三角形的“四心”(内心、外心、重心、垂心)(曲老师推荐用)

南通纺织技术学院-开学第一周

曲老师推荐中考数学专题之：

三角形的“四心”

所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、
外心及内心。当三角形是正三角形时，四心重合为一点，
统称为三角形的中心。
一、三角形的外心
定义：三角形三条中垂线的交点叫外心，
即外接圆圆心。
ABC
的重心一般用字母
O
表示。
性质：
1.外心到三顶点等距，即
OAOBOC
。

2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即
ODBC,OEAC,OFAB
.
3.
A
111
BOC,BAOC,CAOB
。
222
二、三角形的内心
定义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即
内切圆圆心。
ABC
的内心一般用字母
I
表示，它具有如下性
质：
性质：
1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。
2.三角形的面积＝
1

三角形的周长

内切圆的半径．
2
3.
AEAF,BFBD,CDCE
；
AEBFCD
三角形的周长的一半。
4.
BIC90

111
A,CIA90

B
，
AIB90

C
。
222
三、三角形的垂心
定义：三角形三条高的交点叫重心。
ABC
的重心一般用字母
H
表示。

性质：
1.顶点与垂心连线必垂直对边，
即
AHBC,BHAC,CHAB
。
2.△
ABH
的垂心为
C
，△
BHC
的
垂心为
A
，△
ACH
的垂心为
B
。

四、三角形的“重心”：
定义：三角形三条中线的交点叫重心。
ABC的
重心一般用字母
G
表示。
性质：
1.顶点与重心
G
的连线必平分对边。
2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的
2
倍。
即
GA2GD,GB2GE,GC2GF

3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值．
即
x
G

xA
x
B
x
C
yy
B
y
C.
,y
G

A
33
4.向量性质：（1）
G AGBGC0
；
（2）
PG
11
(PAPBPC)
，5.
S
BGC
S
CGA
S
AGB
S
ABC
。
3
3
五、三角形“四心”的向量形式：
结论1：若点
O
为
ABC
所在的平面内一点，满足
OAOBOBOCOCOA
，
则点
O
为
ABC
的垂心。
结论2：若点
O
为△ABC所在的平面内一点，满足
OABCOBCAOCAB
，
则点
O
为
ABC
的垂心。
结论3 ：若点
G
满足
GAGBGC0
，则点
G
为
2 22222
ABC
的重心。
结论4：若点
G
为
ABC
所在的平面内一点，满足
1
OG(OAOBOC)
，
3
则点
G
为
ABC
的重心。
结论5：若点
I
为
ABC
所在的平面内一点，并且满足
aIAb IBcIC0

（其中
a,b,c
为三角形的三边），则点
I
为△ABC的内心。
结论6：若点
O
为
ABC
所在的平面内一点，满足
(OAOB)BA(OBOC)CB(OCOA)A C
，则点
O
为
ABC
的外心。
结论7：设
< br>

0,

，则向量
AP

(
AB
|AB||AC|

AC
)
，则动点
P
的轨迹过
ABC
的内心。

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