商女不知亡国恨-北京司法考试

必修四 向量与三角形
内心、外心、重心、
垂心知识的交汇

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向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇
一、四心的概念介绍
（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；
（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；
（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两
边的距离相等；
（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相
等。
二、四心与向量的结合
（1）
OAOBOC0
O
是
ABC
的重心. < br>证法1：设
O(x,y),A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),C(x
3
,y
3
)
x
1
x
2
x
3

x


(x
1
x)(x
2
x)(x
3
x) 0

3
OAOBOC0





(y
1
y)(y
2
y)(y
3
y) 0

y
y
1
y
2
y
3
< br>3


O
是
ABC
的重心.
证法2：如图
A

OAOBOC

OA2OD0


AO2OD


A、O、D
三点共线，且
O
分
AD

为2：1

O
是
ABC
的重心

B
O
E
DC
（2）
OAOBOBOCOCOA
O
为
ABC
的垂心.
证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E
是垂足.
OAOBOBOCOB(OAOC)OBCA0

OBAC

A
E
O
同理
OABC
，
OCAB

B
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DC

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
O
为
ABC
的垂心


（3）设< br>a
,
b
,
c
是三角形的三条边长，O是

A BC的内心
aOAbOBcOC0O
为
ABC
的内心.
证明：

ABAC
AC
方向上的单位向量，
、
分 别为
AB、
cb

ABAC

平分
BAC
,
cb
ABAC
bc

)，令



cb
abc
AO

(

ABAC
bc

（)
cb
abc
化简得
(abc)OAbABcAC0

AO

aOAbOBcOC0


（4）
OAOBOC

O
为
ABC
的外心。

典型例题：
例1：
O
是平面上一定点，
A、B、C是平面上不共线的三个点，动点
P
满
足
OPOA

(ABAC)
，



0,

，则点
P
的轨迹一定通过
ABC
的
（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
分析：如图所示
ABC
，
D、E
分别为边
A
BC、AC
的中点.
E
ABAC2AD


OPOA2

AD

BDC
OPOAAP

AP2

AD

AP

AD

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
点
P
的轨迹一定通过
ABC
的重心，即选
C
.

例2：（03全国理4）
O
是平面上一定点，
A、B、C
是平面上不共线的三
个点，动点
P
满足
OPOA

(
过
ABC
的（ B ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
分析：

AB
AB

AC
AC
)
，


0,

，则点
P
的轨迹一定通
ABAC
AC
方向上的单位向量， 分别为< br>AB、
、
ABAC
AC
AC
平分
BAC
,

AB
AB


点
P
的轨迹一定通过ABC
的内心，即选
B
.

例3：
O
是平 面上一定点，
A、B、C
是平面上不共线的三个点，动点
P
满
足OPOA

(
AB
ABcosB

AC
A CcosC
)
，



0,

，则点
P
的轨迹一定通过
ABC
的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

分析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC， D、
E是垂足.
A
E(
AB
ABcosB
ABBC
ABcosB

AC< br>ACcosC
ACBC
)
BC

B
D
C
=

ACcosC

=
 ABBCcosB
ABcosB

ACBCcosC
ACcosC

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=
BC
+
BC
=0

点
P
的 轨迹一定通过
ABC
的垂心，即选
D
.

练习： 1．已知
ABC
三个顶点A、B、C及平面内一点
P
，满足
P APBPC0
，若实数

满足：
ABAC

AP
，则

的值为（ ）
A．2 B．
3
C．3 D．6
2
2．若
ABC
的外接圆的圆心为O，半径为1，
OAOBOC0
，则
OA OB
( )
A．
1
1
B．0 C．1 D．


2
2
3．点
O
在
ABC
内部且满足
OA2OB2OC0
，则
ABC面积与凹四边
形
ABOC
面积之比是（ ）
A．0 B．
354
C． D．
243
4．
ABC
的外接圆的圆心为O，若
OHOAOBOC
，则
H
是
ABC
的
（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
5．
O
是平面上一定点，
A 、B、C
是平面上不共线的三个点，若
OABCOB

CAOCAB
，则
O
是
ABC
的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
6．
ABC
的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，
222
22 2
OHm(OAOBOC)
，
则实数m =
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→
A C
→→
AC
→
ABAB
→→→
7．（06陕西）已知非零向 量AB
与AC满足(
+ )·BC=0且 ·
→→→→
|AB||AC||AB||AC|
1
=
2
, 则△ABC为( )
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
8．已知
ABC
三个顶点
A、B、C
，若
ABABACABCBBCCA
，则
ABC
为（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．既非等腰又非直角三角形
练习答案：C、D、C、D、D、1、D、C
2
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必修四 向量与三角形
内心、外心、重心、
垂心知识的交汇

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向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇
一、四心的概念介绍
（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；
（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；
（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两
边的距离相等；
（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相
等。
二、四心与向量的结合
（1）
OAOBOC0
O
是
ABC
的重心. < br>证法1：设
O(x,y),A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),C(x
3
,y
3
)
x
1
x
2
x
3

x


(x
1
x)(x
2
x)(x
3
x) 0

3
OAOBOC0





(y
1
y)(y
2
y)(y
3
y) 0

y
y
1
y
2
y
3
< br>3


O
是
ABC
的重心.
证法2：如图
A

OAOBOC

OA2OD0


AO2OD


A、O、D
三点共线，且
O
分
AD

为2：1

O
是
ABC
的重心

B
O
E
DC
（2）
OAOBOBOCOCOA
O
为
ABC
的垂心.
证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E
是垂足.
OAOBOBOCOB(OAOC)OBCA0

OBAC

A
E
O
同理
OABC
，
OCAB

B
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DC

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
O
为
ABC
的垂心


（3）设< br>a
,
b
,
c
是三角形的三条边长，O是

A BC的内心
aOAbOBcOC0O
为
ABC
的内心.
证明：

ABAC
AC
方向上的单位向量，
、
分 别为
AB、
cb

ABAC

平分
BAC
,
cb
ABAC
bc

)，令



cb
abc
AO

(

ABAC
bc

（)
cb
abc
化简得
(abc)OAbABcAC0

AO

aOAbOBcOC0


（4）
OAOBOC

O
为
ABC
的外心。

典型例题：
例1：
O
是平面上一定点，
A、B、C是平面上不共线的三个点，动点
P
满
足
OPOA

(ABAC)
，



0,

，则点
P
的轨迹一定通过
ABC
的
（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
分析：如图所示
ABC
，
D、E
分别为边
A
BC、AC
的中点.
E
ABAC2AD


OPOA2

AD

BDC
OPOAAP

AP2

AD

AP

AD

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
点
P
的轨迹一定通过
ABC
的重心，即选
C
.

例2：（03全国理4）
O
是平面上一定点，
A、B、C
是平面上不共线的三
个点，动点
P
满足
OPOA

(
过
ABC
的（ B ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
分析：

AB
AB

AC
AC
)
，


0,

，则点
P
的轨迹一定通
ABAC
AC
方向上的单位向量， 分别为< br>AB、
、
ABAC
AC
AC
平分
BAC
,

AB
AB


点
P
的轨迹一定通过ABC
的内心，即选
B
.

例3：
O
是平 面上一定点，
A、B、C
是平面上不共线的三个点，动点
P
满
足OPOA

(
AB
ABcosB

AC
A CcosC
)
，



0,

，则点
P
的轨迹一定通过
ABC
的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

分析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC， D、
E是垂足.
A
E(
AB
ABcosB
ABBC
ABcosB

AC< br>ACcosC
ACBC
)
BC

B
D
C
=

ACcosC

=
 ABBCcosB
ABcosB

ACBCcosC
ACcosC

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=
BC
+
BC
=0

点
P
的 轨迹一定通过
ABC
的垂心，即选
D
.

练习： 1．已知
ABC
三个顶点A、B、C及平面内一点
P
，满足
P APBPC0
，若实数

满足：
ABAC

AP
，则

的值为（ ）
A．2 B．
3
C．3 D．6
2
2．若
ABC
的外接圆的圆心为O，半径为1，
OAOBOC0
，则
OA OB
( )
A．
1
1
B．0 C．1 D．


2
2
3．点
O
在
ABC
内部且满足
OA2OB2OC0
，则
ABC面积与凹四边
形
ABOC
面积之比是（ ）
A．0 B．
354
C． D．
243
4．
ABC
的外接圆的圆心为O，若
OHOAOBOC
，则
H
是
ABC
的
（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
5．
O
是平面上一定点，
A 、B、C
是平面上不共线的三个点，若
OABCOB

CAOCAB
，则
O
是
ABC
的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
6．
ABC
的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，
222
22 2
OHm(OAOBOC)
，
则实数m =
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→
A C
→→
AC
→
ABAB
→→→
7．（06陕西）已知非零向 量AB
与AC满足(
+ )·BC=0且 ·
→→→→
|AB||AC||AB||AC|
1
=
2
, 则△ABC为( )
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
8．已知
ABC
三个顶点
A、B、C
，若
ABABACABCBBCCA
，则
ABC
为（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．既非等腰又非直角三角形
练习答案：C、D、C、D、D、1、D、C
2
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