哈佛大学宿舍-电缆桥架安装

高中数学-三角形内心、外心、重心、垂心与向量关系
（附向量知识点）
一、三角形四心知识点
（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；
（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；
（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、向量知识点

☆零向量：长度为0的向量，记为
0
，其方向 是任意的，
0
与任意向量平行
☆单位向量：模为1个单位长度的向量 向量< br>a
0
为单位向量

｜
a
0
｜＝1
 

☆平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量平行向量也称为共线向量

uuur
uuuruuur
☆向量加法
ABBC
=
AC< br>向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：
uuuruuuruuuruuuruuur uuur
ABBCCD
L
PQQRAR
，但这时必须“首尾相连 ”．
☆实数与向量的积：
①实数λ与向量
a
的积是一个向量，记作λa
，它的长度与方向规定如下：
（Ⅰ）

a



a
；
< br>




a
0
，
（Ⅱ ）当

0
时，λ
a
的方向与
a
的方向相同；当< br>
0
时，λ
a
的方向与
a
的方向相反；当

0
时，
方向是任意的
☆两个向量共线定理：



向量
b
与非零向量
a
共线

有且只有一 个实数

，使得
b
=

a

☆平面向量的基本定理：
如果
e
1
,e
2
是一个 平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量
a
，有且只有一对实数
1
,

2
使：



a


1
e
1


2
e2
，其中不共线的向量
e
1
,e
2
叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底
☆平面向量的坐标运算：
r
r
r
r
r
r
(1) 若
a

x
1
,y
1

,b

x
2,y
2

，则
ab

x
1
x< br>2
,y
1
y
2

，
abx
1
x
2
y
1
y
2

uuur
(2) 若
A

x
1
,y
1

,B

x
2
,y
2

，则
AB

x
2
x
1
,y
2
y
1


(3) 若
a
=(x,y)，则

a
=(

x,
rr

y)
r
r
r
r
(4) 若
a

x
1
,y
1

,b

x
2
,y
2

，则
abx
1
y
2
x
2
y
1
0

r
r
r
r
(5) 若
a

x
1
,y
1

,b

x
2
,y
2< br>
，则
ab
，
x
1
x
2
y< br>1
y
2

0

☆向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质
☆两个向量的数量积：

r
r
r
r
r
r
已知两个非零向量
a
与
b
，它们的夹角为

，则< br>a
·
b
=︱
a
︱·︱
b
︱cos


r
r
r
r
叫做
a
与
b
的数量积（或内积） 规定
0a0

r
r
rr
r
a

b
bb
☆向量的投影：︱︱cos

=
r< br>∈R，称为向量在
a
方向上的投影投影的绝对值称为射影
|a|
r
rr
r
r
☆数量积的几何意义：
a·
b
等于
a
的长度与
b
在
a
方向上的 投影的乘积
☆向量的模与平方的关系：
aaa|a|

rrr
2
r
2
r
r
r
r
r
2
r
2
r
2
r
2
☆乘法公式成立：
abababab
；


r
rab

2
r
rr
2
r
2
r
rr
2
r
2
a2abb
a2abb
uuur
r
uuurr
r
r
r
00
☆向量的夹 角：已知两个非零向量
a
与
b
，作
OA
=
a
,
OB
=
b
,则∠AOB=

（
0

180
）叫做向量
a
与
r
b
的夹角
r
r
r
x
1
x
2

y
1
y
2
r
a
•
b
cos

=
co s

a
,
b

r
=
r
222 2
a
•
b
x
1

y
1

x
2

y
2
r
r
r
r
r
00
当且仅当两个非零向量
a
与
b
同方向时，θ=0，当且仅当a
与
b
反方向时θ=180，同时
0
与其它任何非零向量
之间不谈夹角这一问题
补充：
线段的定比分点

设P
1

x
1
，y
1

，P
2
x
2
，y
2

，分点P

x，y
< br>，设P
1
、P
2
是直线
l
上两点，P点在


l上且不同于P
1
、P
2
，若存在一实数
< br>，使P
1
P

PP
2
，则

叫做 P分有向线段


P
1P
2
所成的比（
0
，
P
在线段
P
1
P
2
内，
0
，
P
在
P
1< br>P
2
外），且

x
1

x
2x
1

x
2


x

x



1

2



，P为P
1
P
2
中点时，

y

yy

y
22

y

1< br>
y

1


1

2



如：ABC，A

x
1
，y
1

，B

x
2
，y
2

，C< br>
x
3
，y
3


y

y
2

y
3

x

x
2

x
3
则ABC重心G的坐标是

1
，
1



33

三、三角形四心与向量关系典型例题： < br>例1：
O
是平面上一定点，
A、B、C
是平面上不共线的三个点，动点
P
满足
OPOA

(ABAC)
，



0,

，则点
P
的轨迹一定通过
ABC
的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
分析：如图所示
ABC< br>，
D、E
分别为边
BC、AC
的中点.
ABAC2AD

OPOA2

AD

OPOAAPAP2

AD
AP

AD


点
P
的轨迹一定通过
ABC
的重心，即选
C< br>.
O
是平面上一定点，
A、B、C
是平面上不共线的三个点，例2： 动点
P
满足
OPOA

(
AB
AB

AC
AC
)
，



0,

，则点
P
的轨迹一定通过
ABC
的（ B ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
分析：

ABAC
、
分别为
AB、AC
方向上的单位向量 ，
ABAC
AC
AC
平分
BAC
,

AB
AB


点
P
的轨迹一定通过
ABC的内心，即选
B
.
例3：
O
是平面上一定点，
A、B 、C
是平面上不共线的三个点，动点
P
满足
OPOA

(
AB
ABcosB

AC
ACcosC
)
，


0,

，则点
P
的轨迹一定通过
ABC
的（ ）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
分析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC， D、E是垂足.
A
(
AB
ABcosB
AB

B C
ABcosB

AC
ACcosC
AC

BC< br>ACcosC
)
BC

E
=


B
D
C
=

ABBCcosB
ABcosB
ACBCcosC
ACcosC
=
BC
+
BC
=0

点
P
的轨迹一定通过
ABC
的垂心，即选
D< br>.
三、四心与向量的结合
（1）
OAOBOC0
O
是
ABC
的重心. < br>证法1：设
O
(
x
,
y
),
A
(< br>x
1
,
y
1
),
B
(
x
2
,
y
2
),
C
(
x
3
,
y
3
)

A
OAOBOC0
O
E

(x
1

x)

(x
2

x)

(x
3

x)

0


(y
1

y)

(y
2

y)

(y
3

y)

0
BDC
x
1

x
2

x
3

x



3


O
是
ABC
的重心.


y

y

y
23

y
1

3

证法2：如图

OAOBOCOA2OD0


AO2OD


A、O、D
三点共线，且
O
分
AD
为2：1

O
是
ABC
的重心
（2）
OAOBOB OCOCOA
O
为
ABC
的垂心.
证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足.
OAOBOBOCOB(OAOC)OBCA0
OBAC
同理
OABC
，
OCAB
A
E
O

O
为
ABC
的垂心
BDC

（3）设
a
,
b
,
c
是三角形的三条边 长，O是

ABC的内心
aOAbOBcOC0O
为
ABC
的内心.
证明：
AB
c
、
AC
b
分别为
AB、AC
方向上的单位向量，

ABAC
c

b
平分
BAC
, AO

(
AB
c

AC
b
)，令


bc
a

b

c


AO

bc
a

b

c
（ABAC
c

b
)
化简得
(abc)OAbABcAC0


aOAbOBcOC0

（4）
OAOBOC

O
为
ABC
的外心。
A
E
BDC

高中数学- 三角形内心、外心、重心、垂心与向量关系
（附向量知识点）
一、三角形四心知识点
（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；
（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；
（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、向量知识点

☆零向量：长度为0的向量，记为
0
，其方向 是任意的，
0
与任意向量平行
☆单位向量：模为1个单位长度的向量 向量< br>a
0
为单位向量

｜
a
0
｜＝1
 

☆平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量平行向量也称为共线向量

uuur
uuuruuur
☆向量加法
ABBC
=
AC< br>向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：
uuuruuuruuuruuuruuur uuur
ABBCCD
L
PQQRAR
，但这时必须“首尾相连 ”．
☆实数与向量的积：
①实数λ与向量
a
的积是一个向量，记作λa
，它的长度与方向规定如下：
（Ⅰ）

a



a
；
< br>




a
0
，
（Ⅱ ）当

0
时，λ
a
的方向与
a
的方向相同；当< br>
0
时，λ
a
的方向与
a
的方向相反；当

0
时，
方向是任意的
☆两个向量共线定理：



向量
b
与非零向量
a
共线

有且只有一 个实数

，使得
b
=

a

☆平面向量的基本定理：
如果
e
1
,e
2
是一个 平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量
a
，有且只有一对实数
1
,

2
使：



a


1
e
1


2
e2
，其中不共线的向量
e
1
,e
2
叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底
☆平面向量的坐标运算：
r
r
r
r
r
r
(1) 若
a

x
1
,y
1

,b

x
2,y
2

，则
ab

x
1
x< br>2
,y
1
y
2

，
abx
1
x
2
y
1
y
2

uuur
(2) 若
A

x
1
,y
1

,B

x
2
,y
2

，则
AB

x
2
x
1
,y
2
y
1


(3) 若
a
=(x,y)，则

a
=(

x,
rr

y)
r
r
r
r
(4) 若
a

x
1
,y
1

,b

x
2
,y
2

，则
abx
1
y
2
x
2
y
1
0

r
r
r
r
(5) 若
a

x
1
,y
1

,b

x
2
,y
2< br>
，则
ab
，
x
1
x
2
y< br>1
y
2

0

☆向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质
☆两个向量的数量积：

r
r
r
r
r
r
已知两个非零向量
a
与
b
，它们的夹角为

，则< br>a
·
b
=︱
a
︱·︱
b
︱cos


r
r
r
r
叫做
a
与
b
的数量积（或内积） 规定
0a0

r
r
rr
r
a

b
bb
☆向量的投影：︱︱cos

=
r< br>∈R，称为向量在
a
方向上的投影投影的绝对值称为射影
|a|
r
rr
r
r
☆数量积的几何意义：
a·
b
等于
a
的长度与
b
在
a
方向上的 投影的乘积
☆向量的模与平方的关系：
aaa|a|

rrr
2
r
2
r
r
r
r
r
2
r
2
r
2
r
2
☆乘法公式成立：
abababab
；


r
rab

2
r
rr
2
r
2
r
rr
2
r
2
a2abb
a2abb
uuur
r
uuurr
r
r
r
00
☆向量的夹 角：已知两个非零向量
a
与
b
，作
OA
=
a
,
OB
=
b
,则∠AOB=

（
0

180
）叫做向量
a
与
r
b
的夹角
r
r
r
x
1
x
2

y
1
y
2
r
a
•
b
cos

=
co s

a
,
b

r
=
r
222 2
a
•
b
x
1

y
1

x
2

y
2
r
r
r
r
r
00
当且仅当两个非零向量
a
与
b
同方向时，θ=0，当且仅当a
与
b
反方向时θ=180，同时
0
与其它任何非零向量
之间不谈夹角这一问题
补充：
线段的定比分点

设P
1

x
1
，y
1

，P
2
x
2
，y
2

，分点P

x，y
< br>，设P
1
、P
2
是直线
l
上两点，P点在


l上且不同于P
1
、P
2
，若存在一实数
< br>，使P
1
P

PP
2
，则

叫做 P分有向线段


P
1P
2
所成的比（
0
，
P
在线段
P
1
P
2
内，
0
，
P
在
P
1< br>P
2
外），且

x
1

x
2x
1

x
2


x

x



1

2



，P为P
1
P
2
中点时，

y

yy

y
22

y

1< br>
y

1


1

2



如：ABC，A

x
1
，y
1

，B

x
2
，y
2

，C< br>
x
3
，y
3


y

y
2

y
3

x

x
2

x
3
则ABC重心G的坐标是

1
，
1



33

三、三角形四心与向量关系典型例题： < br>例1：
O
是平面上一定点，
A、B、C
是平面上不共线的三个点，动点
P
满足
OPOA

(ABAC)
，



0,

，则点
P
的轨迹一定通过
ABC
的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
分析：如图所示
ABC< br>，
D、E
分别为边
BC、AC
的中点.
ABAC2AD

OPOA2

AD

OPOAAPAP2

AD
AP

AD


点
P
的轨迹一定通过
ABC
的重心，即选
C< br>.
O
是平面上一定点，
A、B、C
是平面上不共线的三个点，例2： 动点
P
满足
OPOA

(
AB
AB

AC
AC
)
，



0,

，则点
P
的轨迹一定通过
ABC
的（ B ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
分析：

ABAC
、
分别为
AB、AC
方向上的单位向量 ，
ABAC
AC
AC
平分
BAC
,

AB
AB


点
P
的轨迹一定通过
ABC的内心，即选
B
.
例3：
O
是平面上一定点，
A、B 、C
是平面上不共线的三个点，动点
P
满足
OPOA

(
AB
ABcosB

AC
ACcosC
)
，


0,

，则点
P
的轨迹一定通过
ABC
的（ ）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
分析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC， D、E是垂足.
A
(
AB
ABcosB
AB

B C
ABcosB

AC
ACcosC
AC

BC< br>ACcosC
)
BC

E
=


B
D
C
=

ABBCcosB
ABcosB
ACBCcosC
ACcosC
=
BC
+
BC
=0

点
P
的轨迹一定通过
ABC
的垂心，即选
D< br>.
三、四心与向量的结合
（1）
OAOBOC0
O
是
ABC
的重心. < br>证法1：设
O
(
x
,
y
),
A
(< br>x
1
,
y
1
),
B
(
x
2
,
y
2
),
C
(
x
3
,
y
3
)

A
OAOBOC0
O
E

(x
1

x)

(x
2

x)

(x
3

x)

0


(y
1

y)

(y
2

y)

(y
3

y)

0
BDC
x
1

x
2

x
3

x



3


O
是
ABC
的重心.


y

y

y
23

y
1

3

证法2：如图

OAOBOCOA2OD0


AO2OD


A、O、D
三点共线，且
O
分
AD
为2：1

O
是
ABC
的重心
（2）
OAOBOB OCOCOA
O
为
ABC
的垂心.
证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足.
OAOBOBOCOB(OAOC)OBCA0
OBAC
同理
OABC
，
OCAB
A
E
O

O
为
ABC
的垂心
BDC

（3）设
a
,
b
,
c
是三角形的三条边 长，O是

ABC的内心
aOAbOBcOC0O
为
ABC
的内心.
证明：
AB
c
、
AC
b
分别为
AB、AC
方向上的单位向量，

ABAC
c

b
平分
BAC
, AO

(
AB
c

AC
b
)，令


bc
a

b

c


AO

bc
a

b

c
（ABAC
c

b
)
化简得
(abc)OAbABcAC0


aOAbOBcOC0

（4）
OAOBOC

O
为
ABC
的外心。
A
E
BDC