慰问-三亚学院教务系统

三角形的“四心”


所谓三角形的“四心”是指三角形的重心 、垂心、外心及内心.当三角形是正三
角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心.
一、外心
【定义】三角形三条中垂线的交点叫外心，
即外接圆圆心.
ABC
的重心一般用字母
O
表示.
【性质】
1.外心到三顶点等距，即
OAOBOC
.
2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一
边，即
ODBC,OEAC,OFAB
.
3.
A
111
BOC,BAOC,CAOB
.
222

二、内心
【定义】三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心， 即内切圆圆心.
ABC
的
内心一般用字母
I
表示.
【性质】
1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角.
1
2.三角形的面积＝

三角形的周长

内切圆的半径．
2
3.
AEAF,BFBD,CDCE
；
AEBFCD
三角形的周长的一半.
111
4.
BIC 90

A,CIA90

B
，
AIB90

C
.
222

三、垂心
【定义】三角形 三条高的交点叫重心.
ABC
的重心一般用字母
H
表示.
【性质】
1.顶点与垂心连线必垂直对边，
即
AHBC,BHAC,CHAB
.
2.△
ABH
的垂心为
C
，△
BHC
的
垂心为
A
，△
ACH
的垂心为
B
.

四、重心
【定义】三角形三条中线的交点叫重心.
ABC
的重心一般用字母
G
表示.
【性质】
1.顶点与重心
G
的连线必平分对边.
2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的
2
倍.
即
GA2GD,GB2GE,GC2GF

3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值．
即
x
G

xA
x
B
x
C
yy
B
y
C.
,y
G

A
33
4.向量性质：（1）
G AGBGC0
；
1
（2）
PG(PAP BPC)
，
3
1
5.
S
BGC
S
 CGA
S
AGB
S
ABC
.
3

三角形“四心”的向量形式：
结论1：若点
O
为
ABC
所在的平面内一点，满足
OAOBOBOCOCOA
，
则点
O
为
ABC
的垂心.
结论2：若点
O
为△ABC所在的平面内一点，满足
OABCOBCAOCAB
， 则点
O
为
ABC
的垂心.
结论3：若点
G
满足
GAGBGC0
，则点
G
为
ABC
的重心. 1
结论4：若点
G
为
ABC
所在的平面内一点，满足
OG(OAOBOC)
，
3
222222
则点
G
为
ABC
的重心.
结论5：若点
I
为< br>ABC
所在的平面内一点，并且满足
aIAbIBcIC0

（其中
a,b,c
为三角形的三边），则点
I
为△ABC的内心.
结论6：若点
O
为
ABC
所在的平面内一点，满足
则点< br>O
为
ABC
的外心.
(OAOB)BA(OBOC)C B(OCOA)AC
，
结论7：设



0,< br>
，则向量
AP

(
内心.
AB
AC
)
，则动点
P
的轨迹过
ABC
的
|AB ||AC|

向量和“心”
一、“重心”的向量风采
uuuruuuruuur
【命题1】 已知
G
是
△ABC
所在平面上的一点，若
GAGBGC0
，则
G
是
△ABC< br>的重心．如图⑴.
C
A'
G
A

图⑴
P
B
M
A
B

C
O
图⑵
【命题2】 已知
O
是平面上一定点，
A，B，C
是平面上不共线 的三个点，动点
uuuruuuruuuruuur
OPOA

(AB AC)
，

(0，
则
P
的轨迹一定通过
△ABC
的重心.
)
，
P
满足
uuuruuuruuuruu uruuur
【解析】 由题意
AP

(ABAC)
，当
(0，
由于

(ABAC)
表示
BC
 )
时，
边上的中线所在直线的向量，所以动点
P
的轨迹一定通过
△ ABC
的重心，如图
⑵.

二、“垂心”的向量风采
【命题3】
P
是
△ABC
所在平面上一点，若
PAPBPBPCPC PA
，则
P
是
△ABC
的垂心．
uuuruuuruuu ruuuruuuruuur
uuuruuuruuur
【解析】 由
PAPB PBPC
，得
PB(PAPC)0
，即
PBCA0
，所 以
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
PB⊥CA
．同理可证
PC⊥AB
，
PA⊥BC
．∴
P
是
△ABC
的垂 心．如图⑶.
A
E
C
M
B



C
P

图⑶
P
A
O
H
F
图⑷
B
，B，C
是平面上不共线的三个点，动点【命题4】 已知
O
是 平面上一定点，
A

uuuruuur

uuuruuur< br>ABAC

，

(0，

uuu
)< br>，则动点
P
的轨迹一定
rr
P
满足
OPOA

uuu

ABcosBACcosC


通过
△ABC
的垂心．
uuuruuur

uuur
ABAC

，由于

uuu
【解析】 由题意
AP


uuur r

ABcosBACcosC


uuuruuur
 
uuur
ABAC

uuu


uuu
BC0
，即
rr

ABcosBACcosC

< br>uuuruuur
ABBC

uuur
ABcosB
uuu ruuur
uuuuruuuur
ACBC
BCCB
0
,所 以
uuur
ACcosC
uuur
uuur
AP
表示垂直于
BC
的向量，即
P
点在过点
A
且垂直于
BC
的直线上，所以动点
P
的轨迹一定通过
△ABC
的垂心，如图⑷.

三、“内心”的向量风采
【命题5】 已知
I
为
△A BC
所在平面上的一点，且
ABc
，若
ACb
，
BC a
．
uuruuruur
aIAbIBcIC0
，则
I是
△ABC
的内心．








A

B
C
O
c
I
a
P
C
图⑸
ruuruuur
uuruuruuur
uu
【解析】 ∵
IBIAAB
，
ICIAAC
，则由题意得
uuruuuruuur
(abc)IAbABcAC0
，
b
A
B
图⑹
uuuruuur
uuuruuuruuur uuuruuuruuuruuuruuur

ABAC

∵
bAB cACACABABACACAB

uuur

uuur< br>
，

ABAC


uur
∴
AI
bc


abc


uuuruuur
ABAC
uuur

uuur
ABAC


．∵


uuuruuur
r
uuur
uuu
A C
AB
uuur
与
uuur
分别为
AB
和
AC
方向
AC
AB
上的单位向量，
uur
∴
AI
与
∠BAC
平分线共线，即
AI
平分
BAC
．

同理可证：
BI
平分
ABC
，
CI
平分
ACB
．从而
I
是
△ABC
的内心，如图⑸.
【命题6】 已知
O
是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点< br>uuruuur

u
uuuruuur
ABAC

则动点
P
的轨迹一定通过
△ABC
)
，
r
< br>uuur
，

(0，
P
满足
OPOA


uuu

ABAC


的内心．
uuruuur

u
uuur
uuur
ABAC
【解析】 由题意得
AP

uuu
∴当

(0， )
时，
AP
表示
BAC
的
r

uu ur
，

ABAC


平分线所在直线方向的向量，故动 点
P
的轨迹一定通过
△ABC
的内心，如图⑹.

四、“外心”的向量风采
uuuuruuuuruuuur
22
【命题7】 已知
O
是
△ABC
所在平面上一点，若
OAOBOC
2
，则
O
是
△ABC
的外心．

C

B

P

M
B

A

O
O
C

A



图⑻
图⑺
uuur
2
uuur
2
uuur
2
uuur
2
uuur
2
uuur
2
uuuruuuruuu r
【解析】 若
OAOBOC
，则
OAOBOC
，∴OAOBOC
，
则
O
是
△ABC
的外心，如图⑺.
【命题7】 已知
O
是平面上的一定点，
A，B，C
是平面上不共 线的三个点，动
uuuruuuruuuruuur

uuur
OBOC ABAC

，

(0，



uuu< br>
uuu
点
P
满足
OP
则动点
P
的轨
)
，
rr

ABcosBACcosC

2

迹一定通过
△ABC
的外心.
uuuruuur
OBOC
)
时，【解析】 由于过
BC< br>的中点，当

(0，
2
uuuruuur

uu ur
ABAC


uuu

uuu
表示垂直于< br>BC
的向量，所以
P
在
BC
垂直平分线上，
rr
ABcosBACcosC



动点
P的轨迹一定通过
△ABC
的外心，如图⑻.


练习： 1.已知
ABC
三个顶点
A、B、C
及平面内一点
P
，满足
PAPBPC0
，若实
数

满足：
ABAC 

AP
，则

的值为（ ）
A．2 B．
3
C．3 D．6
2
OAOB OC0
，2．若
ABC
的外接圆的圆心为O，半径为1，则
OAOB
( )
A．
1
1
B．0 C．1 D．


2
2
3．点
O
在
ABC
内部且满足
OA2OB2OC0
，则
ABC面积与凹四边形
ABOC
面积之比是（ ）
354
A．0 B． C． D．
243
4．
ABC
的外 接圆的圆心为O，若
OHOAOBOC
，则
H
是
ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
5．
O
是平面上一定点，
A、B、C
是平面上不共线的三 个点，若
OABCOB

222
CAOCAB
，则
O
是
ABC
的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 < br>6.
ABC
的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,
OHm(OA OBOC)
，
则实数m =
→→→→
ABACAB AC1
→→→
7．（06陕西）已知非零向量AB与AC满足(
→
+
→
)·BC=0且
→
·
→
=
2
,
|AB||AC||AB||AC|
则△ABC为( )
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
8．已知
ABC
三个顶点
A、B、C
，若
ABABACABCBBCCA
，则
2
222
ABC
为（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．既非等腰又非直角三角形
练习答案：C、D、C、D、D、1、D、C

三角形的“四心”


所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心.当三角形是正三
角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心.
一、外心
【定义】三角形三条中垂线的交点叫外心，
即外接圆圆心.
ABC
的重心一般用字母
O
表示.
【性质】
1.外心到三顶点等距，即
OAOBOC
.
2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一
边，即
ODBC,OEAC,OFAB
.
3.
A
111
BOC,BAOC,CAOB
.
222

二、内心
【定义】三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心， 即内切圆圆心.
ABC
的
内心一般用字母
I
表示.
【性质】
1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角.
1
2.三角形的面积＝

三角形的周长

内切圆的半径．
2
3.
AEAF,BFBD,CDCE
；
AEBFCD
三角形的周长的一半.
111
4.
BIC 90

A,CIA90

B
，
AIB90

C
.
222

三、垂心
【定义】三角形 三条高的交点叫重心.
ABC
的重心一般用字母
H
表示.
【性质】
1.顶点与垂心连线必垂直对边，
即
AHBC,BHAC,CHAB
.
2.△
ABH
的垂心为
C
，△
BHC
的
垂心为
A
，△
ACH
的垂心为
B
.

四、重心
【定义】三角形三条中线的交点叫重心.
ABC
的重心一般用字母
G
表示.
【性质】
1.顶点与重心
G
的连线必平分对边.
2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的
2
倍.
即
GA2GD,GB2GE,GC2GF

3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值．
即
x
G

xA
x
B
x
C
yy
B
y
C.
,y
G

A
33
4.向量性质：（1）
G AGBGC0
；
1
（2）
PG(PAP BPC)
，
3
1
5.
S
BGC
S
 CGA
S
AGB
S
ABC
.
3

三角形“四心”的向量形式：
结论1：若点
O
为
ABC
所在的平面内一点，满足
OAOBOBOCOCOA
，
则点
O
为
ABC
的垂心.
结论2：若点
O
为△ABC所在的平面内一点，满足
OABCOBCAOCAB
， 则点
O
为
ABC
的垂心.
结论3：若点
G
满足
GAGBGC0
，则点
G
为
ABC
的重心. 1
结论4：若点
G
为
ABC
所在的平面内一点，满足
OG(OAOBOC)
，
3
222222
则点
G
为
ABC
的重心.
结论5：若点
I
为< br>ABC
所在的平面内一点，并且满足
aIAbIBcIC0

（其中
a,b,c
为三角形的三边），则点
I
为△ABC的内心.
结论6：若点
O
为
ABC
所在的平面内一点，满足
则点< br>O
为
ABC
的外心.
(OAOB)BA(OBOC)C B(OCOA)AC
，
结论7：设



0,< br>
，则向量
AP

(
内心.
AB
AC
)
，则动点
P
的轨迹过
ABC
的
|AB ||AC|

向量和“心”
一、“重心”的向量风采
uuuruuuruuur
【命题1】 已知
G
是
△ABC
所在平面上的一点，若
GAGBGC0
，则
G
是
△ABC< br>的重心．如图⑴.
C
A'
G
A

图⑴
P
B
M
A
B

C
O
图⑵
【命题2】 已知
O
是平面上一定点，
A，B，C
是平面上不共线 的三个点，动点
uuuruuuruuuruuur
OPOA

(AB AC)
，

(0，
则
P
的轨迹一定通过
△ABC
的重心.
)
，
P
满足
uuuruuuruuuruu uruuur
【解析】 由题意
AP

(ABAC)
，当
(0，
由于

(ABAC)
表示
BC
 )
时，
边上的中线所在直线的向量，所以动点
P
的轨迹一定通过
△ ABC
的重心，如图
⑵.

二、“垂心”的向量风采
【命题3】
P
是
△ABC
所在平面上一点，若
PAPBPBPCPC PA
，则
P
是
△ABC
的垂心．
uuuruuuruuu ruuuruuuruuur
uuuruuuruuur
【解析】 由
PAPB PBPC
，得
PB(PAPC)0
，即
PBCA0
，所 以
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
PB⊥CA
．同理可证
PC⊥AB
，
PA⊥BC
．∴
P
是
△ABC
的垂 心．如图⑶.
A
E
C
M
B



C
P

图⑶
P
A
O
H
F
图⑷
B
，B，C
是平面上不共线的三个点，动点【命题4】 已知
O
是 平面上一定点，
A

uuuruuur

uuuruuur< br>ABAC

，

(0，

uuu
)< br>，则动点
P
的轨迹一定
rr
P
满足
OPOA

uuu

ABcosBACcosC


通过
△ABC
的垂心．
uuuruuur

uuur
ABAC

，由于

uuu
【解析】 由题意
AP


uuur r

ABcosBACcosC


uuuruuur
 
uuur
ABAC

uuu


uuu
BC0
，即
rr

ABcosBACcosC

< br>uuuruuur
ABBC

uuur
ABcosB
uuu ruuur
uuuuruuuur
ACBC
BCCB
0
,所 以
uuur
ACcosC
uuur
uuur
AP
表示垂直于
BC
的向量，即
P
点在过点
A
且垂直于
BC
的直线上，所以动点
P
的轨迹一定通过
△ABC
的垂心，如图⑷.

三、“内心”的向量风采
【命题5】 已知
I
为
△A BC
所在平面上的一点，且
ABc
，若
ACb
，
BC a
．
uuruuruur
aIAbIBcIC0
，则
I是
△ABC
的内心．








A

B
C
O
c
I
a
P
C
图⑸
ruuruuur
uuruuruuur
uu
【解析】 ∵
IBIAAB
，
ICIAAC
，则由题意得
uuruuuruuur
(abc)IAbABcAC0
，
b
A
B
图⑹
uuuruuur
uuuruuuruuur uuuruuuruuuruuuruuur

ABAC

∵
bAB cACACABABACACAB

uuur

uuur< br>
，

ABAC


uur
∴
AI
bc


abc


uuuruuur
ABAC
uuur

uuur
ABAC


．∵


uuuruuur
r
uuur
uuu
A C
AB
uuur
与
uuur
分别为
AB
和
AC
方向
AC
AB
上的单位向量，
uur
∴
AI
与
∠BAC
平分线共线，即
AI
平分
BAC
．

同理可证：
BI
平分
ABC
，
CI
平分
ACB
．从而
I
是
△ABC
的内心，如图⑸.
【命题6】 已知
O
是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点< br>uuruuur

u
uuuruuur
ABAC

则动点
P
的轨迹一定通过
△ABC
)
，
r
< br>uuur
，

(0，
P
满足
OPOA


uuu

ABAC


的内心．
uuruuur

u
uuur
uuur
ABAC
【解析】 由题意得
AP

uuu
∴当

(0， )
时，
AP
表示
BAC
的
r

uu ur
，

ABAC


平分线所在直线方向的向量，故动 点
P
的轨迹一定通过
△ABC
的内心，如图⑹.

四、“外心”的向量风采
uuuuruuuuruuuur
22
【命题7】 已知
O
是
△ABC
所在平面上一点，若
OAOBOC
2
，则
O
是
△ABC
的外心．

C

B

P

M
B

A

O
O
C

A



图⑻
图⑺
uuur
2
uuur
2
uuur
2
uuur
2
uuur
2
uuur
2
uuuruuuruuu r
【解析】 若
OAOBOC
，则
OAOBOC
，∴OAOBOC
，
则
O
是
△ABC
的外心，如图⑺.
【命题7】 已知
O
是平面上的一定点，
A，B，C
是平面上不共 线的三个点，动
uuuruuuruuuruuur

uuur
OBOC ABAC

，

(0，



uuu< br>
uuu
点
P
满足
OP
则动点
P
的轨
)
，
rr

ABcosBACcosC

2

迹一定通过
△ABC
的外心.
uuuruuur
OBOC
)
时，【解析】 由于过
BC< br>的中点，当

(0，
2
uuuruuur

uu ur
ABAC


uuu

uuu
表示垂直于< br>BC
的向量，所以
P
在
BC
垂直平分线上，
rr
ABcosBACcosC



动点
P的轨迹一定通过
△ABC
的外心，如图⑻.


练习： 1.已知
ABC
三个顶点
A、B、C
及平面内一点
P
，满足
PAPBPC0
，若实
数

满足：
ABAC 

AP
，则

的值为（ ）
A．2 B．
3
C．3 D．6
2
OAOB OC0
，2．若
ABC
的外接圆的圆心为O，半径为1，则
OAOB
( )
A．
1
1
B．0 C．1 D．


2
2
3．点
O
在
ABC
内部且满足
OA2OB2OC0
，则
ABC面积与凹四边形
ABOC
面积之比是（ ）
354
A．0 B． C． D．
243
4．
ABC
的外 接圆的圆心为O，若
OHOAOBOC
，则
H
是
ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
5．
O
是平面上一定点，
A、B、C
是平面上不共线的三 个点，若
OABCOB

222
CAOCAB
，则
O
是
ABC
的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 < br>6.
ABC
的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,
OHm(OA OBOC)
，
则实数m =
→→→→
ABACAB AC1
→→→
7．（06陕西）已知非零向量AB与AC满足(
→
+
→
)·BC=0且
→
·
→
=
2
,
|AB||AC||AB||AC|
则△ABC为( )
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
8．已知
ABC
三个顶点
A、B、C
，若
ABABACABCBBCCA
，则
2
222
ABC
为（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．既非等腰又非直角三角形
练习答案：C、D、C、D、D、1、D、C