(交叉分配系数)向量与三角形内心、外心、重心、垂心

温州中考分数-推广普通话资料

向量与三角形的重心、垂心、内心、外心的关系(欧拉线的介绍)
一、四心的概念介绍、
（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；
（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；
（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相
等；
（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。

二、四线与向量的结合
1.定理：如图，设OP

1
OA
2
OB,
PBPA

则

1


2
=1，且

1
=,

2
= .
ABAB
(记忆:交叉分配系数)
2.若M是OP上的任意一点，则OM=

(
OAOB
)
(记忆:分母对应分配系数)
APBP

应用1:
（1）中线: （2）高线:

（3）角平分线: （4）中垂线:

应用2.四线上的动点表示:
(1)中线上的动点:

(ABAC)
或

(
(2)高线上的动点:

(
ABAC

)

|AB|sinB|AC|sinC
)
,
AB
ABcosB
AB
AB

AC
ACcosC
AC
AC
)

(3)角平分线上的动点:

(

(4)中垂线上的动点:

OP

OBOCABAC


(

)
,

2
|AB|cosB|AC|cosC

三、四心与向量的结合
1.
定理：设O是ABC内任意一点，
则S
BOC
OAS AOC
OBS
AOB
OC0
（记忆：拉力平衡原则）
应用:
（1）
O
是
ABC
的重心.


S
BOC

=1:1:1
：
S
AO C
：
S
AOB

a
：
b
：
 

OAOBOC0

tanB：tanC

（2）
O
为
ABC
的垂心.


S BOC
：S
AOC
：S
AOB
tanA：


tanAOAtanBOBtanCOC0

（3）O为
 ABC
的内心.

S
BOC
：S
AOC
：S AOB
a：b：c
=sinA:sinB:sinC

aOAc

OC0或sinAOAsinBOBsinCOC0
aOAbOBcOC0



b

OB







（4）
O
为
ABC
的外心

sinAOC：sinAOBsin2A:sin2B:sin2C


S
BOC
：S
AOC
：S
AOB
sinBOC ：


sin2AOAsin2BOBsin2COC0

2.四心的向量表示：
（1）
O
是
ABC
的重心.


PO
1
(PAPBPC)

3
（2）
O
为
ABC
的垂心.

OAOBOBOCOCOA

（3）O为
ABC
的内心.

OA(
ABACBCB ACACB
)OB()OC()0

ABACBCBACACB
（4）
O
为
ABC
的外心

OAOBOC

四．典型例题：
一、与三角形“四心”相关的向量问题
题1：已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

ABAC

OPOA




,

[0,)
. 则P点的轨迹一定通过△ABC的
|AB||AC|

A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
题2：已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
OPOA

(AB AC)
,

[0,)
. 则P点的轨迹一定通过△ABC的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
题3：已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
OPOA

(
ABAC
)
,

[0, )
, 则动点P的轨迹一定通过△ABC的
|AB|sinB|AC|sinC

A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
题4：已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
OPOA

(
ABAC
)
,

[0,)
, 则动点P的轨迹一定通过△
|AB|cosB|AC|cosC
ABC的( )
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
题5：已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
OP 
OBOCABAC


()
,

[0,)
, 则动点P的轨迹一定通
2
|AB|cosB|AC|cosC
过△ABC的( )
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
题6：三个不共线的向量
OA,OB,OC
满足
OA
(
=
OC
(
ABCA
BA
+
CB
) 
)
=
OB(
|AB||CA|
|BA|
|CB|
BCCA

)
= 0，则O点是△ABC的( )
|BC||CA|
A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心
题7：已知O是△ABC所在平面上的一点，若
OAOBOC
= 0, 则O点是△ABC
的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
题8：已知O是△ABC所在平面上的一点，若
P O
1
(PAPBPC)
(其中P为平
3
面上任意一点), 则O点是△ABC的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
题9：已知O是△ABC所在平面上的一点，若
O AOBOBOCOCOA
，则O
点是△ABC的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
题10：已知O为△ABC 所在平面内一点，满足
|OA|
2
|BC|
2
|OB|
2
|CA|
2
=
|OC|
2
|AB|
2
，则O点是△ABC的( )
A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心
题11：已知O是△ABC所在平面上的一点，若
(OAOB)AB
=
(OBOC)BC
=
(OCOA)CA
= 0，则O点是△ABC的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
题12：已知O是△ABC所在平面上的一点，若
aOAbOBcOC
= 0，则O点是△
ABC的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
题13：已知O是△ABC所在平面上的一点，若
PO
aPAbPBcPC
(其中P是
abc
△ABC所在平面内任意一点)，则O点是△ABC的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
题14：△ABC的外接圆的圆心为O，两边上的高的交点为H，
OH
=
m(OAOBOC)
，则实数m =____________.

二、与三角形形状相关的向量问题
题15：已知非零向量
AB
与
AC
满足
(
ABAC

)
BC
= 0且
|AB||AC|
ABAC1

，则△ABC为( )
|AB||AC|
2
A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形
C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形
题1 6：已知O为△ABC所在平面内一点，满足
|OBOC||OBOC2OA|
，则 △ABC一定是( )
A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形 D. 等边三角形
题17：已知△ABC，若对任意
tR
，
|BAtBC|
≥
|A C|
，则△ABC( )
A. 必为锐角三角形 B. 必为钝角三角形
C. 必为直角三角形 D. 答案不确定
题18：已知
a
, b, c分别为△ABC中∠A, ∠B, ∠C的对边，G为△ABC的重心，
且
aGAbGBcGC
= 0, 则△ABC为( )
A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形 D. 等边三角形
三、与三角形面积相关的向量问题
题19：已知点O是△ABC内一点，
OA2OB3OC
= 0, 则：
(1) △AOB与△AOC的面积之比为___________________；
(2) △ABC与△AOC的面积之比为___________________；
(3) △ABC与四边形ABOC的面积之比为_____________.
四、向量的基本关系(共线)
题20：如图，已知点G是△ABC的重心，
若
PQ
过△ABC的重心，记
CA
=
a
,
P
A
C
G
M
Q
B
CB
= b,
CP
= m
a
,
CQ
= nb , 则
11

=_____.
mn
练习．
O
为
ABC
平面上一定点，该平面上一动点
p
满足
M{P|OPOA

(
AB
AB
sinC
AC
AC
sinB)，

0}
，则
ABC
的（）
一定属于集合
M
.
（A）重心（B）垂心

（C）外心

（D）内心

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