第三军医大学研究生院-工作总结开头

1．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管
单独开， 排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，
再打开排水管丙，问水池注满还是 要多少小时？
解：120+116＝980表示甲乙的工作效率980×5＝4580表示5小时后< br>进水量1-4580＝3580表示还要的进水量3580÷（980-110）＝35表示还
要 35小时注满答：5小时后还要35小时就能将水池注满。
2．修一条水渠，单独修，甲队需要20天 完成，乙队需要30天完成。如果
两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工 作效率
是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。现在计划16天修完这
条水渠， 且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？
解：由题意得，甲的工效为120，乙的工效 为130，甲乙的合作工效为
120*45+130*910＝7100，可知甲乙合作工效>甲的工效 >乙的工效。又因为，
要求“两队合作的天数尽可能少”，所以应该让做的快的甲多做，16天内实在< br>来不及的才应该让甲乙合作完成。只有这样才能“两队合作的天数尽可能少”。
设合作时间为x天 ，则甲独做时间为（16-x）天
120*（16-x）+7100*x＝1 x＝10答：甲乙最短合作10天
3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成 。现在
先请甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作
要多少小时 ？
解：由题意知，14表示甲乙合作1小时的工作量，15表示乙丙合作1小
时的工作量（1 4+15）×2＝910表示甲做了2小时、乙做了4小时、丙做了
2小时的工作量。根据“甲、丙合做 2小时后，余下的乙还需做6小时完成”可
知甲做2小时、乙做6小时、丙做2小时一共的工作量为1。 所以1－910＝110
表示乙做6-4＝2小时的工作量。110÷2＝120表示乙的工作效率。1 ÷120
＝20小时表示乙单独完成需要20小时。答：乙单独完成需要20小时。
4．一项 工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样
交替轮流做，那么恰好用整数天完工； 如果第一天乙做，第二天甲做，第三天
乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多 半天。已知
乙单独做这项工程需17天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？
解：由题意可 知1甲+1乙+1甲+1乙+……+1甲＝11乙+1甲+1乙+1
甲+……+1乙+1甲×0.5＝1 （1甲表示甲的工作效率、1乙表示乙的工作效率，
最后结束必须如上所示，否则第二种做法就不比第一 种多0.5天）1甲＝1乙
1

+1甲×0.5（因为前面的工作量 都相等）得到1甲＝1乙×2又因为1乙＝117
所以1甲＝217，甲等于17÷2＝8.5天 5．师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了12时，徒弟完成了120个。
当师傅完成了任务时 ，徒弟完成了45这批零件共有多少个？
答案为300个120÷（45÷2）＝300个可以这样想 ：师傅第一次完成了12，
第二次也是12，两次一共全部完工，那么徒弟第二次后共完成了45，可以 推
算出第一次完成了45的一半是25，刚好是120个。
6．一批树苗，如果分给男女生栽 ，平均每人栽6棵；如果单份给女生栽，
平均每人栽10棵。单份给男生栽，平均每人栽几棵？
答案是15棵算式：1÷（16-110）＝15棵
7．一个池上装有3根水管。甲管为进水 管，乙管为出水管，20分钟可将满
池水放完，丙管也是出水管，30分钟可将满池水放完。现在先打开 甲管，当水
池水刚溢出时，打开乙,丙两管用了18分钟放完，当打开甲管注满水是，再打
开乙 管，而不开丙管，多少分钟将水放完？
答案45分钟。1÷（120+130）＝12 表示乙丙合作将满池水放完需要的
分钟数。112*（18-12）＝112*6＝12 表示乙丙合作将漫池水放完后，还多
放了6分钟的水，也就是甲18分钟进的水。12÷18＝136 表示甲每分钟进水
最后就是1÷（120-136）＝45分钟。
8．某工程队需要在规定日 期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙
队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天 ，再由乙队单独做，
恰好如期完成，问规定日期为几天？
答案为6天解：由“若乙队去做，要 超过规定日期三天完成，若先由甲乙
合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，”可知：乙做3天的工 作量＝甲2
天的工作量即：甲乙的工作效率比是3：2甲、乙分别做全部的的工作时间比是
2： 3时间比的差是1份实际时间的差是3天所以3÷（3-2）×2＝6天，就是甲
的时间，也就是规定日 期方程方法：[1x+1（x+2）]×2+1（x+2）×（x-2）
＝1解得x＝6
9． 两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小时，而点完一根细蜡烛要1
小时，一天晚上停电，小芳同时点 燃了这两根蜡烛看书，若干分钟后来点了，
小芳将两支蜡烛同时熄灭，发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍， 问：停电多少分
钟？
答案为40分钟。解：设停电了x分钟根据题意列方程1-1120*x ＝
（1-160*x）*2解得x＝40
2

二．鸡兔同笼问题
1．鸡与兔共100只,鸡的腿数比兔的腿数少28条,问 鸡与兔各有几只?解：
4*100＝400，400-0＝400 假设都是兔子，一共有400只兔子 的脚，那么鸡的脚
为0只，鸡的脚比兔子的脚少400只。400-28＝372 实际鸡的脚数比兔子的脚
数只少28只，相差372只，这是为什么？
解：4+2＝6 这是 因为只要将一只兔子换成一只鸡，兔子的总脚数就会减少
4只（从400只变为396只），鸡的总脚数 就会增加2只（从0只到2只），它
们的相差数就会少4+2＝6只（也就是原来的相差数是400-0 ＝400，现在的相差
数为396-2＝394，相差数少了400-394＝6）372÷6＝62 表示鸡的只数，也就
是说因为假设中的100只兔子中有62只改为了鸡，所以脚的相差数从400改为
28，一共改了372只100-62＝38表示兔的只数
三．数字数位问题
1． 把1至2005这2005个自然数依次写下来得到一个多位数
123456789.....2005 ,这个多位数除以9余数是多少?
解：首先研究能被9整除的数的特点：如果各个数位上的数字之和能 被9
整除，那么这个数也能被9整除；如果各个位数字之和不能被9整除，那么得
的余数就是这 个数除以9得的余数。解题：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；45能被9
整除依次类推： 1~1999这些数的个位上的数字之和可以被9整除10~19，
20~29……90~99这些数中 十位上的数字都出现了10次，那么十位上的数字之和
就是10+20+30+……+90=450 它有能被9整除同样的道理，100~900 百位上的数
字之和为4500 同样被9整除也就是说1 ~999这些连续的自然数的各个位上的数
字之和可以被9整除；同样的道理：1000~1999这些 连续的自然数中百位、十位、
个位 上的数字之和可以被9整除（这里千位上的“1”还没考虑，同时这 里我
们少2从1000~1999千位上一共999个“1”的和是
999，也能整除；2的各 位数字之和是27，也刚好整
除。最后答案为余数为0。
2．A和B是小于100的两个非零的不同自然数。求A+B分之A-B的最小值...
解：(A-B)(A+B) = (A+B - 2B)(A+B) = 1 - 2 * B(A+B)前面的 1 不会
变了，只需求后面的最小值，此时 (A-B)(A+B) 最大。对于 B (A+B) 取最
小时，(A+B)B 取最大，问题转化为求 (A+B)B 的最大值。(A+B)B = 1 + AB ，
最大的可能性是 AB = 991(A+B)B = 100(A-B)(A+B) 的最大值是： 98 100
3．已知A.B.C都是非0自然数,A2 + B4 + C16的近似值市6.4,那么它
的准确值是多少?
3

答案为6.375或6.4375因为A2 + B4 + C16＝8A+4B+C1 6≈6.4，所以
8A+4B+C≈102.4，由于A、B、C为非0自然数，因此8A+4B+C为 一个整数，可
能是102，也有可能是103。当是102时，10216＝6.375当是103时， 10316
＝6.4375
4．一个三位数的各位数字之和是17.其中十位数字比个位数字 大1.如果把
这个三位数的百位数字与个位数字对调,得到一个新的三位数,则新的三位数比
原 三位数大198,求原数.
答案为476解：设原数个位为a，则十位为a+1，百位为16-2a根 据题意列
方程100a+10a+16-2a－100（16-2a）-10a-a＝198解得a＝6 ，则a+1＝7 16-2a
＝4答：原数为476。
5．一个两位数,在它的前面写上3, 所组成的三位数比原两位数的7倍多24,
求原来的两位数.
答案为24解：设该两位数为a ，则该三位数为300+a7a+24＝300+aa＝24答：
该两位数为24。
6．把一 个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数,它与原数相
加,和恰好是某自然数的平方,这个和 是多少?答案为121
解：设原两位数为10a+b，则新两位数为10b+a它们的和就是10a+ b+10b+a
＝11（a+b）因为这个和是一个平方数，可以确定a+b＝11因此这个和就是11 ×11
＝121答：它们的和为121。
7．一个六位数的末位数字是2,如果把2移到首位 ,原数就是新数的3倍,
求原数.答案为85714
解：设原六位数为abcde2，则新六 位数为2abcde（字母上无法加横线，请
将整个看成一个六位数）再设abcde（五位数）为x， 则原六位数就是10x+2，
新六位数就是200000+x根据题意得，（200000+x）×3＝ 10x+2解得x＝85714
所以原数就是857142 答：原数为857142
8．有 一个四位数,个位数字与百位数字的和是12,十位数字与千位数字的和
是9,如果个位数字与百位数字 互换,千位数字与十位数字互换,新数就比原数增
加2376,求原数。
答案为3963解： 设原四位数为abcd，则新数为cdab，且d+b＝12，a+c＝9
根据“新数就比原数增加23 76”可知abcd+2376=cdab,列竖式便于观察
abcd2376cdab根据d+b＝1 2，可知d、b可能是3、9；4、8；5、7；6、6。再观
察竖式中的个位，便可以知道只有当d＝ 3，b＝9；或d＝8，b＝4时成立。先取
d＝3，b＝9代入竖式的百位，可以确定十位上有进位。 根据a+c＝9，可知a、c
4

可能是1、8；2、7；3、6； 4、5。再观察竖式中的十位，便可知只有当c＝6，
a＝3时成立。再代入竖式的千位，成立。得到： abcd＝3963再取d＝8，b＝4
代入竖式的十位，无法找到竖式的十位合适的数，所以不成立。
9．有一个两位数,如果用它去除以个位数字,商为9余数为6,如果用这个两
位数除以个位数 字与十位数字之和,则商为5余数为3,求这个两位数.
解：设这个两位数为ab10a+b＝9b+ 610a+b＝5（a+b）+3化简得到一样：5a+4b
＝3由于a、b均为一位整数得到a＝3或 7，b＝3或8原数为33或78均可以
10．如果现在是上午的10点21分,那么在经过2879 9...99(一共有20个
9)分钟之后的时间将是几点几分?答案是10：20
解：（2 8799……9（20个9）+1）6024整除，表示正好过了整数天，时
间仍然还是10：21，因 为事先计算时加了1分钟，所以现在时间是10：20
四．排列组合问题
1．有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有（ ）
A 768种 B 32种 C 24种 D
2的10次方中解：根据乘法原理，分两步：第一步是把5对夫妻看作5个
整体，进行排列有5×4×3×2×1＝120种不同的排法，但是因为是围成一个首
尾相接的 圈，就会产生5个5个重复，因此实际排法只有120÷5＝24种。第二
步每一对夫妻之间又可以相互 换位置，也就是说每一对夫妻均有2种排法，总
共又2×2×2×2×2＝32种综合两步，就有24× 32＝768种。
2 若把英语单词hello的字母写错了,则可能出现的错误共有 ( )
A 119种 B 36种 C 59种 D 48种
解：5全排列5*4*3*2*1=1 20有两个l所以1202=60原来有一种正确的所
以60-1=59
五．容斥原理问题
1． 有100种赤贫.其中含钙的有68种,含铁的有43种,那么,同时含钙和
铁的食品种 类的最大值和最小值分别是( )
A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11
解：根据容斥原理最小值68+43-100＝11最大值就是含铁的有43种
2．在多元智 能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,
每个学生至少解出一道题;(2) 在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的
人数是解出第三题的人数的2倍:(3)只解出第一题的 学生比余下的学生中解出
第一题的人数多1人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题, 那么
只解出第二题的学生人数是( )A，5 B，6 C，7 D，8
5

解：根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为7类：只
答第1题， 只答第2题，只答第3题，只答第1、2题，只答第1、3题，只答2、
3题，答1、2、3题。分别设 各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123
由（1）知：a1+a2+a3+ a12+a13+a23+a123＝25…①由（2）知：a2+a23＝（a3+ a23）
×2… …②由（3）知：a12+a13+a123＝a1－1……③由（4）知：a1＝a2+a3……
④再 由②得a23＝a2－a3×2……⑤再由③④得a12+a13+a123＝a2+a3－1⑥然后
将 ④⑤⑥代入①中，整理得到a2×4+a3＝26由于a2、a3均表示人数，可以求
出它们的整数解： 当a2＝6、5、4、3、2、1时，a3＝2、6、10、14、18、22又
根据a23＝a2－a 3×2……⑤可知：a2>a3因此，符合条件的只有a2＝6，a3＝2。
然后可以推出a1＝8，a 12+a13+a123＝7，a23＝2，总人数＝8+6+2+7+2＝25，检
验所有条件均符。 故只解出第二题的学生人数a2＝6人。
3．一次考试共有5道试题。做对第1、2、3、、4、5题 的分别占参加考试
人数的95%、80%、79%、74%、85%。如果做对三道或三道以上为合格， 那么这次
考试的合格率至少是多少？
答案：及格率至少为71％。假设一共有100人考试1 00-95＝5100-80＝
20100-79＝21100-74＝26100-85＝155+2 0+21+26+15＝87（表示5题中有1题做
错的最多人数）87÷3＝29（表示5题中有3题 做错的最多人数，即不及格的人
数最多为29人）100-29＝71（及格的最少人数，其实都是全对 的）及格率至少
为71％
六．抽屉原理、奇偶性问题
1．一只布袋中装有大小相同 但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四
种，问最少要摸出几只手套才能保证有3副同色的？ 解：可以把四种不同的颜色看成是4个抽屉，把手套看成是元素，要保证
有一副同色的，就是1个抽 屉里至少有2只手套，根据抽屉原理，最少要摸出5
只手套。这时拿出1副同色的后4个抽屉中还剩3只 手套。再根据抽屉原理，
只要再摸出2只手套，又能保证有一副手套是同色的，以此类推。把四种颜色< br>看做4个抽屉，要保证有3副同色的，先考虑保证有1副就要摸出5只手套。
这时拿出1副同色的 后，4个抽屉中还剩下3只手套。根据抽屉原理，只要再摸
出2只手套，又能保证有1副是同色的。以此 类推，要保证有3副同色的，共
摸出的手套有：5+2+2=9（只）答：最少要摸出9只手套，才能保 证有3副同色
的。
2．有四种颜色的积木若干，每人可任取1-2件，至少有几个人去取，才 能
保证有3人能取得完全一样？
6

答案为21解：每人 取1件时有4种不同的取法,每人取2件时,有6种不同
的取法.当有11人时,能保证至少有2人取得 完全一样:当有21人时,才能保证
到少有3人取得完全一样.
3．某盒子内装50只球，其 中10只是红色，10只是绿色，10只是黄色，
10只是蓝色，其余是白球和黑球，为了确保取出的球 中至少包含有7只同色的
球，问：最少必须从袋中取出多少只球？
解：需要分情况讨论，因为 无法确定其中黑球与白球的个数。当黑球或白
球其中没有大于或等于7个的，那么就是：6*4+10+ 1=35(个)如果黑球或白球其
中有等于7个的，那么就是：6*5+3+1＝34（个）如果黑球或 白球其中有等于8
个的，那么就是：6*5+2+1＝33如果黑球或白球其中有等于9个的，那么就是 ：
6*5+1+1＝324．地上有四堆石子，石子数分别是1、9、15、31如果每次从其中
的三堆同时各取出1个，然后都放入第四堆中，那么，能否经过若干次操作，
使得这四堆石子的个数都 相同?（如果能请说明具体操作，不能则要说明理由）
不可能。因为总数为1+9+15+31＝565 64＝1414是一个偶数而原来1、9、15、
31都是奇数，取出1个和放入3个也都是奇数，奇数 加减若干次奇数后，结果
一定还是奇数，不可能得到偶数（14个）。
七．路程问题
1．狗跑5步的时间马跑3步，马跑4步的距离狗跑7步，现在狗已跑出30
米，马开始追它。问：狗 再跑多远，马可以追上它？
解：根据“马跑4步的距离狗跑7步”，可以设马每步长为7x米，则狗每
步长为4x米。根据“狗跑5步的时间马跑3步”，可知同一时间马跑3*7x米
＝21x米， 则狗跑5*4x＝20米。可以得出马与狗的速度比是21x：20x＝21：20
根据“现在狗已跑出 30米”，可以知道狗与马相差的路程是30米，他们相差
的份数是21-20＝1，现在求马的21份 是多少路程，就是 30÷（21-20）×21
＝630米
2．甲乙辆车同时从a b两地 相对开出，几小时后再距中点40千米处相遇？
已知，甲车行完全程要8小时，乙车行完全程要10小时 ，求a b 两地相距多少
千米？
答案720千米。由“甲车行完全程要8小时，乙车行完全 程要10小时”可
知，相遇时甲行了10份，乙行了8份（总路程为18份），两车相差2份。又
因为两车在中点40千米处相遇，说明两车的路程差是（40+40）千米。所以算
式是（40+40 ）÷（10-8）×（10+8）＝720千米。
7

3．在一个 600米的环形跑道上，兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑
步，两人每隔12分钟相遇一次，若两 个人速度不变，还是在原来出发点同时出
发，哥哥改为按逆时针方向跑，则两人每隔4分钟相遇一次，两 人跑一圈各要
多少分钟？
答案为两人跑一圈各要6分钟和12分钟。解：600÷12=50 ，表示哥哥、弟
弟的速度差600÷4=150，表示哥哥、弟弟的速度和（50+150）÷2=10 0，表示较
快的速度，方法是求和差问题中的较大数（150-50）2=50，表示较慢的速度，方法是求和差问题中的较小数600÷100=6分钟，表示跑的快者用的时间
60050=12分 钟，表示跑得慢者用的时间
4．慢车车长125米，车速每秒行17米，快车车长140米，车速每秒 行22
米，慢车在前面行驶，快车从后面追上来，那么，快车从追上慢车的车尾到完
全超过慢车 需要多少时间？
答案为53秒算式是（140+125)÷(22-17)=53秒可以这样理解：“ 快车从追
上慢车的车尾到完全超过慢车”就是快车车尾上的点追及慢车车头的点，因此
追及的路 程应该为两个车长的和。
5．在300米长的环形跑道上，甲乙两个人同时同向并排起跑，甲平均速度
是每秒5米，乙平均速度是每秒4.4米，两人起跑后的第一次相遇在起跑线前
几米？
答案为100米300÷（5-4.4）＝500秒，表示追及时间5×500＝2500米，
表示甲 追到乙时所行的路程2500÷300＝8圈……100米，表示甲追及总路程为
8圈还多100米，就 是在原来起跑线的前方100米处相遇。
6．一个人在铁道边，听见远处传来的火车汽笛声后，在经过 57秒火车经
过她前面，已知火车鸣笛时离他1360米，(轨道是直的),声音每秒传340米，求火车的速度（得出保留整数）答案为22米秒算式：1360÷(1360÷340+57）
≈2 2米秒关键理解：人在听到声音后57秒才车到，说明人听到声音时车已经
从发声音的地方行出1360 ÷340＝4秒的路程。也就是1360米一共用了4+57＝
61秒。
7．猎犬发现在离它 10米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去，
猎犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步， 但是兔子的动作快，猎犬跑2
步的时间，兔子却能跑3步，问猎犬至少跑多少米才能追上兔子。正确的答 案
是猎犬至少跑60米才能追上。
解：由“猎犬跑5步的路程，兔子要跑9步”可知当猎犬每 步a米，则兔
子每步59米。由“猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步”可知同一时间，猎
8

犬跑2a米，兔子可跑59a*3＝53a米。从而可知猎犬与兔子的速度比 是2a：
53a＝6：5，也就是说当猎犬跑60米时候，兔子跑50米，本来相差的10米刚
好追完
8． AB两地,甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是4:5,如果甲乙二
人分 别同时从AB两地相对行使,40分钟后两人相遇,相遇后各自继续前行,这样，
乙到达A地比甲到达B 地要晚多少分钟?
答案：18分钟解：设全程为1,甲的速度为x乙的速度为y列式
40x+ 40y=1x:y=5:4得x=172 y=190走完全程甲需72分钟,乙需90分钟故得解
9 ．甲乙两车同时从AB两地相对开出。第一次相遇后两车继续行驶，各自
到达对方出发点后立即返回。第 二次相遇时离B地的距离是AB全程的15。已
知甲车在第一次相遇时行了120千米。AB两地相距多 少千米？
答案是300千米。解：通过画线段图可知，两个人第一次相遇时一共行了1
个AB 的路程，从开始到第二次相遇，一共又行了3个AB的路程，可以推算出
甲、乙各自共所行的路程分别是 第一次相遇前各自所走的路程的3倍。即甲共
走的路程是120*3＝360千米，从线段图可以看出， 甲一共走了全程的（1+15）。
因此360÷（1+15）＝300千米从A地到B地，甲、乙两人骑 自行车分别需要4
小时、6小时，现在甲乙分别AB两地同时出发相向而行，相遇时距AB两地中点2千米。如果二人分别至B地，A地后都立即折回。第二次相遇点第一次相遇点
之间有（）千米 < br>10．一船以同样速度往返于两地之间，它顺流需要6小时;逆流8小时。如
果水流速度是每小时 2千米，求两地间的距离？
解：（16-18）÷2＝148表示水速的分率2÷148＝96千米表示总路程
11．快 车和慢车同时从甲乙两地相对开出，快车每小时行33千米，相遇是
已行了全程的七分之四，已知慢车行 完全程需要8小时，求甲乙两地的路程。
解：相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是4：3 时间比为3：4
所以快车行全程的时间为84*3＝6小时6*33＝198千米
12．小华 从甲地到乙地,3分之1骑车,3分之2乘车;从乙地返回甲地,5分
之3骑车,5分之2乘车,结果慢 了半小时.已知,骑车每小时12千米,乘车每小时
30千米,问:甲乙两地相距多少千米?
解：把路程看成1，得到时间系数去时时间系数：13÷12+23÷30返回时
间系数：35÷12+ 25÷30两者之差：（35÷12+25÷30）-（13÷12+23÷30）
=175相当于12 小时去时时间：12×（13÷12）÷175和12×（23÷30）
9

175路程：12×〔12×（13÷12）÷175〕+30×〔12×（23÷30）175〕=37.5（千米）
八．比例问题
1．甲乙两人在河边钓鱼,甲钓了三条,乙钓了两条 ,正准备吃,有一个人请求
跟他们一起吃,于是三人将五条鱼平分了,为了表示感谢,过路人留下10元 ,甲、
乙怎么分？
答案：甲收8元，乙收2元。解：“三人将五条鱼平分，客人拿出10元” ，
可以理解为五条鱼总价值为30元，那么每条鱼价值6元。又因为“甲钓了三
条”，相当于甲 吃之前已经出资3*6＝18元，“乙钓了两条”，相当于乙吃之
前已经出资2*6＝12元。而甲乙两 人吃了的价值都是10元，所以甲还可以收回
18-10＝8元乙还可以收回12-10＝2元刚好就是 客人出的钱。
2．一种商品，今年的成本比去年增加了10分之1，但仍保持原售价，因此，
每份利润下降了5分之2，那么，今年这种商品的成本占售价的几分之几？
答案2225最好画线段图 思考：把去年原来成本看成20份，利润看成5份，
则今年的成本提高110，就是22份，利润下降了 25，今年的利润只有3份。
增加的成本2份刚好是下降利润的2份。售价都是25份。所以，今年的成 本占
售价的2225。
3．甲乙两车分别从A.B两地出发,相向而行,出发时,甲.乙的速 度比是5:4,
相遇后,甲的速度减少20%,乙的速度增加20%,这样,当甲到达B地时,乙离A地
还有10千米,那么A.B两地相距多少千米?
解：原来甲.乙的速度比是5:4现在的甲： 5×（1-20％）＝4现在的乙：4×
（1+20％）4.8甲到B后，乙离A还有：5-4.8＝0 .2总路程：10÷0.2×（4+5）
＝450千米
4．一个圆柱的底面周长减少25%， 要使体积增加13，现在的高和原来的
高度比是多少？答案为64：27
解：根据“周长减少 25％”，可知周长是原来的34，那么半径也是原来
的34，则面积是原来的916。根据“体积增加 13”，可知体积是原来的43。
体积÷底面积＝高现在的高是43÷916＝6427，也就是说现在 的高是原来的
高的6427或者现在的高：原来的高＝6427：1＝64：27
5．某市场 运来香蕉、苹果、橘子和梨四种水果其中橘子、苹果共30吨香
蕉、橘子和梨共45吨。橘子正好占总数 的13分之2。一共运来水果多少吨？
10

第二题：答案为65 吨橘子+苹果＝30吨香蕉+橘子+梨＝45吨所以橘子+苹
果+香蕉+橘子+梨＝75吨橘子÷（香蕉 +苹果+橘子+梨）＝213说明：橘子是2
份，香蕉+苹果+橘子+梨是13份橘子+香蕉+苹果+橘 子+梨一共是2+13＝15份

11

1．甲乙两个水 管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管
单独开，排一池水要10小时，若水池没 水，同时打开甲乙两水管，5小时后，
再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？
解：1 20+116＝980表示甲乙的工作效率980×5＝4580表示5小时后
进水量1-4580＝3 580表示还要的进水量3580÷（980-110）＝35表示还
要35小时注满答：5小时后还要 35小时就能将水池注满。
2．修一条水渠，单独修，甲队需要20天完成，乙队需要30天完成。如 果
两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率
是原来的五分之 四，乙队工作效率只有原来的十分之九。现在计划16天修完这
条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少 ，那么两队要合作几天？
解：由题意得，甲的工效为120，乙的工效为130，甲乙的合作工效为< br>120*45+130*910＝7100，可知甲乙合作工效>甲的工效>乙的工效。又因为，
要求“两队合作的天数尽可能少”，所以应该让做的快的甲多做，16天内实在
来不及的才应该让甲乙合 作完成。只有这样才能“两队合作的天数尽可能少”。
设合作时间为x天，则甲独做时间为（16-x） 天
120*（16-x）+7100*x＝1 x＝10答：甲乙最短合作10天
3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。现在
先请甲、丙合做2小时后， 余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作
要多少小时？
解：由题意知，14表示甲乙 合作1小时的工作量，15表示乙丙合作1小
时的工作量（14+15）×2＝910表示甲做了2小时 、乙做了4小时、丙做了
2小时的工作量。根据“甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成”可
知甲做2小时、乙做6小时、丙做2小时一共的工作量为1。所以1－910＝110
表示乙做 6-4＝2小时的工作量。110÷2＝120表示乙的工作效率。1÷120
＝20小时表示乙单独完 成需要20小时。答：乙单独完成需要20小时。
4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲 做，第四天乙做，这样
交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知
乙单独做这项工程需1 7天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？
解：由题意可知1甲+1乙+1甲+1乙+……+1甲＝ 11乙+1甲+1乙+1
甲+……+1乙+1甲×0.5＝1（1甲表示甲的工作效率、1乙表示乙的工 作效率，
最后结束必须如上所示，否则第二种做法就不比第一种多0.5天）1甲＝1乙
1

+1甲×0.5（因为前面的工作量都相等）得到1甲＝1乙×2又因为1乙 ＝117
所以1甲＝217，甲等于17÷2＝8.5天
5．师徒俩人加工同样多的零件。当 师傅完成了12时，徒弟完成了120个。
当师傅完成了任务时，徒弟完成了45这批零件共有多少个？
答案为300个120÷（45÷2）＝300个可以这样想：师傅第一次完成了12，
第二次 也是12，两次一共全部完工，那么徒弟第二次后共完成了45，可以推
算出第一次完成了45的一半是 25，刚好是120个。
6．一批树苗，如果分给男女生栽，平均每人栽6棵；如果单份给女生栽，< br>平均每人栽10棵。单份给男生栽，平均每人栽几棵？
答案是15棵算式：1÷（16-110）＝15棵
7．一个池上装有3根水管。甲管为进水 管，乙管为出水管，20分钟可将满
池水放完，丙管也是出水管，30分钟可将满池水放完。现在先打开 甲管，当水
池水刚溢出时，打开乙,丙两管用了18分钟放完，当打开甲管注满水是，再打
开乙 管，而不开丙管，多少分钟将水放完？
答案45分钟。1÷（120+130）＝12 表示乙丙合作将满池水放完需要的
分钟数。112*（18-12）＝112*6＝12 表示乙丙合作将漫池水放完后，还多
放了6分钟的水，也就是甲18分钟进的水。12÷18＝136 表示甲每分钟进水
最后就是1÷（120-136）＝45分钟。
8．某工程队需要在规定日 期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙
队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天 ，再由乙队单独做，
恰好如期完成，问规定日期为几天？
答案为6天解：由“若乙队去做，要 超过规定日期三天完成，若先由甲乙
合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，”可知：乙做3天的工 作量＝甲2
天的工作量即：甲乙的工作效率比是3：2甲、乙分别做全部的的工作时间比是
2： 3时间比的差是1份实际时间的差是3天所以3÷（3-2）×2＝6天，就是甲
的时间，也就是规定日 期方程方法：[1x+1（x+2）]×2+1（x+2）×（x-2）
＝1解得x＝6
9． 两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小时，而点完一根细蜡烛要1
小时，一天晚上停电，小芳同时点 燃了这两根蜡烛看书，若干分钟后来点了，
小芳将两支蜡烛同时熄灭，发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍， 问：停电多少分
钟？
答案为40分钟。解：设停电了x分钟根据题意列方程1-1120*x ＝
（1-160*x）*2解得x＝40
2

二．鸡兔同笼问题
1．鸡与兔共100只,鸡的腿数比兔的腿数少28条,问 鸡与兔各有几只?解：
4*100＝400，400-0＝400 假设都是兔子，一共有400只兔子 的脚，那么鸡的脚
为0只，鸡的脚比兔子的脚少400只。400-28＝372 实际鸡的脚数比兔子的脚
数只少28只，相差372只，这是为什么？
解：4+2＝6 这是 因为只要将一只兔子换成一只鸡，兔子的总脚数就会减少
4只（从400只变为396只），鸡的总脚数 就会增加2只（从0只到2只），它
们的相差数就会少4+2＝6只（也就是原来的相差数是400-0 ＝400，现在的相差
数为396-2＝394，相差数少了400-394＝6）372÷6＝62 表示鸡的只数，也就
是说因为假设中的100只兔子中有62只改为了鸡，所以脚的相差数从400改为
28，一共改了372只100-62＝38表示兔的只数
三．数字数位问题
1． 把1至2005这2005个自然数依次写下来得到一个多位数
123456789.....2005 ,这个多位数除以9余数是多少?
解：首先研究能被9整除的数的特点：如果各个数位上的数字之和能 被9
整除，那么这个数也能被9整除；如果各个位数字之和不能被9整除，那么得
的余数就是这 个数除以9得的余数。解题：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；45能被9
整除依次类推： 1~1999这些数的个位上的数字之和可以被9整除10~19，
20~29……90~99这些数中 十位上的数字都出现了10次，那么十位上的数字之和
就是10+20+30+……+90=450 它有能被9整除同样的道理，100~900 百位上的数
字之和为4500 同样被9整除也就是说1 ~999这些连续的自然数的各个位上的数
字之和可以被9整除；同样的道理：1000~1999这些 连续的自然数中百位、十位、
个位 上的数字之和可以被9整除（这里千位上的“1”还没考虑，同时这 里我
们少2从1000~1999千位上一共999个“1”的和是
999，也能整除；2的各 位数字之和是27，也刚好整
除。最后答案为余数为0。
2．A和B是小于100的两个非零的不同自然数。求A+B分之A-B的最小值...
解：(A-B)(A+B) = (A+B - 2B)(A+B) = 1 - 2 * B(A+B)前面的 1 不会
变了，只需求后面的最小值，此时 (A-B)(A+B) 最大。对于 B (A+B) 取最
小时，(A+B)B 取最大，问题转化为求 (A+B)B 的最大值。(A+B)B = 1 + AB ，
最大的可能性是 AB = 991(A+B)B = 100(A-B)(A+B) 的最大值是： 98 100
3．已知A.B.C都是非0自然数,A2 + B4 + C16的近似值市6.4,那么它
的准确值是多少?
3

答案为6.375或6.4375因为A2 + B4 + C16＝8A+4B+C1 6≈6.4，所以
8A+4B+C≈102.4，由于A、B、C为非0自然数，因此8A+4B+C为 一个整数，可
能是102，也有可能是103。当是102时，10216＝6.375当是103时， 10316
＝6.4375
4．一个三位数的各位数字之和是17.其中十位数字比个位数字 大1.如果把
这个三位数的百位数字与个位数字对调,得到一个新的三位数,则新的三位数比
原 三位数大198,求原数.
答案为476解：设原数个位为a，则十位为a+1，百位为16-2a根 据题意列
方程100a+10a+16-2a－100（16-2a）-10a-a＝198解得a＝6 ，则a+1＝7 16-2a
＝4答：原数为476。
5．一个两位数,在它的前面写上3, 所组成的三位数比原两位数的7倍多24,
求原来的两位数.
答案为24解：设该两位数为a ，则该三位数为300+a7a+24＝300+aa＝24答：
该两位数为24。
6．把一 个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数,它与原数相
加,和恰好是某自然数的平方,这个和 是多少?答案为121
解：设原两位数为10a+b，则新两位数为10b+a它们的和就是10a+ b+10b+a
＝11（a+b）因为这个和是一个平方数，可以确定a+b＝11因此这个和就是11 ×11
＝121答：它们的和为121。
7．一个六位数的末位数字是2,如果把2移到首位 ,原数就是新数的3倍,
求原数.答案为85714
解：设原六位数为abcde2，则新六 位数为2abcde（字母上无法加横线，请
将整个看成一个六位数）再设abcde（五位数）为x， 则原六位数就是10x+2，
新六位数就是200000+x根据题意得，（200000+x）×3＝ 10x+2解得x＝85714
所以原数就是857142 答：原数为857142
8．有 一个四位数,个位数字与百位数字的和是12,十位数字与千位数字的和
是9,如果个位数字与百位数字 互换,千位数字与十位数字互换,新数就比原数增
加2376,求原数。
答案为3963解： 设原四位数为abcd，则新数为cdab，且d+b＝12，a+c＝9
根据“新数就比原数增加23 76”可知abcd+2376=cdab,列竖式便于观察
abcd2376cdab根据d+b＝1 2，可知d、b可能是3、9；4、8；5、7；6、6。再观
察竖式中的个位，便可以知道只有当d＝ 3，b＝9；或d＝8，b＝4时成立。先取
d＝3，b＝9代入竖式的百位，可以确定十位上有进位。 根据a+c＝9，可知a、c
4

可能是1、8；2、7；3、6； 4、5。再观察竖式中的十位，便可知只有当c＝6，
a＝3时成立。再代入竖式的千位，成立。得到： abcd＝3963再取d＝8，b＝4
代入竖式的十位，无法找到竖式的十位合适的数，所以不成立。
9．有一个两位数,如果用它去除以个位数字,商为9余数为6,如果用这个两
位数除以个位数 字与十位数字之和,则商为5余数为3,求这个两位数.
解：设这个两位数为ab10a+b＝9b+ 610a+b＝5（a+b）+3化简得到一样：5a+4b
＝3由于a、b均为一位整数得到a＝3或 7，b＝3或8原数为33或78均可以
10．如果现在是上午的10点21分,那么在经过2879 9...99(一共有20个
9)分钟之后的时间将是几点几分?答案是10：20
解：（2 8799……9（20个9）+1）6024整除，表示正好过了整数天，时
间仍然还是10：21，因 为事先计算时加了1分钟，所以现在时间是10：20
四．排列组合问题
1．有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有（ ）
A 768种 B 32种 C 24种 D
2的10次方中解：根据乘法原理，分两步：第一步是把5对夫妻看作5个
整体，进行排列有5×4×3×2×1＝120种不同的排法，但是因为是围成一个首
尾相接的 圈，就会产生5个5个重复，因此实际排法只有120÷5＝24种。第二
步每一对夫妻之间又可以相互 换位置，也就是说每一对夫妻均有2种排法，总
共又2×2×2×2×2＝32种综合两步，就有24× 32＝768种。
2 若把英语单词hello的字母写错了,则可能出现的错误共有 ( )
A 119种 B 36种 C 59种 D 48种
解：5全排列5*4*3*2*1=1 20有两个l所以1202=60原来有一种正确的所
以60-1=59
五．容斥原理问题
1． 有100种赤贫.其中含钙的有68种,含铁的有43种,那么,同时含钙和
铁的食品种 类的最大值和最小值分别是( )
A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11
解：根据容斥原理最小值68+43-100＝11最大值就是含铁的有43种
2．在多元智 能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,
每个学生至少解出一道题;(2) 在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的
人数是解出第三题的人数的2倍:(3)只解出第一题的 学生比余下的学生中解出
第一题的人数多1人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题, 那么
只解出第二题的学生人数是( )A，5 B，6 C，7 D，8
5

解：根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为7类：只
答第1题， 只答第2题，只答第3题，只答第1、2题，只答第1、3题，只答2、
3题，答1、2、3题。分别设 各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123
由（1）知：a1+a2+a3+ a12+a13+a23+a123＝25…①由（2）知：a2+a23＝（a3+ a23）
×2… …②由（3）知：a12+a13+a123＝a1－1……③由（4）知：a1＝a2+a3……
④再 由②得a23＝a2－a3×2……⑤再由③④得a12+a13+a123＝a2+a3－1⑥然后
将 ④⑤⑥代入①中，整理得到a2×4+a3＝26由于a2、a3均表示人数，可以求
出它们的整数解： 当a2＝6、5、4、3、2、1时，a3＝2、6、10、14、18、22又
根据a23＝a2－a 3×2……⑤可知：a2>a3因此，符合条件的只有a2＝6，a3＝2。
然后可以推出a1＝8，a 12+a13+a123＝7，a23＝2，总人数＝8+6+2+7+2＝25，检
验所有条件均符。 故只解出第二题的学生人数a2＝6人。
3．一次考试共有5道试题。做对第1、2、3、、4、5题 的分别占参加考试
人数的95%、80%、79%、74%、85%。如果做对三道或三道以上为合格， 那么这次
考试的合格率至少是多少？
答案：及格率至少为71％。假设一共有100人考试1 00-95＝5100-80＝
20100-79＝21100-74＝26100-85＝155+2 0+21+26+15＝87（表示5题中有1题做
错的最多人数）87÷3＝29（表示5题中有3题 做错的最多人数，即不及格的人
数最多为29人）100-29＝71（及格的最少人数，其实都是全对 的）及格率至少
为71％
六．抽屉原理、奇偶性问题
1．一只布袋中装有大小相同 但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四
种，问最少要摸出几只手套才能保证有3副同色的？ 解：可以把四种不同的颜色看成是4个抽屉，把手套看成是元素，要保证
有一副同色的，就是1个抽 屉里至少有2只手套，根据抽屉原理，最少要摸出5
只手套。这时拿出1副同色的后4个抽屉中还剩3只 手套。再根据抽屉原理，
只要再摸出2只手套，又能保证有一副手套是同色的，以此类推。把四种颜色< br>看做4个抽屉，要保证有3副同色的，先考虑保证有1副就要摸出5只手套。
这时拿出1副同色的 后，4个抽屉中还剩下3只手套。根据抽屉原理，只要再摸
出2只手套，又能保证有1副是同色的。以此 类推，要保证有3副同色的，共
摸出的手套有：5+2+2=9（只）答：最少要摸出9只手套，才能保 证有3副同色
的。
2．有四种颜色的积木若干，每人可任取1-2件，至少有几个人去取，才 能
保证有3人能取得完全一样？
6

答案为21解：每人 取1件时有4种不同的取法,每人取2件时,有6种不同
的取法.当有11人时,能保证至少有2人取得 完全一样:当有21人时,才能保证
到少有3人取得完全一样.
3．某盒子内装50只球，其 中10只是红色，10只是绿色，10只是黄色，
10只是蓝色，其余是白球和黑球，为了确保取出的球 中至少包含有7只同色的
球，问：最少必须从袋中取出多少只球？
解：需要分情况讨论，因为 无法确定其中黑球与白球的个数。当黑球或白
球其中没有大于或等于7个的，那么就是：6*4+10+ 1=35(个)如果黑球或白球其
中有等于7个的，那么就是：6*5+3+1＝34（个）如果黑球或 白球其中有等于8
个的，那么就是：6*5+2+1＝33如果黑球或白球其中有等于9个的，那么就是 ：
6*5+1+1＝324．地上有四堆石子，石子数分别是1、9、15、31如果每次从其中
的三堆同时各取出1个，然后都放入第四堆中，那么，能否经过若干次操作，
使得这四堆石子的个数都 相同?（如果能请说明具体操作，不能则要说明理由）
不可能。因为总数为1+9+15+31＝565 64＝1414是一个偶数而原来1、9、15、
31都是奇数，取出1个和放入3个也都是奇数，奇数 加减若干次奇数后，结果
一定还是奇数，不可能得到偶数（14个）。
七．路程问题
1．狗跑5步的时间马跑3步，马跑4步的距离狗跑7步，现在狗已跑出30
米，马开始追它。问：狗 再跑多远，马可以追上它？
解：根据“马跑4步的距离狗跑7步”，可以设马每步长为7x米，则狗每
步长为4x米。根据“狗跑5步的时间马跑3步”，可知同一时间马跑3*7x米
＝21x米， 则狗跑5*4x＝20米。可以得出马与狗的速度比是21x：20x＝21：20
根据“现在狗已跑出 30米”，可以知道狗与马相差的路程是30米，他们相差
的份数是21-20＝1，现在求马的21份 是多少路程，就是 30÷（21-20）×21
＝630米
2．甲乙辆车同时从a b两地 相对开出，几小时后再距中点40千米处相遇？
已知，甲车行完全程要8小时，乙车行完全程要10小时 ，求a b 两地相距多少
千米？
答案720千米。由“甲车行完全程要8小时，乙车行完全 程要10小时”可
知，相遇时甲行了10份，乙行了8份（总路程为18份），两车相差2份。又
因为两车在中点40千米处相遇，说明两车的路程差是（40+40）千米。所以算
式是（40+40 ）÷（10-8）×（10+8）＝720千米。
7

3．在一个 600米的环形跑道上，兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑
步，两人每隔12分钟相遇一次，若两 个人速度不变，还是在原来出发点同时出
发，哥哥改为按逆时针方向跑，则两人每隔4分钟相遇一次，两 人跑一圈各要
多少分钟？
答案为两人跑一圈各要6分钟和12分钟。解：600÷12=50 ，表示哥哥、弟
弟的速度差600÷4=150，表示哥哥、弟弟的速度和（50+150）÷2=10 0，表示较
快的速度，方法是求和差问题中的较大数（150-50）2=50，表示较慢的速度，方法是求和差问题中的较小数600÷100=6分钟，表示跑的快者用的时间
60050=12分 钟，表示跑得慢者用的时间
4．慢车车长125米，车速每秒行17米，快车车长140米，车速每秒 行22
米，慢车在前面行驶，快车从后面追上来，那么，快车从追上慢车的车尾到完
全超过慢车 需要多少时间？
答案为53秒算式是（140+125)÷(22-17)=53秒可以这样理解：“ 快车从追
上慢车的车尾到完全超过慢车”就是快车车尾上的点追及慢车车头的点，因此
追及的路 程应该为两个车长的和。
5．在300米长的环形跑道上，甲乙两个人同时同向并排起跑，甲平均速度
是每秒5米，乙平均速度是每秒4.4米，两人起跑后的第一次相遇在起跑线前
几米？
答案为100米300÷（5-4.4）＝500秒，表示追及时间5×500＝2500米，
表示甲 追到乙时所行的路程2500÷300＝8圈……100米，表示甲追及总路程为
8圈还多100米，就 是在原来起跑线的前方100米处相遇。
6．一个人在铁道边，听见远处传来的火车汽笛声后，在经过 57秒火车经
过她前面，已知火车鸣笛时离他1360米，(轨道是直的),声音每秒传340米，求火车的速度（得出保留整数）答案为22米秒算式：1360÷(1360÷340+57）
≈2 2米秒关键理解：人在听到声音后57秒才车到，说明人听到声音时车已经
从发声音的地方行出1360 ÷340＝4秒的路程。也就是1360米一共用了4+57＝
61秒。
7．猎犬发现在离它 10米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去，
猎犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步， 但是兔子的动作快，猎犬跑2
步的时间，兔子却能跑3步，问猎犬至少跑多少米才能追上兔子。正确的答 案
是猎犬至少跑60米才能追上。
解：由“猎犬跑5步的路程，兔子要跑9步”可知当猎犬每 步a米，则兔
子每步59米。由“猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步”可知同一时间，猎
8

犬跑2a米，兔子可跑59a*3＝53a米。从而可知猎犬与兔子的速度比 是2a：
53a＝6：5，也就是说当猎犬跑60米时候，兔子跑50米，本来相差的10米刚
好追完
8． AB两地,甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是4:5,如果甲乙二
人分 别同时从AB两地相对行使,40分钟后两人相遇,相遇后各自继续前行,这样，
乙到达A地比甲到达B 地要晚多少分钟?
答案：18分钟解：设全程为1,甲的速度为x乙的速度为y列式
40x+ 40y=1x:y=5:4得x=172 y=190走完全程甲需72分钟,乙需90分钟故得解
9 ．甲乙两车同时从AB两地相对开出。第一次相遇后两车继续行驶，各自
到达对方出发点后立即返回。第 二次相遇时离B地的距离是AB全程的15。已
知甲车在第一次相遇时行了120千米。AB两地相距多 少千米？
答案是300千米。解：通过画线段图可知，两个人第一次相遇时一共行了1
个AB 的路程，从开始到第二次相遇，一共又行了3个AB的路程，可以推算出
甲、乙各自共所行的路程分别是 第一次相遇前各自所走的路程的3倍。即甲共
走的路程是120*3＝360千米，从线段图可以看出， 甲一共走了全程的（1+15）。
因此360÷（1+15）＝300千米从A地到B地，甲、乙两人骑 自行车分别需要4
小时、6小时，现在甲乙分别AB两地同时出发相向而行，相遇时距AB两地中点2千米。如果二人分别至B地，A地后都立即折回。第二次相遇点第一次相遇点
之间有（）千米 < br>10．一船以同样速度往返于两地之间，它顺流需要6小时;逆流8小时。如
果水流速度是每小时 2千米，求两地间的距离？
解：（16-18）÷2＝148表示水速的分率2÷148＝96千米表示总路程
11．快 车和慢车同时从甲乙两地相对开出，快车每小时行33千米，相遇是
已行了全程的七分之四，已知慢车行 完全程需要8小时，求甲乙两地的路程。
解：相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是4：3 时间比为3：4
所以快车行全程的时间为84*3＝6小时6*33＝198千米
12．小华 从甲地到乙地,3分之1骑车,3分之2乘车;从乙地返回甲地,5分
之3骑车,5分之2乘车,结果慢 了半小时.已知,骑车每小时12千米,乘车每小时
30千米,问:甲乙两地相距多少千米?
解：把路程看成1，得到时间系数去时时间系数：13÷12+23÷30返回时
间系数：35÷12+ 25÷30两者之差：（35÷12+25÷30）-（13÷12+23÷30）
=175相当于12 小时去时时间：12×（13÷12）÷175和12×（23÷30）
9

175路程：12×〔12×（13÷12）÷175〕+30×〔12×（23÷30）175〕=37.5（千米）
八．比例问题
1．甲乙两人在河边钓鱼,甲钓了三条,乙钓了两条 ,正准备吃,有一个人请求
跟他们一起吃,于是三人将五条鱼平分了,为了表示感谢,过路人留下10元 ,甲、
乙怎么分？
答案：甲收8元，乙收2元。解：“三人将五条鱼平分，客人拿出10元” ，
可以理解为五条鱼总价值为30元，那么每条鱼价值6元。又因为“甲钓了三
条”，相当于甲 吃之前已经出资3*6＝18元，“乙钓了两条”，相当于乙吃之
前已经出资2*6＝12元。而甲乙两 人吃了的价值都是10元，所以甲还可以收回
18-10＝8元乙还可以收回12-10＝2元刚好就是 客人出的钱。
2．一种商品，今年的成本比去年增加了10分之1，但仍保持原售价，因此，
每份利润下降了5分之2，那么，今年这种商品的成本占售价的几分之几？
答案2225最好画线段图 思考：把去年原来成本看成20份，利润看成5份，
则今年的成本提高110，就是22份，利润下降了 25，今年的利润只有3份。
增加的成本2份刚好是下降利润的2份。售价都是25份。所以，今年的成 本占
售价的2225。
3．甲乙两车分别从A.B两地出发,相向而行,出发时,甲.乙的速 度比是5:4,
相遇后,甲的速度减少20%,乙的速度增加20%,这样,当甲到达B地时,乙离A地
还有10千米,那么A.B两地相距多少千米?
解：原来甲.乙的速度比是5:4现在的甲： 5×（1-20％）＝4现在的乙：4×
（1+20％）4.8甲到B后，乙离A还有：5-4.8＝0 .2总路程：10÷0.2×（4+5）
＝450千米
4．一个圆柱的底面周长减少25%， 要使体积增加13，现在的高和原来的
高度比是多少？答案为64：27
解：根据“周长减少 25％”，可知周长是原来的34，那么半径也是原来
的34，则面积是原来的916。根据“体积增加 13”，可知体积是原来的43。
体积÷底面积＝高现在的高是43÷916＝6427，也就是说现在 的高是原来的
高的6427或者现在的高：原来的高＝6427：1＝64：27
5．某市场 运来香蕉、苹果、橘子和梨四种水果其中橘子、苹果共30吨香
蕉、橘子和梨共45吨。橘子正好占总数 的13分之2。一共运来水果多少吨？
10

第二题：答案为65 吨橘子+苹果＝30吨香蕉+橘子+梨＝45吨所以橘子+苹
果+香蕉+橘子+梨＝75吨橘子÷（香蕉 +苹果+橘子+梨）＝213说明：橘子是2
份，香蕉+苹果+橘子+梨是13份橘子+香蕉+苹果+橘 子+梨一共是2+13＝15份

11