解：设乙存了X元，甲（X—24）元；（X—24）×14=15X，14X—6=15X，1 4X—15X=6，120X=6，
X=6÷120，X=120；120－24=96（元）
答：甲、乙两人各存款120、96元。
8、乘汽车从甲城到乙城去，原计划5又12小时， 由于途中有36千米的道路不平坦，走这段道路不平
的道路时，速度相当于原来的34，因此晚到15小 时，求甲、乙两城之间的距离。
解：15÷（4—3）=15（小时），15×3=35（小时），3 6÷35=60（千米小时），60×5又12=330（千
米）
答：距离是330千米。
9、甲、乙两人从东、西两城相向而行，甲行了全程的511正好与乙相遇，已知甲每小时行4.5千米 ，
乙走完全程需要5又12小时，求东、西两城相距多少千米？
解：1÷5又12=211（ 千米小时），1—211=911（千米小时），611÷211=3（小时），3×4.5=13.5(千米)，13.5÷911=29.7(千米)
答：东、西两城相距29.7千米。
10 、某超市运来红糖和白糖各一大袋，红糖重量的15比白糖重量的14还多2千克，两袋糖共重82千
克 ，求红糖和白糖各多少千克？
解：设：红糖为X千克；15X—14（82—X）=2，15X—82 4+14X=2，920X—824=2，920X=2+824，
X=50；82—50=32（千克 ）
答：红糖、白糖分别为50、32千克。
11、两根电线共长52米，第一根的14和第二根的25的和是16米，求两根电线各长多少米？ < br>解：设：第一根长X米；14X+（52—X）×25=16，14X+1045—25X=16，-32 0X+1045=320X，
245=320X，X=245 ×203，X=32；52—32=20（米）
答：第一根电线长32米，第二根电线长20米。 < br>12、兄弟4人合买一台彩电，老大出的钱是其他三人出钱总数的12，老二出的钱是另外三人出钱总数的
13，老三出的钱是另外三人出钱总数的14，老四比老三我出40元，问这台彩电多少钱？
解：1—13—14—15=1360，1360—15=160；40÷160=2400（元）
答：这台彩电2400元。
13、甲、乙两人星期天一起去买东西，两人身上所带的钱共计8 6元。在友谊商场，甲买一双运动鞋花去
了所带钱的49，乙买一件衬衫花去了人民币16元。这样，两 人身上所剩的钱正好一样多。甲、乙两人
原先各带了多少钱？
解：设甲带了X元；X—49X =86—X—16，59X=70—X，X+59X=70，149X=70，X=45；86—45=41（元）
答：甲、乙两人原先各带了45、41元。
14、食堂运来一批大米，第一天吃 了全部的25，第二天吃了余下的13，第三天吃了又余下的34，这
时还剩下15千克，食堂共运来大 米多少千克？
解：15÷（1—34）÷（1—13）÷（1—25）=150（千克）
答：食堂共运来大米150千克。
15、有大、小两种西红柿罐头，第一次买了2个小罐头， 3个大罐头，共重5又910千克；第二次买了
2个小罐头，7个大罐头，共重13又110千克，求大 、小每个罐头各重多少千克？
解：13又110—5又910=7.2；7.2÷(7—3)=1.8；（5又910—1.8 ×3）÷2=0.25(千克)
答：大、小每个罐头各重1.8、0.25千克。
16、有 两本书，第一本书页数的12和第二本书页数的13合在一起是130页，第一本书页数的13和
第二本 书页数的12合在一起是120页，求这两本书各是多少页？
解：设：第一本有X页；13X+（13 0—12X）×3×12=120，13X+（130—12X）×32=120，
13X+195—3 4X=120，75=512X，X=180；（130—12×180）×3=120（页）
答：第一本有180页，第二本有120页。
17、甲、乙、丙三人，甲、乙两人的体重之和 是98又12千克，乙、丙两人的体重之和是112又12千
克，甲、丙两人的体重之和是111千克， 求三人的体重各是多少千克？
解：（98.5+112.5+111）÷2=161(千克)；161 —98.5=62.5(千克)…甲；161—112.5=48.5(千克)…乙；
161—111= 50(千克)…丙。

21

答：甲、乙、丙三人的体重各是62.5、48.5、50千克。
18、有甲 、乙两种金属，甲金属的116和乙金属的133重量相等，而乙金属的155比甲金属的140
重7克 ，求两种金属各重多少克？
解：设：甲金属重量为X克；（140X+7）÷155=116X÷13 3，5540X+385=3316X，385=3316X—5540X，
385=1116X，X= 385÷1116X，X=385÷1116，X=560；（560 ×14+7）÷155=1155（克）
答：甲、乙两种金属各重560、1155克。
19、一个书架分上下两层，共放书360本 ，如果把上层的110放入下层，上、下层的本数相等，求上、
下层原来各放书多少本？
解： 设上层放书X本；110X+（360—X）=910X，110X+360—X=910X，360=910X —110X+X，
360=1810X，X=200；360—200=160（本）
答：上、下层原来各放书200、160本。
20、一瓶酒精，当用去了12，连瓶共重70 0克，当用去酒精的13后，连瓶共重800克，求瓶子的重
量是多少克？
解：12—13= 16；800—700=100；100÷16=600；600×12=300；700—300=400（克 ）
答：瓶子的重量是400克。
21、甲、乙、丙三人共植树697棵，已知甲植树棵数的 12等于乙植树棵数的25，甲植树棵数的13等
于丙植树棵数的27，问甲、乙、丙分别种树多少棵？
解：设甲种了X棵树；12X÷25+13X÷27+X=697，54X+76X+X=697，41 12=697，X=204；
204×13÷27=238；697—204—238=255（棵）
答：甲、乙、丙分别种树204、238、255棵。
22、某车间缺勤人数是出勤人数的1 10，后来又有两人因事请假，这时缺勤人数是出勤人数的18，求
全车间共有多少人？
解：设：后来有X人缺勤；X+2=18（10X—2），X=9；10×9+9=99（人）
答：全车间共有99人。
23、一条公路，第一天修了全长的18多5米，第二天修了全长的 15少14米，还剩下63米，求这条
公路有多少米？
解：设：这条公路有X米；X—（18 X+5）—（15X—14）=63，X—18X—5—15X+14=63，
2740X—5+14= 63，2740X=63+5—14，X=80
答：这条公路有80米。
24、大、小两瓶 油共重2.7克。小瓶用去0.3千克后，剩下的油与大瓶油重量的比是1：2，求大、小瓶
原来油各是 多少千克？
解：设小瓶有X千克；（X—0.3）×2=2.7—X，2X—0.6=2.7—X，2 X+X=2.7+0.6，3X=3.3，X=1.1；
2.1—1.1=1.6(千克)
答：大、小瓶原来油各是1.1、1.6千克。
注：利润=售价—成本；利润率=（售价—进 价）÷进价×100%；预定售价=预定利润+进价；买价=利润+
进价；本息和=本金+利金；利息= 本金×利率×时间；税后利息=本金×利率×（1—5%）
25、某商品在原定价的基础上打八五折出售，仍能获得15%的利润，问定价时期望的利润是多少？
解：设现售价为A，进价为B，原定价为C，期望利润率为X，售价是原定价的85%，即A=85%C ，C=A85%，
而A=（1+15%）B，即B=A115%，那么X=（C—B）÷B×100%， X=（CB—BB）×100%，
，X=（115%85%—1）×100%，X=135%—100%，X=35%
答：定价时期望的利润是35%。
26、某商品按20%的利润定价，然后按8.8折卖出， 实际获得利润84元，求商品的成本是多少元？
解：设成本是X元；（X+20%X）×0.88=X +84,120%X×0.88=X+84,105.6%X=X+84,105.6%X—X=84，
5.6%X=84,X=1500
答：成本是1500元。
27、一件商品随季节变化降价 出售，如果按现价降价10%，仍可获利180元，如果降价20%就要亏损
240元，这件商品的进价 是多少元？
解：设进价是X元；（X+180）×（1—10%）×（1—20%）=X—240，（ X+180）×109×80%=X—240，
（X+180）×89=X—240，89X+160= X—240，240+160=X—89X，X=3600

22

答：进价是3600元。
28、一件商品按20%的利润定价，然后又按8折 售出，结果亏损了64元，这件商品的成本是多少元？
解：设成本为X元；（X+20%X）×80% =X—64，120%X×80%=X—64，96%X=X—64，64=X—96%X，
64=4% X，X=1600
答：成本是1600元。
29、某件商品按每个5元利润卖出4的钱数， 与按每个利润20元卖出3个的钱数一样多，这种商品的
成本是多少元？
解：设成本是X元； （X+5）×4=(X+20)×3,4X+20=3X+60,4X—3X=60—20，X=40
答：这种商品的成本是40元。
30、小刘决定将压岁钱8000元存入银行三年，当年的年 利率为6.36%,三年后到期共取出多少元？（需
交利息税）
解：8000×3×6.36 %=1526.4；1526.4×(1—5%)=1450.08；8000+1450.08=9450.0 8
答：共取出9450.8元。
31、小吴在一家IT公司工作，今年6月份一共得到的收 入为4200元，根据《中华人民共和国个人所得
税》的规定：超过1600元至2100的部分应交纳 5%的税，超过2100元至3600的部分应交纳10%的税，
超过3600元至6600的部分应交 纳15%的税，……求这个月小吴应交纳税金多少元？
解：（2100—1600）×5%=25；（ 3600—2100）×10%=150；（4200—3600）×15%=90；25+150+90=26 5
答：应交纳税金265元。
32、小李把800元的零花钱存入银行，定期一年，年利润 是1.92%，到期时他把所得到的利息支援“希望
工程”，求到期时小李支援“希望工程”多少钱？
解：800×1.92%×(1—5%)=14.592(元)
答：支援“希望工程”14.592元。
33、王华的爸爸把80000元存入银行，二年年 利率为2.16%，求到期时王华的爸爸可以从银行取回多少
钱？
解：80000×2×2. 16×(1—5%)=3283.2;80000+3283.2=83283.2（元）
答：取回83283.2元。
34、在股票交易中，每买进或卖出一种股票都需交纳成交金额 的0.35%的印花税和0.15%的佣金（手续
费），老杨2月12日以每股8.6元的价格买进40 00股，4月24日以每股10.24元全卖出了这种股票，
求老杨买卖这种股票一共赚了多少元？ < br>解：
8.6×4000=34400;4000×10.24=40960;400960×0. 35%=143.36;40960×0.15%=61.44;40960—143.36—
61.4 4—34400=6183.2（元）
答：老杨买卖这种股票一共赚了6183.2元。
3 5、商店以每双6.5元购进一批凉鞋，售价为每双8.7元，当卖得只剩下14时，不仅收回了购进这批凉鞋所付出的款项，而且已获利20元，这批凉鞋共有多少双？
解：设凉鞋有X双；8.7×X×3 4－6.5X=20,8.7×X×34×4－6.5×4X=20×4,8.7×3×X－6.5×4X=80 ,26.1X－
26X=80,0.1X=80,X=800
答：这批凉鞋共有800双。
36、成本是1.2元的笔记本1800本，按30%的利润出售，当售掉80%后，剩下的笔记本降价 出售，结
果获得的利润是预定的85%，问剩下的笔记本的售价是原定价的百分之几？（百分号前保留一 位小数）
解：设剩下的笔记本的售价是原定价的百分之X；13×0.8+13×0.2X－1=0. 3×0.85,0.26X=0.215,X≈82.7%
答：剩下的笔记本的售价是原定价的82.7%。
37、商店以每枝10元的价格购进一批钢 笔，售价为13元，卖到还剩20%时，除去成本，还获利48元，
问这批钢笔共有多少支？
解：设这批钢笔有X支；（1—20%）×X×13—10X=48，80%×13—10X=48，555X— 10X=48，X=120
答：这批钢笔共有120支。
38、某种少年读物，如果按原定 价格销售，每售一本，获利0.24元，现在降价销售，结果售书量增加一
倍，获利增加0.5倍，问： 每本书的售价降价多少元？
解：设每本降价X元；（1+0.5）×1×0.24=2(0.24－X ),0.36=0.48－2X,2X=0.12,X=0.06

23

答：每本书的售价降价0.06元。
39、某书店出售一种挂历，每售出一本 可获利18元，售出一部分后每本减价10元出售，全部售完，已
知减价出售的挂历本数是原价出售挂历 本数的23，书店售完这种挂历共获利2870元，书店共售出这种
挂历多少本？
解：设这种挂历有X本；
8×25X+18×35X=2870
165X+545X=2870
14X=2870
14X=2870
X=205
答：书店共售出这种挂历205本。
40、植物园每张个人票5元，供 1个人入园，每张团体票30元，供不超过10人的团体入园，买10张
或更多团体票可优惠10%，某 学校组织秋游，原来准备的钱刚好够145人的门票用，临时有增加两人，
幸好这两人带来了m元钱，结 果147人刚好都能购票入园，m是多少元？
解：145÷10=14……(5);14×30×(1 －10%)=378;30×90%－5×5=2(元)
答：m是2元。
41、甲、乙两位 老板分别以同样的价格购进一种时装，乙购进的套数比甲多15，然后甲、乙分别按80%
与50%的利 润出售，两人全部售完后，甲仍比乙多获得一部分利润，这部分利润又恰好够他再购进这种
时装10套（ 进价不变），甲原来购进这种时装多少套？
解：设甲购进X套；1×80%×X－1×50%×1.2 X=10,0.8X－0.6X=10,0.2X=10,X=50
答：甲原来购进这种时装50套。
42、甲商品的定价中含20%的利润，乙商品的定价中含40%的利润，甲、乙两种商品的定价相加是 480
元，甲的定价比乙的定价高60元，求甲、乙两种商品的成本各是多少元？
解：（48 0+60）÷2=270;480－270=210;270×(1－20%)=225…甲;210×(1－4 0%)=150…乙
答：甲、乙两种商品的成本各是225、150元。
43、李华到商店 买一盒花球、一盒白球两盒球的数量相等，花球原价是1元钱2个，白球原价是1元钱
3个，节日降价， 两种球的售价都是2元钱5个，结果李华少花了4元钱，那么他共买了多少个球？
解：设一盒有X个；12X + 13X － 25X×2=4，12X + 13X －45X=4，130X=4，X=4÷130，X=120；
120×2=240（个）
答：他共买了240个球。
44、小明到商店买红、黑两种笔共66支，红笔每支定价5元， 黑笔每支定价9元，由于买的数量较多，
商店就给予优惠，红笔按定价的85%付钱，黑笔按定价的80 %付钱，如果他付的钱比按定价少付了18%，
那么他买了红笔多少支？
解：设买了红笔X支 ；5X×85%+(66－X)×9×80%=[5X+9(66－X)]×（1-18%）,4.25X+7. 2(66－X)=(9×66
－4X)×0.82,4.25X+475.2－7.2X=594×0. 82－3.28X, 4.25X+475.2－7.2X=487.08－
475.2,0.35X=11.88,X=36
答：他买了红笔36支。
45、在12千克含盐15%的盐水中加水，使盐水中含盐9%，需要加水多少千克？
解：设 需要加水X千克；12×15%÷9%=12+X,1.8÷9%=12+X,20=12+X,20－12=X ,8=X
答：需要加水8千克。
46、有含盐15%的盐水20千克，要使盐水含盐20%，需要加盐多少千克？
解：设需要加盐X千克；20×15%+X=20%×(X+20),3+X=15X+1,X=54
答：需要加盐54千克。
47、有一种糖水的浓度为35%，现在用这种糖水多少千克加多少 千克的水才能稀释成800千克浓度是
1.75%的糖水？
解：设需加X千克的水；（800 －X）×35%=800×1.75%,280－35%X=14,280－35%X=14,280－
14=35%X,X=760；800－760=40（千克）
答：用这种糖水40千克加760千克的水。
48、有含盐10%的盐水30千克，要使盐水含盐25%，需要加盐多少千克？

24

解：设需要加盐X千克；30×10%+X=25%X（X+30），3 +X=25%X+7.5,X－25%X=7.5－3,75%X=4.5,X=6
答：需要加盐6千克。
49、一容器内有浓度为15%的盐水，若再加入20千克的水，则盐 水的浓度变为10%，问这个容器内原
来含盐多少千克？
解：设容器内原来含盐X千克；X÷ 15%+20=X÷10%，X÷15%+20=X÷10%，10015X+20=10X，20=10X－10015X，20=5015X，X=6
答：这个容器内原来含盐6千克。
50、 有浓度为10%的酒精溶液50千克，要配制成浓度为30%的酒精溶液100千克，需要加水和酒精各
多少千克？
解：100×30%=30,100－30=70；50×10%=5，50－5=45； 30-5=25…酒精；70－45=25…水
答：需要加水和酒精各25千克。
51、2 60克含盐5%的盐水，与含盐9%的盐水混合，配成含盐6.4%的盐水，需含盐9%的盐水多少千克？ 解：设需含盐9%的盐水X千克；260×5%+9%×X=（X+260）×6.4%，13－19%X= 0.064X+260×0.064,0.09X
－0.064X=16.64－13,X=140
答：需含盐9%的盐水140千克。
52、两个杯中分别装有浓度40%与10%的食盐水， 倒在一起后混合食盐水的浓度为30%，若再加入300
克20%的食盐水，则浓度变为25%，那么原 有40%的食盐水多少克？
解：设40%的盐水为X，第二杯为Y；40%X+10%Y=30%（X +Y），X=2Y；
40%X+10%Y+300×20%=(X+Y+300)×25%,Y=100 ;X=100×2=200
答：那么原有40%的食盐水200克。
53、A种酒精中纯酒 精的含量为40%，B种酒精纯酒精的含量为36%，C种酒精纯酒精的含量为35%，
配制成38.5 %的酒精11升，其中B种酒精比C种酒精多3升，那么其中A种酒精有多少升？
解：设C种酒精有X 升；40%[11－（X+3）－X]+36%（X+3）+35%X=38.5%×11,X=0.5；11－ （0.5+3）
－0.5=7(升)
答：其中A种酒精有7升。
54、在100千 克浓度为50%的硫酸溶液中，再加入多少千克浓度为5%的硫酸溶液，就可以配制成浓度
为25%的硫 酸溶液？
解：设再加入X千克浓度为5%的硫酸溶液；100×50%+5%X=（100+X）×2 5%，50+5%X=25+25%X，
50－25=25%X－5%X，25=20%X，X=125
答：再加入125千克浓度为5%的硫酸溶液。
55、配制成浓度为25%的糖水1000克，需用浓度为22%和27%的糖水各多少克？
解：设需用22%的糖水X克，27%的糖水为（1000－X）克；[22%×X+（1000－X）×27% ]÷25%=1000；
88%X+1080－1080X=1000，X=400；1000－400 =600
答：需用浓度为22%和27%的糖水400、600克。
56、浓度为20%、 18%、16%的三种盐水，混合后得到100克18.8%的盐水，如果18%的盐水比16%
的盐水 多30克，问每种盐水多少克？
解：设18%为X，16%为（X－30），20%为[100－X－（X－30）]；
[1 8%X+（X－30）×16%+（100－X－X+30）×20%]÷18.8=100,X=40；
40－30=10…16%；100－40－10=50…20%
答：浓度为20%、18%、16%的三种盐水分别为50、40、10克。
六年级奥数讲义上：长方体和正方体

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六年级奥数讲义上：长方体和正方体习题
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六年级奥数讲义上：长方体和正方体习题解答

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济南小学六年级奥数题及答案解析：浓度问题
1.浓度问题


2.浓度应用题

乙两只装满硫酸溶液的容器，甲容器 中装有浓度为8％的硫酸溶液600千克，乙容器中装有浓度为40％的硫酸溶液
400千克.各取多少 千克分别放入对方容器中，才能使这两个容器中的硫酸溶液的浓度一样？
由题意知，从甲、乙两容 器中各取出一定量的溶液放入对方容器中，最终要达到两容器中溶液的浓度相等，在这个
变化过程中，两 容器中溶液的重量并没有改变。
不妨设从甲、乙两容器中各取出硫酸溶液x千克放入对方容器中， 可使甲、乙两容器中硫酸溶液的浓度相等.这时
甲容器中硫酸的重量可表示为（600-x）×8％＋x ·40％=48＋32％·x.甲容器中溶液的浓

答：应从两容器中各取出240千克溶液放入对方容器中，才能使两容器中硫酸溶液的浓度相同。
上述问题还可以这样考虑：
由于交换前后两容器中溶液的重量均没有改变，而交换一定量的硫酸溶 液其目的是将原来两容器中溶液的浓度由不
同变为相同，而且交换前后两容器内溶液的重量之和也没有改 变，根据这个条件我们可以先计算出两容器中的溶液浓度
达到相等时的数值，从而再计算出应交换的溶液 的量：
甲容器中纯硫酸的重量为600×8％=48（千克）；

1

乙容器中纯硫酸的重量为400×40％=160（千克）；
两容器中纯硫酸的重量和为48＋160=208千克，硫酸溶液的重量和为600＋400=1000千克。
两容器中溶液混合后浓度为208÷1000=20.8％。
所以应交换的硫酸溶液的量为：
（600×20.8％-600×8％）÷（40％-8％）=240（千克）
答：应从两容器中各取出240千克放入对方容器中，才能使两容器中硫酸溶液的浓度一样。
3.应用题
育红小学四年级学生比三年级学生多25％，五年级学生比四年级学生少10％，六年 级学生比五年级学生多10％。
如果六年级学生比三年级学生多38人，那么三至六年级共有多少名学生 ？
分析：以三年级学生人数为标准量，则四年级是三年级的125％，五年级是三年级的125％ ×（1-10％），六年级
是三年级的125％×（1-10％）×（1+10％）。因为已知六年级比 三年级多38人，所以可根据六年级的人数列方程。
解：设三年级有x名学生，根据六年级的人数可列方程：
x×125％×（1-10％）×（1+10％）=x+38，
x×125％×90％×110％=x+38，
1.2375x=x+38，
0.2375x=38，
x=160。
三年级有160名学生。
四年级有学生 160×125％=200（名）。
五年级有学生200×（1-10％）＝180（名）。
六年级有学生 160+38=198（名）。
160+200+180+198=738（名）。
答：三至六年级共有学生738名。
工程问题
1．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分 别需要20小时，16小时.丙水管单独开，排一池水要10小时，
若水池没水，同时打开甲乙两水管， 5小时后，再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？
解：
120+116＝980表示甲乙的工作效率
980×5＝4580表示5小时后进水量
1-4580＝3580表示还要的进水量
3580÷（980-110）＝35表示还要35小时注满
答：5小时后还要35小时就能将水池注满。
2．修一条水渠，单独修，甲队需要20天完 成，乙队需要30天完成。如果两队合作，由于彼此施工有影
响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作 效率是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。
现在计划16天修完这条水渠，且要求两队 合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？
解：由题意得，甲的工效为120，乙的工效为130 ，甲乙的合作工效为120*45+130*910＝7100，可
知甲乙合作工效>甲的工效>乙的工 效。
又因为，要求“两队合作的天数尽可能少”，所以应该让做的快的甲多做，16天内实在来不及 的才应该让
甲乙合作完成。只有这样才能“两队合作的天数尽可能少”。
设合作时间为x天，则甲独做时间为（16-x）天
120*（16-x）+7100*x＝1
x＝10
答：甲乙最短合作10天

2

3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时 完成。现在先请甲、丙合做2小时后，余
下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时？
解：
由题意知，14表示甲乙合作1小时的工作量，15表示乙丙合作1小时的工作量
（14+15）×2＝910表示甲做了2小时、乙做了4小时、丙做了2小时的工作量。
根据“甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成”可知甲做2小时、乙做6小时、丙做2小时一
共的工作量为1。
所以1－910＝110表示乙做6-4＝2小时的工作量。
110÷2＝120表示乙的工作效率。
1÷120＝20小时表示乙单独完成需要20小时。
答：乙单独完成需要20小时。
4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数
天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要< br>比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需17天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？
解：由题意可知
1甲+1乙+1甲+1乙+……+1甲＝1
1乙+1甲+1乙+1甲+……+1乙+1甲×0.5＝1
（1甲表示甲的工作效率、1乙 表示乙的工作效率，最后结束必须如上所示，否则第二种做法就不比第一
种多0.5天）
1甲＝1乙+1甲×0.5（因为前面的工作量都相等）
得到1甲＝1乙×2
又因为1乙＝117
所以1甲＝217，甲等于17÷2＝8.5天
5．师徒 俩人加工同样多的零件。当师傅完成了12时，徒弟完成了120个。当师傅完成了任务时，徒弟
完成了 45这批零件共有多少个？
答案为300个
120÷（45÷2）＝300个 可以这样想：师傅第一次完成了12，第二次也是12，两次一共全部完工，那么徒弟第二次后共完成了45，可以推算出第一次完成了45的一半是25，刚好是120个。
6．一批树苗，如果分给 男女生栽，平均每人栽6棵；如果单份给女生栽，平均每人栽10棵。单份给男
生栽，平均每人栽几棵？
答案是15棵
算式：1÷（16-110）＝15棵
7．一个池上装有3根水 管。甲管为进水管，乙管为出水管，20分钟可将满池水放完，丙管也是出水管，
30分钟可将满池水放 完。现在先打开甲管，当水池水刚溢出时，打开乙,丙两管用了18分钟放完，当打
开甲管注满水是，再 打开乙管，而不开丙管，多少分钟将水放完？
答案45分钟。
1÷（120+130）＝12 表示乙丙合作将满池水放完需要的分钟数。
112*（18-12）＝112*6＝12 表示乙丙合作将漫池水放完后，还多放了6分钟的水，也就是甲18分钟
进的水。
12÷18＝136 表示甲每分钟进水
最后就是1÷（120-136）＝45分钟。
8．某工程队需要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙队去做，要超过规定日期三天
完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，问规定日期为几天？
答案为6天
解：

3

由“若乙队去做，要 超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，”
可知：
乙做3天的工作量＝甲2天的工作量
即：甲乙的工作效率比是3：2
甲、乙分别做全部的的工作时间比是2：3
时间比的差是1份
实际时间的差是3天
所以3÷（3-2）×2＝6天，就是甲的时间，也就是规定日期
方程方法：
[1x+1（x+2）]×2+1（x+2）×（x-2）＝1
解得x＝6
9．两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小时，而点完一根细蜡烛要1小时 ，一天晚上停电，小芳同
时点燃了这两根蜡烛看书，若干分钟后来点了，小芳将两支蜡烛同时熄灭，发现 粗蜡烛的长是细蜡烛的2
倍，问：停电多少分钟？
答案为40分钟。
解：设停电了x分钟
根据题意列方程
1-1120*x＝（1-160*x）*2
解得x＝40
二．鸡兔同笼问题
1．鸡与兔共100只,鸡的腿数比兔的腿数少28条,问鸡与兔各有几只?
解：
4*100＝400，400-0＝400 假设都是兔子，一共有400只兔子的脚，那么鸡的脚为0只，鸡的脚比兔子
的脚少400只。
400-28＝372 实际鸡的脚数比兔子的脚数只少28只，相差372只，这是为什么？
4+2＝6 这是因为只要将一只兔子换成一只鸡，兔子的总脚数就会减少4只（从400只变为396 只），
鸡的总脚数就会增加2只（从0只到2只），它们的相差数就会少4+2＝6只（也就是原来的相 差数是
400-0＝400，现在的相差数为396-2＝394，相差数少了400-394＝6）
372÷6＝62 表示鸡的只数，也就是说因为假设中的100只兔子中有62只改为了鸡，所以脚的 相差数从
400改为28，一共改了372只
100-62＝38表示兔的只数
三．数字数位问题
1．把1至2005这2005个自然数依次写下来得到一个多位数12 3456789.....2005,这个多位数除以9余
数是多少?
解：
首 先研究能被9整除的数的特点：如果各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个数也能被9整除；
如果 各个位数字之和不能被9整除，那么得的余数就是这个数除以9得的余数。
解题：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；45能被9整除
依次类推：1~1999这些数的个位上的数字之和可以被9整除
10~19，20~29 ……90~99这些数中十位上的数字都出现了10次，那么十位上的数字之和就是
10+20+30+ ……+90=450 它有能被9整除
同样的道理，100~900 百位上的数字之和为4500 同样被9整除
也就是说1~999这些连续的自然数的各个位上的数字之和可以被9整除；
同样的道理：1000~1999这些连续的自然数中百位、十位、个位 上的数字之和可以被9整除（这里千位
上的“1”还没考虑，同时这里我们少2
从1000~1999千位上一共999个“1”的和是999，也能整除；

4

2的各位数字之和是27，也刚好整除。
最后答案为余数为0。
2．A和B是小于100的两个非零的不同自然数。求A+B分之A-B的最小值...
解：
(A-B)(A+B) = (A+B - 2B)(A+B) = 1 - 2 * B(A+B)
前面的 1 不会变了，只需求后面的最小值，此时 (A-B)(A+B) 最大。
对于 B (A+B) 取最小时，(A+B)B 取最大，
问题转化为求 (A+B)B 的最大值。
(A+B)B = 1 + AB ，最大的可能性是 AB = 991
(A+B)B = 100
(A-B)(A+B) 的最大值是： 98 100
3．已知A.B.C都是非0自然数,A2 + B4 + C16的近似值市6.4,那么它的准确值是多少?
答案为6.375或6.4375
因为A2 + B4 + C16＝8A+4B+C16≈6.4，
所以8A+4B+C≈ 102.4，由于A、B、C为非0自然数，因此8A+4B+C为一个整数，可能是102，也有
可能 是103。
当是102时，10216＝6.375
当是103时，10316＝6.4375
4．一个三位数的各位数字 之和是17.其中 十位数字比个位数字大1.如果把这个三位数的百位数字与个位
数字对调,得到一个新的三位数,则新的 三位数比原三位数大198,求原数.
答案为476
解：设原数个位为a，则十位为a+1，百位为16-2a
根据题意列方程100a+10a+16-2a－100（16-2a）-10a-a＝198
解得a＝6，则a+1＝7 16-2a＝4
答：原数为476。
5．一个两位数,在它的前面写上3,所组成的三位数比原两位数的7倍多24,求原来的两位数.
答案为24
解：设该两位数为a，则该三位数为300+a
7a+24＝300+a
a＝24
答：该两位数为24。
6．把 一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数,它与原数相加,和恰好是某自然数的平方,这
个 和是多少?
答案为121
解：设原两位数为10a+b，则新两位数为10b+a
它们的和就是10a+b+10b+a＝11（a+b）
因为这个和是一个平方数，可以确定a+b＝11
因此这个和就是11×11＝121
答：它们的和为121。
7．一个六位数的末位数字是2,如果把2移到首位,原数就是新数的3倍,求原数.
答案为85714
解：设原六位数为abcde2，则新六位数为2abcde（字母上无 法加横线，请将整个看成一个六位数）
再设abcde（五位数）为x，则原六位数就是10x+2，新六位数就是200000+x
根据题意得，（200000+x）×3＝10x+2
解得x＝85714
所以原数就是857142

5

答：原数为857142
8．有一个四位数,个位数字与百位数字的和是1 2,十位数字与千位数字的和是9,如果个位数字与百位数字
互换,千位数字与十位数字互换,新数就比 原数增加2376,求原数.
答案为3963
解：设原四位数为abcd，则新数为cdab，且d+b＝12，a+c＝9
根据“新数就比原数增加2376”可知abcd+2376=cdab,列竖式便于观察
abcd
2376
cdab
根据d+b＝12，可知d、b可能是3、9；4、8；5、7；6、6。
再观察竖式中的个位，便可以知道只有当d＝3，b＝9；或d＝8，b＝4时成立。
先取d＝3，b＝9代入竖式的百位，可以确定十位上有进位。
根据a+c＝9，可知a、c可能是1、8；2、7；3、6；4、5。
再观察竖式中的十位，便可知只有当c＝6，a＝3时成立。
再代入竖式的千位，成立。
得到：abcd＝3963
再取d＝8，b＝4代入竖式的十位，无法找到竖式的十位合适的数，所以不成立。
9．有 一个两位数,如果用它去除以个位数字,商为9余数为6,如果用这个两位数除以个位数字与十位数字
之 和,则商为5余数为3,求这个两位数.
解：设这个两位数为ab
10a+b＝9b+6
10a+b＝5（a+b）+3
化简得到一样：5a+4b＝3
由于a、b均为一位整数
得到a＝3或7，b＝3或8
原数为33或78均可以
10．如果现在是上午 的10点21分,那么在经过28799...99(一共有20个9)分钟之后的时间将是几点几分?
答案是10：20
解：
（28799……9（20个9）+1）6024整除 ，表示正好过了整数天，时间仍然还是10：21，因为事先计
算时加了1分钟，所以现在时间是10： 20
四．排列组合问题
1．有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有（ ）
A 768种 B 32种 C 24种 D 2的10次方中
解：
根据乘法原理，分两步： 第一步是把5对夫妻看作5个整体，进行排列有5×4×3×2×1＝120种不同的排法，但是因为是围成 一个
首尾相接的圈，就会产生5个5个重复，因此实际排法只有120÷5＝24种。
第二 步每一对夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫妻均有2种排法，总共又2×2×2×2×2＝32种
综合两步，就有24×32＝768种。
2 若把英语单词hello的字母写错了,则可能出现的错误共有 ( )
A 119种 B 36种 C 59种 D 48种
解：
5全排列5*4*3*2*1=120
有两个l所以1202=60

6

原来有一种正确的所以60-1=59
五．容斥原理问题
1． 有100种赤贫.其中含钙的有68种,含铁的有43种,那么,同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是( )
A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11
解：根据容斥原理最小值68+43-100＝11
最大值就是含铁的有43种
2．在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题; (2)
在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍:(3)只解出第 一题的学生
比余下的学生中解出第一题的人数多1人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第 一题,那么只解出
第二题的学生人数是( )
A，5 B，6 C，7 D，8
解：根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为7类：只答第1题，只答第2题，只答第3题，只答第1、2题，只答第1、3题，只答2、3题，答1、2、3题。
分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123
由（1）知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123＝25…①
由（2）知：a2+a23＝（a3+ a23）×2……②
由（3）知：a12+a13+a123＝a1－1……③
由（4）知：a1＝a2+a3……④
再由②得a23＝a2－a3×2……⑤
再由③④得a12+a13+a123＝a2+a3－1⑥
然后将④⑤⑥代入①中，整理得到
a2×4+a3＝26
由于a2、a3均表示人数，可以求出它们的整数解：
当a2＝6、5、4、3、2、1时，a3＝2、6、10、14、18、22
又根据a23＝a2－a3×2……⑤可知：a2>a3
因此，符合条件的只有a2＝6，a3＝2。
然后可以推出a1＝8，a12+a13+a 123＝7，a23＝2，总人数＝8+6+2+7+2＝25，检验所有条件均符。
故只解出第二题的学生人数a2＝6人。
3．一次考试共有5道试题。做对第1、2、3、 、4、5题的分别占参加考试人数的95%、80%、79%、
74%、85%。如果做对三道或三道以 上为合格，那么这次考试的合格率至少是多少？
答案：及格率至少为71％。
假设一共有100人考试
100-95＝5
100-80＝20
100-79＝21
100-74＝26
100-85＝15
5+20+21+26+15＝87（表示5题中有1题做错的最多人数）
87÷3＝29（表示5题中有3题做错的最多人数，即不及格的人数最多为29人）
100-29＝71（及格的最少人数，其实都是全对的）
及格率至少为71％
六．抽屉原理、奇偶性问题
1．一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红 、蓝、黄四种，问最少要摸出几只手套才
能保证有3副同色的？

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