小学奥数举一反三六年级(全)
有关雷锋的歌曲-力的分解教案
第一周 定义新运算
专题简析:
定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义,从而解答某些特殊算式的一种运
算。
解
答定义新运算,关键是要正确地理解新定义的算式含义,然后严格按照新定义的计算
程序,将数值代入,
转化为常规的四则运算算式进行计算。
定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式,它使用的是一
些特殊的运算符号,如:
*、等,这是与四则运算中的“、、、·”不同的。
新定义的算式中有括号的,要先算括号里面的。但它在没有转化前,是不适合于各种
运算定律的。
例题1。
假设a*b=(a+b)+(a-b),求13*5和13*(5*4)。
13*5=(13+5)+(13-5)=18+8=26
5*4=(5+4)+(5-4)=10
13*(5*4)=13*10=(13+10)+(13-10)=26
练习1
1..将新运算“*”定义为:a*b=(a+b)×(a-b).求27*9。
2
2.设a*b=a+2b,那么求10*6和5*(2*8)。
1
3.设a*b=3a- ×b,求(25*12)*(10*5)。
2
例题2。
设p、q是两个数,规定:p△q=4×q-(p+q)÷2。求3△(4△6).
3△(4△6).
=3△【4×6-(4+6)÷2】
=3△19
=4×19-(3+19)÷2
=76-11
=65
练习2
1.
设p、q是两个数,规定p△q=4×q-(p+q)÷2,求5△(6△4)。
2
2.
设p、q是两个数,规定p△q=p+(p-q)×2。求30△(5△3)。
MN1
3.
设M、N是两个数,规定M*N= + ,求10*20- 。
NM4
例题3。
如果1*5=1+11+111+1111+11111,2*4=2+22+222+2222,3*
3=3+33+333,4*2=4+44。那
么7*4=?,210*2=?
7*4=7+77+777+7777=8638
210*2=210+210210=210420
练习3
1. 如果1*5=1+11+111+1111+11111,2*4=2+22+222+2222
,3*3=3+33+333,„..那么,
4*4=?,18*3=?
2.
规定a*b=a+aa+aaa+aaa+aaaa„„..a,那么8*5=?
(b-1)个a
111
3. 如果2*1= ,3*2= ,4*3=
,那么(6*3)÷(2*6)=?。
233444
例题4。
111
规定②=1×2×3,③=2×3×4
,④=3×4×5,⑤=4×5×6,„„如果 - = ×
⑥⑦⑦
A,那么A是几?
111
A =( - )÷
⑥⑦⑦
11
=( - )×⑦
⑥⑦
⑦
= -1
⑥
6×7×8
=
-1
5×6×7
3
=
5
练习4
11
1.
规定:②=1×2×3,③=2×3×4,④=3×4×5,⑤=4×5×6,„„..如果 -
=
⑧⑨
1
×A,那么A=?。
⑨
11
2.
规定:③=2×3×4,④=3×4×5,⑤=4×5×6,⑥=5×6×7,„..如果 +
⑩(11)
=
1
×
□
,那么
□
=?。
(11)
3. 如果1※2=1+2,2※3=2+3+4,„.5※6=5+6+7+8+9
+10,那么x※3=54中,x=?
例题5
1
设a⊙b=4a-2b+ ab,求x⊙(4⊙1)=34中的未知数x。
2
1
4⊙1=4×4-2×1+ ×4×1=16
2
1
X⊙16=4x-2×16+ ×x×16
2
=12x-32
X =5.5
练习5
1.
设a⊙b=3a-2b,已知x⊙(4⊙1)=7求x。
2a-b
2.
对两个整数a和b定义新运算“▽”:a▽b= ,求6▽4+9▽8。
(a+b)×(a-b)
4xy
3.
对任意两个整数x和y定于新运算,“*”:x*y=
(其中m是一个确定的整数)。
mx+3y
如果1*2=1,那么3*12=?
第二周 简便运算(一)
专题简析:
根据算式的结构和数
的特征,灵活运用运算法则、定律、性质和某些公式,可以把一
些较复杂的四则混合运算化繁为简,化难
为易。
例题1。
计算4.75-9.63+(8.25-1.37)
原式=4.75+8.25-9.63-1.37
=13-(9.63+1.37)
=13-11
=2
练习1
计算下面各题。
89551
1. 6.73-2
+(3.27-1 ) 2. 7 -(3.8+1 )-1
1717995
717717
3. 14.15-(7 -6 )-2.125
4. 13 -(4 +3 )-0.75
82013413
例题2。
11
计算333387 ×79+790×66661
24
原式=333387.5×79+790×66661.25
=(33338.75+66661.25)×790
=100000×790
=79000000
练习2
计算下面各题:
1143
1. 3.5×1 +125%+1 ÷
2. 975×0.25+9 ×76-9.75
4254
21
3. 9
×425+4.25÷ 4.
0.9999×0.7+0.1111×2.7
560
例题3。
计算:36×1.09+1.2×67.3
原式=1.2×30×1.09+1.2×67.3
=1.2×(32.7+67.3)
=1.2×100
=120
疯狂操练 3
计算:
1. 45×2.08+1.5×37.6
2. 52×11.1+2.6×778
3. 48×1.08+1.2×56.8
4. 72×2.09-1.8×73.6
例题4。
322
计算:3
×25 +37.9×6
555
32
原式=3 ×25
+(25.4+12.5)×6.4
55
32
=3
×25 +25.4×6.4+12.5×6.4
55
=(3.6+6.4)×25.4+12.5×8×0.8
=254+80
=334
练习4
计算下面各题:
1.
6.8×16.8+19.3×3.2
1371
2. 139× +137×
138138
3. 4.4×57.8+45.3×5.6
例题5。
计算81.5×15.8+81.5×51.8+67.6×18.5
原式=81.5×(15.8+51.8)+67.6×18.5
=81.5×67.6+67.6×18.5
=(81.5+18.5)×67.6
=100×67.6
=6760
练习5
1. 53.5×35.3+53.5×43.2+78.5×46.5
2. 235×12.1+235×42.2-135×54.3
3
3.
3.75×735- ×5730+16.2×62.5
8
答案:
练一: 1、=6 2、=1 3、=11 4、=5
练二: 1、=7.5 2、=975 3、=4250 4、=0.9999
练三: 1、=150 2、=2600 3、=120 4、=18
68
练四: 1、=176 2、=138 3、=508
69
练五: 1、=7850 2、=5430 3、=1620
第3讲 简便运算(二)
专题简析:
计算过程中,我们先整体地分析算
式的特点,然后进行一定的转化,创造条件运用乘法
分配律来简算,这种思考方法在四则运算中用处很大
。
例题1。
计算:1234+2341+3412+4123
简析
注意到题中共有4个四位数,每个四位数中都包含有1、2、3、4这几个
数字,而且它们都分别在千位
、百位、十位、个位上出现了一次,根据位值计数的原则,
可作如下解答:
原式=1×1111+2×1111+3×1111+4×1111
=(1+2+3+4)×1111
=10×1111
=11110
练习1
1.
23456+34562+45623+56234+62345
2.
45678+56784+67845+78456+84567
3.
124.68+324.68+524.68+724.68+924.68
例题2。
4
计算:2 ×23.4+11.1×57.6+6.54×28
5
原式=2.8×23.4+2.8×65.4+11.1×8×7.2
=2.8×(23.4+65.4)+88.8× 7.2
=2.8×88.8+88.8×7.2
=88.8×(2.8+7.2)
=88.8×10
=888
练习2
计算下面各题:
1.
99999×77778+33333×66666
2.
34.5×76.5-345×6.42-123×1.45
3.
77×13+255×999+510
例题3。
1993×1994-1
计算
1993+1992×1994
(1992+1)×1994-1
原式=
1993+1992×1994
1992×1994+1994-1
=
1993+1992×1994
=1
练习3
计算下面各题:
362+548×3611988+1989×1987
1.
2.
362×548-1861988×1989-1
204+584×19911
3.
-
1992×584-380143
例题4。
有一串数1,4,9,
16,25,36„„.它们是按一定的规律排列的,那么其中第2000个
数与2001个数相差多少
?
222
2001-2000=2001×2000-2000+2001
=2000×(2001-2000)+2001
=2000+2001
=4001
练习4
计算:
222
1. 1991-1990 2.
9999+19999 3. 999×274+6274
例题5。
2255
计算:(9 +7 )÷( + )
7979
656555
原式=( + )÷( + )
7979
1111
=【65×( + )】÷【5×(
+ )】
7979
=65÷5
=13
练习5
计算下面各题:
836354
1. ( +1 +
)÷( + + )
97111179
712510
2. (3 +1 )÷(1
+ )
11131113
6324218
3. (96 +36 )÷(32
+12 )
73257325
答案:
练一: 1、=222220
2、=333330 3、=2623.4
练二: 1、=9999900000
2、=246 3、=256256
142
练三: 1、=1
2、=1 3、=
143
练四:
1、=3981 2、=100000000 3、=280000
练五: 1、=2 2、=2.5 3、=3
第4讲 简便运算(三)
专题简析:
在进行分
数运算时,除了牢记运算定律、性质外,还要仔细审题,仔细观察运算符号
和数字特点,合理地把参加运
算的数拆开或者合并进行重新组合,使其变成符合运算定律
的模式,以便于口算,从而简化运算。
例题1。
计算:(1)
44
45
×37
(2) 27×
15
26
(1)
原式=(1-
1
45
)×37
(2)
=1×37-
1
45
×37
=37-
37
45
=36
8
45
练习1
用简便方法计算下面各题:
1.
14
15
×8 2.
2
25
×126 3. 35
4.
73×
741997
75
5.
1998
×1999
例题2。
计算:73
1
15
×
1
8
原式=(72+
16
15
)×
1
8
=72×
1161
8
+
15
×
8
=9+
2
15
=9
2
15
练习2
计算下面各题:
1.
64
1111
17
×
9
2.
22
20
×
21
原式=(26+1)×
15
26
=26×
1515
26
+
26
=15+
15
26
=15
15
26
×
11
36
111314
3. ×57 4.
41 × +51 ×
763445
例题3。
13
计算:
×27+ ×41
55
33
原式= ×9+ ×41
55
3
= ×(9+41)
5
3
= ×50
5
=30
练习3
计算下面各题:
1315151
1. ×39+
×27 2. ×35+ ×17 3. ×5+ ×5+ ×10
4466888
例题4。
515256
计算: × + × + ×
6139131813
152565
原式= × + ×
+ ×
6139131813
1265
=(
+ + )×
691813
135
= ×
1813
5
=
18
练习4
计算下面各题:
1.
1451133161
× + ×
2。 × + × + ×
12
5
3. ×79 +50× + ×
4。 × + × + ×3
916152
例题5。
11998
计算:(1)166 ÷41
(2) 1998÷1998
201999
11998×1999+1998
解:
(1)原式=(164+2 )÷41 (2)原式=1998÷
201999
411998×2000
=164÷41+ ÷41 =1998÷
201999
11999
=4+
=1998×
201998×2000
11999
=4 =
202000
练习5
计算下面各题:
223811
1、 54 ÷17
2、 238÷238 3、 163 ÷41
52391339
答案:
722521997
练一:
1、=7 2、=10 3、=10 4、=72
5、=1997
8
211
练二: 1、=7 2、=1
3、=8 4、=72
17206
练三: 1、=30
2、=20 3、=5
117
练四: 1、= 2、=
3、=50 4、=
17416
123939
练五: 1、=3
2、= 3、=3
524040
第5讲
简便运算(四)
专题简析:
前面我们介绍了运用定律和性质以及数的特点进行巧
算和简算的一些方法,下面再向同
学们介绍怎样用拆分法(也叫裂项法、拆项法)进行分数的简便运算。
运用拆分法解题主要是使拆开后的一些分数互相抵消,达到简化运算的目的。一般地,
形如111111
的分数可以拆成 - ;形如 的分数可以拆成 ×(
-
a×(a+1)aa+1a×(a+n)na
1a+b11
),形如
的分数可以拆成 + 等等。同学们可以结合例题思考其中的规律。
a+na×bab
例题1。
计算:
1111
+ + +„..+
1×22×33×499×100
1111111
原式=(1-
)+( - )+( - )+„..+ ( - )
2233499100
1111111
=1- + - +
- +„..+ -
2233499100
1
=1-
100
99
=
100
练习1
计算下面各题:
1111
1. + + +„..+
4×55×66×739×40
11111
2. + + + +
10×1111×1212×1313×1414×15
111111
3. +
+ + + +
2612203042
1111
4. 1- + + +
6425672
例题2。
计算:
1111
+ +
+„..+
2×44×66×848×50
22221
原式=( + + +„..+ )×
2×44×66×848×502
111111111
=【( - )+( - )+( - )„..+ ( - )】×
24466848502
111
=【 - 】×
2502
6
=
25
练习2
计算下面各题:
1111
1. + + +„..+
3×55×77×997×99
1111
2. + + +„..+
1×44×77×1097×100
1111
3. + + +„..+
1×55×99×1333×37
11111
4. + + + +
42870130208
例题3。
179111315
计算:1
- + - + -
31220304256
原式=1 -(
+ )+( + )-( + )+( + )-( + )
33445566778
=1 - - + + - -
+ + - -
33445566778
1
=1-
8
7
=
8
练习3
计算下面各题:
157911
1. 1 + - + -
26122030
19111315
2. 1 - + - +
420304256
3.
819981998
+ + + +
1×22×33×44×55×6
7911
4. 6× - ×6+ ×6
122030
例题4。
111111
计算: + + + +
+
248163264
11111111
原式=( + + +
+ + + )-
2481632646464
1
=1-
64
63
=
64
练习4
计算下面各题:
1111
1. + + +„„„+
248256
22222
2. + + + +
392781243
3. 9.6+99.6+999.6+9999.6+99999.6
例题5。
111
计算:(1+ + + )×( + + +
)-(1+ + + + )×( + + )
23423452345234
111111
设1+ + + =a
+ + =b
234234
11
原式=a×(b+
)-(a+ )×b
55
11
=ab+
a-ab- b
55
1
= (a-b)
5
1
=
5
练习5
11111
1. ( + + + )×( + + + )-( + + + + )×(
+ + )
2345345623456345
11111
2. (
+ + + )×( + + + )-( + + + + )×( + + )
8911
3. (1+
+
1111111111
+ + )×(
+ + + )-(1+ + +
02001
1111
)×( + + )
2001
答案:
9168
练1 1、 = 2、
= 3、 = 4、 =
403079
163395
练2 1、 = 2、 =
3、 = 4、 =
991003716
51
练3 1、
=1 2、 =1 3、 =1665 4、 =3
68
255242
练4 1、 = 2、 = 3、
=111108
256243
111
练5 1、 = 2、 =
3、 =
12962002
第六周 转化单位“1”(一)
专题简析:
把不同的数量当作单位“1”,得到的分率可以在一定的条件下转化。
acacab
如果甲是乙的 ,乙是丙的 ,则甲是丙的 ;如果甲是乙的 ,则乙是甲的
;如
bdbdba
accabcaaad
果甲的 等于乙的 ,则甲是乙的 ÷ =
,乙是甲的 ÷ = 。
bddbadbbbc
例题1。
24
乙数是甲数的 ,丙数是乙数的 ,丙数是甲数的几分之几?
35
248
× =
3515
练习1
33
1. 乙数是甲数的 ,丙数是乙数的
,丙数是甲数的几分之几?
45
11
2. 一根管子,第一次截去全长的
,第二次截去余下的 ,两次共截去全长的几分之几?
42
3. 一个旅客从甲城坐火车到乙
城,火车行了全程的一半时旅客睡着了。他醒来时,发现剩
1
下的路程是他睡着前所行路程的
。想一想,剩下的路程是全程的几分之几?他睡着时
4
火车行了全程的几分之几?
例题2。
14
修一条8000米的水渠,第一周修了全长的
,第二周修的相当于第一周的 ,第二周
45
修了多少米?
14
解一:8000× × =1600(米)
45
14
解二:8000×( × )=1600(米)
45
答:第二周修了1600米。
练习2
用两种方法解答下面各题:
11
1. 一堆黄沙30吨,第一次用去总数的 ,第二次用去的是第一次的1
倍,第二次用去
54
黄沙多少吨?
17
2.
大象可活80年,马的寿命是大象的 ,长颈鹿的寿命是马的 ,长颈鹿可活多少年?
28
11
3. 仓库里有化肥30吨,第一次取出总数的 ,第二次取出余下的
,第二次取出多少吨?
53
例题3。
12
晶晶三天看完一本书,第一天看了全书的 ,第二天看了余下的
,第二天比第一天多
45
看了15页,这本书共有多少页?
121
解:
15÷【(1- )× - 】=300(页)
454
答:这本书有300页。
练习3
13
1.
有一批货物,第一天运了这批货物的 ,第二天运的是第一天的
,还剩90吨没有运。
45
这批货物有多少吨?
12
2.
修路队在一条公路上施工。第一天修了这条公路的 ,第二天修了余下的
,已知这两
43
天共修路1200米,这条公路全长多少米?
24
3.
加工一批零件,甲先加工了这批零件的 ,接着乙加工了余下的
。已知乙加工的个数
59
比甲少200个,这批零件共有多少个?
例题4。
4
男生人数是女生人数的 ,女生人数是男生人数的几分之几?
5
45
解:把女生人数看作单位“1”。 1÷ =
54
5
把男生人数看作单位“1”。 5÷4=
4
练习4
3
1. 停车场里有小汽车的辆数是大汽车的
,大汽车的辆数是小汽车的几分之几?
4
6
2. 如果山羊的只数是绵羊的
,那么绵羊的只数是山羊的几分之几?
7
3
3. 如果花布的单价是白布的1
倍,则白布的单价是花布的几分之几?
5
例题5。
11
甲数的
等于乙数的 ,甲数是乙数的几分之几,乙数是甲数的几倍?
34
113111
解:
÷ = ÷ =1
434343
31
答:甲数是乙数的 ,乙数是甲数的1 。
43
练习5
32
1. 甲数的
等于乙数的 ,甲数是乙数的几分之几?乙数是甲数的几分之几?
45
25
2.
甲数的1 倍等于乙数的 ,甲数是乙数的几分之几?乙数是甲乙两数和的几分之几?
36
32
3. 甲数是丙数的 ,乙数是丙数的 ,甲数是乙数的几分之几?乙数是甲
数的几分之几?
45
(想一想:这题与第一题有什么不同?)
答案:
9513
练1 1、 = 2、 = 3、 = =
20888
练2 1、 =7.5(吨) 2、 =35(年) 3、 =8吨
练3 1、 =150吨 2、 =1600米 3、 =1500个
115
练4 1、 =1 2、=1 3、 =
368
871278
练5 1、 = =1 2、 = =
3、=1 =
15823815
第七周 转化单位“1”(二)
专题简析:
我们必须重视转化训练。通过转化训练,既可理解数量关系的实质,又可拓展我们
的
解题思路,提高我们的思维能力。
例题1。
23
甲数是乙数的 ,乙数是丙数的 ,甲、乙、丙的和是216,甲、乙、丙各是多少?
34
321
解法一:把丙数看所单位“1”那么甲数就是丙数的 ×
= ,
432
332
丙:216÷(1+ + ×
)=96
443
3
乙:96× =72
4
2
甲:72× =48
3
34
解法二:可将“乙数是丙数的 ”转化成“丙数是乙数的
”,把乙数看作单位“1”。
43
24
乙:216÷(
+1+ )=72
33
2
甲:72× =48
3
3
丙:72÷ =96
4
233
解法三:将条件“甲数是乙数的 ”转化为“乙数是甲数的
”,再将条件“乙数是丙数的 ”
324
4
转化为“丙数是乙数的
”,以甲数为单位“1”。
3
334
甲:216÷(1+ + × )=48
223
3
乙:48× =72
2
4
丙:72× =96
3
答:甲数是48,乙数是72,丙数是96。
练习1
下面各题怎样计算简便就怎样计算:
53
1. 甲数是乙数的 ,乙数是丙数的
,甲、乙、丙三个数的和是152,甲、乙、丙三个数
64
各是多少?
21
2. 橘子的千克数是苹果的 ,香蕉的千克数是橘子的
,香蕉和苹果共有220千克,橘子
32
有多少千克?
3.
某中学的初中部三个年级中,初一的学生数是初二学生数的
9
,初二的学生数是初三
10
1
学生数的1
倍,这个学校里初三的学生数占初中部学生数的几分之几?
4
例题2。
32
红、黄、蓝气球共有62只,其中红气球的 等于黄气球的
,蓝气球有24只,红气球
53
和黄气球各有多少只?
3232
解法一:将条件“红气球的 等于黄气球的
”转化为“黄气球的只数是红气球的( ÷
5353
9
=)
”。先求红气球的只数,再求出黄气球的只数。
10
32
红气球:(62-24)÷(1+ ÷ )=20(只)
53
黄气球:62-24-20=18(只)
3223
解法二:将条件“红气球的 等于黄气球的
”转化为“红气球的只数是黄气球的( ÷
5335
10
=)
”。先求黄气球的只数,再求出红气球的只数。
9
23
黄气球:(62-24)÷(1+ ÷ )=18(只)
35
红气球:62-24-18=20(只)
答:红气球有20只,黄气球有18只。
练习2
25
1. 甲数的 等于乙数的
,甲、乙两数的和是162,甲、乙两数各是多少?
36
24
2.
今年8月份,甲所得的奖金比乙少200元,甲得的奖金的 正好是乙得奖金的
,甲、
37
乙两人各得奖金多少元?
11
3.
商店运来香蕉、苹果和梨子共900千克,香蕉重量的 等于苹果重量的
,梨子的重量
43
是200千克。香蕉和苹果各多少千克?
例题3。
23
已知甲校学生数是乙校学生数的 ,甲校的女生数是甲校学生数的
,乙校的男生数
510
21
是乙校学生数的
,那么两校女生总数占两校学生总数的几分之几?
50
解法一:把乙校学生数看作单位“1”。
232121
【 × +(1- )】÷(1+ )=
5105052
解法二:把甲校学生数看作单位“1”
5521351
( - × + )÷(1+ )=
22501022
1
答:甲、乙两校女生总数占两校学生总数的 。
2
练习3
112
1.
在一座城市中,中学生数是居民的 ,大学生是中学生数的 ,那么占大学生总数的
545
的理工科大学生是居民数的几分之几?
32
2.
某人在一次选举中,需 的选票才能当选,计算
的选票后,他得到的选票已达到当选
43
5
票数的
,他还要得到剩下选票的几分之几才能当选?
6
313
3. 某校有
的学生是男生,男生的 想当医生,全校想当医生的学生的
是男生,那么
5204
全校女生的几分之几想当医生?
例题4。
21
仓库里的大米和面粉共有2000袋。大米运走 ,面粉运作
后,仓库里剩下大米和
510
面粉正好相等。原来大米和面粉各有多少袋?
解法一:将大米的袋数看作单位“1”
212
(1-
)÷(1- )=
5103
2
2000÷(1+
)=1200(袋)
3
2000-1200=800(袋)
解法二:将面粉的袋数看作单位“1”
123
(1-
)÷(1- )=
1052
3
2000÷(1+
)=800(袋)
2
2000-800=1200(袋)
答:大米原有1200袋,面粉原有800袋。
练习4
21
1.
甲、乙两人各准备加工零件若干个,当甲完成自己的 、乙完成自己的 时,两人所剩
34
零件
数量相等,已知甲比乙多做了70个,甲、乙两人各准备加工多少个零件?
2
2.
一批水果四天卖完。第一天卖出180千克,第二天卖出余下的
,第三、四天共卖出这
7
批水果的一半,这批水果有多少千克?
3. 甲、乙两人合
打一篇书稿,共有10500字。如果甲增加他的任务的20%,乙减少他的
任务的20%,那么甲打的
字数就是乙的2倍,问两人原来的任务各是多少?
例题5。
400名学生参加植
树活动,计划每个男生植树20棵,每个女生植树15棵。除抽出25%
的男生搞卫生外,其他的同学都
按计划完成了植树任务。问共植树多少棵?
解: 20×(1-25%)×400
=20×0.75×400
=6000(棵)
答:共植树6000棵。
练习5
1
1.
有一块菜地和一块麦地,菜地的一半和麦地的
放在一起是13公顷,麦地的一半和菜
3
1
地的
放在一起是12公顷,那么,菜地有多少公顷?
3
2. 师徒两人加工同样多的零件,师傅要
10分钟,徒弟要18分钟。两人共同加工零件168
个,如果要在相同的时间内完成,两人各应加工零
件多少个?
3. 有5元和2元的人民币若干张,其金额之比为15:4。如果5元人民币减少6张,
则两
种人民币的张数相等。求原来两种人民币的张数各是多少?
答案:
8
练1 1、 丙数=64 乙数=48 甲数=40 2、 =110千克
3、=
27
练2 1、 乙数=72 甲数=90 2、 乙=1400元
甲=1200元
3、 香蕉=400千克 苹果=300千克
131
练3
1、= 2、 = 3、 =
50840
练4 1、 乙=56个
甲=126个 2、 =600千克 3、 甲=6000字 乙=4500字
练5
1、 =18公顷 2、 徒弟=60个 师傅=108个
3、 2元币=12张
5元币=18张
第八周 转化单位“1”(三)
专题简析:
解答较复杂的分数应用题时,我们往往从题目中找出不变的量,把不变的量看作单位
“1”,将已知条
件进行转化,找出所求数量相当于单位“1”的几分之几,再列式解答。
例题1。
37
有两筐梨。乙筐是甲筐的 ,从甲筐取出5千克梨放入乙筐后,乙筐的梨是甲筐的 。
59
甲、乙两筐梨共重多少千克?
59
解: 5÷( -
)=80(千克)
5+37+9
答:甲、乙两筐梨共重80千克。
练习1
1
1.
某小学低年级原有少先队员是非少先队员的
,后来又有39名同学加入少先队组织。
3
7
这样,少先队员的人数是非少先队员的
。低年级有学生多少人?
8
1
2. 王师傅生产一批零件,不合格产品是合格产品的
,后来从合格产品中又发现了2个
19
不合格产品,这时算出产品的合格率是94%。合格产品
共有多少个?
3. 某校六年级上学期男生占总人数的54%,本学期转进3名女生,转走3名男生,
这时
女生占总人数的48%。现在有男生多少人?
例题2。
3
某学校原有长跳绳的根数占长、短跳绳总数的
。后来又买进20根长跳绳,这时长
8
7
跳绳的根数占长、短跳绳总数的
。这个学校现有长、短跳绳的总数是多少根?
12
解法一:根据短跳绳的根数没有变,我们把
短跳绳看作单位“1”。可以得出原来的长跳绳根
37
数占短跳绳根数的
,后来长跳绳是短跳绳的
。这样就找到了20根长跳
8-312-7
73
绳相当于短跳绳的( -
),从而求出短跳绳的根数。再用短跳绳的根数
12-78-3
7
除以(1-
)就可以求出这个学校现有跳绳的总数。即
12
737
20÷( - )÷(1- )=60(根)
12-78-312
解法二:把短跳绳看作单位
“1”,原来的总数是短跳绳的
12
。所以
12-7
1287
20÷( - )÷(1- )=60(根)
12-78-312
答:这个学校现有长、短跳绳的总数是60根。
练习2
3
1.
阅览室看书的同学中,女同学占
,从阅览室走出5位女同学后,看数的同学中,女同
5
4
学占
,原来阅览室一共有多少名同学在看书?
7
2. 一堆什锦糖,其中奶糖占45%,再放入1
6千克其他糖后,奶糖只占25%,这堆糖中有
奶糖多少千克?
52
3.
数学课外兴趣小组,上学期男生占 ,这学期增加21名女生后,男生就只占
了,这
95
个小组现有女生多少人?
例题3。
有两段布,一段布长40米,另一段长30米,把两段布都用去同样长的一部分后,发现
3
短的一段布剩下的长度是长的一段布所剩长度的 ,每段布用去多少米?
5
3
解: 40-(40-30)÷(1- )=15(米)
5
答:每段布用去15米。
练习3
1. 有两根塑料绳,一根长80米,另一根长40米,如果从两根上各剪去同样长的一段后,
2
短绳剩下的长度是长绳剩下的 ,两根绳各剪去多少米?
7
8
,后来的总数是短跳绳的
8-3
5
2.
今年父亲40岁,儿子12岁,当儿子的年龄是父亲的 时,儿子多少岁?
12
3. 仓库里
原来存大米和面粉袋数相等,运出800袋大米和500袋面粉后,仓库里所剩的大
3
米袋数时
面粉的 ,仓库里原有大米和面粉各多少袋?
4
1
4.
甲、乙、丙、丁四个筑路队共筑1200米长的一段公路,甲队筑的路时其他三个队的
,
2
11
乙队筑的路时其他三个队的 ,丙队筑的路时其他三个队的
,丁队筑了多少米?
34
例题4。
1
某商店原有黑白、彩色电视机共630台,其中黑白电视机占 ,后来又运进一些黑白
5
电视机。这时黑白电视机占两种电视机总台数的30%,问:又运进黑白电视机多少台?
1
解: 630×(1- )÷(1-30%)-630=90(台)
5
答:又运进黑白电视机90台。
练习4
1
1. 书店运来科技书和文艺书共240包,科技书占
。后来又运来一批科技书,这时科技书
6
3
占两种书总和的
,现在两种书各有多少包?
11
1
2.
某市派出60名选手参加田径比赛,其中女选手占
,正式比赛时,有几名女选手因故
4
2
缺席,这样女选手人数占参赛选手总数的
。问:正式参赛的女选手有多少人?
11
3. 把12千克的盐溶解于120千克水中,得到
132千克盐水,如果要使盐水中含盐8%,
要往盐水中加盐还是加水?加多少千克?
1
4. 东风水果店上午运进梨和苹果共1020千克,其中梨占水果总数的
;下午又运进梨若
5
2
干千克,这时梨占两种水果总数的 ,下午运进梨多少千克?
5
例题5。
25
一堆煤,运走的比总数的
多120吨,剩下的比运走的 多60吨,这堆煤原有多少吨?
56
5225
解:
(120+120× +60)÷(1― ― × )=1050(吨)
6556
答:这堆煤原有1050吨。
练习5
23
1. 修一条路,第一天修了全长的
多60米,第二天修的长度比第一天的
多35米,还剩
54
100米没有修,这条路全长多少米?
23
2.
修一条路,第一天修了全长的 多60米,第二天修的长度比第一天的
少35米,这两
54
天共修路420米,这条路全长多少米?
25
3. 某工程队修筑一条公路,第一天修了全长的 ,第二天修了剩下部分的
又20米,第
59
1
三天修的是第一天的
又30米,这样,正好修完,这段公路全长多少米?
4
答案:
练1
1、 由于低年级学生总人数没有变,因此以总人数为单位“1”来考虑。
71
39÷( - )=180(人)
7+81+3
2、 以产品总数为单位“1”来考虑。
19
2÷( -94%)×94%=188(个)
1+19
3、 六年级总人数没有变,以六年级总人数为单位“1”来考虑。
3÷[54%-(1-48%)]×54%-3=78(人)
练2 1、
男同学人数没有变,以男同学的人数为单位“1”来考虑。
5÷(
343
- )÷(1- )=75(人)
5-37-45
2、
奶糖重量没有变,以奶糖为单位“1”。
100100
16÷( - )=9(千克)
2545
3、 男生人数没有变,以男生人数为单位“1”。
59
男:21÷( - )=30(人)
25
2
现有女生:30÷
-30=45(人)
5
2
练3 1、
80-(80-40)÷(1- )=24(米)
7
55
2、
(40-12)÷(1- )× =20(岁)
1212
3
3、
(800-500)÷(1- )+500=1700(袋)
4
111
4、
1200×(1- - - )=260(米)
1+21+31+4
1
练4 1、 文艺书:240×(1- )=200(包)
6
3
科技书:200÷(1- )-200=75(包)
11
122
2、 60×(1- )÷(1- )× =10(人)
41111
12188
3、 因为 = = >
,所以要加水。
1321188100
12÷8%-132=18(千克)
12
4、 1020×(1-
)÷(1- )-1020=340(千克)
55
3223
练5
1、(60+60× +35+100)÷(1- - × )=800(米)
4554
3223
2、【420-60-(60× -35)】÷(
+ × )=500(米)
4554
22521
3、(20+30)÷【1- -(1- )× - × 】=300(米)
55954
第九周 设数法解题
专题简析:
在小学数学竞赛
中,常常会遇到一些看起来缺少条件的题目,按常规解法似乎无解,
但仔细分析就会发现,题目中缺少的
条件对于答案并无影响,这时就可以采用“设数代入法”,
即对题目中“缺少”的条件,随便假设一个数
代入(当然假设的这个数要尽量的方便计算),
然后求出解答。
例题1。
如果△△=□□□,△☆=□□□□,那么☆☆□=( )个△。
解: 由第一个等式可以
设△=3,□=2,代入第二式得☆=5,再代入第三式左边是12,
所以右边括号内应填4。
说明:本题如果不用设数代入法,直接用图形互相代换,显然要多费周折。
练习1
1. 已知△=○○□□,△○=□□,☆=□□□,问△□☆=( )个○。
2. 五个
人比较身高,甲比乙高3厘米,乙比丙矮7厘米,丙比丁高10厘米,丁比戊矮5
厘米,甲与戊谁高,高
几厘米?
3. 甲、乙、丙三个仓库原有同样多的货,从甲仓库运60吨到乙仓库,从乙仓库运45吨
到
丙仓库,从丙仓库运55吨到甲仓库,这时三个仓库的货哪个最多?哪个最少?最多的
比最少
的多多少吨、
例题2。
1
足球门票15元一张,降价后观众增加一倍,收入增加 ,问一张门票降价多少元?
5
【思路导航】初看似乎缺少观众人数这个条件,实际上观众人数于答案无关,我们可以随便
假设一个观众数。为了方便,假设原来只有一个观众,收入为15元,那么降
1
价后有两个观众
,收入为15×(1+
)=18元,则降价后每张票价为18÷2
5
=9元,每张票降价15-9=6元。即:
1
15-15×(1+ )÷2=6(元)
5
答:每张票降价6元。
说明:如果设原来有a名观众,则每张票降价:
1
15-15a×(1+ )÷2a=6(元)
5
练习2
3
1. 某班一次考试,平均分为70分,其中
及格,及格的同学平均分为80分,那么不及格
4
的同学平均分是多少分?
2. 游
泳池里参加游泳的学生中,小学生占30%,又来了一批学生后,学生总数增加了20%,
小学生占学生
总数的40%,小学生增加百分之几?
3.
五年级三个班的人数相等。一班的男生人数和二班的女生人数相等,三班的男生是全部
2
男生的
,全部女生人数占全年级人数的几分之几?
5
例题3。
小王在一个小山
坡来回运动。先从山下跑上山,每分钟跑200米,再从原路下山,每
分钟跑240米,又从原路上山,
每分钟跑150米,再从原路下山,每分钟跑200米,求小王
的平均速度。
【思路导航】题中四个速度的最小公倍数是1200,设一个单程是1200米。则
(1)
四个单程的和:1200×4=4800(米)
(2) 四个单程的时间分别是;
1200÷200=6(分)
1200÷240=5(分)
1200÷150=8(分)
1200÷200=6(分)
(3)
小王的平均速度为:
4800÷(6+5+8+6)=192(米)
答:小王的平均速度是每分钟192米。
练习3
1.
小华上山的速度是每小时3千米,下山的速度是每小时6千米,求上山后又沿原路下山
的平均速度。
2. 张师傅骑自行车往返A、B两地。去时每小时行15千米,返回时因逆风,每小时只行
1
0千米,张师傅往返途中的平均速度是每小时多少千米?
3. 小王骑摩托车往返A、B两地。平均速
度为每小时48千米,如果他去时每小时行42千
米,那么他返回时的平均速度是每小时行多少千米?
例题4
1
某幼儿园中班的小朋友平均身高115厘米,其中男孩比女孩多
,女孩平均身高比男孩
5
高10%,这个班男孩平均身高是多少?
【思路导航】题中没有男、女孩的人数,我们可以假设女孩有5人,则男孩有6人。
1
(1) 总身高:115×【5+5×(1+ )】=1265(厘米)
5
(2) 由于女孩平均身高是男孩的(1+10%),所以5个女孩的身高相当于5
×(1+10%)=5.5个男孩的身高,因此男孩的平均身高为:
1265÷【(1+10%)×5+6】=110(厘米)
答:这个班男孩平均身高是110厘米。
练习4
2
1. 某班男生人数是女生的
,男生平均身高为138厘米,全班平均身高为132厘米。问:
3
女生平均身高是多少厘米?
4
2. 某班男生人数是女生的 ,女生的平均身高比男生高15%,全班的平均身高是130
厘
5
米,求男、女生的平均身高各是多少?
3.
一个长方形每边增加10%,那么它的周长增加百分之几?它的面积增加百分之几?
例题5
狗跑5步的时间马跑3步,马跑4步的距离狗跑7步,现在狗已跑出30米,马开始
追它。问狗
再跑多远,马可以追到它?
【思路导航】马跑一步的距离不知道,跑3步的时间也不知道,可取具体数
值,并不影响解
题结果。
设马跑一步为7,则狗跑一步为4,再设马跑3步的时
间为1,则狗跑5步的时间为1,
推知狗的速度为20,马的速度为21。那么,
20×【30÷(21-20)】=600(米)
答:狗再跑600米,马可以追到它。
练习5
1. 猎狗前面26步远的地方有一野兔,猎
狗追之。兔跑8步的时间狗只跑5步,但兔跑9
步的距离仅等于狗跑4步的距离。问兔跑几步后,被狗抓
获?
2. 猎人带猎狗去捕猎,发现兔子刚跑出40米,猎狗去追兔子。已知猎狗跑2步的时间兔子跑3步,猎狗跑4步的距离与兔子跑7步的距离相等,求兔再跑多远,猎狗可以追到
它?
3. 狗和兔同时从A地跑向B地,狗跑3步的距离等于兔跑5步的距离,而狗跑2步的时间
等
于兔跑3步的时间,狗跑600步到达B地,这时兔还要跑多少步才能到达B地?
答案:
练1
1、=8
2 、设戊是100厘米高,可推出甲是101厘米高。 3、乙仓最多,丙仓最少,设甲、乙、丙三个仓库原来各有100吨,可推出这时乙有115吨,
丙
有90吨。
练2
1、设考试总人数为4人,70×4-80×3=40(分)
2、设游泳池里原有学生总数是100人。【(100+20)×40%-30】÷30=60%
3、设全年级男生总人数为50人。
2
三班的男生为:50×
=20(人)
5
一、二两班的男生,也是一个班的总人数为:
50-20=30(人)
三班女生为:30-20=10(人)
4
(10+30)÷(30×3)=
9
练3
1、设一个单程是12千米
12×2÷(12÷3+12÷6)=4(千米)
2、设一个单程为30千米
30×2÷(30÷15+30÷10)=12(千米)
3、由于48和42的最小公倍数为336,设一个单程为336千米。
336÷(336×2÷48-336÷42)=56(千米)
练4
1、设全班共有5人。
(132×5-138×2)÷3=128(厘米)
2、设女生有5人,男生有4人,男生的身高为单位“1”,则女生的身高为(1+15%)
男:130×(4+5)÷【4+5×(1+15%)】=120(厘米)
女:120×(1+15%)=138(厘米)
3、【(1+10%)×4-1×4】÷(1×4)=10%
【(1+10%)×(1+10%)-1×1】÷(1+1)=21%
练5
9
1、解法一:设兔的步长为1,则狗的步长为
,兔跑一步的时间为1,则狗跑一步的时间为
4
8
。
5
998
26× ÷( ÷ -1)=144(步)
445
4
解法二:设狗的步长为1,则兔的步长就是
,设兔跑一步的时间为1,则狗跑一步的时
9
8
间为1,则狗跑一步的时间为 。
5
84
26÷(1÷ - )=144(步)
59<
br>2、设狗的步长为7,则兔的步长为4,再设过跑2步的时间为1,则兔跑3步的时间也为1,
推
出狗的速度是14,兔的速度是12。
12×【40÷(14-12)】=240(米)
3、设狗的步长为1,狗跑一步的时间也为1。
53
600× -600× =100(步)
32
第10讲 假设法解题(一)
一、知识要点
假设法解体的思考方
法是先通过假设来改变题目的条件,然后再和已知条件
配合推算。有些题目用假设法思考,能找到巧妙的
解答思路。
运用假设法时,可以假设数量增加或减少,从而与已知条件产生联系;也可
以假设
某个量的分率与另一个量的分率一样,再根据乘法分配律求出这个分率对
应的和,最后依
据它与实际条件的矛盾求解。
二、精讲精练
【例题1】
甲、乙两数之和是185,已知甲数的14与乙数的15的和是42,求两数各
是多少? 【思路导航】假设将题中“甲数的14”、“乙数的15”与“和为42”同时
扩大4倍,则变成了
“甲数与乙数的45的和为168”,再用185减去168就是
乙数的15。
解:
乙:(185-42×4)÷(1-15×4)=85
答:甲数是100,乙数是85。
练习1:
1.甲、乙两人共有钱150元,甲的12与乙的110的钱数和是35元,求甲、乙两人各有多少元钱?
2.甲、乙两个消防队共有338人。抽调甲队人数的17,乙队人数
的13,
共抽调78人,甲、乙两个消防队原来各有多少人?
3.海洋化肥厂计划第二季度生
产一批化肥,已知四月份完成总数的13多
50吨,五月份完成总数的25少70吨,还有420吨没完
成,第二季度原计划生
产多少吨?
【例题2】
彩色电视机和黑白电视机共250台
。如果彩色电视机卖出19,则比黑白电
视机多5台。问:两种电视机原来各有多少台?
【思
路导航】从图中可以看出:假设黑白电视机增加5台,就和彩色电视机
卖出19后剩下的一样多。
黑白电视机增加5台后,相当于彩色电视机的(1-19)= 89。
(250+5)÷(1+1-19)=135(台)
250-125=115(台)
答:彩色电视机原有135台,黑白电视机原有115台。
练习2:
1.姐妹俩养
兔120只,如果姐姐卖掉17,还比妹妹多10只,姐姐和妹妹
各养了多少只兔?
2.学校
有篮球和足球共21个,篮球借出13后,比足球少1个,原来篮球
和足球各有多少个?
3.
小明甲养的鸡和鸭共有100只,如果将鸡卖掉120,还比鸭多17只,
小明家原来养
的鸡和鸭各有多少只?
【例题3】师傅与徒弟两人共加工零件105个,已知师傅加工零件个数的38
与徒弟加工零件个数的47的和为49个,师、徒各加工零件多少个?
【思路导航】假设师、
徒两人都完成了47,一个能完成(105×47)=60
个,和实际相差(60-49)=11个,这
11个就是师傅完成将零件的38与完成
加工零件的47相差的个数。这样就可以求出师傅加工了【11
÷(47-38)】
=56个。即:
师傅:(105×47-49)÷(47-38)=56(个)
徒弟:105-56=49(个)
答:师傅加工了56个,徒弟加工了49个。
练习3:
1.某商店有彩色电视机和黑白电视机共136台,卖出彩色电视机的25和
黑白电视机的37,共卖出57台。问:原来彩色电视机和黑白电视机各有多少
台?
2.甲
、乙两个消防队共有336人,抽调甲队人数的57、乙队人数的37,
共抽调188人参加灭火。问:
甲、乙两个消防队原来各有多少人?
3.学校买来足球和排球共64个,从中借出排球个数的14和足
球个数的
13后,还剩下46个,买来排球和足球各是多少个?
【例题4】甲、乙两数的和是300,甲数的25比乙数的14多55,甲、乙
两数各是多少?
【思路导航】甲数的25与乙数的25的和就是甲、乙两数的25,是300
×25=120,
因为甲数的25比乙数的14多55,所以从120中减去55所得的
差就可以看成是乙数的14与乙数
的25的和。
乙:(300×25-55)÷(25+14)=100
甲:300-100=200
答:甲数是200,乙数是100。
练习4: 1.畜牧场有绵羊、山羊共800只,山羊的25比绵羊的12多50只,这个
畜牧场有山羊、绵羊
各多少只?
2.师傅和徒弟共加工零件840个,师傅加工零件的个数的58比徒弟加工
零件
个数的23多60个,师傅和徒弟各加工零件多少个?
3.某校六年级甲、乙两个班共种100棵树,
乙班种的110比甲班种的13
少16棵,两个班各种多少棵?
【例题5】育
红小学上学期共有学生750人,本学期男学生增加16,女学
生减少15,共有710人,本学期男、
女学生各有多少人?
【思路导航】假设本学期女学生不是减少15,而是增加16,半学期应该
有750×(1+16)=875人,比实际多875-710=165人,这165人是假设女学
生
也增加16多出的人数,而实际女学生减少15,所以,这165人对应着女学
生的(15+16)=1
130。
上学期女生:【750×(1+16)-710】÷(15+16)=450(人)
本学期女生:450×(1-15)=360(人)
本学期男生:710-360=350(人)
答:本学期男学生有350人,女学生有360人。
练习5:
1.金放在水里称,
重量减轻119,银放在水里称,重量减少110,一块重
770克的金银合金,放在水里称是720克
,这块合金含金、银各多少克?
2.某中学去年共招新生475人,今年共招新生640人,其中初中
招的新生
比去年增加48%,高中招的新生比去年增加20%,今年初、高中各招收新生多
少人
?
3.袋子里原有红球和黄球共119个。将红球增加38,黄球减少25后,
红球与黄球
的总数变为121个。原来袋子里有红球和黄球各多少个?
第11讲 假设法解题(二)
一、知识要点
已知甲是乙的几分之几,又知甲与乙各改变一定的数量后两者之间新的倍数关系,要求甲、乙两个数是多少,这样的应用题称为变倍问题。
应用题中的变倍问题,有两数同增
、两数同减、一增一减等各种情况。虽然
其中的数量关系比较复杂,但解答时的关键仍是确定哪个量为单
位“1”,然后通
过假设,找出变化前后的相差数相当于单位“1”的几分之几,从而求出单位“1”<
br>的量,其他要求的量就迎刃而解了。
二、精讲精练
【例题1】两根铁丝,第一根长度
是第二根的3倍,两根各用去6米,第一
根剩下的长度是第二根剩下的长度的5倍,第二根原来有多少米
?
【思路导航】假设第一根用去6×3=18米,那么第一根剩下的长度仍是第
二根剩下长度
的3倍,而事实上第一根比假设的少用去(6×3-6)=12米,也
就多剩下第二根剩下的长度的(5
-3)=2倍。
(6×3-3)÷(5-3)+6=12(米)
答:第二根原来有12米。
练习1:
1.丁晓原有书的本数是王
阳的5倍,若两人同时各借出5本给其他同学,
则丁晓书的本数是王阳的10倍,两人原来各有书多少本
?
2.在植树劳动中,光明中学植树的棵数是光明小学的3倍,如果中学增加
450棵,小学
增加400棵,则中学是小学的2倍。求中、小学原来各植树多少棵?
3.两堆煤,第一堆是第二堆的
2倍,第一堆用去8吨,第二堆用去11吨,
第一堆剩下的重量是第二堆的4倍。求第二堆煤原来是多少
吨?
【例题2】王明平时积蓄下来的零花钱比陈刚的3倍多6.40元,若两个人
各买了一本
4.40元的故事书后,王明的钱就是陈刚的8倍,陈刚原来有零花钱
多少元?
【思路导航】
假设仍然保持王明的钱比陈刚的3倍多6.40元,则王明要相
应地花去4.40×3 =13.20元
,但王明只花去了4.40元,比13.20元少13.20
-4.40=8.80元,那么王明买书后
的钱比陈刚买书后的钱的3倍多6.40+8.80
=15.20元,而题中已告诉:买书后王明的钱是
陈刚的8倍,所以,15.20元就
对应着陈刚花钱后剩下钱的8-3=5倍。
【6.40+(4.40×3-4.40】÷(8-3)+4.40=7.44(元)
答:陈刚原来有零花钱7.44元。
练习2:
1.甲书架上的书比乙书架上的3倍
多50本,若甲、乙两个书架上各增加
150本,则甲书架上的书是乙书架上的2倍,甲、乙两个书架原
来各有多少本书?
2.上学年,马村中学的学生比牛庄小学的学生的2倍多54人,本学年马村
中学增加了20人,牛庄小学减少了8人,则马村中学的学生比牛庄小学的学生
的4倍少26人,上学
年马村中学和牛庄小学各有学生多少人?
3.箱子里有红、白两种玻璃球,红球比白球的3倍多2粒,
每次从箱子里
取出7粒白球和15粒红球,若干次后,箱子里剩下3粒白球和53粒红球,那么,
箱子里白球原有多少粒?
【例题3】小红的彩笔枝数是小刚的12,两人各买5枝后,小红的彩笔枝
数是小刚的23,两人原来各有彩笔多少枝?
【思路导航】假设小刚买了5枝后,小红的彩笔
仍为小刚的12,则小红只
需买(5×12)=2又12枝,但实际上小红买了5枝,多买了5-2又1
2=2
又12 枝。将小刚买了5枝后的枝数看作“1”,小红多买了2又12
,相当于
(23-12)=16。
小刚原来:(5-5×12)÷(23-12)-5=10(枝)
小红原来:10×12=5(枝)
答:小刚原来有彩笔10枝,小红原来有彩笔5枝。
练习3:
1.小华今年的年龄是爸爸年龄的16,四年后小华的年龄是爸爸的14,求
小华和爸爸今年的年龄各是多少岁?
2.小红今年的年龄是妈妈的38,10年后小红的年龄是妈妈的12,小红
今年多少岁? <
br>3.甲书架上的书是乙书架上的57,甲、乙两个书架上各增加90本后,甲
书架上的书是乙书架
上的45,甲、乙两各书架原来各有多少本书?
【例题4】王芳原有的图书本数是李卫的45,两人各
捐给“希望工程”10
本后,则王芳的图书的本数是李卫的710,两人原来各有图书多少本?
【思路导航】假设李卫捐了10本后,王芳的图书仍是李卫的45,则王芳
只需捐10×45=8本,
实际王芳捐了10本,多捐了10-8=2本,将李卫捐书
后剩下的图书看作“1”,着2本书相当于4
5-710=110。
(10-10×45)÷(45-710)=30(本)
30×45=24(本)
答:李卫原有图书30本,王芳原有图书24本。
练习4:
1.甲书架上的书是乙书架上的45,从这两个书架上各借出112本后,甲
书架上的书是乙书架上的47,原来甲、乙两个书架上各有多少本书?
2.小明今年的年龄是爸爸的
611,10年前小明的年龄是爸爸的49,小明
和爸爸今年各多少岁?
3.甲车间的工人是
乙车间的14,从甲、乙两个车间各抽出30人后,甲车
间的工人只占乙车间的16,甲、乙两个车间原
来各有多少名工人?
【例题5】某校六年级男生人数是女生的23,后来转进2名男生,转走3
名女生,这时男生人数是女生的34,现在男、女生各有多少人?
【思路导航】假设转走3名女生后
,男生人数仍是女生的23,则男生应转
走3×23=2人,实际上男生却转进2人,与应转走2人相差
2+2=4人。将转
走3名女生后的女生人数看作“1”,则相差的4人相当于现在女生的34-23。
(2+3×23)÷(34-23)=48(人)
48×34=36(人)
答:现在男生有36人,女生有48人。
练习5:
1.甲车间的工
人是乙车间的25,后来甲车间增加20人,乙车间减少35
人,这样甲车间的人数是乙车间的79,现
在甲、乙两个车间各有多少人?
2.有一堆棋子,黑子是白子的23,现在取走12粒黑子,添上18
粒白子
后,黑子是白子的512,现在白子、黑子各有多少粒?
3.爱华小学和曙光小学的同
学参加小学数学竞赛,去年的比赛中,爱华小
学得一等奖的人数是曙光小学的2.5倍。今年的比赛中,
爱华小学得一等奖的人
数减少了1人,曙光小学增加了6人,这时曙光小学得一等奖的人数是爱华小学<
br>的2倍。两校去年的一等奖的同学各有多少人?
第12讲 倒推法解题
一、知识要点
有些应用题如果按照一般方法,顺着题目的条件一步一步地列出算式求解,过程比较繁琐。所以,解题时,我们可以从最后的结果出发,运用加与减、乘与
除之间的互逆关系,
从后到前一步一步地推算,这种思考问题的方法叫倒推法。
二、精讲精练
【例题1】一本文
艺书,小明第一天看了全书的13,第二天看了余下的35,
还剩下48页,这本书共有多少页? 【思路导航】从“剩下48页”入手倒着往前推,它占余下的1-35=25。
第一天看后还剩下4
8÷25=120页,这120页占全书的1-13=23,这本书
共有120÷23=180页。即
48÷(1-35)÷(1-13)=180(页)
答:这本书共有180页。
练习1:
1.某班少先队员参加劳动,其中37的人打扫礼堂,剩下队员中的58
打
扫操场,还剩12人打扫教室,这个班共有多少名少先队员?
2.一辆汽车从甲地出发,第一天走了全
程的38,第二天走了余下的23,
第三天走了250千米到达乙地。甲、乙两地间的路程是多少千米?
3.把一堆苹果分给四个人,甲拿走了其中的16,乙拿走了余下的25,
丙拿走这时所剩的3
4,丁拿走最后剩下的15个,这堆苹果共有多少个?
【例题2】筑路队修一段路,第一天修了全长的15又100米,第二天修了
余下的27
,还剩500米,这段公路全长多少米?
【思路导航】从“还剩500米”入手倒着往前推,它占余下
的1-27=57,
第一天修后还剩500÷57=700米,如果第一天正好修全长的15,还余下<
/p>
700+100=800米,这800米占全长的1-15=45,这段路全长800÷4
5=1000
米。列式为:
【500÷(1-27)+100】÷(1-15)=1000米
答:这段公路全长1000米。
练习2:
1.一堆煤,上午运走27,下午运的比
余下的13还多6吨,最后剩下14
吨还没有运走,这堆煤原有多少吨?
2.用拖拉机耕一块
地,第一天耕了这块地的13又2公顷,第二天耕的比
余下的12多3公顷,还剩下35公顷,这块地共
有多少公顷?
3.一批水泥,第一天用去了12多1吨,第二天用去了余下13少2吨,
还剩
下16吨,原来这批水泥有多少吨?
【例题3】有甲、乙两桶油,从甲桶中倒出13给乙桶后,又从乙
桶中倒出
15给甲桶,这时两桶油各有24千克,原来甲、乙两个桶中各有多少千克油?
【思
路导航】从最后的结果出发倒推,甲、乙两桶共有(24×2)=48千克,
当乙桶没有倒出15给甲桶
时,乙桶内有油24÷(1-15)=30千克,这时甲
桶内只有48-30=18千克,而甲桶已倒出
13给了乙桶,可见甲桶原有的油为
18÷(1-13)=27千克,乙桶原有的油为48-27=21
千克。
甲:【24×2-24÷(1-15)】÷(1-13)=27(千克)
乙:24×2-27=21(千克)
答:甲桶原有油27千克,乙桶原有油21千克。
练习3:
1.小华拿出自己的画片的15给小强,小强再从自己现有的画片中拿出
1
4给小华,这时两人各有画片12张,原来两人各有画片多少张?
2.甲、乙两人各有人民币若干元,
甲拿出15给乙后,乙又拿出14给甲,
这时他们各有90元,他们原来各有多少元?
3.一
瓶酒精,第一次倒出13,然后倒回瓶中40克,第二次再倒出瓶中
酒精的59,第三次倒出180克,
瓶中好剩下60克,原来瓶中有多少克酒精?
【例题4】甲、乙、丙三人共有人民币168元,第一次
甲拿出与乙相同的钱
数给乙;第二次乙拿出与丙相同的钱数给丙;第三次丙拿出与这时甲相同的钱数给甲。这样,甲、乙、丙三人的钱数相等,原来甲比乙多多少元钱?
【思路导航】根据题意,由最
后甲钱数是168÷3=56元可推出:第一次甲
拿出与乙同样的钱数给乙后,甲剩下的钱是56÷2=
28元,这28元就是原来甲
比乙多的钱数。
168÷3÷2=28元
答:原来甲比乙多28元。
练习4:
1.甲、乙、丙三个班共有学生144人,先
从甲班调出与乙班相同的人数给
乙班,再从乙班调出与丙班相同的人数到丙班。再从丙班调出与这时甲班
相同的
人数给甲班,这样,甲、乙、丙三个班人数相等。原来甲班比乙班多多少人?
2.甲、
乙、丙三个盒子各有若干个小球,从甲盒拿出4个放入乙盒,再从
乙盒拿出8个放入丙盒后,三个盒子内
的小球个数相等。原来乙盒比丙盒多几个
球?
3.甲、乙、丙三个仓库面粉袋数的比是6:9
:5,如果从乙仓库拿出400
袋平均分给甲、丙两仓库,则甲、乙两个仓库的数量相等。这三个仓库共
存面粉
多少袋?
【例题5】甲、乙两个仓库各有粮食若干吨,从甲仓库运出14到乙仓库后,
又从乙仓库运出14到甲仓库,这时甲、乙两仓库的粮食储量相等。原来甲仓库
的粮食是乙仓库
的几分之几?
【思路导航】解题关键是把两个仓库粮食的和看作“1”,由题意可知,从乙
仓
库运出14到甲仓库,乙仓库最后占两仓库和的12。
①当乙仓库没有往甲仓库运时,乙仓库占两仓库和的几分之几?
12÷(1-14)=23
②甲仓库占两仓库和的几分之几?
1-23=13
③甲仓库原来占两仓库和的几分之几?
13÷(1-14)=49
④原来甲仓库时乙仓库的几分之几?
4÷(9-4)=45
答:原来甲仓库的粮食是乙仓库的45。
练习5:
1.甲、乙两个仓库各有粮食若
干吨,从甲仓库运出13到乙仓库后,又从
乙仓库运出13到甲仓库,这时甲、乙两仓库的粮食储量相等
。原来甲仓库的粮
食是乙仓库的几分之几?
2.甲、乙两个仓库各有粮食若干吨,从甲仓库运
出15到乙仓库后,又从
乙仓库运出14到甲仓库,这时甲、乙两仓库的粮食储量相等。原来甲仓库的粮
食是乙仓库的几分之几?
3.甲、乙两个仓库各有粮食若干吨,从甲仓库运出
13到乙仓库后,又从
乙仓库运出25到甲仓库,这时乙仓库的粮食是甲仓库的910。原来甲仓库的<
br>粮食是乙仓库的几分之几?
第13讲 代数法解题
一、知识要点
有一些
数量关系比较复杂的分数应用题,用算术方法解答比较繁、难,甚至
无法列式算式,这时我们可根据题中
的等量关系列方程解答。
二、精讲精练
【例题1】某车间生产甲、乙两种零件,生产的甲种
零件比乙种零件多12
个,乙种零件全部合格,甲种零件只有45合格,两种零件合格的共有42个,<
br>两种零件个生产了多少个?
【思路导航】本体用算术方法解有一定难度,可以根据两种零件合格
的一共
有42个,列方程求解。
解:设生产乙种零件x个,则生产甲种零件(x+12)个。
(x+12)×45+x=42
45x+9+x=42
95x=42-9又35
x=18
18+12=30(个)
答:甲种零件生产了30个,乙种零件生产了18个。
练习1:
1.某校参加数学
竞赛的女生比男生多28人,男生全部得优,女生的34
得优,男、女生得优的一共有42人,男、女生
参赛的各有多少人?
2.有两盒球,第一盒比第二盒多15个,第二盒中全部是红球,第一盒中的
25
是红球,已知红球一共有69个,两盒球共有多少个?
3.六年级甲班比乙班少4人,甲班有13的人
、乙班有14的人参加课外
数学组,两个班参加课外数学组的共有29人,甲、乙两班共有多少人? <
br>【例题2】阅览室看书的学生中,男生比女生多10人,后来男生减少14,
女生减少16,剩下
的男、女生人数相等,原来一共有多少名学生在阅览室看书?
【思路导航】根据剩下的男、女人数相等的题意来列方程求解。
解:设女生有x人,则男生有(x+10)人
(1-16)x=(x+10)×(1-14)
x=90
90+90+10=190人
答:原来一共有190名学生在阅览室看书。
练习2:
1.某小学去年参加无线电
小组的同学比参加航模小组的同学多5人。今年
参加无线电小组的同学减少15,参加航模小组的人数减
少110,这样,两个组
的同学一样多。去年两个小组各有多少人?
2.原来甲、乙两个书架
上共有图书900本,将甲书架上的书增加58,乙
书架上的书增加310,这样,两个书架上的书就一
样多。原来甲、乙两个书架
各有图书多少本?
3.某车间昨天生产的甲种零件比乙种零件多7
00个。今天生产的甲种零件
比昨天少110,生产的乙种零件比昨天增加320,两种零件共生产了2
065个。
昨天两种零件共生产了多少个?
【例题3】甲、乙两校共有22人参加竞赛,甲校
参加人数的15比乙校参
加人数的14少1人,甲、乙两校各有多少人参加?
【思路导航】这题中的等量关系是:甲×15=乙×14-1
解:设甲校有x人参加,则乙校有(22-x)人参加。
15x=(22-x)×14-1
x=10
22-10=12(人)
答:甲校有10人参加,乙校有12人参加。
练习3:
1.学校图书馆买来文艺书和连环画共126本,文艺书的比连环画的少7本,图书馆买来的文艺书和连环画各是多少本?
2.某小有学生465人,其中女生的比男生的少20人,男、女生各有多少人?
3.王师傅
和李师傅共加工零件62个,王师傅加工零件个数的比李师傅的少
2个,两人各加工了多少个?
【例题4】甲书架上的书是乙书架上的56,两个书架上各借出154本后,
甲书架上的书是乙书架上
的47,甲、乙两书架上原有书各多少本?
【思路导航】这道题的等量关系是;甲书架上剩下的书等于乙书架上剩下的
47。
解:设乙书架上原有x本,则甲书架上原有56x本。
(x-154)×47=56x-154
x =252
252×56 =210(本)
答:甲书架上原有210本,乙书架上原有252本。
练习4:
1.儿子今年的年龄是父亲的16,4年后儿子的年龄是父亲的14,父亲今
年多少岁? 2.某校六年级男生是女生人数的23,后来转进2名男生,转走3名女生,
这时男生人数是女生的
34。原来男、女生各有多少人?
3.第一车间人数的35等于第二车间人数的910,第一车间比第
二车间多
50人。两个车间各有多少人?
【例题5】一个班女同学比男同学的23多4人,如
果男生减少3人,女生
增加4人,男、女生人数正好相等。这个班男、女生各有多少人?
【思
路导航】抓住“如果男生减少3人,女生增加4人,男、女生人数正好
相等”这个等量关系列方程。
解:设男生有x人,则女生有(23x+4)人。
x-3=23x+4+4
x=33
23×33+4=26(人)
答:这个班男生有33人,女生有26人。
练习5:
1.某学校的男教师比女教师的38多8人。如果女教师减少4人,男教师
增加8人,男、女教师人数正好相等。这个学校男、女教师各有多少人?
2.某
无线电厂有两个仓库。第一仓库储存的电视机是第二仓库的3倍。如果从
第一仓库取出30台,存入第二
仓库,则第二仓库就是第一仓库的49。两个仓
库原来各有电视机多少台?
3.某工厂第一车间的人数比第二车间的人数的45少30人。如果从第二车
间调1
0人到第一车间,则第一车间的人数就是第二车间的34。求原来每个车
间的人数。
第14讲 比的应用(一)
一、知识要点
我们已经学过比的知识,都知道比和分数、除法其实是一回事,所有比与分
数能互相转化。运用
这种方法解决一些实际问题可以化难为易,化繁为简。
二、精讲精练
【例题1】甲数是乙数的23,乙数是丙数的45,甲、乙、丙三数的比是
( ):( ):(
)。
【思路导航】
甲、乙两数的比 2:3
乙、丙两数的比
4:5
甲、乙、丙三数的比 8:12:15
答:甲、乙、丙三数的比是
8:12:15。
练习1:
1.甲数是乙数的45,乙数是丙数的58,甲、乙、丙三数的比是( ):( ):
( )。
2.甲数是乙数的45,甲数是丙数的49,甲、乙、丙三数的比是( ):( ):
( )。
3.甲数是丙数的37,乙数是丙数的2又12,甲、乙、丙三数的比是( ):
( ):(
)。
【例题2】光明小学将五年级的140名学生,分成三个小组进行植树活动,
已知第一小
组和第二小组人数的比是2:3,第二小组和第三小组人数的比是4:
5。这三个小组各有多少人?
【思路导航】先求出三个小组人数的连比,再按求出的连比进行分配。
①一、二两组人数的比
2:3 二、三两组人数的比 4:5
一、二、三组人数的比
8:12:15
②总份数:8+12+15=35
③第一组:140×835=32(人)
④第二组:140×1235=48(人)
⑤第三组:140×1535=60(人)
答:第一小组有32人,第二小组有48人,第三小组有60人。
练习2:
1.某农场把61600公亩耕地划归为粮田与棉田,它们之间的比是7:2,棉
田与其他作物
面积的比6:1。每种作物各是多少公亩?
2.黄山小学六年级的同学分三组参
加植树。第一组与第二组的人数的比是
5:4,第二组与第三组人数的比是3:2。已知第一组的人数比
二、三组人数的
总和少15人。六年级参加植树的共有多少人?
3.科
技组与作文组人数的比是9:10,作文组与数学组人数的比是5:7。
已知数学组与科技组共有69人
。数学组比作文组多多少人?
【例题3】甲、乙两校原有图书本数的
比是7:5,如果甲校给乙校650本,
甲、乙两校图书本数的比就是3:4。原来甲校有图书多少本?
【思路导航】由甲、乙两校原有图书本数的比是7:5可知,原来甲校图书
的本数是两校图书总
数的7(7+5),由于甲校给了乙校650本,这时甲校的图
书占两校图书总数的3(3+4),甲校
给乙校的650本图书,相当于两校图书总
数的7(7+5)-3(3+4)=1384。
650÷(7(7+5)-3(3+4))×7(7+5)=2450(本)
答:原来甲校有图书2450本。
练习3:
1.小明读一本书,已读的和未读的页
数比是1:5。如果再读30页,则已
读和未读的页数之比为3:5。这本书共有多少页?
2.甲、乙两包糖的重量比是4:1。从甲包取出130克放入乙包后,甲、乙
两包
糖的重量比为7:5。原来甲包有多少克糖?
3.五年级三个班举行数学竞赛。
一班参加比赛的占全年级参赛总人数的
13,二班与三班参加比赛人数的比是11:13
,二班比三班少8人。一班有多少
人参加了数学竞赛?
【例题4】从前有个农民,临死前留下
遗言,要把17头牛分给三个儿子,
其中大儿子分得12,二儿子分得13,小儿子分得19,但不能把
牛卖掉或杀
掉。三个儿子按照老人的要求怎么也不好分。后来一位邻居顺利地把17头牛分
完了
,你知道这到底是怎么回事吗?
【思路导航】因为12+13+19=1718,1718﹤1,就是
说三兄弟并未将
全部牛分完,所以我们求出三个儿子分牛头数的连比,最后再按比例分配。
①
三个儿子分牛头数的连比:12:13:19=9:6:2
② 总份数:9+6+2=17
③
三个儿子各分得牛的头数:17×917=9(头)17×617=6(头)17×
217=2(头)
答:大儿子分得9头,二儿子分得6头,小儿子分得2头。
练习4:
1.图书室取
出一批书,按照一年级得12,二年级得13,三年级得17,
正好是41本,各年级各得多少本?
2.古罗马富豪约翰逊再临终前,对怀孕的妻子写下这样一份遗嘱:如果生
下来是个男孩,就把遗产的三分之二给儿子,母亲拿三分之一;如果生下来的是
女孩就把遗产的三分之
一给女儿,三分之二给母亲。结果他的妻子生了双胞胎,
一男一女,这是他没有预料到的。求出接近于遗
嘱条件,把遗产分给三个继承人
的比。
(1)从儿子、母亲、女儿所得的比例来看,他们三人所得的遗产的比是():
( ):(
)。
(2)从母亲至少得遗产的13来看,儿子、母亲、女儿所得遗产的比是( ):
(
):( )。
3.甲、乙、丙三人共做零件900个。甲做总数的30%,乙比丙多做13。
三人各做多少个?
【例题5】两个相同的瓶子装满酒精溶液。一个瓶中酒精与水的体积之比是
3:1,另一个瓶中酒精与水的体积之比是4:1。若把两瓶酒精溶液混合,混合
液中酒精与水的体积之
比是多少?
【思路导航】抓住两个瓶子相同的关系,分别求出每个瓶中的酒精占瓶子容
积的几分之几再解答。
① 一个瓶中酒精占瓶子容积的比 3(1+3)= 34
② 另一个瓶中酒精占瓶子容积的比 4(1+4)= 45
③
两瓶子里的酒精占一个瓶子容积的比 34+45 = 3120
④ 水占一个瓶子容积的比
2-3120 = 920
⑤ 混合液中酒精与水的比 3120:920=31:9
答:混合液中酒精与水的比是31:9。
练习5:
1.两块一样重的合金,一块合
金中铜与锌的比是2:5,另一块合金中铜与
锌的比是1:3。现将两块合金合成一块,求出锌合金中铜
与锌的比。
2.将一条公路平均分给甲、乙两个工程队修筑。甲队已修的与剩下
的比是
2:1,乙队已修的与剩下的比是5:2。这条公路已修了全长的几分之几?
第15讲 比的应用(二)
一、知识要点
比是反映数量关系的一种常见形式,
也是解数学题的一种重要工具,有了它,
我们处理倍数关系、解答分数应用题就方便灵活得多。在这一讲
,我们讲探讨稍
复杂的比是应用题。
二、精讲精练
【例题1】甲、乙两个学生放学
回家,甲要比乙多走15的路,而乙走的时
间比甲少111,求甲、乙两人速度的比。
【思路导航】因为 速度=路程÷时间,所以,甲、乙速度的比=甲路程
甲时间:乙路程乙时间
(1)甲、乙路程的比:(1+15):1=6:5
(2)甲、乙时间的比:1:(1-111)=11:10
(3)甲、乙速度的比:611:510=12:11
答:甲、乙速度的比是12:11。
练习1:
1.小明和小芳各走一段路。小明走的路程比小芳多15,小芳用的时间比
小明多18。求小明和小芳速度的比。
2.甲走的路程比乙多13,乙用的时间比甲多14。求甲、乙的速度比。
3.一个人步行每
小时走5千米,如果骑自行车每1千米比步行少用8分钟。
这个人骑自行车的速度和步行
速度的比是多少?
【例题2】制造一个零件,甲需6分钟,乙需5分钟,丙需4.5分钟。现在
有1590个零件的制造任务分配给他们三个人,要求在相同的时间内完成,每人
应该分配到多少个零
件?
【思路导航】先求出工作效率的比,然后根据同一时间内,工作总量的比等
于工作效率的
比进行解答。
甲、乙、丙工作效率的比: 16:15:11.5=15:18:20
总份数:15+18+20=53
甲 :1590×1553=450(个)
乙 :1590×1853=540(个)
丙
:1590×2053=600(个)
答:甲、乙、丙分配到的零件分别是450个、540个、600个。
练习2:
1
.加工一个零件,甲需3分钟,乙需3.5分钟,丙需4分钟。现在有1825
个零件需要甲、乙、丙三
人加工。如果规定用同样的时间完成任务,那么各应加
工多少个?
2.甲、乙、丙三人在同一
时间里共制造940个零件。甲制造一个零件需5
分钟,比乙制造一个零件所用的时间多25%,丙制造
一个零件所用的时间比甲
少25。甲、乙、丙各制造了多少个零件?
3.加工某种零件要三道
工序,专做第一、二、三道工序的工人每小时分别
能完成零件48个,32个,28个,现有118名工
人,要使每天三道工序完成的零
件个数相同,每道工序应安排多少工人?
【例题3】两个服装
厂一个月内生产服装的数量是6:5,两厂西服价格的比
是11:10。已知两厂这个月内总产值为69
60万元。两厂的产值各是多少万元?
【思路导航】因为产值=价格×产量,所以
甲产值:乙产值=(甲价格×甲产量):(乙价格×乙产量)
两厂的产值比为:(11×6):(10×5)=66:50
甲厂产值为:6960×66(66+50)=3960(元)
乙厂产值为:6960×50(66+50)=3000(元)
答:两厂的产值分别是3960万元和3000万元。
练习3:
1.甲、乙两个长
方形长的比是4:5,宽的比是3:2,面积的和是242平方
厘米。求甲、乙两个长方形的面积分别是
多少平方厘米?
2.苹果和梨的单价的比是6:5,王大妈买的苹果和梨的重量的比是
2:3,
共花去18元。王大妈买苹果和梨各花了多少元?
3.大、小两种苹果,其单价比是
5:4,重量比是2:3。把两种苹果混合,
成为100千克的混合苹果,单价为每千克4.40元。大
、小两种苹果原来每千克
各是多少元?
【例题4】A、B两种商品的价格比是7:3。如果它
们的价格分别上涨70元,
它们的价格比就是7:4,这两种商品原来的价格各是多少元?
【思路导航】
解法一:因为A、B两种商品涨价的数值相同,所以涨价后两种商品价格差不变。由于价格差不变,所以价格差对应的份数也应该相同。
原价格比=7:3=21:9
现价格比=7:4=28:16
【这样前后项的差都是12,价格涨了(28-21)=7份,是70元】
70÷(28-21)=10元 A:10×21=210(元) B:10×9=90(元)
解法二:由于两种商品的价格不变,选两种商品的价格差做单位“1“进行
解答。
(1)原来A商品的几个是价格差的几倍 7÷(7-3)=74
(2)后来A商品的价格是价格差的几倍 7÷(7-4)=73
(3)A、B两种商品的价格差是 70÷(73-74)=120(元)
(4)原来A商品的价格是 120÷(7-3)×7=210(元)
(5) 原来B商品的价格是 120÷(7-3)×3=90(元)
答:A、B两种商品原来的价格分别是210元和90元。
练习4:
用两种思路解答下列应用题:
1.甲、乙两个建筑队原有水泥重量的比是4:3。甲队给乙队
54吨水泥后,
甲、乙两队水泥重量的比是3:4。原来甲队有水泥多少吨?
2.
甲书架上的书是乙书架上的47,两书架上各增加154本后,甲书架上
的书是乙书架上的,甲、乙两书
架上原来各有多少本书?
3.兄弟两人,每年收入的比是4:3,每年支出的比是18:1
3。从年初到年
底,他们都结余720元。他们每年的收入各是多少元?
【例题5】如图是甲
、乙、丙三地的线路图,已知甲地到丙地的路程与乙地
到丙地的路程比是1:2。王刚以每小时4千米的
速度从甲地步行到丙地,李华
同时以每小时10千米的速度从乙地骑自行车去丙地,他比
王刚早1小时到达丙
地。甲、乙两地相距多少千米?
【思路导航】
解法一:根据路
程的比和速度的比求出时间的比,从而求出王刚和李华所用
的时间,再求出各自所走的路程。
王刚和李华所用时间的比 14:210=5:4
王刚所用的时间
1÷(5-4)×5=5(小时)
甲地到丙地的路程 4×5=20(千米)
甲、乙两地的路程 20×(1+2)=60(千米)
解法二:如果李华每小时行4×
2=8千米,他将与王刚同时到达丙地。现在
他每小时多行10-8=2千米。在王刚从甲地到丙地的这
段时间内,李华比应行
的路程多行了10×1=10千米。据此,可求出王刚从甲地到丙地的时间。
王刚从甲地到丙地的时间10 ×1÷(10-4×2)=5(小时)
甲、乙两地的路程4×5×(1+2)=60(千米)
解法三:如果王刚每小时行10÷3=
5千米,就能和李华同时到达。由此可
见,王刚走完甲地到丙地的路程,用每小时4千米的速度和每小时
5千米的速度
相比,所用的时间相差1小时。再根据1千米的路程,两种速度所用的时间相差
14-15= 120小时。最后求出甲地到丙地的路程。
甲地到丙地的路程1÷(14-1(10÷÷2)=20(千米)
甲、乙两地的路程20×(1+2)=60(千米)
答:甲、乙两地相距60千米。
练习5:
1.一辆汽车在甲、乙两站间行驶,往返一次共用去4小时(停车时间不算
在内)。汽车去时每小时行45千米,返回时每小时行30千米。甲、乙两地相距
多少千米?
2.甲做3000个零件比乙做2400个零件多用1小时,甲、乙工作效率的比
是
6:5。甲、乙每小时各做多少个?
3.下图是甲、乙、丙三地的路线图。已知
甲地到丙地的路程与乙地到丙地
的路程的比是2:3。一辆货车以每小时40千米的速度从甲地开往丙地
,一辆客
车同时以每小时50千米的速度从乙地开往丙地,客车比火车迟1小时到达丙地
。
求甲、乙两地的路程?
第16讲 用“组合法”解工程问题
一、知识要点
在解答工程问题时,如果对题目提供的条件孤立、分散、静止地看,则难以找到明确的解题途径,若用“组合法”把具有相依关系的数学信息进行恰当组合,
使之成为一个新的
基本单位,便会使隐蔽的数量关系立刻明朗化,从而顺利找到
解题途径。
二、精讲精练 【例题1】一项工程,甲、乙两队合作15天完成,若甲队做5天,乙队做3
天,只能完成工程的7
30,乙队单独完成全部工程需要几天?
【思路导航】此题已知甲、乙两队的工作效率和是115,只
要求出甲队货
乙队的工作效率,则问题可解,然而这正是本题的难点,用“组合法”将甲队独
做
5天,乙队独做3天,组合成甲、乙两队合作了3天后,甲队独做2天来考虑,
就可以求出甲队2天的工
作量730-115×3=130,从而求出甲队的工作效率。
所以
1÷【115-(730-115×3)÷(5-3)】=20(天)
答:乙队单独完成全部工程需要20天。
练习1:
1.师、徒二人合做一批零件,
12天可以完成。师傅先做了3天,因事外出,
由徒弟接着做1天,共完成任务的320。如果这批零件
由师傅单独做,多少天
可以完成?
2.某项工程,甲、乙合做1天完成
全部工程的524。如果这项工程由甲队
独做2天,再由乙队独做3天,能完成全部工程的13124。
甲、乙两队单独完
成这项工程各需多少天?
3.甲、乙两队合做,20
天可完成一项工程。先由甲队独做8天,再由乙队
独做12天,还剩这项工程的815。甲、乙两队独做
各需几天完成?
【例题2】一项工程,甲队独做12天可以完成。甲队先做了3天,再由乙
队
做2天,则能完成这项工程的12。现在甲、乙两队合做若干天后,再由乙队
单独做。做完后发现两段所
用时间相等。求两段一共用了几天?
【思路导航】此题很容易先求乙队的工作效率是:(12-112
×3)÷2=18;
再由条件“做完后发现两段所用时间相等”的题意,可组合成由两个
乙队和一个
甲队合做需若干天完成,即可求出相等的时间。
(1)乙队每天完成这项工程的(12-112×3)÷2=18
(2)两段时间一共是1÷(18×2+112)×2=6(天)
答:两段时间一共是6天。
练习2:
1.一项工程,甲队独做15天完成。若甲队先做5天,乙队再做4天能完成
这项工程的815。现由甲、乙两队合做若干天后,再由乙队单独做。做完后发
现,两段时间相等。这
两段时间一共是几天?
2.一项工程,甲、乙合做8天完成。如果先
让甲独做6天,再由乙独做,
完成任务时发现乙比甲多了3天。乙独做这项工程要几天完成?
3.某工作,甲单独做要12天,乙单独做要18天,丙单独做要24天。这件
工作
先由甲做了若干天,再由乙接着做;乙做的天数是甲3倍,再由丙接着做,
丙做的天数是乙的2倍。终于
完成了这一工作。问总共用了多少天?
【例题3】移栽西红柿苗若干棵,如果哥、弟二人合栽8小时完
成,先由哥
哥栽了3小时后,又由弟弟栽了1小时,还剩总棵数的1116没有栽,已知哥哥
每
小时比弟弟每小时多栽7棵。共要移栽西红柿苗多少棵?
【思路导航】把“哥哥先栽了3小时,弟弟又
栽了1小时”组合成“哥、的
合栽了1小时后,哥哥又独做了2小时”,就可以求出哥哥每小时栽总数的
几分
之几。
哥哥每小时栽总数的几分之几(1-1116-18×1)÷(3-1)=332
一共要移栽的西红柿苗多少棵7÷【332-(18-332)】=112(棵)
答:共要移栽西红柿苗112棵。
练习3:
1.加工一批机器零件,师、徒合做1
2小时可以完成。先由师傅加工8小时,
接着再由徒弟加工6小时,共加工了这批零件的35。已知师傅
每小时比徒弟多
做10个零件。这批零件共有多少个?
2.修一条
公路,甲、乙两队合做6天可以完成。先由甲队修5天,再由乙
队修3天,还剩这条公路的310没有修
。已知甲队每天比乙队多修20米。这条
公路全长多少米?
3.修一段公路,甲队
独修要40天,乙队独修要用24天。两队同时从两端
开工,结果在距中点750米处相遇。这段公路全
长多少米?
【例题4】一项工作,甲、乙、丙3人合做6小时可以完成。如果甲工作6
小时后
,乙、丙合做2小时,可以完成这项工作的23;如果甲、乙合做3小时
后,丙做6小时,也可以完成这
项工作的23。如果由甲、丙合做,需几小时完
成?
【思路导航】将条件“甲工作6小时后,
乙、丙合做2小时,可以完成这项
工作的23”组合成“甲工作4小时,甲、乙、丙合做2小时可以完成
这项工作
的23”,则求出甲的工作效率。同理,运用“组合法”再求出丙的工作效率。
甲每小时完成这项工程的几分之几(23-16×2)÷(6-2)=112
丙每小时完成这项工程的几分之几(23-16×3)÷(6-3)=118
甲、丙合做需完成的时间为:1÷(112+118)=7由15(小时)
答:甲、丙合做完成需要7有15小时。
练习4:
1.一项工作,甲、乙、丙三人
合做,4小时可以完成。如果甲做4小时后,
乙、丙合做2小时,可以完成这项工作的1318;如果甲
、乙合做2小时后,丙
再做4小时,可以完成这项工作的1118。这项工作如果由甲、丙合做需几小时
完成?
2.一项工程,甲、乙合做6天可以完成,乙、丙合做10天可以完成。现
在
先由甲、乙、丙合做3天后,余下的乙再做6天则可以完成。乙独做这项工程要
几天就可以完
成?
3.一项工程,甲、乙两队合做10天完成,乙、丙两队合做8天完成。现
在
甲、乙、丙三队合做4天后,余下的工程由乙队独做5又12天完成。乙队单独
做这项工程需
多少天可以完成?
4.一件工作,甲、乙合做4小时完成,乙、丙合做5小时完成。现在由
甲、
丙合做2小时后,余下的由乙6小时完成。乙独做这件工作需几小时才能完成? <
br>【例题5】一条公路,甲队独修24天可以完成,乙队独修30天可以完成。
先由甲、乙两队合修
4天,再由丙队参加一起修7天后全部完成。如果由甲、乙、
丙三队同时开工修这条公路,几天可以完成
?
【思路导航】将条件“先由甲、乙两队合修4天,再由丙队参加一起修7
天后全部完成”组
合成“甲、乙两队各修(4+7)=11天后,再由丙队单独修了
7天才全部完成。”就可以求出丙队的
工作效率。
丙队每天修这条公路的【1-(124+130)】×(4+7)=140
三队合修完成时间为1÷(124+130+140)=10(天)
答:10天可以完成。
练习5:
1.一件工作,甲单独做12小时完成。现在甲、乙合做4小时后,乙又用6
小时才完成。这件工作始终由甲、乙合做几小时可以完成?
2.一
条水渠,甲队独挖120天完成,乙队独挖40天完成。现在两队合挖8
天,剩下的由丙队加入一起挖,
又用12天挖完。这条水渠由丙队单独挖,多少
天可以完成?
3.一件
工作,甲、乙合做6天可以完成,乙、丙合做10天可以完成。如果
甲、丙合做3天后,由乙单独做,还
要9天才能完成。如果全部工作由3人合做,
需几天可以完成?
4.一项工程,甲
、乙两队合做30天完成,甲队单独做24天后,乙队加入,
两队又合做了12天。这时甲队调走,乙队
又继续做了15天才完成。甲队独做这
项工程需要多少天?
第17讲
浓度问题
一、知识要点
在百分数应用题中有一类叫溶液配比问题,即浓度问题。我们知道,
将糖溶
于水就得到了糖水,其中糖叫溶质,水叫溶剂,糖水叫溶液。如果水的量不变,
那么糖加
得越多,糖水就越甜,也就是说糖水甜的程度是由糖(溶质)与糖水(溶
液=糖+水)二者质量的比值决
定的。这个比值就叫糖水的含糖量或糖含量。类
似地,酒精溶于水中,纯酒精与酒精溶液二者质量的比值
叫酒精含量。因而浓度
就是溶质质量与溶液质量的比值,通常用百分数表示,即,
浓度=溶质质量溶液质量×100%=溶质质量(溶质质量+溶剂质量)×
100%
解答浓度问题,首先要弄清什么是浓度。在解答浓度问题时,根据题意列方
程解答比较容易,在列方程时
,要注意寻找题目中数量问题的相等关系。
浓度问题变化多,有些题目难度较大,计算也较复杂。要根
据题目的条件和
问题逐一分析,也可以分步解答。
二、精讲精练
【例题1】有含糖
量为7%的糖水600克,要使其含糖量加大到10%,需要
再加入多少克糖?
【思路导航】
根据题意,在7%的糖水中加糖就改变了原来糖水的浓度,糖
的质量增加了,糖水的质量也增加了,但水
的质量并没有改变。因此,可以先根
据原来糖水中的浓度求出水的质量,再根据后来糖水中的浓度求出现
在糖水的质
量,用现在糖水的质量减去原来糖水的质量就是增加的糖的质量。
原来糖水中水的质量:600×(1-7%)=558(克)
现在糖水的质量
:558÷(1-10%)=620(克)
加入糖的质量 :620-600=20(克)
答:需要加入20克糖。
练习1:
1.现在有浓度为20%的糖水300克,要把它变成浓度为40%的糖水,需要
加糖多少克?
2.有含盐15%的盐水20千克,要使盐水的浓度为20%,需加盐多少千克?
3.有甲、乙两个瓶子,甲瓶里装了200毫升清水,乙瓶里装了200毫升纯
酒精。第一次把20毫升纯酒精由乙瓶倒入甲瓶,第二次把甲瓶中20毫升溶液倒
回乙瓶,此
时甲瓶里含纯酒精多,还是乙瓶里含水多?
【例题2】一种35%的新农药,如稀释到1.75%时,
治虫最有效。用多少
千克浓度为35%的农药加多少千克水,才能配成1.75%的农药800千克?
【思路导航】把浓度高的溶液经添加溶剂变为浓度低的溶液的过程称为稀
释。在这种稀释过程中
,溶质的质量是不变的。这是解这类问题的关键。
800千克1.75%的农药含纯农药的质量为800×1.75%=14(千克)
含14千克纯农药的35%的农药质量为14÷35%=40(千克)
由40千克农药稀释为800千克农药应加水的质量为800-40=760(千克)
答:用
40千克的浓度为35%的农药中添加760千克水,才能配成浓度为
1.75%的农药800千克。
练习2:
1.用含氨0.15%的氨水进行油菜追肥。现有含氨16%的氨水30千克,配<
br>置时需加水多少千克?
2.仓库运来含水量为90%的一种水果100千
克。一星期后再测,发现含水
量降低到80%。现在这批水果的质量是多少千克?
3.一容器内装有10升纯酒精,倒出2.5升后,用水加满;再倒出5升,再
用水加满。这时
容器内溶液的浓度是多少?
【例题3】现有浓度为10%的盐水20千克。再加入多少千克浓度为30
%的
盐水,可以得到浓度为22%的盐水?
【思路导航】这是一个溶液混合问题。混合前、后
溶液的浓度改变了,但总
体上溶质及溶液的总质量没有改变。所以,混合前两种溶液中溶质的和等于混合
后溶液中的溶质的量。
20千克10%的盐水中含盐的质量20×10%=2(千克)
混合成22%时,20千克溶液中含盐的质量20×22%=404(千克)
需加30%盐水溶液的质量(4.4-2)÷(30%-22%)=30(千克)
答:需加入30千克浓度为30%的盐水,可以得到浓度为22%的盐水。
练习3:
1.在100千克浓度为50%的硫酸溶液中,再加入多少千克浓度为5%的硫
酸溶液
就可以配制成25%的硫酸溶液?
2.浓度为70%的酒精溶液500克与浓度为50%的
酒精溶液300克混合后所
得到的酒精溶液的浓度是多少?
3.在20%的盐水中加入10千克水,浓度为15%。再加入多少千克盐,浓
度为25%?
【例题4】将20%的盐水与5%的盐水混合,配成15%的盐水600克,需要
20%的盐水
和5%的盐水各多少克?
【思路导航】根据题意,将20%的盐水与5%的盐水混合配成15%的盐水
,
说明混合前两种盐水中盐的质量和与混合后盐水中盐的质量是相等的。可根据这
一数量间的相
等关系列方程解答。
解:设20%的盐水需x克,则5%的盐水为600-x克,那么
20%x+(600-x)×5%=600×15%
X =400
600-400=200(克)
答:需要20%的盐水400克,5%的盐水200克。
练习4:
1.两种钢分别含镍5%和40%,要得到140吨含镍30%的钢,需要含镍5%
的钢和含镍40%的钢各多少吨?
2.甲、乙两种酒各含酒精75%和
55%,要配制含酒精65%的酒3000克,
应当从这两种酒中各取多少克?
3.甲、乙两
只装糖水的桶,甲桶有糖水60千克,含糖率为40%;乙桶有
糖水40千克,含糖率为20%。要使两
桶糖水的含糖率相等,需把两桶的糖水相
互交换多少千克?
【例题5】甲、乙、丙3个试管中
各盛有10克、20克、30克水。把某种质
量分数的盐水10克倒入甲管中,混合后取10克倒入乙管
中,再混合后从乙管中
取出10克倒入丙管中。现在丙管中的盐水的质量分数为0.5%。最早倒入甲管
中的盐水质量分数是多少?
【思路导航】混合后甲、乙、丙3个试管中应有的盐水分别是20
克、30克、
40克。根据题意,可求出现在丙管中盐的质量。又因为丙管中原来只有30克的
水,它的盐是从10克盐水中的乙管里取出的。由此可求出乙管里30克盐水中盐
的质量
。而乙管里的盐又是从10克盐水中的甲管里取出的,由此可求出甲管里
20克盐水中盐的质量。而甲管
里的盐是某种浓度的盐水中的盐,这样就可得到
最初倒入甲管中盐水的质量分数。
丙管中盐的质量:(30+10)×0.5%=02(克)
倒入乙管后,乙管中盐的质量:0.2×【(20+10)÷10】=0.6(克)
倒入甲管,甲管中盐的质量:0.6×【(10+10)÷10】=1.2(克)
1.2÷10=12%
答:最早倒入甲管中的盐水质量分数是12%。
练习5:
1.从装满100克80%的盐水中倒出40克盐水后,再用清水将杯加满,搅
拌后再倒出40
克盐水,然后再用清水将杯加满。如此反复三次后,杯中盐水的
浓度是多少?
<
br>2.甲容器中又8%的盐水300克,乙容器中有12.5%的盐水120克。往甲、
乙两个容器
分别倒入等量的水,使两个容器中盐水的浓度一样。每个容器应倒入
多少克水?
3.甲种酒含纯酒精40%,乙种酒含纯酒精36%,丙种酒含纯酒精35%。
将三种酒混在一
起得到含酒精38.5%的酒11千克。已知乙种酒比丙种酒多3千
克,那么甲种酒有多少千克?
第18讲 面积计算(一)
一、知识要点
计算平面图形的面积
时,有些问题乍一看,在已知条件与所求问题之间找不
到任何联系,会使你感到无从下手。这时,如果我
们能认真观察图形,分析、研
究已知条件,并加以深化,再运用我们已有的基本几何知识,适当添加辅助
线,
搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”,就会使你顺利达到目的。有些平面
图形的面积
计算必须借助于图形本身的特征,添加一些辅助线,运用平移旋转、
剪拼组合等方法,对图形进行恰当合
理的变形,再经过分析推导,方能寻求出解
题的途径。
二、精讲精练
【例题1】已
知如图,三角形ABC的面积为8平方厘米,AE=ED,BD=23BC,
求阴影部分的面积。 【思路导航】阴影部分为两个三角
三角形AEF的面积无法直接计算。由于
连接DF,可知
S△AEF=S△EDF(等底等高),
补的方法,将所求阴影部分转化为求三角
的面积。 <
br>因为BD=23BC,所以S△BDF=2S△DCF。又因为AE=ED,所以S△ABF=S
△BDF=2S△DCF。
因此,S△ABC=5 S△DCF。由于S△ABC=8平方厘米,所以
S△DCF=8÷5
=1.6(平方厘米),则阴影部分的面积为1.6×2=3.2(平方厘米)。
练习1:
1.如图,AE=ED,
米。求阴影部分的面积。
2.如图所示,AE=ED,DC
厘米。求阴影部分的面积。
=13BD,S△ABC=21平方
BC=3BD,S△ABC=30平
方厘
形,但
AE=ED,
采用移
形BDF
3.如图所示,DE=12AE,BD=2DC,S△EBD=5平方厘米。求三角形ABC
的
面积。
【例题2】两条对角线把梯
形ABCD分割成四个三角形,如图所示,已知两个
三角形的面积,求另两个三角形的面积各是多少?
【思路导航】已知S△BOC是S△DOC的2倍,且高相等,
可知:BO=2DO;从S△A
BD与S△ACD相等(等底等高)可
知:S△ABO等于6,而△ABO与△AOD的高相等,底是△
AOD
的2倍。所以△AOD的面积为6÷2=3。
因为S△ABD与S△ACD等底等高
所以S△ABO=6
因为S△BOC是S△DOC的2倍
所以△ABO是△AOD的2倍
所以△AOD=6÷2=3。
答:△AOD的面积是3。
练习2:
1.两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形,(如图所示),已知两个三角<
br>形的面积,求另两个三角形的面积是多少?
2.已知AO
图所示)。
=13OC
,求梯形ABCD的面积(如
3.已知三角形AOB的面积为15平方厘米,线段OB的
长度为OD的3倍。求
梯形ABCD的面积。(如图
【例题3】四边形
图所示)。
【思路导航】由于E、F三等分BD,所以三角形AB
E、AEF、AFD是等底等高
的三角形,它们的面积相等。同理,三角形BEC、CEF、CFD的面
积也相等。由此
可知,三角形ABD的面积是三角形AEF面积的3倍,三角形BCD的面积是三角形<
br>CEF面积的3倍,从而得出四边形ABCD的面积是四边形AECF面积的3倍。
15×3=45(平方厘米)
答:四边形ABCD的面积为45平方厘米。
练习3:
1.四边形ABCD的对角线BD被E、F、G三点四等分,且四边形AECG的面
积
为15平方厘米。求四边形ABCD的面积(如图)。
2.已知四边形ABCD的对角线被E、F、G
三点
四边
3.如图所示,求
方形)。
阴影部分的面积(ABCD为正<
br>四等分,且阴影部分面积为15平方厘米。求
形ABCD的面积(如图所示)。
ABCD的对角线BD被E、F
两点三等分,且四边形AECF的面积为15平方厘米。求四边形AB
CD的面积(如
所示)。
【例题
4】如图所示,BO=2DO,阴影部分的面积是4平方厘米。那么,梯
形ABCD的面积是多少平方厘
米?
【思路导航】因为BO=2DO,取BO中点E,连接AE。根据三角形等底等高
面积相
等的性质,可知S△DBC=S△CDA;S△COB=S△DOA=4,类推可得每个三
角形的面积。
所以,
S△CDO=4÷2=2(平方厘米) S△DAB=4×3=12平方厘米
S梯形ABCD=12+4+2=18(平方厘米)
答:梯形ABCD的面积是18平方厘米。
练习4:
1.如图所示,阴影部分面积是4平方厘米,OC=2AO。求梯形面积。
2.已知OC=2AO,S△BOC=14平方厘米。求梯形的面积(如图所示)。
3.已知S△AOB=6平
的面积(如图所示)。
【例题5】如图所示,长方形ADEF的面积是16,三角
形ADB的面积是3,三
角形ACF的面积是4,求三角形ABC的面积。
【思路导航】连接AE。仔细观察添加辅助
线AE后,使问题可有如下解法。
方厘米
。OC=3AO,求梯形
由图上看出:三角形ADE的面积等于长方形面积的一半(16
÷2)=8。用8
减去3得到三角形ABE的面积为5。同理,用8减去4得到三角形AEC的面积也<
br>为4。因此可知三角形AEC与三角形ACF等底等高,C为EF的中点,而三角形
ABE与三角
形BEC等底,高是三角形BEC的2倍,三角形BEC的面积为5÷2=2.5,
所以,三角形ABC
的面积为16-3-4-2.5=6.5。
练习5:
1.如图所示,长方形ABCD的面积
是20平方厘米,三角形ADF的面积为5
平方厘米,三角形ABE的面积为7平方厘米,求三角形AE
F的面积。
2.如图所示,长方形ABCD的面积为20
平方厘米,S△ABE=4平方厘米,S
△AFD=6平方厘米,求三角形AEF的面积。
3.如图所示,长方
米,三角形ABE、AFD的
角形AEF的面积。
形ABCD的面积为24平方厘
面积均为4平方厘米,求三
第19讲
面积计算(二)
一、知识要点
在进行组合图形的面积计算时,要仔细观察,认真思
考,看清组合图形是由
几个基本单位组成的,还要找出图中的隐蔽条件与已知条件和要求的问题间的关<
br>系。
二、精讲精练
【例题1】求图中阴影部分的面积(单位:厘米)。
【思路导航】如图所示的特点,阴影部分的面积可以拼成圆的面积。
62×3.14×=28.26(平方厘米)
答:阴影部分的面积是28.26平方厘米。
练习1:
1.求下面各个图形中阴影部分的面积(单位:厘米)。
2.求下面各个图形中阴影部分的面积(单位:厘米)。
3.求下面各个图形中阴影部分的面积(单位:厘米)。
【例题2】求图中阴影部分的面积(单位:厘米)。
【思路导航】阴影部分通过翻折移动位置后,构成了一个新的图形(如图所
示)。
从图中可以看出阴影部分的面积等于大扇形的面积减去大三角形面积的一
半。
3.14×
4
2
-4×4÷2÷2=8.56(平方厘米)
答:阴影部分的面积是8.56平方厘米。
练习2:
1.计算下面图形中阴影部分的面积(单位:厘米)。
1
4
1
4
1
4
2.计算下面图形中阴影部分的面积(单位:厘米,正方形边长4)。
3.计算下面图形中阴影部分的面积(单位:厘米,正方形边长4)。
【例题3】如图19-10所示,两圆半径都是1厘米,且图中两个阴影部分的
面积相等。求长
方形ABO1O的面积。
【思路导航】因为两圆的半径相等,所以两
个扇形中的空白部分相等。又因
为图中两个阴影部分的面积相等,所以扇形的面积等于长方形面积的一半
(如图
19-10右图所示)。所以3.14×12×14×2=1.57(平方厘米)
答:长方形ABO1O的面积是1.57平方厘米。
练习3:
1.如图所示,圆的周长为12.56厘米
2.,AC两点把圆分成相等的两段弧,阴影部分
(1)的面积与阴影部分(2)
的面积相等,求平行四边形ABCD的面积。
2.如图所示,直径BC=8厘米,AB=AC,D为AC的中点,求阴影部分的面
积。
3.如图所示,AB=BC=8厘米,求阴影部分的面积。
【例题4】如图19-14所示,求阴影部分的面积(单位:厘米)。
【思路导
I和II的面积相等。
因为原大三角形的面积与后加上的三
角形面积相等,并且空白部分的两组三角形面积分别相等,所以
6×4=24(平方厘米)
答:阴影部分的面积是24平方厘米。
练习4:
1.如图所示,求四边形ABCD的面积。
2.如图所示,BE长5厘米,长方形AEFD面积是38平方厘米。求CD的长
度。
3.图是两个完全一样的直角三角形重叠在一起,按照图中
的已知条件求阴
影部分的面积(单位:厘米)。
航】我们可以把三角形ABC看成是长方
形的一部分,把它还原成长方形后(如图所示)。
【例题5】如图所示,图中圆的直径AB是4厘米,平
行四边形ABCD的面积是7
平方厘米,∠ABC=30度,求阴影部分的面积(得数保留两位小数)。
【思路导航】阴影部分的面积等于平行四边形的面积减去扇
形AOC的面积,
再减去三角形BOC的面积。
半径:4÷2=2(厘米)
扇形的圆心角:180-(180-30×2)=60(度)
扇形的面积:2×2×3.14×60360≈2.09(平方厘米)
三角形BOC的面积:7÷2÷2=1.75(平方厘米)
7-(2.09+1.75)=3.16(平方厘米)
答:阴影部分的面积是3.16平方厘米。
练习5:
1.如图所示,∠1=15度
,圆的周长位62.8厘米,平行四边形的面积为100
平方厘米。求阴影部分的面积(得数保留两位小
数)。
2.如图所示,三角形ABC的面积是31.2平方厘米,圆
的直径AC=6厘米,
BD:DC=3:1。求阴影部分的面积。
3.如图所示,求阴影部分的面积(单位:厘米。得数保留两位小数)。
4、如图所示,求阴影部分的面积(单位:厘米。得数保留两位小数)。
第二十周面积计算(三)
专题简析:
对于一些比
较复杂的组合图形,有时直接分解有一定的困难,这时,可以通过把其中
的部分图形进行平移、翻折或旋
转,化难为易。有些图形可以根据“容斥问题“的原理来解
2
答。在圆的半径r用小学知识无法
求出时,可以把“r”整体地代入面积公式求面积。
例题1。
如图20-1所示,求图中阴影部分的面积。
○
○
45
45
10
10
20-2
20-1
【思路导航】
解法
一:阴影部分的一半,可以看做是扇形中减去一个等腰直角三角形(如图20-2),等
腰直角三角形的
斜边等于圆的半径,斜边上的高等于斜边的一半,圆的半径为20
÷2=10厘米
1
2
【3.14×10×-10×(10÷2)】×2=107(平方厘米)
4
答:阴影部分的面积是107平方厘米。
解法二:以等腰三角形底的中点为中心点
。把图的右半部分向下旋转90度后,阴影部分的
面积就变为从半径为10厘米的半圆面积中,减去两直
角边为10厘米的等腰直角三
角形的面积所得的差。
○
45
20-3
11
22
(20÷2)×-(20÷2)×=107(平方厘米)
22
答:阴影部分的面积是107平方厘米。
练习1
1、
如图20-4所示,求阴影部分的面积(单位:厘米)
2、 如图20-5所示,用一张斜边为29厘
米的红色直角三角形纸片,一张斜边为49厘
米的蓝色直角三角形纸片,一张黄色的正方形纸片,拼成一
个直角三角形。求红蓝
两张三角形纸片面积之和是多少?
○
45
C
49
○
45
6
○
45
B
29
A 49
29
49
D
20-5
20-4
例题2。
如图20-6所示,求图中阴影部分的面积(单位:厘米)。
4
a
减去
6
20-7
20-6
【思路导航】
解法一:先用长方形的面积
减去小扇形的面积,得空白部分(a)的面积,再用大扇形的面
积减去空白部分(a)的面积。如图20
-7所示。
11
22
3.14×6×-(6×4-3.14×4×)=16.82(平方厘米)
44
解法二:把阴
影部分看作(1)和(2)两部分如图20-8所示。把大、小两个扇形面积相加,
刚好多计算了空白部
分和阴影(1)的面积,即长方形的面积。
(2)
减
加
(1)
20-8
11
22
3.14×4×+3.14×6×-4×6=16.28(平方厘米)
44
答:阴影部分的面积是16.82平方厘米。
练习2
A
B
D
2
○
60
C
A
C
B
1、
如图20-9所示,△ABC是等腰直角三角形,求阴影部分的面积(单位:厘米)。
20-11
20-10
20-9
2、 如图20-10所示,三角形ABC是直角三角形,A
C长4厘米,BC长2厘米。以AC、BC
为直径画半圆,两个半圆的交点在AB边上。求图中阴影部分
的面积。
0
3、 如图20-11所示,图中平行四边形的一个角为60,两条边的长分别为
6厘米和8厘
米,高为5.2厘米。求图中阴影部分的面积。
例题3。
在图20-12中,正方形的边长是10厘米,求图中阴影部分的面积。
20-12
20-13
20-14
【思路导航】
解法一:先用正方形的面积减去一个整圆的面积,得空部分的一半(如图20-
13所示),再
用正方形的面积减去全部空白部分。
2
空白部分的一半:10×10-(10÷2)×3.14=21.5(平方厘米)
阴影部分的面积:10×10-21.5×2=57(平方厘米)
解法二:把图中8个扇形的
面积加在一起,正好多算了一个正方形(如图20-14所示),而
8个扇形的面积又正好等于两个整圆
的面积。
2
(10÷2)×3.14×2-10×10=57(平方厘米)
答:阴影部分的面积是57平方厘米。
练习3
求下面各图形中阴影部分的面积(单位:厘米)。
10
10
4
3
5
20-16
20-15
例题4。
在正方形ABCD中,AC=6厘米。求阴影部分的面积。
D
D
C
20-17
C
A
B
B
A
20-18
【思路导航】这道题的难点在于正方形的边长未知,这样扇形的半径也
就不知道。但我们可
以看出,AC是等腰直角三角形ACD的斜边。根据等腰直角三角形的对称性可知,斜边上的高等于斜边的一半(如图20-18所示),我们可以求出等腰直角
三角形ACD的面
积,进而求出正方形ABCD的面积,即扇形半径的平方。这样
虽然半径未求出,但可以求出半径的平方
,也可以把半径的平方直接代入圆面
积公式计算。
既是正方形的面积,又是半径的平方为:6×(6÷2)×2=18(平方厘米)
阴影部分的面积为:18-18×3.14÷4=3.87(平方厘米)
答:阴影部分的面积是3.87平方厘米。
练习4
1、 如图20-19、20-
20所示,图形中正方形的面积都是50平方厘米,分别求出每个图
形中阴影部分的面积。
2、 如图20-21所示,正方形中对角线长10厘米,过正方形两个相对的顶点以其边长为
半径分别做弧。求图形中阴影部分的面积(试一试,你能想出几种办法)。
20-21
20-20
20-19
例题5。
在图20-22的扇形中,正方形的面积是30平方厘米。求阴影部分的面积。
A
B
A B
20-22
【思路导航】阴影部分的面积等于扇形的面积减去正方形的面积。可是
扇形的半径未知,又
无法求出,所以我们寻求正方形的面积与扇形面积的半径之间的关系。我们以
扇形的半径为边长做一个新的正方形(如图20-23所示),从图中可以看出,
新正方形的面积是3
0×2=60平方厘米,即扇形半径的平方等于60。这样虽
然半径未求出,但能求出半径的平方,再把
半径的平等直接代入公式计算。
1
3.14×(30×2)×-30=17.1(平方厘米)
4
答:阴影部分的面积是17.1平方厘米。
练习5
1、
如图20-24所示,平行四边形的面积是100平方厘米,求阴影部分的面积。
2、 如图20-2
5所示,O是小圆的圆心,CO垂直于AB,三角形ABC的面积是45平方厘米,
求阴影部分的面积。
3、 如图20-26所示,半圆的面积是62.8平方厘米,求阴影部分的面积。
A
A
D
O
C
C
B
O
○
45
B
20-26
20-25
答案:
20-24
练1
1、 如图答20-1所
示,因三角形BCD中BC边上高等于BC的一半,所以阴影部分的面积
451
2
是:
6×3.14×-6×(6÷2)×=5.13平方厘米
3602
2、 如图答20-2所示
,将红色直角三角形纸片旋转90,红色和蓝色的两个直角三角形就
拼成了一个直角边分别是49厘米和
29厘米的直角三角形,因此,所求的面积为:
1
49×29×=710.5平方厘米
2
练2
1、 如图答20-3所示,可以看做
两个半圆重叠在一起,从中减去一个三角形的面积就得
到阴影部分的面积。
11
2
(2÷2)×3.14××2-2×2×=1.14平方厘米
22
2、 思路与第一题相同
111
22
(4÷2)×3.14×
+(2÷2)×3.14×-4×2×=3.85平方厘米
222
3、 如图答20-4所示
,用大小两个扇形面积和减去一个平行四边形的面积,即得到阴影
部分的一半,因此阴影部分的面积是:
607
22
【(8+6)×3.14×-8×5.2】×2=21平方厘米
36015
练3
1、
如图答20-5所示,阴影部分的面积等于四个半圆的面积减去一个正方形的面积,即:
1
2
(10÷2)×3.14××4-10×10=57平方厘米
2
2、 如图答20-6所示,阴影部分的面积等于半圆与扇形面积的和,减去一个三角形的面
4511
22
积,即:10×3.14×+(10÷2)×3.14×-10×10×
=28.5平方厘米
36022
3、 如图答20-7所示,整个图形的面积等于两个半圆的
面积加上一个三角形的面积,用
整个图形的面积减去一个最大半圆的面积就等于阴影部分的面积,即:
1111
222
(4÷2)×3.14×+(3÷2)×3.14×+4×3×-(5
÷2)×3.14×=6平方厘米
2222
练4
0
1
1、
(1)因为圆的半径的平方等于正方形面积的,所以阴影部分的面积是
4
(50÷4)×3.14=39.25平方厘米
(2)因为扇形半径的平方等于正方形的面积,所以,阴影部分的面积是
1
50-50×3.14×=1075平方厘米
4
2、
提示:仔细阅读例4,仿照例4先求扇形半径的平方,然后设法求出阴影部分的面积。
1
10×(10÷2)×3.14××2-10×(10÷2)=28.5平方厘米
4
练5
1、 如图答20-8所示,连结AC可以看出平行四边形面积的一半等于圆半径的平方,所
1
1
以,阴影部分的面积是100÷2×3.14×-100×=14.25平方厘米
44
2、 如图答20-9所示,
(1)因为三角形ABC的面积等于小圆半径的平
方,所以小圆的面积的一半是45×3.14
1
×=70.65平方厘米
2
1
(2)因为大圆半径的平方等于三角形ABC面积的2倍,所以大圆的面积的是45×2
4<
br>1
×3.14×=70.65平方厘米
4
(3)弓形AB的面积是70.65-45=25.65平方厘米
(4)阴影部分的面积是70.65-25.65=45平方厘米
3、如图答20-10所示,
(1)半圆半径的平方是62.8×2+3.14=40平方厘米
(2)三角形AOB的面积是40÷2=20平方厘米
(3)阴影部分所在圆的半径的平方是40×2=80平方厘米
45
(4)阴影部分的面积是80×3.14×-20=11.4平方厘米
360
第二十一周抓“不变量”解题
专题简析:
一
些分数的分子与分母被施行了加减变化,解答时关键要分析哪些量变了,哪些量没有
变。抓住分子或分母
,或分子、分母的差,或分子、分母的和等等不变量进行分析后,再转
化并解答。
例1.
437
将的分子与分母同时加上某数后得,求所加的这个数。
61
9
解法一:因为分数的分子与分母加上了一个数,所以分数的分子与分母的差不变,仍是18,
所以,原题转化成了一各简单的分数问题:“一个分数的分子比分母少18,切分子
7<
br>是分母的,由此可求出新分数的分子和分母。”
9
7
分母:(61-43)÷(1-)=81
9
7
分子:81×=63
9
81-61=20或63-43=20
437
解法二:的分母比分子多18,的分母比分子多2,因为分数的
与分母的差不变,所以
619
7
将的分子、分母同时扩大(18÷2=)9倍。
9
7
① 的分子、分母应扩大:(61-43)÷(9-7)=9(倍)
9
777×963
② 约分后所得的在约分前是:==
999×981
③ 所加的数是81-61=20
答:所加的数是20。
练习1:
972
1、分数的分子和分母都减去同一个数,新的分数约分后是,那么减去的数是多少?
1815
13
2、分数的分子、分母同加上一个数后得,那么同加的这个数是多少?
135
35
3、的分子、分母加上同一个数并约分后得,那么加上的数是多少? 197
582
4、将这个分数的分子、分母都减去同一个数,新的分数约分后是,那么减去
的数是多少?
793
例2:
42
将一个分数的分母减去2得,如果将它的分母加上1,则得,求这个分数。
53
解法一:因为两次都是改变分数的分母,所以分数的分子没有变化,由“它的分母减去2
452
3
得”可知,分母比分子的倍还多2。由“分母加1得”可知,分母比分子的倍
5432
少1,从而将原题转化成一个盈亏问题。
35
分子:(2+1)÷(-)=12
24
3
分母:12×-1=17
2
解法二:两个新分数在未约分时,分子相同。
2412412
①
将两个分数化成分子相同的分数,且使分母相差3。==,=
3618515
②
原分数的分母是:
18-1=17或15+2=17
12
答:这个分数为。
17
练习2:
73
1、
将一个分数的分母加上2得,分母加上3得。原来的分数是多少?
94
34
2、
将一个分数的分母加上2得,分母加上2得。原来的分数是多少?
45
34
3、
将一个分数的分母加上5得,分母加上4得。原来的分数是多少?
79
57
4、
将一个分数的分母减去9得,分母减去6得。原来的分数是多少?
84
例3: <
br>5
在一个最简分数的分子上加一个数,这个分数就等于。如果在它的分子上减去同一个数,
7
1
这个分数就等于,求原来的最简分数是多少。
2
510
解法
一:两个新分数在未约分时,分母相同。将这两个分数化成分母相同的分数,即=,
714
17
107
=。根据题意,两个新分数分子的差应为2的倍数,所以分别想和的分子和
214141
4
分母再乘以2。所以
510201714
==,==
7142821428
17
故原来的最简分数是。
28
解法二:根据题意,两个新分数的和等于原分数的2倍。所以
5117
(+)÷2=
7228
17
答:原来的最简分数是。
28
练习3:
5
1、一个最简分数,在它的分子上加一个数,这个分数就等
于。如果在它的分子上减去同一
8
1
个数,这个分数就等于,求这个分数。
2
6
2、一个最简分数,在它的分子上加一个数,这个分数就等于。如果在它的分子上减去同一
7
1
个数,这个分数就等于,求这个分数。
3
7
3、一个
分数,在它的分子上加一个数,这个分数就等于。如果在它的分子上减去同一个数,
9
3
这个分数就等于,求这个分数。
5
例4:
73
将一个分数的分母加3得,分母加5得。原分数是多少?
94
7213
解法一:两个新分数在未约分时,分子相同。将两个分数化成分子相同的分数,即=,
9274
=
212121
。根据题意,两个新分数的分母应相差2,而现在只相差1,所以分别
将和
282728
7214232142
的分子和分母再同乘以2。则==,==。所
以,原分数的分母是(54
9275442856
42
-3=)51。原分数是。 <
br>51
9
解法二:因为分子没有变,所以把分子看做单位“1”。分母加3后是分子的,分
母加5后
7
449
是分子的,因此,原分数的分子是(5-3)÷(-)=42。原分
数的分母是42
337
42
÷7×9-3=51,原分数是。
51
练习4:
54
1、一个分数,将它的分母加5得,加8得,原来的分数是多少?(用两种方法)
65
67
2、将一个分数的分母减去3,约分后得;若将它的分母减去5,则得。原来的分数
是多少?
78
(用两种方法做)
35
3、把一个分数的分母减去2,约分后
等于。如果给原分数的分母加上9,约分后等于。求
47
原分数。
例5:
11
有一个分数,如果分子加1,这个分数等于;如果分母加1,这个分数就等于,这个分23
数是多少?
1
根据“分子加1,这个分数等于”可知,分母比分子的2倍多
2;根据“分母加1这
2
1
个分数就等于”可知,分母比分子的3倍少1。所以,这个
分数的分子是(1+2)÷(3-2)
3
3
=3,分母是3×2+2=8。所以,这个
分数是。
8
练习5:
11
1、 一个分数,如果分子加3,这个分数等于
,如果分母加上1,这个分数等于,这个分
23
数是多少?
11
2、 一个
分数,如果分子加5,这个分数等于,如果分母减3,这个分数等于,这个分数
23
是多少?
11
3、一个分数,如果分子减1,这个分数等于;如果分母加11,这个分数
等于,这个分数
23
是多少?
答案:
练1
1、 41
2、17 3、 37 4、 16
练2
21121220
1、
2、 3、 4、
25132341
练3
92531
1、
2、 3、
164245
练4
6084165
1、 2、
3、
67101222
练5
779
1、 2、 3、
202416
第二十二周 特殊工程问题
专题简析: 有些工程题中,工作效率、工作时间和工作总量三者之间的数量关系很不明显,这时我
们就可以考虑
运用一些特殊的思路,如综合转化、整体思考等方法来解题。
例1:
修一条路,
甲队每天修8小时,5天完成;乙队每天修10小时,6天完成。两队合作,
每天工作6小时,几天可以
完成?
把前两个条件综合为“甲队40小时完成”,后两个条件综合为“乙队60小时完成”。则
11
1÷[ + ]÷6=4(天)
5×810×6
或1÷[(
11
+
)×6]=4(天)
5×810×6
答:4天可以完成。
练习1:
1、 修一条路,甲队每天修6小时,4天可以完成;乙队
每天修8小时,5天可以完成。现
在让甲、乙两队合修,要求2天完成,每天应修几小时?
2、 一项工作,甲组3人8天能完成,乙组4人7天也能完成。现在由甲组2人和乙组7
人
合作,多少天可以完成?
3、 货场上有一堆沙子,如果用3辆卡车4天可以完成,用4辆马车5天
可以运完,用20
辆小板车6天可以运完。现在用2辆卡车、3辆马车和7辆小板车共同运两天后,全<
br>改用小 板车运,必须在两天内运完。问:后两天需要多少辆小板车?
例2:
有两个同样的仓库A和B,搬运一个仓库里的货物,甲需要10小时,乙需要12小时
,
丙需要15小时。甲和丙在A仓库,乙在B仓库,同时开始搬运。中途丙转向帮助乙搬运。
最
后,两个仓库同时搬完,丙帮助甲、乙各多少时间?
设搬运一个仓库的货物的工作量为“1”。总整体上看,相当于三人共同完成工作量“2”
①
三人同时搬运了
111
2÷( + + )=8(小时)
101215
② 丙帮甲搬了
11
(1- ×8)÷
=3(小时)
1015
③ 丙帮乙搬了
8-3=5(小时)
答:丙帮甲搬了3小时,帮乙搬了5小时。
练习2:
1
1、
师、徒两人加工相同数量的零件,师傅每小时加工自己任务的
,徒弟每小时加工自
10
1
己任务的 。师、徒同时开始加工。师傅完成任务后立即帮
助徒弟加工,直至完成任
15
务,师傅帮徒弟加工了几小时?
2、 有两个同样的
仓库A和B,搬运一个仓库里的货物,甲需要18小时,乙需要12小时,
丙需要9小时。甲、乙在A仓
库,丙在B仓库,同时开始搬运。中途甲又转向帮助丙
搬运。最后,两个仓库同时搬完。甲帮助乙、丙各
多少小时?
5
3、 甲、乙两人同时加工一批零件,完成任务时,甲做了全部零件的
,乙每小时加工12
8
个零件,甲单独加工这批零件要12小时,这批零件有多少个?
例3:
一件工作,甲独做要20天完成,乙独做要12天完成。这件工作先由甲做
了若干天,然
后由乙继续做完,从开始到完工共用了14天。这件工作由甲先做了几天?
解法一:根据两人做的工作量的和等于单位“1”列方程解答,很容易理解。
解:设甲做了x天,则乙做了(14-x)天。
11
x+
×(14-x)=1
2012
X=5
11
解法二:假设这14天都由乙来做,那么完成的工作量就是 ×14,比总工作量多了
×
1212
11111
14-1= ,乙每天的能够做量比甲每天的工作两哦了 -
= ,因此甲做了 ÷
61220306
1
=5(天)
30
练习3:
1、 一项工程,甲独做12天完成,乙独做4天完成。若甲先做若
干天后,由乙接着做余下
的工程,直至完成全部任务,这样前后共用了6天,甲先做了几
天?
2、 一项工程,甲队单独做需30天完成,乙队单独做需40天完成。甲队单独做若干天后,
由乙队接着做,共用35天完成了任务。甲、乙两队各做了多少天?
3、 一项工程,甲独
做要50天,乙独做要75天,现在由甲、乙合作,中间乙休息几天,
这样共用40天完成。求乙休息的
天数。
例4:
甲、乙两人合作加工一批零件,8天可以完成。中途甲因事停工3
天,因此,两人共用
了10天才完成。如果由甲单独加工这批零件,需要多少天才能完成?
解法一:先求出乙的工作效率,再求出甲的工作效率。最后求出甲单独做需要的天数。
17
① 甲、乙同时做的工作量为 ×(10-3)=
88
71
② 乙单独做的工作量为1- =
88
11
③
乙的工作效率为 ÷3=
824
111
④ 甲的工作效率为 - =
82412
1
⑤ 甲单独做需要的天数为1÷ =12(天)
12
解法二:从题中得知,由于甲停工3天,致使甲、乙两人多做了(10-8=)2天。由此可知,
甲3天
的工作量相当于这批零件的2÷8=14
3÷[(10-8)÷8]=12(天)或
3×[8÷(10-8)]=12(天)
答:甲单独做需要12天完成。
练习4:
1、 甲、乙两人合作某项工程需要12天。在
合作中,甲因输请假5天,因此共用15天才
完工。如果全部工程由甲单独去干,需要多少天才能完成?
2、
一段布,可以做30件上衣,也可做48条裤子。如果先做20件上衣后,还可以做多少
条裤子?
3、 一项工程,甲、乙合作6小时可以完成,同时开工,中途甲通工了2.5小时,因此,
经过7.5小时才完工。如果这项工程由甲单独做需要多少小时?
4、 一项工程,甲先单独做2天
,然后与乙合作7天,这样才完成全工程的一半,已知甲、
乙工作效率的比是3:2,如果这件工作由乙
单独做,需要多少天才能完成?
例5:
放满一个水池的水,如果同时开放①②③
号阀门,15小时放满;如果同时开放①③⑤
号阀门,12小时可以放满;如果同时开放②④⑤号阀门,
8小时可以放满。问:同时开放这
五个阀门几小时可以放满这个水池?
从整体入手,比较条件
中各个阀门出现的次数可知,①③号阀门各出现3次,②
11111
④⑤号阀门各出现2次。如
果 + + + 再加一个 ,则是五个阀门各放3小时的
15101288
总水量。
111111
1÷[( + + + + )÷3]=1÷[
÷3]=6(小时)
151012882
练习5:
1、 完成一件工作,甲、乙合
作需15小时,乙、丙两人合作需12小时,甲、丙合作需
10小时。甲、乙丙三人合作需几小时才能完
成?
11
2、 一项工程,甲干3天,乙干5天可以完成 ,甲干5天、乙干3天可完成
。甲、
23
乙合干需几天完成?
3、 完成一件工作,甲、乙两人合作需20小时,
乙、丙两人合作需28小时,丙、丁两
人合作需30小时。甲、丁两人合作需几小时?
4、
一项工程,由一、二、三小队合干需18天完成,由二、三、四小队合干需15天完
成,由一、二、四小
队合干需12天完成,由一、三、四小队合干需20天完成。由
第一小队单独干需要多少天?
答案:
练1
11
1、 1÷( + )÷2=7.5小时
4×68×5
11
2、 1÷( ×2+ ×7)=3天
3×84×7
3、 (1)共同运两天后,还剩这堆黄沙的
1111
1-( ×2+ ×5+ ×7)×2=
3×44×520×64
11
(2)后两天需要小板车: ÷( ×2)=15辆
420×6
练2
11
1、 2÷( + )-10=2小时
1015
111
2、
2÷( + + )=8小时
18129
11
甲帮乙:(1- ×8)÷ =6小时
1218
11
甲帮丙:(1- ×8)÷ =2小时
918
515
3、 解法一:12×( ÷ )÷(1- )=240个
8128
解法二:12÷(8-5)×5×12=240个
练3
111
1、 ( ×6-1)÷( - )=3天
4412
111
2、 甲:(1- ×35)÷( - )=15天
403040
乙:35-15=20天
11
3、
40-(1- ×40)÷ =25天
5075
练4
1、
5×【12÷(15-12)】=20天
2、 48-48÷30×20=16条
3、
2.5×【6÷(7.5-6)】=10小时
练5
111
1、 1÷【( + +
)÷2】=8小时
151210
11
2、 1÷【( +
)÷(3+5)】=9.6天
23
111
3、 1÷( + - )=21小时
203028
11111
4、 1÷【( + + + )÷3- 】=54天
1815122015
第二十三周周期工程问题
专题简析:
周
期工程问题中,工作时工作人员(或物体)是按一定顺序轮流交替工作的。
解答时,首先要弄清一个循环
周期的工作量,利用周期性规律,使貌似复杂的问
题迅速地化难为易。其次要注意最后不满一个周期的部
分所需的工作时间,这样
才能正确解答。
例1:一项工程,甲单独做需要12小时
,乙单独做需要18小时。若甲做1小时
后乙接替甲做1小时,再由甲接替乙做1小时„„两人如此交替
工作,问完成
任务时需共用多少小时?
把2小时的工作量看做一个循环,先求出循环的次数。
① 需循环的次数为:1÷(
1136
+)=>7(次)
12185
111
+)×7=
121836
111
÷=(小时)
36123
②
7个循环后剩下的工作量是:1-(
③ 余下的工作两还需甲做的时间为:
11
④
完成任务共用的时间为:2×7+=14(小时)
33
1
答:完成任务时需共用14小时。
3
练习1:
1、一项工程,甲单独做要6小时完成,乙单独做要10小时完成。如果按甲、乙;
甲、乙 „„的顺序交替工作,每次1小时,需要多少小时才能完成?
2、一部书稿,甲单独打字要14小时, 乙单独打字要20小时。如果先由甲打1
小时,然后由乙接替甲打1小时;再由甲接替乙打1小时„„两 人如此交替
工作,打完这部书稿共需用多少小时?
3、一项工作,甲单独完成要9小时,乙单 独完成要12小时。如果按照甲、乙;
甲、乙„„的顺序轮流工作,每人每次工作1小时,完成这项工程 的23共
要多少时间?
2
例2:一项工程,甲、乙合作2
6天完成。如果第一天甲做,第二天乙做,这样
3
交替轮流做,恰好用整数天完成。如果第一天
乙做,第二天甲做,这样交替轮
流做,比上次轮流做要多半天才能完成。这项工程由甲单独做要多少天才
能完
成?
由题意可以推出“甲先”的轮流方式,完成时所用的天数为奇数,否则不论
“甲先”还是“乙先”,两种轮流方式完成的天数必定相同。根据“甲先”的轮
流方式为奇数,两种轮流
方式的情况可表示如下:
甲乙甲乙„„甲乙甲
1
乙甲乙甲„„乙甲乙甲
2
竖线左边做的天数为偶数,谁先做没关系。竖线右边可以看出,乙做一天等
于甲做半天,即甲
的工作效率是乙的2倍。
221
① 甲每天能做这项工程的1÷26×=
31+240
② 甲单独做完成的时间1÷
1
=40(天)
40
答:这项工程由甲单独做需要40天才能完成。
练习2:
1、一项工
程,乙单独做20天可以完成。如果第一天甲做,第二天乙做,这样轮
流交替做,也恰好用整数天完成。
如果第一天乙做,第二天甲做,这样轮流
交替做,比上次轮流做要多半天才能完成。这项工程由甲独做几
天可以完成?
2、一项工程,甲单独做6天可以完成。如果第一天甲做,第二天乙做,这样轮
流交替做,恰好也用整数天完成。如果第一天乙做,第二天甲做,这样轮流
1
交替做,比上次轮
流做要多天才能完成。这项工程由甲、乙合作合作几天可
3
以完成?
3
3、
一项工程,甲、乙合作12小时可以完成。如果第一小时甲做,第二小时乙
5
做,这样轮流交替
做,也恰好用整数小时完成。如果第一小时乙做,第二小
1
时甲做,这样轮流交替做,比上次轮
流做要多小时才能完成。这项工程由甲
3
独做几小时可以完成?
4、蓄水池有一跟进
水管和一跟排水管。单开进水管5小时灌满一池水,单开排
水管3小时排完一池水。现在池内有半池水,
如果按进水、排水;进水、排
水„„的顺序轮流依次各开1小时,多少小时后水池的水刚好排完?
p>
例3:一批零件,如果第一天甲做,第二天乙做,这样交替轮流做,恰好用整数
天数
完成。如果第一天乙做,第二天甲做,这样交替轮流做,做到上次轮流完
成时所用的天数后,还剩60个
不能完成。已知甲、乙工作效率的比是5:3。甲、
乙每天各做多少个?
由题意可以推出“甲
先”的轮流方式,完成时所用的天数为奇数,否则不论
“甲先”还是“乙先”,两种轮流方式完成的天数
必定相同。根据“甲先”的轮
流方式为奇数,两种轮流方式的情况可表示如下:
甲乙甲乙„„甲乙甲
乙甲乙甲„„乙甲乙剩60个
竖线左边做的天数为偶数,谁先
做没关系。竖线右边可以看出,剩下的60
个零件就是甲、乙工作效率的差。
甲每天做的个数为:60÷(5-3)×5=150(个)
乙每天做的个数为:60÷(5-3)×3=90(个)
答:甲每天做150个,乙每天做90个。
练习3:
1、一批零件如果第一天师傅
做,第二天徒弟做,这样交替轮流做,恰好用整数
天完成。如果第一天徒弟做,第二天师傅做,这样交替
轮流做,做到上次轮
流完成时所用的天数后,还剩84个不能完成。已知师、徒工作效率的比是7:4。师、徒二人每天各做多少个?
2、一项工程,如果第一天甲做,第二天乙做,这样交替轮流恰
好用整数天完成。
2
如果死一天乙做,第二天甲做,这样交替轮流做要多天才能完成。如果让甲
、
5
5
乙二人合作,只需2天就可以完成。现在,由乙独做需要几天才能完成? 8
3、红星机械厂有1080个零件需要加工。如果第一小时让师傅做,第二小时让徒
弟做
,这样交替轮流,恰好整数小时可以完成。如果第一小时让徒弟做,第
二小时让师傅做,这样交替轮流,
做到上次轮流完成时所用的天数后,还剩
60个不能完成。如果让师、徒二人合作,只需3小时36分就
能完成。师、
徒每小时各能完成多少个?
例4:打印一部稿件,甲
单独打要12小时完成,乙单独打要15小时完成。现在,
甲、乙两人轮流工作。甲工作1小时,乙工作
2小时;甲工作2小时,乙工作1
小时;甲工作1小时,乙工作2小时„„如此这样交替下去,打印这部
书稿共
要多少小时?
根据已知条件,我们可以把6小时的工作时间看做一个循环。在每一个循
环
中,甲、乙都工作了3小时。
①
每循环一次,他们共完成全部工程的(
92
② 总工作量里包含几个920:1÷=2
209
③ 甲、乙工作两个循环后,剩下全工程的1-
91
×2=
2010
119
+)×3=
121520
④ 由于
11<
br>>,所以,求甲工作1小时后剩下的工作由乙完成还需的时间
1012
1111
-)÷=
1012154
为(
11
⑤
打印这部稿件共需的时间为:6×2+1+=13(小时)
44
1
答:打印这部稿件共需13小时。
4
练习4:
1
、一个水池安装了甲、乙两根进水管。单开甲管,24分钟能包空池灌满;单开
乙管,18分钟能把空池
灌满。现在,甲、乙两管轮流开放,按照甲1分钟,
乙2分钟,甲2分钟,乙1分钟,甲1分钟,乙2分
钟„„如此交替下去,
灌满一池水共需几分钟?
2、一件工作,甲单独做,需12小时完成;
乙单独做需15小时完成。现在,甲、
乙两人轮流工作,甲工作2小时,乙工作1小时;甲工作1小时,
乙工作2
小时;甲工作2小时,乙工作1小时„„如此交替下去,完成这件工作共需
多少小时?
3、一项工程,甲单独做要50天完工,乙单独做需60天完工。现在,自某年的
3月2日两人
一起开工,甲每工作3天则休息1天,乙每工作5天则休息一
天,完成全部工程的
52
为几月几日?
75
4、一项工程,甲工程队单独做完要150天,乙工程队单独做完需180
天。两队
合作时,甲队做5天,休息2天,乙队做6天,休息1天。完成这项工程要
多少天?
例5:
有一项工程,由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙
次序
轮做,恰好整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用0.5
1
天;如果按丙、甲、乙次序做,比原计划多用天。已知甲单独做13天完成。
3
且3个工程队的
工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工?
由题意可以推出:按甲、乙、丙次序轮做,
能够的天数必定是3的倍数余1
或余2。如果是3的倍数,三种轮流方式完工的天数,必定相同。如果按
甲、乙、
丙的次序轮流做,用的天数是3的倍数余1。三种轮流方式做的情况可表示如下:
甲乙丙,甲乙丙,„„甲乙丙,甲
1
乙丙甲,乙丙甲,„„乙丙甲,乙丙
2
1
丙甲乙,丙甲乙,„„丙甲乙,丙甲
3
21212
从
中可以退出:丙=甲;由于乙=甲-丙=甲-甲×,又推出乙=甲;与
32323
题中“三个工
程队的工效各不相同”矛盾。所以,按甲、乙、丙的次序轮做,用
的天数必定是3的倍数余2。三种轮流
方式用的天数必定如下所示:
甲乙丙,甲乙丙,„„甲乙丙,甲乙
1
乙丙甲,乙丙甲,„„乙丙甲,乙丙甲
2
1
丙甲乙,丙甲乙,„„丙甲乙,丙甲乙
3
12
由此推出:丙=甲,丙=乙
23
①
丙队每天做这项工程的
111
×=
13226
123
÷=
26352
1137
++)=5(天)
1326529
②
乙队每天做这项工程的
③
甲、乙、丙合作完工需要的时间为1÷(
7
答:甲、乙、丙合作要5天完工。
9
练习5:
1、有一项工程,由三个工程队每天轮做。原计划按甲、
乙、丙次序轮做,恰好
1
用整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用天;如
果按
3
1
丙、甲、乙次序做,比原计划多用天。已知甲单独做7天完成。且3个工程<
br>4
队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工?
2、有一项工程,由
三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做,恰好
1
整数天完成呢感。如果按乙、丙、
甲次序轮做。比原计划多用天;如果按丙、
2
1
甲、乙次序做,比原计划多用天。已知
甲单独做10天完成。且3个工程队
2
的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完
工?
3、有一项工程,由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序
1
轮做,恰好整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用天;
2
1
如
果按丙、甲、乙次序做,比原计划多用天。已知这项工程由甲、乙、丙三
3
7
个工程队
同时合作,需13天可以完成,且3个工程队的工效各不相同。这
9
项工程由甲独做需要多少天
才能完成?
4、蓄水池装有甲、丙两根进水管和乙、丁两根排水管。要注满一池水,单开甲
管
需要3小时,单开丙管需要5小时。要排光一池水,单开乙管要4小时,
1
单开丁管要6小时。
现知池内有池水,如果按甲、乙、丙、丁,甲、乙、丙、
6
丁„„的顺序轮流各开1小时,多长
时间后水开始溢出水池?
答案:
练1
1、 (1)需循环的次数
1115
1÷(+)=>3
6104
(2)3个循环后剩下的工作量
111
1-(+)×3=
6105
(3)最后由乙做的时间
1111
(-)÷=小时
56103
(4)需要的总时间
11
2×3+1+=7小时
33
2、 (1)需循环的次数
11140
1÷(+)=>8
142017
(2)3个循环后剩下的工作量
1-(
114
+)×8=
1420140
(3)最后由乙做的时间
412
÷=小时
140145
(4)需要的总时间
22
2×8+=16小时
55
3、 (1)需循环的次数
21124
÷(+)=>3
39127
(2)3个循环后剩下的工作量
2111
-(+)×3=
391212
(3)最后由乙做的时间
113
÷=小时
1294
(4)需要的总时间
33
2×3+=6小时
44
练2
1、 提示:甲的效率是乙的2倍
20÷2=10天
2
2、 提示:乙的效率是甲的
3
1113
1÷【×(1-)+】=3天
6365
2
3、 提示:乙的效率是甲的
3
33
1÷(1÷12×)=21小时
53-1+3
4、 (1)需几个周期
11115
÷(-)×3=>3
2354
(2)3个周期后剩下的水
1111
-(-)×3=
23510
(3)需要的时间
2×3+1+(
1119
+)÷=7小时
105310
练3
1、
师傅:84÷(7-4)×7=196个
徒弟:84÷(7-4)×4=112个
23
2、 提示:乙的效率是甲的(1-)=
55
53
1÷(1÷2×)=7天
85-2+5
3
3、 3小时36分=3小时
5
3
师、徒效率和:1080÷3=300个
5
师傅每小时的个数:(300+60)÷2=180个
徒弟每小时的个数:(300-60)÷2=120个
练4
1、
提示:把6分钟看作一个循环
(1) 每循环一次的工作量
(
117
+)×(1+2)=
241824
7
(2) 总工作量里面有几个
24
1÷
73
=3
247
(3) 3个循环后剩下的工作量
71
1-×3=
248
(4) 一共需要的时间
1111
6×3+1+(-)÷=20分钟
824182
2、 提示:把6分钟看作一个循环
(1) 1个循环的工作量
(
119
+)×(1+2)=
121520
9
20
(2) 总工作量里面有几个
92
=2
209
1÷
(3) 3个循环后剩下的工作量
91
1-×2=
2010
(4) 一共需要的时间
6×2+
111
÷=13小时
10125
11
说明:2个循环后,是由甲接着干2小时,所以直接用÷
1012
3、
提示:把12天看作一个循环
12天中甲的工作量
19
×(3+3+3)=
5050
12天中乙的工作量
11
×(5+5)=
606
总共需要的天数
5291
÷(+)=2
75506
(12天减去最后休息的1天)
12×2-1=23天
52
完成全部任务的为3月24日。
75
4、
提示:把7天看作一个周期
22
1÷(×5+×6)=15
33
7×15-1=104天
练5
1、 提示:按
甲、乙、丙的顺序轮流做,所用的整数天数为3的倍数余2,否
23
则与题意不符。由此推出丙
的效率是甲的,丙的效率也是乙的。
34
122
(1) 丙的工作效率×=
7321
(2) 乙的工作效率
238
÷=
21463
12817
(3) 甲、乙、丙三队合做的天数1÷(++)=2天
7216323
2、 提示:按甲、乙、丙的顺序轮流做,所用的整数天数为3的倍数余1,否
则
13
与题意矛盾。由此可以推出丙的效率是甲的,乙的效率是甲的。
24
111
(1) 丙的效率×=
10220
(2)
乙的效率
1113
×(1-×)=
102240
1134
++)=4天
1020409
(3)
甲、乙、丙三队合做的天数1÷(
122
3、 由题意可以推出,丙的效率是甲
的=,丙的效率是乙的,进而推出甲、
243
乙、丙工作效率的比是4:3:2。
74
1÷(1÷13×)=31天
94+3+2
2
4、 提示:每四个水管轮流打开后,水池中的水不能超过,否则开甲
管的过程
3
中水池里的水就会溢出。
2
(1)
水池里的水超过时需要几个循环
3
21111130
(-)÷(-+-)=>4
3634567
(2) 循环5次以后,池中水占
111113
+(-+-)×5=
634564
(3) 总共需要的时间
313
4×5+(1-)÷=20小时
434
第二十四周 比较大小
专 题 简 析:
我们已经掌握了基本的比较
整数、小数、分数大小的方法。本周将进一步研究如何比较
一些较复杂的数或式子的值的大小。
解答这种类型的题目,需要将原题进行各种形式的转化,再利用一些不等式的性质进行
11a
推理判断。如:a>b>0,那么a的平方>b的平方;如果a>b>0,那么 < ;如果
>
abb
1,b>0,那么a>b等等。
比较大小时,如果要比较的分数都接近1时
,可先用1减去原分数,再根据被减数相等
(都是1),减数越小,差越大的道理判断原分数的大小。
如果两个数的倒数接近,可以先用1分别除以这两个数。再根据被除数相等,商越小,
除数越大
的道理判断原数的大小。
除了将比较大小转化为比差、比商等形式外,还常常要根据算式的特点将它作
适当的变
形后再进行判断。
例1:
777773888884
比较 和 的大小。
777778888889
这两个分数的分子与分母各不相同,不能直接比较大小,使用通分的方法又太麻烦。由
于这里的两个分数
都接近1,所以我们可先用1分别减去以上分数,再比较所得差的大小,
然后再判断原来分数的大小。
77777358888845
因为1- = ,1- =
777778777778888889888889
55
>
777778888889
777773888884
所以 < 。
777778888889
练习1:
77777756666661
1、
比较 和 的大小。
77777776666663
98765987698798
2、 将 , , ,
按从小到大的顺序排列出来。
98766987798899
235861652971
3、 比较 和 的大小。
235862652974
例2:
1111111
比较 和
哪个分数大?
111111111
可以先用1分别除以这两个分数,再比较所得商的大小,最
后判断原分数的大小。
11111111
因为1÷ = =10
1111111111
1111111111
1÷ = =10
11
10
11
>10
1111111
1111111
所以 <
111111111
练习2:
33333
1、 比较A= 和B=
的大小
1666166
11111111
2、 比较 和 的大小
222222221888888887
88888879999991
3、 比较
和 的大小。
88888899999994
例3:
1234512346
比较 和 的大小。
9876198765
两
个分数中的分子与分子、分母与分母都较为接近,可以根据通分的原理,用交叉相乘
法比
较分数的大小。
因为12345×98765
=12345×98761+12345×4
=12345×98761+49380
12346×98761
=12345×98761+98760
而 98761>49380
所以12346×98761>12345×98765
则
1234512346
<
9876198765
练习3
176177
1、 比较 和 的大小。
257259
2222144443
2、 如果A= ,B=
,那么A与B中较大的数是_______.
3333266665
5671
3、
试比较 与 的大小。
987654398765431
例4.
123473
已知A×15×1 =B× ÷ ×15=C×15.2÷ =D×14.8×
。A、B、C、D四个数
9934574
中最大的是_______.
123473
求A、B、C、D四个数中最大的数,就要找15×1 , ÷
×15,15.2÷ ,14.8×
9934574
中最小的。
1
15×1 >15
99
4
15.2÷ >15
5
231
÷ ×15=13
343
73
14.8× =14.6
74
23
答:因为 ÷
×15的积最小,所以B最大。
34
练习4
241
1、 已知A×1
=B×90%=C÷75%=D× =E÷1
。把A、B、C、D、E这5个数从小
355
到大排列,第二个数是______.
●●●
252413
1、 2、 有八个数,0.51 , , ,0.51, ,
是其中的六个数,如果从小到大排列
394725
时,第四个数是0.5111„,那么从大到
小排列时,第四个数是哪个?
3、 在下面四个算式中,最大的得数是几?
1111
(1)( + )×20
(2)( + )×30
17192429
1111
(3)( +
)×40 (4)( + )×50
31374147
例5.
图24-1中有两个红色的正方形,两个蓝色的
正方形,它们的面积已在图中标出(单位:
平方厘米)。问:红色的两个正方形面积大还是蓝色的两个正
方形面积大?
2
1996
1992
2
红
蓝
1997
2
2
1993
红
蓝
通过计算结果再比较大小自然是可以,但比较麻烦。我们可以采取间接比较的方法。
22
1997-1997=(1997+1966)×(1997-1996)
=3993
22
1993-1992=(1993+1992)×(1993-1992)
=3985
() 22 22
因为1997-1997>1993-1992
22 22
所以
1997+1997>1993+1992
练习5
1、 如图24-2所示,有两个红色的
圆和两个蓝色的圆。红色的两圆的直径分别是1992
厘米和1949厘米,蓝色的两圆的直径分别是1
990厘米和1951厘米。问:红色的两圆
面积之和大,还是蓝色的两圆面积之和大?
2、 如图24-3所示,正方形被一条曲线分成了A、B两部分,如果x>y,是比较A、B
两部分周长的大小。
1357991
3、 问 × × × ×„× 与
相比,哪个更大?为什么?
246810010
Y
红
蓝
A
B
x
红
蓝
图24-2 图24-3
答案:
练1
77777756666661
1、 >
77777776666663
98987987698765
2、 < < <
99988987798766
235861652971
3、 >
235862652974
练2
33333
1、 >
1666166
11111111
2、 <
222222221888888887
88888879999991
3、 >
88888899999994
练3
176177
1、 >
257259
2222144443
2、 <
3333266665
5671
3、 <
987654398765431
练4
1、 C
●●●●
251324
2、 六个已知的数的大到小排列是 > > >0.51
>0.51> ,因为0.51是八个数从
392547
●
小到大排列的第四个,说明
另外两个数一定比0.51小,所以这八个数中第四个大的数
是0.51。
3、
(3)的积最大
练5
1、 红色两圆的面积大
2、 B的周长大。
1357991
3、 × × × ×„× < 。
246810010
●●
第二十五周 最大最小问题
专题简析:
人们碰到的各种
优化问题、高效低耗问题,最终都表现为数学上的极值问题,即小学阶
段的最大最小问题
。最大最小问题设计到的知识多,灵活性强,解题时要善于综合运用所学
的各种知识。
例1:
a-b
a和b是小于100的两个不同的自然数,求 的最大值。
a+b
根据题意,应使分子尽可能大,使分母尽可能小。所以b=1;由b=1可知,分母比分子
大2,也就是说,所有的分数再添两个分数单位就等于1,可见应使所求分数的分数单位尽
可能小,因
此a=99
a-b99-149
的最大值是 =
a+b99+150
a-b49
答: 的最大值是 。
a+b50
练习1:
x-y
1、
设x和y是选自前100个自然数的两个不同的数,求 的最大值。
x+y
a-b
2、 a和b是小于50的两个不同的自然数,且a>b,求
的最小值。
a+b
x+y
3、
设x和y是选自前200个自然数的两个不同的数,且x>y,①求
的最大值;
x-y
x+y
②求 的最小值。
x-y
例2:
22
有甲、乙两个两位数,甲数 等于乙数的
。这两个两位数的差最多是多少?
73
22
甲数:乙数= : =7:3,甲数的7
份,乙数的3份。由甲是两位数可知,每份的数
37
量最大是14,甲数与乙数相差4份,所以
,甲、乙两数的差是14×(7-3)=56
答:这两个两位数的差最多是56。
练习2:
34
1、
有甲、乙两个两位数,甲数的 等于乙数的 。这两个两位数的差最多是多少?
105
51
2、 甲、乙两数都是三位数,如果甲数的 恰好等于乙数的
。这两个两位数的和最小
64
是多少?
3、 加工某种机器零件要三道工序,专做第
一、二、三道工序的工人每小时分别能做48
个、32个、28个,要使每天三道工序完成的个数相同,
至少要安排多少工人?
例3:
如果两个四位数的差等于8921,就是说这两个
四位数组成一个数对。问:这样的数对
共有多少个?
在这些数对中,被减数最大是9999,
此时减数是9999-8921=1078,被减数和剑术同
时减去1后,又得到一个满足题意条件的四
位数对。为了保证减数是四位数,最多可以减去
78,因此,这样的数对共有78+1=
79个。
答:这样的数对共有79个。
练习3
1、 两个四位数的差是8921。这两个四位数的和的最大值是多少?
2、 如果两个三位
数的和是525,就说这两个三位数组成一个数对。那么这样的数对共有
多少个?组成这样的数对的两个
数的差最小是多少?最大是多少?
3、 如果两个四位数的差是3456,就说这两个数组成一个数对
。那么,这样的数对共有多
少个?组成这样的数对的两个数的和最大是多少?最小是多少?
例4.
三个连续自然数,后面两个数的积与前面两个数的积之差是114。这三个数中最小的是多
少?
因为:最大数×中间数-最小数×中间数=114,即:(最大数-最小数)×中间数=
114
而三个连续自然数中,最大数-最小数=2,因此,中间数是114÷2=57,最小数是
57
-1=56
答:最小数是56。
练习4
1、
桑连续的奇数,后两个数的积与前两个数的积之差是252。三个数中最小的数是
______.
2、 a、b、c是从小到大排列的三个数,且a-b=b-c,前两个数的积与后两个数
的积
之差是280。如果b=35,那么c是_____。
3、
6510
被分数 ,
, 除得的结果都是整数的最小分数是______。
71421
例5.
三个数字能组成6个不同的三位数。这6个三位数的和是2886。求所有这样的6个三位数中的最小的三位数。
因为三个数字分别在百位、十位、个位各出现了2次。所以,2886÷
222能得到三个数
字的和。
设三个数字为a、b、c,那么6个不同的三位数的和为
abc+acb+bac+bca+cab+cba
=(a+b+c)×100×2+(a+b+c)×100×2+(a+b+c)×100×2
=(a+b+c)×222
=2886
即a+b+c=2886÷222=13
答:所有这样的6个三位数中,最小的三位数是139。
练习5
1、 有三个数字能组成6
个不同的三位数。这6个不同的三位数的和是3108。所有这样
的6个三位数中最大的一个是多少?
2、 有三个数字能组成6个不同的三位数。这6个不同的三位数的和是2220。所有这样
的
6个三位数中最小的一个是多少?
3、 用a、b、c能组成6个不同的三位数。这6个三位数相加的
和是2886。已知a、b、
c三个数字中,最大的数字是最小数字的2倍,这6个三位
数中最小的数是多少?
答案:
练1
991201
1、
2、 3、 (1)399 (2)
10197199
练2
1、
甲、乙两数的比是8:3,甲数最大是96
,差最大是60。
2、 甲、乙两数的比是3:10,甲数最小是102,和最小是442。
111
3、 一、二、三道工序所需的工人数的比是
: :
=14:21:24,所以至少安排
483228
14+21+24=59个工人。
练3
1、 9999+(9999-8921)=11077
2、 较小的数最大
是(521-1)÷2=262,100~262共有163个自然数,所以共有163对,
两个数的差
最大是525-100-100=325
3、 数对共有9999-3456-1000+1=554
4个,两个数的和最大是9999-3456+9999=
16542,两个数的和最小是1000+3
456+1000=5456
练4
1、 最大数-最小数=4
中间数=252÷4=63 最小数=63-2=61
2、 根据题意可得(a-c)×b=2
80,进而可以推出a-c=280÷b=280÷35=8,所以,
c=35-8÷2=31
3、 所求的分数,它的分子是6,5,10的最小公倍数,分母是7,14,21的最大公约数,<
br>30
所以答案是 。
7
练5
1、 符合题意的三个数字之和是31
08÷222=14,因此,所有这样的6个三位数中最大的
一个是941(三个数字不能有0,否则就
不能排出6个不同的三位数)。
2、
三个数字的和是2220÷222=10,最小的一个是127。
3、 最小的数是346。
第二十六周 乘法和加法原理
专题简析:
在做一件事情时,要分几步
完成,而在完成每一步时又有几种不同的方法,要知道完成
这件事一共有多少种方法,就用乘法原理来解
决。做一件事时有几类不同的方法,而每一类
方法中又有几种可能的做法就用加法原理来解决。
例题1:
由数字0,1,2,3组成三位数,问:
①可组成多少个不相等的三位数?
②可组成多少个没有重复数字的三位数?
在确定组成三位数的过程中,应该一位一位地去确定,所以每个问题都可以分三个步骤
来完成。
①要求组成不相等的三位数,所以数字可以重复使用。百位上不能取0,故有3种不同<
br>的取法:十位上有4种取法,个位上也有4种取法,由乘法原理共可组成3×4×4=48个不
相
等的三位数。
②要求组成的三位数没有重复数字,百位上不能取0,有三种不同的取法,十位上有三<
br>种不同的取法,个位上有两种不同的取法,由乘法原理共可组成3×3×2=18个没有重复数
字
的三位数。
练习1:
1、有数字1,2,3,4,5,6共可组成多少个没有重复数字的四位奇数?
2、在自然数中,用两位数做被减数,一位数做减数,共可组成多少个不同的减法算式?
3、由数字1,2,3,4,5,6,7,8,可组成多少个:
①三位数;
②三位偶数;
③没有重复数字的三位偶数;
④百位是8的没有重复数字的三位数;
⑤百位是8的 没有重复数字的三位偶数。
例题2:
有两个相同的正方
体,每个正方体的六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6。将两个
正方体放在桌面上,向上的一
面数字之和为偶数的有多少种情形?
要使两个数字之和为偶数,就需要这两个数字的奇、偶性相同,即
两个数字同为奇数或
偶数。所以,需要分两大类来考虑:
两个正方体向上一面同为奇数的共有3×3=9(种)不同的情形;
两个正方体向上一面同为偶数的共有3×3=9(种)不同的情形;
两个正方体向上一面同为偶数的共有3×3+3×3=18(种)不同的情形。
练习2:
1、在1—1000的自然数中,一共有多少个数字1?
2、在1—500的自然数中,不含数字0和1的数有多少个?
3、十把钥匙开十把锁,但不
知道哪把钥匙开哪把锁,问最多试开多少次,就能把锁和
钥匙配起来?
4、由数字0,1,2,3,4可以组成多少个没有重复数字的三位偶数?
例题3:
书架上层有6本不同的数学书,下层有5本不同的语文书,若任意从书架上取一本数
学
书和一本语文书,有多少种不同的取法?
从书架上任取一本数学书和一本语文书,可分两个
步骤完成,第一步先取数学书,有6
种不同的方法,而这6种的每一种取出后,第二步再取语文书,又有
5种不同的取法,这样
共有6个5种取法,应用乘法计算6×5=30(种),有30种不同的取法。
练习3:
1、商店里有5种不同的儿童上衣,4种不同的裙子,妈妈准备为女儿买上衣一件和
裙
子一条组成一套,共有多少种不同的选法?
2、小明家到学校共有5条路可走,从学校到少
年宫共有3条路可走。小明从家出发,
经过学校然后到少年宫,共有多少种不同的走法?
3、张师傅到食堂吃饭,主食有2种,副食有6种,主、副食各选一种,他有几种不同
的选法?
例题4:
在2,3,5,7,9这五个数字中,选出四个数字,组
成被3除余2的四位数,这样的四
位数有多少个?
从五个数字中选出四个数字,即五个数字中
要去掉一个数字,由于原来五个数字相加的
和除以3余2,所以去掉的数字只能是3或9。
去
掉的数字为3时,即选2,5,7,9四个数字,能排出4×3×2×1=24(个)符合要
求的数,去
掉的数字为9时也能排出24个符合要求得数,因此这样的四位数一共有24+24=48
(个)
练习4:
1、在1,2,3,4,5这五个数字中,选出四个数字组成被3除余2的四位数,
这样的
四位数有多少个?
2、在1,2,3,4,5这五个数字中,选出四个数字组成能被3
整除的四位数,这样的
四位数有多少个?
3、在1,4,5,6,7这五个数字中,选出四个
数字组成被3除余1的四位数,这样的
四位数有多少个?
例题5:
从学
校到少年宫有4条东西的马路和3条南北的马路相通(如图),小明从学校出发到
少年宫(只许向东或向
南行进),最后有多少种走法?
为了方便解答,把图中各点用字母表示如图。根据小明步行规则,显然
可知由A到T
通过AC边上的各点和AN边上的各点只有一条路线,通过E点有两条路线(即从B点、D
点
来各一条路线),通过H点有3条路线(即从E点来有二条路线,从G点来有一条路线),这
样推断可知通过任何一个交叉点的路线总数等于通过该点左边、上方的两邻接交叉点的路线
的总和,因此
,可求得通过S点有4条路线,通过F点有3条路线„„由此可见,由A点通
过T点有10条不同的路线
,所以小明从学校到少年宫最多有10种走法。
练习5:
1、从学校到图书馆有5条东西的
马路和5条南北的马路相通(如图)。李菊从学校出发
步行到图书馆(只许向东或向南行进),最多有多
少种走法?
2、某区的街道非常整齐(如图),从西南角A处走到东北角B处,要求走最近的路,一<
br>共有多少种不同的走法?
3、如图有6个点,9条线段,一只小虫从A点出发,要沿着某几条线
段爬到F点。行
进中,同一个点或同一条线段只能经过一次,这只小虫最多有多少种不同的走法?
答案:
练1
1、 3×5×4×3=180个
2、 90×9=810个
3、 8×8×8=512个
4×8×8=256个
4×7×6=168个 1×7×6=42个
1×3×6=18个
练2
1、 9180+3=192个
2、
8+8×8+3×8×8=264个
3、
9+8+7+6+5+4+3+2+1=45次
练3
1、 24个 2、
42个 3、 48个 48个
练4
1、 48个 2、
24个 3、 72个
练5
1、 12个 2、 18个
3、 30个 12个
表面积与体积(一)
专题简析:
小学阶段所学的立体图形
主要有四种长方体、正方体、圆柱体和圆锥体。从
平面图形到立体图形是认识上的一个飞跃,需要有更高
水平的空间想象能力。因
此,要牢固掌握这些几何图形的特征和有关的计算方法,能将公式作适当的变形
,
养成“数、形”结合的好习惯,解题时要认真细致观察,合理大胆想象,正确灵
活地计算。
在解答立体图形的表面积问题时,要注意以下几点:
(1)充分利用正方体六个面
的面积都相等,每个面都是正方形的特点。
(2)把一个立体图形切成两部分,新增加的表面积等于切
面面积的两倍。
反之,把两个立体图形粘合到一起,减少的表面积等于粘合面积的两倍。
(3
)若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体,应把它们最小的面拼
合起来。若把几个长方体拼成一个
表面积最小的长方体,应把它们最大的面拼合
起来。
例题1:
从一个棱
长10厘米的正方体木块上挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘
米的小长方体,剩下部分的表面积是
多少?
这是一道开放题,方法有多种:
①按图27-1所示,沿着一条棱挖,剩下部分的表面积为592平方厘米。
图27--1
②按图27-2所示,在某个面挖,剩下部分的表面积为632平方厘米。
图27--2
③按图27-3所示,挖通某两个对面,剩下部分的表面积为672平方厘米。
练习1:
图27--3
1、从一个长10厘米、宽6厘米、高5厘米的长
方体木块上挖去一个棱长2
厘米的小正方体,剩下部分的表面积是多少?
2、把一个长为12分米,宽为6分米,高为9分米的长方体木块锯成两个想
同的小厂房体木块,这两个小长方体的表面积之和,比原来长方体的表面积增加
了多少平方分米
?
3、在一个棱长是4厘米的立方体上挖一个棱长是1厘米的小正方
体后,表
面积会发生怎样的变化?
例题2:
把19个棱长为3厘米的正
方体重叠起来,如图27-4所示,拼成一个立体图
形,求这个立体图形的表面积。
图27—4
要求这个复杂形体的表面积,必须从整体入手,从上、左、前三个方向观
察,
每个方向上的小正方体各面就组合成了如下图形(如图27-5所示)。
从上往下看
而从另外三个方向上看到的面积与以上三个方向的面积是
相等的。整个立体
图形的表面积可采用(S上+S左+S前)×2来计算。
(3×3×9+3×3×8+3×3×10)×2
=(81+72+90)×2
=243×2
=486(平方厘米)
答:这个立体图形的表面积是486平方厘米。
练习2:
1、用棱长是1厘米的立方体拼成图27-6所示的立体图形。求这个立体图形
的表面积。
从左往右看
图27—5
从前往后看
图27—6
2、一堆积
木(如图27-7所示),是由16块棱长是2厘米的小正方体堆成的。
它们的表面积是多少平方厘米?
3、一个正方体的表面积是384平方厘米,把这个正方体平均分割成64个
相
等的小正方体。每个小正方体的表面积是多少平方厘米?
例题3:
把两个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、4厘米的相同长方体,拼成一个
大
长方体,这个大长方体的表面积最少是多少平方厘米?
把两个相同的大长方体拼成一个大厂
房体,需要把两个相同面拼合,所得大
厂房体的表面积就减少了两个拼合面的面积。要使大长方体的表面
积最小,就必
须使两个拼合面的面积最大,即减少两个9×7的面。
(9×9+9×4+7×4)×2×2—9×7×2
=(63+36+28)×4—126
=508—126
=382(平方厘米)
答:这个大厂房体的表面积最少是382平方厘米。
练习3:
1、把底面积为20平方厘米的两个相等的正方体拼成一个长方体,长方体的
表面积是多少?