山楂树之恋观后感-新疆大学生村官

三角形“四心”向量形式的充要条件应用
知识点总结
1．O是
ABC
的重心

OAOBOC0
; 若O是
ABC
的重心，则
PG
1
(PAPBPC)
G
为
ABC
的重心.
3
2．O是
AB C
的垂心

OAOBOBOCOCOA
;
S
 BOC
S
AOC
S
AOB

1
S
ABC
3
故
OAOBOC0
;

tanB：tanC
若O是
ABC
(非直角三角形)的垂心，则
S
BOC
：S
AOC
：S
AOB
tanA：
故
tanAOAtanBOBtanCOC0

3．O是
ABC< br>的外心

|OA||OB||OC|
(或
OAOBOC
)
sinAOC：sinAOBsin2A:sin2B:sin2C
若O是ABC
的外心则
S
BOC
：S
AOC
：S
AOB
sinBOC：
222
故
sin2AOAsin2BOB sin2COC0

4．O是内心
ABC
的充要条件是
OA(
AB
|AB|

AC
AC
)OB(
BA
|BA|

BC
|BC|
)OC(
CA
|CA|
CB
|CB|
)0

引进单位向量，使条件变得更简洁。如 果记
AB,BC,CA
的单位向量为
e
1
,e
2
, e
3
，则刚才O是
ABC
内心的充要条件可以写成
OA(e< br>1
e
3
)OB(e
1
e
2
)OC (e
2
e
3
)0
，O是
ABC
内心的充要条件也可以是
aOAbOBcOC0
。若O是
ABC
的内心，则
S
BOC
：S
AOC：S
AOB
a：b：c

故
aOAbOBcOC0或sinAOAsinBOBsinCOC0
;
A
|AB|PC|BC|PA|CA|PB0P
是
ABC
的内心;
e
1
B
P
e
2
C
向量
< br>(
AB

AC
)(

0)
所在直线过ABC
的内心(是
BAC
的角平
|AB||AC|
分线所在 直线)；
范 例
(一)将平面向量与三角形内心结合考查
例1．O是平面上 的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足
OPOA

(
AB
AB

AC
AC
)
，



0,

则P点的轨迹一定通过
ABC
的（ ）
（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心

- 1 -

解析：因为
AB
AB
是向量
AB
的单位向量设
AB
与
AC
方向上的单位向量分别为
e
1
和e
2
， 又
OPOAAP
，则原式可化为
AP

(e
1
e
2
)
，由菱形的基本性质知AP平分
BAC
，那么在
ABC
中，AP平分
BAC
，则知选B.
(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”
例2． H是△ABC所在平面内任一点，< br>HAHBHBHCHCHA

点H是△ABC的垂心.
由
HAHBHBHCHB(HCHA)0HBAC0HBAC
,
同理
HCAB
，
HABC
.故H是△ABC的垂心. （反之亦然（证略））
例3.(湖南)P是△ABC所在平面上一点，若
PAPBPB PCPCPA
，则P是△ABC的（D ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
解析:由
PAPBPBPC得PAPBPBPC0
.即PB(PAPC)0,即PBCA0

则
PBCA,同理PABC,PCAB
所以P为
ABC
的垂心. 故选D.
(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”
例4． G是△ABC所在平面内一点，GAGBGC
=0

点G是△ABC的
重心.
证明 作图如右，图中
GBGCGE

连结BE和CE，则CE=GB，BE=GC
BGCE为平行四边形

D是BC的中点，AD为BC边
上的中线.
将
GBGCGE
代入
GAGBGC
=0，
得GAEG
=0

GAGE2GD
，故G是△ABC的重心.（ 反之亦然（证略））
例5． P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心
PG(PAPBPC)
.
证明
PGPAAGPBBGPC CG

3PG(AGBGCG)(PAPBPC)

∵G是△ABC的重心 ∴
GAGBGC
=0

AGBG CG
=0，即
3PGPAPBPC

由此可得
PG(PAPBPC)
.（反之亦然（证略））
例6 若
O
为
ABC
内一点，
OAOBOC0
，则
O
是
ABC
的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心

- 2 -
1
3
1
3

解析：由
O AOBOC0
得
OBOCOA
，如图以OB、OC为相邻两边构作平行四 边形，则
1
OBOCOD
，由平行四边形性质知
OEOD
，< br>OA2OE
，同理可证其它两边上的这个性
2
质，所以是重心，选D。
(四) 将平面向量与三角形外心结合考查
例7若
O
为
ABC
内一点，
OAOBOC
，则
O
是
ABC
的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
解析：由向量模的定义知
O
到
A BC
的三顶点距离相等。故
O
是
ABC
的外心 ，选B。
(五)将平面向量与三角形四心结合考查
例8．已知向量
OP
1
，
OP
2
，
OP
3
满足条件
OP
1
+
OP
2
+
OP
3
=0，|
OP
1|=|
OP
2
|=|
OP
3
|=1，
求证 △P
1
P
2
P
3
是正三角形.（《数学》第一册（下），复 习参考题五B组第6题）
证明 由已知
OP
1
+
OP
2
=-
OP
3
，两边平方得
OP
1
·
OP< br>2
=

，
同理
OP
2
·
OP
3
=
OP
3
·
OP
1
=

，
∴|
P
1
P
2
|=|
P2
P
3
|=|
P
3
P
1
|=
3
，从而△P
1
P
2
P
3
是正三角形.
反之，若点O是正三角形△P
1
P
2
P
3
的中心，则显然有
OP
1
+
OP
2
+
OP
3
=0且 |
OP
1
|=|
OP
2
|=|
OP
3|.
即O是△ABC所在平面内一点，
OP
1
1
2
1
2
+
OP
2
+
OP
3
=0且|
OP
1
|=|
OP
2
|=|
OP
3
|
点O是正△P
1
P
2
P
3
的中心.
例9．在△ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H三点共
线 ，且QG:GH=1:2。
【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标 系。设A(0,0)、B（x
1
,0）、
C(x
2
,y
2< br>)，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则有：
xxx
2
y
2
xyx
D（
1
,0)、E(
1
,)、F(
2< br>,
2
)
由题设可设
Q（
1
,y
3
)、H(x
2
,y
4
)
,
222222
xx
2
y
2
xxy
y
G (
1
,)AH(x
2
,y
4
)，QF(
2< br>
1
,
2
y
3
)

C(x
2
,y
2
)
33222
BC(x
2
x
1
,y
2
)

AHBC
AH BCx
2
(x
2
x
1
)y
2
y< br>4
0

y
4

x
2
(x2
x
1
)
y
2
A
D
F
G
Q x
B(x
1
,0)
H
E
QFAC
x
2
x
1
y
)y
2
(2
y
3
)0

222
x(xx
1
)y
2
y
3

22

2y
2
2
QFACx
2
(

- 3 -

 QH(x
2

x
1
2xx
1
3x
2< br>(x
2
x
1
)y
2
,y
4
y< br>3
)（
2
,)

222y
2
2
QG(
(
x
2
x
1
x
1
y
2
2xx
1
y
2
x
2
(x
2
x
1
)y
2,y
3
)（
2
,)
323632y
2
2
2x
2
x
1
3x
2
(x
2
x
1
)y
2
1
2xx
1
3x
2
(x
2
x
1
)y
2
,)(
2
, )

66y
2
6322y
2
2
1
=QH
3
即
QH=3QG
，故
Q、G、H
三点共线，且QG：GH
=1：2
例10．若O
、
H分别是△ABC的外心和垂心.求证
OHOAOBOC
.
证明 若△ABC的垂心为H，外心为O，如图.
连BO并延长交外接圆于D，连结AD，CD.
∴
ADAB
，
C DBC
.又垂心为H，
AHBC
，
CHAB
，
∴AH∥CD，CH∥AD，
∴四边形AHCD为平行四边形，
∴
AH DCDOOC
，故
OHOAAHOAOBOC
.

著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系：
（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；
（2）三角形的重心在“欧拉线 ”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距
离是重心到外心距离的2倍。
“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.
例11． 设O、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心. 求证
OGOH

证明 按重心定理 G是△ABC的重心

OG(OAOBOC)

按垂心定理
OHOAOBOC
由此可得
OGOH
.
补充练习
1．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足
1
3
1
3
1
3
111
OP
= (
OA
+
OB
+2
OC
),则点P一定为三角形ABC的 （ B ）
322
边中线的中点 边中线的三等分点（非重心）
C.重心 边的中点
1. B取AB边的中点M，则
OAOB2OM
，由
OP3
=
3
OP3OM2MC
，∴
MP
2
M C
，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且
点P不过重心，故选B.

11
(
OA
32
+
1
OB
+2
OC
)可得
2
- 4 -

2．在同一个平面上有
ABC
及一点Ｏ满足关系式：
O< br>A
＋
BC
＝
OB
＋
CA
＝
OC＋
2
2222
AB
2
，则Ｏ为
ABC
的 （ D ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
2．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：
PAPBPC0
，则P为
ABC
的
（ C ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
3．已知O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：
OPOA

(ABAC)
，则P的轨迹一定通过△ABC的 （ C ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
4．已知△ABC，P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：
PAPCPAPBPBPC0
，则P点为三角形的 （ D ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
5．已知△A BC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：
aPAbPBcPC0
，则P 点
为三角形的 （ B ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
6．在三角形ABC中，动点P满足：
CACB2ABCP
，则P点轨迹一定通过△AB C的：
（ B ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
→→→→
1ABACABAC
→→→
7.已知非零向量AB与AC满足( + )·BC=0且 · =
2
, 则△ABC为( )
→→→→
|AB||AC||AB||AC|
A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形
解析：非零向量与满足(
ABAC
)·=0，即角A的平分线垂直于BC，∴ AB= AC，又

|AB||AC|
22
cosA

ABAC< br>1
=
2
，∠A=，所以△ABC为等边三角形，选D．

3
|AB||AC|
8.
ABC
的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点 为H，
OHm(OAOBOC)
，则实数m = 1
9.点O是
 ABC
所在平面内的一点，满足
OAOBOBOCOCOA
，则点O是ABC
的（B ）
（A）三个内角的角平分线的交点
（C）三条中线的交点


（B）三条边的垂直平分线的交点
（D）三条高的交点

10. 如图1，已知点G是
ABC
的重 心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且
AMxAB
，
11
ANyAC
，则
3
。
xy

- 5 -

证 点G是
ABC
的重心，知
GAGBGC
O
，
1< br>得
AG(ABAG)(ACAG)
O
，有
AG(AB AC)
。又M，N，G三点共线（A不在直线MN
3
上），
于是存在< br>
,

，使得
AG

AM

A N(且



1)
，
1
有
AG

xAB

yAC
=
(ABAC)
，
3




1
11

3
。 得

，于是得
1
xy

x

y< br>
3

例讲三角形中与向量有关的问题

教学目标：1、三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法
2、向量的加法、数量积等性质
3、利用向量处理三角形中与向量有关的问题
4、数形结合
教学重点：灵活应用向量性质处理三角形中与有关向量的问题
教学难点：针对性地运用向量性质来处理三角形中与向量有关的问题
教学过程：
1、课前练习
1.1已知O是△ABC内的一点，若
OAOBOC
，则O是△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
1.2在△ABC中，有命题①
ABACBC
；②
ABBCCA0
；③若
ABACABAC0
，
则△ABC为等腰三角形；④若
ABAC0
，则△ABC为锐角三角形，上述命题中正确的是〔 〕
A、①② B、①④ C、②③ D、②③④
2、知识回顾
2.1 三角形的重心、内心、垂心、外心及简单的三角形形状判断方法
2.2 向量的有关性质
2.3 上述两者间的关联
3、利用向量基本概念解与三角形有关的向量问题
222


< br>ABAC

ABAC1
例1、已知△ABC中，有

和

,试判断△ABC的形状。
BC0

ABAC
2
ABAC


练习1、已知△ABC中，
ABa
，
BCb
，B是△ABC中的最大角，若
ab0
，试判断△ABC的形状。
4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题
例2、已知O是△AB C所在平面内的一点，满足
OABCOBACOCAB
，则
O是△ABC的 〔 〕

- 6 -
222222

A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题


ABAC

例3、已知P是△ABC所在平面内的一动点，且点P满足
OPOA




,



0,

，

ABAC


则动点P一定过△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
练习2、已知O为平面内一点，A、B、C平面上不共线的三点，动点P满足
1
< br>OPOA


ABBC

,


0,

，则动点P 的轨迹一定通过△ABC的〔 〕
2

A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
例4、已知O是△ABC所在平面内的一点，动点P满足


A BAC

OPOA




,


0,

，则动点P一定过△ABC的〔 〕

ABcosBACcosC


A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
练习3、已知O是△ABC所在 平面内的一点，动点P满足


OBOCABAC

OP< br>



,



0,

，则动点P一定过△ABC的〔 〕
2

ABcosBACcosC


A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
例5、已知点G是的重心，过G 作直线与AB、AC分别相交于M、N两点，且
11
AMxAB,ANyAC
，求证：
3

xy
6、小结
处理与三角形有关的向量问 题时，要允分注意数形结合的运用，关注向量等式中的实数互化，
合理地将向量等式和图形进行转化是处 理这类问题的关键。
7、作业
1、已知O是△ABC内的一点，若
OAOBOC0
，则O是△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
2、若△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，且
OAOBOC0
，则
OAOB
等于〔 〕
1
1
A、 B、0 C、1 D、


2
2
3、已知O是△ABC所在平面上的一点，A、B、C、所对的过分别是
a
、
b
、
c
若
aOAbOBcOC0
，则O是△ ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
4、已知P是△ABC所在平面内与A不重合的一点，满足
ABAC3AP，则P是△ABC的〔 〕

- 7 -

A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
5、平面上的三个向量
OA
、
OB
、
OC
满足
OAOBOC0，
OAOBOC1
，求证：
△ABC为正三角形。
6、在△AB C中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，求
OA(OBOC)

三角形四心与向量的典型问题分析
向量是数形结合的载体，有方向，大小，双重性，不能比较 大小。在高中数学“平面向量”（必
修4第二章）的学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运 算；另一方面，我们又以向
量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题。
在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几
何关系用向量 表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转
化为基向量的运算问题 ，最后将运算的结果再还原为几何关系。
下面就以三角形的四心为出发点，应用向量相关知识，巧妙的 解决了三角形四心所具备的一
些特定的性质。既学习了三角形四心的一些特定性质，又体会了向量带来的 巧妙独特的数学美感。

一、“重心”的向量风采
【命题1】
G
是
△ABC
所在平面上的一点，若
GAGBGC0
，则
G< br>是
△ABC
的重心．如图⑴.
C
A'
G
A

图⑴
P
B
M
A
B

C
O
图⑵
【命题2】 已知
O
是平面上一定点，A，B，C
是平面上不共线的三个点，动点
P
满足
OPOA

(ABAC)
，

(0，)
，则
P
的轨 迹一定通过
△ABC
的重心.
)
时，由于

(AB AC)
表示
BC
边上的中线所在【解析】 由题意
AP

(ABAC)
，当

(0，
直线的向量，所以动点
P
的轨迹一定通过
△ABC
的重心，如图⑵.

二、“垂心”的向量风采
【命题3】
P
是
△ABC
所在平面上一点，若
PAP BPBPCPCPA
，则
P
是
△ABC
的垂心．
【解析】 由
PAPBPBPC
，得
PB(PAPC)0，即
PBCA0
，所以
PB⊥CA
．同理可证

- 8 -

PC⊥AB
，
PA⊥BC
．∴
P
是
△ABC
的垂心．如图⑶.
A
E
C
M
B


C
P

图⑶
P
A
O
H
F
图⑷
B
【命题4】 已知
O
是平面上一定点，
A，B，C
是平面上不共线的三个点，动点
P< br>满足

ABAC

，

(0，
OPO A



)
，则动点
P
的轨迹一定通过△ABC
的垂心．

ABcosBACcosC




ABACABAC

BC0
，

，由于


【解析】 由题意
AP


ABcosBACcosC


ABcosBACcosC



即
ABBC
ABcosB

ACBC
ACcosC
BCCB0
,所以
AP
表示垂直于< br>BC
的向量，即
P
点在过点
A
且
垂直于
BC
的直线上，所以动点
P
的轨迹一定通过
△ABC
的垂心，如图⑷.

三、“内心”的向量风采
【命题5】 已知
I
为
△A BC
所在平面上的一点，且
ABc
，
ACb
，
BCa
．若
aIAbIBcIC0
，则
I
是
△ABC的内心．







A


B
C
O
c
I
a
P
C
b
图⑸
A
图⑹
B
【解析】 ∵
I BIAAB
，
ICIAAC
，则由题意得
(abc)IAbA BcAC0
，

ABAC

，

∵bABcACACABABACACAB


ABAC



- 9 -


bc

A BAC

．∵
AB
与
AC
分别为
AB
和
AC
方向上的单位向量，

∴
AI
abc

ABAC

AC
AB

∴
AI
与∠BAC
平分线共线，即
AI
平分
BAC
．
同理可 证：
BI
平分
ABC
，
CI
平分
ACB
．从而
I
是
△ABC
的内心，如图⑸.
【命题6】 已知O
是平面上一定点，
A，B，C
是平面上不共线的三个点，动点
P
满足

AB

AC

，

(0，OPOA



)
，则动点
P
的轨迹 一定通过
△ABC
的内心．

AB

AC
< br>
ABAC


，∴当

(0，

【解析】 由题意得
AP


)
时，
AP
表示
BAC
的平分线所在直线

ABAC


方向的向量，故动点
P
的轨迹一定通过
△ABC
的内心，如图⑹.

四、“外心”的向量风采
【命题7】 已知
O
是
△A BC
所在平面上一点，若
OA
2
OB
2
OC
2
，则
O
是
△ABC
的外心．









C
A
O
B
O
A
B
M
P
C
图⑺
222
图⑻
222
【解析】 若
OAOBOC
，则
OAOBOC，∴
OAOBOC
，则
O
是
△ABC
的
外 心，如图⑺。
【命题7】 已知
O
是平面上的一定点，
A，B，C
是平面上不共线的三个点，动点
P
满足

OBOCABAC

，
OP




(0，)
，则 动点
P
的轨迹一定通过
△ABC
的外心。

2
ABcosBACcosC


OBOC
ABAC

表示垂直于
BC



)
时，【解析】 由于过BC
的中点，当

(0，

ABcosBACcosC

2

的向量（注意：理由见二、4条解释。），所以
P
在BC
垂直平分线上，动点
P
的轨迹一定通过
△ABC
的外心，如 图⑻。

- 10 -

三角形“四心”向量形式的充要条件应用
知识点总结
1．O是
ABC
的重心

OAOBOC0
; 若O是
ABC
的重心，则
PG
1
(PAPBPC)
G
为
ABC
的重心.
3
2．O是
AB C
的垂心

OAOBOBOCOCOA
;
S
 BOC
S
AOC
S
AOB

1
S
ABC
3
故
OAOBOC0
;

tanB：tanC
若O是
ABC
(非直角三角形)的垂心，则
S
BOC
：S
AOC
：S
AOB
tanA：
故
tanAOAtanBOBtanCOC0

3．O是
ABC< br>的外心

|OA||OB||OC|
(或
OAOBOC
)
sinAOC：sinAOBsin2A:sin2B:sin2C
若O是ABC
的外心则
S
BOC
：S
AOC
：S
AOB
sinBOC：
222
故
sin2AOAsin2BOB sin2COC0

4．O是内心
ABC
的充要条件是
OA(
AB
|AB|

AC
AC
)OB(
BA
|BA|

BC
|BC|
)OC(
CA
|CA|
CB
|CB|
)0

引进单位向量，使条件变得更简洁。如 果记
AB,BC,CA
的单位向量为
e
1
,e
2
, e
3
，则刚才O是
ABC
内心的充要条件可以写成
OA(e< br>1
e
3
)OB(e
1
e
2
)OC (e
2
e
3
)0
，O是
ABC
内心的充要条件也可以是
aOAbOBcOC0
。若O是
ABC
的内心，则
S
BOC
：S
AOC：S
AOB
a：b：c

故
aOAbOBcOC0或sinAOAsinBOBsinCOC0
;
A
|AB|PC|BC|PA|CA|PB0P
是
ABC
的内心;
e
1
B
P
e
2
C
向量
< br>(
AB

AC
)(

0)
所在直线过ABC
的内心(是
BAC
的角平
|AB||AC|
分线所在 直线)；
范 例
(一)将平面向量与三角形内心结合考查
例1．O是平面上 的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足
OPOA

(
AB
AB

AC
AC
)
，



0,

则P点的轨迹一定通过
ABC
的（ ）
（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心

- 1 -

解析：因为
AB
AB
是向量
AB
的单位向量设
AB
与
AC
方向上的单位向量分别为
e
1
和e
2
， 又
OPOAAP
，则原式可化为
AP

(e
1
e
2
)
，由菱形的基本性质知AP平分
BAC
，那么在
ABC
中，AP平分
BAC
，则知选B.
(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”
例2． H是△ABC所在平面内任一点，< br>HAHBHBHCHCHA

点H是△ABC的垂心.
由
HAHBHBHCHB(HCHA)0HBAC0HBAC
,
同理
HCAB
，
HABC
.故H是△ABC的垂心. （反之亦然（证略））
例3.(湖南)P是△ABC所在平面上一点，若
PAPBPB PCPCPA
，则P是△ABC的（D ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
解析:由
PAPBPBPC得PAPBPBPC0
.即PB(PAPC)0,即PBCA0

则
PBCA,同理PABC,PCAB
所以P为
ABC
的垂心. 故选D.
(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”
例4． G是△ABC所在平面内一点，GAGBGC
=0

点G是△ABC的
重心.
证明 作图如右，图中
GBGCGE

连结BE和CE，则CE=GB，BE=GC
BGCE为平行四边形

D是BC的中点，AD为BC边
上的中线.
将
GBGCGE
代入
GAGBGC
=0，
得GAEG
=0

GAGE2GD
，故G是△ABC的重心.（ 反之亦然（证略））
例5． P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心
PG(PAPBPC)
.
证明
PGPAAGPBBGPC CG

3PG(AGBGCG)(PAPBPC)

∵G是△ABC的重心 ∴
GAGBGC
=0

AGBG CG
=0，即
3PGPAPBPC

由此可得
PG(PAPBPC)
.（反之亦然（证略））
例6 若
O
为
ABC
内一点，
OAOBOC0
，则
O
是
ABC
的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心

- 2 -
1
3
1
3

解析：由
O AOBOC0
得
OBOCOA
，如图以OB、OC为相邻两边构作平行四 边形，则
1
OBOCOD
，由平行四边形性质知
OEOD
，< br>OA2OE
，同理可证其它两边上的这个性
2
质，所以是重心，选D。
(四) 将平面向量与三角形外心结合考查
例7若
O
为
ABC
内一点，
OAOBOC
，则
O
是
ABC
的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
解析：由向量模的定义知
O
到
A BC
的三顶点距离相等。故
O
是
ABC
的外心 ，选B。
(五)将平面向量与三角形四心结合考查
例8．已知向量
OP
1
，
OP
2
，
OP
3
满足条件
OP
1
+
OP
2
+
OP
3
=0，|
OP
1|=|
OP
2
|=|
OP
3
|=1，
求证 △P
1
P
2
P
3
是正三角形.（《数学》第一册（下），复 习参考题五B组第6题）
证明 由已知
OP
1
+
OP
2
=-
OP
3
，两边平方得
OP
1
·
OP< br>2
=

，
同理
OP
2
·
OP
3
=
OP
3
·
OP
1
=

，
∴|
P
1
P
2
|=|
P2
P
3
|=|
P
3
P
1
|=
3
，从而△P
1
P
2
P
3
是正三角形.
反之，若点O是正三角形△P
1
P
2
P
3
的中心，则显然有
OP
1
+
OP
2
+
OP
3
=0且 |
OP
1
|=|
OP
2
|=|
OP
3|.
即O是△ABC所在平面内一点，
OP
1
1
2
1
2
+
OP
2
+
OP
3
=0且|
OP
1
|=|
OP
2
|=|
OP
3
|
点O是正△P
1
P
2
P
3
的中心.
例9．在△ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H三点共
线 ，且QG:GH=1:2。
【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标 系。设A(0,0)、B（x
1
,0）、
C(x
2
,y
2< br>)，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则有：
xxx
2
y
2
xyx
D（
1
,0)、E(
1
,)、F(
2< br>,
2
)
由题设可设
Q（
1
,y
3
)、H(x
2
,y
4
)
,
222222
xx
2
y
2
xxy
y
G (
1
,)AH(x
2
,y
4
)，QF(
2< br>
1
,
2
y
3
)

C(x
2
,y
2
)
33222
BC(x
2
x
1
,y
2
)

AHBC
AH BCx
2
(x
2
x
1
)y
2
y< br>4
0

y
4

x
2
(x2
x
1
)
y
2
A
D
F
G
Q x
B(x
1
,0)
H
E
QFAC
x
2
x
1
y
)y
2
(2
y
3
)0

222
x(xx
1
)y
2
y
3

22

2y
2
2
QFACx
2
(

- 3 -

 QH(x
2

x
1
2xx
1
3x
2< br>(x
2
x
1
)y
2
,y
4
y< br>3
)（
2
,)

222y
2
2
QG(
(
x
2
x
1
x
1
y
2
2xx
1
y
2
x
2
(x
2
x
1
)y
2,y
3
)（
2
,)
323632y
2
2
2x
2
x
1
3x
2
(x
2
x
1
)y
2
1
2xx
1
3x
2
(x
2
x
1
)y
2
,)(
2
, )

66y
2
6322y
2
2
1
=QH
3
即
QH=3QG
，故
Q、G、H
三点共线，且QG：GH
=1：2
例10．若O
、
H分别是△ABC的外心和垂心.求证
OHOAOBOC
.
证明 若△ABC的垂心为H，外心为O，如图.
连BO并延长交外接圆于D，连结AD，CD.
∴
ADAB
，
C DBC
.又垂心为H，
AHBC
，
CHAB
，
∴AH∥CD，CH∥AD，
∴四边形AHCD为平行四边形，
∴
AH DCDOOC
，故
OHOAAHOAOBOC
.

著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系：
（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；
（2）三角形的重心在“欧拉线 ”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距
离是重心到外心距离的2倍。
“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.
例11． 设O、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心. 求证
OGOH

证明 按重心定理 G是△ABC的重心

OG(OAOBOC)

按垂心定理
OHOAOBOC
由此可得
OGOH
.
补充练习
1．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足
1
3
1
3
1
3
111
OP
= (
OA
+
OB
+2
OC
),则点P一定为三角形ABC的 （ B ）
322
边中线的中点 边中线的三等分点（非重心）
C.重心 边的中点
1. B取AB边的中点M，则
OAOB2OM
，由
OP3
=
3
OP3OM2MC
，∴
MP
2
M C
，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且
点P不过重心，故选B.

11
(
OA
32
+
1
OB
+2
OC
)可得
2
- 4 -

2．在同一个平面上有
ABC
及一点Ｏ满足关系式：
O< br>A
＋
BC
＝
OB
＋
CA
＝
OC＋
2
2222
AB
2
，则Ｏ为
ABC
的 （ D ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
2．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：
PAPBPC0
，则P为
ABC
的
（ C ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
3．已知O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：
OPOA

(ABAC)
，则P的轨迹一定通过△ABC的 （ C ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
4．已知△ABC，P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：
PAPCPAPBPBPC0
，则P点为三角形的 （ D ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
5．已知△A BC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：
aPAbPBcPC0
，则P 点
为三角形的 （ B ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
6．在三角形ABC中，动点P满足：
CACB2ABCP
，则P点轨迹一定通过△AB C的：
（ B ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
→→→→
1ABACABAC
→→→
7.已知非零向量AB与AC满足( + )·BC=0且 · =
2
, 则△ABC为( )
→→→→
|AB||AC||AB||AC|
A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形
解析：非零向量与满足(
ABAC
)·=0，即角A的平分线垂直于BC，∴ AB= AC，又

|AB||AC|
22
cosA

ABAC< br>1
=
2
，∠A=，所以△ABC为等边三角形，选D．

3
|AB||AC|
8.
ABC
的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点 为H，
OHm(OAOBOC)
，则实数m = 1
9.点O是
 ABC
所在平面内的一点，满足
OAOBOBOCOCOA
，则点O是ABC
的（B ）
（A）三个内角的角平分线的交点
（C）三条中线的交点


（B）三条边的垂直平分线的交点
（D）三条高的交点

10. 如图1，已知点G是
ABC
的重 心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且
AMxAB
，
11
ANyAC
，则
3
。
xy

- 5 -

证 点G是
ABC
的重心，知
GAGBGC
O
，
1< br>得
AG(ABAG)(ACAG)
O
，有
AG(AB AC)
。又M，N，G三点共线（A不在直线MN
3
上），
于是存在< br>
,

，使得
AG

AM

A N(且



1)
，
1
有
AG

xAB

yAC
=
(ABAC)
，
3




1
11

3
。 得

，于是得
1
xy

x

y< br>
3

例讲三角形中与向量有关的问题

教学目标：1、三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法
2、向量的加法、数量积等性质
3、利用向量处理三角形中与向量有关的问题
4、数形结合
教学重点：灵活应用向量性质处理三角形中与有关向量的问题
教学难点：针对性地运用向量性质来处理三角形中与向量有关的问题
教学过程：
1、课前练习
1.1已知O是△ABC内的一点，若
OAOBOC
，则O是△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
1.2在△ABC中，有命题①
ABACBC
；②
ABBCCA0
；③若
ABACABAC0
，
则△ABC为等腰三角形；④若
ABAC0
，则△ABC为锐角三角形，上述命题中正确的是〔 〕
A、①② B、①④ C、②③ D、②③④
2、知识回顾
2.1 三角形的重心、内心、垂心、外心及简单的三角形形状判断方法
2.2 向量的有关性质
2.3 上述两者间的关联
3、利用向量基本概念解与三角形有关的向量问题
222


< br>ABAC

ABAC1
例1、已知△ABC中，有

和

,试判断△ABC的形状。
BC0

ABAC
2
ABAC


练习1、已知△ABC中，
ABa
，
BCb
，B是△ABC中的最大角，若
ab0
，试判断△ABC的形状。
4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题
例2、已知O是△AB C所在平面内的一点，满足
OABCOBACOCAB
，则
O是△ABC的 〔 〕

- 6 -
222222

A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题


ABAC

例3、已知P是△ABC所在平面内的一动点，且点P满足
OPOA




,



0,

，

ABAC


则动点P一定过△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
练习2、已知O为平面内一点，A、B、C平面上不共线的三点，动点P满足
1
< br>OPOA


ABBC

,


0,

，则动点P 的轨迹一定通过△ABC的〔 〕
2

A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
例4、已知O是△ABC所在平面内的一点，动点P满足


A BAC

OPOA




,


0,

，则动点P一定过△ABC的〔 〕

ABcosBACcosC


A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
练习3、已知O是△ABC所在 平面内的一点，动点P满足


OBOCABAC

OP< br>



,



0,

，则动点P一定过△ABC的〔 〕
2

ABcosBACcosC


A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
例5、已知点G是的重心，过G 作直线与AB、AC分别相交于M、N两点，且
11
AMxAB,ANyAC
，求证：
3

xy
6、小结
处理与三角形有关的向量问 题时，要允分注意数形结合的运用，关注向量等式中的实数互化，
合理地将向量等式和图形进行转化是处 理这类问题的关键。
7、作业
1、已知O是△ABC内的一点，若
OAOBOC0
，则O是△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
2、若△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，且
OAOBOC0
，则
OAOB
等于〔 〕
1
1
A、 B、0 C、1 D、


2
2
3、已知O是△ABC所在平面上的一点，A、B、C、所对的过分别是
a
、
b
、
c
若
aOAbOBcOC0
，则O是△ ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
4、已知P是△ABC所在平面内与A不重合的一点，满足
ABAC3AP，则P是△ABC的〔 〕

- 7 -

A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
5、平面上的三个向量
OA
、
OB
、
OC
满足
OAOBOC0，
OAOBOC1
，求证：
△ABC为正三角形。
6、在△AB C中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，求
OA(OBOC)

三角形四心与向量的典型问题分析
向量是数形结合的载体，有方向，大小，双重性，不能比较 大小。在高中数学“平面向量”（必
修4第二章）的学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运 算；另一方面，我们又以向
量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题。
在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几
何关系用向量 表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转
化为基向量的运算问题 ，最后将运算的结果再还原为几何关系。
下面就以三角形的四心为出发点，应用向量相关知识，巧妙的 解决了三角形四心所具备的一
些特定的性质。既学习了三角形四心的一些特定性质，又体会了向量带来的 巧妙独特的数学美感。

一、“重心”的向量风采
【命题1】
G
是
△ABC
所在平面上的一点，若
GAGBGC0
，则
G< br>是
△ABC
的重心．如图⑴.
C
A'
G
A

图⑴
P
B
M
A
B

C
O
图⑵
【命题2】 已知
O
是平面上一定点，A，B，C
是平面上不共线的三个点，动点
P
满足
OPOA

(ABAC)
，

(0，)
，则
P
的轨 迹一定通过
△ABC
的重心.
)
时，由于

(AB AC)
表示
BC
边上的中线所在【解析】 由题意
AP

(ABAC)
，当

(0，
直线的向量，所以动点
P
的轨迹一定通过
△ABC
的重心，如图⑵.

二、“垂心”的向量风采
【命题3】
P
是
△ABC
所在平面上一点，若
PAP BPBPCPCPA
，则
P
是
△ABC
的垂心．
【解析】 由
PAPBPBPC
，得
PB(PAPC)0，即
PBCA0
，所以
PB⊥CA
．同理可证

- 8 -

PC⊥AB
，
PA⊥BC
．∴
P
是
△ABC
的垂心．如图⑶.
A
E
C
M
B


C
P

图⑶
P
A
O
H
F
图⑷
B
【命题4】 已知
O
是平面上一定点，
A，B，C
是平面上不共线的三个点，动点
P< br>满足

ABAC

，

(0，
OPO A



)
，则动点
P
的轨迹一定通过△ABC
的垂心．

ABcosBACcosC




ABACABAC

BC0
，

，由于


【解析】 由题意
AP


ABcosBACcosC


ABcosBACcosC



即
ABBC
ABcosB

ACBC
ACcosC
BCCB0
,所以
AP
表示垂直于< br>BC
的向量，即
P
点在过点
A
且
垂直于
BC
的直线上，所以动点
P
的轨迹一定通过
△ABC
的垂心，如图⑷.

三、“内心”的向量风采
【命题5】 已知
I
为
△A BC
所在平面上的一点，且
ABc
，
ACb
，
BCa
．若
aIAbIBcIC0
，则
I
是
△ABC的内心．







A


B
C
O
c
I
a
P
C
b
图⑸
A
图⑹
B
【解析】 ∵
I BIAAB
，
ICIAAC
，则由题意得
(abc)IAbA BcAC0
，

ABAC

，

∵bABcACACABABACACAB


ABAC



- 9 -


bc

A BAC

．∵
AB
与
AC
分别为
AB
和
AC
方向上的单位向量，

∴
AI
abc

ABAC

AC
AB

∴
AI
与∠BAC
平分线共线，即
AI
平分
BAC
．
同理可 证：
BI
平分
ABC
，
CI
平分
ACB
．从而
I
是
△ABC
的内心，如图⑸.
【命题6】 已知O
是平面上一定点，
A，B，C
是平面上不共线的三个点，动点
P
满足

AB

AC

，

(0，OPOA



)
，则动点
P
的轨迹 一定通过
△ABC
的内心．

AB

AC
< br>
ABAC


，∴当

(0，

【解析】 由题意得
AP


)
时，
AP
表示
BAC
的平分线所在直线

ABAC


方向的向量，故动点
P
的轨迹一定通过
△ABC
的内心，如图⑹.

四、“外心”的向量风采
【命题7】 已知
O
是
△A BC
所在平面上一点，若
OA
2
OB
2
OC
2
，则
O
是
△ABC
的外心．









C
A
O
B
O
A
B
M
P
C
图⑺
222
图⑻
222
【解析】 若
OAOBOC
，则
OAOBOC，∴
OAOBOC
，则
O
是
△ABC
的
外 心，如图⑺。
【命题7】 已知
O
是平面上的一定点，
A，B，C
是平面上不共线的三个点，动点
P
满足

OBOCABAC

，
OP




(0，)
，则 动点
P
的轨迹一定通过
△ABC
的外心。

2
ABcosBACcosC


OBOC
ABAC

表示垂直于
BC



)
时，【解析】 由于过BC
的中点，当

(0，

ABcosBACcosC

2

的向量（注意：理由见二、4条解释。），所以
P
在BC
垂直平分线上，动点
P
的轨迹一定通过
△ABC
的外心，如 图⑻。

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