向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇_「金点文库网」分享知识创造价值

濮阳市人事局-学校元旦晚会开场白

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇
天津四中：刘晖
一、四心的概念介绍
（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；
（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；
（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四心与向量的结合
（1）
OAOBOC0
O
是
ABC
的重心. 证法1：设
O(x,y),A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),C(x
3
,y
3
)
x
1
x
2
x
3

x


(x
1
x)(x
2
x)(x
3
x) 0

3
OAOBOC0




(y
1
y)(y
2
y)(y
3
y)0

y
y
1
y
2
y
3

3 

O
是
ABC
的重心.
A
证法2：如图

OAOBOC

OA2OD0


AO2OD


A、O、D
三点共线，且
O
分
AD

O
E
为2：1

O
是
ABC
的重心

BDC
（2）
OAOBOBOCOCOA
O
为
ABC
的垂心.
证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足.
OAOBOBOCOB(OAOC)OBCA0

OBAC

A
E
O
同理
OABC
，
OCAB


O
为
ABC
的垂心
BDC

（3）设a,
b
,c是三角形的三条边长，O是

ABC的内心
aOAbOBcOC0O
为
ABC
的内心.
证明：

AB
AC
b
AC
AC
方向上的单位向量，
、
分别为
AB、
cb
AB
c

平分
BAC
,
AB
c

AC
b
AO

(
)，令


bc
abc


AO
bc
abc
（
AB
c
AC
b
)
化简得
(abc)OAbABcAC0


aOAbOBcOC0

（4）
OAOBOC

O
为
ABC
的外心。

典型例题：
例1：
O
是平面上一定点，
A、B、C是平面上不共线的三个点，动点
P
满足
OPOA

(AB AC)
，



0,

，则点
P
的轨迹一定通过
ABC
的（）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
分析：如图所示
ABC ，
D、E
分别为边
BC、AC
的
A
中点.
ABAC2AD

E

OPOA2

AD

OPOAAP

AP2

AD

BDC
AP

AD


点
P
的轨迹一定通过
ABC
的重心，即选
C
.

例2：（03全国理4）
O
是平面上一定点，
A、B、C
是平面上不共线的三个点，动点P
满足
OPOA

(
AB
AB

AC
AC
)
，则点
P
的轨迹一定通过
ABC
的（ B ）



0,

，
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
分析：

ABAB

、
AC
AC
AC
方向上的单位向量，分别为 AB、
AB
AB

AC
AC
平分
BAC ,

点
P
的轨迹一定通过
ABC
的内心，即选 B
.

例3：
O
是平面上一定点，
A、B、C是平面上不共线的三个点，动点
P
满足
OPOA

(
AB
ABcosB

AC
ACcosC
)
，
 

0,

，则点
P
的轨迹一定通过
ABC
的

（）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

分析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC， D、E是垂足.
(AB
ABcosB

AC
ACcosC

ACBC ACcosC
)
BC

A
E
=
ABBC
ABcosB

B
D C
ABBCcosBACBCcosC

=
ABcosB

ACcosC
=
BC
+
BC
=0

点
P
的轨迹一定通过
ABC
的垂心，即选
D
.

练习：
1．已知
ABC
三个顶点
A、B、C
及平面内一点
P
，满足
PAPBPC0
，若实
数

满足：
ABAC

AP
，则

的值为（）
A．2 B．
3
2
C．3 D．6
2．若
ABC
的外接圆的圆心为O，半径为1，
OAOBOC 0
，则
OAOB
( )
A．
1
2
B．0 C．1 D．

1
2

3 ．点
O
在
ABC
内部且满足
OA2OB2OC0
，则
ABC
面积与凹四边形
ABOC
面积之比是（）
3
2
5
4
4
3
A．0 B． C． D．
4．
ABC
的外接圆的圆心为O，若
OHO AOBOC
，则
H
是
ABC
的（）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
5．
O
是平面上一定点，
A、B、C
是平面上不共线的三个点，若
OA
CA
2
2
BC
2
OB

2
OC
2
AB
，则
O
是
ABC
的（）
2
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
ABC
的外接圆的圆心为O，6．两条边上的高的交点为H，
OHm(OAOBOC)
，

则实数m = →→→→
ABACABAC1
→→→
7．（06陕西）已知非零向量AB与AC 满足( + )·BC=0且 · = , 则
→→→→2
|AB||AC||AB||AC|
△ABC为( )
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
8．已知
ABC
三个顶点
A、B、C
，若
AB
ABC
为（）
2
ABACABCBBCCA
，则
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．既非等腰又非直角三角形
练习答案：C、D、C、D、D、1、D、C

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