟。
1÷（120+130）＝12 表示乙丙合作将满池水放完需要的分钟数。
112*（18-12）＝112*6＝12 表示乙丙合作将漫池水放完后，还多放了6分钟
的水，也就是甲18分钟进的水。
12÷18＝136 表示甲每分钟进水
最后就是1÷（120-136）＝45分钟。

8．某工程队需要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙队去
做， 要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如
期完成，问规定日期为几天？
答案为6天
解：
由“若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天 ，再由乙队单
独做，恰好如期完成，”可知：
乙做3天的工作量＝甲2天的工作量
即：甲乙的工作效率比是3：2
甲、乙分别做全部的的工作时间比是2：3
时间比的差是1份
实际时间的差是3天
所以3÷（3-2）×2＝6天，就是甲的时间，也就是规定日期
方程方法：
[1x+1（x+2）]×2+1（x+2）×（x-2）＝1
解得x＝6

9．两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小时，而点完一根细蜡烛要1小时，
一 天晚上停电，小芳同时点燃了这两根蜡烛看书，若干分钟后来点了，小芳将两
支蜡烛同时熄灭，发现粗蜡 烛的长是细蜡烛的2倍，问：停电多少分钟？
答案为40分钟。
解：设停电了x分钟
根据题意列方程
1-1120*x＝（1-160*x）*2
解得x＝40


二．鸡兔同笼问题
1．鸡与兔共100只,鸡的腿数比兔的腿数少28条,问鸡与兔各有几只?
解：
4*100＝400，400-0＝400 假设都是兔子，一共有400只兔子的脚，那么鸡的脚
为0只，鸡的脚比兔子的脚少400只。
400-28＝372 实际鸡的脚数比兔子的脚数只少28只，相差372只，这是为什么？
4+2＝6 这是因为只要将一只兔子换成一只鸡，兔子的总脚数就会减少4只（从
400只变 为396只），鸡的总脚数就会增加2只（从0只到2只），它们的相差数就会
少4+2＝6只（也就是 原来的相差数是400-0＝400，现在的相差数为396-2＝394，
相差数少了400-394 ＝6）
372÷6＝62 表示鸡的只数，也就是说因为假设中的100只兔子中有62只改为了鸡，所以脚的相差数从400改为28，一共改了372只
100-62＝38表示兔的只数




三．数字数位问题

1．把1至2 005这2005个自然数依次写下来得到一个多位数123456789.....2005,
这个多 位数除以9余数是多少?
解：
首先研究能被9整除的数的特点：如果各个数位上的数字之和 能被9整除，那么
这个数也能被9整除；如果各个位数字之和不能被9整除，那么得的余数就是这
个数除以9得的余数。
解题：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；45能被9整除
依次类推：1~1999这些数的个位上的数字之和可以被9整除
10~19，20~29… …90~99这些数中十位上的数字都出现了10次，那么十位上的
数字之和就是10+20+30+… …+90=450 它有能被9整除
同样的道理，100~900 百位上的数字之和为4500 同样被9整除
也就是说1~999这些连续的自然数的各个位上的数字之和可以被9整除；
同样的道理：1000~1999这些连续的自然数中百位、十位、个位 上的数字之和
可以被9整除（这里千位上的“1”还没考虑，同时这里我们少
2
从1000~1999千位上一共999个“1”的和是999，也能整除；
2的各位数字之和是27，也刚好整除。
最后答案为余数为0。

2．A和B是小于100的两个非零的不同自然数。求A+B分之A-B的最小值...
解：
(A-B)(A+B) = (A+B - 2B)(A+B) = 1 - 2 * B(A+B)
前面的 1 不会变了，只需求后面的最小值，此时 (A-B)(A+B) 最大。
对于 B (A+B) 取最小时，(A+B)B 取最大，
问题转化为求 (A+B)B 的最大值。
(A+B)B = 1 + AB ，最大的可能性是 AB = 991
(A+B)B = 100
(A-B)(A+B) 的最大值是： 98 100

3．已知A.B.C都是非0自然数,A2 + B4 + C16的近似值市6.4,那么它的准确值
是多少?
答案为6.375或6.4375
因为A2 + B4 + C16＝8A+4B+C16≈6.4，
所以8A+4B+C≈1 02.4，由于A、B、C为非0自然数，因此8A+4B+C为一个整数，
可能是102，也有可能是 103。
当是102时，10216＝6.375
当是103时，10316＝6.4375

4．一个三位数的各位数字 之和是1 7.其中十位数字比个位数字大1.如果把这个
三位数的百位数字与个位数字对调,得到一个新的三位数 ,则新的三位数比原三位
数大198,求原数.
答案为476
解：设原数个位为a，则十位为a+1，百位为16-2a
根据题意列方程100a+10a+16-2a－100（16-2a）-10a-a＝198
解得a＝6，则a+1＝7 16-2a＝4
答：原数为476。

5． 一个两位数,在它的前面写上3,所组成的三位数比原两位数的7倍多24,求原来
的两位数.
答案为24
解：设该两位数为a，则该三位数为300+a
7a+24＝300+a
a＝24
答：该两位数为24。

6 ．把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数,它与原数相加,和

恰好是某 自然数的平方,这个和是多少?
答案为121
解：设原两位数为10a+b，则新两位数为10b+a
它们的和就是10a+b+10b+a＝11（a+b）
因为这个和是一个平方数，可以确定a+b＝11
因此这个和就是11×11＝121
答：它们的和为121。

7．一个六位数的末位数字是2,如果把2移到首位,原数就是新数的3倍,求原数.
答案为85714
解：设原六位数为abcde2，则新六位数为2abcde（字母上无法 加横线，请将整
个看成一个六位数）
再设abcde（五位数）为x，则原六位数就是10x+2，新六位数就是200000+x
根据题意得，（200000+x）×3＝10x+2
解得x＝85714
所以原数就是857142
答：原数为857142

8．有一个四位数 ,个位数字与百位数字的和是12,十位数字与千位数字的和是9,
如果个位数字与百位数字互换,千位 数字与十位数字互换,新数就比原数增加
2376,求原数.
答案为3963
解：设原四位数为abcd，则新数为cdab，且d+b＝12，a+c＝9
根据“新数就比原数增加2376”可知abcd+2376=cdab,列竖式便于观察
abcd
2376
cdab
根据d+b＝12，可知d、b可能是3、9；4、8；5、7；6、6。

再观察竖式中的个位，便可以知道只有当d＝3，b＝9；或d＝8，b＝4时成立。
先取d＝3，b＝9代入竖式的百位，可以确定十位上有进位。
根据a+c＝9，可知a、c可能是1、8；2、7；3、6；4、5。
再观察竖式中的十位，便可知只有当c＝6，a＝3时成立。
再代入竖式的千位，成立。
得到：abcd＝3963
再取d＝8，b＝4代入竖式的十位，无法找到竖式的十位合适的数，所以不成立。

9．有一个两位数,如果用它去除以个位数字,商为9余数为6,如果用这个两位数除
以个位数字与十 位数字之和,则商为5余数为3,求这个两位数.
解：设这个两位数为ab
10a+b＝9b+6
10a+b＝5（a+b）+3
化简得到一样：5a+4b＝3
由于a、b均为一位整数
得到a＝3或7，b＝3或8
原数为33或78均可以

10．如果现在 是上午的10点21分,那么在经过28799...99(一共有20个9)分钟之后
的时间将是几点 几分?
答案是10：20
解：
（28799……9（20个9）+1）6024 整除，表示正好过了整数天，时间仍然还是
10：21，因为事先计算时加了1分钟，所以现在时间是1 0：20

四．排列组合问题
1．有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有（ ）
A 768种 B 32种 C 24种 D 2的10次方中

解：
根据乘法原理，分两步：
第一步是把5对夫妻看作5个整体，进行排列有5×4×3×2×1＝120种不同的排法，
但 是因为是围成一个首尾相接的圈，就会产生5个5个重复，因此实际排法只有
120÷5＝24种。 < br>第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫妻均有2种排法，
总共又2×2×2 ×2×2＝32种
综合两步，就有24×32＝768种。

2 若把英语单词hello的字母写错了,则可能出现的错误共有 ( )
A 119种 B 36种 C 59种 D 48种
解：
5全排列5*4*3*2*1=120
有两个l所以1202=60
原来有一种正确的所以60-1=59





五．容斥原理问题
1． 有100种赤贫.其中含钙的有6 8种,含铁的有43种,那么,同时含钙和铁的食品种
类的最大值和最小值分别是( )
A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11
解：根据容斥原理最小值68+43-100＝11
最大值就是含铁的有43种

2．在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学

生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解
出第三题 的人数的2倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人
数多1人;(4)只解出一道 题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题
的学生人数是( )
A，5 B，6 C，7 D，8
解：根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为7类：只答第1题，< br>只答第2题，只答第3题，只答第1、2题，只答第1、3题，只答2、3题，答1、2、
3题。
分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123
由（1）知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123＝25…①
由（2）知：a2+a23＝（a3+ a23）×2……②
由（3）知：a12+a13+a123＝a1－1……③
由（4）知：a1＝a2+a3……④
再由②得a23＝a2－a3×2……⑤
再由③④得a12+a13+a123＝a2+a3－1⑥
然后将④⑤⑥代入①中，整理得到
a2×4+a3＝26
由于a2、a3均表示人数，可以求出它们的整数解：
当a2＝6、5、4、3、2、1时，a3＝2、6、10、14、18、22
又根据a23＝a2－a3×2……⑤可知：a2>a3
因此，符合条件的只有a2＝6，a3＝2。
然后可以推出a1＝8，a12+a13+a1 23＝7，a23＝2，总人数＝8+6+2+7+2＝25，
检验所有条件均符。
故只解出第二题的学生人数a2＝6人。

3．一次考试共有5道试题。做对第1、 2、3、、4、5题的分别占参加考试人数的
95%、80%、79%、74%、85%。如果做对三道 或三道以上为合格，那么这次考
试的合格率至少是多少？

答案：及格率至少为71％。
假设一共有100人考试
100-95＝5
100-80＝20
100-79＝21
100-74＝26
100-85＝15
5+20+21+26+15＝87（表示5题中有1题做错的最多人数）
87÷3＝29（表示5题中有3题做错的最多人数，即不及格的人数最多为29人）
100-29＝71（及格的最少人数，其实都是全对的）
及格率至少为71％


六．抽屉原理、奇偶性问题
1．一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套，颜色 有黑、红、蓝、黄四种，
问最少要摸出几只手套才能保证有3副同色的？
解：可以把四种不同 的颜色看成是4个抽屉，把手套看成是元素，要保证有一副
同色的，就是1个抽屉里至少有2只手套，根 据抽屉原理，最少要摸出5只手套。
这时拿出1副同色的后4个抽屉中还剩3只手套。再根据抽屉原理， 只要再摸出2
只手套，又能保证有一副手套是同色的，以此类推。
把四种颜色看做4个抽屉， 要保证有3副同色的，先考虑保证有1副就要摸出5只
手套。这时拿出1副同色的后，4个抽屉中还剩下 3只手套。根据抽屉原理，只要
再摸出2只手套，又能保证有1副是同色的。以此类推，要保证有3副同 色的，共
摸出的手套有：5+2+2=9（只）
答：最少要摸出9只手套，才能保证有3副同色的。

2．有四种颜色的积木若干， 每人可任取1-2件，至少有几个人去取，才能保证有
3人能取得完全一样？

答案为21
解：
每人取1件时有4种不同的取法,每人取2件时,有6种不同的取法.
当有11人时,能保证至少有2人取得完全一样:
当有21人时,才能保证到少有3人取得完全一样.

3．某盒子内装50只球，其 中10只是红色，10只是绿色，10只是黄色，10只是
蓝色，其余是白球和黑球，为了确保取出的球 中至少包含有7只同色的球，问：
最少必须从袋中取出多少只球？
解：需要分情况讨论，因为无法确定其中黑球与白球的个数。
当黑球或白球其中没有大于或等于7个的，那么就是：
6*4+10+1=35(个)
如果黑球或白球其中有等于7个的，那么就是：
6*5+3+1＝34（个）
如果黑球或白球其中有等于8个的，那么就是：
6*5+2+1＝33
如果黑球或白球其中有等于9个的，那么就是：
6*5+1+1＝32

4．地上有四堆石子，石子数分别是1、9、15、31如果每次从其中的三堆同时各
取出1个，然后都 放入第四堆中，那么，能否经过若干次操作，使得这四堆石子
的个数都相同?（如果能请说明具体操作， 不能则要说明理由）
不可能。
因为总数为1+9+15+31＝56
564＝14
14是一个偶数
而原来1、9、15、31都是奇数，取出1个和放 入3个也都是奇数，奇数加减若干
次奇数后，结果一定还是奇数，不可能得到偶数（14个）。

七．路程问题
1．狗跑5步的时间马跑3步，马跑4步的距离狗跑 7步，现在狗已跑出30米，马开
始追它。问：狗再跑多远，马可以追上它？
解：
根据“马跑4步的距离狗跑7步”，可以设马每步长为7x米，则狗每步长为4x米。
根据“ 狗跑5步的时间马跑3步”，可知同一时间马跑3*7x米＝21x米，则狗跑5*4x
＝20米。
可以得出马与狗的速度比是21x：20x＝21：20
根据“现在狗已跑出30米”，可以 知道狗与马相差的路程是30米，他们相差的份
数是21-20＝1，现在求马的21份是多少路程，就 是 30÷（21-20）×21＝630米

2．甲乙辆车同时从a b两地相对开出，几 小时后再距中点40千米处相遇？已知，
甲车行完全程要8小时，乙车行完全程要10小时，求a b 两地相距多少千米？
答案720千米。
由“甲车行完全程要8小时，乙车行完全程要10小 时”可知，相遇时甲行了10份，
乙行了8份（总路程为18份），两车相差2份。又因为两车在中点4 0千米处相遇，
说明两车的路程差是（40+40）千米。所以算式是（40+40）÷（10-8）× （10+8）
＝720千米。

3．在一个600米的环形跑道上，兄两人同时从同 一个起点按顺时针方向跑步，
两人每隔12分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出 发，
哥哥改为按逆时针方向跑，则两人每隔4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分
钟？
答案为两人跑一圈各要6分钟和12分钟。
解：
600÷12=50，表示哥哥、弟弟的速度差
600÷4=150，表示哥哥、弟弟的速度和

（50+150）÷2=100，表示较快的速度，方法是求和差问题中的较大数
（150-50）2=50，表示较慢的速度，方法是求和差问题中的较小数
600÷100=6分钟，表示跑的快者用的时间
60050=12分钟，表示跑得慢者用的时间

4．慢车车长125米，车速每秒 行17米，快车车长140米，车速每秒行22米，慢
车在前面行驶，快车从后面追上来，那么，快车从 追上慢车的车尾到完全超过慢
车需要多少时间？
答案为53秒
算式是（140+125)÷(22-17)=53秒
可以这样理解：“快车从追上慢车的车 尾到完全超过慢车”就是快车车尾上的点追
及慢车车头的点，因此追及的路程应该为两个车长的和。

5．在300米长的环形跑道上，甲乙两个人同时同向并排起跑，甲平均速度是每
秒 5米，乙平均速度是每秒4.4米，两人起跑后的第一次相遇在起跑线前几米？
答案为100米
300÷（5-4.4）＝500秒，表示追及时间
5×500＝2500米，表示甲追到乙时所行的路程
2500÷300＝8圈……100米 ，表示甲追及总路程为8圈还多100米，就是在原来起
跑线的前方100米处相遇。
6．一个人在铁道边，听见远处传来的火车汽笛声后，在经过57秒火车经过她前
面，已知火车鸣笛 时离他1360米，(轨道是直的),声音每秒传340米，求火车的速
度（得出保留整数）
答案为22米秒
算式：1360÷(1360÷340+57）≈22米秒
关键理 解：人在听到声音后57秒才车到，说明人听到声音时车已经从发声音的
地方行出1360÷340＝4 秒的路程。也就是1360米一共用了4+57＝61秒。

7．猎犬发现在 离它10米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去，猎犬的
步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9 步，但是兔子的动作快，猎犬跑2步的时间，
兔子却能跑3步，问猎犬至少跑多少米才能追上兔子。
正确的答案是猎犬至少跑60米才能追上。
解：
由“猎犬跑5步的路程，兔子要跑 9步”可知当猎犬每步a米，则兔子每步59米。
由“猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步”可知同一时 间，猎犬跑2a米，兔子可跑
59a*3＝53a米。从而可知猎犬与兔子的速度比是2a：53a＝6 ：5，也就是说
当猎犬跑60米时候，兔子跑50米，本来相差的10米刚好追完

8． AB两地,甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是4:5,如果甲乙二人分别
同时从 AB两地相对行使,40分钟后两人相遇,相遇后各自继续前行,这样，乙到达
A地比甲到达B地要晚多 少分钟?
答案：18分钟
解：设全程为1,甲的速度为x乙的速度为y
列式40x+40y=1
x:y=5:4
得x=172 y=190
走完全程甲需72分钟,乙需90分钟
故得解
9．甲乙两车同时从AB两地相对开 出。第一次相遇后两车继续行驶，各自到达
对方出发点后立即返回。第二次相遇时离B地的距离是AB全 程的15。已知甲
车在第一次相遇时行了120千米。AB两地相距多少千米？
答案是300千米。
解：通过画线段图可知，两个人第一次相遇时一共行了1个AB的路程， 从开始
到第二次相遇，一共又行了3个AB的路程，可以推算出甲、乙各自共所行的路
程分别是 第一次相遇前各自所走的路程的3倍。即甲共走的路程是120*3＝360千

米，从线 段图可以看出，甲一共走了全程的（1+15）。
因此360÷（1+15）＝300千米

从A地到B地，甲、乙两人骑自行车分别需要4小时、6小时，现在甲乙分别AB
两地同时出发 相向而行，相遇时距AB两地中点2千米。如果二人分别至B地，
A地后都立即折回。第二次相遇点第一 次相遇点之间有（）千米

10．一船以同样速度往返于两地之间，它顺流需要6小时;逆流 8小时。如果水流
速度是每小时2千米，求两地间的距离？
解：（16-18）÷2＝148表示水速的分率
2÷148＝96千米表示总路程

11．快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，快车每小时行33千米，相遇是已行
了 全程的七分之四，已知慢车行完全程需要8小时，求甲乙两地的路程。
解：
相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是4：3
时间比为3：4
所以快车行全程的时间为84*3＝6小时
6*33＝198千米

12 ．小华从甲地到乙地,3分之1骑车,3分之2乘车;从乙地返回甲地,5分之3骑车,5
分之2乘车, 结果慢了半小时.已知,骑车每小时12千米,乘车每小时30千米,问:甲乙
两地相距多少千米?
解：
把路程看成1，得到时间系数
去时时间系数：13÷12+23÷30
返回时间系数：35÷12+25÷30
两者之差：（35÷12+25÷30）-（13÷12+23÷30）=175相当于12小时

去时时间：12×（13÷12）÷175和12×（23÷30）175
路 程：12×〔12×（13÷12）÷175〕+30×〔12×（23÷30）175〕=37.5（千米）

P

小学六年级奥数题及答案

某市举行小学数学竞赛，结果不低于80 分的人数比80分以下的人数的4倍还
多2人，及格的人数比不低于80分的人数多22人，恰是不及格 人数的6倍，
求参赛的总人数？
解：
设不低于80分的为A人，则80分以下的人 数是（A-2）4，及格的就是A+22，
不及格的就是A+（A-2）4-（A+22）=（A-90 ）4，而6*（A-90）4=A+22，
则A=314，80分以下的人数是（A-2）4，也即是7 8，参赛的总人数314+78=392

电影票原价每张若干元,现在每张降低3元出售, 观众增加一半,收入增加五分之
一,一张电影票原价多少元？
解：设一张电影票价x元
(x-3)×（1+12）=(1+15)x
(1+15)x这一步是什么意思，为什么这么做
(x-3){现在电影票的单价}×（1 +12){假如原来观众总数为整体1，则现在的观众
人数为（1+21)}
左边算式求出了总收入
(1+15）x{其实这个算式应该是：1x*（1+51） 把原观 众人数看成整体1，则原
来应收入1x元，而现在增加了原来的五分之一，就应该再*（1+51），减 缩后
得到（1+15x）}
如此计算后得到总收入，使方程左右相等

甲 乙在银行存款共9600元，如果两人分别取出自己存款的40%，再从甲存款中
提120元给乙。这时 两人钱相等，求 乙的存款
答案
取40％后，存款有
9600×（1－40％）＝5760（元）
这时，乙有：5760÷2＋120＝3000（元）
乙原来有：3000÷（1－40％）＝5000（元）


由奶糖和巧克 力糖混合成一堆糖，如果增加10颗奶糖后，巧克力糖占总数的
60%。再增加30颗巧克力糖后，巧克 力糖占总数的75%,那么原混合糖中有奶
糖多少颗？巧克力糖多少颗？
答案
加10颗奶糖，巧克力占总数的60%，说明此时奶糖占40%，

巧克力是奶糖的6040=1。5倍

再增加30颗巧克力，巧克力占75%，奶糖占25%，巧克力是奶糖的3倍
增加了3-1.5=1.5倍，说明30颗占1.5倍
奶糖=301.5=20颗

巧克力=1.5*20=30颗
奶糖=20-10=10颗



小明和小亮各有一些玻璃球，小明说：“你有球的个数比我少14！”小亮说：“你
要是能给我 你的16，我就比你多2个了。”小明原有玻璃球多少个？
答案
小明说：“你有球的个数 比我少14！”，则想成小明的球的个数为4份，则小亮
的球的个数为3份
4*16＝23 （小明要给小亮23份玻璃球）
小明还剩：4-23＝3又13（份）
小亮现有：3+23＝3又23（份）
这多出来的13份对应的量为2，则一份里有：3*2＝6（个）
小明原有4份玻璃球，又知每份玻璃球为6个，则小明原有玻璃球4*6＝24（个）
搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时.有同样
的仓库A和B， 甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，
中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库 货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时
间？
解：设搬运一个仓库的货物的工作量是1.现在相当于三人共同完成工作量
2，所需时间是

答：丙帮助甲搬运3小时，帮助乙搬运5小时
解本题的关键，是先算出三人共同搬运两个仓库的时间.本题计算当然也可
以整数化，设搬 运一个仓库全部工作量为 60.甲每小时搬运 6，乙每小时搬运 5，
丙每小时搬运4
三人共同搬完，需要
60 × 2÷（6+ 5+ 4）= 8（小时）
甲需丙帮助搬运
（60- 6× 8）÷ 4= 3（小时）
乙需丙帮助搬运
（60- 5× 8）÷4= 5（小时）
一件工作,若由甲单独做72天完成,现在甲 做1天后,乙加入一起工作,合作2天后,
丙也一起工作,三人再一起工作4天,完成全部工作的13, 又过了8天,完成了全部
工作的56,若余下的工作由丙单独完成,还需要几天?

答案
甲乙丙3人8天完成 :56-13=12
甲乙丙3人每天完成 :12÷8=116，
甲乙丙3人4天完成 :116×4=14
则甲做一天后乙做2天要做 :13-14=112
那么乙一天做 :[112-172×3]2=148
则丙一天做 :116-172-148=136
则余下的由丙做要 :[1-56]÷136=6天
答：还需要6天

股票交易中，每买进或卖出一种股票都必须按成交易额的1％和2％分别交纳印
花税和佣金（通常所说的 手续费）。老王10月8日以股票10.65元的价格买进一
种科技股票3000股，6月26日以每月 13.86元的价格将这些股票全部卖出，老
王卖出这种股票一共赚了多少钱？
答案
10.65*1％=0.1065(元) 10.65*2％=0.213(元)
10.1065+0.213=0.3195(元) 0.3195+10.65=10.9695(元)
13.86*1％=0.1386(元) 13.86*2％=0.2772(元)
0.1386+0.2772=0.4158 13.86+0.4158=14.2758(元)

14.2758-10.9695=3.3063(元)
答:老王卖出这种股票一共赚了3.3063元.

某书店老板去图书批发市场购 买某种图书，第一次购书用100元，按该书定价
2.8元出售，很快售完。第二次购书时，每本的批发 价比第一次增多了0.5元，
用去150元，所购数量比第一次多10本，当这批书售出45时出现滞销 ，便以
定价的5折售完剩余图书。试问该老板第二次售书是赔钱还是赚钱，若赔，赔多
少，若赚 ，赚多少
答案
（100+40）2.8=50本 10050=2 150(2+0.5）=60本 60*80%=48本
48*2.8+2.8*50*12-150=1.2 盈利1.2元
一件工程原计划40人做,15天完成.如果要提前3天完成,需要增加多少人
解: 设需要增加x人
(40+x)(15-3)=40*15
x=10
所以需要增加10人

仓库有一批货物，运走的货物与剩下的货物的质量比为 2：7.如果又运走64吨，
那么剩下的货物只有仓库原有货物的五分之三。仓库原有货物多少吨？
解：第1次运走：2（2+7）=29.
64（1-29-35）=360吨。
答：原仓库有360吨货物。

育才小学原来体育达标人数与未达标人数比是3：5 ，后来又有60名同学达标，
这时达标人数是未达标人数的911，育才小学共有学生多少人？
答案
原来达标人数占总人数的
3÷（3＋5）＝38
现在达标人数占总人数的
911÷（1＋911）＝920
育才小学共有学生
60÷（920－38）＝800人

小王，小李，小张三人做数学练习题，小王做 的题数的一半等于小李的13,等于
小张的18,而且小张比小王多做了72道,小王,小张,小李各做 多少道?
答案
设小王做了a道，小李做了b道，小张做了c道
由题意12a=13b=18c
c-a=72
解得a=24 b=36 c=96

甲乙二人共同完成242个机器零件。甲做一个零件要6分钟，乙 做一个零件要5
分钟。完成这批零件时，两人各做了多少个零件？
答案
设甲做了X个，则乙做了（242-X）个
6X=5（242-X）
X=110
242-110=132（个）
答：甲做了110个，乙做了132个
某工会男 女会员的人数之比是3：2，分为甲乙丙三组，已知甲乙丙三组人数之
比是10:8:7，甲组中男女比 是3：1，乙组中男女比是5：3。求丙组男女人数之
比
答案
设男会员是3N，则女会员是2N，总人是：5N
甲组有：5N*10[10+8+7]=2N，其中：男：2N*34=3N2，女：2N*14=N2
乙级有：5N*825=85N，其中男：85N*58=N，女：85N*38=35N
丙级有：5N*725=75N
丙级中男有：3N-3N2-N=N2，女有：2N-N2-35N=910N
那么丙组中男女之比是：N2：910N=5：9
甲乙丙三个村合修一条水渠，修完后，甲乙 丙村可灌溉的面积比是
8
：
7
：
5
原来
三个村计划 按可灌溉的面积比派出劳力，后来因为丙村抽不出劳力，经协商，丙
村应抽出的劳力由甲乙两村分担，丙 村付给甲乙两村工钱
1350
元，结果，甲村
共派出
60
人，乙村共 派出
40
人，问甲乙两村各应分得工钱多少元？

答案

根据甲乙丙村可灌溉的面积比算出总份数：
8+7+5=20
份

20=5
人

每份需要的人数：（
60+40
）
÷
5=40
人，多出劳力人数：
60-40=20
人

甲村需 要的人数：
8×
5=35
人，多出劳力人数：
40-35=5
人
乙村需要的人数：
7×
5=25
人

或
20+5=25
人

丙村需要的人数：
5×
25=54
元

每人应得的钱数：
1350÷
20=1080
元

甲村应得的工钱：
54×
5=270
元

乙村应得的工钱：
54×

p166
19
题

李明的爸爸经营已个水果店，按开始的定价，每买出
1
千克水果，可获 利
0.2
元。
后来李明建议爸爸降价销售，结果降价后每天的销量增加了
1< br>倍，每天获利比原
来增加了
50%
。问：每千克水果降价多少元？

答案

设以前卖出
X
降价
a
那么
0.2X * (1+0.5)=(0.2-a) * 2x
则
0.1X=2aX a=0.05


.哈利.波特参加数学竞 赛，他一共得了68分。评分的标准是：每做对一道得20
分，每做错一道倒扣6分。已知他做对题的数 量是做错题的两倍，并且所有的题
他都做了，请问这套试卷共有多少道题？
解：设哈利波特答对2X题，答错X题
20×2X-6X=68
40X-6X=68
34X=68
X=2
答对：2×2=4题
共有：4+2=6题
爸爸妈妈和奶奶乘飞机去旅行，三人所带 行李的质量都超过了可免费携带行李的
质量，要另付行李费，三人共付了4元，而三人行李共重150千 克，如果这些
行李让一个人带，那么除了免费部分，应另付行李费8元，求每人可免费携带行
李 的质量。
答案
设可免费携带的重量为x kg，则：
（150-3x）4=(150-x)8 等式两边非免费部分单价相同；
解方程：x=30


一队少先队员乘船过河，如果每船坐15人，还剩9 人，如果每船坐18人，刚
好剩余1只船，求有多少只船？
答案
解法一：

设船数为X，则
（15X+9）18=X-1
15X+9=18X-18
27=3X

X=9
答：有9只船。

解法二：

(15+9)÷（18-15）=8只船 --每船坐18人时坐了8只船
8+1=9只船


建筑工地有两堆沙子,一堆比2堆多85吨,两堆沙子各用去30吨后,一堆剩的 是
2堆的2倍,两堆沙子原来各有多少吨?
答案
设2堆为X吨,则一堆为X+85吨
X+85-30=2(X-30)
x=115(2堆)
x+85=115+85=200(1堆)

自然数1-100排列，用长方形框出二行六个数，六个数和为432，问这六个数最
小的是几
答案
六个数分别是46 47 48 96 97 98

甲乙两地相距420千米,其中一段路面铺了柏油,另一段是泥土路.一辆汽车从甲
地驶到乙地用了8小 时,已知在柏油路上行驶的速度是每小时60千米,而在泥土
路上的行驶速度是每小时40千米.泥土路 长多少千米?

答案
两段路所用时间共8小时。

柏油路时间：（420－x）÷60

泥土路时间： x÷40

7-(x÷60)+(x÷40)=8
有x÷120=1
所以x=120

一少先队中队去野营,炊事员问多少人,中队长答: 一个人一个碗,两个人一只菜
碗,三个人一只汤碗,放在你这儿有55只碗,你算算有多少人?
设有x个人
x＋x／2＋x／3＝55
x＝30


学校购买840本图书分给高、中、低三个年级段，高年级段分的是低年级段的2
倍，中年级段分的是低 年级段的3倍少120本。三个年级段各分得多少本图书？
设低年级段分得x本书，则高年级段分得2x本,中年级段分得（3x-120）本
x+2x+3x-120=840
6x-120=840
6x=840+120
6x=960
x=9606
x=160
高年级段为：160*2=320( 本) 中年级段为：160*3-120=360(本)
答：低年级段分得图书160本，中年级段分得图书360本，高年级段分得图书
320本.

学校田径组原来女生人数占13,后来又有6名女生参加进来,这样女生就占田径
组 总人数的49。现在田径组有女生多少人?
解 设 原来田径队男女生一共x人
13x+6= 49(x+6)
x=30
13x+6=30*13+6=16
女生16人

小华有连环画本数是小明
6
倍如果两人各再买
2
本那么小华所有本数是小明
4
倍两人原来各有连环画多少本？

解：设小华的有x本书
4(x+2)=6x+2
4x+8=6x+2
x=3
6x=18

小春一家四口人今年的年龄之和为147岁，爷 爷比爸爸大38岁，妈妈比小春大
27岁，爷爷的年龄是小春与妈妈年龄之和的2倍。小春一家四口人的 年龄各是
多少？
答案
1

设小春x岁，则妈妈x+27 岁，爷爷(x+x+27)*2=4x+54岁，爸爸4x+54-38=4x+16
岁
x+x+27+4x+54+4x+16=147,x=5
所以小春5岁，妈妈32岁，爷爷74岁，爸爸36岁。

2
爷爷+爸爸+（妈妈+小春）
=爷爷+（爷爷-38）+（爷爷2)=147
爷爷=74岁
爸爸=36岁
妈妈+小春=小春+27+小春=742=37
小春=5岁
妈妈=5+27=32岁
小春一家四口人的年龄各是74，36，32，5岁

3
(147+38)÷(2×2+1)=37(岁）
36×2＝74（岁） 爷爷的年龄
74－38＝36（岁） 爸爸的年龄
（37+27）÷2＝32（岁） 妈妈的年龄
32－27＝5（岁） 小华的年龄
甲乙两校共有22人参加竞赛，甲校参加人数的5分之 1比乙校参加人数的4分
之1少1人，甲乙两校各多少人参赛？
解：设甲校有x人参加，则乙校有（22-x）人参加。
0.2 x=（22-x）×0.25-1
0.2x=5.5-0.25x-1
0.45x=4.5
x=10
22-10=12（人）
答： 甲校有10人参加，乙校有12人参加。


在浓度为40%的盐水中加入千克水,浓度变为30%,再加入多千克盐,浓度变为
50%?
答案1
解
设原有盐水x千克，则有盐40％x千克，所以根据关系列出方程：
(40％x)(x＋1)＝30％ 得出x＝3，再设须加入y千克盐，则有方程：

（1.2＋y）(4+y)=50%得出y＝1.6

54比45多20％，算法，设所求为x，x（1＋20％）=54 算出结果45

答案2
设原有溶液为x千克，加入y千克盐后，浓度变为50%
由题意，得溶质为40%x，则有
40%x(x+5)=30%
解之得
x=15千克
则溶质有15*40%=6千克
由题意，得
（6+y）(15+5+y）=50%
解之得
y=8千克
故再加入8千克盐，浓度变为50%


某人到商店买红蓝两种钢笔，红钢 笔定价5元，蓝钢笔定价9元，由于购买量
较多，商店给予优惠，红钢笔八五折，蓝钢笔八折，结果此人 付的钱比原来节省
的18%，已知他买了蓝钢笔30枝，那么。他买了几支红钢笔？
答案

红笔买了x支。
（5x+30×9）×（1-18%)=5x×0.85+30×9×0.8
x=36.


甲说：“我乙丙共有100元。”乙说：“如果甲的钱是现有的6倍，我的钱是现 有
的13，丙的钱不变，我们仍有钱100元。”丙说：“我的钱都没有30元。”三人
原来各 有多少钱？
答案
乙的话表明：甲钱5倍与乙钱23一样多
所以，乙钱是3*5=15的倍数，甲钱是偶数

丙钱不足30，所以，甲乙钱和多于70，
而乙多于甲的6倍，
所以，乙多于60

设乙=75，甲=75*23÷5=10,丙=100-10-75=15
设乙=90，甲=90*23÷5=12,90+12>100,不行

所以，三人原来：甲10元，乙75元，丙15元

某厂 向银行申请甲乙两种贷款共
30
万，每年需支付利息
4
万元
,
甲种贷款年利率
为
12%
，乙种贷款年利率为
14%
，该厂申请甲 乙两种贷款金额各多少元？

答案
设：甲厂申请贷款金额x万元,则乙厂申请贷款金额（30-x）万元。
列式：x*0.12+(30-x)*0.14=4
化简：4.2-0.02x=4
0.02x=0.2
解得：x=10(万元)


某书店对顾客有一项优惠，凡购买同一种书100本以上，就按书价的90%收款。
某学校到书店购买甲 、乙两种书，其中乙种书的册数是甲种书册数的35只有甲
种书得到了90%的优惠。其中买甲种书所付 的钱数是买乙种书所付钱数的2倍。
已知乙种书每本1.5元，那么甲种书每本定价多少元？
答案
1
根据题意，
甲种超过了100本，乙种不到100 本
甲乙花的总钱数比为2:1
那么甲打折以前，和乙的总钱数比为：
（2÷0.9）：1=20:9
甲乙册数比为5:3
甲乙单价比为（20÷5）：（9÷3）=4:3
优惠前，甲种每本：1.5×43=2元

答案
2
答案
设甲买了x本,则乙为35x,x>100
买乙共付了:35x*1.5=0.9x元
则甲共付了:0.9x*2=1.8x元
所以甲优惠后每本为:1.8xx=1.8元
则优惠前:1.80.9=2元


两支成分不同的蜡烛,其中1支以均匀速度燃烧,2小时烧完,另一支可以燃烧3小
时,傍晚6时半同时点燃蜡烛，到什么1支剩余部分正好是另一支剩余的2倍？
答案
两支蜡烛分别设为A蜡烛和B蜡烛，其中A蜡烛是那支烧得快点的
A蜡烛，两小时烧完，那么每小时燃烧12
B蜡烛，三小时烧完，那么每小时燃烧13
设过了x小时以后，B蜡烛剩余的部分是A的两倍
2（1—x2）=1—x3
解得x=1.5

由于是6点半开始的，所以到8点的时候刚刚好


学校组织春游，同学们下午
1
点从学校出发，走了一段平路，爬了一座山后 按原
路返回，下午七点回到学校。已知他们的步行速度平路
4Km
小时，爬山
3Km
小时，下山为
6Km
小时，返回时间为
2.5
时。问：他们一 共行了多少路

答案1
设走的平路是X公里 山路是Y公里
因为1点到七点共用时间6小时 返回为2.5小时 则去时用3.5小时
Y3-Y6=1小时
Y=6公里
去时共用3.5小时 则X4+Y3=3.5 X=6
所以总路程为2（6+6）=24km
答案
2
解：春游共用时：7：00－1：00＝6（小时）
上山用时：6－2.5＝3.5（小时）
上山多用：3.5－2.5＝1（小时）
山路：（6－3）×1÷（3÷6）＝6（千米）
下山用时：6÷6＝1（小时）
平路：（2.5－1）×4＝6（千米）
单程走路：6＋6＝12（千米）
共走路：12×2＝24（千米）
答：他们共走24千米。




工程问题
1 ．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独开，
排一池水要10小 时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水
管丙，问水池注满还是要多少小时？
解：
120+116＝980表示甲乙的工作效率
980×5＝4580表示5小时后进水量
1-4580＝3580表示还要的进水量

3580÷（980-110）＝35表示还要35小时注满
答：5小时后还要35小时就能将水池注满。

2．修一条水渠，单独修，甲队需要 20天完成，乙队需要30天完成。如果两队合
作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲 队的工作效率是原来的
五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。现在计划16天修完这条水渠，< br>且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？
解：由题意得，甲的工效为120，乙 的工效为130，甲乙的合作工效为
120*45+130*910＝7100，可知甲乙合作工效>甲 的工效>乙的工效。
又因为，要求“两队合作的天数尽可能少”，所以应该让做的快的甲多做，16天 内
实在来不及的才应该让甲乙合作完成。只有这样才能“两队合作的天数尽可能
少”。
设合作时间为x天，则甲独做时间为（16-x）天
120*（16-x）+7100*x＝1
x＝10
答：甲乙最短合作10天

3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。现在先请甲、
丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时？
解：
由题意知，14表示甲乙合作1小时的工作量，15表示乙丙合作1小时的工作量
（14+15）×2＝910表示甲做了2小时、乙做了4小时、丙做了2小时的工作量。
根 据“甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成”可知甲做2小时、乙做6
小时、丙做2小时一共 的工作量为1。
所以1－910＝110表示乙做6-4＝2小时的工作量。
110÷2＝120表示乙的工作效率。
1÷120＝20小时表示乙单独完成需要20小时。
答：乙单独完成需要20小时。

4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交 替
轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，
第四天甲做， 这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做
这项工程需17天完成，甲单独做这项 工程要多少天完成？
解：由题意可知
1甲+1乙+1甲+1乙+……+1甲＝1
1乙+1甲+1乙+1甲+……+1乙+1甲×0.5＝1
（1甲表示甲的工作效率、1乙表 示乙的工作效率，最后结束必须如上所示，否
则第二种做法就不比第一种多0.5天）
1甲＝1乙+1甲×0.5（因为前面的工作量都相等）
得到1甲＝1乙×2
又因为1乙＝117
所以1甲＝217，甲等于17÷2＝8.5天

5 ．师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了12时，徒弟完成了120个。当师
傅完成了任务时，徒弟 完成了45这批零件共有多少个？
答案为300个
120÷（45÷2）＝300个 可以这样想：师傅第一次完成了12，第二次也是12，两次一共全部完工，那么
徒弟第二次后共完 成了45，可以推算出第一次完成了45的一半是25，刚好是
120个。

6．一 批树苗，如果分给男女生栽，平均每人栽6棵；如果单份给女生栽，平均
每人栽10棵。单份给男生栽， 平均每人栽几棵？
答案是15棵
算式：1÷（16-110）＝15棵

7．一个池上装有3根水管。甲管为进水管，乙管为出水管，20分钟可将满池水
放完 ，丙管也是出水管，30分钟可将满池水放完。现在先打开甲管，当水池水
刚溢出时，打开乙,丙两管用 了18分钟放完，当打开甲管注满水是，再打开乙管，
而不开丙管，多少分钟将水放完？
答案45分钟。
1÷（120+130）＝12 表示乙丙合作将满池水放完需要的分钟数。
112*（18-12）＝112*6＝12 表示乙丙合作将漫池水放完后，还多放了6分钟
的水，也就是甲18分钟进的水。
12÷18＝136 表示甲每分钟进水
最后就是1÷（120-136）＝45分钟。

8．某工程队需要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙队去
做， 要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如
期完成，问规定日期为几天？
答案为6天
解：
由“若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天 ，再由乙队单
独做，恰好如期完成，”可知：
乙做3天的工作量＝甲2天的工作量
即：甲乙的工作效率比是3：2
甲、乙分别做全部的的工作时间比是2：3
时间比的差是1份
实际时间的差是3天
所以3÷（3-2）×2＝6天，就是甲的时间，也就是规定日期
方程方法：
[1x+1（x+2）]×2+1（x+2）×（x-2）＝1
解得x＝6

9．两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小时，而点完一根细蜡烛要1小时，
一 天晚上停电，小芳同时点燃了这两根蜡烛看书，若干分钟后来点了，小芳将两
支蜡烛同时熄灭，发现粗蜡 烛的长是细蜡烛的2倍，问：停电多少分钟？
答案为40分钟。
解：设停电了x分钟
根据题意列方程
1-1120*x＝（1-160*x）*2
解得x＝40


二．鸡兔同笼问题
1．鸡与兔共100只,鸡的腿数比兔的腿数少28条,问鸡与兔各有几只?
解：
4*100＝400，400-0＝400 假设都是兔子，一共有400只兔子的脚，那么鸡的脚
为0只，鸡的脚比兔子的脚少400只。
400-28＝372 实际鸡的脚数比兔子的脚数只少28只，相差372只，这是为什么？
4+2＝6 这是因为只要将一只兔子换成一只鸡，兔子的总脚数就会减少4只（从
400只变 为396只），鸡的总脚数就会增加2只（从0只到2只），它们的相差数就会
少4+2＝6只（也就是 原来的相差数是400-0＝400，现在的相差数为396-2＝394，
相差数少了400-394 ＝6）
372÷6＝62 表示鸡的只数，也就是说因为假设中的100只兔子中有62只改为了鸡，所以脚的相差数从400改为28，一共改了372只
100-62＝38表示兔的只数




三．数字数位问题

1．把1至2 005这2005个自然数依次写下来得到一个多位数123456789.....2005,
这个多 位数除以9余数是多少?
解：
首先研究能被9整除的数的特点：如果各个数位上的数字之和 能被9整除，那么
这个数也能被9整除；如果各个位数字之和不能被9整除，那么得的余数就是这
个数除以9得的余数。
解题：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；45能被9整除
依次类推：1~1999这些数的个位上的数字之和可以被9整除
10~19，20~29… …90~99这些数中十位上的数字都出现了10次，那么十位上的
数字之和就是10+20+30+… …+90=450 它有能被9整除
同样的道理，100~900 百位上的数字之和为4500 同样被9整除
也就是说1~999这些连续的自然数的各个位上的数字之和可以被9整除；
同样的道理：1000~1999这些连续的自然数中百位、十位、个位 上的数字之和
可以被9整除（这里千位上的“1”还没考虑，同时这里我们少
2
从1000~1999千位上一共999个“1”的和是999，也能整除；
2的各位数字之和是27，也刚好整除。
最后答案为余数为0。

2．A和B是小于100的两个非零的不同自然数。求A+B分之A-B的最小值...
解：
(A-B)(A+B) = (A+B - 2B)(A+B) = 1 - 2 * B(A+B)
前面的 1 不会变了，只需求后面的最小值，此时 (A-B)(A+B) 最大。
对于 B (A+B) 取最小时，(A+B)B 取最大，
问题转化为求 (A+B)B 的最大值。
(A+B)B = 1 + AB ，最大的可能性是 AB = 991
(A+B)B = 100
(A-B)(A+B) 的最大值是： 98 100

3．已知A.B.C都是非0自然数,A2 + B4 + C16的近似值市6.4,那么它的准确值
是多少?
答案为6.375或6.4375
因为A2 + B4 + C16＝8A+4B+C16≈6.4，
所以8A+4B+C≈1 02.4，由于A、B、C为非0自然数，因此8A+4B+C为一个整数，
可能是102，也有可能是 103。
当是102时，10216＝6.375
当是103时，10316＝6.4375

4．一个三位数的各位数字 之和是1 7.其中十位数字比个位数字大1.如果把这个
三位数的百位数字与个位数字对调,得到一个新的三位数 ,则新的三位数比原三位
数大198,求原数.
答案为476
解：设原数个位为a，则十位为a+1，百位为16-2a
根据题意列方程100a+10a+16-2a－100（16-2a）-10a-a＝198
解得a＝6，则a+1＝7 16-2a＝4
答：原数为476。

5． 一个两位数,在它的前面写上3,所组成的三位数比原两位数的7倍多24,求原来
的两位数.
答案为24
解：设该两位数为a，则该三位数为300+a
7a+24＝300+a
a＝24
答：该两位数为24。

6 ．把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数,它与原数相加,和

恰好是某 自然数的平方,这个和是多少?
答案为121
解：设原两位数为10a+b，则新两位数为10b+a
它们的和就是10a+b+10b+a＝11（a+b）
因为这个和是一个平方数，可以确定a+b＝11
因此这个和就是11×11＝121
答：它们的和为121。

7．一个六位数的末位数字是2,如果把2移到首位,原数就是新数的3倍,求原数.
答案为85714
解：设原六位数为abcde2，则新六位数为2abcde（字母上无法 加横线，请将整
个看成一个六位数）
再设abcde（五位数）为x，则原六位数就是10x+2，新六位数就是200000+x
根据题意得，（200000+x）×3＝10x+2
解得x＝85714
所以原数就是857142
答：原数为857142

8．有一个四位数 ,个位数字与百位数字的和是12,十位数字与千位数字的和是9,
如果个位数字与百位数字互换,千位 数字与十位数字互换,新数就比原数增加
2376,求原数.
答案为3963
解：设原四位数为abcd，则新数为cdab，且d+b＝12，a+c＝9
根据“新数就比原数增加2376”可知abcd+2376=cdab,列竖式便于观察
abcd
2376
cdab
根据d+b＝12，可知d、b可能是3、9；4、8；5、7；6、6。

再观察竖式中的个位，便可以知道只有当d＝3，b＝9；或d＝8，b＝4时成立。
先取d＝3，b＝9代入竖式的百位，可以确定十位上有进位。
根据a+c＝9，可知a、c可能是1、8；2、7；3、6；4、5。
再观察竖式中的十位，便可知只有当c＝6，a＝3时成立。
再代入竖式的千位，成立。
得到：abcd＝3963
再取d＝8，b＝4代入竖式的十位，无法找到竖式的十位合适的数，所以不成立。

9．有一个两位数,如果用它去除以个位数字,商为9余数为6,如果用这个两位数除
以个位数字与十 位数字之和,则商为5余数为3,求这个两位数.
解：设这个两位数为ab
10a+b＝9b+6
10a+b＝5（a+b）+3
化简得到一样：5a+4b＝3
由于a、b均为一位整数
得到a＝3或7，b＝3或8
原数为33或78均可以

10．如果现在 是上午的10点21分,那么在经过28799...99(一共有20个9)分钟之后
的时间将是几点 几分?
答案是10：20
解：
（28799……9（20个9）+1）6024 整除，表示正好过了整数天，时间仍然还是
10：21，因为事先计算时加了1分钟，所以现在时间是1 0：20

四．排列组合问题
1．有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有（ ）
A 768种 B 32种 C 24种 D 2的10次方中

解：
根据乘法原理，分两步：
第一步是把5对夫妻看作5个整体，进行排列有5×4×3×2×1＝120种不同的排法，
但 是因为是围成一个首尾相接的圈，就会产生5个5个重复，因此实际排法只有
120÷5＝24种。 < br>第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫妻均有2种排法，
总共又2×2×2 ×2×2＝32种
综合两步，就有24×32＝768种。

2 若把英语单词hello的字母写错了,则可能出现的错误共有 ( )
A 119种 B 36种 C 59种 D 48种
解：
5全排列5*4*3*2*1=120
有两个l所以1202=60
原来有一种正确的所以60-1=59





五．容斥原理问题
1． 有100种赤贫.其中含钙的有6 8种,含铁的有43种,那么,同时含钙和铁的食品种
类的最大值和最小值分别是( )
A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11
解：根据容斥原理最小值68+43-100＝11
最大值就是含铁的有43种

2．在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学

生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解
出第三题 的人数的2倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人
数多1人;(4)只解出一道 题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题
的学生人数是( )
A，5 B，6 C，7 D，8
解：根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为7类：只答第1题，< br>只答第2题，只答第3题，只答第1、2题，只答第1、3题，只答2、3题，答1、2、
3题。
分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123
由（1）知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123＝25…①
由（2）知：a2+a23＝（a3+ a23）×2……②
由（3）知：a12+a13+a123＝a1－1……③
由（4）知：a1＝a2+a3……④
再由②得a23＝a2－a3×2……⑤
再由③④得a12+a13+a123＝a2+a3－1⑥
然后将④⑤⑥代入①中，整理得到
a2×4+a3＝26
由于a2、a3均表示人数，可以求出它们的整数解：
当a2＝6、5、4、3、2、1时，a3＝2、6、10、14、18、22
又根据a23＝a2－a3×2……⑤可知：a2>a3
因此，符合条件的只有a2＝6，a3＝2。
然后可以推出a1＝8，a12+a13+a1 23＝7，a23＝2，总人数＝8+6+2+7+2＝25，
检验所有条件均符。
故只解出第二题的学生人数a2＝6人。

3．一次考试共有5道试题。做对第1、 2、3、、4、5题的分别占参加考试人数的
95%、80%、79%、74%、85%。如果做对三道 或三道以上为合格，那么这次考
试的合格率至少是多少？

答案：及格率至少为71％。
假设一共有100人考试
100-95＝5
100-80＝20
100-79＝21
100-74＝26
100-85＝15
5+20+21+26+15＝87（表示5题中有1题做错的最多人数）
87÷3＝29（表示5题中有3题做错的最多人数，即不及格的人数最多为29人）
100-29＝71（及格的最少人数，其实都是全对的）
及格率至少为71％


六．抽屉原理、奇偶性问题
1．一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套，颜色 有黑、红、蓝、黄四种，
问最少要摸出几只手套才能保证有3副同色的？
解：可以把四种不同 的颜色看成是4个抽屉，把手套看成是元素，要保证有一副
同色的，就是1个抽屉里至少有2只手套，根 据抽屉原理，最少要摸出5只手套。
这时拿出1副同色的后4个抽屉中还剩3只手套。再根据抽屉原理， 只要再摸出2
只手套，又能保证有一副手套是同色的，以此类推。
把四种颜色看做4个抽屉， 要保证有3副同色的，先考虑保证有1副就要摸出5只
手套。这时拿出1副同色的后，4个抽屉中还剩下 3只手套。根据抽屉原理，只要
再摸出2只手套，又能保证有1副是同色的。以此类推，要保证有3副同 色的，共
摸出的手套有：5+2+2=9（只）
答：最少要摸出9只手套，才能保证有3副同色的。

2．有四种颜色的积木若干， 每人可任取1-2件，至少有几个人去取，才能保证有
3人能取得完全一样？

答案为21
解：
每人取1件时有4种不同的取法,每人取2件时,有6种不同的取法.
当有11人时,能保证至少有2人取得完全一样:
当有21人时,才能保证到少有3人取得完全一样.

3．某盒子内装50只球，其 中10只是红色，10只是绿色，10只是黄色，10只是
蓝色，其余是白球和黑球，为了确保取出的球 中至少包含有7只同色的球，问：
最少必须从袋中取出多少只球？
解：需要分情况讨论，因为无法确定其中黑球与白球的个数。
当黑球或白球其中没有大于或等于7个的，那么就是：
6*4+10+1=35(个)
如果黑球或白球其中有等于7个的，那么就是：
6*5+3+1＝34（个）
如果黑球或白球其中有等于8个的，那么就是：
6*5+2+1＝33
如果黑球或白球其中有等于9个的，那么就是：
6*5+1+1＝32

4．地上有四堆石子，石子数分别是1、9、15、31如果每次从其中的三堆同时各
取出1个，然后都 放入第四堆中，那么，能否经过若干次操作，使得这四堆石子
的个数都相同?（如果能请说明具体操作， 不能则要说明理由）
不可能。
因为总数为1+9+15+31＝56
564＝14
14是一个偶数
而原来1、9、15、31都是奇数，取出1个和放 入3个也都是奇数，奇数加减若干
次奇数后，结果一定还是奇数，不可能得到偶数（14个）。

七．路程问题
1．狗跑5步的时间马跑3步，马跑4步的距离狗跑 7步，现在狗已跑出30米，马开
始追它。问：狗再跑多远，马可以追上它？
解：
根据“马跑4步的距离狗跑7步”，可以设马每步长为7x米，则狗每步长为4x米。
根据“ 狗跑5步的时间马跑3步”，可知同一时间马跑3*7x米＝21x米，则狗跑5*4x
＝20米。
可以得出马与狗的速度比是21x：20x＝21：20
根据“现在狗已跑出30米”，可以 知道狗与马相差的路程是30米，他们相差的份
数是21-20＝1，现在求马的21份是多少路程，就 是 30÷（21-20）×21＝630米

2．甲乙辆车同时从a b两地相对开出，几 小时后再距中点40千米处相遇？已知，
甲车行完全程要8小时，乙车行完全程要10小时，求a b 两地相距多少千米？
答案720千米。
由“甲车行完全程要8小时，乙车行完全程要10小 时”可知，相遇时甲行了10份，
乙行了8份（总路程为18份），两车相差2份。又因为两车在中点4 0千米处相遇，
说明两车的路程差是（40+40）千米。所以算式是（40+40）÷（10-8）× （10+8）
＝720千米。

3．在一个600米的环形跑道上，兄两人同时从同 一个起点按顺时针方向跑步，
两人每隔12分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出 发，
哥哥改为按逆时针方向跑，则两人每隔4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分
钟？
答案为两人跑一圈各要6分钟和12分钟。
解：
600÷12=50，表示哥哥、弟弟的速度差
600÷4=150，表示哥哥、弟弟的速度和

（50+150）÷2=100，表示较快的速度，方法是求和差问题中的较大数
（150-50）2=50，表示较慢的速度，方法是求和差问题中的较小数
600÷100=6分钟，表示跑的快者用的时间
60050=12分钟，表示跑得慢者用的时间

4．慢车车长125米，车速每秒 行17米，快车车长140米，车速每秒行22米，慢
车在前面行驶，快车从后面追上来，那么，快车从 追上慢车的车尾到完全超过慢
车需要多少时间？
答案为53秒
算式是（140+125)÷(22-17)=53秒
可以这样理解：“快车从追上慢车的车 尾到完全超过慢车”就是快车车尾上的点追
及慢车车头的点，因此追及的路程应该为两个车长的和。

5．在300米长的环形跑道上，甲乙两个人同时同向并排起跑，甲平均速度是每
秒 5米，乙平均速度是每秒4.4米，两人起跑后的第一次相遇在起跑线前几米？
答案为100米
300÷（5-4.4）＝500秒，表示追及时间
5×500＝2500米，表示甲追到乙时所行的路程
2500÷300＝8圈……100米 ，表示甲追及总路程为8圈还多100米，就是在原来起
跑线的前方100米处相遇。
6．一个人在铁道边，听见远处传来的火车汽笛声后，在经过57秒火车经过她前
面，已知火车鸣笛 时离他1360米，(轨道是直的),声音每秒传340米，求火车的速
度（得出保留整数）
答案为22米秒
算式：1360÷(1360÷340+57）≈22米秒
关键理 解：人在听到声音后57秒才车到，说明人听到声音时车已经从发声音的
地方行出1360÷340＝4 秒的路程。也就是1360米一共用了4+57＝61秒。

7．猎犬发现在 离它10米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去，猎犬的
步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9 步，但是兔子的动作快，猎犬跑2步的时间，
兔子却能跑3步，问猎犬至少跑多少米才能追上兔子。
正确的答案是猎犬至少跑60米才能追上。
解：
由“猎犬跑5步的路程，兔子要跑 9步”可知当猎犬每步a米，则兔子每步59米。
由“猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步”可知同一时 间，猎犬跑2a米，兔子可跑
59a*3＝53a米。从而可知猎犬与兔子的速度比是2a：53a＝6 ：5，也就是说
当猎犬跑60米时候，兔子跑50米，本来相差的10米刚好追完

8． AB两地,甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是4:5,如果甲乙二人分别
同时从 AB两地相对行使,40分钟后两人相遇,相遇后各自继续前行,这样，乙到达
A地比甲到达B地要晚多 少分钟?
答案：18分钟
解：设全程为1,甲的速度为x乙的速度为y
列式40x+40y=1
x:y=5:4
得x=172 y=190
走完全程甲需72分钟,乙需90分钟
故得解
9．甲乙两车同时从AB两地相对开 出。第一次相遇后两车继续行驶，各自到达
对方出发点后立即返回。第二次相遇时离B地的距离是AB全 程的15。已知甲
车在第一次相遇时行了120千米。AB两地相距多少千米？
答案是300千米。
解：通过画线段图可知，两个人第一次相遇时一共行了1个AB的路程， 从开始
到第二次相遇，一共又行了3个AB的路程，可以推算出甲、乙各自共所行的路
程分别是 第一次相遇前各自所走的路程的3倍。即甲共走的路程是120*3＝360千

米，从线 段图可以看出，甲一共走了全程的（1+15）。
因此360÷（1+15）＝300千米

从A地到B地，甲、乙两人骑自行车分别需要4小时、6小时，现在甲乙分别AB
两地同时出发 相向而行，相遇时距AB两地中点2千米。如果二人分别至B地，
A地后都立即折回。第二次相遇点第一 次相遇点之间有（）千米

10．一船以同样速度往返于两地之间，它顺流需要6小时;逆流 8小时。如果水流
速度是每小时2千米，求两地间的距离？
解：（16-18）÷2＝148表示水速的分率
2÷148＝96千米表示总路程

11．快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，快车每小时行33千米，相遇是已行
了 全程的七分之四，已知慢车行完全程需要8小时，求甲乙两地的路程。
解：
相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是4：3
时间比为3：4
所以快车行全程的时间为84*3＝6小时
6*33＝198千米

12 ．小华从甲地到乙地,3分之1骑车,3分之2乘车;从乙地返回甲地,5分之3骑车,5
分之2乘车, 结果慢了半小时.已知,骑车每小时12千米,乘车每小时30千米,问:甲乙
两地相距多少千米?
解：
把路程看成1，得到时间系数
去时时间系数：13÷12+23÷30
返回时间系数：35÷12+25÷30
两者之差：（35÷12+25÷30）-（13÷12+23÷30）=175相当于12小时

去时时间：12×（13÷12）÷175和12×（23÷30）175
路 程：12×〔12×（13÷12）÷175〕+30×〔12×（23÷30）175〕=37.5（千米）

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