盐城卫校-传统文化教案

三角形“四心”向量形式的充要条件应用
1．O是
ABC
的重心

OAOBOC0
; 若O是
ABC
的重心，则
S
BOC
S
AOC< br>S
AOB

1
S
ABC
3
故
OAOBOC0
;

uuuruuuruuuruuur
PG
1
(PAPBPC)

G
为
ABC
的重心. 3
2．O是
ABC
的垂心

OAOBOBOCOC OA
;
tanB：tanC
若O是
ABC
(非直角三角形)的 垂心，则
S
BOC
：S
AOC
：S
AOB
 tanA：
故
tanAOAtanBOBtanCOC0

3．O是< br>ABC
的外心

|OA||OB||OC|
(或
OA OBOC
)
sinAOC：sinAOBsin2A:sin2B:sin2C
若O是
 ABC
的外心则
S
BOC
：S
AOC
：S
A OB
sinBOC：
222
故
sin2AOAsin2BOBsin 2COC0

4．O是内心
ABC
的充要条件是
OA(
AB
|AB|

AC
AC
)OB(
BA
|B A|

BC
|BC|
)OC(
CA
|CA|

CB
|CB|
)0

引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记< br>AB,BC,CA
的单位向量为
e
1
,e
2
,e3
，则刚才O是
ABC
内心的充要条件可以写成
OA(e
1
e
3
)OB(e
1
e
2
)OC(e
2
e
3
)0
，O是
ABC
内心的充要条件也可以是
aOAbOBcOC0
。若O是
ABC
的内心，则
S
BOC
：S
AOC：S
AOB
a：b：c

故
aOAbOBcOC0或sinAOAsinBOBsinCOC0
;
uuuruuuruuuruuuruuuruuurr
|AB|PC|BC|PA|CA|PB 0P
是
ABC
的内心;
uuur
uuur
AC
AB
uur

uuur
)(

0)
所在直线过
ABC
的内心(是
BAC
的角平
向量

(u
|AB||AC|
分线所在直线)；
(一)将平面向量与三角形内心结合考查
A
e
1
B
P
e
2
C
例1．O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点， 动点P满足
OPOA

(
AB
AB

ACAC
)
，



0,

则P点的 轨迹一定通过
ABC
的（ ）
（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心
解析：因为
AB
AB
uuur
uuuruuur
是向量AB
的单位向量设
AB
与
AC
方向上的单位向量分别为
e
1
和e
2
， 又

- 1 -

OPOAAP
，则原式可化为
AP

(e
1
e< br>2
)
，由菱形的基本性质知AP平分
BAC
，那么在
AB C
中，AP平分
BAC
，则知选B.
(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”
例2．
H
是△
A BC
所在平面内任一点，
HAHBHBHCHCHA

点
H
是△
ABC
的垂心.
由
HAHBHBHCHB(HC HA)0HBAC0HBAC
,
同理
HCAB
，
HABC
.故
H
是△
ABC
的垂心. （反之亦然（证略）） < br>例3.(湖南)P是△ABC所在平面上一点，若
PAPBPBPCPCPA
，则P是△ABC的（D ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
解析:由< br>PAPBPBPC得PAPBPBPC0
.即
PB(PAPC)0 ,即PBCA0

则
PBCA,同理PABC,PCAB
所以P为
ABC
的垂心. 故选D.
(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”
例4．
G
是△
A BC
所在平面内一点，
GAGBGC
=0

点
G
是△
ABC
的重
心.
证明 作图如右，图中
GBGCGE

连结
BE
和
CE
，则
CE=GB
，
BE=GC

BGCE
为平行四边形< br>
D
是
BC
的中点，
AD
为
BC
边 上的中
线.
将
GBGCGE
代入
GAGBGC
=0，
得GAEG
=0

GAGE2GD
，故
G
是△
ABC
的重心.（反之亦然（证略））
例5．
P
是△
ABC
所在平面内任一点.
G
是△
ABC
的重心

PG(PAPBPC)
.
证明
PGPAAGPBBGPCC G

3PG(AGBGCG)(PAPBPC)

∵
G
是△
ABC
的重心 ∴
GAGBGC
= 0

AGBGCG
=0，即
3PGPAPBPC

由此可得
PG(PAPBPC)
.（反之亦然（证略））
uuuruuuruuurr
例6 若
O
为
ABC
内一点，
OAOBOC0
，则
O
是
ABC
的（ ）
1
3
1
3
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重
心
uuuruuuruuurr uuuruuuruuur
解析：由
OAOBOC0
得
OBOC OA
，如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形，则

- 2 -

uuuruuuruuur
uuur
1
uuur
OBOCOD
，由平行四边形性质知
OEOD
，
OA2OE
，同理可证其它两 边上的这个性
2
质，所以是重心，选D。
(四) 将平面向量与三角形外心结合考查
uuuruuuruuur
例7若
O
为
ABC
内一点，
OAOBOC
，则
O
是
ABC
的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
解析：由向量模的定义知
O
到
A BC
的三顶点距离相等。故
O
是
ABC
的外心 ，选B。
(五)将平面向量与三角形四心结合考查
例8．已知向量
OP
1
，
OP
2
，
OP
3
满足条件
OP
1
+
OP
2
+
OP
3
=0，|
OP
1|=|
OP
2
|=|
OP
3
|=1，
求证 △
P
1
P
2
P
3
是正三角形.（《数学》第一册（ 下），复习参考题五
B
组第6题）
证明 由已知
OP
1
+
OP
2
=-
OP
3
，两边平方得
OP
1
·
OP
2
=

，
同理
OP< br>2
·
OP
3
=
OP
3
·
OP
1
=

，
∴|
P
1
P
2|=|
P
2
P
3
|=|
P
3
P
1
|=
3
，从而△
P
1
P
2
P
3
是正三角形.
反之，若点
O
是正三角形△
P
1
P
2
P
3
的中心，则显然有
OP
1
+
OP
2
+
OP
3
=0且|
OP
1
|=|
OP
2
|=|
OP
3
|.
即
O
是△
ABC
所在平面内一点，
OP
1
1
2
1
2
+
OP
2
+
OP
3< br>=0且|
OP
1
|=|
OP
2
|=|
OP< br>3
|

点
O
是正△
P
1
P
2
P
3
的中心.
例9．在△ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心 、重心、垂心。求证：Q、G、H三点共
线，且QG:GH=1:2。
【证明】：以A为原点 ，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B
（x
1
, 0）、C(x
2
,y
2
)，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则有 ：
xxx
2
y
2
xyx
D（
1
,0) 、E(
1
,)、F(
2
,
2
)
由题设可设
Q（
1
,y
3
)、H(x
2
,y
4
)< br>,
222222
uuuuruuur
x
1
x
2< br>y
2
xxy
y
G(,)AH(x
2
,y
4
)，QF(
2

1
,
2
y
3)

C(x
2
,y
2
)
33222
uuur
BC(x
2
x
1
,y
2
)

uuuuruuur
F H
Q
AHBC
E
uuuuruuur
G
AH•BCx
2
(x
2
x
1
)y
2
y
4
0

x
2
(x
2
x
1
)
y
2
uuuruuuu r
Q
QFAC
uuuruuuur
xxy
QF•ACx
2
(
2

1
)y
2
(
2
y
3
)0

222
x(xx
1
)y
2< br>y
3

22

2y
2
2
y4

uuuur
x2xx
1
3x
2
(x< br>2
x
1
)y
2
QH(x
2

1
,y
4
y
3
)（
2
,)

222y
2
2

- 3 -
Q
A
D
x
B(x
1
,0)

uuur
xx1
x
1
y
2
2xx
1
y
2
x
2
(x
2
x
1
)y
2
QG(2
,y
3
)（
2
,)
323632y
2
2
2x
2
x
1
3x
2
(x
2
x
1
)y
2
1
2xx
1
3x
2
(x
2
x
1
)y
2
,)(
2
,)

66y
2
6322y
2
2
ur
1
uuu
=QH
3
uuuuruuur
即
QH=3QG
，故
Q、G、H
三点共线，且
QG：GH
=1 ：2
(
例10．若
O、H
分别是△
ABC
的外心和垂心.求证
OHOAOBOC
.
证明 若△
ABC
的垂心为
H
，外心为
O
，如图.
连< br>BO
并延长交外接圆于
D
，连结
AD
，
CD
.
∴
ADAB
，
CDBC
.又垂心为
H
，< br>AHBC
，
CHAB
，
∴
AH
∥
CD
，
CH
∥
AD
，
∴四边形
AHCD
为平行四边形，
∴
AHDCDOOC，故
OHOAAHOAOBOC
.

著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系：
（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；
（2）三角形的重心在“欧拉线 ”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距
离是重心到外心距离的2倍。
“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.
例11． 设
O
、
G
、
H
分别是锐角△
ABC
的外心、重心、垂 心. 求证
OGOH

证明 按重心定理
G
是△
ABC
的重心

OG(OAOBOC)

按垂心定理
OHOAOBOC
由此可得
OGOH
.
一、“重心”的向量风采
uuuruuuruuur
【命题1】
G
是
△ABC
所在 平面上的一点，若
GAGBGC0
，则
G
是
△ABC
的重心．如图
1
3
1
3
1
3
⑴.
C
A'
G
A

图⑴
P
B
M
A
B

C
O
图⑵
，B，C
是平面上不共线的三个点，动点
P
满足 【命题2】 已知
O
是平面上一定点，
A
uuuruuuruuuruuur
OPOA< br>
(ABAC)
，

(0，)
，则
P
的轨迹一定通过
△ABC
的重心.

- 4 -

uuuruuuruuuruuuruuur
【解析】 由题意
AP 

(ABAC)
，当

(0，)
时，由于

(ABAC)
表示
BC
边上的中线所在
直线的向量，所以动点
P
的轨迹一定通过
△ABC
的重心，如图⑵.

二、“垂心”的向量风采
【命题3】
P
是
△ABC
所 在平面上一点，若
PAPBPBPCPCPA
，则
P
是
△ ABC
的垂心．
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
uuuruu uruuur
uuuruuur
【解析】 由
PAPBPBPC
，得
PB(PAPC)0
，即
PBCA0
，所以
PB⊥CA< br>．同理可证
uuuruuuruuuruuur
PC⊥AB
，
PA⊥B C
．∴
P
是
△ABC
的垂心．如图⑶.
A
E
C
M
B


C
P

图⑶
P
A
O
H
F
图⑷
B
【命题4】 已知
O
是平面上一定点，
A，B，C
是平 面上不共线的三个点，动点
P
满足
uuuruuur

uuuru uur
ABAC

，

(0，
OPOA
< br>
uuu

uuu
)
，则动点
P
的轨迹 一定通过
△ABC
的垂心．
rr

ABcosBACcosC

uuuruuur
uuuruuur

uuu

r
uuur
ABACABAC


，由于
u uu

uuu

uuu
BC
0
，
【解析】 由题意
AP


uuurrrr

ABcosBACcosC


ABcosBACcosC

< br>
uuuruuuruuuruuur
uuuuruuuur
uuur
uuur
ABBCACBC

uuu
BCCB0
,所以
AP
表示垂直于
BC
的向量，即
P
点在过点
A且即
uuurr
ABcosBACcosC
垂直于
BC
的直线上 ，所以动点
P
的轨迹一定通过
△ABC
的垂心，如图⑷.
三、“内心”的向量风采
【命题5】 已知
I
为
△ABC
所在平面上的一点，且
ABc
，
ACb
，
BCa
．若
uuruuruur
aIAbIBcIC0
，则
I
是△ABC
的内心．
C
B

O


a

c
P

I

B
A

A
C
b

图⑹
图⑸

- 5 - < /p>

uuruuruuur
uuruuuruuur
uuruuruuur< br>【解析】 ∵
IBIAAB
，
ICIAAC
，则由题意得< br>(abc)IAbABcAC0
，
uuur
uuuruuuruu uruuuruuuruuuruuuruuur

AB
∵
bABcAC ACABABACACAB

uuur


AB

uur
∴
AI
bc


abc


uuuruuur
ABAC
uuur

uuur
ABAC


．∵


uuur
AC
u uur
AC


，


uuuruuur
r
uuur
uuu
ABAC
r
分别为
AB
和AC
方向上的单位向量，
uuur
与
uuu
AC
AB
uur
∴
AI
与
∠BAC
平分线共线，即
AI平分
BAC
．
同理可证：
BI
平分
ABC
，
CI
平分
ACB
．从而
I
是
△ABC
的内心，如图⑸.
【命题6】 已知
O
是平面上一定点，
A，B，C< br>是平面上不共线的三个点，动点
P
满足
uuruuur

u
uuuruuur
ABAC

OPOA


u uu
)
，则动点
P
的轨迹一定通过
△ABC
的内心．
r

uuur
，

(0，

ABAC< br>

uuruuur

u
uuur
uuurABAC

【解析】 由题意得
AP

uuu
 )
时，
AP
表示
BAC
的平分线所在直
r
< br>uuur
，∴当

(0，

ABAC

 
线方向的向量，故动点
P
的轨迹一定通过
△ABC
的内心，如图⑹ .

四、“外心”的向量风采
uuuuruuuuruuuur
22
【命题7】 已知
O
是△ABC
所在平面上一点，若
OAOBOC
2
，则
O
是
△ABC
的外心．









C
A
O
B
O
A
B
M
P
C
uuur
2
uuur
2
uuur< br>2
uuur
2
uuur
2
uuur
2
uuu ruuuruuur
【解析】 若
OAOBOC
，则
OAOBOC
，∴
OAOBOC
，则
O
是
△ABC
的
图⑺
图⑻
外心，如图⑺。
，B，C
是平面上不共线的三个点，动点
P
满足【命题7】 已知
O
是平面上的一定点，
A
uuuruuuruuuruuur

u uur
OBOCABAC

，
OP


uu u

uuu

(0，)
，则动点
P
的轨迹一 定通过
△ABC
的外心。
rr

ABcosBACcosC

2


- 6 -

uuuruuur
uuuruuur

OBOC
ABAC

表示垂直于

uuu
【解析】 由于过
BC
的中点，当

(0，)
时，


uuurr

ABcosBACcosC

2

uuur
BC
的向量（注意：理由见二、4条解释。），所以
P
在
B C
垂直平分线上，动点
P
的轨迹一定通过
△ABC
的外心，如图⑻。

补充练习
1．已知
A
、
B
、
C
是平面上不共线的三点，
O
是三角形
ABC
的重心，动点
P
满足
1
11
OP
= (
OA
+
OB
+ 2
OC
),则点
P
一定为三角形
ABC
的 （ B ）
3
22
A.
AB
边中线的中点 B.
AB
边中线的三等分点（非重心）
C.重心 D.
AB
边的中点
1. B取
AB
边的中点
M
， 则
OAOB2OM
，由
OP
3
1
11
(OA
+
OB
+2
OC
)可得
3
22
2
3
OP3OM2MC
，∴
MPMC
，即点
P
为三角形中
AB
边上的中线的一个三等分点，且
=
点
P
不过 重心，故选B.
uuuuuuruuuuuuruuuuuruuuuuur
uuuuur< br>2222
2
2．在同一个平面上有
ABC
及一点Ｏ满足关系式： < br>O
A
＋
BC
＝
OB
＋
CA
＝
OC
＋
uuuuuur
2
AB
，则Ｏ为
ABC
的 （ D ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
uuuruuuruuur
2．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足 ：
PAPBPC0
，则P为
ABC
的
（ C ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
3．已知O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：
OPOA

(ABAC)
，则P的轨迹一定通过△ABC的 （ C ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
4．已知△ABC，P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：
uuuruuuruuu ruuuruuuruuur
PA•PCPA•PBPB•PC0
，则P点为三角形的 （ D ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
uuuruuuruuur
5．已知△ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：
aPAbPBc•PC0
，则P点
为三角形的 （ B ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
22
6．在三角形ABC中，动点P满足：
CACB2AB•CP
，则P点轨迹一 定通过△ABC的：
（ B ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心

- 7 -

→→→→
A BACABAC1
→→→
7.已知非零向量AB与AC满足( + )·BC=0且 · = , 则△ABC为( )
→
||AC
→
|
→
|
→
|
2
|AB|AB|AC
A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形
uuuruuur
A BAC
r

uuur
)·=0，即角
A
的平分线垂直于BC
，∴
AB
=
AC
，又
解析：非零向量与满足(< br>uuu
|AB||AC|
uuuruuur

ABAC
1r

uuur
=
，∠
A
=，所以△
ABC
为等边三角形，选
D
．
cosA
uuu
3
|AB||AC|
2
8.
ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，
OHm(OAOBOC)
，则实数 m = 1
9.点O是
ABC
所在平面内的一点，满足
OAOBO BOCOCOA
，则点O是
ABC
的（B ）
（B）三条边的垂直平分线的交点
（D）三条高的交点
uuuuvuuuv
10. 如图1，已知点G是
ABC
的重心，过G作直 线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且
AMxAB
，
uuuvuuuv
11
ANyAC
，则
3
。
xy
（A）三个内角的角平分线的交点
（C）三条中线的交点


uuuvuuuvuuuv
GAGBGC
O
， 证 点G是
ABC
的重心，知
uuuvuuuvuuuvuuuvuuuv
uu uv
1
uuuvuuuv
得
AG(ABAG)(ACAG)O
，有
AG(ABAC)
。又M，N，G三点共线（A不在直线MN
3
上），
uuuvuuuuvuuuv
于是存在

,

，使得
AG

AM

AN(且



1)
，
uuuvuuuvuuuv
1
uuuvuuuv
有
AG

xAB

yAC
=
(ABAC)
，
3< br>



1
11

3
。 得

，于是得
1
xy

x

y

3















- 8 -

1、课前练习
1.1已知O是△ABC内的一点，若
OAOBOC
，则O是△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
1.2在△ABC中，有命题①
ABACBC
；②
ABBCCA0
；③若
ABAC•ABAC0
，
则△ABC为等腰三角形；④若
AB•AC0
，则△ABC为锐角三角形，上述命题中正确的是〔 〕
A、①② B、①④ C、②③ D、②③④
222


ABAC

ABAC1
例1、已知△ABC中，有

和
•
,试判断△ABC的形状。
•BC0

A BAC
2

ABAC


练习1、已知△ABC中，ABa
，
BCb
，B是△ABC中的最大角，若
a•b0
，试判断△ABC
的形状。
4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题
例2、已知O是△ABC所在平面内的一点，满足
OABCOBACOCAB
，则< br>O是△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题
222222


ABAC

例3、已知P是△ABC所在平面内 的一动点，且点P满足
OPOA




,



0,

，

ABAC


则动点P一定过△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
练习2、已知O为平面内一点，A、B、C平面上不共线的三点 ，动点P满足
1

OPOA


ABBC

,



0,

，则动点P 的轨迹一定通过△ABC的〔 〕
2

A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
例4、已知O是△ABC所在平面内的一点，动点P满足


ABAC

OPOA




,



0,

，则动点P一定过△ABC 的〔 〕

ABcosBACcosC


A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
练习3、已知O是△ABC所在 平面内的一点，动点P满足


OBOCABAC

OP< br>



,



0,

，则动点P一定过△ABC的〔 〕
2

ABcosBACcosC


A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心

- 9 -

例5、已知点G是的重心，过G作直线与AB、AC分别相交于M、N两点，且
11< br>AMx•AB,ANy•AC
，求证：
3

xy
7、作业
1、已知O是△ABC内的一点，若
OAOBOC0
，则O是△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
2、若△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，且
OAOBOC0
，则
OA•OB
等于〔 〕
1
1
A、 B、0 C、1 D、


2
2
3、已知O是△ABC所在平面上的一点，A、B、C、所对的过分别是
a
、
b
、
c
若
a•OAb•OBc•OC0
，则O是△ ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
4、已知P是△ABC所在平面内与A不重合的一点，满足
ABAC3AP，则P是△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
5、平面上的三个向量
OA
、
OB
、
OC
满足
OAOBOC0
，
OAOBO C1
，求证：
△ABC为正三角形。
6、在△ABC中，O为中线AM上的一个动 点，若AM＝2，求
OA(OBOC)




- 10 -

三角形“四心”向量形式的充要条件应用
1．O是
ABC
的重心

OAOBOC0
; 若O是
ABC
的重心，则
S
BOC
S
AOC< br>S
AOB

1
S
ABC
3
故
OAOBOC0
;

uuuruuuruuuruuur
PG
1
(PAPBPC)

G
为
ABC
的重心. 3
2．O是
ABC
的垂心

OAOBOBOCOC OA
;
tanB：tanC
若O是
ABC
(非直角三角形)的 垂心，则
S
BOC
：S
AOC
：S
AOB
 tanA：
故
tanAOAtanBOBtanCOC0

3．O是< br>ABC
的外心

|OA||OB||OC|
(或
OA OBOC
)
sinAOC：sinAOBsin2A:sin2B:sin2C
若O是
 ABC
的外心则
S
BOC
：S
AOC
：S
A OB
sinBOC：
222
故
sin2AOAsin2BOBsin 2COC0

4．O是内心
ABC
的充要条件是
OA(
AB
|AB|

AC
AC
)OB(
BA
|B A|

BC
|BC|
)OC(
CA
|CA|

CB
|CB|
)0

引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记< br>AB,BC,CA
的单位向量为
e
1
,e
2
,e3
，则刚才O是
ABC
内心的充要条件可以写成
OA(e
1
e
3
)OB(e
1
e
2
)OC(e
2
e
3
)0
，O是
ABC
内心的充要条件也可以是
aOAbOBcOC0
。若O是
ABC
的内心，则
S
BOC
：S
AOC：S
AOB
a：b：c

故
aOAbOBcOC0或sinAOAsinBOBsinCOC0
;
uuuruuuruuuruuuruuuruuurr
|AB|PC|BC|PA|CA|PB 0P
是
ABC
的内心;
uuur
uuur
AC
AB
uur

uuur
)(

0)
所在直线过
ABC
的内心(是
BAC
的角平
向量

(u
|AB||AC|
分线所在直线)；
(一)将平面向量与三角形内心结合考查
A
e
1
B
P
e
2
C
例1．O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点， 动点P满足
OPOA

(
AB
AB

ACAC
)
，



0,

则P点的 轨迹一定通过
ABC
的（ ）
（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心
解析：因为
AB
AB
uuur
uuuruuur
是向量AB
的单位向量设
AB
与
AC
方向上的单位向量分别为
e
1
和e
2
， 又

- 1 -

OPOAAP
，则原式可化为
AP

(e
1
e< br>2
)
，由菱形的基本性质知AP平分
BAC
，那么在
AB C
中，AP平分
BAC
，则知选B.
(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”
例2．
H
是△
A BC
所在平面内任一点，
HAHBHBHCHCHA

点
H
是△
ABC
的垂心.
由
HAHBHBHCHB(HC HA)0HBAC0HBAC
,
同理
HCAB
，
HABC
.故
H
是△
ABC
的垂心. （反之亦然（证略）） < br>例3.(湖南)P是△ABC所在平面上一点，若
PAPBPBPCPCPA
，则P是△ABC的（D ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
解析:由< br>PAPBPBPC得PAPBPBPC0
.即
PB(PAPC)0 ,即PBCA0

则
PBCA,同理PABC,PCAB
所以P为
ABC
的垂心. 故选D.
(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”
例4．
G
是△
A BC
所在平面内一点，
GAGBGC
=0

点
G
是△
ABC
的重
心.
证明 作图如右，图中
GBGCGE

连结
BE
和
CE
，则
CE=GB
，
BE=GC

BGCE
为平行四边形< br>
D
是
BC
的中点，
AD
为
BC
边 上的中
线.
将
GBGCGE
代入
GAGBGC
=0，
得GAEG
=0

GAGE2GD
，故
G
是△
ABC
的重心.（反之亦然（证略））
例5．
P
是△
ABC
所在平面内任一点.
G
是△
ABC
的重心

PG(PAPBPC)
.
证明
PGPAAGPBBGPCC G

3PG(AGBGCG)(PAPBPC)

∵
G
是△
ABC
的重心 ∴
GAGBGC
= 0

AGBGCG
=0，即
3PGPAPBPC

由此可得
PG(PAPBPC)
.（反之亦然（证略））
uuuruuuruuurr
例6 若
O
为
ABC
内一点，
OAOBOC0
，则
O
是
ABC
的（ ）
1
3
1
3
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重
心
uuuruuuruuurr uuuruuuruuur
解析：由
OAOBOC0
得
OBOC OA
，如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形，则

- 2 -

uuuruuuruuur
uuur
1
uuur
OBOCOD
，由平行四边形性质知
OEOD
，
OA2OE
，同理可证其它两 边上的这个性
2
质，所以是重心，选D。
(四) 将平面向量与三角形外心结合考查
uuuruuuruuur
例7若
O
为
ABC
内一点，
OAOBOC
，则
O
是
ABC
的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
解析：由向量模的定义知
O
到
A BC
的三顶点距离相等。故
O
是
ABC
的外心 ，选B。
(五)将平面向量与三角形四心结合考查
例8．已知向量
OP
1
，
OP
2
，
OP
3
满足条件
OP
1
+
OP
2
+
OP
3
=0，|
OP
1|=|
OP
2
|=|
OP
3
|=1，
求证 △
P
1
P
2
P
3
是正三角形.（《数学》第一册（ 下），复习参考题五
B
组第6题）
证明 由已知
OP
1
+
OP
2
=-
OP
3
，两边平方得
OP
1
·
OP
2
=

，
同理
OP< br>2
·
OP
3
=
OP
3
·
OP
1
=

，
∴|
P
1
P
2|=|
P
2
P
3
|=|
P
3
P
1
|=
3
，从而△
P
1
P
2
P
3
是正三角形.
反之，若点
O
是正三角形△
P
1
P
2
P
3
的中心，则显然有
OP
1
+
OP
2
+
OP
3
=0且|
OP
1
|=|
OP
2
|=|
OP
3
|.
即
O
是△
ABC
所在平面内一点，
OP
1
1
2
1
2
+
OP
2
+
OP
3< br>=0且|
OP
1
|=|
OP
2
|=|
OP< br>3
|

点
O
是正△
P
1
P
2
P
3
的中心.
例9．在△ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心 、重心、垂心。求证：Q、G、H三点共
线，且QG:GH=1:2。
【证明】：以A为原点 ，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B
（x
1
, 0）、C(x
2
,y
2
)，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则有 ：
xxx
2
y
2
xyx
D（
1
,0) 、E(
1
,)、F(
2
,
2
)
由题设可设
Q（
1
,y
3
)、H(x
2
,y
4
)< br>,
222222
uuuuruuur
x
1
x
2< br>y
2
xxy
y
G(,)AH(x
2
,y
4
)，QF(
2

1
,
2
y
3)

C(x
2
,y
2
)
33222
uuur
BC(x
2
x
1
,y
2
)

uuuuruuur
F H
Q
AHBC
E
uuuuruuur
G
AH•BCx
2
(x
2
x
1
)y
2
y
4
0

x
2
(x
2
x
1
)
y
2
uuuruuuu r
Q
QFAC
uuuruuuur
xxy
QF•ACx
2
(
2

1
)y
2
(
2
y
3
)0

222
x(xx
1
)y
2< br>y
3

22

2y
2
2
y4

uuuur
x2xx
1
3x
2
(x< br>2
x
1
)y
2
QH(x
2

1
,y
4
y
3
)（
2
,)

222y
2
2

- 3 -
Q
A
D
x
B(x
1
,0)

uuur
xx1
x
1
y
2
2xx
1
y
2
x
2
(x
2
x
1
)y
2
QG(2
,y
3
)（
2
,)
323632y
2
2
2x
2
x
1
3x
2
(x
2
x
1
)y
2
1
2xx
1
3x
2
(x
2
x
1
)y
2
,)(
2
,)

66y
2
6322y
2
2
ur
1
uuu
=QH
3
uuuuruuur
即
QH=3QG
，故
Q、G、H
三点共线，且
QG：GH
=1 ：2
(
例10．若
O、H
分别是△
ABC
的外心和垂心.求证
OHOAOBOC
.
证明 若△
ABC
的垂心为
H
，外心为
O
，如图.
连< br>BO
并延长交外接圆于
D
，连结
AD
，
CD
.
∴
ADAB
，
CDBC
.又垂心为
H
，< br>AHBC
，
CHAB
，
∴
AH
∥
CD
，
CH
∥
AD
，
∴四边形
AHCD
为平行四边形，
∴
AHDCDOOC，故
OHOAAHOAOBOC
.

著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系：
（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；
（2）三角形的重心在“欧拉线 ”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距
离是重心到外心距离的2倍。
“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.
例11． 设
O
、
G
、
H
分别是锐角△
ABC
的外心、重心、垂 心. 求证
OGOH

证明 按重心定理
G
是△
ABC
的重心

OG(OAOBOC)

按垂心定理
OHOAOBOC
由此可得
OGOH
.
一、“重心”的向量风采
uuuruuuruuur
【命题1】
G
是
△ABC
所在 平面上的一点，若
GAGBGC0
，则
G
是
△ABC
的重心．如图
1
3
1
3
1
3
⑴.
C
A'
G
A

图⑴
P
B
M
A
B

C
O
图⑵
，B，C
是平面上不共线的三个点，动点
P
满足 【命题2】 已知
O
是平面上一定点，
A
uuuruuuruuuruuur
OPOA< br>
(ABAC)
，

(0，)
，则
P
的轨迹一定通过
△ABC
的重心.

- 4 -

uuuruuuruuuruuuruuur
【解析】 由题意
AP 

(ABAC)
，当

(0，)
时，由于

(ABAC)
表示
BC
边上的中线所在
直线的向量，所以动点
P
的轨迹一定通过
△ABC
的重心，如图⑵.

二、“垂心”的向量风采
【命题3】
P
是
△ABC
所 在平面上一点，若
PAPBPBPCPCPA
，则
P
是
△ ABC
的垂心．
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
uuuruu uruuur
uuuruuur
【解析】 由
PAPBPBPC
，得
PB(PAPC)0
，即
PBCA0
，所以
PB⊥CA< br>．同理可证
uuuruuuruuuruuur
PC⊥AB
，
PA⊥B C
．∴
P
是
△ABC
的垂心．如图⑶.
A
E
C
M
B


C
P

图⑶
P
A
O
H
F
图⑷
B
【命题4】 已知
O
是平面上一定点，
A，B，C
是平 面上不共线的三个点，动点
P
满足
uuuruuur

uuuru uur
ABAC

，

(0，
OPOA
< br>
uuu

uuu
)
，则动点
P
的轨迹 一定通过
△ABC
的垂心．
rr

ABcosBACcosC

uuuruuur
uuuruuur

uuu

r
uuur
ABACABAC


，由于
u uu

uuu

uuu
BC
0
，
【解析】 由题意
AP


uuurrrr

ABcosBACcosC


ABcosBACcosC

< br>
uuuruuuruuuruuur
uuuuruuuur
uuur
uuur
ABBCACBC

uuu
BCCB0
,所以
AP
表示垂直于
BC
的向量，即
P
点在过点
A且即
uuurr
ABcosBACcosC
垂直于
BC
的直线上 ，所以动点
P
的轨迹一定通过
△ABC
的垂心，如图⑷.
三、“内心”的向量风采
【命题5】 已知
I
为
△ABC
所在平面上的一点，且
ABc
，
ACb
，
BCa
．若
uuruuruur
aIAbIBcIC0
，则
I
是△ABC
的内心．
C
B

O


a

c
P

I

B
A

A
C
b

图⑹
图⑸

- 5 - < /p>

uuruuruuur
uuruuuruuur
uuruuruuur< br>【解析】 ∵
IBIAAB
，
ICIAAC
，则由题意得< br>(abc)IAbABcAC0
，
uuur
uuuruuuruu uruuuruuuruuuruuuruuur

AB
∵
bABcAC ACABABACACAB

uuur


AB

uur
∴
AI
bc


abc


uuuruuur
ABAC
uuur

uuur
ABAC


．∵


uuur
AC
u uur
AC


，


uuuruuur
r
uuur
uuu
ABAC
r
分别为
AB
和AC
方向上的单位向量，
uuur
与
uuu
AC
AB
uur
∴
AI
与
∠BAC
平分线共线，即
AI平分
BAC
．
同理可证：
BI
平分
ABC
，
CI
平分
ACB
．从而
I
是
△ABC
的内心，如图⑸.
【命题6】 已知
O
是平面上一定点，
A，B，C< br>是平面上不共线的三个点，动点
P
满足
uuruuur

u
uuuruuur
ABAC

OPOA


u uu
)
，则动点
P
的轨迹一定通过
△ABC
的内心．
r

uuur
，

(0，

ABAC< br>

uuruuur

u
uuur
uuurABAC

【解析】 由题意得
AP

uuu
 )
时，
AP
表示
BAC
的平分线所在直
r
< br>uuur
，∴当

(0，

ABAC

 
线方向的向量，故动点
P
的轨迹一定通过
△ABC
的内心，如图⑹ .

四、“外心”的向量风采
uuuuruuuuruuuur
22
【命题7】 已知
O
是△ABC
所在平面上一点，若
OAOBOC
2
，则
O
是
△ABC
的外心．









C
A
O
B
O
A
B
M
P
C
uuur
2
uuur
2
uuur< br>2
uuur
2
uuur
2
uuur
2
uuu ruuuruuur
【解析】 若
OAOBOC
，则
OAOBOC
，∴
OAOBOC
，则
O
是
△ABC
的
图⑺
图⑻
外心，如图⑺。
，B，C
是平面上不共线的三个点，动点
P
满足【命题7】 已知
O
是平面上的一定点，
A
uuuruuuruuuruuur

u uur
OBOCABAC

，
OP


uu u

uuu

(0，)
，则动点
P
的轨迹一 定通过
△ABC
的外心。
rr

ABcosBACcosC

2


- 6 -

uuuruuur
uuuruuur

OBOC
ABAC

表示垂直于

uuu
【解析】 由于过
BC
的中点，当

(0，)
时，


uuurr

ABcosBACcosC

2

uuur
BC
的向量（注意：理由见二、4条解释。），所以
P
在
B C
垂直平分线上，动点
P
的轨迹一定通过
△ABC
的外心，如图⑻。

补充练习
1．已知
A
、
B
、
C
是平面上不共线的三点，
O
是三角形
ABC
的重心，动点
P
满足
1
11
OP
= (
OA
+
OB
+ 2
OC
),则点
P
一定为三角形
ABC
的 （ B ）
3
22
A.
AB
边中线的中点 B.
AB
边中线的三等分点（非重心）
C.重心 D.
AB
边的中点
1. B取
AB
边的中点
M
， 则
OAOB2OM
，由
OP
3
1
11
(OA
+
OB
+2
OC
)可得
3
22
2
3
OP3OM2MC
，∴
MPMC
，即点
P
为三角形中
AB
边上的中线的一个三等分点，且
=
点
P
不过 重心，故选B.
uuuuuuruuuuuuruuuuuruuuuuur
uuuuur< br>2222
2
2．在同一个平面上有
ABC
及一点Ｏ满足关系式： < br>O
A
＋
BC
＝
OB
＋
CA
＝
OC
＋
uuuuuur
2
AB
，则Ｏ为
ABC
的 （ D ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
uuuruuuruuur
2．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足 ：
PAPBPC0
，则P为
ABC
的
（ C ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
3．已知O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：
OPOA

(ABAC)
，则P的轨迹一定通过△ABC的 （ C ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
4．已知△ABC，P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：
uuuruuuruuu ruuuruuuruuur
PA•PCPA•PBPB•PC0
，则P点为三角形的 （ D ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
uuuruuuruuur
5．已知△ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：
aPAbPBc•PC0
，则P点
为三角形的 （ B ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
22
6．在三角形ABC中，动点P满足：
CACB2AB•CP
，则P点轨迹一 定通过△ABC的：
（ B ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心

- 7 -

→→→→
A BACABAC1
→→→
7.已知非零向量AB与AC满足( + )·BC=0且 · = , 则△ABC为( )
→
||AC
→
|
→
|
→
|
2
|AB|AB|AC
A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形
uuuruuur
A BAC
r

uuur
)·=0，即角
A
的平分线垂直于BC
，∴
AB
=
AC
，又
解析：非零向量与满足(< br>uuu
|AB||AC|
uuuruuur

ABAC
1r

uuur
=
，∠
A
=，所以△
ABC
为等边三角形，选
D
．
cosA
uuu
3
|AB||AC|
2
8.
ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，
OHm(OAOBOC)
，则实数 m = 1
9.点O是
ABC
所在平面内的一点，满足
OAOBO BOCOCOA
，则点O是
ABC
的（B ）
（B）三条边的垂直平分线的交点
（D）三条高的交点
uuuuvuuuv
10. 如图1，已知点G是
ABC
的重心，过G作直 线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且
AMxAB
，
uuuvuuuv
11
ANyAC
，则
3
。
xy
（A）三个内角的角平分线的交点
（C）三条中线的交点


uuuvuuuvuuuv
GAGBGC
O
， 证 点G是
ABC
的重心，知
uuuvuuuvuuuvuuuvuuuv
uu uv
1
uuuvuuuv
得
AG(ABAG)(ACAG)O
，有
AG(ABAC)
。又M，N，G三点共线（A不在直线MN
3
上），
uuuvuuuuvuuuv
于是存在

,

，使得
AG

AM

AN(且



1)
，
uuuvuuuvuuuv
1
uuuvuuuv
有
AG

xAB

yAC
=
(ABAC)
，
3< br>



1
11

3
。 得

，于是得
1
xy

x

y

3















- 8 -

1、课前练习
1.1已知O是△ABC内的一点，若
OAOBOC
，则O是△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
1.2在△ABC中，有命题①
ABACBC
；②
ABBCCA0
；③若
ABAC•ABAC0
，
则△ABC为等腰三角形；④若
AB•AC0
，则△ABC为锐角三角形，上述命题中正确的是〔 〕
A、①② B、①④ C、②③ D、②③④
222


ABAC

ABAC1
例1、已知△ABC中，有

和
•
,试判断△ABC的形状。
•BC0

A BAC
2

ABAC


练习1、已知△ABC中，ABa
，
BCb
，B是△ABC中的最大角，若
a•b0
，试判断△ABC
的形状。
4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题
例2、已知O是△ABC所在平面内的一点，满足
OABCOBACOCAB
，则< br>O是△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题
222222


ABAC

例3、已知P是△ABC所在平面内 的一动点，且点P满足
OPOA




,



0,

，

ABAC


则动点P一定过△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
练习2、已知O为平面内一点，A、B、C平面上不共线的三点 ，动点P满足
1

OPOA


ABBC

,



0,

，则动点P 的轨迹一定通过△ABC的〔 〕
2

A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
例4、已知O是△ABC所在平面内的一点，动点P满足


ABAC

OPOA




,



0,

，则动点P一定过△ABC 的〔 〕

ABcosBACcosC


A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
练习3、已知O是△ABC所在 平面内的一点，动点P满足


OBOCABAC

OP< br>



,



0,

，则动点P一定过△ABC的〔 〕
2

ABcosBACcosC


A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心

- 9 -

例5、已知点G是的重心，过G作直线与AB、AC分别相交于M、N两点，且
11< br>AMx•AB,ANy•AC
，求证：
3

xy
7、作业
1、已知O是△ABC内的一点，若
OAOBOC0
，则O是△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
2、若△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，且
OAOBOC0
，则
OA•OB
等于〔 〕
1
1
A、 B、0 C、1 D、


2
2
3、已知O是△ABC所在平面上的一点，A、B、C、所对的过分别是
a
、
b
、
c
若
a•OAb•OBc•OC0
，则O是△ ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
4、已知P是△ABC所在平面内与A不重合的一点，满足
ABAC3AP，则P是△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
5、平面上的三个向量
OA
、
OB
、
OC
满足
OAOBOC0
，
OAOBO C1
，求证：
△ABC为正三角形。
6、在△ABC中，O为中线AM上的一个动 点，若AM＝2，求
OA(OBOC)




- 10 -