高中数学2017-2018高三专题复习-向量专题(1)向量与三角形四心内心、外心、重心、垂心(附向量知识点)

开业-创卫征文

向量专题一三角形四心与向量关系
-内心、外心、重心、垂心（附向量知识点）
一、三角形四心知识点
（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；
（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；
（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、向量知识点

☆零向量：长度为0的向量，记为
0
，其方向是任意的，
0
与任意向量平行

☆单位向量：模为1个单位长度的向量向量
a
0
为单位向量

｜
a
0
｜＝1
☆平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量平行向量也称为共线向量

☆向量加法
ABBC
=
AC
向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：
ABBCCD

PQQR
，但这时必须“首尾相连”．
A
☆实数与向量的积：

①实数λ与向量
a
的积是一个向量，记作λ
a
，它的长度与方向规定如下：
（Ⅰ）

a



a
；


（Ⅱ）当

0
时，λ
a
的方向与
a
的方向相同；当

0
时，λ
a
的方向与
a
的方向相反；当



0
时，
a0
，方向是任意的

☆两个向量共线定理：



向量
b
与非零向量
a
共线

有且只有一个实数

，使得
b
=

a

☆平面向量的基本定理：


如果
e
1
,e 2
是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量
a
，有且只有一
1



对实数

1
,

2
使：
a

1
e
1


2
e
2
，其中不共线的向量 e
1
,e
2
叫做表示这一平面内所有向量的一组
基底
☆平面向量的坐标运算：
(1) 若
a

x
1
,y
1

,b

x
2
,y
2

，则
ab

x
1
x
2
,y
1
y
2

，
abx
1
x
2
y
1
y
2

(2) 若
A

x1
,y
1

,B

x
2
,y
2

，则
AB

x
2
x
1
, y
2
y
1


(3) 若
a
=(x,y)，则

a
=(

x,

y)
(4) 若
a

x
1
,y1

,b

x
2
,y
2

，则
abx
1
y
2
x
2
y
1
0

(5) 若
a

x
1
,y
1
,b

x
2
,y
2

，则
ab
，
x
1
x
2
y
1
y
2
0

☆向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和
性质
☆两个向量的数量积：
已知两个非零向量
a与
b
，它们的夹角为

，则
a
·
b
= ︱
a
︱·︱
b
︱cos


叫做
a
与
b
的数量积（或内积）规定
0a0

☆向量的投影：︱
b
︱cos

=
ab
∈R，称为向量
b
在
a
方向上的投影投影的绝对值称为射影
|a|

☆数量积的几何意义：
a
·
b
等于
a
的长度与 b
在
a
方向上的投影的乘积
☆向量的模与平方的关系：
aaa
2
|a|
2

☆乘法公式成立：
abababab
；
22
 
2
2

ab

2
a
2
 2abb
2
a2abb

2
2
☆向量的夹角：已知两个非零向量
a
与
b
，作
OA
=
a
,
OB
=
b
,则∠AOB=

（
0
0

180
0
）
叫做向量
a
与
b 的夹角
2

cos

=
cos
a
,
b
ab
ab
=
x
1
x
2
y
1
y
2
x
1
y
1
x
2
y
2
2222
当且仅当两个非零向量
a
与
b
同方向时，θ=0
0
，当且仅当
a
与
b
反方向时θ=180
0
，同时
0与其
它任何非零向量之间不谈夹角这一问题
补充：
线段的定比分点

设P
1

x
1
，y
1

，P2

x
2
，y
2

，分点P

x，y

，设P
1
、P
2
是直线
l
上两点，P点在


l上且不同于P
1
、P
2
，若存在一实数，使P
1
PPP
2
，则叫做P分有向线段


P
1
P
2
所成的比（0，P在线段P
1
P
2
内，0，P在P
1
P
2
外），且

x
1
x
2
x
1
x
2

 x
x



1
2



，P为P
1
P
2
中点时，

yyyy
22

y
1

y
1


12



如：ABC，A
x
1
，y
1

，B

x
2
， y
2

，C

x
3
，y
3

yy
2
y
3

xx
2
x
3

则ABC重心G的坐标是

1
，
1



33

3

三、三角形四心与向量关系典型例题：
例1：
O
是平面上一定点，
A、B、C
是平面上不共线的三个点，动点
P
满足
OPOA 
(ABAC)
，



0,
 ，则点
P
的轨迹一定通过
ABC
的（）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
分析：如图所示
ABC
，
D、E
分别为边
BC、AC
的中点.
ABAC2AD

OPOA2

AD

OPOAAPAP2

AD
AP

AD


点
P
的轨迹一定通过
ABC
的重心，即选
C .
例2：
O
是平面上一定点，
A、B、C
是平面上不共线的三个点，动点
P
满足
OPOA

(
AB
AB 
AC
AC
)
，



0, 
，则点
P
的轨迹一定通过
ABC
的（ B ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
分析：

ABAC
分别为
AB
、
、AC
方向上的单位向量，
ABAC
AC
AC
平分
BAC
,

AB
AB


点
P
的轨迹一定通过
A BC
的内心，即选
B
.
例3：
O
是平面上一定点，
A、B、C
是平面上不共线的三个点，动点
P
满足
OPOA

(
AB
ABcosB

AC
ACcosC

)
，



0,

，则点
P
的轨迹一定通过
ABC
的（）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
分析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC， D、E是垂足.
A
(
AB
ABcosB

AC
ACcosC
)
BC

E
B
4

D
C

=
ABBC
ABcosB

ACBC
ACc osC

=
ABBCcosB
ABcosB

ACBCc osC
ACcosC
=
BC
+
BC
=0
点
P
的轨迹一定通过
ABC
的垂心，即选
D
.
三、四心与向量的结合
（1）
OAOBOC0
O
是
ABC
的重心. 证法1：设
O
(
x
,
y
),
A
( x
1
,
y
1
),
B
(
x
2
,
y
2
),
C
(
x
3
,
y
3
)

A
OAOBOC0
O
E

(x
1
x)(x
2
x)(x
3
x) 0


(y
1
y)(y
2
y)(y
3
y)0
BDC
x
1
x
2
x
3

x


3




O
是
ABC
的重心.

y
y1
y
2
y
3

3

证法2：如图

OAOBOCOA2OD0


AO2OD


A、O、D
三点共线，且
O
分
AD
为2：1

O
是
ABC
的重心
（2）
OAOBOB OCOCOA
O
为
ABC
的垂心.
证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足.
OAOBOBOCOB(OAOC)OBCA0
OBAC
同理
OABC
，
OCAB

O
为
ABC
的垂心
（3）设
a
,
b
,
c
是三角形的三条边长，O是

ABC的内心
B
A
E
O
DC
5

aOAbOBcOC0O
为
ABC
的内心.
证明：

AB
c
、
AC
b
分别为
AB、AC
方向上的单位向量，

ABAC
c

b
平分
BAC
, AO

(
ABAC
c

b
)，令


bc
abc


AO
bc
AB
abc
（
c

AC
b
)
化简得
(abc)OAbABcAC0


aOAbOBcOC0

（4）
OAOBOC

O
为
ABC
的外心。
6

A
E
BDC

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