我是一棵树作文-审计工作总结

向量的重心、垂心、内心、外心、旁心
三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三 角形形状判断方法。
重心：
ABC
中、每条边上所对应的中线的交点；
垂心：
ABC
中、每条边上所对应的垂线上的交点；
内心：
ABC
中、每个角的角平分线的交点（内切圆的圆心）；
外心：
ABC
中、每条边上所对应的中垂线的交点（外接圆的圆心）。
一、重心
1、
O
是
ABC
的重心

O AOBOC0

1
若
O
是
ABC
的重心， 则
BOCAOCAOBABC
故
OAOBOC0
, < br>3
1
PG(PAPBPC)

G
为
ABC< br>的重心.
3
1
2、
P
是△
ABC
所在平 面内任一点.
G
是△
ABC
的重心

PG(PAPB PC)
.
3
证明：

PGPAAGPBBGPCC G

3PG(AGBGCG)(PAPBPC)

∵
G
是△
ABC
的重心
∴
GAGBGC 0

AGBGCG0
，即
3PGPAPBPC

1
由此可得
PG(PAPBPC)
.（反之亦然（证略））
3
3、已知
O
是平面上一定点，
A，B，C
是平面上不共线的三个点 ，动点
P
满足
OPOA

(ABAC)
，

(0，)
，则
P
的轨迹一定通过
△ABC
的重心.

例1 若
O
为
ABC
内一点，
OAOBOC0
，则
O
是
ABC
的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂
心 D．重心


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二、垂心
1、
O
是
ABC< br>的垂心

OAOBOBOCOAOC
若
O
是
ABC
(非直角三角形)的垂心，则
故
tanAOAtanBOBtanCOC0

2、
H
是面内任一点，
HAHBHBHCHCHA

点
H
是△
ABC
的垂心.
由
HAHBHBHCHB(HCHA)0 HBAC0HBAC
,
同理
HCAB
，
HABC.故
H
是
ABC
的垂心. （反之亦然（证略））
3、P
是
△ABC
所在平面上一点，若
PAPBPBPCPCPA
，则
P
是
△ABC
的
垂心．
由
PAP BPBPC
，得
PB(PAPC)0
，即
PBCA0
，所以
PB⊥CA
．同理
可证
PC⊥AB
，
PA⊥BC．
∴
P
是
△ABC
的垂心．如图1.

A
E
C
M
B


C
P

图1
P
A
O
H
F
图⑷
B
4、 已知
O
是平面上一定点，
A，B，C
是平面上不共线的三个点，动点
P
满足

ABAC

，

(0，
OP OA



)
，则动点
P
的轨迹一定通过

ABcosBACcosC


△ABC
的垂心．

例2 P是△ABC所在平面上一点，若
PAPBPBPCPCPA，则P是△ABC
的（）
A．外心

B．内心 C．重心 D．垂心
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三、内心
1、
O
是
ABC
的内心的充要条件是

ABAC

BABC

CACB

OA 



OB

OC

0


ABAC

BABC

CACB



引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果 记
AB,BC,CA
的单位向量为
e
1
,e
2
,e
3
，则刚才
O
是
ABC
的内心的充要条件可以写成
B
A
e
1
e
2
C
P
OA e
1
e
3
OBe
1
e
2
OC e
2
e
3
0

2、
O
是
 ABC
的内心的充要条件也可以是
aOAbOBcOC0
。
3 、若
O
是
ABC
的内心，则
S
BOC
:SAOC
:S
AOB
a:b:c

故
aOA bOBcOC0
或者
sinAOAsinBOBsinCOC0
;
4、已知
I
为
△ABC
所在平面上的一点，且
AB c
，
ACb
，
BCa
．若

aI AbIBcIC0
，则
I
是
△ABC
的内心．
∵< br>IBIAAB
，
ICIAAC
，则由题意得
(abc)I AbABcAC0
，

ABAC

，

∵
bABcACACABABACACAB


ABAC



bc

ABAC

．

∴
AI
abc

ABAC


c
I
A
C
B
a
∵
AB
AB
与< br>AC
AC
b
分别为
AB
和
AC
方向上的单位 向量，

∴
AI
与
∠BAC
平分线共线，即
AI
平分
BAC
．
同理可证：
BI
平分
ABC< br>，
CI
平分
ACB
．从而
I
是
△ABC< br>的内心，如图。
，B，C
是平面上不共线的三个点，动点
P
满足5、 已知
O
是平面上一定点，
A
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
OPOA


AB


AC


，

(0，

ABAC

)，则动点
P
的轨迹一定通过
△ABC
的内

C
心．
O


ABAC

由题意得
AP




，

ABAC


P
∴当

(0，)
时，
AP
表示
BAC的平分线所在直线方向的向量，故动点
A
P
的
轨迹一定通过
△A BC
的内心，如图。


例3
O
平面上的一定点，A, B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足
OPOA

(
AB
AB

AC
AC
)
，



0, 

则P点的轨迹一定通过
ABC
的（ ）
（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心

四、外心

1、
O
是
ABC
的外心

OAOBOC
, 若O是
ABC
的外心则
S
BOC
:S
AOC
:S
AOB
sinBOC:sinAOC:sinAOBsin2A:sin2 B:sin2C

故
sinAOAsinBOBsinCOC0
。

2、 已知
O
是
△ABC
所在平面上一点，若
O A
2
OB
2
OC
2
，则
O
是
△ABC
的外
心．
若
OA
2
OB
2
 OC
2
，则
OA
2
OB
2
OC
2，∴
OAOBOC
，则
O
是
△ABC
的外心，如图 1。


C

B


A
B
M
P

图1
图2

O
O
A
C

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B

3、已知
O
是平面上的一定点，A，B，C是平 面上不共线的三个点，动点
P
满足

OBOCABAC

，

(0，
OP



则动点
P
的轨迹一定通
)
，

ABcosBACcosC
2

过
△ABC
的外心，如图2。

例4 若
O
为
ABC
内一点，
OAOBOC
，则
O
是
ABC
的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂
心 D．重心

关于“欧拉定理”的一些问题：
著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的
位置关系：
（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；
（2）三角形的重心在“欧拉线 ”上，且为外——垂连线的第一个三分点，
即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。

例5 在△ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、
H三 点共线，且QG:GH=1:2。


证明：
以A为原点，AB所在的直 线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B
（x
1
,0）、C(x< br>2
,y
2
)，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则有：
x xx
2
y
2
xyx
D（
1
,0)、E(
1
,)、F(
2
,
2
)
由题设可设
Q（
1
,y
3
)、H(x
2
,y
4
)
, 222222
xx
2
y
2
xxy
G(
1,)AH(x
2
,y
4
)，QF(
2

1
,
2
y
3
)

33222
BC(x
2
x
1
,y
2
)

AHBC
AHBCx
2
(x
2
x
1
)y
2
y
4
0

x(xx
1
)
y
4
22
y
2
y
C(x
2
,y
2
)
F
G
Q
A
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H
E
x
B(x
1
,0) D

QFAC
x
2x
1
y
)y
2
(
2
y
3
)0

222
x(xx
1
)y
2
y
3

22

2y
2
2
QFACx
2
(
QH(x
2

x
1
2xx
1< br>3x
2
(x
2
x
1
)y
2
,y< br>4
y
3
)（
2
,)

222y
2
2
QG(
(
x
2
x
1
x
1
y
2
2xx
1
y
2
x
2
(x
2
x
1
)y
2,y
3
)（
2
,)
323632y
2
2
2x
2
x
1
3x
2
(x
2
x
1
)y
2
1
2xx
1
3x
2
(x
2
x
1
)y
2
,)(
2
, )

66y
2
6322y
2
2
1
=QH
3
即
QH=3QG
，故
Q、G、H
三点共线，且QG:GH1：2


例6．若
O、H
分别是△
ABC
的外心和垂心.求证
OHOAOBOC
.

证明
若△
ABC
的垂心为
H
，外心为
O
，如图. 连
BO
并延长交外接圆于
D
，连结
AD
，
CD
.
∴
ADAB
，
CDBC
.又垂心为
H，
AHBC
，
CHAB
，
∴
AH
∥
CD
，
CH
∥
AD
，
∴四边形
AHCD
为平行四边形，
∴
AHDCDOOC，故
OHOAAHOAOBOC
.


“欧拉定理”简化：
例7 设
O
、
G
、
H
分别是锐角△
ABC
的外心、重心、垂心.求证
OGOH

证明
按重心定理
G
是△
ABC
的重心

OG(OAOBOC)

按垂心定理
OHOAOBOC

由此可得
OGOH
.
1
3
1
3
1
3
第 6 页 共 10 页

补充练习一：

1．已知
A、B、C
是平面上不共线 的三点，
O
是
ABC
的重心，动点
P
满足
11
1
OP
= (
OA
+
OB
+2
OC
),则点
P
一定为
ABC
（ ）
2
32
A.
AB
边中线的中点 B.
AB
边中线的三等分点（非重心）
C.重心 D.
AB
边的中点
2．在同一个平面上有
ABC
及一点Ｏ满足关 系式：
OA
2
BC
2
OB
2
AC
2
OC
2
AB
2
，则Ｏ为
ABC
的 （ ）
A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心
2．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：
PAPBPC0< br>，
则P为
ABC
的 ( )
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
3．已知O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：
OPOA

(ABAC)
，则P的轨迹一定通过△ABC的 （ ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
4．已知△ABC，P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：
PAPCPAPBPBPC0
，则P点为三角形的 （ ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
5．已知△ABC ，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：
aPAbPBcP0C
，则P点为 三角形的
（ ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
6．在三角形ABC中，动点P满足：
CACB2AB CP
，则P点轨迹一定通
过△ABC
（ ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
的
22
：


ABAC

ABAC1
7.已知非零向量
A B
与
AC
满足

BC0,且
， 则
< br>
ABAC

ABAC
2

ABC
为
A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形
C.等腰非等边三角形 D.等边三角形
8.
ABC
的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，
OHm(OAOBOC)，则实数m = 。
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9.点O是
ABC
所在平面内的一点，满足
OAOBOBOCOCOA
，则点O
是
ABC
的（）
A 三个内角的角平分线的交点
C 三条中线的交点


B 三条边的垂直平分线的点
D 三条高的交点

10. 已知点G是
ABC
的重心，过G作直线与AB， AC两边分别交于M，N两点，
11
且
AMxAB
，
ANyAC
，则
3
。
xy

证 点G是
ABC
的重心，知
GAGBGC
O
，
1< br>得
AG(ABAG)(ACAG)
O
，有
AG(AB AC)
。又M，N，G三点共线
3
（A不在直线MN上），
于是存在< br>
,

，使得
AG

AM

A N(且



1)
，
1
有
AG

xAB

yAC
=
(ABAC)
，
3




1
11

3
。 得

，于是得
1
xy

x

y< br>
3





















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补充练习二：
1、已知O是△ABC内的一点，若
OAOBOC
，则O是△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
2、在△ABC中，有命题①
ABACBC
；②
ABBCCA0< br>；③若
222

ABAC



ABA C

0
，则△ABC为等腰三角形；④若
ABAC0
，则ABC
为锐角三角形，上述命题中正确的是〔 〕
A、①② B、①④ C、②③ D、②③④


AB AC

ABAC1
3、已知△ABC中，有

和

,试判断△ABC的形
BC0

ABAC
2

AB AC


状。
4、已知△ABC中，
ABa
，
BCb
，B是△ABC中的最大角，若
ab0
，试判
断△ABC的形 状。
5、已知O是△ABC所在平面内的一点，满足
OABCOBACOCAB
，则O是△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
6、已知P是△ABC所在平面 内的一动点，且点P满足
222222


ABAC

O POA




,



0 ,

，则动点P一定过△ABC的〔 〕

ABAC


A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
7、已知O为平面内一点，A、B、C平面上不共线的三点，动 点P满足
1

OPOA


ABBC
< br>,



0,

，则动点P 的轨迹一定通过△ABC的〔 〕
2

A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
8、已知O是△ABC所在平面内的一点，动点P满足


ABAC


OPOA

< br>

,



0,

，则动点 P一定过△ABC的〔 〕

ABcosBACcosC


A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
9、已知O是△ABC所在平面内的一点，动点P满足


OBOCA BAC

OP




,



0,

，则动点P一定过△ABC的
2

ABcosBACcosC


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〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
10、已知点G是的重心，过G作直线与AB、AC分别相交于 M、N两点，且
11
AMxAB,ANyAC
，求证：
3

xy









补充练习三：
1、已知O是△ABC内的一点，若
OAOBOC0
，则O是△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
2、若△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，且
OAOBOC0
，则
OAOB
等
于〔 〕
1
1
A、 B、0 C、1 D、


2
2
3、已知O是△ABC所在平面上的一点，A、B、C、所对的过分别是
a
、
b
、
c
若
aOAbOBcOC0
，则O是△ ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
4、已知P是△ABC所在平面内与A不重合的一点，满足
ABAC3AP，则P
是△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
OB
、
OC
满足
OAOB OC0
，
OAOBOC1
5、平面上的三个向量
OA
、< br>求证：△ABC为正三角形。
6、在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，求
OA(OBOC)




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向量的重心、垂心、内心、外心、旁心
三角形重心、内心、垂心、外心的概 念及简单的三角形形状判断方法。
重心：
ABC
中、每条边上所对应的中线的交点；
垂心：
ABC
中、每条边上所对应的垂线上的交点；
内心：
ABC
中、每个角的角平分线的交点（内切圆的圆心）；
外心：
ABC
中、每条边上所对应的中垂线的交点（外接圆的圆心）。
一、重心
1、
O
是
ABC
的重心

O AOBOC0

1
若
O
是
ABC
的重心， 则
BOCAOCAOBABC
故
OAOBOC0
, < br>3
1
PG(PAPBPC)

G
为
ABC< br>的重心.
3
1
2、
P
是△
ABC
所在平 面内任一点.
G
是△
ABC
的重心

PG(PAPB PC)
.
3
证明：

PGPAAGPBBGPCC G

3PG(AGBGCG)(PAPBPC)

∵
G
是△
ABC
的重心
∴
GAGBGC 0

AGBGCG0
，即
3PGPAPBPC

1
由此可得
PG(PAPBPC)
.（反之亦然（证略））
3
3、已知
O
是平面上一定点，
A，B，C
是平面上不共线的三个点 ，动点
P
满足
OPOA

(ABAC)
，

(0，)
，则
P
的轨迹一定通过
△ABC
的重心.

例1 若
O
为
ABC
内一点，
OAOBOC0
，则
O
是
ABC
的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂
心 D．重心


第 1 页 共 10 页

二、垂心
1、
O
是
ABC< br>的垂心

OAOBOBOCOAOC
若
O
是
ABC
(非直角三角形)的垂心，则
故
tanAOAtanBOBtanCOC0

2、
H
是面内任一点，
HAHBHBHCHCHA

点
H
是△
ABC
的垂心.
由
HAHBHBHCHB(HCHA)0 HBAC0HBAC
,
同理
HCAB
，
HABC.故
H
是
ABC
的垂心. （反之亦然（证略））
3、P
是
△ABC
所在平面上一点，若
PAPBPBPCPCPA
，则
P
是
△ABC
的
垂心．
由
PAP BPBPC
，得
PB(PAPC)0
，即
PBCA0
，所以
PB⊥CA
．同理
可证
PC⊥AB
，
PA⊥BC．
∴
P
是
△ABC
的垂心．如图1.

A
E
C
M
B


C
P

图1
P
A
O
H
F
图⑷
B
4、 已知
O
是平面上一定点，
A，B，C
是平面上不共线的三个点，动点
P
满足

ABAC

，

(0，
OP OA



)
，则动点
P
的轨迹一定通过

ABcosBACcosC


△ABC
的垂心．

例2 P是△ABC所在平面上一点，若
PAPBPBPCPCPA，则P是△ABC
的（）
A．外心

B．内心 C．重心 D．垂心
第 2 页 共 10 页

三、内心
1、
O
是
ABC
的内心的充要条件是

ABAC

BABC

CACB

OA 



OB

OC

0


ABAC

BABC

CACB



引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果 记
AB,BC,CA
的单位向量为
e
1
,e
2
,e
3
，则刚才
O
是
ABC
的内心的充要条件可以写成
B
A
e
1
e
2
C
P
OA e
1
e
3
OBe
1
e
2
OC e
2
e
3
0

2、
O
是
 ABC
的内心的充要条件也可以是
aOAbOBcOC0
。
3 、若
O
是
ABC
的内心，则
S
BOC
:SAOC
:S
AOB
a:b:c

故
aOA bOBcOC0
或者
sinAOAsinBOBsinCOC0
;
4、已知
I
为
△ABC
所在平面上的一点，且
AB c
，
ACb
，
BCa
．若

aI AbIBcIC0
，则
I
是
△ABC
的内心．
∵< br>IBIAAB
，
ICIAAC
，则由题意得
(abc)I AbABcAC0
，

ABAC

，

∵
bABcACACABABACACAB


ABAC



bc

ABAC

．

∴
AI
abc

ABAC


c
I
A
C
B
a
∵
AB
AB
与< br>AC
AC
b
分别为
AB
和
AC
方向上的单位 向量，

∴
AI
与
∠BAC
平分线共线，即
AI
平分
BAC
．
同理可证：
BI
平分
ABC< br>，
CI
平分
ACB
．从而
I
是
△ABC< br>的内心，如图。
，B，C
是平面上不共线的三个点，动点
P
满足5、 已知
O
是平面上一定点，
A
第 3 页 共 10 页


OPOA


AB


AC


，

(0，

ABAC

)，则动点
P
的轨迹一定通过
△ABC
的内

C
心．
O


ABAC

由题意得
AP




，

ABAC


P
∴当

(0，)
时，
AP
表示
BAC的平分线所在直线方向的向量，故动点
A
P
的
轨迹一定通过
△A BC
的内心，如图。


例3
O
平面上的一定点，A, B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足
OPOA

(
AB
AB

AC
AC
)
，



0, 

则P点的轨迹一定通过
ABC
的（ ）
（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心

四、外心

1、
O
是
ABC
的外心

OAOBOC
, 若O是
ABC
的外心则
S
BOC
:S
AOC
:S
AOB
sinBOC:sinAOC:sinAOBsin2A:sin2 B:sin2C

故
sinAOAsinBOBsinCOC0
。

2、 已知
O
是
△ABC
所在平面上一点，若
O A
2
OB
2
OC
2
，则
O
是
△ABC
的外
心．
若
OA
2
OB
2
 OC
2
，则
OA
2
OB
2
OC
2，∴
OAOBOC
，则
O
是
△ABC
的外心，如图 1。


C

B


A
B
M
P

图1
图2

O
O
A
C

第 4 页 共 10 页
B

3、已知
O
是平面上的一定点，A，B，C是平 面上不共线的三个点，动点
P
满足

OBOCABAC

，

(0，
OP



则动点
P
的轨迹一定通
)
，

ABcosBACcosC
2

过
△ABC
的外心，如图2。

例4 若
O
为
ABC
内一点，
OAOBOC
，则
O
是
ABC
的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂
心 D．重心

关于“欧拉定理”的一些问题：
著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的
位置关系：
（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；
（2）三角形的重心在“欧拉线 ”上，且为外——垂连线的第一个三分点，
即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。

例5 在△ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、
H三 点共线，且QG:GH=1:2。


证明：
以A为原点，AB所在的直 线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B
（x
1
,0）、C(x< br>2
,y
2
)，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则有：
x xx
2
y
2
xyx
D（
1
,0)、E(
1
,)、F(
2
,
2
)
由题设可设
Q（
1
,y
3
)、H(x
2
,y
4
)
, 222222
xx
2
y
2
xxy
G(
1,)AH(x
2
,y
4
)，QF(
2

1
,
2
y
3
)

33222
BC(x
2
x
1
,y
2
)

AHBC
AHBCx
2
(x
2
x
1
)y
2
y
4
0

x(xx
1
)
y
4
22
y
2
y
C(x
2
,y
2
)
F
G
Q
A
第 5 页 共 10 页
H
E
x
B(x
1
,0) D

QFAC
x
2x
1
y
)y
2
(
2
y
3
)0

222
x(xx
1
)y
2
y
3

22

2y
2
2
QFACx
2
(
QH(x
2

x
1
2xx
1< br>3x
2
(x
2
x
1
)y
2
,y< br>4
y
3
)（
2
,)

222y
2
2
QG(
(
x
2
x
1
x
1
y
2
2xx
1
y
2
x
2
(x
2
x
1
)y
2,y
3
)（
2
,)
323632y
2
2
2x
2
x
1
3x
2
(x
2
x
1
)y
2
1
2xx
1
3x
2
(x
2
x
1
)y
2
,)(
2
, )

66y
2
6322y
2
2
1
=QH
3
即
QH=3QG
，故
Q、G、H
三点共线，且QG:GH1：2


例6．若
O、H
分别是△
ABC
的外心和垂心.求证
OHOAOBOC
.

证明
若△
ABC
的垂心为
H
，外心为
O
，如图. 连
BO
并延长交外接圆于
D
，连结
AD
，
CD
.
∴
ADAB
，
CDBC
.又垂心为
H，
AHBC
，
CHAB
，
∴
AH
∥
CD
，
CH
∥
AD
，
∴四边形
AHCD
为平行四边形，
∴
AHDCDOOC，故
OHOAAHOAOBOC
.


“欧拉定理”简化：
例7 设
O
、
G
、
H
分别是锐角△
ABC
的外心、重心、垂心.求证
OGOH

证明
按重心定理
G
是△
ABC
的重心

OG(OAOBOC)

按垂心定理
OHOAOBOC

由此可得
OGOH
.
1
3
1
3
1
3
第 6 页 共 10 页

补充练习一：

1．已知
A、B、C
是平面上不共线 的三点，
O
是
ABC
的重心，动点
P
满足
11
1
OP
= (
OA
+
OB
+2
OC
),则点
P
一定为
ABC
（ ）
2
32
A.
AB
边中线的中点 B.
AB
边中线的三等分点（非重心）
C.重心 D.
AB
边的中点
2．在同一个平面上有
ABC
及一点Ｏ满足关 系式：
OA
2
BC
2
OB
2
AC
2
OC
2
AB
2
，则Ｏ为
ABC
的 （ ）
A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心
2．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：
PAPBPC0< br>，
则P为
ABC
的 ( )
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
3．已知O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：
OPOA

(ABAC)
，则P的轨迹一定通过△ABC的 （ ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
4．已知△ABC，P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：
PAPCPAPBPBPC0
，则P点为三角形的 （ ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
5．已知△ABC ，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：
aPAbPBcP0C
，则P点为 三角形的
（ ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
6．在三角形ABC中，动点P满足：
CACB2AB CP
，则P点轨迹一定通
过△ABC
（ ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
的
22
：


ABAC

ABAC1
7.已知非零向量
A B
与
AC
满足

BC0,且
， 则
< br>
ABAC

ABAC
2

ABC
为
A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形
C.等腰非等边三角形 D.等边三角形
8.
ABC
的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，
OHm(OAOBOC)，则实数m = 。
第 7 页 共 10 页

9.点O是
ABC
所在平面内的一点，满足
OAOBOBOCOCOA
，则点O
是
ABC
的（）
A 三个内角的角平分线的交点
C 三条中线的交点


B 三条边的垂直平分线的点
D 三条高的交点

10. 已知点G是
ABC
的重心，过G作直线与AB， AC两边分别交于M，N两点，
11
且
AMxAB
，
ANyAC
，则
3
。
xy

证 点G是
ABC
的重心，知
GAGBGC
O
，
1< br>得
AG(ABAG)(ACAG)
O
，有
AG(AB AC)
。又M，N，G三点共线
3
（A不在直线MN上），
于是存在< br>
,

，使得
AG

AM

A N(且



1)
，
1
有
AG

xAB

yAC
=
(ABAC)
，
3




1
11

3
。 得

，于是得
1
xy

x

y< br>
3





















第 8 页 共 10 页

补充练习二：
1、已知O是△ABC内的一点，若
OAOBOC
，则O是△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
2、在△ABC中，有命题①
ABACBC
；②
ABBCCA0< br>；③若
222

ABAC



ABA C

0
，则△ABC为等腰三角形；④若
ABAC0
，则ABC
为锐角三角形，上述命题中正确的是〔 〕
A、①② B、①④ C、②③ D、②③④


AB AC

ABAC1
3、已知△ABC中，有

和

,试判断△ABC的形
BC0

ABAC
2

AB AC


状。
4、已知△ABC中，
ABa
，
BCb
，B是△ABC中的最大角，若
ab0
，试判
断△ABC的形 状。
5、已知O是△ABC所在平面内的一点，满足
OABCOBACOCAB
，则O是△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
6、已知P是△ABC所在平面 内的一动点，且点P满足
222222


ABAC

O POA




,



0 ,

，则动点P一定过△ABC的〔 〕

ABAC


A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
7、已知O为平面内一点，A、B、C平面上不共线的三点，动 点P满足
1

OPOA


ABBC
< br>,



0,

，则动点P 的轨迹一定通过△ABC的〔 〕
2

A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
8、已知O是△ABC所在平面内的一点，动点P满足


ABAC


OPOA

< br>

,



0,

，则动点 P一定过△ABC的〔 〕

ABcosBACcosC


A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
9、已知O是△ABC所在平面内的一点，动点P满足


OBOCA BAC

OP




,



0,

，则动点P一定过△ABC的
2

ABcosBACcosC


第 9 页 共 10 页

〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
10、已知点G是的重心，过G作直线与AB、AC分别相交于 M、N两点，且
11
AMxAB,ANyAC
，求证：
3

xy









补充练习三：
1、已知O是△ABC内的一点，若
OAOBOC0
，则O是△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
2、若△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，且
OAOBOC0
，则
OAOB
等
于〔 〕
1
1
A、 B、0 C、1 D、


2
2
3、已知O是△ABC所在平面上的一点，A、B、C、所对的过分别是
a
、
b
、
c
若
aOAbOBcOC0
，则O是△ ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
4、已知P是△ABC所在平面内与A不重合的一点，满足
ABAC3AP，则P
是△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
OB
、
OC
满足
OAOB OC0
，
OAOBOC1
5、平面上的三个向量
OA
、< br>求证：△ABC为正三角形。
6、在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，求
OA(OBOC)




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