小学六年级奥数题库

绝世美人儿
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2020年08月03日 18:13
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中秋国庆放假-十八大开幕时间


工程问题
1.甲乙两个水管单独开,注满一池水,分别需要20小时,16
小时.丙水管单独开,排一池水要10小时,若水池没水,同时打
开甲乙两水管,5小时后,再打开排水 管丙,问水池注满还是要
多少小时?
解:
120+116=980表示甲乙的工作效率
980×5=4580表示5小时后进水量
1-4580=3580表示还要的进水量
3580÷(980-110)=35表示还要35小时注满
答:5小时后还要35小时就能将水池注满。

2.修一条水渠,单独修,甲队需 要20天完成,乙队需要30天
完成。如果两队合作,由于彼此施工有影响,他们的工作效率就
要降低,甲队的工作效率是原来的五分之四,乙队工作效率只有
原来的十分之九。现在计划16天修完这 条水渠,且要求两队合
作的天数尽可能少,那么两队要合作几天?
解:由题意得,甲的工效 为120,乙的工效为130,甲乙的合
作工效为120*45+130*910=7100,可知甲乙 合作工效>甲
的工效>乙的工效。
又因为,要求“两队合作的天数尽可能少”,所以应该让 做的快
的甲多做,16天内实在来不及的才应该让甲乙合作完成。只有


这样才能 “两队合作的天数尽可能少”。
设合作时间为x天,则甲独做时间为(16-x)天
120*(16-x)+7100*x=1
x=10
答:甲乙最短合作10天

3.一件工作,甲、乙合做需4小时完成,乙、丙合做需5小时
完成。现在先请甲、 丙合做2小时后,余下的乙还需做6小时完
成。乙单独做完这件工作要多少小时?
解:
由题意知,14表示甲乙合作1小时的工作量,15表示乙丙合
作1小时的工作量
(14+15)×2=910表示甲做了2小时、乙做了4小时、丙
做了2小时的工作量。
根据“甲、丙合做2小时后,余下的乙还需做6小时完成”可知
甲做2小时、乙做6小时、丙做 2小时一共的工作量为1。
所以1-910=110表示乙做6-4=2小时的工作量。
110÷2=120表示乙的工作效率。
1÷120=20小时表示乙单独完成需要20小时。
答:乙单独完成需要20小时。

4.一项工程,第一天甲做,第二天乙做,第三天甲做,第四天


乙做 ,这样交替轮流做,那么恰好用整数天完工;如果第一天乙
做,第二天甲做,第三天乙做,第四天甲做, 这样交替轮流做,
那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需17
天完成,甲单 独做这项工程要多少天完成?
解:由题意可知
1甲+1乙+1甲+1乙+……+1甲=1
1乙+1甲+1乙+1甲+……+1乙+1甲×0.5=1
(1甲表示甲的工作效率、1乙 表示乙的工作效率,最后结束必
须如上所示,否则第二种做法就不比第一种多0.5天)
1甲=1乙+1甲×0.5(因为前面的工作量都相等)
得到1甲=1乙×2
又因为1乙=117
所以1甲=217,甲等于17÷2=8.5天

5.师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了12时,徒弟完
成了120个。当师傅完成了任务时, 徒弟完成了45这批零件共
有多少个?
答案为300个
120÷(45÷2)=300个
可以这样想:师傅第一次完成了12,第二次也是12, 两次一
共全部完工,那么徒弟第二次后共完成了45,可以推算出第一
次完成了45的一半是2 5,刚好是120个。



6.一批树苗,如果分给男女生栽,平均每人栽6 棵;如果单份
给女生栽,平均每人栽10棵。单份给男生栽,平均每人栽几
棵?
答案是15棵
算式:1÷(16-110)=15棵

7.一个池上 装有3根水管。甲管为进水管,乙管为出水管,20
分钟可将满池水放完,丙管也是出水管,30分钟可 将满池水放
完。现在先打开甲管,当水池水刚溢出时,打开乙,丙两管用了
18分钟放完,当打 开甲管注满水是,再打开乙管,而不开丙管,
多少分钟将水放完?
答案45分钟。
1÷(120+130)=12 表示乙丙合作将满池水放完需要的分钟
数。
112*(18-12)=112*6=12 表示乙丙合作将漫池水放完后,
还多放了6分钟的水,也就是甲18分钟进的水。
12÷18=136 表示甲每分钟进水
最后就是1÷(120-136)=45分钟。

8.某工程队需要在规定日期内完成,若由甲队去做,恰好如期
完成,若乙队去做, 要超过规定日期三天完成,若先由甲乙合作


二天,再由乙队单独做,恰好如期完成,问规 定日期为几天?
答案为6天
解:
由“若乙队去做,要超过规定日期三天完 成,若先由甲乙合作二
天,再由乙队单独做,恰好如期完成,”可知:
乙做3天的工作量=甲2天的工作量
即:甲乙的工作效率比是3:2
甲、乙分别做全部的的工作时间比是2:3
时间比的差是1份
实际时间的差是3天
所以3÷(3-2)×2=6天,就是甲的时间,也就是规定日期
方程方法:
[1x+1(x+2)]×2+1(x+2)×(x-2)=1
解得x=6

9.两根同样长的蜡烛,点完一根粗蜡烛要2小时,而点完一根细蜡烛要1小时,一天晚上停电,小芳同时点燃了这两根蜡烛看
书,若干分钟后来点了,小芳将两支 蜡烛同时熄灭,发现粗蜡烛
的长是细蜡烛的2倍,问:停电多少分钟?
答案为40分钟。
解:设停电了x分钟
根据题意列方程


1-1120*x=(1-160*x)*2
解得x=40


二.鸡兔同笼问题
1.鸡与兔共100只,鸡的腿数比兔的腿数少28条,问鸡与兔各有
几只?
解:
4*100=400,400-0=400 假设都是兔子,一共有400只兔子的
脚,那么鸡的脚为0只,鸡的脚比兔子的脚少400只。
400-28=372 实际鸡的脚数比兔子的脚数只少28只,相差372
只,这是为什么?
4+2=6 这是因为只要将一只兔子换成一只鸡,兔子的总脚数就
会减少4只(从400只变 为396只),鸡的总脚数就会增加2只
(从0只到2只),它们的相差数就会少4+2=6只(也就是 原来
的相差数是400-0=400,现在的相差数为396-2=394,相差数
少了400 -394=6)
372÷6=62 表示鸡的只数,也就是说因为假设中的100只兔子
中 有62只改为了鸡,所以脚的相差数从400改为28,一共改了
372只
100-62=38表示兔的只数





三.数字数位问题
1.把1至2005这2005个自然数依次写下来得到一个多位数123456789.....2005,这个多位数除以9余数是多少?
解:
首 先研究能被9整除的数的特点:如果各个数位上的数字之和能
被9整除,那么这个数也能被9整除;如果 各个位数字之和不能
被9整除,那么得的余数就是这个数除以9得的余数。
解题:1+2+3+4+5+6+7+8+9=45;45能被9整除
依次类推:1~1999这些数的个位上的数字之和可以被9整除
10~19,20~29 ……90~99这些数中十位上的数字都出现了10次,
那么十位上的数字之和就是10+20+30+ ……+90=450 它有能被9
整除
同样的道理,100~900 百位上的数字之和为4500 同样被9整

也就是说1~999这些连续的自然数的各个位上的数字之和可以
被9整除;
同样的道理:1000~1999这些连续的自然数中百位、十位、个位
上的数字之和可以被9整除(这里千位上的“1”还没考虑,同
时这里我们少2


从1000~1999千位上一共999个“1”的和是999,也能整除;
2的各位数字之和是27,也刚好整
除。
最后答案为余数为0。

2.A和B是小于100的两个非零的不同自然数。求A+B分之A-B
的最小值...
解:
(A-B)(A+B) = (A+B - 2B)(A+B) = 1 - 2 * B(A+B)
前面的 1 不会变了,只需求后面的最小值,此时 (A-B)(A+B)
最大。
对于 B (A+B) 取最小时,(A+B)B 取最大,
问题转化为求 (A+B)B 的最大值。
(A+B)B = 1 + AB ,最大的可能性是 AB = 991
(A+B)B = 100
(A-B)(A+B) 的最大值是: 98 100

3.已知A.B.C都是非0自然数,A2 + B4 + C16的近似值市
6.4,那么它的准确值是多少?
答案为6.375或6.4375
因为A2 + B4 + C16=8A+4B+C16≈6.4,
所以8A+4B+C≈ 102.4,由于A、B、C为非0自然数,因此8A+4B+C


为一个整数,可能是1 02,也有可能是103。
当是102时,10216=6.375
当是103时,10316=6.4375

4.一个三位数的各位数字 之和是 17.其中十位数字比个位数字
大1.如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调,得到一个新
的三位数,则新的三位数比原三位数大198,求原数.
答案为476
解:设原数个位为a,则十位为a+1,百位为16-2a
根据题意列方程100a+10a+16-2a-100(16-2a)-10a-a=198
解得a=6,则a+1=7 16-2a=4
答:原数为476。

5.一个两位数,在它的前面写上3,所组成的三位数比原两位数
的7倍多24,求原来的两位数.
答案为24
解:设该两位数为a,则该三位数为300+a
7a+24=300+a
a=24
答:该两位数为24。
6.把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数,


它与原数相加,和恰 好是某自然数的平方,这个和是多少?
答案为121
解:设原两位数为10a+b,则新两位数为10b+a
它们的和就是10a+b+10b+a=11(a+b)
因为这个和是一个平方数,可以确定a+b=11
因此这个和就是11×11=121
答:它们的和为121。

7.一个六位数的末位数字是2,如果把2移到首位,原数就是新
数的3倍,求原数.
答案为85714
解:设原六位数为abcde2,则新六位数为2abcde(字母上无 法
加横线,请将整个看成一个六位数)
再设abcde(五位数)为x,则原六位数就是10x+2,新六位数
就是200000+x
根据题意得,(200000+x)×3=10x+2
解得x=85714
所以原数就是857142
答:原数为857142

8.有一个四 位数,个位数字与百位数字的和是12,十位数字与千
位数字的和是9,如果个位数字与百位数字互换, 千位数字与十位


数字互换,新数就比原数增加2376,求原数.
答案为3963
解:设原四位数为abcd,则新数为cdab,且d+b=12,a+c=9
根据“新数就比原数增加2376”可知abcd+2376=cdab,列竖式
便于观察
abcd
2376
cdab
根据d+b=12,可知d、b可能是3、9;4、8;5、7;6、6。
再观察竖式中的个位,便可以知道只有当d=3,b=9;或d=8,
b=4时成立。
先取d=3,b=9代入竖式的百位,可以确定十位上有进位。
根据a+c=9,可知a、c可能是1、8;2、7;3、6;4、5。
再观察竖式中的十位,便可知只有当c=6,a=3时成立。
再代入竖式的千位,成立。
得到:abcd=3963
再取d=8,b=4代入竖式的十位,无法找到竖式的十位合适的
数,所以不成立。

9.有一个两位数,如果用它去除以个位数字,商为9余数为6,如
果用这个两位数 除以个位数字与十位数字之和,则商为5余数为
3,求这个两位数.


解:设这个两位数为ab
10a+b=9b+6
10a+b=5(a+b)+3
化简得到一样:5a+4b=3
由于a、b均为一位整数
得到a=3或7,b=3或8
原数为33或78均可以

10.如果现在是上午的10点21分,那么在经过2 8799...99(一
共有20个9)分钟之后的时间将是几点几分?
答案是10:20
解:
(28799……9(20个9)+1)6024整除,表示正好过了整数
天 ,时间仍然还是10:21,因为事先计算时加了1分钟,所以
现在时间是10:20

四.排列组合问题
1.有五对夫妇围成一圈,使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排
法有( )
A 768种 B 32种 C 24种 D 2的10次方中
解:
根据乘法原理,分两步:


第一步是把5对夫妻看作5个整体,进行排列有5 ×4×3×2×1
=120种不同的排法,但是因为是围成一个首尾相接的圈,就会
产生5个5 个重复,因此实际排法只有120÷5=24种。
第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置,也就是 说每一对夫妻
均有2种排法,总共又2×2×2×2×2=32种
综合两步,就有24×32=768种。

2 若把英语单词hello的字母写错了,则可能出现的错误共有
( )
A 119种 B 36种 C 59种 D 48种
解:
5全排列5*4*3*2*1=120
有两个l所以1202=60
原来有一种正确的所以60-1=59





五.容斥原理问题
1. 有100种赤贫.其 中含钙的有68种,含铁的有43种,那么,
同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是( )


A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11
解:根据容斥原理最小值68+43-100=11
最大值就是含铁的有43种

2.在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学
生参加竞赛, 每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一
题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人 数的2倍:(3)
只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1
人;(4)只解出 一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只
解出第二题的学生人数是( )
A,5 B,6 C,7 D,8
解:根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为
7 类:只答第1题,只答第2题,只答第3题,只答第1、2题,
只答第1、3题,只答2、3题,答1、 2、3题。
分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123
由(1)知:a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123=25…①
由(2)知:a2+a23=(a3+ a23)×2……②
由(3)知:a12+a13+a123=a1-1……③
由(4)知:a1=a2+a3……④
再由②得a23=a2-a3×2……⑤
再由③④得a12+a13+a123=a2+a3-1⑥
然后将④⑤⑥代入①中,整理得到


a2×4+a3=26
由于a2、a3均表示人数,可以求出它们的整数解:
当a2=6、5、4、3、2、1时,a3=2、6、10、14、18、22
又根据a23=a2-a3×2……⑤可知:a2>a3
因此,符合条件的只有a2=6,a3=2。
然后可以推出a1=8,a12+a13+a 123=7,a23=2,总人数=
8+6+2+7+2=25,检验所有条件均符。
故只解出第二题的学生人数a2=6人。

3.一次考试共有5道试题。做对第1 、2、3、、4、5题的分别占
参加考试人数的95%、80%、79%、74%、85%。如果做对三 道或三
道以上为合格,那么这次考试的合格率至少是多少?
答案:及格率至少为71%。
假设一共有100人考试
100-95=5
100-80=20
100-79=21
100-74=26
100-85=15
5+20+21+26+15=87(表示5题中有1题做错的最多人数)
87÷3=29(表示5题中有3题做错的最多人数,即不及格的人
数最多为29人)


100-29=71(及格的最少人数,其实都是全对的)
及格率至少为71%


六.抽屉原理、奇偶性问题
1.一 只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套,颜色有黑、红、
蓝、黄四种,问最少要摸出几只手套才能保证 有3副同色的?
解:可以把四种不同的颜色看成是4个抽屉,把手套看成是元素,
要保证有 一副同色的,就是1个抽屉里至少有2只手套,根据抽
屉原理,最少要摸出5只手套。这时拿出1副同色 的后4个抽屉
中还剩3只手套。再根据抽屉原理,只要再摸出2只手套,又能
保证有一副手套是 同色的,以此类推。
把四种颜色看做4个抽屉,要保证有3副同色的,先考虑保证有
1副就 要摸出5只手套。这时拿出1副同色的后,4个抽屉中还
剩下3只手套。根据抽屉原理,只要再摸出2只 手套,又能保证
有1副是同色的。以此类推,要保证有3副同色的,共摸出的手
套有:5+2+ 2=9(只)
答:最少要摸出9只手套,才能保证有3副同色的。

2.有四 种颜色的积木若干,每人可任取1-2件,至少有几个人
去取,才能保证有3人能取得完全一样?
答案为21


解:
每人取1件时有4种不同的取法,每人取2件时,有6种不同的取
法.
当有11人时,能保证至少有2人取得完全一样:
当有21人时,才能保证到少有3人取得完全一样.

3.某盒子内装50只球, 其中10只是红色,10只是绿色,10只
是黄色,10只是蓝色,其余是白球和黑球,为了确保取出的 球
中至少包含有7只同色的球,问:最少必须从袋中取出多少只
球?
解:需要分情况讨论,因为无法确定其中黑球与白球的个数。
当黑球或白球其中没有大于或等于7个的,那么就是:
6*4+10+1=35(个)
如果黑球或白球其中有等于7个的,那么就是:
6*5+3+1=34(个)
如果黑球或白球其中有等于8个的,那么就是:
6*5+2+1=33
如果黑球或白球其中有等于9个的,那么就是:
6*5+1+1=32
4.地上有四堆石子,石子数分别是1、9、15、31如果每次从其
中的三堆同时各取出1个,然 后都放入第四堆中,那么,能否经


过若干次操作,使得这四堆石子的个数都相同?(如果 能请说明
具体操作,不能则要说明理由)
不可能。
因为总数为1+9+15+31=56
564=14
14是一个偶数 而原来1、9、15、31都是奇数,取出1个和放入3个也都是奇
数,奇数加减若干次奇数后,结 果一定还是奇数,不可能得到偶
数(14个)。

七.路程问题
1. 狗跑5步的时间马跑3步,马跑4步的距离狗跑7步,现在
狗已跑出30米,马开始追它。问:狗再跑多 远,马可以追上它?
解:
根据“马跑4步的距离狗跑7步”,可以设马每步长为7x米,
则狗每步长为4x米。 根据“狗跑5步的时间马跑3步”,可知同一时间马跑3*7x米
=21x米,则狗跑5*4x=2 0米。
可以得出马与狗的速度比是21x:20x=21:20
根据“现在狗已跑出3 0米”,可以知道狗与马相差的路程是30
米,他们相差的份数是21-20=1,现在求马的21份是 多少路程,
就是 30÷(21-20)×21=630米



2.甲乙辆车同时从a b两地相对开出,几小时后再距中点40千
米处相遇?已知,甲车行完 全程要8小时,乙车行完全程要10
小时,求a b 两地相距多少千米?
答案720千米。
由“甲车行完全程要8小时,乙车行完全程要10小时”可知,
相遇时甲行了10份,乙行了8份(总路程为18份),两车相差
2份。又因为两车在中点40千米处相 遇,说明两车的路程差是
(40+40)千米。所以算式是(40+40)÷(10-8)×(10+8 )=
720千米。

3.在一个600米的环形跑道上,兄两人同时从同一个起点 按顺
时针方向跑步,两人每隔12分钟相遇一次,若两个人速度不变,
还是在原来出发点同时出 发,哥哥改为按逆时针方向跑,则两人
每隔4分钟相遇一次,两人跑一圈各要多少分钟?
答案为两人跑一圈各要6分钟和12分钟。
解:
600÷12=50,表示哥哥、弟弟的速度差
600÷4=150,表示哥哥、弟弟的速度和
(50+150)÷2=100,表示较快的速度,方法是求和差问题中的
较大数
(150-50)2=50,表示较慢的速度,方法是求和差问题中的较


小数
600÷100=6分钟,表示跑的快者用的时间
60050=12分钟,表示跑得慢者用的时间

4.慢车车长125米,车速每 秒行17米,快车车长140米,车速
每秒行22米,慢车在前面行驶,快车从后面追上来,那么,快< br>车从追上慢车的车尾到完全超过慢车需要多少时间?
答案为53秒
算式是(140+125)÷(22-17)=53秒
可以这样理解:“快车从追上慢车的 车尾到完全超过慢车”就是
快车车尾上的点追及慢车车头的点,因此追及的路程应该为两个
车长 的和。

5.在300米长的环形跑道上,甲乙两个人同时同向并排起跑,
甲平均 速度是每秒5米,乙平均速度是每秒4.4米,两人起跑后
的第一次相遇在起跑线前几米?
答案为100米
300÷(5-4.4)=500秒,表示追及时间
5×500=2500米,表示甲追到乙时所行的路程
2500÷300=8圈……100 米,表示甲追及总路程为8圈还多100
米,就是在原来起跑线的前方100米处相遇。


6.一个人在铁道边,听见远处传来的火车汽笛声后,在经过57
秒火车经过她 前面,已知火车鸣笛时离他1360米,(轨道是直的),
声音每秒传340米,求火车的速度(得出保 留整数)
答案为22米秒
算式:1360÷(1360÷340+57)≈22米秒
关键理解:人在听到声音后57秒才车到,说明人听到声音时车
已经从发声音的地方行出136 0÷340=4秒的路程。也就是1360
米一共用了4+57=61秒。

7. 猎犬发现在离它10米远的前方有一只奔跑着的野兔,马上紧
追上去,猎犬的步子大,它跑5步的路程, 兔子要跑9步,但是
兔子的动作快,猎犬跑2步的时间,兔子却能跑3步,问猎犬至
少跑多少米 才能追上兔子。
正确的答案是猎犬至少跑60米才能追上。
解:
由“猎犬 跑5步的路程,兔子要跑9步”可知当猎犬每步a米,
则兔子每步59米。由“猎犬跑2步的时间,兔子 却能跑3步”
可知同一时间,猎犬跑2a米,兔子可跑59a*3=53a米。从而
可知猎犬与 兔子的速度比是2a:53a=6:5,也就是说当猎犬
跑60米时候,兔子跑50米,本来相差的10 米刚好追完

8. AB两地,甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是4:5,


如果甲乙二人分别同时从AB两地相对行使,40分钟后两人相遇,
相遇后各自继续前 行,这样,乙到达A地比甲到达B地要晚多少
分钟?
答案:18分钟
解:设全程为1,甲的速度为x乙的速度为y
列式40x+40y=1
x:y=5:4
得x=172 y=190
走完全程甲需72分钟,乙需90分钟
故得解

9.甲乙两车同时从 AB两地相对开出。第一次相遇后两车继续行
驶,各自到达对方出发点后立即返回。第二次相遇时离B地 的距
离是AB全程的15。已知甲车在第一次相遇时行了120千米。
AB两地相距多少千米?
答案是300千米。
解:通过画线段图可知,两个人第一次相遇时一共行了1个AB
的路程,从开始到第二次相遇,一共又行了3个AB的路程,可
以推算出甲、乙各自共所行的路程分别 是第一次相遇前各自所走
的路程的3倍。即甲共走的路程是120*3=360千米,从线段图
可以看出,甲一共走了全程的(1+15)。
因此360÷(1+15)=300千米



从A地到B地,甲、乙两人骑自行车分别需要4小时、6小时,
现在 甲乙分别AB两地同时出发相向而行,相遇时距AB两地中点
2千米。如果二人分别至B地,A地后都立 即折回。第二次相遇
点第一次相遇点之间有()千米

10.一船以同样速度往返 于两地之间,它顺流需要6小时;逆流
8小时。如果水流速度是每小时2千米,求两地间的距离?
解:(16-18)÷2=148表示水速的分率
2÷148=96千米表示总路程

11.快车和慢车同时从甲乙两地相对开出,快车每小时行33千
米,相遇是已行了 全程的七分之四,已知慢车行完全程需要8小
时,求甲乙两地的路程。
解:
相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是4:3
时间比为3:4
所以快车行全程的时间为84*3=6小时
6*33=198千米

12.小华从甲地到乙地,3分之1骑车,3分之2乘车;从乙地返回
甲地,5分之3骑车,5分之2乘 车,结果慢了半小时.已知,骑车每


小时12千米,乘车每小时30千米,问:甲乙两地 相距多少千米?
解:
把路程看成1,得到时间系数
去时时间系数:13÷12+23÷30
返回时间系数:35÷12+25÷30 两者之差:(35÷12+25÷30)-(13÷12+23÷30)=175相
当于12小时
去时时间:12×(13÷12)÷175和12×(23÷30)175
路程:12×〔 12×(13÷12)÷175〕+30×〔12×(23÷30)
175〕=37.5(千米)

八.比例问题
1.甲乙两人在河边钓鱼,甲钓了三条,乙钓了两条,正准备吃, 有
一个人请求跟他们一起吃,于是三人将五条鱼平分了,为了表示
感谢,过路人留下10元,甲 、乙怎么分?快快快
答案:甲收8元,乙收2元。
解:
“三人将五条鱼平 分,客人拿出10元”,可以理解为五条鱼总
价值为30元,那么每条鱼价值6元。
又因为 “甲钓了三条”,相当于甲吃之前已经出资3*6=18元,
“乙钓了两条”,相当于乙吃之前已经出资 2*6=12元。
而甲乙两人吃了的价值都是10元,所以


甲还可以收回18-10=8元
乙还可以收回12-10=2元
刚好就是客人出的钱。

2.一种商品,今年的成本比去年增加了10分之1,但 仍保持原
售价,因此,每份利润下降了5分之2,那么,今年这种商品的
成本占售价的几分之几 ?
答案2225
最好画线段图思考:
把去年原来成本看成20份,利润看 成5份,则今年的成本提高
110,就是22份,利润下降了25,今年的利润只有3份。增
加 的成本2份刚好是下降利润的2份。售价都是25份。
所以,今年的成本占售价的2225。

3.甲乙两车分别从A.B两地出发,相向而行,出发时,甲.乙的速
度比是5:4 ,相遇后,甲的速度减少20%,乙的速度增加20%,这样,
当甲到达B地时,乙离A地还有10千米 ,那么A.B两地相距多少
千米?
解:
原来甲.乙的速度比是5:4
现在的甲:5×(1-20%)=4
现在的乙:4×(1+20%)4.8


甲到B后,乙离A还有:5-4.8=0.2
总路程:10÷0.2×(4+5)=450千米

4.一个圆柱的底面周长减少25%,要使体积增加13,现在的高
和原来的高度比是多少?
答案为64:27
解:根据“周长减少25%”,可知周长是原来的34,那么半径
也是原来的34,则面积是原来的916。
根据“体积增加13”,可知体积是原来的43。
体积÷底面积=高
现在的高是43÷916=6427,也就是说现在的高是原来的高
的6427
或者现在的高:原来的高=6427:1=64:27

5.某市场运来香蕉、苹 果、橘子和梨四种水果其中橘子、苹果
共30吨香蕉、橘子和梨共45吨。橘子正好占总数的13分之2 。
一共运来水果多少吨?
第二题:答案为65吨
橘子+苹果=30吨
香蕉+橘子+梨=45吨
所以橘子+苹果+香蕉+橘子+梨=75吨


橘子÷(香蕉+苹果+橘子+梨)=213
说明:橘子是2份,香蕉+苹果+橘子+梨是13份
橘子+香蕉+苹果+橘子+梨一共是2+13=15份


工程问题
1.甲乙两个水管单独开,注满一池水,分别需要20小时,16
小时.丙水管单独开,排一池水要10 小时,若水池没水,同时打
开甲乙两水管,5小时后,再打开排水管丙,问水池注满还是要
多少 小时?
解:
120+116=980表示甲乙的工作效率
980×5=4580表示5小时后进水量
1-4580=3580表示还要的进水量
3580÷(980-110)=35表示还要35小时注满
答:5小时后还要35小时就能将水池注满。

2.修一条水渠,单独修,甲队需 要20天完成,乙队需要30天
完成。如果两队合作,由于彼此施工有影响,他们的工作效率就
要降低,甲队的工作效率是原来的五分之四,乙队工作效率只有
原来的十分之九。现在计划16天修完这 条水渠,且要求两队合
作的天数尽可能少,那么两队要合作几天?
解:由题意得,甲的工效 为120,乙的工效为130,甲乙的合
作工效为120*45+130*910=7100,可知甲乙 合作工效>甲
的工效>乙的工效。
又因为,要求“两队合作的天数尽可能少”,所以应该让 做的快
的甲多做,16天内实在来不及的才应该让甲乙合作完成。只有


这样才能 “两队合作的天数尽可能少”。
设合作时间为x天,则甲独做时间为(16-x)天
120*(16-x)+7100*x=1
x=10
答:甲乙最短合作10天

3.一件工作,甲、乙合做需4小时完成,乙、丙合做需5小时
完成。现在先请甲、 丙合做2小时后,余下的乙还需做6小时完
成。乙单独做完这件工作要多少小时?
解:
由题意知,14表示甲乙合作1小时的工作量,15表示乙丙合
作1小时的工作量
(14+15)×2=910表示甲做了2小时、乙做了4小时、丙
做了2小时的工作量。
根据“甲、丙合做2小时后,余下的乙还需做6小时完成”可知
甲做2小时、乙做6小时、丙做 2小时一共的工作量为1。
所以1-910=110表示乙做6-4=2小时的工作量。
110÷2=120表示乙的工作效率。
1÷120=20小时表示乙单独完成需要20小时。
答:乙单独完成需要20小时。

4.一项工程,第一天甲做,第二天乙做,第三天甲做,第四天


乙做 ,这样交替轮流做,那么恰好用整数天完工;如果第一天乙
做,第二天甲做,第三天乙做,第四天甲做, 这样交替轮流做,
那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需17
天完成,甲单 独做这项工程要多少天完成?
解:由题意可知
1甲+1乙+1甲+1乙+……+1甲=1
1乙+1甲+1乙+1甲+……+1乙+1甲×0.5=1
(1甲表示甲的工作效率、1乙 表示乙的工作效率,最后结束必
须如上所示,否则第二种做法就不比第一种多0.5天)
1甲=1乙+1甲×0.5(因为前面的工作量都相等)
得到1甲=1乙×2
又因为1乙=117
所以1甲=217,甲等于17÷2=8.5天

5.师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了12时,徒弟完
成了120个。当师傅完成了任务时, 徒弟完成了45这批零件共
有多少个?
答案为300个
120÷(45÷2)=300个
可以这样想:师傅第一次完成了12,第二次也是12, 两次一
共全部完工,那么徒弟第二次后共完成了45,可以推算出第一
次完成了45的一半是2 5,刚好是120个。



6.一批树苗,如果分给男女生栽,平均每人栽6 棵;如果单份
给女生栽,平均每人栽10棵。单份给男生栽,平均每人栽几
棵?
答案是15棵
算式:1÷(16-110)=15棵

7.一个池上 装有3根水管。甲管为进水管,乙管为出水管,20
分钟可将满池水放完,丙管也是出水管,30分钟可 将满池水放
完。现在先打开甲管,当水池水刚溢出时,打开乙,丙两管用了
18分钟放完,当打 开甲管注满水是,再打开乙管,而不开丙管,
多少分钟将水放完?
答案45分钟。
1÷(120+130)=12 表示乙丙合作将满池水放完需要的分钟
数。
112*(18-12)=112*6=12 表示乙丙合作将漫池水放完后,
还多放了6分钟的水,也就是甲18分钟进的水。
12÷18=136 表示甲每分钟进水
最后就是1÷(120-136)=45分钟。

8.某工程队需要在规定日期内完成,若由甲队去做,恰好如期
完成,若乙队去做, 要超过规定日期三天完成,若先由甲乙合作


二天,再由乙队单独做,恰好如期完成,问规 定日期为几天?
答案为6天
解:
由“若乙队去做,要超过规定日期三天完 成,若先由甲乙合作二
天,再由乙队单独做,恰好如期完成,”可知:
乙做3天的工作量=甲2天的工作量
即:甲乙的工作效率比是3:2
甲、乙分别做全部的的工作时间比是2:3
时间比的差是1份
实际时间的差是3天
所以3÷(3-2)×2=6天,就是甲的时间,也就是规定日期
方程方法:
[1x+1(x+2)]×2+1(x+2)×(x-2)=1
解得x=6

9.两根同样长的蜡烛,点完一根粗蜡烛要2小时,而点完一根细蜡烛要1小时,一天晚上停电,小芳同时点燃了这两根蜡烛看
书,若干分钟后来点了,小芳将两支 蜡烛同时熄灭,发现粗蜡烛
的长是细蜡烛的2倍,问:停电多少分钟?
答案为40分钟。
解:设停电了x分钟
根据题意列方程


1-1120*x=(1-160*x)*2
解得x=40


二.鸡兔同笼问题
1.鸡与兔共100只,鸡的腿数比兔的腿数少28条,问鸡与兔各有
几只?
解:
4*100=400,400-0=400 假设都是兔子,一共有400只兔子的
脚,那么鸡的脚为0只,鸡的脚比兔子的脚少400只。
400-28=372 实际鸡的脚数比兔子的脚数只少28只,相差372
只,这是为什么?
4+2=6 这是因为只要将一只兔子换成一只鸡,兔子的总脚数就
会减少4只(从400只变 为396只),鸡的总脚数就会增加2只
(从0只到2只),它们的相差数就会少4+2=6只(也就是 原来
的相差数是400-0=400,现在的相差数为396-2=394,相差数
少了400 -394=6)
372÷6=62 表示鸡的只数,也就是说因为假设中的100只兔子
中 有62只改为了鸡,所以脚的相差数从400改为28,一共改了
372只
100-62=38表示兔的只数





三.数字数位问题
1.把1至2005这2005个自然数依次写下来得到一个多位数123456789.....2005,这个多位数除以9余数是多少?
解:
首 先研究能被9整除的数的特点:如果各个数位上的数字之和能
被9整除,那么这个数也能被9整除;如果 各个位数字之和不能
被9整除,那么得的余数就是这个数除以9得的余数。
解题:1+2+3+4+5+6+7+8+9=45;45能被9整除
依次类推:1~1999这些数的个位上的数字之和可以被9整除
10~19,20~29 ……90~99这些数中十位上的数字都出现了10次,
那么十位上的数字之和就是10+20+30+ ……+90=450 它有能被9
整除
同样的道理,100~900 百位上的数字之和为4500 同样被9整

也就是说1~999这些连续的自然数的各个位上的数字之和可以
被9整除;
同样的道理:1000~1999这些连续的自然数中百位、十位、个位
上的数字之和可以被9整除(这里千位上的“1”还没考虑,同
时这里我们少2


从1000~1999千位上一共999个“1”的和是999,也能整除;
2的各位数字之和是27,也刚好整
除。
最后答案为余数为0。

2.A和B是小于100的两个非零的不同自然数。求A+B分之A-B
的最小值...
解:
(A-B)(A+B) = (A+B - 2B)(A+B) = 1 - 2 * B(A+B)
前面的 1 不会变了,只需求后面的最小值,此时 (A-B)(A+B)
最大。
对于 B (A+B) 取最小时,(A+B)B 取最大,
问题转化为求 (A+B)B 的最大值。
(A+B)B = 1 + AB ,最大的可能性是 AB = 991
(A+B)B = 100
(A-B)(A+B) 的最大值是: 98 100

3.已知A.B.C都是非0自然数,A2 + B4 + C16的近似值市
6.4,那么它的准确值是多少?
答案为6.375或6.4375
因为A2 + B4 + C16=8A+4B+C16≈6.4,
所以8A+4B+C≈ 102.4,由于A、B、C为非0自然数,因此8A+4B+C


为一个整数,可能是1 02,也有可能是103。
当是102时,10216=6.375
当是103时,10316=6.4375

4.一个三位数的各位数字 之和是 17.其中十位数字比个位数字
大1.如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调,得到一个新
的三位数,则新的三位数比原三位数大198,求原数.
答案为476
解:设原数个位为a,则十位为a+1,百位为16-2a
根据题意列方程100a+10a+16-2a-100(16-2a)-10a-a=198
解得a=6,则a+1=7 16-2a=4
答:原数为476。

5.一个两位数,在它的前面写上3,所组成的三位数比原两位数
的7倍多24,求原来的两位数.
答案为24
解:设该两位数为a,则该三位数为300+a
7a+24=300+a
a=24
答:该两位数为24。
6.把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数,


它与原数相加,和恰 好是某自然数的平方,这个和是多少?
答案为121
解:设原两位数为10a+b,则新两位数为10b+a
它们的和就是10a+b+10b+a=11(a+b)
因为这个和是一个平方数,可以确定a+b=11
因此这个和就是11×11=121
答:它们的和为121。

7.一个六位数的末位数字是2,如果把2移到首位,原数就是新
数的3倍,求原数.
答案为85714
解:设原六位数为abcde2,则新六位数为2abcde(字母上无 法
加横线,请将整个看成一个六位数)
再设abcde(五位数)为x,则原六位数就是10x+2,新六位数
就是200000+x
根据题意得,(200000+x)×3=10x+2
解得x=85714
所以原数就是857142
答:原数为857142

8.有一个四 位数,个位数字与百位数字的和是12,十位数字与千
位数字的和是9,如果个位数字与百位数字互换, 千位数字与十位


数字互换,新数就比原数增加2376,求原数.
答案为3963
解:设原四位数为abcd,则新数为cdab,且d+b=12,a+c=9
根据“新数就比原数增加2376”可知abcd+2376=cdab,列竖式
便于观察
abcd
2376
cdab
根据d+b=12,可知d、b可能是3、9;4、8;5、7;6、6。
再观察竖式中的个位,便可以知道只有当d=3,b=9;或d=8,
b=4时成立。
先取d=3,b=9代入竖式的百位,可以确定十位上有进位。
根据a+c=9,可知a、c可能是1、8;2、7;3、6;4、5。
再观察竖式中的十位,便可知只有当c=6,a=3时成立。
再代入竖式的千位,成立。
得到:abcd=3963
再取d=8,b=4代入竖式的十位,无法找到竖式的十位合适的
数,所以不成立。

9.有一个两位数,如果用它去除以个位数字,商为9余数为6,如
果用这个两位数 除以个位数字与十位数字之和,则商为5余数为
3,求这个两位数.


解:设这个两位数为ab
10a+b=9b+6
10a+b=5(a+b)+3
化简得到一样:5a+4b=3
由于a、b均为一位整数
得到a=3或7,b=3或8
原数为33或78均可以

10.如果现在是上午的10点21分,那么在经过2 8799...99(一
共有20个9)分钟之后的时间将是几点几分?
答案是10:20
解:
(28799……9(20个9)+1)6024整除,表示正好过了整数
天 ,时间仍然还是10:21,因为事先计算时加了1分钟,所以
现在时间是10:20

四.排列组合问题
1.有五对夫妇围成一圈,使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排
法有( )
A 768种 B 32种 C 24种 D 2的10次方中
解:
根据乘法原理,分两步:


第一步是把5对夫妻看作5个整体,进行排列有5 ×4×3×2×1
=120种不同的排法,但是因为是围成一个首尾相接的圈,就会
产生5个5 个重复,因此实际排法只有120÷5=24种。
第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置,也就是 说每一对夫妻
均有2种排法,总共又2×2×2×2×2=32种
综合两步,就有24×32=768种。

2 若把英语单词hello的字母写错了,则可能出现的错误共有
( )
A 119种 B 36种 C 59种 D 48种
解:
5全排列5*4*3*2*1=120
有两个l所以1202=60
原来有一种正确的所以60-1=59





五.容斥原理问题
1. 有100种赤贫.其 中含钙的有68种,含铁的有43种,那么,
同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是( )


A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11
解:根据容斥原理最小值68+43-100=11
最大值就是含铁的有43种

2.在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学
生参加竞赛, 每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一
题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人 数的2倍:(3)
只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1
人;(4)只解出 一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只
解出第二题的学生人数是( )
A,5 B,6 C,7 D,8
解:根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为
7 类:只答第1题,只答第2题,只答第3题,只答第1、2题,
只答第1、3题,只答2、3题,答1、 2、3题。
分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123
由(1)知:a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123=25…①
由(2)知:a2+a23=(a3+ a23)×2……②
由(3)知:a12+a13+a123=a1-1……③
由(4)知:a1=a2+a3……④
再由②得a23=a2-a3×2……⑤
再由③④得a12+a13+a123=a2+a3-1⑥
然后将④⑤⑥代入①中,整理得到


a2×4+a3=26
由于a2、a3均表示人数,可以求出它们的整数解:
当a2=6、5、4、3、2、1时,a3=2、6、10、14、18、22
又根据a23=a2-a3×2……⑤可知:a2>a3
因此,符合条件的只有a2=6,a3=2。
然后可以推出a1=8,a12+a13+a 123=7,a23=2,总人数=
8+6+2+7+2=25,检验所有条件均符。
故只解出第二题的学生人数a2=6人。

3.一次考试共有5道试题。做对第1 、2、3、、4、5题的分别占
参加考试人数的95%、80%、79%、74%、85%。如果做对三 道或三
道以上为合格,那么这次考试的合格率至少是多少?
答案:及格率至少为71%。
假设一共有100人考试
100-95=5
100-80=20
100-79=21
100-74=26
100-85=15
5+20+21+26+15=87(表示5题中有1题做错的最多人数)
87÷3=29(表示5题中有3题做错的最多人数,即不及格的人
数最多为29人)


100-29=71(及格的最少人数,其实都是全对的)
及格率至少为71%


六.抽屉原理、奇偶性问题
1.一 只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套,颜色有黑、红、
蓝、黄四种,问最少要摸出几只手套才能保证 有3副同色的?
解:可以把四种不同的颜色看成是4个抽屉,把手套看成是元素,
要保证有 一副同色的,就是1个抽屉里至少有2只手套,根据抽
屉原理,最少要摸出5只手套。这时拿出1副同色 的后4个抽屉
中还剩3只手套。再根据抽屉原理,只要再摸出2只手套,又能
保证有一副手套是 同色的,以此类推。
把四种颜色看做4个抽屉,要保证有3副同色的,先考虑保证有
1副就 要摸出5只手套。这时拿出1副同色的后,4个抽屉中还
剩下3只手套。根据抽屉原理,只要再摸出2只 手套,又能保证
有1副是同色的。以此类推,要保证有3副同色的,共摸出的手
套有:5+2+ 2=9(只)
答:最少要摸出9只手套,才能保证有3副同色的。

2.有四 种颜色的积木若干,每人可任取1-2件,至少有几个人
去取,才能保证有3人能取得完全一样?
答案为21


解:
每人取1件时有4种不同的取法,每人取2件时,有6种不同的取
法.
当有11人时,能保证至少有2人取得完全一样:
当有21人时,才能保证到少有3人取得完全一样.

3.某盒子内装50只球, 其中10只是红色,10只是绿色,10只
是黄色,10只是蓝色,其余是白球和黑球,为了确保取出的 球
中至少包含有7只同色的球,问:最少必须从袋中取出多少只
球?
解:需要分情况讨论,因为无法确定其中黑球与白球的个数。
当黑球或白球其中没有大于或等于7个的,那么就是:
6*4+10+1=35(个)
如果黑球或白球其中有等于7个的,那么就是:
6*5+3+1=34(个)
如果黑球或白球其中有等于8个的,那么就是:
6*5+2+1=33
如果黑球或白球其中有等于9个的,那么就是:
6*5+1+1=32
4.地上有四堆石子,石子数分别是1、9、15、31如果每次从其
中的三堆同时各取出1个,然 后都放入第四堆中,那么,能否经


过若干次操作,使得这四堆石子的个数都相同?(如果 能请说明
具体操作,不能则要说明理由)
不可能。
因为总数为1+9+15+31=56
564=14
14是一个偶数 而原来1、9、15、31都是奇数,取出1个和放入3个也都是奇
数,奇数加减若干次奇数后,结 果一定还是奇数,不可能得到偶
数(14个)。

七.路程问题
1. 狗跑5步的时间马跑3步,马跑4步的距离狗跑7步,现在
狗已跑出30米,马开始追它。问:狗再跑多 远,马可以追上它?
解:
根据“马跑4步的距离狗跑7步”,可以设马每步长为7x米,
则狗每步长为4x米。 根据“狗跑5步的时间马跑3步”,可知同一时间马跑3*7x米
=21x米,则狗跑5*4x=2 0米。
可以得出马与狗的速度比是21x:20x=21:20
根据“现在狗已跑出3 0米”,可以知道狗与马相差的路程是30
米,他们相差的份数是21-20=1,现在求马的21份是 多少路程,
就是 30÷(21-20)×21=630米



2.甲乙辆车同时从a b两地相对开出,几小时后再距中点40千
米处相遇?已知,甲车行完 全程要8小时,乙车行完全程要10
小时,求a b 两地相距多少千米?
答案720千米。
由“甲车行完全程要8小时,乙车行完全程要10小时”可知,
相遇时甲行了10份,乙行了8份(总路程为18份),两车相差
2份。又因为两车在中点40千米处相 遇,说明两车的路程差是
(40+40)千米。所以算式是(40+40)÷(10-8)×(10+8 )=
720千米。

3.在一个600米的环形跑道上,兄两人同时从同一个起点 按顺
时针方向跑步,两人每隔12分钟相遇一次,若两个人速度不变,
还是在原来出发点同时出 发,哥哥改为按逆时针方向跑,则两人
每隔4分钟相遇一次,两人跑一圈各要多少分钟?
答案为两人跑一圈各要6分钟和12分钟。
解:
600÷12=50,表示哥哥、弟弟的速度差
600÷4=150,表示哥哥、弟弟的速度和
(50+150)÷2=100,表示较快的速度,方法是求和差问题中的
较大数
(150-50)2=50,表示较慢的速度,方法是求和差问题中的较


小数
600÷100=6分钟,表示跑的快者用的时间
60050=12分钟,表示跑得慢者用的时间

4.慢车车长125米,车速每 秒行17米,快车车长140米,车速
每秒行22米,慢车在前面行驶,快车从后面追上来,那么,快< br>车从追上慢车的车尾到完全超过慢车需要多少时间?
答案为53秒
算式是(140+125)÷(22-17)=53秒
可以这样理解:“快车从追上慢车的 车尾到完全超过慢车”就是
快车车尾上的点追及慢车车头的点,因此追及的路程应该为两个
车长 的和。

5.在300米长的环形跑道上,甲乙两个人同时同向并排起跑,
甲平均 速度是每秒5米,乙平均速度是每秒4.4米,两人起跑后
的第一次相遇在起跑线前几米?
答案为100米
300÷(5-4.4)=500秒,表示追及时间
5×500=2500米,表示甲追到乙时所行的路程
2500÷300=8圈……100 米,表示甲追及总路程为8圈还多100
米,就是在原来起跑线的前方100米处相遇。


6.一个人在铁道边,听见远处传来的火车汽笛声后,在经过57
秒火车经过她 前面,已知火车鸣笛时离他1360米,(轨道是直的),
声音每秒传340米,求火车的速度(得出保 留整数)
答案为22米秒
算式:1360÷(1360÷340+57)≈22米秒
关键理解:人在听到声音后57秒才车到,说明人听到声音时车
已经从发声音的地方行出136 0÷340=4秒的路程。也就是1360
米一共用了4+57=61秒。

7. 猎犬发现在离它10米远的前方有一只奔跑着的野兔,马上紧
追上去,猎犬的步子大,它跑5步的路程, 兔子要跑9步,但是
兔子的动作快,猎犬跑2步的时间,兔子却能跑3步,问猎犬至
少跑多少米 才能追上兔子。
正确的答案是猎犬至少跑60米才能追上。
解:
由“猎犬 跑5步的路程,兔子要跑9步”可知当猎犬每步a米,
则兔子每步59米。由“猎犬跑2步的时间,兔子 却能跑3步”
可知同一时间,猎犬跑2a米,兔子可跑59a*3=53a米。从而
可知猎犬与 兔子的速度比是2a:53a=6:5,也就是说当猎犬
跑60米时候,兔子跑50米,本来相差的10 米刚好追完

8. AB两地,甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是4:5,


如果甲乙二人分别同时从AB两地相对行使,40分钟后两人相遇,
相遇后各自继续前 行,这样,乙到达A地比甲到达B地要晚多少
分钟?
答案:18分钟
解:设全程为1,甲的速度为x乙的速度为y
列式40x+40y=1
x:y=5:4
得x=172 y=190
走完全程甲需72分钟,乙需90分钟
故得解

9.甲乙两车同时从 AB两地相对开出。第一次相遇后两车继续行
驶,各自到达对方出发点后立即返回。第二次相遇时离B地 的距
离是AB全程的15。已知甲车在第一次相遇时行了120千米。
AB两地相距多少千米?
答案是300千米。
解:通过画线段图可知,两个人第一次相遇时一共行了1个AB
的路程,从开始到第二次相遇,一共又行了3个AB的路程,可
以推算出甲、乙各自共所行的路程分别 是第一次相遇前各自所走
的路程的3倍。即甲共走的路程是120*3=360千米,从线段图
可以看出,甲一共走了全程的(1+15)。
因此360÷(1+15)=300千米



从A地到B地,甲、乙两人骑自行车分别需要4小时、6小时,
现在 甲乙分别AB两地同时出发相向而行,相遇时距AB两地中点
2千米。如果二人分别至B地,A地后都立 即折回。第二次相遇
点第一次相遇点之间有()千米

10.一船以同样速度往返 于两地之间,它顺流需要6小时;逆流
8小时。如果水流速度是每小时2千米,求两地间的距离?
解:(16-18)÷2=148表示水速的分率
2÷148=96千米表示总路程

11.快车和慢车同时从甲乙两地相对开出,快车每小时行33千
米,相遇是已行了 全程的七分之四,已知慢车行完全程需要8小
时,求甲乙两地的路程。
解:
相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是4:3
时间比为3:4
所以快车行全程的时间为84*3=6小时
6*33=198千米

12.小华从甲地到乙地,3分之1骑车,3分之2乘车;从乙地返回
甲地,5分之3骑车,5分之2乘 车,结果慢了半小时.已知,骑车每


小时12千米,乘车每小时30千米,问:甲乙两地 相距多少千米?
解:
把路程看成1,得到时间系数
去时时间系数:13÷12+23÷30
返回时间系数:35÷12+25÷30 两者之差:(35÷12+25÷30)-(13÷12+23÷30)=175相
当于12小时
去时时间:12×(13÷12)÷175和12×(23÷30)175
路程:12×〔 12×(13÷12)÷175〕+30×〔12×(23÷30)
175〕=37.5(千米)

八.比例问题
1.甲乙两人在河边钓鱼,甲钓了三条,乙钓了两条,正准备吃, 有
一个人请求跟他们一起吃,于是三人将五条鱼平分了,为了表示
感谢,过路人留下10元,甲 、乙怎么分?快快快
答案:甲收8元,乙收2元。
解:
“三人将五条鱼平 分,客人拿出10元”,可以理解为五条鱼总
价值为30元,那么每条鱼价值6元。
又因为 “甲钓了三条”,相当于甲吃之前已经出资3*6=18元,
“乙钓了两条”,相当于乙吃之前已经出资 2*6=12元。
而甲乙两人吃了的价值都是10元,所以


甲还可以收回18-10=8元
乙还可以收回12-10=2元
刚好就是客人出的钱。

2.一种商品,今年的成本比去年增加了10分之1,但 仍保持原
售价,因此,每份利润下降了5分之2,那么,今年这种商品的
成本占售价的几分之几 ?
答案2225
最好画线段图思考:
把去年原来成本看成20份,利润看 成5份,则今年的成本提高
110,就是22份,利润下降了25,今年的利润只有3份。增
加 的成本2份刚好是下降利润的2份。售价都是25份。
所以,今年的成本占售价的2225。

3.甲乙两车分别从A.B两地出发,相向而行,出发时,甲.乙的速
度比是5:4 ,相遇后,甲的速度减少20%,乙的速度增加20%,这样,
当甲到达B地时,乙离A地还有10千米 ,那么A.B两地相距多少
千米?
解:
原来甲.乙的速度比是5:4
现在的甲:5×(1-20%)=4
现在的乙:4×(1+20%)4.8


甲到B后,乙离A还有:5-4.8=0.2
总路程:10÷0.2×(4+5)=450千米

4.一个圆柱的底面周长减少25%,要使体积增加13,现在的高
和原来的高度比是多少?
答案为64:27
解:根据“周长减少25%”,可知周长是原来的34,那么半径
也是原来的34,则面积是原来的916。
根据“体积增加13”,可知体积是原来的43。
体积÷底面积=高
现在的高是43÷916=6427,也就是说现在的高是原来的高
的6427
或者现在的高:原来的高=6427:1=64:27

5.某市场运来香蕉、苹 果、橘子和梨四种水果其中橘子、苹果
共30吨香蕉、橘子和梨共45吨。橘子正好占总数的13分之2 。
一共运来水果多少吨?
第二题:答案为65吨
橘子+苹果=30吨
香蕉+橘子+梨=45吨
所以橘子+苹果+香蕉+橘子+梨=75吨


橘子÷(香蕉+苹果+橘子+梨)=213
说明:橘子是2份,香蕉+苹果+橘子+梨是13份
橘子+香蕉+苹果+橘子+梨一共是2+13=15份

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