安徽二本大学排名-情人节祝福

第一讲 新运算

第二讲 简便运算（一）
第三讲 简便运算（二）
第四讲 简便运算（三）
第五讲 简便运算（四）
第6讲 转化单位“1”（一）
第7讲 转化单位“1”（二）
第8讲 转化单位“1”（三）
第9讲
第10讲
第11讲
第12讲
第13讲
第14讲
第15讲
第16讲
第17讲
第18讲
第19讲
第20讲





设数法解题
假设法解题（一）
假设法解题（二）
倒推法解题
代数法解题
比的应用（一）
比的应用（二）
用“组合法”解工程问题
浓度问题
面积计算（一）
面积计算（二）

面积计算（三）
- 1 -

第一讲 新运算

一、知识要点
定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运
算。
解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计
算程序，将数值代 入，转化为常规的四则运算算式进行计算。
定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是 一些特殊的运算符号，如：
*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。
新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合于各种
运算定律的。
二、精讲精练
【例题1】假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*（5*4）。





练习1：
1.将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).。求27*9。





2.设a*b=a2+2b，那么求10*6和5*（2*8）。





3.设a*b=3a－b×12，求（25*12）*（10*5）。

【例题2】设p、q是两个数，规定：p△q=4×q-(p+q)÷2。求3△(4△ 6)。




练习2：
1．设p、q是两个数，规定p△q＝4×q－（p+q）÷2，求5△（6△4）。




2．设p、q是两个数，规定p△q＝p2+（p－q）×2。求30△（5△3）。




3．设M、N是两个数，规定M*N＝MN+NM，求10*20－14。




【例题3】如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2 +22+222+2222，3*3=3+33+333，
4*2=4+44，那么7*4=_____ ___；210*2=________。



练习3：
1． 如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+ 33+333，……那么
4*4=________。


2．规定， 那么8*5=________。

3．如果2*1=12，3*2=133，4*3=14 44，那么（6*3）÷（2*6）=________。
- 3 -

【例题4】规定②=1×2×3，③=2×3×4 ，④=3×4×5，⑤=4×5×6，……如果1
⑥－1⑦ =1⑦×A，那么，A是几？



练习4：
1．规定：②=1×2×3，③＝2×3×4，④＝3×4× 5，⑤＝4×5×6，……如果1⑧－
1⑨＝1⑨×A，那么A=________。
2．规定：③＝2×3×4，④＝3×4×5，⑤＝4×5×6，⑥＝5×6×7，……如果1⑩
+ 1⑾＝1⑾×□，那么□＝________。

3．如果1※2＝1+2，2※3＝2+3 +4，……5※6＝5+6+7+8+9+10，那么x※3＝54中，x
＝________。

【例题5】设a⊙b=4a－2b+12ab,求z⊙（4⊙1）＝34中的未知数x。




练习5：
1．设a⊙b=3a－2b，已知x⊙（4⊙1）＝7求x。



2．对两个整数a和b定义新运算“△”：a△b=




3．对任意两个整数x和y定于新运算，“*”：x*y＝
数）。如果1*2＝1，那么3*12＝________。
（其中m是一个确定的整
，求6△4+9△8。

第二讲 简便运算（一）
一、知识要点
根据算式的结构和数的特征，灵活运用运算法则、定律、性质和某些公式，可以把一

些较复杂的四则混合运算化繁为简，化难为易。
二、精讲精练
【例题1】计算4.75-9.63+（8.25-1.37）




练习1：计算下面各题。
1． 6.73－2 又817+（3.27－1又917）




2. 7又59－（3.8+1又59）－1又15




3. 14.15－（7又78－6又1720）－2.125




4. 13又713－（4又14+3又713）－0.75




【例题2】计算333387又12×79+790×66661又14


- 5 -

练习2：计算下面各题：
1. 3.5×1又14+125％+1又12÷45




2. 975×0.25+9又34×76－9.75




3. 9又25×425+4.25÷160




4. 0.9999×0.7+0.1111×2.7




【例题3】计算：36×1.09+1.2×67.3




练习3：计算：
1. 45×2.08+1.5×37.6




2. 52×11.1+2.6×778

3. 48×1.08+1.2×56.8




4. 72×2.09－1.8×73.6




【例题4】计算：3又35×25又25＋37.9×6又25





练习4：
计算下面各题：
1．6.8×16.8＋19.3×3.2





2．139×137138＋137×1138




3．4.4×57.8＋45.3×5.6


- 7 -

【例题5】计算81.5×15.8＋81.5×51.8＋67.6×18.5




练习5：
1．53.5×35.3＋53.5×43.2＋78.5×46.5





2．235×12.1＋+235×42.2－135×54.3





3．3.75×735－38×5730＋16.2×62.5

简便运算（二）
一、知识要点
计算过程中，我们先整体地分析算 式的特点，然后进行一定的转化，创造条件运用乘
法分配律来简算，这种思考方法在四则运算中用处很大 。
二、精讲精练
【例题1】计算：1234＋2341＋3412＋4123




练习1：
1．23456＋34562＋45623＋56234＋62345




2．45678＋56784＋67845＋78456＋84567




3．124.68＋324.68＋524.68＋724.68＋924.68




【例题2】计算：2又45×23.4＋11.1×57.6＋6.54×28




练习2：计算下面各题：
1．99999×77778＋33333×66666

- 9 -

2．34.5×76.5－345×6.42－123×1.45




3．77×13＋255×999＋510




【例题3】计算（1993×1994－1）（1993＋1992×1994）




练习3：计算下面各题：
1．（362＋548×361）（362×548－186）




2．（1988＋1989×1987）（1988×1989－1）




3．（204＋584×1991）（1992×584―380）―1143




【例题4】有一串数1，4，9，16，25，36……. 它们是按一定的规律排列的，那么其
中第2000个数与2001个数相差多少？

练习4：计算：
1．19912－19902 2．99992＋19999 3．999×274＋6274





【例题5】计算：（9又27＋7又29）÷（57＋59）



练习5：
计算下面各题：
1．（89＋1又37＋611）÷（311＋57＋49）






2．（3又711＋1又1213）÷（1又511＋1013）






3．（96又6373＋36又2425）÷（32又2173＋12又825）
- 11 -

简便运算（三）
一、知识要点
在进行分数运算时，除了牢记 运算定律、性质外，还要仔细审题，仔细观察运算符号
和数字特点，合理地把参加运算的数拆开或者合并 进行重新组合，使其变成符合运算定律
的模式，以便于口算，从而简化运算。
二、精讲精练
【例题1】
计算：（1）
44
45
×37




练习1
用简便方法计算下面各题：
1.
14
15
×8 2.



4. 73×
74
75
5.




【例题2】
计算：73
1
15
×
1
8


（2） 27×
15
26

2
25
×126 3. 35
1997
1998
×1999
×
11
36

练习2
计算下面各题：
1. 64
1111
17
×
9
2. 22
20
×
21


3.
1
7
×57
1
6
4. 41
1
3
×
3
4
+51
14
4
×
5






【例题3】
计算：
1
5
×27+
3
5
×41




练习3
计算下面各题：
1.
1
4
×39+
3
4
×27 2.
1
6
×35+
5
6
×17 3.
1
8
×5+
5
8
×5+
1
8
×10



【例题4】
计算：
51525
6
×
13
+
9
×
13
+
18
×
6
13


- 13 -

练习4
计算下面各题：
1451133161
1． × + × 2. × + × + ×
179179



3．
5
9
×79
16115
17
+50×
9
+
9
×
17
4.




【例题5】
计算：（1）166
1
20
÷41




练习5
计算下面各题：
1. 54
2
5
÷17 2. 238÷238
238
239

7476712
5
17
×
3
8
+
1
15
×
7
16
+
1
15
×3
1
2
2） 1998÷1998
1998
1999

1
13
÷41
1
39


3. 163
（

简便运算（四）
一、知识要点
前面我们介绍了运用定律和性质 以及数的特点进行巧算和简算的一些方法，下面再向
同学们介绍怎样用拆分法（也叫裂项法、拆项法）进 行分数的简便运算。
运用拆分法解题主要是使拆开后的一些分数互相抵消，达到简化运算的目的。一般 地，
111111
形如 的分数可以拆成 － ；形如 的分数可以拆成 ×（ －
a×(a+1)aa+1a×（a+n）na
1a+b11
），形如 的分数可以拆成 + 等等。同学们可以结合例题思考其中的规律。
a+na×bab
二、精讲精练
【例题1】
1111
计算： + + +…..+
1×22×33×499×100




练习1
计算下面各题：
1.



11111
2. + + + +
10×1111×1212×1313×1414×15



1111
+ + +…..+
4×55×66×739×40
- 15 -

111111
3. + + + + +
2612203042



1111
4. 1－ + + +
6425672




【例题2】
1111
计算： + + +…..+
2×44×66×848×50




练习2
计算下面各题：
1.



3.




11111111
+ + +…..+ 2. + + +…..+
3×55×77×997×991×44×77×1097×100
111111111
+ + +…..+ 4. + + + +
1×55×99×1333×3742870130208

【例题3】
计算：1
1
3
－
7
12
+
9111315
20
－
30
+
42
－
56





练习3
计算下面各题：
1.1
1
2
+
5
6
－
7
12
+
9
20
－
11
30




2.1
19111315
4
－
20
+
30
－
42
+
56




3.
1998
1×2
+
1998
2×3
+
1998
3×4
+
1998
4×5
+
1998
5×6




4.6×
79
12
－
20
×6+
11
30
×6


- 17 -

【例题4】
111111
计算： + + + + +
248163264




练习4
计算下面各题：
1111
1. + + +………+
248256



22222
2. + + + +
392781243




3. 9.6+99.6+999.6+9999.6+99999.6




【例题5】
111
计算：（1+ + + ）×（ + + + ）－（1+ + + + ）×（ + + ）
23423452345234

练习5
11111
1.（ + + + ）×（ + + + ）－（ + + + + ）×（ + + ）
2345345623456345



11111
2.（ + + + ）×（ + + + ）－（ + + + + ）×（ + + ）
8911


3. （1+
1111111
+ + ）×（ + + + ）－
19992
（1+
1111111
+ + + ）×（ + + ）
02001
- 19 -

第6讲 转化单位“1”（一）
一、知识要点
把不同的数量当作单位“1”，得到的分率可以在一定的条件下转化。
如果甲是乙的ab，乙 是丙的cd，则甲是丙的acbd；如果甲是乙的ab，则乙是甲
的ba；如果甲的ab等于乙的cd， 则甲是乙的cd÷ab＝bcad，乙是甲的ab÷ab
＝adbc。
二、精讲精练
【例题1】乙数是甲数的23，丙数是乙数的45，丙数是甲数的几分之几？
23×45＝815



练习1：
1．乙数是甲数的34，丙数是乙数的35，丙数是甲数的几分之几？




2．一根管子，第一次截去全长的14，第二次截去余下的12，两次共截去全长的几
分之几？




3．一个旅客从甲城坐火车到乙城，火车行了全程的一半时 旅客睡着了。他醒来时，
发现剩下的路程是他睡着前所行路程的14。想一想，剩下的路程是全程的几分 之几？他
睡着时火车行了全程的几分之几？




【例 题2】修一条8000米的水渠，第一周修了全长的14，第二周修的相当于第一周
的45，第二周修了 多少米？

练习2：
用两种方法解答下面各题：
1．一堆黄沙30吨，第一次 用去总数的15，第二次用去的是第一次的1又14倍，
第二次用去黄沙多少吨？



2．大象可活80年，马的寿命是大象的12，长颈鹿的寿命是马的78，长颈鹿可活
多少年？



3．仓库里有化肥30吨，第一次取出总数的15，第二次取出余下的 13，第二次取
出多少吨？



【例题3】晶晶三天看完一本书 ，第一天看了全书的14，第二天看了余下的25，第
二天比第一天多看了15页，这本书共有多少页？




练习3：
1．有一批货物，第一天运了这批货物 的14，第二天运的是第一天的35，还剩90
吨没有运。这批货物有多少吨？




2．修路队在一条公路上施工。第一天修了这条公路的14，第二天修了余下的2 3，
已知这两天共修路1200米，这条公路全长多少米？


- 21 -

3．加工一批零件，甲先加工了这批零件的25，接着乙加工了余下的49。已知乙 加
工的个数比甲少200个，这批零件共有多少个？



【例题4】男生人数是女生人数的45，女生人数是男生人数的几分之几？




练习4：
1．停车场里有小汽车的辆数是大汽车的34，大汽车的辆数是小汽车的几分之几？




2．如果山羊的只数是绵羊的67，那么绵羊的只数是山羊的几分之几？




3．如果花布的单价是白布的1又35倍，则白布的单价是花布的几分之几？




【例题5】甲数的13等于乙数的14，甲数是乙数的几分之几，乙数是甲数的几倍？




练习5：
1．甲数的34于乙数的25，甲数是乙数的几分之几？乙数是甲数的几分之几？

2．甲数的1又23倍等于乙数的56，甲数是乙数的几分之几？乙数是甲乙两数和的< br>几分之几？





3．甲数是丙数的34，乙 数是丙数的25，甲数是乙数的几分之几？乙数是甲数的几
分之几？（想一想：这题与第一题有什么不同 ？）
- 23 -

第7讲 转化单位“1”（二）
一、知识要点
我们必须重视转化训练。通过转化训练，既可理解数量关系的实质，又可拓展我 们的
解题思路，提高我们的思维能力。
二、精讲精练
【例题1】甲数是乙数的23 ，乙数是丙数的34，甲、乙、丙的和是216，甲、乙、
丙各是多少？




练习1：下面各题怎样计算简便就怎样计算：
1．甲数是乙数的56， 乙数是丙数的34，甲、乙、丙三个数的和是152，甲、乙、
丙三个数各是多少？




2．橘子的千克数是苹果的23，香蕉的千克数是橘子的12，香蕉和 苹果共有220千
克，橘子有多少千克？




3．某 中学的初中部三个年级中，初一的学生数是初二学生数的910，初二的学生数
是初三学生数的1又14 倍，这个学校里初三的学生数占初中部学生数的几分之几？




【例题2】红、黄、蓝气球共有62只，其中红气球的35等于黄气球的23，蓝气球
有24只，红气 球和黄气球各有多少只？




练习2：
1．甲数的23等于乙数的56，甲、乙两数的和是162，甲、乙两数各是多少？

2．今年8月份，甲所得的奖金比乙少200元，甲得的奖金的23正好是乙得奖金的
47，甲、乙两 人各得奖金多少元？




3．商店运来香蕉、苹果和梨子共9 00千克，香蕉重量的14等于苹果重量的13，梨
子的重量是200千克。香蕉和苹果各多少千克？




【例题3】已知甲校学生数是乙校学生数的25，甲校的女 生数是甲校学生数的310，
乙校的男生数是乙校学生数的2150，那么两校女生总数占两校学生总数 的几分之几？




练习3：
1．在一座城市中，中 学生数是居民的15，大学生是中学生数的14，那么占大学生
总数的25的理工科大学生是居民数的几 分之几？




2．某人在一次选举中，需34的选票才能当选 ，计算23的选票后，他得到的选票
已达到当选票数的56，他还要得到剩下选票的几分之几才能当选？




3．某校有35的学生是男生，男生的120想当医生，全 校想当医生的学生的34是
男生，那么全校女生的几分之几想当医生？




【例题4】仓库里的大米和面粉共有2000袋。大米运走25，面粉运作110后，仓库里剩下大米和面粉正好相等。原来大米和面粉各有多少袋？

- 25 -

练习4：
1．甲、乙两人各准备加工零件若干个，当甲完成自己的23、乙完 成自己的14时，
两人所剩零件数量相等，已知甲比乙多做了70个，甲、乙两人各准备加工多少个零件 ？




2．一批水果四天卖完。第一天卖出180千克，第二 天卖出余下的27，第三、四天共
卖出这批水果的一半，这批水果有多少千克？




3．甲、乙两人合打一篇书稿，共有10500字。如果甲增加他的任务的20％ ，乙减少
他的任务的20％，那么甲打的字数就是乙的2倍，问两人原来的任务各是多少？




【例题5】400名学生参加植树活动，计划每个男生植树20棵，每 个女生植树15棵。
除抽出25％的男生搞卫生外，其他的同学都按计划完成了植树任务。问共植树多少 棵？




练习5：
1．有一块菜地和一块麦地，菜 地的一半和麦地的13放在一起是13公顷，麦地的一
半和菜地的13放在一起是12公顷，那么，菜地 有多少公顷？




2．师徒两人加工同样多的零件，师傅要1 0分钟，徒弟要18分钟。两人共同加工零
件168个，如果要在相同的时间内完成，两人各应加工零件 多少个？




3．有5元和2元的人民币若干张，其金额之比 为15：4。如果5元人民币减少6张，
则两种人民币的张数相等。求原来两种人民币的张数各是多少？

第8讲 转化单位“1”（三）
一、知识要点
解答较复杂的分数应用题时，我们往往从题目中找出不 变的量，把不变的量看作单位
“1”，将已知条件进行转化，找出所求数量相当于单位“1”的几分之几 ，再列式解答。
二、精讲精练
【例题1】有两筐梨。乙筐是甲筐的35，从甲筐取出5千克 梨放入乙筐后，乙筐的
梨是甲筐的79。甲、乙两筐梨共重多少千克？



练习1：
1．某小学低年级原有少先队员是非少先队员的13，后来又有39名同学加入少先 队
组织。这样，少先队员的人数是非少先队员的78。低年级有学生多少人？




2．王师傅生产一批零件，不合格产品是合格产品的119，后来从合格产品中又 发现
了2个不合格产品，这时算出产品的合格率是94％。合格产品共有多少个？




3．某校六年级上学期男生占总人数的54％，本学期转进3名女生，转走3名男 生，
这时女生占总人数的48％。现在有男生多少人？



< br>【例题2】某学校原有长跳绳的根数占长、短跳绳总数的38。后来又买进20根长跳
绳，这时长 跳绳的根数占长、短跳绳总数的712。这个学校现有长、短跳绳的总数是多少
根？


- 27 -

练习2：
1．阅览室看书的同学中，女同 学占35，从阅览室走出5位女同学后，看数的同学中，
女同学占47，原来阅览室一共有多少名同学在 看书？



2．一堆什锦糖，其中奶糖占45％，再放入16千克其他糖 后，奶糖只占25％，这堆
糖中有奶糖多少千克？



3．数学 课外兴趣小组，上学期男生占59，这学期增加21名女生后，男生就只占25
了，这个小组现有女生多 少人？




【例题3】有两段布，一段布长40米，另一段长 30米，把两段布都用去同样长的一
部分后，发现短的一段布剩下的长度是长的一段布所剩长度的35， 每段布用去多少米？



练习3：
1．有两根塑料绳，一根长 80米，另一根长40米，如果从两根上各剪去同样长的一
段后，短绳剩下的长度是长绳剩下的27，两 根绳各剪去多少米？



2．今年父亲40岁，儿子12岁，当儿子的年龄是父亲的512时，儿子多少岁？



3．仓库里原来存大米和面粉袋数相等，运出800袋大米和500袋面粉后，仓 库里所
剩的大米袋数时面粉的34，仓库里原有大米和面粉各多少袋？

4．甲、乙、丙、丁四个筑路队共筑1200米长的一段公路，甲队筑的路时其他三个队
的12，乙队筑的路时其他三个队的13，丙队筑的路时其他三个队的14，丁队筑了多少
米？




【例题4】某商店原有黑白、彩色电视机共630台，其中 黑白电视机占15，后来又
运进一些黑白电视机。这时黑白电视机占两种电视机总台数的30％，问：又 运进黑白电视
机多少台？



练习4：
1．书店运来 科技书和文艺书共240包，科技书占16。后来又运来一批科技书，这时
科技书占两种书总和的311 ，现在两种书各有多少包？



2．某市派出60名选手参加田径比赛， 其中女选手占14，正式比赛时，有几名女选
手因故缺席，这样女选手人数占参赛选手总数的211。问 ：正式参赛的女选手有多少人？



3．把12千克的盐溶解于120千 克水中，得到132千克盐水，如果要使盐水中含盐8％，
要往盐水中加盐还是加水？加多少千克？




4．东风水果店上午运进梨和苹果共1020千克，其中梨 占水果总数的15；下午又运
进梨若干千克，这时梨占两种水果总数的25，下午运进梨多少千克？


- 29 -

【例题5】一堆煤，运走的比总数的25 多120吨，剩下的比运走的56多60吨，这
堆煤原有多少吨？




练习5：
1．修一条路，第一天修了全长的25多60米，第二天修的长度比第一 天的34多35
米，还剩100米没有修，这条路全长多少米？





2．修一条路，第一天修了全长的25多60米，第二天修的长度比第一天的34 少35
米，这两天共修路420米，这条路全长多少米？




3．某工程队修筑一条公路，第一天修了全长的25，第二天修了剩下部分的59又
20米，第 三天修的是第一天的14又30米，这样，正好修完，这段公路全长多少米？

第9讲 设数法解题
一、知识要点
在小学数学竞赛中，常常会 遇到一些看起来缺少条件的题目，按常规解法似乎无解，
但仔细分析就会发现，题目中缺少的条件对于答 案并无影响，这时就可以采用“设数代入
法”，即对题目中“缺少”的条件，随便假设一个数代入（当然 假设的这个数要尽量的方
便计算），然后求出解答。
二、精讲精练
【例题1】如果△△＝□□□，△☆＝□□□□，那么☆☆□＝（ ）个△。


说明：本题如果不用设数代入法，直接用图形互相代换，显然要多费周折。
练习1：
1．已知△＝○○□□，△○＝□□，☆＝□□□，问△□☆＝（ ）个○。

< br>2．五个人比较身高，甲比乙高3厘米，乙比丙矮7厘米，丙比丁高10厘米，丁比戊
矮5厘米， 甲与戊谁高，高几厘米？


3．甲、乙、丙三个仓库原有同样多的货，从甲仓库运 60吨到乙仓库，从乙仓库运45
吨到丙仓库，从丙仓库运55吨到甲仓库，这时三个仓库的货哪个最多 ？哪个最少？最多
的比最少的多多少吨？



【例题2】足球门 票15元一张，降价后观众增加一倍，收入增加15，问一张门票降
价多少元？



练习2：
1．某班一次考试，平均分为70分，其中34及格，及格的同学平均分 为80分，那
么不及格的同学平均分是多少分？

- 31 -

< br>2．游泳池里参加游泳的学生中，小学生占30％，又来了一批学生后，学生总数增加
了20％， 小学生占学生总数的40％，小学生增加百分之几？



3．五年级三个 班的人数相等。一班的男生人数和二班的女生人数相等，三班的男生
是全部男生的25，全部女生人数占 全年级人数的几分之几？



【例题3】小王在一个小山坡来回运动。先 从山下跑上山，每分钟跑200米，再从原
路下山，每分钟跑240米，又从原路上山，每分钟跑150 米，再从原路下山，每分钟跑200
米，求小王的平均速度。



练习3：
1．小华上山的速度是每小时3千米，下山的速度是每小时6千米，求上山后又沿原
路下山的平均速度。




2．张师傅骑自行车往返A 、B两地。去时每小时行15千米，返回时因逆风，每小时
只行10千米，张师傅往返途中的平均速度是 每小时多少千米？




3．小王骑摩托车往返A、B两地。平 均速度为每小时48千米，如果他去时每小时行
42千米，那么他返回时的平均速度是每小时行多少千米 ？

【例题4】某幼儿园中班的小朋友平均身高115厘米，其中男孩比女孩多15，女孩< br>平均身高比男孩高10％，这个班男孩平均身高是多少？



练习4：
1．某班男生人数是女生的23，男生平均身高为138厘米，全班平均身高为13 2厘米。
问：女生平均身高是多少厘米？



2．某班男生人数 是女生的45，女生的平均身高比男生高15％，全班的平均身高是
130厘米，求男、女生的平均身高 各是多少？



3．一个长方形每边增加10％，那么它的周长增加百分之几？它的面积增加百分之几？




【例题5】狗跑5步的时间马跑3步，马跑4步的距离狗跑7步，现在 狗已跑出30米，
马开始追它。问狗再跑多远，马可以追到它？
【思路导航】马跑一步的距离 不知道，跑3步的时间也不知道，可取具体数值，并不
影响解题结果。



练习5：
1．猎狗前面26步远的地方有一野兔，猎狗追之。兔跑8步的时间狗只跑5步，但 兔
跑9步的距离仅等于狗跑4步的距离。问兔跑几步后，被狗抓获？



- 33 -

2．猎人带猎狗去捕猎，发现兔子刚跑出40米，猎狗去追兔子 。已知猎狗跑2步的时
间兔子跑3步，猎狗跑4步的距离与兔子跑7步的距离相等，求兔再跑多远，猎狗 可以追
到它？




3．狗和兔同时从A地跑向B地， 狗跑3步的距离等于兔跑5步的距离，而狗跑2步
的时间等于兔跑3步的时间，狗跑600步到达B地， 这时兔还要跑多少步才能到达B地？

第10讲 假设法解题（一）
一、知识要点
假设法解体的思考 方法是先通过假设来改变题目的条件，然后再和已知条件配合推
算。有些题目用假设法思考，能找到巧妙 的解答思路。
运用假设法时，可以假设数量增加或减少，从而与已知条件产生联系；也可以假设某个量的分率与另一个量的分率一样，再根据乘法分配律求出这个分率对应的和，最后依据
它与实际条 件的矛盾求解。
二、精讲精练
【例题1】
甲、乙两数之和是185，已知甲数的14与乙数的15的和是42，求两数各是多少？
【思 路导航】假设将题中“甲数的14”、“乙数的15”与“和为42”同时扩大4倍，
则变成了“甲数与 乙数的45的和为168”，再用185减去168就是乙数的15。
解： 乙：（185－42×4）÷（1－15×4）＝85
答：甲数是100，乙数是85。
练习1：
1．甲、乙两人共有钱150元，甲的12与乙的110的钱数和是35元，求甲、 乙两
人各有多少元钱？
2．甲、乙两个消防队共有338人。抽调甲队人数的17，乙队人数 的13，共抽调78
人，甲、乙两个消防队原来各有多少人？
3．海洋化肥厂计划第二季度生 产一批化肥，已知四月份完成总数的13多50吨，五
月份完成总数的25少70吨，还有420吨没完 成，第二季度原计划生产多少吨？
【例题2】
彩色电视机和黑白电视机共250台。如果彩 色电视机卖出19，则比黑白电视机多5
台。问：两种电视机原来各有多少台？
【思路导航】 从图中可以看出：假设黑白电视机增加5台，就和彩色电视机卖出19
后剩下的一样多。
黑白电视机增加5台后，相当于彩色电视机的（1－19）＝ 89。
（250+5）÷（1+1－19）＝135（台）
250－125＝115（台）
答：彩色电视机原有135台，黑白电视机原有115台。
练习2：
1．姐妹俩养 兔120只，如果姐姐卖掉17，还比妹妹多10只，姐姐和妹妹各养了多
少只兔？
2．学校有篮球和足球共21个，篮球借出13后，比足球少1个，原来篮球和足球各
- 35 -

有多少个？
3．小明甲养的鸡和鸭共有100只，如果将鸡卖掉120， 还比鸭多17只，小明家原来
养的鸡和鸭各有多少只？
【例题3】师傅与徒弟两人共加工零件 105个，已知师傅加工零件个数的38与徒弟
加工零件个数的47的和为49个，师、徒各加工零件多 少个？
【思路导航】假设师、徒两人都完成了47，一个能完成（105×47）＝60个，和实际相差（60－49）＝11个，这11个就是师傅完成将零件的38与完成加工零件的47相
差的 个数。这样就可以求出师傅加工了【11÷（47－38）】＝56个。即：
师傅：（105×47－49）÷（47－38）＝56（个）
徒弟：105－56＝49（个）
答：师傅加工了56个，徒弟加工了49个。
练习3：
1．某商店有彩色电视机和黑白电视机共136台，卖出彩色电视机的25和黑白电 视
机的37，共卖出57台。问：原来彩色电视机和黑白电视机各有多少台？
2．甲、乙两个 消防队共有336人，抽调甲队人数的57、乙队人数的37，共抽调188
人参加灭火。问：甲、乙两 个消防队原来各有多少人？
3．学校买来足球和排球共64个，从中借出排球个数的14和足球个数的 13后，还
剩下46个，买来排球和足球各是多少个？
【例题4】甲、乙两数的和是300，甲数的25比乙数的14多55，甲、乙两数各是
多少？
【思路导航】甲数的25与乙数的25的和就是甲、乙两数的25，是300×25＝120，
因为甲数的25比乙数的14多55，所以从120中减去55所得的差就可以看成是乙数的
14与乙数 的25的和。
乙：（300×25－55）÷（25+14）＝100
甲：300－100＝200
答：甲数是200，乙数是100。
练习4： 1．畜牧场有绵羊、山羊共800只，山羊的25比绵羊的12多50只，这个畜牧场有
山羊、绵羊 各多少只？
2．师傅和徒弟共加工零件840个，师傅加工零件的个数的58比徒弟加工零件个数的23多60个，师傅和徒弟各加工零件多少个？
3．某校六年级甲、乙两个班共种100棵树， 乙班种的110比甲班种的13少16棵，
两个班各种多少棵？
【例题5】育红小学上学期共有学生750人，本学期男学生增加16，女学生减少15，

共有710人，本学期男、女学生各有多少人？
【思路导航】假设本学期女学 生不是减少15，而是增加16，半学期应该有750×
（1+16）＝875人，比实际多875－7 10＝165人，这165人是假设女学生也增加16多出
的人数，而实际女学生减少15，所以，这1 65人对应着女学生的（15+16）＝1130。
上学期女生：【750×（1+16）－710】÷（15+16）＝450（人）
本学期女生：450×（1－15）＝360（人）
本学期男生：710－360＝350（人）
答：本学期男学生有350人，女学生有360人。
练习5：
1．金放在水里称， 重量减轻119，银放在水里称，重量减少110，一块重770克的
金银合金，放在水里称是720克 ，这块合金含金、银各多少克？
2．某中学去年共招新生475人，今年共招新生640人，其中初中 招的新生比去年增
加48％，高中招的新生比去年增加20％，今年初、高中各招收新生多少人？ < br>3．袋子里原有红球和黄球共119个。将红球增加38，黄球减少25后，红球与黄球
的总数变 为121个。原来袋子里有红球和黄球各多少个？
- 37 -

第11讲 假设法解题（二）
一、知识要点
已知甲是乙的几分之几，又知甲与乙各改变一定的数量后两 者之间新的倍数关系，要
求甲、乙两个数是多少，这样的应用题称为变倍问题。
应用题中的变 倍问题，有两数同增、两数同减、一增一减等各种情况。虽然其中的数
量关系比较复杂，但解答时的关键 仍是确定哪个量为单位“1”，然后通过假设，找出变化
前后的相差数相当于单位“1”的几分之几，从 而求出单位“1”的量，其他要求的量就迎
刃而解了。
二、精讲精练
【例题1】两 根铁丝，第一根长度是第二根的3倍，两根各用去6米，第一根剩下的
长度是第二根剩下的长度的5倍， 第二根原来有多少米？
【思路导航】假设第一根用去6×3＝18米，那么第一根剩下的长度仍是第二 根剩下
长度的3倍，而事实上第一根比假设的少用去（6×3－6）＝12米，也就多剩下第二根剩下的长度的（5－3）＝2倍。
（6×3－3）÷（5－3）+6＝12（米）
答：第二根原来有12米。
练习1：
1．丁晓原有书的本数是王阳的5倍，若两 人同时各借出5本给其他同学，则丁晓书
的本数是王阳的10倍，两人原来各有书多少本？
2 ．在植树劳动中，光明中学植树的棵数是光明小学的3倍，如果中学增加450棵，
小学增加400棵， 则中学是小学的2倍。求中、小学原来各植树多少棵？
3．两堆煤，第一堆是第二堆的2倍，第一堆用 去8吨，第二堆用去11吨，第一堆剩
下的重量是第二堆的4倍。求第二堆煤原来是多少吨？
【例题2】王明平时积蓄下来的零花钱比陈刚的3倍多6.40元，若两个人各买了一本
4.40元的故 事书后，王明的钱就是陈刚的8倍，陈刚原来有零花钱多少元？
【思路导航】假设仍然保持王明的钱比 陈刚的3倍多6.40元，则王明要相应地花去
4.40×3 ＝13.20元，但王明只花去了4.4 0元，比13.20元少13.20－4.40＝8.80元，那
么王明买书后的钱比陈刚买书后的钱的 3倍多6.40+8.80＝15.20元，而题中已告诉：买
书后王明的钱是陈刚的8倍，所以，15 .20元就对应着陈刚花钱后剩下钱的8－3＝5倍。
【6.40+（4.40×3－4.40】÷（8－3）+4.40＝7.44（元）
答：陈刚原来有零花钱7.44元。
练习2：
1．甲书架上的书比乙书架上的3倍 多50本，若甲、乙两个书架上各增加150本，则
甲书架上的书是乙书架上的2倍，甲、乙两个书架原 来各有多少本书？

2．上学年，马村中学的学生比牛庄小学的学生的2倍多54人，本学年马村中学增加
了20 人，牛庄小学减少了8人，则马村中学的学生比牛庄小学的学生的4倍少26人，上
学年马村中学和牛庄 小学各有学生多少人？
3．箱子里有红、白两种玻璃球，红球比白球的3倍多2粒，每次从箱子里取出 7粒
白球和15粒红球，若干次后，箱子里剩下3粒白球和53粒红球，那么，箱子里白球原有
多少粒？
【例题3】小红的彩笔枝数是小刚的12，两人各买5枝后，小红的彩笔枝数是小刚
的23，两人原来各有彩笔多少枝？
【思路导航】假设小刚买了5枝后，小红的彩笔仍为小刚的12， 则小红只需买（5
×12）＝2又12枝，但实际上小红买了5枝，多买了5－2又12＝2又12 枝。将小
刚买了5枝后的枝数看作“1”，小红多买了2又12 ，相当于（23－12）＝16。
小刚原来：（5－5×12）÷（23－12）－5＝10（枝）
小红原来：10×12＝5（枝）
答：小刚原来有彩笔10枝，小红原来有彩笔5枝。
练习3：
1．小华今年的年龄是爸爸年龄的16，四年后小华的年龄是爸爸的14，求小华和 爸
爸今年的年龄各是多少岁？
2．小红今年的年龄是妈妈的38，10年后小红的年龄是妈妈的12，小红今年多少岁？
3 ．甲书架上的书是乙书架上的57，甲、乙两个书架上各增加90本后，甲书架上的
书是乙书架上的45 ，甲、乙两各书架原来各有多少本书？
【例题4】王芳原有的图书本数是李卫的45，两人各捐给“希 望工程”10本后，则
王芳的图书的本数是李卫的710，两人原来各有图书多少本？
【思路 导航】假设李卫捐了10本后，王芳的图书仍是李卫的45，则王芳只需捐10
×45＝8本，实际王芳 捐了10本，多捐了10－8＝2本，将李卫捐书后剩下的图书看作“1”，
着2本书相当于45－71 0＝110。
（10－10×45）÷(45－710)=30(本)
30×45＝24（本）
答：李卫原有图书30本，王芳原有图书24本。
练习4：
1．甲书架上的书是乙书架上的45，从这两个书架上各借出112本后，甲书架上 的书
是乙书架上的47，原来甲、乙两个书架上各有多少本书？
2．小明今年的年龄是爸爸的 611，10年前小明的年龄是爸爸的49，小明和爸爸今
年各多少岁？
3．甲车间的工人是乙车间的14，从甲、乙两个车间各抽出30人后，甲车间的工人
- 39 -

只占乙车间的16，甲、乙两个车间原来各有多少名工人？
【例题5】某 校六年级男生人数是女生的23，后来转进2名男生，转走3名女生，这
时男生人数是女生的34，现在 男、女生各有多少人？
【思路导航】假设转走3名女生后，男生人数仍是女生的23，则男生应转走3 ×23
＝2人，实际上男生却转进2人，与应转走2人相差2+2＝4人。将转走3名女生后的女生人数看作“1”，则相差的4人相当于现在女生的34－23。
（2+3×23）÷（34－23）＝48（人）
48×34＝36（人）
答：现在男生有36人，女生有48人。
练习5：
1．甲车间的工人是乙车间的2 5，后来甲车间增加20人，乙车间减少35人，这样甲
车间的人数是乙车间的79，现在甲、乙两个车 间各有多少人？
2．有一堆棋子，黑子是白子的23，现在取走12粒黑子，添上18粒白子后，黑子 是
白子的512，现在白子、黑子各有多少粒？
3．爱华小学和曙光小学的同学参加小学数学 竞赛，去年的比赛中，爱华小学得一等
奖的人数是曙光小学的2.5倍。今年的比赛中，爱华小学得一等 奖的人数减少了1人，曙
光小学增加了6人，这时曙光小学得一等奖的人数是爱华小学的2倍。两校去年 的一等奖
的同学各有多少人？

第12讲 倒推法解题
一、知识要点
有些应用题如果按照一般方 法，顺着题目的条件一步一步地列出算式求解，过程比较
繁琐。所以，解题时，我们可以从最后的结果出 发，运用加与减、乘与除之间的互逆关系，
从后到前一步一步地推算，这种思考问题的方法叫倒推法。
二、精讲精练
【例题1】一本文艺书，小明第一天看了全书的13，第二天看了余下的35， 还剩下
48页，这本书共有多少页？
【思路导航】从“剩下48页”入手倒着往前推，它占余 下的1－35＝25。第一天看
后还剩下48÷25＝120页，这120页占全书的1－13＝23， 这本书共有120÷23＝180
页。即
48÷（1－35）÷（1－13）＝180（页）
答：这本书共有180页。
练习1：
１．某班少先队员参加劳动，其中37的人打 扫礼堂，剩下队员中的58打扫操场，
还剩12人打扫教室，这个班共有多少名少先队员？
２ ．一辆汽车从甲地出发，第一天走了全程的38，第二天走了余下的23，第三天
走了250千米到达乙 地。甲、乙两地间的路程是多少千米？
３．把一堆苹果分给四个人，甲拿走了其中的16，乙拿走了余 下的25，丙拿走这
时所剩的34，丁拿走最后剩下的15个，这堆苹果共有多少个？
【例题2】筑路队修一段路，第一天修了全长的15又100米，第二天修了余下的27 ，
还剩500米，这段公路全长多少米？
【思路导航】从“还剩500米”入手倒着往前推， 它占余下的1－27＝57，第一天
修后还剩500÷57＝700米，如果第一天正好修全长的15， 还余下700+100＝800米，这
800米占全长的1－15＝45，这段路全长800÷45＝1 000米。列式为：
【500÷（1－27）+100】÷（1－15）＝1000米
答：这段公路全长1000米。
练习2：
１．一堆煤，上午运走27，下午运的比 余下的13还多6吨，最后剩下14吨还没有
运走，这堆煤原有多少吨？
２．用拖拉机耕一块 地，第一天耕了这块地的13又2公顷，第二天耕的比余下的12
多3公顷，还剩下35公顷，这块地共 有多少公顷？
３．一批水泥，第一天用去了12多1吨，第二天用去了余下13少2吨，还剩下16< br>吨，原来这批水泥有多少吨？
- 41 -

【例题3】有甲、乙两桶 油，从甲桶中倒出13给乙桶后，又从乙桶中倒出15给甲
桶，这时两桶油各有24千克，原来甲、乙两 个桶中各有多少千克油？
【思路导航】从最后的结果出发倒推，甲、乙两桶共有（24×2）＝48千 克，当乙桶
没有倒出15给甲桶时，乙桶内有油24÷（1－15）＝30千克，这时甲桶内只有48－ 30
＝18千克，而甲桶已倒出13给了乙桶，可见甲桶原有的油为18÷（1－13）＝27千克，< br>乙桶原有的油为48－27＝21千克。
甲：【24×2－24÷（1－15）】÷（1－13）＝27（千克）
乙：24×2－27＝21（千克）
答：甲桶原有油27千克，乙桶原有油21千克。
练习3：
１．小华拿出自己的画片的15给小强，小强再从自己现有的画片中拿出14给小华 ，
这时两人各有画片12张，原来两人各有画片多少张？
２．甲、乙两人各有人民币若干元， 甲拿出15给乙后，乙又拿出14给甲，这时他
们各有90元，他们原来各有多少元？
３．一 瓶酒精，第一次倒出13，然后倒回瓶中40克，第二次再倒出瓶中酒精的59，
第三次倒出180克， 瓶中好剩下60克，原来瓶中有多少克酒精？
【例题4】甲、乙、丙三人共有人民币168元，第一次 甲拿出与乙相同的钱数给乙；
第二次乙拿出与丙相同的钱数给丙；第三次丙拿出与这时甲相同的钱数给甲 。这样，甲、
乙、丙三人的钱数相等，原来甲比乙多多少元钱？
【思路导航】根据题意，由最 后甲钱数是168÷3＝56元可推出：第一次甲拿出与乙
同样的钱数给乙后，甲剩下的钱是56÷2＝ 28元，这28元就是原来甲比乙多的钱数。
168÷3÷2＝28元
答：原来甲比乙多28元。
练习4：
１．甲、乙、丙三个班共有学生144人，先 从甲班调出与乙班相同的人数给乙班，再
从乙班调出与丙班相同的人数到丙班。再从丙班调出与这时甲班 相同的人数给甲班，这样，
甲、乙、丙三个班人数相等。原来甲班比乙班多多少人？
２．甲、 乙、丙三个盒子各有若干个小球，从甲盒拿出4个放入乙盒，再从乙盒拿出
8个放入丙盒后，三个盒子内 的小球个数相等。原来乙盒比丙盒多几个球？
３．甲、乙、丙三个仓库面粉袋数的比是6：9：5，如 果从乙仓库拿出400袋平均分
给甲、丙两仓库，则甲、乙两个仓库的数量相等。这三个仓库共存面粉多 少袋？
【例题5】甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出14到乙仓库后，又从乙
仓 库运出14到甲仓库，这时甲、乙两仓库的粮食储量相等。原来甲仓库的粮食是乙仓库
的几分之几？

【思路导 航】解题关键是把两个仓库粮食的和看作“1”，由题意可知，从乙仓库运出
14到甲仓库，乙仓库最后 占两仓库和的12。
①当乙仓库没有往甲仓库运时，乙仓库占两仓库和的几分之几？
12÷（1－14）＝23
②甲仓库占两仓库和的几分之几？
1－23＝13
③甲仓库原来占两仓库和的几分之几？
13÷（1－14）＝49
④原来甲仓库时乙仓库的几分之几？
4÷（9－4）＝45
答：原来甲仓库的粮食是乙仓库的45。
练习5：
1．甲、乙两个仓库各有粮食若 干吨，从甲仓库运出13到乙仓库后，又从乙仓库运
出13到甲仓库，这时甲、乙两仓库的粮食储量相等 。原来甲仓库的粮食是乙仓库的几分
之几？
２．甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运 出15到乙仓库后，又从乙仓库运
出14到甲仓库，这时甲、乙两仓库的粮食储量相等。原来甲仓库的粮 食是乙仓库的几分
之几？
３．甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出13到乙仓库后 ，又从乙仓库运
出25到甲仓库，这时乙仓库的粮食是甲仓库的910。原来甲仓库的粮食是乙仓库的几 分
之几？
- 43 -

第13讲 代数法解题
一、知识要点
有一些数量关系比较复杂的分数应用题，用算术方法解答比较繁、难，甚至无法 列式
算式，这时我们可根据题中的等量关系列方程解答。
二、精讲精练
【例题1】 某车间生产甲、乙两种零件，生产的甲种零件比乙种零件多12个，乙种零
件全部合格，甲种零件只有4 5合格，两种零件合格的共有42个，两种零件个生产了多
少个？
【思路导航】本体用算术方 法解有一定难度，可以根据两种零件合格的一共有42个，
列方程求解。
解：设生产乙种零件x个，则生产甲种零件（x+12）个。
（x+12）×45+x＝42
45x+9+x＝42
95x＝42－9又35
x＝18
18+12＝30（个）
答：甲种零件生产了30个，乙种零件生产了18个。
练习1：
1．某校参加数学竞赛的女生比男生多28人，男生全部得优，女生的34得优，男 、
女生得优的一共有42人，男、女生参赛的各有多少人？
2．有两盒球，第一盒比第二盒多15个，第二盒中全部是红球，第一盒中的25 是红
球，已知红球一共有69个，两盒球共有多少个？
3．六年级甲班比乙班少4人，甲班有 13的人、乙班有14的人参加课外数学组，
两个班参加课外数学组的共有29人，甲、乙两班共有多少 人？
【例题2】阅览室看书的学生中，男生比女生多10人，后来男生减少14，女生减少
1 6，剩下的男、女生人数相等，原来一共有多少名学生在阅览室看书？
【思路导航】根据剩下的男、女人数相等的题意来列方程求解。
解：设女生有x人，则男生有（x+10）人
（1－16）x＝（x+10）×（1－14）
x＝90
90+90+10＝190人
答：原来一共有190名学生在阅览室看书。
练习2：
1．某小学去年参加无线电小组的同学比参加航模小组的同学多5人。今年参加无线

电小组的同学减少15，参加航模小组的人数减少110，这样，两个组的同学一样多。 去
年两个小组各有多少人？
2．原来甲、乙两个书架上共有图书900本，将甲书架上的书增 加58，乙书架上的书
增加310，这样，两个书架上的书就一样多。原来甲、乙两个书架各有图书多少 本？
3．某车间昨天生产的甲种零件比乙种零件多700个。今天生产的甲种零件比昨天少
1 10，生产的乙种零件比昨天增加320，两种零件共生产了2065个。昨天两种零件共生
产了多少个 ？
【例题3】甲、乙两校共有22人参加竞赛，甲校参加人数的15比乙校参加人数的
14少 1人，甲、乙两校各有多少人参加？
【思路导航】这题中的等量关系是：甲×15＝乙×14－1
解：设甲校有x人参加，则乙校有（22－x）人参加。
15x＝（22－x）×14－1
x＝10
22－10＝12（人）
答：甲校有10人参加，乙校有12人参加。
练习3：
1．学校图书馆买来文艺书和连环画共126本，文艺书的比连环画的少7本，图书 馆
买来的文艺书和连环画各是多少本？
2．某小有学生465人，其中女生的比男生的少20人，男、女生各有多少人？
3．王师傅 和李师傅共加工零件62个，王师傅加工零件个数的比李师傅的少2个，两
人各加工了多少个？
【例题4】甲书架上的书是乙书架上的56，两个书架上各借出154本后，甲书架上
的书是乙书架上 的47，甲、乙两书架上原有书各多少本？
【思路导航】这道题的等量关系是；甲书架上剩下的书等于乙书架上剩下的47。
解：设乙书架上原有x本，则甲书架上原有56x本。
（x－154）×47＝56x－154
x ＝252
252×56 ＝210（本）
答：甲书架上原有210本，乙书架上原有252本。
练习4：
1．儿子今年的年龄是父亲的16，4年后儿子的年龄是父亲的14，父亲今年多少岁？
2． 某校六年级男生是女生人数的23，后来转进2名男生，转走3名女生，这时男生
人数是女生的34。原 来男、女生各有多少人？
3．第一车间人数的35等于第二车间人数的910，第一车间比第二车间多50人。两
- 45 -

个车间各有多少人？
【例题5】一个班女同学比男同学的23多4 人，如果男生减少3人，女生增加4人，
男、女生人数正好相等。这个班男、女生各有多少人？
【思路导航】抓住“如果男生减少3人，女生增加4人，男、女生人数正好相等”这
个等量关系列方程 。
解：设男生有x人，则女生有（23x+4）人。
x－3＝23x+4+4
x＝33
23×33+4＝26（人）
答：这个班男生有33人，女生有26人。
练习5：
1．某学校的男教师比女教师的38多8人。如果女教师减少4人，男教师增加8人 ，
男、女教师人数正好相等。这个学校男、女教师各有多少人？
2．某无线电厂有两个仓库。 第一仓库储存的电视机是第二仓库的3倍。如果从第一
仓库取出30台，存入第二仓库，则第二仓库就是 第一仓库的49。两个仓库原来各有电视
机多少台？
3．某工厂第一车间的人数比第二车间的 人数的45少30人。如果从第二车间调10
人到第一车间，则第一车间的人数就是第二车间的34。求 原来每个车间的人数。

第14讲 比的应用（一）
一、知识要点
我们已经学过比的知识 ，都知道比和分数、除法其实是一回事，所有比与分数能互相
转化。运用这种方法解决一些实际问题可以 化难为易，化繁为简。
二、精讲精练
【例题1】甲数是乙数的23，乙数是丙数的45，甲、乙、丙三数的比是（ ）：（ ）：
（ ）。
【思路导航】
甲、乙两数的比 2：3
乙、丙两数的比 4：5
甲、乙、丙三数的比 8：12：15
答：甲、乙、丙三数的比是 8：12：15。
练习1：
1．甲数是乙数的45，乙数是丙数的58，甲、乙、丙三数的比是（ ）：（ ）：（ ）。
2．甲数是乙数的45，甲数是丙数的49，甲、乙、丙三数的比是（ ）：（ ）：（ ）。
3．甲数是丙数的37，乙数是丙数的2又12，甲、乙、丙三数的比是（ ）：（ ）：（ ）。 < br>【例题2】光明小学将五年级的140名学生，分成三个小组进行植树活动，已知第一
小组和第二 小组人数的比是2：3，第二小组和第三小组人数的比是4：5。这三个小组各
有多少人？
【思路导航】先求出三个小组人数的连比，再按求出的连比进行分配。
①一、二两组人数的比 2：3 二、三两组人数的比 4：5
一、二、三组人数的比 8：12：15
②总份数：8+12+15＝35
③第一组：140×835＝32（人）
④第二组：140×1235＝48（人）
⑤第三组：140×1535＝60（人）
答：第一小组有32人，第二小组有48人，第三小组有60人。
练习2：
1．某 农场把61600公亩耕地划归为粮田与棉田，它们之间的比是7：2，棉田与其他
作物面积的比6：1 。每种作物各是多少公亩？
2．黄山小学六年级的同学分三组参加植树。第一组与第二组的人数的比是 5：4，第
二组与第三组人数的比是3：2。已知第一组的人数比二、三组人数的总和少15人。六年< br>级参加植树的共有多少人？
3．科技组与作文组人数的比是9：10，作文组与数学组人数的比是5：7。已知数学
- 47 -

组与科技组共有69人。数学组比作文组多多少人？
【例题3】甲 、乙两校原有图书本数的比是7：5，如果甲校给乙校650本，甲、乙两
校图书本数的比就是3：4。 原来甲校有图书多少本？
【思路导航】由甲、乙两校原有图书本数的比是7：5可知，原来甲校图书的 本数是
两校图书总数的7（7+5），由于甲校给了乙校650本，这时甲校的图书占两校图书总数的< br>3（3+4），甲校给乙校的650本图书，相当于两校图书总数的7（7+5）－3（3+4）＝138 4。
650÷（7（7+5）－3（3+4））×7（7+5）＝2450（本）
答：原来甲校有图书2450本。
练习3：
1．小明读一本书，已读的和未读的页 数比是1：5。如果再读30页，则已读和未读的
页数之比为3：5。这本书共有多少页？
2 ．甲、乙两包糖的重量比是4：1。从甲包取出130克放入乙包后，甲、乙两包糖的
重量比为7：5。 原来甲包有多少克糖？
3．五年级三个班举行数学竞赛。一班参加比赛的占全年级参赛总人数的13， 二班与
三班参加比赛人数的比是11：13，二班比三班少8人。一班有多少人参加了数学竞赛？ 【例题4】从前有个农民，临死前留下遗言，要把17头牛分给三个儿子，其中大儿子
分得12，二 儿子分得13，小儿子分得19，但不能把牛卖掉或杀掉。三个儿子按照老人
的要求怎么也不好分。后来 一位邻居顺利地把17头牛分完了，你知道这到底是怎么回事
吗？
【思路导航】因为12+1 3+19＝1718，1718﹤1，就是说三兄弟并未将全部牛分完，
所以我们求出三个儿子分牛头数 的连比，最后再按比例分配。
① 三个儿子分牛头数的连比：12：13：19＝9：6：2
② 总份数：9+6+2＝17
③ 三个儿子各分得牛的头数：17×917＝9（头）17×617＝6（头）17×217＝2（头）
答：大儿子分得9头，二儿子分得6头，小儿子分得2头。
练习4：
1．图书室取 出一批书，按照一年级得12，二年级得13，三年级得17，正好是41
本，各年级各得多少本？ < br>2．古罗马富豪约翰逊再临终前，对怀孕的妻子写下这样一份遗嘱：如果生下来是个
男孩，就把遗 产的三分之二给儿子，母亲拿三分之一；如果生下来的是女孩就把遗产的三
分之一给女儿，三分之二给母 亲。结果他的妻子生了双胞胎，一男一女，这是他没有预料
到的。求出接近于遗嘱条件，把遗产分给三个 继承人的比。
（1）从儿子、母亲、女儿所得的比例来看，他们三人所得的遗产的比是（）：（ ）：（ ）。
（2）从母亲至少得遗产的13来看，儿子、母亲、女儿所得遗产的比是（ ）：（ ）：

（ ）。
3．甲、乙、丙三人共做零件900个。甲做总数的30％，乙比丙多做13。三人各做
多少个？
【例题5】两个相同的瓶子装满酒精溶液。一个瓶中酒精与水的体积之比是3：1，另
一个瓶中酒精与水的体积之比是4：1。若把两瓶酒精溶液混合，混合液中酒精与水的体积
之比是多少 ？
【思路导航】抓住两个瓶子相同的关系，分别求出每个瓶中的酒精占瓶子容积的几分
之几再 解答。
① 一个瓶中酒精占瓶子容积的比 3（1+3）＝ 34
② 另一个瓶中酒精占瓶子容积的比 4（1+4）＝ 45
③ 两瓶子里的酒精占一个瓶子容积的比 34+45 ＝ 3120
④ 水占一个瓶子容积的比 2－3120 ＝ 920
⑤ 混合液中酒精与水的比 3120：920＝31：9
答：混合液中酒精与水的比是31：9。
练习5：
1．两块一样重的合金，一块合 金中铜与锌的比是2：5，另一块合金中铜与锌的比是
1：3。现将两块合金合成一块，求出锌合金中铜 与锌的比。
2．将一条公路平均分给甲、乙两个工程队修筑。甲队已修的与剩下的比是2：1，乙队已修的与剩下的比是5：2。这条公路已修了全长的几分之几？
3．光华电视机厂上半年生产的 电视机产量占全年的58，照这样的速度计算，全年可
超产1000台。这个工厂上半年生产电视机多少 台？
- 49 -

第15讲 比的应用（二）
一、知识要点
比是反映数量关系的一种常见形式，也是解数学题的一种重要工具，有了它，我们处
理倍数关系 、解答分数应用题就方便灵活得多。在这一讲，我们讲探讨稍复杂的比是应用
题。
二、精讲精练
【例题1】甲、乙两个学生放学回家，甲要比乙多走15的路，而乙走的时间比 甲少
111，求甲、乙两人速度的比。
【思路导航】因为 速度＝路程÷时间，所以，甲、乙速度的比＝甲路程甲时间：乙
路程乙时间
（1）甲、乙路程的比：（1+15）：1＝6：5
（2）甲、乙时间的比：1：（1－111）＝11：10
（3）甲、乙速度的比：611：510=12：11
答：甲、乙速度的比是12：11。
练习1：
1．小明和小芳各走一段路。小明走的路程比小芳多15，小芳用的时间比小明多1 8。
求小明和小芳速度的比。
2．甲走的路程比乙多13，乙用的时间比甲多14。求甲、乙的速度比。
3．一个人步行每 小时走5千米，如果骑自行车每1千米比步行少用8分钟。这个人
骑自行车的速度和步行速度的比是多少 ？
【例题2】制造一个零件，甲需6分钟，乙需5分钟，丙需4.5分钟。现在有1590个
零件的制造任务分配给他们三个人，要求在相同的时间内完成，每人应该分配到多少个零
件？
【思路导航】先求出工作效率的比，然后根据同一时间内，工作总量的比等于工作效
率的比进行解答。
甲、乙、丙工作效率的比： 16：15：11.5＝15：18：20
总份数：15+18+20＝53
甲 ：1590×1553＝450（个）
乙 ：1590×1853＝540（个）
丙 ：1590×2053＝600（个）
答：甲、乙、丙分配到的零件分别是450个、540个、600个。
练习2：
1 ．加工一个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟。现在有1825个零件需
要甲、乙、丙三 人加工。如果规定用同样的时间完成任务，那么各应加工多少个？

第一讲 新运算

第二讲 简便运算（一）
第三讲 简便运算（二）
第四讲 简便运算（三）
第五讲 简便运算（四）
第6讲 转化单位“1”（一）
第7讲 转化单位“1”（二）
第8讲 转化单位“1”（三）
第9讲
第10讲
第11讲
第12讲
第13讲
第14讲
第15讲
第16讲
第17讲
第18讲
第19讲
第20讲





设数法解题
假设法解题（一）
假设法解题（二）
倒推法解题
代数法解题
比的应用（一）
比的应用（二）
用“组合法”解工程问题
浓度问题
面积计算（一）
面积计算（二）

面积计算（三）
- 1 -

第一讲 新运算

一、知识要点
定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运
算。
解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计
算程序，将数值代 入，转化为常规的四则运算算式进行计算。
定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是 一些特殊的运算符号，如：
*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。
新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合于各种
运算定律的。
二、精讲精练
【例题1】假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*（5*4）。





练习1：
1.将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).。求27*9。





2.设a*b=a2+2b，那么求10*6和5*（2*8）。





3.设a*b=3a－b×12，求（25*12）*（10*5）。

【例题2】设p、q是两个数，规定：p△q=4×q-(p+q)÷2。求3△(4△ 6)。




练习2：
1．设p、q是两个数，规定p△q＝4×q－（p+q）÷2，求5△（6△4）。




2．设p、q是两个数，规定p△q＝p2+（p－q）×2。求30△（5△3）。




3．设M、N是两个数，规定M*N＝MN+NM，求10*20－14。




【例题3】如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2 +22+222+2222，3*3=3+33+333，
4*2=4+44，那么7*4=_____ ___；210*2=________。



练习3：
1． 如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+ 33+333，……那么
4*4=________。


2．规定， 那么8*5=________。

3．如果2*1=12，3*2=133，4*3=14 44，那么（6*3）÷（2*6）=________。
- 3 -

【例题4】规定②=1×2×3，③=2×3×4 ，④=3×4×5，⑤=4×5×6，……如果1
⑥－1⑦ =1⑦×A，那么，A是几？



练习4：
1．规定：②=1×2×3，③＝2×3×4，④＝3×4× 5，⑤＝4×5×6，……如果1⑧－
1⑨＝1⑨×A，那么A=________。
2．规定：③＝2×3×4，④＝3×4×5，⑤＝4×5×6，⑥＝5×6×7，……如果1⑩
+ 1⑾＝1⑾×□，那么□＝________。

3．如果1※2＝1+2，2※3＝2+3 +4，……5※6＝5+6+7+8+9+10，那么x※3＝54中，x
＝________。

【例题5】设a⊙b=4a－2b+12ab,求z⊙（4⊙1）＝34中的未知数x。




练习5：
1．设a⊙b=3a－2b，已知x⊙（4⊙1）＝7求x。



2．对两个整数a和b定义新运算“△”：a△b=




3．对任意两个整数x和y定于新运算，“*”：x*y＝
数）。如果1*2＝1，那么3*12＝________。
（其中m是一个确定的整
，求6△4+9△8。

第二讲 简便运算（一）
一、知识要点
根据算式的结构和数的特征，灵活运用运算法则、定律、性质和某些公式，可以把一

些较复杂的四则混合运算化繁为简，化难为易。
二、精讲精练
【例题1】计算4.75-9.63+（8.25-1.37）




练习1：计算下面各题。
1． 6.73－2 又817+（3.27－1又917）




2. 7又59－（3.8+1又59）－1又15




3. 14.15－（7又78－6又1720）－2.125




4. 13又713－（4又14+3又713）－0.75




【例题2】计算333387又12×79+790×66661又14


- 5 -

练习2：计算下面各题：
1. 3.5×1又14+125％+1又12÷45




2. 975×0.25+9又34×76－9.75




3. 9又25×425+4.25÷160




4. 0.9999×0.7+0.1111×2.7




【例题3】计算：36×1.09+1.2×67.3




练习3：计算：
1. 45×2.08+1.5×37.6




2. 52×11.1+2.6×778

3. 48×1.08+1.2×56.8




4. 72×2.09－1.8×73.6




【例题4】计算：3又35×25又25＋37.9×6又25





练习4：
计算下面各题：
1．6.8×16.8＋19.3×3.2





2．139×137138＋137×1138




3．4.4×57.8＋45.3×5.6


- 7 -

【例题5】计算81.5×15.8＋81.5×51.8＋67.6×18.5




练习5：
1．53.5×35.3＋53.5×43.2＋78.5×46.5





2．235×12.1＋+235×42.2－135×54.3





3．3.75×735－38×5730＋16.2×62.5

简便运算（二）
一、知识要点
计算过程中，我们先整体地分析算 式的特点，然后进行一定的转化，创造条件运用乘
法分配律来简算，这种思考方法在四则运算中用处很大 。
二、精讲精练
【例题1】计算：1234＋2341＋3412＋4123




练习1：
1．23456＋34562＋45623＋56234＋62345




2．45678＋56784＋67845＋78456＋84567




3．124.68＋324.68＋524.68＋724.68＋924.68




【例题2】计算：2又45×23.4＋11.1×57.6＋6.54×28




练习2：计算下面各题：
1．99999×77778＋33333×66666

- 9 -

2．34.5×76.5－345×6.42－123×1.45




3．77×13＋255×999＋510




【例题3】计算（1993×1994－1）（1993＋1992×1994）




练习3：计算下面各题：
1．（362＋548×361）（362×548－186）




2．（1988＋1989×1987）（1988×1989－1）




3．（204＋584×1991）（1992×584―380）―1143




【例题4】有一串数1，4，9，16，25，36……. 它们是按一定的规律排列的，那么其
中第2000个数与2001个数相差多少？

练习4：计算：
1．19912－19902 2．99992＋19999 3．999×274＋6274





【例题5】计算：（9又27＋7又29）÷（57＋59）



练习5：
计算下面各题：
1．（89＋1又37＋611）÷（311＋57＋49）






2．（3又711＋1又1213）÷（1又511＋1013）






3．（96又6373＋36又2425）÷（32又2173＋12又825）
- 11 -

简便运算（三）
一、知识要点
在进行分数运算时，除了牢记 运算定律、性质外，还要仔细审题，仔细观察运算符号
和数字特点，合理地把参加运算的数拆开或者合并 进行重新组合，使其变成符合运算定律
的模式，以便于口算，从而简化运算。
二、精讲精练
【例题1】
计算：（1）
44
45
×37




练习1
用简便方法计算下面各题：
1.
14
15
×8 2.



4. 73×
74
75
5.




【例题2】
计算：73
1
15
×
1
8


（2） 27×
15
26

2
25
×126 3. 35
1997
1998
×1999
×
11
36

练习2
计算下面各题：
1. 64
1111
17
×
9
2. 22
20
×
21


3.
1
7
×57
1
6
4. 41
1
3
×
3
4
+51
14
4
×
5






【例题3】
计算：
1
5
×27+
3
5
×41




练习3
计算下面各题：
1.
1
4
×39+
3
4
×27 2.
1
6
×35+
5
6
×17 3.
1
8
×5+
5
8
×5+
1
8
×10



【例题4】
计算：
51525
6
×
13
+
9
×
13
+
18
×
6
13


- 13 -

练习4
计算下面各题：
1451133161
1． × + × 2. × + × + ×
179179



3．
5
9
×79
16115
17
+50×
9
+
9
×
17
4.




【例题5】
计算：（1）166
1
20
÷41




练习5
计算下面各题：
1. 54
2
5
÷17 2. 238÷238
238
239

7476712
5
17
×
3
8
+
1
15
×
7
16
+
1
15
×3
1
2
2） 1998÷1998
1998
1999

1
13
÷41
1
39


3. 163
（

简便运算（四）
一、知识要点
前面我们介绍了运用定律和性质 以及数的特点进行巧算和简算的一些方法，下面再向
同学们介绍怎样用拆分法（也叫裂项法、拆项法）进 行分数的简便运算。
运用拆分法解题主要是使拆开后的一些分数互相抵消，达到简化运算的目的。一般 地，
111111
形如 的分数可以拆成 － ；形如 的分数可以拆成 ×（ －
a×(a+1)aa+1a×（a+n）na
1a+b11
），形如 的分数可以拆成 + 等等。同学们可以结合例题思考其中的规律。
a+na×bab
二、精讲精练
【例题1】
1111
计算： + + +…..+
1×22×33×499×100




练习1
计算下面各题：
1.



11111
2. + + + +
10×1111×1212×1313×1414×15



1111
+ + +…..+
4×55×66×739×40
- 15 -

111111
3. + + + + +
2612203042



1111
4. 1－ + + +
6425672




【例题2】
1111
计算： + + +…..+
2×44×66×848×50




练习2
计算下面各题：
1.



3.




11111111
+ + +…..+ 2. + + +…..+
3×55×77×997×991×44×77×1097×100
111111111
+ + +…..+ 4. + + + +
1×55×99×1333×3742870130208

【例题3】
计算：1
1
3
－
7
12
+
9111315
20
－
30
+
42
－
56





练习3
计算下面各题：
1.1
1
2
+
5
6
－
7
12
+
9
20
－
11
30




2.1
19111315
4
－
20
+
30
－
42
+
56




3.
1998
1×2
+
1998
2×3
+
1998
3×4
+
1998
4×5
+
1998
5×6




4.6×
79
12
－
20
×6+
11
30
×6


- 17 -

【例题4】
111111
计算： + + + + +
248163264




练习4
计算下面各题：
1111
1. + + +………+
248256



22222
2. + + + +
392781243




3. 9.6+99.6+999.6+9999.6+99999.6




【例题5】
111
计算：（1+ + + ）×（ + + + ）－（1+ + + + ）×（ + + ）
23423452345234

练习5
11111
1.（ + + + ）×（ + + + ）－（ + + + + ）×（ + + ）
2345345623456345



11111
2.（ + + + ）×（ + + + ）－（ + + + + ）×（ + + ）
8911


3. （1+
1111111
+ + ）×（ + + + ）－
19992
（1+
1111111
+ + + ）×（ + + ）
02001
- 19 -

第6讲 转化单位“1”（一）
一、知识要点
把不同的数量当作单位“1”，得到的分率可以在一定的条件下转化。
如果甲是乙的ab，乙 是丙的cd，则甲是丙的acbd；如果甲是乙的ab，则乙是甲
的ba；如果甲的ab等于乙的cd， 则甲是乙的cd÷ab＝bcad，乙是甲的ab÷ab
＝adbc。
二、精讲精练
【例题1】乙数是甲数的23，丙数是乙数的45，丙数是甲数的几分之几？
23×45＝815



练习1：
1．乙数是甲数的34，丙数是乙数的35，丙数是甲数的几分之几？




2．一根管子，第一次截去全长的14，第二次截去余下的12，两次共截去全长的几
分之几？




3．一个旅客从甲城坐火车到乙城，火车行了全程的一半时 旅客睡着了。他醒来时，
发现剩下的路程是他睡着前所行路程的14。想一想，剩下的路程是全程的几分 之几？他
睡着时火车行了全程的几分之几？




【例 题2】修一条8000米的水渠，第一周修了全长的14，第二周修的相当于第一周
的45，第二周修了 多少米？

练习2：
用两种方法解答下面各题：
1．一堆黄沙30吨，第一次 用去总数的15，第二次用去的是第一次的1又14倍，
第二次用去黄沙多少吨？



2．大象可活80年，马的寿命是大象的12，长颈鹿的寿命是马的78，长颈鹿可活
多少年？



3．仓库里有化肥30吨，第一次取出总数的15，第二次取出余下的 13，第二次取
出多少吨？



【例题3】晶晶三天看完一本书 ，第一天看了全书的14，第二天看了余下的25，第
二天比第一天多看了15页，这本书共有多少页？




练习3：
1．有一批货物，第一天运了这批货物 的14，第二天运的是第一天的35，还剩90
吨没有运。这批货物有多少吨？




2．修路队在一条公路上施工。第一天修了这条公路的14，第二天修了余下的2 3，
已知这两天共修路1200米，这条公路全长多少米？


- 21 -

3．加工一批零件，甲先加工了这批零件的25，接着乙加工了余下的49。已知乙 加
工的个数比甲少200个，这批零件共有多少个？



【例题4】男生人数是女生人数的45，女生人数是男生人数的几分之几？




练习4：
1．停车场里有小汽车的辆数是大汽车的34，大汽车的辆数是小汽车的几分之几？




2．如果山羊的只数是绵羊的67，那么绵羊的只数是山羊的几分之几？




3．如果花布的单价是白布的1又35倍，则白布的单价是花布的几分之几？




【例题5】甲数的13等于乙数的14，甲数是乙数的几分之几，乙数是甲数的几倍？




练习5：
1．甲数的34于乙数的25，甲数是乙数的几分之几？乙数是甲数的几分之几？

2．甲数的1又23倍等于乙数的56，甲数是乙数的几分之几？乙数是甲乙两数和的< br>几分之几？





3．甲数是丙数的34，乙 数是丙数的25，甲数是乙数的几分之几？乙数是甲数的几
分之几？（想一想：这题与第一题有什么不同 ？）
- 23 -

第7讲 转化单位“1”（二）
一、知识要点
我们必须重视转化训练。通过转化训练，既可理解数量关系的实质，又可拓展我 们的
解题思路，提高我们的思维能力。
二、精讲精练
【例题1】甲数是乙数的23 ，乙数是丙数的34，甲、乙、丙的和是216，甲、乙、
丙各是多少？




练习1：下面各题怎样计算简便就怎样计算：
1．甲数是乙数的56， 乙数是丙数的34，甲、乙、丙三个数的和是152，甲、乙、
丙三个数各是多少？




2．橘子的千克数是苹果的23，香蕉的千克数是橘子的12，香蕉和 苹果共有220千
克，橘子有多少千克？




3．某 中学的初中部三个年级中，初一的学生数是初二学生数的910，初二的学生数
是初三学生数的1又14 倍，这个学校里初三的学生数占初中部学生数的几分之几？




【例题2】红、黄、蓝气球共有62只，其中红气球的35等于黄气球的23，蓝气球
有24只，红气 球和黄气球各有多少只？




练习2：
1．甲数的23等于乙数的56，甲、乙两数的和是162，甲、乙两数各是多少？

2．今年8月份，甲所得的奖金比乙少200元，甲得的奖金的23正好是乙得奖金的
47，甲、乙两 人各得奖金多少元？




3．商店运来香蕉、苹果和梨子共9 00千克，香蕉重量的14等于苹果重量的13，梨
子的重量是200千克。香蕉和苹果各多少千克？




【例题3】已知甲校学生数是乙校学生数的25，甲校的女 生数是甲校学生数的310，
乙校的男生数是乙校学生数的2150，那么两校女生总数占两校学生总数 的几分之几？




练习3：
1．在一座城市中，中 学生数是居民的15，大学生是中学生数的14，那么占大学生
总数的25的理工科大学生是居民数的几 分之几？




2．某人在一次选举中，需34的选票才能当选 ，计算23的选票后，他得到的选票
已达到当选票数的56，他还要得到剩下选票的几分之几才能当选？




3．某校有35的学生是男生，男生的120想当医生，全 校想当医生的学生的34是
男生，那么全校女生的几分之几想当医生？




【例题4】仓库里的大米和面粉共有2000袋。大米运走25，面粉运作110后，仓库里剩下大米和面粉正好相等。原来大米和面粉各有多少袋？

- 25 -

练习4：
1．甲、乙两人各准备加工零件若干个，当甲完成自己的23、乙完 成自己的14时，
两人所剩零件数量相等，已知甲比乙多做了70个，甲、乙两人各准备加工多少个零件 ？




2．一批水果四天卖完。第一天卖出180千克，第二 天卖出余下的27，第三、四天共
卖出这批水果的一半，这批水果有多少千克？




3．甲、乙两人合打一篇书稿，共有10500字。如果甲增加他的任务的20％ ，乙减少
他的任务的20％，那么甲打的字数就是乙的2倍，问两人原来的任务各是多少？




【例题5】400名学生参加植树活动，计划每个男生植树20棵，每 个女生植树15棵。
除抽出25％的男生搞卫生外，其他的同学都按计划完成了植树任务。问共植树多少 棵？




练习5：
1．有一块菜地和一块麦地，菜 地的一半和麦地的13放在一起是13公顷，麦地的一
半和菜地的13放在一起是12公顷，那么，菜地 有多少公顷？




2．师徒两人加工同样多的零件，师傅要1 0分钟，徒弟要18分钟。两人共同加工零
件168个，如果要在相同的时间内完成，两人各应加工零件 多少个？




3．有5元和2元的人民币若干张，其金额之比 为15：4。如果5元人民币减少6张，
则两种人民币的张数相等。求原来两种人民币的张数各是多少？

第8讲 转化单位“1”（三）
一、知识要点
解答较复杂的分数应用题时，我们往往从题目中找出不 变的量，把不变的量看作单位
“1”，将已知条件进行转化，找出所求数量相当于单位“1”的几分之几 ，再列式解答。
二、精讲精练
【例题1】有两筐梨。乙筐是甲筐的35，从甲筐取出5千克 梨放入乙筐后，乙筐的
梨是甲筐的79。甲、乙两筐梨共重多少千克？



练习1：
1．某小学低年级原有少先队员是非少先队员的13，后来又有39名同学加入少先 队
组织。这样，少先队员的人数是非少先队员的78。低年级有学生多少人？




2．王师傅生产一批零件，不合格产品是合格产品的119，后来从合格产品中又 发现
了2个不合格产品，这时算出产品的合格率是94％。合格产品共有多少个？




3．某校六年级上学期男生占总人数的54％，本学期转进3名女生，转走3名男 生，
这时女生占总人数的48％。现在有男生多少人？



< br>【例题2】某学校原有长跳绳的根数占长、短跳绳总数的38。后来又买进20根长跳
绳，这时长 跳绳的根数占长、短跳绳总数的712。这个学校现有长、短跳绳的总数是多少
根？


- 27 -

练习2：
1．阅览室看书的同学中，女同 学占35，从阅览室走出5位女同学后，看数的同学中，
女同学占47，原来阅览室一共有多少名同学在 看书？



2．一堆什锦糖，其中奶糖占45％，再放入16千克其他糖 后，奶糖只占25％，这堆
糖中有奶糖多少千克？



3．数学 课外兴趣小组，上学期男生占59，这学期增加21名女生后，男生就只占25
了，这个小组现有女生多 少人？




【例题3】有两段布，一段布长40米，另一段长 30米，把两段布都用去同样长的一
部分后，发现短的一段布剩下的长度是长的一段布所剩长度的35， 每段布用去多少米？



练习3：
1．有两根塑料绳，一根长 80米，另一根长40米，如果从两根上各剪去同样长的一
段后，短绳剩下的长度是长绳剩下的27，两 根绳各剪去多少米？



2．今年父亲40岁，儿子12岁，当儿子的年龄是父亲的512时，儿子多少岁？



3．仓库里原来存大米和面粉袋数相等，运出800袋大米和500袋面粉后，仓 库里所
剩的大米袋数时面粉的34，仓库里原有大米和面粉各多少袋？

4．甲、乙、丙、丁四个筑路队共筑1200米长的一段公路，甲队筑的路时其他三个队
的12，乙队筑的路时其他三个队的13，丙队筑的路时其他三个队的14，丁队筑了多少
米？




【例题4】某商店原有黑白、彩色电视机共630台，其中 黑白电视机占15，后来又
运进一些黑白电视机。这时黑白电视机占两种电视机总台数的30％，问：又 运进黑白电视
机多少台？



练习4：
1．书店运来 科技书和文艺书共240包，科技书占16。后来又运来一批科技书，这时
科技书占两种书总和的311 ，现在两种书各有多少包？



2．某市派出60名选手参加田径比赛， 其中女选手占14，正式比赛时，有几名女选
手因故缺席，这样女选手人数占参赛选手总数的211。问 ：正式参赛的女选手有多少人？



3．把12千克的盐溶解于120千 克水中，得到132千克盐水，如果要使盐水中含盐8％，
要往盐水中加盐还是加水？加多少千克？




4．东风水果店上午运进梨和苹果共1020千克，其中梨 占水果总数的15；下午又运
进梨若干千克，这时梨占两种水果总数的25，下午运进梨多少千克？


- 29 -

【例题5】一堆煤，运走的比总数的25 多120吨，剩下的比运走的56多60吨，这
堆煤原有多少吨？




练习5：
1．修一条路，第一天修了全长的25多60米，第二天修的长度比第一 天的34多35
米，还剩100米没有修，这条路全长多少米？





2．修一条路，第一天修了全长的25多60米，第二天修的长度比第一天的34 少35
米，这两天共修路420米，这条路全长多少米？




3．某工程队修筑一条公路，第一天修了全长的25，第二天修了剩下部分的59又
20米，第 三天修的是第一天的14又30米，这样，正好修完，这段公路全长多少米？

第9讲 设数法解题
一、知识要点
在小学数学竞赛中，常常会 遇到一些看起来缺少条件的题目，按常规解法似乎无解，
但仔细分析就会发现，题目中缺少的条件对于答 案并无影响，这时就可以采用“设数代入
法”，即对题目中“缺少”的条件，随便假设一个数代入（当然 假设的这个数要尽量的方
便计算），然后求出解答。
二、精讲精练
【例题1】如果△△＝□□□，△☆＝□□□□，那么☆☆□＝（ ）个△。


说明：本题如果不用设数代入法，直接用图形互相代换，显然要多费周折。
练习1：
1．已知△＝○○□□，△○＝□□，☆＝□□□，问△□☆＝（ ）个○。

< br>2．五个人比较身高，甲比乙高3厘米，乙比丙矮7厘米，丙比丁高10厘米，丁比戊
矮5厘米， 甲与戊谁高，高几厘米？


3．甲、乙、丙三个仓库原有同样多的货，从甲仓库运 60吨到乙仓库，从乙仓库运45
吨到丙仓库，从丙仓库运55吨到甲仓库，这时三个仓库的货哪个最多 ？哪个最少？最多
的比最少的多多少吨？



【例题2】足球门 票15元一张，降价后观众增加一倍，收入增加15，问一张门票降
价多少元？



练习2：
1．某班一次考试，平均分为70分，其中34及格，及格的同学平均分 为80分，那
么不及格的同学平均分是多少分？

- 31 -

< br>2．游泳池里参加游泳的学生中，小学生占30％，又来了一批学生后，学生总数增加
了20％， 小学生占学生总数的40％，小学生增加百分之几？



3．五年级三个 班的人数相等。一班的男生人数和二班的女生人数相等，三班的男生
是全部男生的25，全部女生人数占 全年级人数的几分之几？



【例题3】小王在一个小山坡来回运动。先 从山下跑上山，每分钟跑200米，再从原
路下山，每分钟跑240米，又从原路上山，每分钟跑150 米，再从原路下山，每分钟跑200
米，求小王的平均速度。



练习3：
1．小华上山的速度是每小时3千米，下山的速度是每小时6千米，求上山后又沿原
路下山的平均速度。




2．张师傅骑自行车往返A 、B两地。去时每小时行15千米，返回时因逆风，每小时
只行10千米，张师傅往返途中的平均速度是 每小时多少千米？




3．小王骑摩托车往返A、B两地。平 均速度为每小时48千米，如果他去时每小时行
42千米，那么他返回时的平均速度是每小时行多少千米 ？

【例题4】某幼儿园中班的小朋友平均身高115厘米，其中男孩比女孩多15，女孩< br>平均身高比男孩高10％，这个班男孩平均身高是多少？



练习4：
1．某班男生人数是女生的23，男生平均身高为138厘米，全班平均身高为13 2厘米。
问：女生平均身高是多少厘米？



2．某班男生人数 是女生的45，女生的平均身高比男生高15％，全班的平均身高是
130厘米，求男、女生的平均身高 各是多少？



3．一个长方形每边增加10％，那么它的周长增加百分之几？它的面积增加百分之几？




【例题5】狗跑5步的时间马跑3步，马跑4步的距离狗跑7步，现在 狗已跑出30米，
马开始追它。问狗再跑多远，马可以追到它？
【思路导航】马跑一步的距离 不知道，跑3步的时间也不知道，可取具体数值，并不
影响解题结果。



练习5：
1．猎狗前面26步远的地方有一野兔，猎狗追之。兔跑8步的时间狗只跑5步，但 兔
跑9步的距离仅等于狗跑4步的距离。问兔跑几步后，被狗抓获？



- 33 -

2．猎人带猎狗去捕猎，发现兔子刚跑出40米，猎狗去追兔子 。已知猎狗跑2步的时
间兔子跑3步，猎狗跑4步的距离与兔子跑7步的距离相等，求兔再跑多远，猎狗 可以追
到它？




3．狗和兔同时从A地跑向B地， 狗跑3步的距离等于兔跑5步的距离，而狗跑2步
的时间等于兔跑3步的时间，狗跑600步到达B地， 这时兔还要跑多少步才能到达B地？

第10讲 假设法解题（一）
一、知识要点
假设法解体的思考 方法是先通过假设来改变题目的条件，然后再和已知条件配合推
算。有些题目用假设法思考，能找到巧妙 的解答思路。
运用假设法时，可以假设数量增加或减少，从而与已知条件产生联系；也可以假设某个量的分率与另一个量的分率一样，再根据乘法分配律求出这个分率对应的和，最后依据
它与实际条 件的矛盾求解。
二、精讲精练
【例题1】
甲、乙两数之和是185，已知甲数的14与乙数的15的和是42，求两数各是多少？
【思 路导航】假设将题中“甲数的14”、“乙数的15”与“和为42”同时扩大4倍，
则变成了“甲数与 乙数的45的和为168”，再用185减去168就是乙数的15。
解： 乙：（185－42×4）÷（1－15×4）＝85
答：甲数是100，乙数是85。
练习1：
1．甲、乙两人共有钱150元，甲的12与乙的110的钱数和是35元，求甲、 乙两
人各有多少元钱？
2．甲、乙两个消防队共有338人。抽调甲队人数的17，乙队人数 的13，共抽调78
人，甲、乙两个消防队原来各有多少人？
3．海洋化肥厂计划第二季度生 产一批化肥，已知四月份完成总数的13多50吨，五
月份完成总数的25少70吨，还有420吨没完 成，第二季度原计划生产多少吨？
【例题2】
彩色电视机和黑白电视机共250台。如果彩 色电视机卖出19，则比黑白电视机多5
台。问：两种电视机原来各有多少台？
【思路导航】 从图中可以看出：假设黑白电视机增加5台，就和彩色电视机卖出19
后剩下的一样多。
黑白电视机增加5台后，相当于彩色电视机的（1－19）＝ 89。
（250+5）÷（1+1－19）＝135（台）
250－125＝115（台）
答：彩色电视机原有135台，黑白电视机原有115台。
练习2：
1．姐妹俩养 兔120只，如果姐姐卖掉17，还比妹妹多10只，姐姐和妹妹各养了多
少只兔？
2．学校有篮球和足球共21个，篮球借出13后，比足球少1个，原来篮球和足球各
- 35 -

有多少个？
3．小明甲养的鸡和鸭共有100只，如果将鸡卖掉120， 还比鸭多17只，小明家原来
养的鸡和鸭各有多少只？
【例题3】师傅与徒弟两人共加工零件 105个，已知师傅加工零件个数的38与徒弟
加工零件个数的47的和为49个，师、徒各加工零件多 少个？
【思路导航】假设师、徒两人都完成了47，一个能完成（105×47）＝60个，和实际相差（60－49）＝11个，这11个就是师傅完成将零件的38与完成加工零件的47相
差的 个数。这样就可以求出师傅加工了【11÷（47－38）】＝56个。即：
师傅：（105×47－49）÷（47－38）＝56（个）
徒弟：105－56＝49（个）
答：师傅加工了56个，徒弟加工了49个。
练习3：
1．某商店有彩色电视机和黑白电视机共136台，卖出彩色电视机的25和黑白电 视
机的37，共卖出57台。问：原来彩色电视机和黑白电视机各有多少台？
2．甲、乙两个 消防队共有336人，抽调甲队人数的57、乙队人数的37，共抽调188
人参加灭火。问：甲、乙两 个消防队原来各有多少人？
3．学校买来足球和排球共64个，从中借出排球个数的14和足球个数的 13后，还
剩下46个，买来排球和足球各是多少个？
【例题4】甲、乙两数的和是300，甲数的25比乙数的14多55，甲、乙两数各是
多少？
【思路导航】甲数的25与乙数的25的和就是甲、乙两数的25，是300×25＝120，
因为甲数的25比乙数的14多55，所以从120中减去55所得的差就可以看成是乙数的
14与乙数 的25的和。
乙：（300×25－55）÷（25+14）＝100
甲：300－100＝200
答：甲数是200，乙数是100。
练习4： 1．畜牧场有绵羊、山羊共800只，山羊的25比绵羊的12多50只，这个畜牧场有
山羊、绵羊 各多少只？
2．师傅和徒弟共加工零件840个，师傅加工零件的个数的58比徒弟加工零件个数的23多60个，师傅和徒弟各加工零件多少个？
3．某校六年级甲、乙两个班共种100棵树， 乙班种的110比甲班种的13少16棵，
两个班各种多少棵？
【例题5】育红小学上学期共有学生750人，本学期男学生增加16，女学生减少15，

共有710人，本学期男、女学生各有多少人？
【思路导航】假设本学期女学 生不是减少15，而是增加16，半学期应该有750×
（1+16）＝875人，比实际多875－7 10＝165人，这165人是假设女学生也增加16多出
的人数，而实际女学生减少15，所以，这1 65人对应着女学生的（15+16）＝1130。
上学期女生：【750×（1+16）－710】÷（15+16）＝450（人）
本学期女生：450×（1－15）＝360（人）
本学期男生：710－360＝350（人）
答：本学期男学生有350人，女学生有360人。
练习5：
1．金放在水里称， 重量减轻119，银放在水里称，重量减少110，一块重770克的
金银合金，放在水里称是720克 ，这块合金含金、银各多少克？
2．某中学去年共招新生475人，今年共招新生640人，其中初中 招的新生比去年增
加48％，高中招的新生比去年增加20％，今年初、高中各招收新生多少人？ < br>3．袋子里原有红球和黄球共119个。将红球增加38，黄球减少25后，红球与黄球
的总数变 为121个。原来袋子里有红球和黄球各多少个？
- 37 -

第11讲 假设法解题（二）
一、知识要点
已知甲是乙的几分之几，又知甲与乙各改变一定的数量后两 者之间新的倍数关系，要
求甲、乙两个数是多少，这样的应用题称为变倍问题。
应用题中的变 倍问题，有两数同增、两数同减、一增一减等各种情况。虽然其中的数
量关系比较复杂，但解答时的关键 仍是确定哪个量为单位“1”，然后通过假设，找出变化
前后的相差数相当于单位“1”的几分之几，从 而求出单位“1”的量，其他要求的量就迎
刃而解了。
二、精讲精练
【例题1】两 根铁丝，第一根长度是第二根的3倍，两根各用去6米，第一根剩下的
长度是第二根剩下的长度的5倍， 第二根原来有多少米？
【思路导航】假设第一根用去6×3＝18米，那么第一根剩下的长度仍是第二 根剩下
长度的3倍，而事实上第一根比假设的少用去（6×3－6）＝12米，也就多剩下第二根剩下的长度的（5－3）＝2倍。
（6×3－3）÷（5－3）+6＝12（米）
答：第二根原来有12米。
练习1：
1．丁晓原有书的本数是王阳的5倍，若两 人同时各借出5本给其他同学，则丁晓书
的本数是王阳的10倍，两人原来各有书多少本？
2 ．在植树劳动中，光明中学植树的棵数是光明小学的3倍，如果中学增加450棵，
小学增加400棵， 则中学是小学的2倍。求中、小学原来各植树多少棵？
3．两堆煤，第一堆是第二堆的2倍，第一堆用 去8吨，第二堆用去11吨，第一堆剩
下的重量是第二堆的4倍。求第二堆煤原来是多少吨？
【例题2】王明平时积蓄下来的零花钱比陈刚的3倍多6.40元，若两个人各买了一本
4.40元的故 事书后，王明的钱就是陈刚的8倍，陈刚原来有零花钱多少元？
【思路导航】假设仍然保持王明的钱比 陈刚的3倍多6.40元，则王明要相应地花去
4.40×3 ＝13.20元，但王明只花去了4.4 0元，比13.20元少13.20－4.40＝8.80元，那
么王明买书后的钱比陈刚买书后的钱的 3倍多6.40+8.80＝15.20元，而题中已告诉：买
书后王明的钱是陈刚的8倍，所以，15 .20元就对应着陈刚花钱后剩下钱的8－3＝5倍。
【6.40+（4.40×3－4.40】÷（8－3）+4.40＝7.44（元）
答：陈刚原来有零花钱7.44元。
练习2：
1．甲书架上的书比乙书架上的3倍 多50本，若甲、乙两个书架上各增加150本，则
甲书架上的书是乙书架上的2倍，甲、乙两个书架原 来各有多少本书？

2．上学年，马村中学的学生比牛庄小学的学生的2倍多54人，本学年马村中学增加
了20 人，牛庄小学减少了8人，则马村中学的学生比牛庄小学的学生的4倍少26人，上
学年马村中学和牛庄 小学各有学生多少人？
3．箱子里有红、白两种玻璃球，红球比白球的3倍多2粒，每次从箱子里取出 7粒
白球和15粒红球，若干次后，箱子里剩下3粒白球和53粒红球，那么，箱子里白球原有
多少粒？
【例题3】小红的彩笔枝数是小刚的12，两人各买5枝后，小红的彩笔枝数是小刚
的23，两人原来各有彩笔多少枝？
【思路导航】假设小刚买了5枝后，小红的彩笔仍为小刚的12， 则小红只需买（5
×12）＝2又12枝，但实际上小红买了5枝，多买了5－2又12＝2又12 枝。将小
刚买了5枝后的枝数看作“1”，小红多买了2又12 ，相当于（23－12）＝16。
小刚原来：（5－5×12）÷（23－12）－5＝10（枝）
小红原来：10×12＝5（枝）
答：小刚原来有彩笔10枝，小红原来有彩笔5枝。
练习3：
1．小华今年的年龄是爸爸年龄的16，四年后小华的年龄是爸爸的14，求小华和 爸
爸今年的年龄各是多少岁？
2．小红今年的年龄是妈妈的38，10年后小红的年龄是妈妈的12，小红今年多少岁？
3 ．甲书架上的书是乙书架上的57，甲、乙两个书架上各增加90本后，甲书架上的
书是乙书架上的45 ，甲、乙两各书架原来各有多少本书？
【例题4】王芳原有的图书本数是李卫的45，两人各捐给“希 望工程”10本后，则
王芳的图书的本数是李卫的710，两人原来各有图书多少本？
【思路 导航】假设李卫捐了10本后，王芳的图书仍是李卫的45，则王芳只需捐10
×45＝8本，实际王芳 捐了10本，多捐了10－8＝2本，将李卫捐书后剩下的图书看作“1”，
着2本书相当于45－71 0＝110。
（10－10×45）÷(45－710)=30(本)
30×45＝24（本）
答：李卫原有图书30本，王芳原有图书24本。
练习4：
1．甲书架上的书是乙书架上的45，从这两个书架上各借出112本后，甲书架上 的书
是乙书架上的47，原来甲、乙两个书架上各有多少本书？
2．小明今年的年龄是爸爸的 611，10年前小明的年龄是爸爸的49，小明和爸爸今
年各多少岁？
3．甲车间的工人是乙车间的14，从甲、乙两个车间各抽出30人后，甲车间的工人
- 39 -

只占乙车间的16，甲、乙两个车间原来各有多少名工人？
【例题5】某 校六年级男生人数是女生的23，后来转进2名男生，转走3名女生，这
时男生人数是女生的34，现在 男、女生各有多少人？
【思路导航】假设转走3名女生后，男生人数仍是女生的23，则男生应转走3 ×23
＝2人，实际上男生却转进2人，与应转走2人相差2+2＝4人。将转走3名女生后的女生人数看作“1”，则相差的4人相当于现在女生的34－23。
（2+3×23）÷（34－23）＝48（人）
48×34＝36（人）
答：现在男生有36人，女生有48人。
练习5：
1．甲车间的工人是乙车间的2 5，后来甲车间增加20人，乙车间减少35人，这样甲
车间的人数是乙车间的79，现在甲、乙两个车 间各有多少人？
2．有一堆棋子，黑子是白子的23，现在取走12粒黑子，添上18粒白子后，黑子 是
白子的512，现在白子、黑子各有多少粒？
3．爱华小学和曙光小学的同学参加小学数学 竞赛，去年的比赛中，爱华小学得一等
奖的人数是曙光小学的2.5倍。今年的比赛中，爱华小学得一等 奖的人数减少了1人，曙
光小学增加了6人，这时曙光小学得一等奖的人数是爱华小学的2倍。两校去年 的一等奖
的同学各有多少人？

第12讲 倒推法解题
一、知识要点
有些应用题如果按照一般方 法，顺着题目的条件一步一步地列出算式求解，过程比较
繁琐。所以，解题时，我们可以从最后的结果出 发，运用加与减、乘与除之间的互逆关系，
从后到前一步一步地推算，这种思考问题的方法叫倒推法。
二、精讲精练
【例题1】一本文艺书，小明第一天看了全书的13，第二天看了余下的35， 还剩下
48页，这本书共有多少页？
【思路导航】从“剩下48页”入手倒着往前推，它占余 下的1－35＝25。第一天看
后还剩下48÷25＝120页，这120页占全书的1－13＝23， 这本书共有120÷23＝180
页。即
48÷（1－35）÷（1－13）＝180（页）
答：这本书共有180页。
练习1：
１．某班少先队员参加劳动，其中37的人打 扫礼堂，剩下队员中的58打扫操场，
还剩12人打扫教室，这个班共有多少名少先队员？
２ ．一辆汽车从甲地出发，第一天走了全程的38，第二天走了余下的23，第三天
走了250千米到达乙 地。甲、乙两地间的路程是多少千米？
３．把一堆苹果分给四个人，甲拿走了其中的16，乙拿走了余 下的25，丙拿走这
时所剩的34，丁拿走最后剩下的15个，这堆苹果共有多少个？
【例题2】筑路队修一段路，第一天修了全长的15又100米，第二天修了余下的27 ，
还剩500米，这段公路全长多少米？
【思路导航】从“还剩500米”入手倒着往前推， 它占余下的1－27＝57，第一天
修后还剩500÷57＝700米，如果第一天正好修全长的15， 还余下700+100＝800米，这
800米占全长的1－15＝45，这段路全长800÷45＝1 000米。列式为：
【500÷（1－27）+100】÷（1－15）＝1000米
答：这段公路全长1000米。
练习2：
１．一堆煤，上午运走27，下午运的比 余下的13还多6吨，最后剩下14吨还没有
运走，这堆煤原有多少吨？
２．用拖拉机耕一块 地，第一天耕了这块地的13又2公顷，第二天耕的比余下的12
多3公顷，还剩下35公顷，这块地共 有多少公顷？
３．一批水泥，第一天用去了12多1吨，第二天用去了余下13少2吨，还剩下16< br>吨，原来这批水泥有多少吨？
- 41 -

【例题3】有甲、乙两桶 油，从甲桶中倒出13给乙桶后，又从乙桶中倒出15给甲
桶，这时两桶油各有24千克，原来甲、乙两 个桶中各有多少千克油？
【思路导航】从最后的结果出发倒推，甲、乙两桶共有（24×2）＝48千 克，当乙桶
没有倒出15给甲桶时，乙桶内有油24÷（1－15）＝30千克，这时甲桶内只有48－ 30
＝18千克，而甲桶已倒出13给了乙桶，可见甲桶原有的油为18÷（1－13）＝27千克，< br>乙桶原有的油为48－27＝21千克。
甲：【24×2－24÷（1－15）】÷（1－13）＝27（千克）
乙：24×2－27＝21（千克）
答：甲桶原有油27千克，乙桶原有油21千克。
练习3：
１．小华拿出自己的画片的15给小强，小强再从自己现有的画片中拿出14给小华 ，
这时两人各有画片12张，原来两人各有画片多少张？
２．甲、乙两人各有人民币若干元， 甲拿出15给乙后，乙又拿出14给甲，这时他
们各有90元，他们原来各有多少元？
３．一 瓶酒精，第一次倒出13，然后倒回瓶中40克，第二次再倒出瓶中酒精的59，
第三次倒出180克， 瓶中好剩下60克，原来瓶中有多少克酒精？
【例题4】甲、乙、丙三人共有人民币168元，第一次 甲拿出与乙相同的钱数给乙；
第二次乙拿出与丙相同的钱数给丙；第三次丙拿出与这时甲相同的钱数给甲 。这样，甲、
乙、丙三人的钱数相等，原来甲比乙多多少元钱？
【思路导航】根据题意，由最 后甲钱数是168÷3＝56元可推出：第一次甲拿出与乙
同样的钱数给乙后，甲剩下的钱是56÷2＝ 28元，这28元就是原来甲比乙多的钱数。
168÷3÷2＝28元
答：原来甲比乙多28元。
练习4：
１．甲、乙、丙三个班共有学生144人，先 从甲班调出与乙班相同的人数给乙班，再
从乙班调出与丙班相同的人数到丙班。再从丙班调出与这时甲班 相同的人数给甲班，这样，
甲、乙、丙三个班人数相等。原来甲班比乙班多多少人？
２．甲、 乙、丙三个盒子各有若干个小球，从甲盒拿出4个放入乙盒，再从乙盒拿出
8个放入丙盒后，三个盒子内 的小球个数相等。原来乙盒比丙盒多几个球？
３．甲、乙、丙三个仓库面粉袋数的比是6：9：5，如 果从乙仓库拿出400袋平均分
给甲、丙两仓库，则甲、乙两个仓库的数量相等。这三个仓库共存面粉多 少袋？
【例题5】甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出14到乙仓库后，又从乙
仓 库运出14到甲仓库，这时甲、乙两仓库的粮食储量相等。原来甲仓库的粮食是乙仓库
的几分之几？

【思路导 航】解题关键是把两个仓库粮食的和看作“1”，由题意可知，从乙仓库运出
14到甲仓库，乙仓库最后 占两仓库和的12。
①当乙仓库没有往甲仓库运时，乙仓库占两仓库和的几分之几？
12÷（1－14）＝23
②甲仓库占两仓库和的几分之几？
1－23＝13
③甲仓库原来占两仓库和的几分之几？
13÷（1－14）＝49
④原来甲仓库时乙仓库的几分之几？
4÷（9－4）＝45
答：原来甲仓库的粮食是乙仓库的45。
练习5：
1．甲、乙两个仓库各有粮食若 干吨，从甲仓库运出13到乙仓库后，又从乙仓库运
出13到甲仓库，这时甲、乙两仓库的粮食储量相等 。原来甲仓库的粮食是乙仓库的几分
之几？
２．甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运 出15到乙仓库后，又从乙仓库运
出14到甲仓库，这时甲、乙两仓库的粮食储量相等。原来甲仓库的粮 食是乙仓库的几分
之几？
３．甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出13到乙仓库后 ，又从乙仓库运
出25到甲仓库，这时乙仓库的粮食是甲仓库的910。原来甲仓库的粮食是乙仓库的几 分
之几？
- 43 -

第13讲 代数法解题
一、知识要点
有一些数量关系比较复杂的分数应用题，用算术方法解答比较繁、难，甚至无法 列式
算式，这时我们可根据题中的等量关系列方程解答。
二、精讲精练
【例题1】 某车间生产甲、乙两种零件，生产的甲种零件比乙种零件多12个，乙种零
件全部合格，甲种零件只有4 5合格，两种零件合格的共有42个，两种零件个生产了多
少个？
【思路导航】本体用算术方 法解有一定难度，可以根据两种零件合格的一共有42个，
列方程求解。
解：设生产乙种零件x个，则生产甲种零件（x+12）个。
（x+12）×45+x＝42
45x+9+x＝42
95x＝42－9又35
x＝18
18+12＝30（个）
答：甲种零件生产了30个，乙种零件生产了18个。
练习1：
1．某校参加数学竞赛的女生比男生多28人，男生全部得优，女生的34得优，男 、
女生得优的一共有42人，男、女生参赛的各有多少人？
2．有两盒球，第一盒比第二盒多15个，第二盒中全部是红球，第一盒中的25 是红
球，已知红球一共有69个，两盒球共有多少个？
3．六年级甲班比乙班少4人，甲班有 13的人、乙班有14的人参加课外数学组，
两个班参加课外数学组的共有29人，甲、乙两班共有多少 人？
【例题2】阅览室看书的学生中，男生比女生多10人，后来男生减少14，女生减少
1 6，剩下的男、女生人数相等，原来一共有多少名学生在阅览室看书？
【思路导航】根据剩下的男、女人数相等的题意来列方程求解。
解：设女生有x人，则男生有（x+10）人
（1－16）x＝（x+10）×（1－14）
x＝90
90+90+10＝190人
答：原来一共有190名学生在阅览室看书。
练习2：
1．某小学去年参加无线电小组的同学比参加航模小组的同学多5人。今年参加无线

电小组的同学减少15，参加航模小组的人数减少110，这样，两个组的同学一样多。 去
年两个小组各有多少人？
2．原来甲、乙两个书架上共有图书900本，将甲书架上的书增 加58，乙书架上的书
增加310，这样，两个书架上的书就一样多。原来甲、乙两个书架各有图书多少 本？
3．某车间昨天生产的甲种零件比乙种零件多700个。今天生产的甲种零件比昨天少
1 10，生产的乙种零件比昨天增加320，两种零件共生产了2065个。昨天两种零件共生
产了多少个 ？
【例题3】甲、乙两校共有22人参加竞赛，甲校参加人数的15比乙校参加人数的
14少 1人，甲、乙两校各有多少人参加？
【思路导航】这题中的等量关系是：甲×15＝乙×14－1
解：设甲校有x人参加，则乙校有（22－x）人参加。
15x＝（22－x）×14－1
x＝10
22－10＝12（人）
答：甲校有10人参加，乙校有12人参加。
练习3：
1．学校图书馆买来文艺书和连环画共126本，文艺书的比连环画的少7本，图书 馆
买来的文艺书和连环画各是多少本？
2．某小有学生465人，其中女生的比男生的少20人，男、女生各有多少人？
3．王师傅 和李师傅共加工零件62个，王师傅加工零件个数的比李师傅的少2个，两
人各加工了多少个？
【例题4】甲书架上的书是乙书架上的56，两个书架上各借出154本后，甲书架上
的书是乙书架上 的47，甲、乙两书架上原有书各多少本？
【思路导航】这道题的等量关系是；甲书架上剩下的书等于乙书架上剩下的47。
解：设乙书架上原有x本，则甲书架上原有56x本。
（x－154）×47＝56x－154
x ＝252
252×56 ＝210（本）
答：甲书架上原有210本，乙书架上原有252本。
练习4：
1．儿子今年的年龄是父亲的16，4年后儿子的年龄是父亲的14，父亲今年多少岁？
2． 某校六年级男生是女生人数的23，后来转进2名男生，转走3名女生，这时男生
人数是女生的34。原 来男、女生各有多少人？
3．第一车间人数的35等于第二车间人数的910，第一车间比第二车间多50人。两
- 45 -

个车间各有多少人？
【例题5】一个班女同学比男同学的23多4 人，如果男生减少3人，女生增加4人，
男、女生人数正好相等。这个班男、女生各有多少人？
【思路导航】抓住“如果男生减少3人，女生增加4人，男、女生人数正好相等”这
个等量关系列方程 。
解：设男生有x人，则女生有（23x+4）人。
x－3＝23x+4+4
x＝33
23×33+4＝26（人）
答：这个班男生有33人，女生有26人。
练习5：
1．某学校的男教师比女教师的38多8人。如果女教师减少4人，男教师增加8人 ，
男、女教师人数正好相等。这个学校男、女教师各有多少人？
2．某无线电厂有两个仓库。 第一仓库储存的电视机是第二仓库的3倍。如果从第一
仓库取出30台，存入第二仓库，则第二仓库就是 第一仓库的49。两个仓库原来各有电视
机多少台？
3．某工厂第一车间的人数比第二车间的 人数的45少30人。如果从第二车间调10
人到第一车间，则第一车间的人数就是第二车间的34。求 原来每个车间的人数。

第14讲 比的应用（一）
一、知识要点
我们已经学过比的知识 ，都知道比和分数、除法其实是一回事，所有比与分数能互相
转化。运用这种方法解决一些实际问题可以 化难为易，化繁为简。
二、精讲精练
【例题1】甲数是乙数的23，乙数是丙数的45，甲、乙、丙三数的比是（ ）：（ ）：
（ ）。
【思路导航】
甲、乙两数的比 2：3
乙、丙两数的比 4：5
甲、乙、丙三数的比 8：12：15
答：甲、乙、丙三数的比是 8：12：15。
练习1：
1．甲数是乙数的45，乙数是丙数的58，甲、乙、丙三数的比是（ ）：（ ）：（ ）。
2．甲数是乙数的45，甲数是丙数的49，甲、乙、丙三数的比是（ ）：（ ）：（ ）。
3．甲数是丙数的37，乙数是丙数的2又12，甲、乙、丙三数的比是（ ）：（ ）：（ ）。 < br>【例题2】光明小学将五年级的140名学生，分成三个小组进行植树活动，已知第一
小组和第二 小组人数的比是2：3，第二小组和第三小组人数的比是4：5。这三个小组各
有多少人？
【思路导航】先求出三个小组人数的连比，再按求出的连比进行分配。
①一、二两组人数的比 2：3 二、三两组人数的比 4：5
一、二、三组人数的比 8：12：15
②总份数：8+12+15＝35
③第一组：140×835＝32（人）
④第二组：140×1235＝48（人）
⑤第三组：140×1535＝60（人）
答：第一小组有32人，第二小组有48人，第三小组有60人。
练习2：
1．某 农场把61600公亩耕地划归为粮田与棉田，它们之间的比是7：2，棉田与其他
作物面积的比6：1 。每种作物各是多少公亩？
2．黄山小学六年级的同学分三组参加植树。第一组与第二组的人数的比是 5：4，第
二组与第三组人数的比是3：2。已知第一组的人数比二、三组人数的总和少15人。六年< br>级参加植树的共有多少人？
3．科技组与作文组人数的比是9：10，作文组与数学组人数的比是5：7。已知数学
- 47 -

组与科技组共有69人。数学组比作文组多多少人？
【例题3】甲 、乙两校原有图书本数的比是7：5，如果甲校给乙校650本，甲、乙两
校图书本数的比就是3：4。 原来甲校有图书多少本？
【思路导航】由甲、乙两校原有图书本数的比是7：5可知，原来甲校图书的 本数是
两校图书总数的7（7+5），由于甲校给了乙校650本，这时甲校的图书占两校图书总数的< br>3（3+4），甲校给乙校的650本图书，相当于两校图书总数的7（7+5）－3（3+4）＝138 4。
650÷（7（7+5）－3（3+4））×7（7+5）＝2450（本）
答：原来甲校有图书2450本。
练习3：
1．小明读一本书，已读的和未读的页 数比是1：5。如果再读30页，则已读和未读的
页数之比为3：5。这本书共有多少页？
2 ．甲、乙两包糖的重量比是4：1。从甲包取出130克放入乙包后，甲、乙两包糖的
重量比为7：5。 原来甲包有多少克糖？
3．五年级三个班举行数学竞赛。一班参加比赛的占全年级参赛总人数的13， 二班与
三班参加比赛人数的比是11：13，二班比三班少8人。一班有多少人参加了数学竞赛？ 【例题4】从前有个农民，临死前留下遗言，要把17头牛分给三个儿子，其中大儿子
分得12，二 儿子分得13，小儿子分得19，但不能把牛卖掉或杀掉。三个儿子按照老人
的要求怎么也不好分。后来 一位邻居顺利地把17头牛分完了，你知道这到底是怎么回事
吗？
【思路导航】因为12+1 3+19＝1718，1718﹤1，就是说三兄弟并未将全部牛分完，
所以我们求出三个儿子分牛头数 的连比，最后再按比例分配。
① 三个儿子分牛头数的连比：12：13：19＝9：6：2
② 总份数：9+6+2＝17
③ 三个儿子各分得牛的头数：17×917＝9（头）17×617＝6（头）17×217＝2（头）
答：大儿子分得9头，二儿子分得6头，小儿子分得2头。
练习4：
1．图书室取 出一批书，按照一年级得12，二年级得13，三年级得17，正好是41
本，各年级各得多少本？ < br>2．古罗马富豪约翰逊再临终前，对怀孕的妻子写下这样一份遗嘱：如果生下来是个
男孩，就把遗 产的三分之二给儿子，母亲拿三分之一；如果生下来的是女孩就把遗产的三
分之一给女儿，三分之二给母 亲。结果他的妻子生了双胞胎，一男一女，这是他没有预料
到的。求出接近于遗嘱条件，把遗产分给三个 继承人的比。
（1）从儿子、母亲、女儿所得的比例来看，他们三人所得的遗产的比是（）：（ ）：（ ）。
（2）从母亲至少得遗产的13来看，儿子、母亲、女儿所得遗产的比是（ ）：（ ）：

（ ）。
3．甲、乙、丙三人共做零件900个。甲做总数的30％，乙比丙多做13。三人各做
多少个？
【例题5】两个相同的瓶子装满酒精溶液。一个瓶中酒精与水的体积之比是3：1，另
一个瓶中酒精与水的体积之比是4：1。若把两瓶酒精溶液混合，混合液中酒精与水的体积
之比是多少 ？
【思路导航】抓住两个瓶子相同的关系，分别求出每个瓶中的酒精占瓶子容积的几分
之几再 解答。
① 一个瓶中酒精占瓶子容积的比 3（1+3）＝ 34
② 另一个瓶中酒精占瓶子容积的比 4（1+4）＝ 45
③ 两瓶子里的酒精占一个瓶子容积的比 34+45 ＝ 3120
④ 水占一个瓶子容积的比 2－3120 ＝ 920
⑤ 混合液中酒精与水的比 3120：920＝31：9
答：混合液中酒精与水的比是31：9。
练习5：
1．两块一样重的合金，一块合 金中铜与锌的比是2：5，另一块合金中铜与锌的比是
1：3。现将两块合金合成一块，求出锌合金中铜 与锌的比。
2．将一条公路平均分给甲、乙两个工程队修筑。甲队已修的与剩下的比是2：1，乙队已修的与剩下的比是5：2。这条公路已修了全长的几分之几？
3．光华电视机厂上半年生产的 电视机产量占全年的58，照这样的速度计算，全年可
超产1000台。这个工厂上半年生产电视机多少 台？
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第15讲 比的应用（二）
一、知识要点
比是反映数量关系的一种常见形式，也是解数学题的一种重要工具，有了它，我们处
理倍数关系 、解答分数应用题就方便灵活得多。在这一讲，我们讲探讨稍复杂的比是应用
题。
二、精讲精练
【例题1】甲、乙两个学生放学回家，甲要比乙多走15的路，而乙走的时间比 甲少
111，求甲、乙两人速度的比。
【思路导航】因为 速度＝路程÷时间，所以，甲、乙速度的比＝甲路程甲时间：乙
路程乙时间
（1）甲、乙路程的比：（1+15）：1＝6：5
（2）甲、乙时间的比：1：（1－111）＝11：10
（3）甲、乙速度的比：611：510=12：11
答：甲、乙速度的比是12：11。
练习1：
1．小明和小芳各走一段路。小明走的路程比小芳多15，小芳用的时间比小明多1 8。
求小明和小芳速度的比。
2．甲走的路程比乙多13，乙用的时间比甲多14。求甲、乙的速度比。
3．一个人步行每 小时走5千米，如果骑自行车每1千米比步行少用8分钟。这个人
骑自行车的速度和步行速度的比是多少 ？
【例题2】制造一个零件，甲需6分钟，乙需5分钟，丙需4.5分钟。现在有1590个
零件的制造任务分配给他们三个人，要求在相同的时间内完成，每人应该分配到多少个零
件？
【思路导航】先求出工作效率的比，然后根据同一时间内，工作总量的比等于工作效
率的比进行解答。
甲、乙、丙工作效率的比： 16：15：11.5＝15：18：20
总份数：15+18+20＝53
甲 ：1590×1553＝450（个）
乙 ：1590×1853＝540（个）
丙 ：1590×2053＝600（个）
答：甲、乙、丙分配到的零件分别是450个、540个、600个。
练习2：
1 ．加工一个零件，甲需3分钟，乙需3.5分钟，丙需4分钟。现在有1825个零件需
要甲、乙、丙三 人加工。如果规定用同样的时间完成任务，那么各应加工多少个？