小学生日记200字-辞职信范文

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇
一、四心的概念介绍
1. 定义：我们把三角形三个内角的角平分线的交点叫做三角形的内心,即三角形内切圆圆心;
三角形三条边 上的中垂线的交点叫做三角形的外心,即三角形外接圆圆心;三角形三条边上
的中线的交点叫做三角形的 重心;三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心.我们将三角形
的“内心”、“外心”、“重心”、“垂 心”合称为三角形的“四心”.
（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；
（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；
（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
2.应用 :三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的外心到三角形三个顶点的距离相
等;三角形的重心到 三角形的顶点的距离是相应中线长的三分之二;三角形的垂心与顶点的
连线垂直于该顶点的对边.
3.注意点:三角形的“四心”与平面向量知识的结合.

二、四心与向量的结合
（1）
OAOBOC0
O
是
ABC
的重心. < br>证法1：设
O(x,y),A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),C(x
3
,y
3
)
x
1
x
2
x
3

x


(x
1
x)(x
2
x)(x
3
x) 0

3



OAOBOC0


(y
1
y)(y
2
y)(y
3
y) 0

y
y
1
y
2
y
3
< br>3


O
是
ABC
的重心.
证法2：如图

OAOBOCOA2OD0


AO2OD


A、O、D
三点共线，且
O
分
AD
为2：1

O
是
ABC
的重心

（2）
OA OBOBOCOCOA
O
为
ABC
的垂心.
证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂
直BC， D、E是垂足.
B
A
O
E
DC
OAOBOBOCOB(OAOC )OBCA0

OBAC

A
E
O
同理
OABC
，
OCAB


O
为
ABC
的垂心

（3）设
a< br>,
b
,
c
是三角形的三条边长，O是

ABC的内心
BDC
aOAbOBcOC0O
为
ABC
的内心.

ABAC
、
分别为
AB、AC
方向上的单位向量，
cb
ABAC
平分
BAC
,


cb
bc
ABAC
)，令




AO< br>
(
abc
cb
证明：


AO
bc
ABAC
（)

abc
cb
化简 得
(abc)OAbABcAC0


aOAbOBcOC0

（4）
OAOBOC
O
为
ABC
的外心。

典型例题：

例1、
O
是平面上一定点，
A、 B、C
是平面上不共线的三个点，动点
P
满足
OPOA

(ABAC)
，



0,

，则点
P
的轨迹一定通过
ABC
的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
分析：如图所示
ABC< br>，
D、E
分别为边
BC、AC
的中点.
A
ABAC2AD


OPOA2

AD

OPOAAP

AP2

AD

AP

AD

BD
E
C

点P
的轨迹一定通过
ABC
的重心，即选
C
.
例2、（03全国理4）
O
是平面上一定点，
A、B、C
是平面上不共线 的三个点，动点
P
满足
OPOA

(
AB
AB

AC
AC
则点
P
的轨迹一定通过
ABC
的（ B ）
)
，



0,

，
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 分析：

ABAC
分别为
AB
、
、AC
方向上 的单位向量，
ABAC
AC
AC
平分
BAC
,

AB
AB


点
P
的轨迹一定通过
 ABC
的内心，即选
B
.

例3、O
是平面上一定点，
A、B、C
是平面上不共线的三个点，动点
P
满足
OPOA

(
AB
ABcosB

AC
ACcosC
)
，



0,
 ，则点
P
的轨迹一定通过
ABC
的
（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

分析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC， D、E是垂足.
A
(
AB
ABcosB

AC
ACcosC
)
BC
=ABBC
ABcosB

ACBC
ACcosC

E
ABBCcosB
=
ABcosB

ACBCcosC
ACcosC
=
BC
+
BC
=0
B
D
C

点
P
的轨迹一定通过
ABC
的垂心，即选
D
.

例4、已知点G是
ABC
内任意一点,点 M是
 ABC
所在平面内一点.试根据下列条件判断
G点可能通过
ABC
的___ _______心.(填“内心”或“外心”或“重心”或“垂心”).
(1)若存在常数

,满足
MGMA

(
__________.
(2 )若点D是
ABC
的底边BC上的中点,满足
GDGBGDGC
,则 点G可能通过
ABC
的__________.

AB
A B

AC
AC
)(

0)
,则点G可能通过ABC
的




ABAC


0

,则点G可能通过(3)若存在常数

,满 足
MGMA







ABsinBACsinC


ABC
的__________. < br>



ABAC



0

,则点G可能通过(4)若存在常数

,满足
MGMA< br>






ABcosBACcos C


ABC
的__________.
例5、若O点是
ABC
的外心, H点是
ABC
的垂心,
且
OHm(OAOBOC)
,求实数m的值.

练习1：
1．已知
ABC
三个顶点
A 、B、C
及平面内一点
P
，满足
PAPBPC0
，若实
数

满足：
ABAC

AP
，则

的值为（ ）
A．2 B．
3
C．3 D．6
2
2．若
ABC
的外接圆的圆心为O，半径为1，
OA OBOC0
，则
OAOB
( )
A．
11
B．0 C．1 D．


2
2
3 ．点
O
在
ABC
内部且满足
OA2OB2OC0
， 则
ABC
面积与凹四边形
ABOC
面积之比是（ ）
354
A．0 B． C． D．
2 43
4．
ABC
的外接圆的圆心为O，若
OHOAOBOC
，则
H
是
ABC
的（ ）
A． 外心 B． 内心 C． 重心 D． 垂心
5．
O< br>是平面上一定点，
A、B、C
是平面上不共线的三个点，若
OABCOB< br>
222
CAOCAB
，则
O
是
ABC
的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
222
ABC
的外接圆的圆心为O，6．两条边上的高的交点为H，
OHm(OAOBOC)
，
则实数m =
→→→→
1ABACABAC
→→→
7．（06陕西）已知非零向量AB与AC满足( + )·BC=0且 · = , 则
2
→→→→
|AB||AC||AB||AC|
△ABC为( )
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
8．已知
ABC
三个顶点
A、B、C
，若
ABABACABCBBCCA
，则
2
ABC
为（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．既非等腰又非直角三角形
练习答案：C、D、C、D、D、1、D、C

练习2：
举一反三：通过上述例题及解答 ,我们可以总结出关于三角形“四心”的向量表达式.若
P
点为
ABC
内任 意一点，若
P
点满足:

ABAC
AP

( ),

0

ABAC


1．

P为ABC的内心
;

BPt(
BA

BC
)，t0

BABC


2.
D、E
两点分别 是
ABC
的边
BC、CA
上的中点,且


DPPBDPPC
P为ABC的外心
;



EPPCEPPA
1

AP(ABAC),


3
P为ABC的重心
; 3.


BP< br>1
(BABC)，

3



APBC 0
P为ABC的垂心
. 4.



BPAC05．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足
OP
=
111
(
OA
+
OB
+2
OC
),则点P一定为三角形ABC的 （ B ）
322
边中线的中点 边中线的三等分点（非重心）
C.重心 边的中点
6.B取AB边的中点M，则
OAOB2OM
，由
OP
=
得3
OP3OM2MC
，∴
MP
2
MC
，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等
3
分点，且点P不过重心，故选B.
7.在同一个平面上有
ABC
及一点Ｏ满足关系式：
O
111
(
OA
+
OB
+2
OC
)可
322
A
2
＋
BC
2
＝
OB
2
＋
CA
2
＝
OC
2
＋
AB
2
，则Ｏ为
ABC
的 （ D ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
8.已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P 满足：
PAPBPC0
，则P为
ABC
的
（ C ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
9．已知O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：
OPOA

(ABAC)
，则P的轨迹一定通过△ABC的 （ C ）

Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
10．已知△ABC，P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：
PAPCPAPBPBPC0
，则P点为三角形的 （ D ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
11．已知△ ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：
aPAbPBcPC0
，< br>则P点为三
（ B ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
22
角形的
12．在三角形AB C中，动点P满足：
CACB2ABCP
，则P点轨迹一定通过△ABC
的： （ B ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
→→→→
1ABACABAC
→→→
13.已知非零向量AB与AC满足( + )·BC=0且 · = , 则△ABC为( )
2
→→→→
|AB||AC||AB||AC|
A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形
解析：非零向量与满足(
ABAC
)·=0，即角A的平分线垂直于BC，∴ AB= AC，又

|AB||AC|
cosA

ABAC
1= ，∠A=，所以△ABC为等边三角形，选D．

3
|AB||AC|2
14.
ABC
的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，
OH m(OAOBOC)
，则
实数m = 1
15.点O是三角形ABC所在平 面内的一点，满足
OAOBOBOCOCOA
，则点O是
ABC
的（B ）
（A）三个内角的角平分线的交点

（C）三条中线的交点


（B）三条边的垂直平分线的交点
（D）三条高的交点

三角形“四心”向量形式的充要条件应用
1、O是
ABC
的重心

OAOBOC0
; 若O是
ABC
的重心，则
S
BOC
S
AOC< br>S
AOB

1
S
ABC
3
OAOB OC0
;

。
故
PG
1
(PAPBPC )

G
为
ABC
的重心.
3
2、O是
ABC
的垂心

OAOBOBOCOCOA
;
tanB：tanC
若O是
ABC
(非直角三角形)的垂心，则
S
BOC
：S
AOC
：S
AOB
tanA：
故
tanAOAtanBOBtanCOC0

3、O是
ABC< br>的外心

|OA||OB||OC|
(或
OAOBOC
)
若O是
ABC
外心

sin2AOAsin2BOBs in2COC0
。

222
S
BOC
：S
A OC
：S
AOB
sinBOC：sinAOC：sinAOBsin2A :sin2B:sin2C

4、O是内心
ABC
的充要条件是：
OA(
AB
|AB|

AC
AC
)OB(
BA
|BA|

BC
|BC|
)OC(
CA
| CA|

CB
|CB|
)0

引进单位向量，使条件变得 更简洁。如果记
AB,BC,CA
的单位向量为
e
1
,e
2
,e
3
，则
刚才O是
ABC
内心的充要条件可以写成：
OA(e
1
e
3
)OB(e
1
e
2
)OC(e
2
e
3
)0
；
O是
ABC
内心的充要条件

aOAbOBcOC0
；

若O是
ABC
的内心，则
S
BOC
：S
AO C
：S
AOB
a：b：c
；
故
aOAbOBcOC0或sinAOAsinBOBsinCOC0
;
|AB|PC|BC|PA|CA|PB0P
ABC
的内心;
向 量

(
AB

AC
)(

0)
所在直线过
ABC
的内心(是
BAC
的角平分线所在直线)；
|AB||AC|
范 例
(一)将平面向量与三角形内心结合考查
例 1．O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足
OPOA
< br>(
AB
AB

AC
AC
)
，


0,

则P点的轨迹一定通
A
过
ABC
的（ ）
（A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心
解析：因为
e
1
e
2
B
C
AB
AB
是向量
AB
的单位向量设
AB
与
AC
方向上的
单位向量分别为
e
1
和e
2， 又
OPOAAP
，则原式可化为
P

AP< br>
(e
1
e
2
)
，由菱形的基本性质知AP平分< br>BAC
，那么在
ABC
BAC
，则知选B.
(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”
中，AP平分
例2． H是 △ABC所在平面内任一点，
HAHBHBHCHCHA

点H是△ABC
的垂心.
由
HAHBHBHCHB(HCHA)0HBAC0 HBAC
,
同理
HCAB
，
HABC
.故H是△ABC的垂心. （反之亦然（证略））
例3.(湖南)P是△ABC所在平面上一点，若
PAPBPB PCPCPA
，则P是△ABC
的（D ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
解析:由
PAPBPBPC得PAPBPBPC0
.
即
PB(PAPC)0,即PBCA0

则
PBCA,同理PABC,PCAB

所以P为
ABC
的垂心. 故选D.
点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量 积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心
定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运 算及“数量积为零，则两向量所在直
线垂直” 等相关知识巧妙结合。
(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”
例4． G是△ABC所在平面内一 点，
GAGBGC
=0

点G是△ABC的重心.
证明 作图如右，图中
GBGCGE

连结BE和CE，则CE=GB，BE=GC
BGCE为平行四边形

D
是BC的中点，AD为BC边上的中线.
将
GBGCGE
代入
GAGBGC
=0，
得GAEG
=0

GAGE2GD
，故G是△ABC的重心.（ 反之
亦然（证略））
例5． P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心
1

PG(PAPBPC)
.
3
证明
PG PAAGPBBGPCCG

3PG(AGBGCG)(PAPBPC )

∵G是△ABC的重心
∴
GAGBGC
=0
< br>AGBGCG
=0，即
3PGPAPBPC

1
由此可得
PG(PAPBPC)
.（反之亦然（证略））
3
例6
若
O
为
ABC
内一点，
OAOBOC0
，则
O
是
ABC
的（
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
）
A
解析：由
OAO BOC0
得
OBOCOA
，如图以OB、OC为相邻两边构作平行
1
四边形，则
OBOCOD
，由平行四边形性质知
OEOD
，
OA2OE
2
可证其它两边上的这个性质，所以是
重心，选D。
O
，同理
B
E
D
C
点评：本题需要扎实的平面几何知识，< br>平行四边形的对角线互相平分及
三角形重心性
质：重心是三角形中线的内分点，所分这比 为


2
。本题在解题的过程中将平面向量的有
1
关运算与
平行四边形的对角线互相平分及
三角形重心性质等相关知识巧妙结合。
(四)．将平面向量与三角形外心结合考查

例7
若
O
为
ABC
内一点，
OAOBOC
，则
O
是
ABC
的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
解析：由向量模的定义知
O
到
A BC
的三顶点距离相等。故
O
是
ABC
的
外心 ，选B。
点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。
(五)将平面向量与三角形四心结合考查
例8．已知向量
OP

1
，
OP
2
，
OP
3
满足条件
OP
1
+
OP
2
+
OP
3
=0，|
OP
1
|=|
OP
2
|=|
OP
3
|=1，
求证 △P
1
P
2
P
3
是正三角形.（《数学》第一册（ 下），复习参考题五B组第6题）
1
证明 由已知
OP
+=-，两边平方得·=，

OPOPOPOP
12312
2
1
同理
OP
2
·
OP
3
=
OP
3
·
O P
=，

1
2
∴|
P
1
P2
|=|
P
2
P
3
|=|
P
3
P
1
|=
3
，从而△P
1
P
2
P
3
是正三角形.
反之，若点O是正三角形△P
1
P
2
P
3
的中心，则显然有
OP
1
+
OP
2
+< br>OP
3
=0且
|
OP
1
|=|
OP
2
|=|
OP
3
|.
即O是△ABC所在平面内一点，
OP
1
+
OP
2
+
OP
3
=0且|
OP
1
|=|
OP
2
|=|
OP
3
|< br>
点O是正△P
1
P
2
P
3
的中心. 例9．在△ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H
三点共 线，且QG:GH=1:2。
【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐 标系。设A(0,0)、
B（x
1
,0）、C(x
2
,y
2
)，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则有：
x
1
xx
2
y
2
xy
,0)、E(
1
,)、F(
2
,
2
)

22222
y
x
（
1
,y
3
)、H(x
2
,y
4
)
,
G(< br>x
1
x
2
,
y
2
)
由题设可设
Q
2
33
xxy
AH(x
2
,y
4< br>)，QF(
2

1
,
2
y
3
)

222
BC(x
2
x
1
,y
2)

D（
AHBC
AHBCx
2
(x
2
x
1
)y
2
y
4
0

x (xx
1
)
y
4

22
y
2
QFAC
QFACx
2
(
y
3
C(x
2
,y
2
)
F
G
Q
H
E
x
B(x
1
,0)
A
D

x2
xy

1
)y
2
(
2
y
3
)0
222
x(x
2
x
1
)y

2

2
2y
2
2
x
1
2xx< br>1
3x
2
(x
2
x
1
)y
2,y
4
y
3
)（
2
,)

2 22y
2
2
xx
1
x
1
y
2
2 xx
1
y
2
x
2
(x
2
x
1
)y
2
QG(
2
,y
3
)（
2
,)
323632y
2
2
QH(x
2
< br> (
2x
2
x
1
3x
2
(x
2
x
1
)y
2
1
2xx
1
3x
2
(x
2
x
1
)y
2
,) (
2
,)

66y
2
6322y
2
2
1
=Q H
3

即
QH=3QG
，故
Q、G、H
三点共 线，且
QG：GH
=1：2
【注】：本例如果用平面几何知识、向量的代数运算和几 何运算处理，都相当麻烦，而
借用向量的坐标形式，将向量的运算完全化为代数运算，这样就将“形”和 “数”紧密地结
合在一起，从而，很多对称、共线、共点、垂直等问题的证明，都可转化为熟练的代数运 算
的论证。
例10．若O
、
H分别是△ABC的外心和垂心.
求证
OHOAOBOC
.
证明 若△ABC的垂心为H，外心为O，如图.
连BO并延长交外接圆于D，连结AD，CD.
∴
ADAB
，
CDBC
.又垂心为H，
AHBC
，< br>CHAB
，
∴AH∥CD，CH∥AD，
∴四边形AHCD为平行四边形，
∴
AHDCDOOC
，故
OHOAAHOAOBOC
.
著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、
重心、垂心的位置关系：
（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；
（2）三角形的重心在“欧拉线 ”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂
心的距离是重心到外心距离的2倍。
“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.
例11． 设O、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心.
1
求证
OGOH

3
1
证明 按重心定理 G是△ABC的重心

OG(OAOBOC)

3
按垂心定理
OHOAOBOC

1
由此可得
OGOH
.
3

补充练习
1．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足
111
OP
= (
OA
+
OB
+2
OC
),则点P一定为三角形ABC的 （ B ）
322
边中线的中点 边中线的三等分点（非重心）
C.重心 边的中点
1. B取AB边的中点M，则
OAOB2OM
，由
OP可得3
OP3OM2MC
，∴
MP
=
111
(< br>OA
+
OB
+2
OC
)
322

2
MC
，即点P为三角形中AB边上的中线的
3
一个三等分点，且点P不过重心 ，故选B.
2．在同一个平面上有
ABC
及一点Ｏ满足关系式：
OA
2
＋
BC
2
＝
OB
2
＋
C A
2
＝
OC
2
＋
AB
，则Ｏ为
ABC< br>的 （ D ）
2
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
2 ．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：
PAPBPC0
，则P为< br>ABC
的
（ C ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
3．已知O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：

OPOA

(ABAC)
，则P的轨迹一定通过△ABC的
（ C ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心


4．已知△ABC，P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：
PAPCPAPBPBPC0
，则P点为三角形的
（ D ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
5．已知△ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：
aPAbPBcP C0
，
则P点为三角形的
（ B ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
6．在三角形AB C中，动点P满足：
CACB2ABCP
，则P点轨迹一定通过△ABC
的： （ B ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
→→→→
1ABACABAC
→→→
7.已知非零向量AB与AC满足( + )·BC=0且 · = , 则△ABC为( )
2
→→→→
|AB||AC||AB||AC|
A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形
解析：非零向量与满足(22
ABAC
)·=0，即角A的平分线垂直于BC，∴ AB=AC，又
|AB||AC|
cosA

ABAC
1
= ，∠A=，所以△ABC为等边三角形，选D．

3
|AB||AC|
2< br>8.
ABC
的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，
OHm(OA OBOC)
，则
实数m = 1
9.点O是三角形ABC所在平面内的一点， 满足
OAOBOBOCOCOA
，则点O是
ABC
的（B ）
（A）三个内角的角平分线的交点 （B）三条边的垂直平分线的交点
（C）三条中线的交点 （D）三条高的交点
10. 如图1，已知点G是
ABC
的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且
AMxAB
，
11
ANyAC
，则
3
。
xy
证: 点G是
ABC
的重心，知
GAGBGC
O
，
得
AG(ABAG)(ACAG)
O
，有
AG
又M ，N，G三点共线（A不在直线MN上），
于是存在

,

， 使得
AG

AM

AN(且


< br>1)
，
有
AG

xAB

yA C
=
(ABAC)
，
1
(ABAC)
。
3
M
A
G
B
图1
N
C 1
3




1
11

得

1
，于是得
3
。
xy

x

y

3


三角形中与向量有关的问题
1、课前练习
1.1已知O是△ABC内的一点，若
OAOBOC
，则O是△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
1.2在△ABC中，有命题①
ABACBC
；②
ABBCCA0
；③若
222

ABAC



AB AC

0
，则△ABC为等腰三角形；④若
ABAC0
，则△ ABC为
锐角三角形，上述命题中正确的是〔 〕
A、①② B、①④ C、②③ D、②③④
2、知识回顾
2.1 三角形的重心、内心、垂心、外心及简单的三角形形状判断方法
2.2 向量的有关性质； 2.3 上述两者间的关联

3、利用向量基本概念解与三角形有关的向量问题


ABAC

ABAC1
例1、已知△ABC中，有< br>
和
BC0

,试判断△ABC的形状。

2

ABAC

ABAC

练习1、已知△ABC中，
ABa
，
BCb
，B是△ABC中的最大角，若
ab0，试
判断△ABC的形状。


4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题
例2、已知O是△ABC所在平面内的 一点，满足
OABCOBACOCAB
，则O是△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心

5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题
例3、已知P是△ABC所在 平面内的一动点，且点
222222
P满足


ABAC

OPOA




,



0,

，则动点P一定过△ABC的〔 〕

ABAC



A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
练习2、已知O为平面内一点， A、B、C平面上不共线的三点，动点P满足
1

OPOA


ABBC

,



0,
，则动点P 的轨迹一定通过△ABC的〔 〕
2

A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
例4、已知O是△ABC所在平 面内的一点，动点P满足


ABAC

OPOA




,



0,
，则动点P一定过△ABC的〔 〕

ABcosBACcosC


A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心

练习3、已知O是△ ABC所在平面内的一点，动点P满足


OBOCABAC

则动点P一定过△ABC的〔 〕
OP




,



0,

，
2

ABc osBACcosC


A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心

例5、已知点G是的重心，过G作直线与AB、AC 分别相交于M、N两点，且
11
AMxAB,ANyAC
，求证：
 3

xy
6、作业
1）已知O是△ABC内的一点，若
OAOBOC0
，则O是△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
2）若△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，且
OAOBOC0
，则
OAOB
等于
〔 〕
A、
1
1
B、0 C、1 D、


2
2
3）已知O是△ABC所在平面上的一点，A、B、C、所对的过分别是
a
、
b
、
c
若
aOAbOBcOC0
，则O是△ ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
4）已知P是△ABC所在平面内与A不重合的一点，满足
ABAC3AP，则P是△
ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
5）平面上的三个向量
OA
、
OB
、
OC
满足
OAOBOC0
，
OAOBO C1
，求证：△ABC为正三角形。

6）在△ABC中，O为中 线AM上的一个动点，若AM＝2，求
OA(OBOC)




三角形四心与向量的典型问题分析
一、“重心”的向量风采
【命题1】 已知< br>G
是
△ABC
所在平面上的一点，若
GAGBGC0
， 则
G
是
△ABC
的重心．如图⑴.
图⑴
C
B
图⑵
P
A'
G
A
B

A
M
O
C
，B，C
是平面上不共线的三个点，动点
P
满足【命题2】 已知
O
是平面上一定点，
A
)
，则
P
的轨迹一定通过
△ABC
的重心.
OPOA

(ABAC)
，

(0，
)
时，由于
< br>(ABAC)
表示
BC
边【解析】 由题意
AP
(ABAC)
，当

(0，
上的中线所在直线的向量，所以动点P
的轨迹一定通过
△ABC
的重心，如图⑵.
二、“垂心”的向量风采
【命题3】
P
是
△ABC
所在平面上一点，若
PAP BPBPCPCPA
，则
P
是
△ABC
的垂心．
【解析】 由
PAPBPBPC
，得
PB(PA
0，所以
P)C0
，即
PBCA
PB⊥CA
．同理可证PC⊥AB
，
PA⊥BC
．∴
P
是
△ABC
的 垂心．如图⑶.
C
A
E
M
P
H
F
B
B

C
P

图⑶
A
图⑷
O

，B，C
是平面上不共线的三个点，动点
P
满足【命题4】 已知
O
是平面上一定点，
A


ABAC

，< br>OPOA



则动点
P
的轨迹一定通过
△ABC

(0，)
，

ABcosBACcosC


的垂心．
【解析】 由题意

ABAC
< br>AP




ABcosBACcosC


，由于

ABAC

BC0
，


ABcosBACcosC


即
ABBC
ABcosB

ACBC
ACcosC
BCCB0
,所以< br>AP
表示垂直于
BC
的向量，即
P
点
在过点
A
且垂直于
BC
的直线上，所以动点
P
的轨迹一定通过
△A BC
的垂心，如图⑷.

三、“内心”的向量风采

【命题5】 已知
I
为
△ABC
所在平面上的一点，且
ABc
，
ACb
，
BCa
．若
aIAbIBcIC0
，则I
是
△ABC
的内心．








B
C
O
c
I
A
a
P
C
b
A
B
图⑸
图⑹
【解析】 ∵
IBIAAB
，
ICIAAC
，则由题意得
(abc) IAbABcAC0
，

ABAC

，
∵
bABcACACABABACACAB


ABA C



bc

ABAC

．∵AB
与
AC
分别为
AB
和
AC
方向上的单位向

∴
AI
abc

ABAC

AC
AB

量，
∴
AI
与
∠BAC
平分线 共线，即
AI
平分
BAC
．
同理可证：
BI
平 分
ABC
，
CI
平分
ACB
．从而
I
是
△ABC
的内心，如图⑸.

，B，C
是平面上不共线的三个点，动点
P
满足【命题6】 已知
O
是平面上一定点，
A

ABAC


，

(0，
OPOA



)
，则动点
P
的轨迹一定通过
△ABC
的内心．

ABA C



ABAC


，∴当

(0，

【解析】 由题意得
AP


)时，
AP
表示
BAC
的平

ABAC

分线所在直线方向的向量，故动点
P
的轨迹一定通过
△ABC
的内心，如图⑹.

四、“外心”的向量风采
【命题7】 已知
O< br>是
△ABC
所在平面上一点，若
OA
2
OB
2OC
2
，则
O
是
△ABC
的
外心．



A






C
B
B
O
O
A
M
P
C
图 ⑺
222
22
图⑻
【解析】 若
OAOBOC
， 则
OAOBOC
，∴
OAOBOC
，则
O
2
是
△ABC
的外心，如图⑺。
，B，C
是平面上不共线的三个点，动点
P
满足【命题7】 已知
O
是平面上的一定点，
A

OBOCABAC

，
(0，
OP



)
，则动点< br>P
的轨迹一定通过

2
ABcosBACcosC
△ABC
的外心。

ABAC
OBOC

)
时，


【解析】 由于过
BC
的中点，当< br>
(0，

ABcosBACcosC

2
< br>表示垂直于
BC
的向量（注意：理由见二、4条解释。），所以
P
在< br>BC
垂直平分线上，动点
P
的轨迹一定通过
△ABC
的外心， 如图⑻。

向 量 专 题 复 习
一、与三角形“四心”相关的向量问题
题1：已知O是平 面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

ABAC

OPOA




,

[0,)
. 则P点的轨迹一定通过△ABC的

|AB||AC|

A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
解：由已知得
AP


ABAC

AB
AC

是
AB
方向 上的单位向量，是
AC
方

，
|AC|

|AB| |AC|

|AB|
向上的单位向量，根据平行四边形法则知构成菱形，点P在∠BA C的角平分线上，故点P
的轨迹过△ABC的内心，选B. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

练习：在直角坐标系xoy中，已知点A(0,1)和点B(–3, 4)，若点C在∠AO B的平分线上，
且
|OC|2
，则
OC
=___________ ______.
略解：点C在∠AOB的平线上，则存在

(0,)
使
OC

(
34
39
10
OAOB
，< br>)
=

(0,1)

(,)
=
(< br>
,

)
, 而
|OC|2
，可得

55
55
3
|OA||OB|
∴
OC(
10310
,)
.
55
题2：已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上 不共线的三个点，动点P满足
OPOA

(ABAC)
,

[0,)
. 则P点的轨迹一定通过△ABC的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 解：由已知得
AP

(ABAC)
，设BC的中点为D，则根据平行 四边形法则知点P
在BC的中线AD所在的射线上，故P的轨迹过△ABC的重心，选C.

题3：已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
OPOA 

(
( )
ABAC
)
,

[0,)
, 则动点P的轨迹一定通过△ABC的
|AB|sinB|AC|sinC

A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
解：由已知得
AP

(
ABAC
)
，
|AB|sinB|AC|sinC
由正弦定理知
|AB|sinB|AC|sinC，∴
AP

|AB|sinB
(ABAC)
，
设 BC的中点为D，则由平行四边形法则可知点P在BC的中线AD所在的射线上，所
以动点P的轨迹一定 通过△ABC的重心，故选A .

题4：已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不 共线的三个点，动点P满足
OPOA

(
ABAC
)
,

[0,)
, 则动点P的轨迹一定通过△ABC
|AB|cosB|AC|cosC
的( )
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
解：由已知得
AP

(
ABAC
)
，
|AB|cosB|AC|cosC
∴
APBC

(
A BBCACBC
)

|AB|cosB|AC|cosC
=

(
|AB||BC|cos(

B)|AC||BC|cosC
)
=

(|BC||BC|)
= 0，
|AB|cosB |AC|cosC
∴
APBC
，即AP⊥BC，所以动点P的轨迹通过△ABC的垂 心，选B.

题5：已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P 满足
OP
OBOCABAC


()
,

[0,)
, 则动点P的轨迹一定通
2
|AB|cosB|AC|cosC
过△ABC的( )
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
解：设BC的中点为D，则
OBOC
OD
，
2
则由已知得
DP

(
ABAC
)
，
|AB|cosB|AC|cosC
∴
DPBC

(
A BBCACBC
)

|AB|cosB|AC|cosC

=

(
|AB||BC|cos(

B)|AC||BC |cosC
)
=

(|BC||BC|)
= 0 . |AB|cosB|AC|cosC
∴DP⊥BC，P点在BC的垂直平分线上，故动点P的轨迹通 过△ABC的外心. 选C .



题6：三个不共线的向量
O A,OB,OC
满足
OA(
ABCA
BA
+
CB
)
)
=
OB(
|AB||CA|
|BA|
|CB|< br>=
OC(
BCCA
)
= 0，则O点是△ABC的( )
|BC||CA|
A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心
解：
ABCA

表示与△ABC中∠A 的外角平分线共线的向量，由
|AB||CA|
OA(
ABCA
)
= 0知OA垂直∠A的外角平分线，因而OA是∠A的平分线，同理，
|AB||CA|
O B和OC分别是∠B和∠C的平分线，故选C .

题7：已知A、B、C是平面上不共线的 三点，O为△ABC的外心，动点P满足
1
OP[(1

)OA(1

)OB(12

)OC]
(

R,

0)
，则P的轨迹一定通过
3
△ABC的( )
A. 内心 B. 垂心 C. 重心 D. AB边的中点 < br>1
解：
CPOPOC
=
[(1

)OA(1 

)OB2(1

)OC]

3
=
1

1

(CACB)
,
[(OAO C)(OBOC)]
=
3
3
由平行四边形法则知
CACB必过AB边的中点，注意到

0
，所以P的轨迹在AB
边的中线上，但 不与重心重合，故选D.
题8：已知O是△ABC所在平面上的一点，若
OAOBOC
= 0, 则O点是△ABC的
( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
解：若
OAOBOC
= 0, 则< br>OAOBOC
，以
OA
、
OB
为邻边作平行四边形OAC
1
B，设OC
1
与AB交于点D，则D为AB的中点，有
OAOBOC
1
，得
OC
1
OC
，

即C、O、D、C
1
四点共线，同理AE、BF亦为△ABC的中线，所以O是△AB C的重心. 选
C .
题9：已知O是△ABC所在平面上的一点，若
PO
1
(PAPBPC)
(其中P为平面
3
上任意一点), 则O点是△ABC的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
解：由已知得
3POOAOPOBOPOCOP
，
∴
3PO3OPOAOBOC
，即
OAOBOC
= 0，由上题的结论知O点是△
ABC的重心. 故选C .
题10：已知O是△ABC所在平 面上的一点，若
OAOBOBOCOCOA
，则O
点是△ABC的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
解：由
OAOBOBOC
，则
OAOBOBOC0，即
OB(OAOC)0
，
得
OBCA0
，所以
OBCA
. 同理可证
OCAB
，
OABC
.
∴O是△ABC的垂心. 选D.

题11：已知O为△ABC
2
|OA|
所在平面内一点 ，满足
|B
2
C|
2
|OB|
=
|OC
|C|
|
2
，则O点是△ABC的( )
|
2

A
|AB
A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心
解：由已知得
|OA |
2
|OB|
2
|CA|
2
|BC|
2

(OAOB)(OAOB)
=
(CA
BC)(C ABC)


BA(OAOB)
=
(CACB)BA
BA(OAOBACBC)
= 0

BA2OC
= 0，∴
OC
⊥
BA
.
同理
OACB
，
OB
题12：已知
AC
. 故选A .
O是△ABC所在平面上的一点，若
(OAOB)AB
=
( OBOC)BC
=
(OCOA)CA
= 0，则O点是△ABC的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
解：由已知得：
(OAOB)(OBOA)
=
(OBOC) (OCOB)
=
(OCOA)(OAOC)
= 0
OBOAOCOB
=
OAOC
= 0
2222
22

|OA||OB||OC|
. 所以O点是△ABC的外心. 选A .
题13：已知O是△ABC所在平面上的一点，若
aOAbOBcOC
= 0，则O点是△
ABC的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
解：∵
OBOAAB
，
O COAAC
，则
(abc)OAbABcAC
= 0，得
AO
bcABACAB
AC
与分别为
AB
和
AC
方向上 的单位向
()
. 因为
abc
|AB||AC||AB|
|A C|
ABAC
，则
AP
平分∠BAC. 又
AO
、
AP
共线，知AO平分∠BAC. 同

|AB| |AC|
量，设
AP
理可证BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，所以O点是△A BC的内心.
题14：已知O是△ABC所在平面上的一点，若
PO
aPAbP BcPC
(其中P是△
abc
ABC所在平面内任意一点)，则O点是△ABC 的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
解：由已知得
POPA
bPBcPCcPAbPA
b ABcAC
=
PA
，
abc
abc
∴
AO
bABcACbcABAC
bcABAC
=
()
=()
，
abcabccb
abc
|AB||AC|由上题结论知O点是△ABC的内心. 故选B.

题15：设O为△ABC的外心，G 为△ABC的重心，求证：
OG
证明：根据题9中P点的任意性即可证得. 证明略.

A
题16：设O为△ABC的外心，H为△ABC的垂心，则
OHOAOBOC
.
证明：在△ABC的外接圆O中作直径BD，连接
AD、DC，则有：
OBOD
, AD⊥AB, DC⊥BC,
又H是垂心，则AH⊥BC, CH⊥AB,
∴CH∥AD, AH∥DC, 于是AHCD是平行四边形，
B
O
H
1
(OAOBOC)
.
3

D
C
∴
AHDC
. ∴
OHOAAHOADCOAOCODOAOBOC
.
练习1 ：△ABC的外接圆的圆心为O，两边上的高的交点为H，
OH
=
m(OAOBO C)
，则实数m =____________.

解1：由上题结论知m = 1.
解2：∵O为△ABC的外接圆的圆心，所以
(OBOC)BC
，又H为三 角形的垂心，
则
AHBC
，故
AH
∥
(OBOC)，设
AH

(OBOC)
.
则
OHOAA HOA

OB

OC
，又
OH
=
m (OAOBOC)
，所以m=1.
练习2：△ABC中，AB=1, BC =
6
, CA = 2, △ABC的外接圆的圆心为O，若
AO

AB

AC
，求实数

,

的值.
1
. 分别取AB、AC的中点M、N，
2
11
连接OM、ON. 则
OMAMAO
=
AB(

AB

AC)
=
(

)AB

AC
.
22
1

又O为△ABC的外接圆的圆心，则
OMAB
= 0，即有


0
.
22

43
同理有
ONAC
= 0，得
24

0
. 解得


，


.
255
解：
BCACAB
，两边平方得
ABAC
二、与三角形形状相关的向量问题 < br>题17：已知非零向量
AB
与
AC
满足
(
ABAC1
ABAC

，
)BC
= 0且
|AB||AC|
2
|AB||AC|
则△ABC为( )
A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形
C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形
解：由
(
ABAC
)BC
= 0，知角A的平分线垂直于BC， 故△ABC为等腰三角形，
|AB||AC|
ABAC1
即|AB| = |AC|； 由

|AB||AC|
2

cosA
ABAC1
，
|AB||AC|
2
∴
A
= 60
0
. 所以△ABC为等边三角形，选D .
题18：已知O为△ABC所在 平面内一点，满足
|OBOC||OBOC2OA|
，则
△ABC一定是( )
A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形 D. 等边三角形
解：由已知得
|CB||OBOAOCOA|


|AB AC||ABAC|
，可知以AB与AC为邻边的平行四边形是矩形，所以
AB⊥AC，选 B .
题19：已知△ABC，若对任意
tR
，
|BAtBC|
≥
|AC|
，则△ABC( )

A. 必为锐角三角形 B. 必为钝角三角形 C. 必为直角三角形 D. 答案不确定
解法1：∵
C ABABC
，∴
|CA||
∴
|BAtBC|
≥
| BABC|
……①
①式右边表示A、C两点之间的距离，记
tBCBP
，则①式左边表示直线BC外一点
A与直线BC上动点P之间的距离，由
|PA|
≥< br>|CA|
恒成立知，A在直线BC上的射影就是
C点，所以AC⊥BC，故选C .
解法2：令
ABC

，过点A作AD⊥BC于点D, 由
|BAtBC|
≥
|
AC||BABC|
，
AC |
，得
|BA|
2
2tBABCt
2
|BC|
2
≥
|AC|
2
，令f (t) =
|BA|
2
2tBABCt
2
|BC|
2
，则f
(t)≥
|AC|
2
恒成立，只要f (t)的最小值大于或等于
|AC|
2
，而当t =
BABC
时，f (t)取最
2
|BC|
小值，此时：
|BA|
2
2|BA|
2
cos
2

cos
2

|BA|
2
≥
|AC|
2
，
即
|BA|
2
sin
2

≥
|AC|
2
，∴
|BA|sin

≥
|
∴
ACB
AC|
，从而有| AD |≥ | AC | ,

2
, 故选C.
题20：已知a, b, c分别为△ABC中∠A, ∠B, ∠C的对边，G为△ABC的重心，且
aGAbGBcGC
= 0, 则△ABC为( )
A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形 D. 等边三角形
解：∵G是△ABC的重心，∴
GAGBGC
= 0, 又
aGAbGBcGC
= 0,
∴
aGAbGBc(GAGB)
= 0, 即
(ac)GA(bc)GB
= 0 .
∵
GA
,
GB
不共线，∴a – c = b – c = 0, 即a = b = c.
∴△ABC为等边三角形. 选D.
三、与三角形面积相关的向量问题
命题：平面 内点O是△ABC的重心，则有
S
OAB
:S
OAC
:S
OBC
1:1:1
.
题21：已知点O是△ABC内一点，
OA2OB3OC
= 0, 则：
(1) △AOB与△AOC的面积之比为___________________；
(2) △ABC与△AOC的面积之比为___________________；
(3) △ABC与四边形ABOC的面积之比为_____________.

解： (1) 将OB延长至E，使OE = 2OB，将OC延长至F，使OF = 3OC，则
OAOEOF
= 0, 所以O是△AEF的重心.
1111S
AOF
S
AEF
，
S
AOB
S< br>AOE
S
AEF
，∴
S
AOB
:S
AOC
3:2
.
3926
11
S
AEF
， (2) ∵
S
BOC
S
EOF

618
11 111
∴
S
ABC
S
AOB
S
AOC< br>S
BOC
=
()S
AEF
=
S
 AEF
，又
S
AOC
S
AEF
,
6918 39
∴
S
AOC

∴
S
ABC
:S< br>AOC
3:1
.
(3)
S
ABOC
S< br>AOB
S
AOC
=
()S
AEF

∴
S
ABC
:S
ABOC
6:5
.

四、向量的基本关系(共线、垂直、夹角)
命题：A、B、C三点共线

O C

OA

OB
，且



1
(O为平面上任一点).
题22：在△ABC中，已知D是AB边上一点，若
A D2DB
，
CD
则

=( )
A.
1
6
1
9
51
S
AEF
，
S
A BC
S
AEF

183
1
CA

C B
，
3
2112
B. C.

D.


3333
A
解：由上述命题的结论可知选A .

题23：如图，在△ABC中，点O是BC的
中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同
的两点M、N，若
ABmAM
，
ACnAN
，则
m + n =______.
解1：取特殊位置. 设M与B重合，N与C
重合，则m=n=1, 所以m+n=2.
解2：
AO
∴m + n = 2.
B
E
M
N
O
C
11mnmn< br>ABAC
=
AMAN
，∵M、O、N三点共线，∴
1
,
222222
解3：过点B作BE∥AC, 则
BENC(n1)AN
，
BM(1m)AM
.
又
|BE||BM|
，∴1– m = n –1, ∴m + n = 2 . < br>
|AN||AM|
题24：如图，已知点G是△ABC的重心，若
PQ
过△ABC的重心，记
CA
= a,
CB
= b,
11
CP
= ma ,
CQ
= nb , 则

=__________.
mn
P
A
C
G
M
Q
B

解：
CG
21111
CM
=a +b =
CPCQ
,
3333m3n
∵P、G、Q三点共线，
∴


题25：(1)已知
|a|1
,
|b|2
,
a
与
b
的夹角为120
0
，求使
akb
与
kab
的夹角为
锐角的实数k的取值范围.
(2) 已知
a(m2,m3)
，
b(2m1,m2)
，且
a
与
b
的夹角为钝角，求实数m
的取值范围.
解：(1)
(akb)(kab)
=
ka(k
2
1)abkb
= k + (k
2
+ 1)×1×2×cos120
0
+ 4k
= – k
2
+ 5k –1 ,
依题意，得 – k
2
+ 5k –1＞0，∴
22
11
11
1
，∴

= 3 .
3m3n
mn
521521
.
k
22
又当
akb
与
kab
同向时，仍有
(akb)(kab )
＞0，此时设
akb

(kab)
，
显然
a
、
b
不共线，所以

k1
，k =

, k =

=
1
, 取k =

=1.
∴





















521521
k
且k≠1 .
22

三角形“四心”的向量性质及其应用1、
一、三角形的重心的向量表示及应用（中线交点）
命题一：已知
A，B，C
是不共线的三点，
G
是
△ABC< br>内一点，若
GAGBGC0
．则
G
是
△ABC
的重心．
命题二：点
O
是三角形
ABC
的重心则
S
AOB
= S
BOC
= S
COA

变式 ：已知
D，E，F
分别为
△ABC
的边
BC，AC，AB
的 中点．则
ADBECF0
．
变式引申：如图4，平行四边形
ABCD
的中心为
O
，
P
为该平面上任意一点，
1
则
PO(PAPBPCPD)
．
4
二、三角形的外心的向量表示及应用(外接圆圆心，边中垂线交点)
命题二：已知
G
是
△ABC
内一点，满足
MAMBMC
，则点
M
为△ABC的外心。
三、三角形的垂心的向量表示及应用：（高线交点）
例1 ：已知
G
是
△ABC
内一点，满足
GAGBGAGCGB GC
，则点G为垂心。
变式：若H为△ABC所在平面内一点，且
HABCHBCAHCAB

则点H是△ABC的垂心
四、三角形的内心的向量表示及应用（内角平分线交点，内切圆圆心）
命题四：O是内心
ABC
的充要条件是
222222
AB

AC

BA

BC

CA

CB







OA



(

)



OB



(

)



OC



(

)



0

|

AB

|

AC

|

BA

|

|

BC

|

|

CA

|

|

CB

|


变式1：如果记
AB,BC,CA
的单位向量为e
1
,e
2
,e
3
，则O是
ABC
内心的充要条件是
OA(e
1
e
3
)OB(e
1< br>e
2
)OC(e
2
e
3
)0

变式2：如果记
AB,BC,CA
的单位向量为
e
1
,e< br>2
,e
3
，则O是
ABC
内心的充要条件也可
以是
aOAbOBcOC0
。

例1、（2003江苏）已 知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，满足
OPOA

(< br>AB
AB

AC
AC
)
，


0,

，则P的轨迹一定通过△ABC的内心 。

222
例2、已知P是非等边△ABC外接圆上任意一点，问当P位于何处时，PA+PB+P C取得最大
值和最小值。
例3.已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点 ，动点P满足
OPOA

(
AB
ABcosB

AC
ACcosC
),

(0,)
,则动点P的轨迹一定通 过△ABC的
（ D ） A .外心 B.内心 C 重心 D 垂心

变形：（1）
OPOA

(

（2）
OPOA

(

（3）
PBPC

(
AB
ABsinB


AC
ACsi nC
),

(0,)
C
ABsinC< br>AB
AB
ACsinB
AC
),

(0,)< br> C
ABcosB

AC
ACc osC
),

(0,)
A
例4： 点O在△ABC内部且满足
OA2OB2OC0
,则△ABC面积与凹 四边形ABOC的面
积之比（ C ）A 0 B 32 C 54 D 43

变形引申：
OAmOBnOC0
，求△ABC面积 与凹四边形ABOC的面积之比（ ）
例2（03年江苏卷）O是平面上一 定点，A、B、C是平 面上不共线的三个点，动点P满足
OPOA

(
A．外心
AB
|AB|

AC
|AC|
),

(0,)< br>，则P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
B．内心 C．重心 D．垂心
（1）（05年全国卷Ⅰ理）
ABC
的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H ，
OHm(OAOBOC)
，则实数m = ；
（2）（05年全国卷 I文）点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足
OAOB
OBOCOCOA，则点O是
ABC
的（
A．三个内角的角平分线的交点
C．三条中线的交点
）
B．三条边的垂直平分线的交点
D．三条高的交点
（3）(05年湖南卷文)P是△ABC所在平面上一点，若
PA PB
=
PBPC
=
PCPA
，则
P是△ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

→→→→
ABACABAC1
→→→
（06陕西理） 已知非零向量AB与AC满足( + )·BC=0且 · = , 则
→→→→
|AB||AC||AB||AC|
2
△ABC为 ( )
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．等边三角形

3．以“各种运算的几何意义”为代表的灵活运用阶段
（05浙 江卷）已知向量
a
≠
e
，|
e
|＝1，对任意t∈R，恒有 |
a
－t
e
|≥|
a
－
e
|，则（C）
(A)
a
⊥
e
(B)
a
⊥(
a
－
e
) (C)
e
⊥(
a
－
e
) (D) (
a
＋
e
)⊥(
a
－
e
)
例3．（06湖南理）如图1,
OMAB
, 点
P
在由射线
OM
、 线段
OB
及
AB
的延长
线围成的区域内(不含边界)运动, 且
OPxOAyOB
,则
x
的取值范围是 ；当
x






1
时,
y
的取值范围是 .
2
E
P
M
O
图1
A
C
B
M
O
P
D
图2A
B
F
（2）（07陕西理）如图4，平面内有三个向量
OA
、
OB
、
OC
，其中
OA
与
OB
的夹
角为
120°
，
OA
与
OC
的夹角为
30°，且
OAOB1
，
OC23
．若
OC

OA

OB(

，

R)
，则
< br>

的值为 ．
例4．（07全国Ⅱ）设
F
为抛物 线
y4x
的焦点，
A，B，C
为该抛物线上三点，若
2
F AFBFC0
，则
FAFBFC
（ ）
A．9 B．6 C．4 D．3
07重庆理）如图5，在四边形
ABCD
中，ABBDD4C
，
ABBDBDDC4
，
ABBDB DDC0
，则
(ABDC)AC
的值为（ ）
Ａ．
2
Ｂ．
22
Ｃ．
4
Ｄ．
42



（20 07江西卷）15．如图，在
△ABC
中，点
O
是
BC
的中 点，过点
O
A

N

B

O

C

M

AC
于不同的两点
M，N
，的直线分别交直线
AB
，若
ABmAM
，则
mnACnAN
，
的值为



选择题
1 .（2009广东卷理）一质点受到平面上的三个力
F
1
,F
2
,F
3
（单位：牛顿）的作用而处于
平衡状态．已知
F
1
，F
2
成
60
角，且
F
1
，
F
2
的大小分别为2和4，则
F
3
的大小为
A. 6 B. 2 C.
25
D.
27

【解析】
F
3
2
F
1
2
F
2
2
2F
1
F
2
cos(180
0
60
0
)28
，所以
F
3
27
，选D.
2.（2009浙江卷理）设向量
a
，
b
满足：
|a|3
，
|b|4
，
ab0
．以
a
，
b
，
ab
的
模为边长构成三角形，则它的边与半径为
1
的圆的公共点个 数最多为 ( )
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A．
3
B．
4
C．
5
D．
6

答案：C
【解析】如果知道此三角形有一个半径为1的内切圆，本题立解．
3.（2009陕西卷文） 在
ABC
中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足学
PA2PM,
则科网
PA(PBPC)
等于
（A）
0
．
2009年高考中的向量
4444
（B） （C）

(D)


9339
答案:A.
解析:由
AP2PM
知,
p
为
ABC
的重心,根据向量的加法,
PBPC2PM则
214
AP(PBPC)
=
2APPM=2APPMcos0< br>
21
故选A
339
4.（2009全国卷Ⅰ理）设
a
、
b
、
c
是单位向量，且
a
·
b
＝0，则
值为 ( D )
（A）
2
（B）
22
（C）
1
(D)
12

解:

ac


< br>bc

的最小
a,b,c
是单位向量
acbca b(ab)cc
1|ab||c|12cosab,c12
故选D .

2

对照：（08浙江卷9 ）已知
a
，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量
c
满足
(a c)(bc)0
,则
c
的最大值是C
（A）1 （B）2 （C）
2
（D）
2
< br>2
5.（2009宁夏海南卷理）已知O，N，P在
ABC
所在平面内，且< br>OAOBOC,NANBNC0
，且
PAPBPBPCPCPA< br>N，P依次是
ABC
的
（A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 内心
（C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 内心
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）
填空题
，则点O，7.（2009安徽卷理）给定两个长度为1的平面向量
OA
和
OB
，它 们的夹角为
120
.
如图所示，点C在以O为圆心的圆弧
AB
上变动.
若
OCxOA yOB,
其中
x,yR
,则
xy

的最大值是________.
[解析]设
AOC

o
1

cos

xy



OCOAxOAOAyOBOA,
2
，即


1


cos(120
0


) xy

OCOBxOAOByOBOB,

2
∴< br>xy2[cos

cos(120

)]cos

3sin

2sin(


对比：2009年石家庄高 中毕业班第一次模拟考试试卷第18题：
在
ABC
中，
BC2
，
AC2

AB31
．

(Ⅰ)求
ABAC
；
(1 1)设
ABC
的外心为
O
，若
ACmAOnAB
，求
m
，
n
的值．
18．解: (Ⅰ)由余弦定理知:
0

6
)2

2(31)
2
42
cosA
2
,………2分 < br>22(31)
ABACABACcosA2(31)
2
3 1
.……………5分
2

(Ⅱ)由
ACmAOnAB
,


ABACmABAOnABAB,
知




ACACmACAOnACAB.
2

< br>31mABAO(31)n,
…………………………………7分




2mACAO(31)n.
O
为
ABC< br>的外心，
1
AB
1
ABAOABAOcosBAOAB AO
2
(31)
2
.
2
AO
同理
ACAO1
.………………………………10分
1

22


m31,

31 (31)m(31)n,
即

， 解得:

……12分 < br>2


2m(31)n.

n3.

方法1考查了向量的数量积及灵活运用，并需要一定的计算技巧，检测出考生个体理性
思维的广度和深 度及进一步学习的能力，符合对数学能力考查的命题思想．方法2利用了向
量的加法法则及平面向量基本 定理，需要考生有较强的数学基础和分析解决问题的能力．既
能反映基础知识掌握情况又能考查考生的能 力的题目．本题对向量的考查是非常到位的．
7.（2009湖南卷文）如图2，两块斜边长相等的直 角三角板拼在一起，若
ADxAByAC
，
则
x

1
33
，
y
.
22

图2
解:作
DFAB
,设
ABAC1BCDE2，
DEB60
,
BD
6
,

2
由
DBF45
解得
DFBF

623
33
,
故
x1,y.

222
22

三角形“四心”的向量性质及其应用
一、三角形的重心的向量表示及应用
命题一 已知
A，B，C
是不共线的三点，
G
是
△ABC
内一点，若
GAGBGC0
．则
G
是
△ABC
的重心．
证明：如图1所示，因为
GAGBGC0
，
所以
GA(GBGC)
．
以
GB
，
GC
为邻边作平行四边形
BGCD
，
则有
GDGBGC
，所以
GDGA
．
又因为在平 行四边形
BGCD
中，
BC
交
GD
于点
E
，
所以
BEEC
，
GEED
．
所以
AE
是
△ABC
的边
BC
的中线． 故
G
是
△ABC
的重心．
点评：①解此题要联系重心的定义和 向量加法的意义；②把平面几何知识和向量知识结
合起来解决问题是解此类问题的常用方法．
例1 如图2所示，
△ABC
的重心为
G，O
为坐标原点，
OA< br>a
，
OB
b
，
OC
c
，
试用< br>a，b，c
表示
OG
．
解：设
AG
交
BC
于点
M
，则
M
是
BC
的中点，


aOGGA



bOGGB


cOGGC

图2
abcOGGAGBGC
而
abc3OG0
OG

abc
3
点评：重心问题是三角形的一个重要知识点，充分利用重心性质及向量加、减运算的
几何 意义是解决此类题的关键．
，F
分别为
△ABC
的边
BC，AC， AB
变式：已知
D，E
的中点．则
ADBECF0
．
证明：如图的所示，

3

ADGA

2


3



BEGB
2

3

CFGC

2

3
ADBECF(GAGBG C)

2

GAGBGC0


ADBECF
0
．．
图3
变式引申：如图4，平行 四边形
ABCD
的中心为
O
，
P
为该平面上任意一点，
1
则
PO(PAPBPCPD)
．
4
证明：
11
PO(PAPC)
，
PO(PBPD)
，
22
1

PO(PAPBPCPD)
．
4< br>点评：（1）证法运用了向量加法的三角形法则，证法2
运用了向量加法的平行四边形法则．（2 ）若
P
与
O
重合，则
上式变为
OAOBOCOD< br>0．
二、三角形的外心的向量表示及应用


命题二：已知G
是
△ABC
内一点，满足
MAMBMC
，则点
M
为△ABC的
外心。
例2 已知G、M分别为不等边△ABC的重心与外心，点A， B的坐标分别为A（-1，
0），B（1，0），且
GM
∥
AB
，（ 1）求点C的轨迹方程；（2）若直线
l
过点（0，1），并与
曲线交于P、Q两点， 且满足
OPOQ0
，求直线
l
的方程。解 （1）设C（x,y），则G（

y
G
B
图5
C
M
A
xy
,
），
33
x

其中
x,y0
，
由于
GM
∥
AB
，
故
m
y
，
m

外心M（0，
y
），
3
M为外心

yy

MAMC
，得
( x0)
2
(y)
2
1()
2

33
轨迹E的方程是
3x
2
y
2
3

(xy0)

（2）略。
三、三角形的垂心的向量表示及应用
命题三：已知
G
是
△ABC
内一点，满足
GAGBGAGC GBGC
，则点G为垂
心。（2005全国文12）
证明:由
PAPBPBPC得PAPBPBPC0
.
即
PB(PAPC)0,即PBCA0



则
PBCA,同理PABC,PCAB

所以P为
ABC
的垂心.
点评：本题将平面向量有关运算、“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心
定义等 相关知识巧妙结合。
变式：若H为△ABC所在平面内一点，且
HABCHBCAHCAB

则点H是△ABC的垂心
证明:
HAHBCABC

2222
222222
A
(HAHB)BA(CACB)BA

得(HAHBCACB)BA
0
即
(HCHC)BA
0
B
图6
H
C
ABHC

同理
ACHB
，
BCHA
故H是△ABC的垂心

四、三角形的内心的向量表示及应用
命题四：O是内心
ABC
的充要条件是

OA(
AB|AB|

AC
AC
)OB(
BA
|BA|

BC
|BC|
)OC(
CA
|CA|

C B
|CB|
)0

变式1：如果记
AB,BC,CA
的单 位向量为
e
1
,e
2
,e
3
，则O是
A BC
内心的充要条件是
OA(e
1
e
3
)OB(e
1
e
2
)OC(e
2
e
3
)0


变式2：如果记
AB,BC,CA
的单位向量为
e
1
,e
2
,e
3
，则O是
ABC
内心的 充要条件
也可以是
aOAbOBcOC0
。

例4（2003 江苏）已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，满足
OPOA
(
AB
AB

AC
AC
)
，



0,

，则P的轨迹一定通过△ABC的内心 。
解： 如图
OPOAAP
由已知
C
O
OPOA 

(
AB
AB

AC
AC
)
，

AP

(
AB
AB

AC
A C
)
，



0,


B
E
P
A

D
图7




0,


设
AB
AB
AD
，

AC
AC
AE
，

D、E在射线AB和AC上。


APADAE


AP是平行四边行的对角线。
又
ADAE
，

ADPE是菱形。

点P在
EAD
即
CAD
的平分线上。
故P点的轨迹一定通过△ABC的内心。

五、三角形外心与重心的向量关系及应用
命题五：设△ABC的外心为O，则点G为△ABC重心的充要条件为：
1
OG(OAOBOC)

3

证明：如图8， 设G为重心，连结AG并延长，交BC于D，则D为BC的中点。
21
∴
OGOAAGOAADOA(ABAC)

33
11
OA(OBOAOCOA)(OAOBOC)
< br>B
33
反之，若
OG
O
G
A
C
D< br>图8
11
(OAOBOC)
，则由上面的证明可知：
AG( ABAC)

33
1
(ABAC)
，
2
设D 为BC的中点，则
AD
从而
AG
2
AD
，
3
2
AD，即G为重心。
3
∴G在中线AD上且AG=
六、三角形外心与垂心的向量关系及应用
命题 六：设△ABC的外心为O，则点H为△ABC的垂心的充要条件是
OHOAOBOC
。
证明：如图2，若H为垂心，以OB、OC为邻边作平行四边形OBDC，
则
ODOBOC

A
∵O为外心，
∴OB=OC，
∴平行四边形OBDC为菱形
∴ OD⊥BC，而AH⊥BC，
∴ AH∥OD，
∴存在实数

，使得
AH
∴
H
O
B
D
C
图9


OD

OB

OC

OHOAAHOA

OB

OC
①。
同理，存在实数

，

，使得
OHOBBHOB

OC

OA
②

OHOCCHOC

OA

OB
③
OHOAOBOC

OBOC
，
比较①、②、③可得，





1
，
∴
反之，若
OHOAOBOC
，则
AH

∵ O为外心，∴OB=OC
∴
AHCB(OBOC)(OBOC)|OB|
2
|OC|
2
0

∴AH⊥CB，同理，BH⊥AC。
∴ H为垂心。

例6、已知H是△ABC的垂心，且AH=BC，试求∠A的度数
解：设△ABC的外接圆半径为R，点O是外心。
∵ H是△ABC的垂心
∴
OHOAOBOC

∴
AH
∴
AH
2
OHOAOBOC

| AH|
2
(OBOC)
2
2R
2
(12cos2A )

∵
BCOCOB
，
∴
BC
2
|BC|
2
(OCOB)
2
2R
2
(12cos 2A)

∵AH=BC，
∴
12cos2A12cos2A

∴
cos2A0

而∠A为△ABC的内角，
∴ 0＜2A＜360° 从而2A=90°或270°
∴ ∠A的度数为45°或135°。
七、三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用 < br>命题七：△ABC的外心、重心、垂心分别为O、G、H，则O、G、H三点共线（O、G、
H三 点连线称为欧拉线），且OG=
1
GH。
2
证明：如图10，由命题五、六知，连结AG并延长，交BC于D，则D为BC的中点。
1
OG(OAOBOC)
，
OHOAOBOC
，
3
∴
OH
A
H
3OG

B
O< br>D
G
C
1
∴O、G、H三点共线，且OG=GH。
2
图10
例7、已知O（0，0），B（1，0），C（b，c），是OBC
的三个顶点。试写出OBC的重心G，外心F，垂心H的坐标，并证明G、F、H三点共线。
（200 2年全国）
解：重心G为
(
b1
,
c
)
，设H 点的坐标为
(b,y)

0
33

∵
OHBC
，BC=(b-1，c)，

b(b1)cy0
，故
y
b(1b)

0
0
c
H点的坐标为
(b,
b(1b)
)

c
2
1
b(b1)c
设外心F的坐标为
(,y)
由|FO|=|FC|，得
y
，
1
1
2
2c
所以F点的坐标为（，
从而可得出GH=（

，
）。
），FH=（，）

GH
2
FH
，GH∥FH，F、G、H三点共线。
3
点评：向量不仅是平面解析几何入门内容，而且是解在关数形结合问题的重要工具。 它
一般通过概念的移植、转化，将坐标与向量结合起来，从而使一些难题在思路上获得新的突
破 。
例8、已知P是非等边△ABC外接圆上任意一点，问当P位于何处时，PA
2
+ PB
2
+PC
2
取得最大值和最小值。
解：如图11，设外接圆半径为R，点O是外心，则
PA
2
+PB
2
+PC
2
=
(POOA)
2
(POOB)
2
(POOC)
2

B
PA
6R
2
2(POOAPOOBPOOC)

6R
2
2PO(OAOBOC)

O
C
图11
）
6R
2
2POOH
（由命题六知：H为垂心，
∴当P为OH的反向延长线与外接圆的交点时，有最大值6R
2< br>+2R·OH
当P为OH的延长线与外接圆的交点时，有最小值6R
2
－2R·OH