通讯稿范文-北京市立新学校

2019年新版小学六年级奥数经典教程讲义

目录
第一讲 比较分数的大小 ..................... 错误!未定义书签。
第二讲 巧求分数 ........................... 错误!未定义书签。
第三讲 分数运算的技巧 ..................... 错误!未定义书签。
第四讲
第五讲
第六讲
第七讲
第八讲
第九讲
第十讲
第11讲
第12讲
第13讲
第14讲
第15讲
第16讲
第17讲
第18讲
第19讲
第2 0讲
第21讲
第22讲
循环小数与分数 ..................... 错误!未定义书签。
工程问题（一） ..................... 错误!未定义书签。
工程问题（二） ..................... 错误!未定义书签。
巧用单位“1” ...................... 错误!未定义书签。
比和比例 ........................... 错误!未定义书签。
百分数 ............................. 错误!未定义书签。
商业中的数学 ....................... 错误!未定义书签。
圆与扇形 ........................... 错误!未定义书签。
圆柱与圆锥 ......................... 错误!未定义书签。
立体图形（一） ..................... 错误!未定义书签。
立体图形（二） ..................... 错误!未定义书签。
棋盘的覆盖 ......................... 错误!未定义书签。
找规律 ............................. 错误!未定义书签。
操作问题 ........................... 错误!未定义书签。
取整计算 ........................... 错误!未定义书签。
近似值与估算 ....................... 错误!未定义书签。
数值代入法 ......................... 错误!未定义书签。
枚举法 ............................. 错误!未定义书签。
列表法 ............................. 错误!未定义书签。

第23讲 图解法 ............................. 错误!未定义书签。
第24讲 时钟问题 ........................... 错误!未定义书签。
第25讲 时间问题 ........................... 错误!未定义书签。
第26讲 牛吃草问题 ......................... 错误!未定义书签。
第27讲
第28讲
第29讲
第30讲


运筹学初步（一） ................... 错误!未定义书签。
运筹学初步（二） ................... 错误!未定义书签。
运筹学初步（三） ................... 错误!未定义书签。
趣题巧解 ........................... 错误!未定义书签。

第一讲 比较分数的大小
同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小 问题。比较整数、小
数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也
就产 生了多种多样的方法。
对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同
三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是：
分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；
分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。
第三种情况，即分子、分母都不同的两 个分数，通常是采用通分的
方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。
由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。
下面我们介绍另外几种方法。
1.“通分子”。
当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的
方法简便。

如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以
称为“通分子”。
2.化为小数。

这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。但在比较大小
时是否简便，就要看具体情况了。
3.先约分，后比较。
有时已知分数不是最简分数，可以先约分。

4.根据倒数比较大小。

5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分 母（子）大的分数较
大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。
也 就是说，



6.借助第三个数进行比较。有以下几种情况：
（1）对于分数m和n，若m＞k，k＞n，则m＞n。

（2）对于分数m和n，若m-k＞n-k，则m＞n。

前一个差比较小，所以m＜n。
（3）对于分数m和n，若k-m＜k-n，则m＞n。

注意，（2）与（3）的差别在于，（2）中借助的数k小于原来的两个
分数m和n ；（3）中借助的数k大于原来的两个分数m和n。
（4）把两个已知分数的分母、分子分别相加 ，得到一个新分数。
新分数一定介于两个已知分数之间，即比其中一个分数大，比另一个分
数小 。

利用这一点，当两个已知分数不容易比较大小，新分数与其中一个
已知分数 容易比较大小时，就可以借助于这个新分数。

比较分数大小的方法还有很多，同学们可 以在学习中不断发现总结，
但无论哪种方法，均来源于：“分母相同，分子大的分数大；分子相同，分母小的分数大”这一基本方法。
练习1
1.比较下列各组分数的大小：

第二讲 巧求分数
我们经常会遇到一些分数的 分子、分母发生变化的题目，例如分子
或分母加、减某数，或分子与分母同时加、减某数，或分子、分母 分别
加、减不同的数，得到一个新分数，求加、减的数，或求原来的分数。
这类题目变化很多， 因此解法也不尽相同。
数。











个分数。

，这个分数是多少

在例1～例4中，两次改变的都是分子，或都是分母，如果分子、分母
同时变化，那么会怎样呢
数a。






求这个自然数。

例7 一个分数的分子与分母之和是23，分母增加19后得到一个新分数，

练习2












是多少

第三讲 分数运算的技巧
对于分数的混合运算，除了掌握常规的四则运算法则外，还应该掌
握一些 特殊的运算技巧，才能提高运算速度，解答较难的问题。
1.凑整法
与整数运算中 的“凑整法”相同，在分数运算中，充分利用四则运
算法则和运算律（如交换律、结合律、分配律），使 部分的和、差、积、
商成为整数、整十数……从而使运算得到简化。

2.约分法











3.裂项法
若能将每个分数都分解成两个分数之差，并且使中间的分数相互抵
消，则能大大简化运算。

例7 在自然数1～100中找出10个不同的数，使这10个数的倒数
的和等于1。






4.代数法

5.分组法

练习3

8.在自然数1～60中找出8个不同的数，使这
1。



8个数的倒数之和等于

答案与提示 练习3
。












，6， 8， 12， 20， 30， 42， 56。

。

解：从前向后，分子与 分母之和等于2的有1个，等于3的有2个，
等于4的有3个人……一般地，分子与分母之和等于n的有 (n-1)个。
分子与分母之和小于9+99=108的有1+2+3+…+106=5671（个）

5671+9=5680（个）。
第四讲 循环小数与分数
任 何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小
数，而循环小数又分为纯循环小数和混循 环小数两类。那么，什么样的
分数能化成有限小数什么样的分数能化成纯循环小数、混循环小数呢我们先看下面的分数。


（1）中的分数都化成了有限小数，其分数的分母只有质因数2和5，
化

因为40=2×5，含有3个2，1个5，所以化成的小数有三位。
（2）中的分数都化成了纯循环小数，其分数的分母没有质因数2
和5。
3

< br>（3）中的分数都化成了混循环小数，其分数的分母中既含有质因数2
或5，又含有2和5以外的 质因数，化成的混循环小数中的不循环部分
的位数与
5，所以化成混循环小数中的不循环部分有两位。
于是我们得到结论：
一个最简分数化为小数有三种情况：
（1）如果分母只含有质因数2和5，那么这个分数一定能化 成有限
小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个
数的个数；
（2）如果分母中只含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定
能化成纯循环小数；
（3）如果分母中既含有质因数2或5，又含有2与5以外的质因数，
那么这个分数一定能 化成混循环小数，并且不循环部分的位数等于分母
中质因数2与5中个数较多的那个数的个数。
例1判断下列分数中，哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环
小数能化成有限小数的， 小数部分有几位能化成混循环小数的，不循环
部分有几位

分析与解：上述分数都是最简分数，并且
32=2，21=3×7，250=2×5，78=2×3×13，
53

117=3×13，850=2×5×17，
根据上面的结论，得到：



32
不循环部分有两位。
将分数化为小数是非常简单的。反过来，将小数 化为分数，同学们可能
比较熟悉将有限小数化成分数的方法，而对将循环小数化成分数的方法
就 不一定清楚了。我们分纯循环小数和混循环小数两种情况，讲解将循
环小数化成分数的方法。
1.将纯循环小数化成分数。

将上两式相减，得将上两式相减，
得从例2 、例3可以总结出将纯循
环小数化成分数的方法。
纯循环小数化成分数的方法：

分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数都是9，9
的个数与循环节的位数相同。

2.将混循环小数化成分数。
将上两式相减，得
将上两式相减，得
从例4、例5可以总结出将混循环小数化成分数的方法。
混循环小数化成分数的方法：
分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位 数字所
组成的数，减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几位数字是
9，末几位数字都 是0，其中9的个数与循环节的位数相同，0的个数与
不循环部分的位数相同。
掌握了将循环小数化成分数的方法后，就可以正确地进行循环小数
的运算了。

例6 计算下列各式：

练习4
1.下列各式中哪些不正确为什么







2.划去小数0.后面的若干位，再添上表示循环节的两个圆点，得到
一个循环小数，例如。请找出这样 的小数中最大的与最小的。
3.将下列纯循环小数化成最简分数：
4.将下列混循环小数化成最简分数：
5.计算下列各式：


答案与提示 练习4
1.（1）（3）（4）不正确。

第五讲 工程问题（一）
顾名思义，工程问题指的是与工程 建造有关的数学问题。其实，这
类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多< br>内容。
在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：
工作量=工作效率×工作时间，
工作时间=工作量÷工作效率，
工作效率=工作量÷工作时间。
工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数1表示，
也可
工作效率指的是干工 作的快慢，
其意义是单位时间里所干的工作量。单位时间的选取，根据题目需要，
可以是天，也 可以是时、分、秒等。
工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量天”，或“工作量
时 ”等。但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。
例1 单独干某项工程，甲队需10 0天完成，乙队需150天完成。甲、
乙两队合干50天后，剩下的工程乙队干还需多少天

分析与解：以全部工程量为单位1。甲队单独干需100天，甲的工作效

例2 某项工程，甲单独做需36天完成，乙单独做需45天完成。如果开
工时甲、乙两队合做 ，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了18
天才完成任务。问：甲队干了多少天
分析 ：将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干18天，后面的工作甲、
乙两队合干需多少天”这样一来，问 题就简单多了。

答：甲队干了12天。
例3 单独完成某工程，甲队需10天，乙 队需15天，丙队需20天。开
始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完成< br>这一工程。问：甲队实际工作了几天
分析与解：乙、丙两队自始至终工作了6天，去掉乙、丙两 队6天的工
作量，剩下的是甲队干的，所以甲队实际工作了

例4 一批零 件，张师傅独做20时完成，王师傅独做30时完成。如
果两人同时做，那么完成任务时张师傅比王师傅 多做60个零件。这批
零件共有多少个

分析与解：这道题可以分三步。首先求出两人合作完成需要的时间，

例5 一水池装有一个放 水管和一个排水管，单开放水管5时可将空池灌
满，单开排水管7时可将满池水排完。如果一开始是空池 ，打开放水管
1时后又打开排水管，那么再过多长时间池内将积有半池水


例6 甲、乙二人同时从两地出发，相向而行。走完全程甲需60分
钟，乙需40分钟。出 发后5分钟，甲因忘带东西而返回出发点，取东
西又耽误了5分钟。甲再出发后多长时间两人相遇
分析：这道题看起来像行程问题，但是既没有路程又没有速度，所
以不能用时间、路程、速 度三者的关系来解答。甲出发5分钟后返回，
路上耽误10分钟，再加上取东西的5分钟，等于比乙晚出 发15分钟。
我们将题目改述一下：完成一件工作，甲需60分钟，乙需40分钟，乙
先干15 分钟后，甲、乙合干还需多少时间由此看出，这道题应该用工
程问题的解法来解答。
答：甲再出发后15分钟两人相遇。
练习5

1.某工程甲单独干10天完成，乙单独干15天完成，他们合干多少
天才可完成工程的一半
2.某工程甲队单独做需48天，乙队单独做需36天。甲队先干了6
天后转交给乙队干，后来甲队重新 回来与乙队一起干了10天，将工程
做完。求乙队在中间单独工作的天数。
3.一条水渠 ，甲、乙两队合挖需30天完工。现在合挖12天后，剩
下的乙队单独又挖了24天挖完。这条水渠由甲 队单独挖需多少天
则完成任务时乙比甲多植50棵。
这批树共有多少棵
5.修一 段公路，甲队独做要用40天，乙队独做要用24天。现在两队
同时从两端开工，结果在距中点750米 处相遇。这段公路长多少米
6.蓄水池有甲、乙两个进水管，单开甲管需18时注满，单开乙管需24
时注满。如果要求12时注满水池，那么甲、乙两管至少要合开多长时
间
7.两列火车从甲、乙两地相向而行，慢车从甲地到乙地需8时，比快车
从
答案与提示 练习5
天。
天。
棵。



40千米。求甲、乙两地的距离。

5.6000米。
时。
提示：甲管12时都开着，乙管开
千米。




第六讲 工程问题（二）
上一讲我们讲述的是已知工作效率的较简单的工程问题。在较复 杂的
工程问题中，工作效率往往隐藏在题目条件里，这时，只要我们灵活运
用基本的分析方法， 问题也不难解决。
例1 一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可完成；如
果甲先做20天，那么乙接着做8天可完成。如果甲、乙合做，那么多
少天可以完成
分析与解：本题没有直接给出工作效率，为了求出甲、乙的工作效率，
我们先画出示意图：

从上图可直观地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，
即甲5天的 工作量等于乙4天的工作量。于是可用“乙工作4天”等量
替换题中“甲工作5天”这一条件，通过此替 换可知乙单独做这一工程
需用20+4=24（天）

甲、乙合做这一工程，需用的时间为

例2 一项工程，甲、乙两队合作需6天完成，现在乙队先做7天，
然后

么还要几天才能完成
分析与解：题中没有告诉甲、乙两队单独的工作效率，只知道他们
合作

们把“乙先做7天，甲再做4天”的过程转化为“甲、乙合做4天，乙
再单独



例3 单独完成一件工作，甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超
过规定时间3天才能完成。如果甲、乙二人合做2天后，剩下的继续由

乙单独做，那么刚 好在规定时间完成。问：甲、乙二人合做需多少天完
成
分析与解：乙单独做要超过3天， 甲、乙合做2天后乙继续做，刚
好按时完成，说明甲做2天等于乙做3天，即完成这件工作，乙需要的< br>时间是甲的

，乙需要10+5=15（天）。甲、乙合作需要

例4 放满一个水池的水，若同时打开1，2，3号阀门，则20分钟
可以完成；若同时打开2，3，4 号阀门，则21分钟可以完成；若同时
打开1，3，4号阀门，则28分钟可以完成；若同时打开1，2 ，4号阀
门，则30分钟可以完成。问：如果同时打开1，2，3，4号阀门，那么
多少分钟可 以完成
分析与解：同时打开1，2，3号阀门1分钟，再同时打开2，3，4
号阀门1分 钟，再同时打开1，3，4号阀门1分钟，再同时打开1，2，
4号阀门1分钟，这时，1，2，3，4 号阀门各打开了3分钟，放水量等
于一

例5 某工 程由一、二、三小队合干，需要8天完成；由二、三、四
小队合干，需要10天完成；由一、四小队合干 ，需15天完成。如果按
一、二、三、四、一、二、三、四、……的顺序，每个小队干一天地轮
流干，那么工程由哪个队最后完成
分析与解：与例4类似，可求出一、二、三、四小队的工作效率之
和是
例6 甲、乙、丙 三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人
一天轮流去做，恰好整天做完，并且结束工作的是乙。 若按乙、丙、甲
的顺序轮流


件工作，要用多少天才能完成
分析与解：把甲、乙、丙三人每人做一天称为一轮。在一轮中，无
论谁先谁后，完成的总工作量都相同。 所以三种顺序前面若干轮完成的
工作量及用的天数都相同（见下图虚线左边），相差的就是最后一轮（见下图虚线右边）。

由最后一轮完成的工作量相同，得到

练习6
1.甲、乙二人同时开始加工一批零件，每人加工零件总数的一半。甲完
成
有多少个

需的时间相等。问：甲、乙单独做各需多少天
3.加工一批零件，王师傅先做 6时李师傅再做12时可完成，王师
傅先做8时李师傅再做9时也可完成。现在王师傅先做2时，剩下的 两
人合做，还需要多少小时


独修各需几天
5.蓄水池有 甲、乙、丙三个进水管，甲、乙、丙管单独灌满一池水
依次需要10，12，15时。上午8点三个管同 时打开，中间甲管因故关
闭，结果到下午2点水池被灌满。问：甲管在何时被关闭
6.单 独完成某项工作，甲需9时，乙需12时。如果按照甲、乙、
甲、乙、……的顺序轮流工作，每次1时， 那么完成这项工作需要多长
时间

7.一项工程，乙单独干要17天完成。 如果第一天甲干，第二天乙
干，这样交替轮流干，那么恰好用整天数完成；如果第一天乙干，第二
天甲干，这样交替轮流干，那么比上次轮流的做法多用半天完工。问：
甲单独干需要几天
答案与提示练习6
个。


2.甲18天，乙12天。


3.7.2时。
解：由下页图知，王干2时等于李干3时，所以 单独干李需
12+6÷2×3=21（时），王需21÷3×2=14（时）。所求为

5.上午9时。

时15分。


7.8.5天。
解：如果 两人轮流做完的天数是偶数，那么不论甲先还是乙先，两种
轮流做的方式完成的天数必定相同（见左下图 ）。
甲乙甲乙……甲乙甲乙甲乙……甲乙 甲

现在乙先比甲先要多用半天 ，所以甲先时，完成的天数一定是奇数，
于是得到右上图，其中虚线左边的工作量相同，右边的工作量也 相同，
说明乙做1天等于甲做半天，所以乙做17天等于甲做天。
第七讲 巧用单位“1”
在工程问题中，我们往往设工作总量为单位“1”。在许多分数应用题
中，都会遇到单位“1” 的问题，根据题目条件正确使用单位“1”，能
使解答的思路更清晰，方法更简捷。

分析：因为第一天、第二天都是与全书比较，所以应以全书的页数
为单位


答：这本故事书共有240页。

分析与解：本题条件中单位“1”的量在变化，依次是 “全书的页
数”、“第一天看后余下的页数”、“第二天看后余下的页数”，出现
了3个不同的 单位“1”。按照常规思路，需要统一单位“1”，转化分
率。但在本题中，不统一单位“1”反而更方 便。我们先把全书看成
“1”，

看成“1”，就可以求出第三天看后余下的部分占全书的



共有多少本图书

分析与解：故事书增加了，图书的总数随之增加。题中出现两个分
率，
这给计算带来很多不便 ，需要统一单位“1”。统一单位“1”的一个窍
门就是抓“不变量”为单位“1”。
本题中故事书、图书总数都发生了变化，而其它书的本数没有变，
可以以

图书室原来共有图书


分析与解：与例3类似，甲、乙组人数都发生 了变化，不变量是甲、
乙组的总人数，所以以甲、乙组的总人数为单位“1”。

例5 公路上同向行驶着三辆汽 车，客车在前，货车在中，小轿车在
后。在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离相等；走了10分钟， 小
轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车，再过多少分钟，
货车追上客车
分析与解：根据“在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离相等”，
设这段距离为单位“1 ”。由“走了10分钟，小轿车追上了货车”，可
知小轿
可知小轿车(10+5)分钟比客车多行了两个这样的距离，每分钟多行这段
距离的

两班各有多少人


乙班有84-48=36（人）。
练习7


树上原有多少个桃

剩下的部分收完后刚好又装满6筐。共收西红柿多少千克


7.六年级两个班共有学生94人，其中女生有39人，已知一班的女
生占本
答案与提示 练习7
个。

个。

吨。


千克。

6.男生15人，女生21人。


7.一班45人，二班49人。



第八讲 比和比例
比的概念是借助于除法的概念建立的。
两个数相除叫做两个数的比。例如，5÷6可记作5∶6。

比值。
表示两个比相等的式子叫做比例（式）。如，3∶7=9∶21。判断两个
比是否成比例，就要看它们的 比值是否相等。两个比的比值相等，这两
个比能组成比例，否则不能组成比例。
在任意一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积。即：如果a∶
b=c∶d，那么a×d=b×c。
两个数的比叫做单比，两个以上的数的比叫做连比。例如a∶b∶c。
连比中的“∶”不能 用“÷”代替，不能把连比看成连除。把两个比化

为连比，关键是使第一个比的后项等于 第二个比的前项，方法是把这两
项化成它们的最小公倍数。例如，
甲∶乙=5∶6，乙∶丙=4∶3，
因为[6，4]=12，所以
5∶ 6=10∶ 12， 4∶3=12∶9，
得到甲∶乙∶丙=10∶12∶9。
例1 已知3∶(x-1)=7∶9，求x。
解： 7×(x-1)=3×9，
x-1=3×9÷7，

例2 六年级一班的男、女生比例为3∶ 2，又来了4名女生后，全
班共有44人。求现在的男、女生人数之比。
分析与解：原来 共有学生44-4=40（人），由男、女生人数之比为
3∶2知，如果将人数分为5份，那么男生占3 份，女生占2份。由此求
出

女生增加4人变为16+4=20（人），男生人数不变，现在男、女生
人数之比为 24∶20=6∶5。
在例2中，我们用到了按比例分配的方法。

将一个总量按照一定的比分成若干个分量叫做按比例分配。按比例
分配的方法是将按已知比分配变为按份 数分配，把比的各项相加得到总
份数，各项与总份数之比就是各个分量在总量中所占的分率，由此可求< br>得各个分量。
例3 配制一种农药，其中生石灰、硫磺粉和水的重量比是1∶2∶
12，现在要配制这种农药2700千克，求各种原料分别需要多少千克。
分析：总量是2700千克，各分量的比是1∶2∶12，总份数是
1+2+12=15，


答：生石灰、硫磺粉、水分别需要180，360和2160千克。
在按 比例分配的问题中，也可以先求出每份的量，再求出各个分量。
如例3中，总份数是1+2+12=15 ，每份的量是2700÷15=180（千克），
然后用每份的量分别乘以各分量的份数，即用180千 克分别乘以1，2，
12，就可以求出各个分量。
例4 师徒二人共加工零件400个， 师傅加工一个零件用9分钟，徒
弟加工一个零件用15分钟。完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零< br>件
分析与解：解法很多，这里只用按比例分配做。师傅与徒弟的工作
效率

有多少学生


按比例分配得到


例6 某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是 ：大客车30元，
小客车15元，小轿车10元。某日通过该收费站的大客车和小客车数量
之比 是5∶6，小客车与小轿车之比是4∶11，收取小轿车的通行费比大
客车多210元。求这天这三种车 辆通过的数量。
分析与解：大客车、小轿车通过的数量都是与小客车相比，如果能
将5∶ 6中的6与4∶11中的4统一成[4，6]=12，就可以得到大客车∶
小客车∶小轿车的连比。
由5∶6=10∶12和4∶11=12∶33，得到

大客车∶小客车∶小轿车=10∶12∶33。
以10辆大客车、12辆小客车、33辆小轿车为 一组。因为每组中收
取小轿车的通行费比大客车多10×33-30×10=30（元），所以这天通过
的车辆共有210÷30=7（组）。这天通过
大客车=10×7=70（辆），
小客车=12×7=84（辆），
小轿车=33×7=231（辆）。
练习8
1.一块长方形的地，长和宽的比是5∶3，周长是96米，求这块地
的面积。
2.一个 长方体，长与宽的比是4∶3，宽与高的比是5∶4，体积是
450分米。问：长方体的长、宽、高各多 少厘米
3.一把小刀售价6元。如果小明买了这把小刀，那么小明与小强的钱数
之比是3∶5 ；如果小强买了这把小刀，那么小明与小强的钱数之比是9∶
11。问：两人原来共有多少钱
3

5.甲、乙、丙三人分138只贝壳，甲每取走5只乙就取走4只，乙
每取走5只丙就取走6只。问：最后三人各分到多少只贝壳
6.一条路全长60千米，分成上坡 、平路、下坡三段，各段路程的
长度之比是1∶2∶3，某人走各段路程所用的时间之比是3∶4∶5。 已
知他走平路的速度是5千米时，他走完全程用多少时间

7.某俱乐部男 、女会员的人数之比是3∶2，分为甲、乙、丙三组，
甲、乙、丙三组的人数之比是10∶8∶7。如果 甲组中男、女会员的人数
之比是3∶1，乙组中男、女会员的人数之比是5∶3，那么丙组中男、
女会员的人数之比是多少
答案与提示练习8
米。

2.长100厘米，宽75厘米，高60厘米。
解：长∶宽∶高=20∶15∶12，
450000÷(20×15×12)=125=5。
长=20×5=100（厘米），宽=15×5=75（厘米），
高=12×5=60（厘米）。
元。
解：设小明有x元钱。根据小强的钱数可列方程


36+50=86（元）。
元。


5.甲50只，乙40只，丙48只。
解：甲∶乙∶丙=25∶20∶24，138÷(25+20+24)=2，
甲=2×25=50（只），乙=2×20=40（只），
3
2

丙=2×24=48（只）。
时。


：9




第九讲 百分数
百分数有两种不同的定义。
（1）分母是100的分数叫做百分数。这种定义着眼于形式，把百
分数作为分数的一种特殊形式。
（2）表示一个数（比较数）是另一个数（标准数）的百分之几的
数叫做百分数。这种定义 着眼于应用，用来表示两个数的比。所以百分
数又叫百分比或百分率。
百分数通常不写成分数形式，而采用符号“％”来表示，叫做百分
号。
在第二种定义中，出现了比较数、标准数、分率（百分数），这三
者的关系如下：
比较数÷标准数=分率（百分数），

标准数×分率=比较数，
比较数÷分率=标准数。
根据比较数、标准数、分率三者的关系，就可以解答许多与百分数
有关的应用题。
例1 纺织厂的女工占全厂人数的80％，一车间的男工占全厂男工
的25％。问：一车间的男工占全厂人数的 百分之几
分析与解：因为“女工占全厂人数的80％”，所以男工占全厂人数
的1-80％=20％。
又因为“一车间的男工占全厂男工的25％”，所以一车间的男工占
全厂人数的20％×25％=5％。
例2 学校去年春季植树500棵，成活率为85％，去年秋季植树的
成活率为90％。已 知去年春季比秋季多死了20棵树，那么去年学校共
种活了多少棵树
分析与解：去年春季 种的树活了500×85％=425（棵），死了500-
425=75（棵）。去年秋季种的树，死了 75-20=55（棵），活了 55÷
（1-90％）×90％=495（棵）。所以，去年学校共种 活425+495=920
（棵）。
例3 一次考试共有5道试题。做对第1，2，3， 4，5题的人数分别
占参加考试人数的85％，95％，90％，75％，80％。如果做对三道或三< br>道以上为及格，那么这次考试的及格率至少是多少

分析与解：因为百分数的含义是部分量占总量的百分之几，所以不
妨设总量即参加考试的人数为100。
由此得到做错第1题的有100×（1-85％）=15（人）；
同理可得，做错第2，3，4，5题的分别有5，10，25，20人。
总共做错15+5+10+25+20=75（题）。
一人做错3道或3道以上为不及格，由75 ÷3=25（人），推知至多
有25人不及格，也就是说至少有75人及格，及格率至少是75％。
例4 育红小学四年级学生比三年级学生多25％，五年级学生比四
年级学生少10％，六 年级学生比五年级学生多10％。如果六年级学生
比三年级学生多38人，那么三至六年级共有多少名学 生
分析：以三年级学生人数为标准量，则四年级是三年级的125％，
五年级是三年级的 125％×（1-10％），六年级是三年级的125％×
（1-10％）×（1+10％）。因为已知 六年级比三年级多38人，所以可
根据六年级的人数列方程。
解：设三年级有x名学生，根据六年级的人数可列方程：
x×125％×（1-10％）×（1+10％）=x+38，
x×125％×90％×110％=x+38，
=x+38，
=38，
x=160。

三年级有160名学生。
四年级有学生 160×125％=200（名）。
五年级有学生200×（1-10％）＝180（名）。
六年级有学生 160+38=198（名）。
160+200+180+198=738（名）。
答：三至六年级共有学生738名。
在百分数应用题中有一类叫溶液配比问题。我们都知道，将糖 溶于
水就得到了糖水，其中糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液。如果水的量
不变，那么糖加得越 多，糖水就越甜，也就是说，糖水甜的程度是由糖
（溶质）与糖水（溶液=糖+水）二者重量的比值决定 的，这个比值就叫
糖水的含糖量或糖含量。类似地，酒精溶于水中，纯酒精与酒精溶液二
者重量 的比值就叫酒精含量。溶质、溶剂、溶液及溶质含量有如下基本
关系：
溶液重量=溶质重量+溶剂重量，
溶质含量=溶质重量÷溶液重量，
溶液重量=溶质重量÷溶质含量，
溶质重量=溶液重量×溶质含量。
溶质含量通常用百分数表示。例如，10克白糖溶于90克水中，含
糖量（溶

例5 有含糖量为7％的糖水600克，要使其含糖量加大到10％，需
要再加入多少克糖
分析与解：在600克含糖量为7％的糖水中，有糖（溶质）600×7％
=42（克）。
设再加x克糖，可使其含糖量加大到10％。此时溶质有（42+x）克，
溶液有（600+x）克，根 据溶质含量可得方程

需要再加入20克糖。
例6 仓库运来含水量 为90％的一种水果100千克，一星期后再测，
发现含水量降低到80％。现在这批水果的总重量是多 少千克
分析与解：可将水果分成“水”和“果”两部分。一开始，果重
100×（1-90％）=10（千克）。
一星期后含水量变为80％，“果”与“水”的比值为

因为“果”始终是10千克，可求出此时“水”的重量为
所以总重量是10+40=50（千克）。
练习9

1.某修路队修一条路，5天完成了全长的20％。照此计算，完成任
务还需多少天
2. 服装厂一车间人数占全厂的25％，二车间人数比一车间少20％，
三车间人数比二车间多30％。已知 三车间有156人，全厂有多少人
3.有三块地，第二块地的面积是第一块地的80％，第三块地 的面积
比第二块多20％，三块地共69公顷，求三块地各多少公顷。
4.某工厂四个季 度的全勤率分别为90％，86％，92％，94％。问：
全年全勤的人至少占百分之几
5.有酒精含量为30％的酒精溶液若干，加了一定数量的水后稀释成
酒精含量为24％的溶液，如果再 加入同样多的水，那么酒精含量将变为
多少
6.配制硫酸含量为20％的硫酸溶液100 0克，需要用硫酸含量为18％
和23％的硫酸溶液各多少克
7.有一堆含水量％的煤， 经过一段时间的风干，含水量降为10％，
现在这堆煤的重量是原来的百分之几
答案与提示
练习9
天。
解：5÷20％-5=20（天）。
人。解：156÷[(1-20％) × (1+30％)]÷25％=600（人）。
3.第一 、二、三块依次为25，20和24公顷。解：第一块地的面积
为69÷[1+80％+80％×(1+ 20％)]=25（公顷），第二块地为25×80％
=20（公顷），第三块地为69-25=24（ 公顷）。

％。解；设全厂有100人，则四个季度没有全勤的共有
10+ 14+8+6=38（人次）。当四个季度没有全勤的人互不相同时，全年没
有全勤的人最多，为38人 ，所以至少有100-36=62（人）全勤，即全年
全勤率至少为62％。
％。
解：设酒精含量为30％的酒精溶液有100克，则溶质为30克。稀
释成酒精含量为24 ％的酒精溶液需加水30÷24％-100=25（克）。若再
加入25克水，则酒精含量变为
30÷(100+25+25)=20％。
克，400克。
提示：设需要18％的溶液x克，则需要23％的溶液(100-x)克。根
据溶质重量可得
x×18％+(1000-x)×23％=1000×20％。解得x=600。
％。
解：设原有100吨煤，则有水份吨。又设风干掉水份x吨，则由含

现在煤的重量为100-5=95（吨），是原来的95％。
第十讲 商业中的数学
市场 经济中有许多数学问题。同学们可能都有和父母一起去买东西的经
历，都知道商品有定价，但是这个价格 是怎样定的这就涉及到商品的成
本、利润等听起来有些陌生的名词。
这一讲的内容就是小学数学知识在商业中的应用。
利润=售出价-成本，

2019年新版小学六年级奥数经典教程讲义

目录
第一讲 比较分数的大小 ..................... 错误!未定义书签。
第二讲 巧求分数 ........................... 错误!未定义书签。
第三讲 分数运算的技巧 ..................... 错误!未定义书签。
第四讲
第五讲
第六讲
第七讲
第八讲
第九讲
第十讲
第11讲
第12讲
第13讲
第14讲
第15讲
第16讲
第17讲
第18讲
第19讲
第2 0讲
第21讲
第22讲
循环小数与分数 ..................... 错误!未定义书签。
工程问题（一） ..................... 错误!未定义书签。
工程问题（二） ..................... 错误!未定义书签。
巧用单位“1” ...................... 错误!未定义书签。
比和比例 ........................... 错误!未定义书签。
百分数 ............................. 错误!未定义书签。
商业中的数学 ....................... 错误!未定义书签。
圆与扇形 ........................... 错误!未定义书签。
圆柱与圆锥 ......................... 错误!未定义书签。
立体图形（一） ..................... 错误!未定义书签。
立体图形（二） ..................... 错误!未定义书签。
棋盘的覆盖 ......................... 错误!未定义书签。
找规律 ............................. 错误!未定义书签。
操作问题 ........................... 错误!未定义书签。
取整计算 ........................... 错误!未定义书签。
近似值与估算 ....................... 错误!未定义书签。
数值代入法 ......................... 错误!未定义书签。
枚举法 ............................. 错误!未定义书签。
列表法 ............................. 错误!未定义书签。

第23讲 图解法 ............................. 错误!未定义书签。
第24讲 时钟问题 ........................... 错误!未定义书签。
第25讲 时间问题 ........................... 错误!未定义书签。
第26讲 牛吃草问题 ......................... 错误!未定义书签。
第27讲
第28讲
第29讲
第30讲


运筹学初步（一） ................... 错误!未定义书签。
运筹学初步（二） ................... 错误!未定义书签。
运筹学初步（三） ................... 错误!未定义书签。
趣题巧解 ........................... 错误!未定义书签。

第一讲 比较分数的大小
同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小 问题。比较整数、小
数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也
就产 生了多种多样的方法。
对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同
三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是：
分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；
分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。
第三种情况，即分子、分母都不同的两 个分数，通常是采用通分的
方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。
由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。
下面我们介绍另外几种方法。
1.“通分子”。
当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的
方法简便。

如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以
称为“通分子”。
2.化为小数。

这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。但在比较大小
时是否简便，就要看具体情况了。
3.先约分，后比较。
有时已知分数不是最简分数，可以先约分。

4.根据倒数比较大小。

5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分 母（子）大的分数较
大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。
也 就是说，



6.借助第三个数进行比较。有以下几种情况：
（1）对于分数m和n，若m＞k，k＞n，则m＞n。

（2）对于分数m和n，若m-k＞n-k，则m＞n。

前一个差比较小，所以m＜n。
（3）对于分数m和n，若k-m＜k-n，则m＞n。

注意，（2）与（3）的差别在于，（2）中借助的数k小于原来的两个
分数m和n ；（3）中借助的数k大于原来的两个分数m和n。
（4）把两个已知分数的分母、分子分别相加 ，得到一个新分数。
新分数一定介于两个已知分数之间，即比其中一个分数大，比另一个分
数小 。

利用这一点，当两个已知分数不容易比较大小，新分数与其中一个
已知分数 容易比较大小时，就可以借助于这个新分数。

比较分数大小的方法还有很多，同学们可 以在学习中不断发现总结，
但无论哪种方法，均来源于：“分母相同，分子大的分数大；分子相同，分母小的分数大”这一基本方法。
练习1
1.比较下列各组分数的大小：

第二讲 巧求分数
我们经常会遇到一些分数的 分子、分母发生变化的题目，例如分子
或分母加、减某数，或分子与分母同时加、减某数，或分子、分母 分别
加、减不同的数，得到一个新分数，求加、减的数，或求原来的分数。
这类题目变化很多， 因此解法也不尽相同。
数。











个分数。

，这个分数是多少

在例1～例4中，两次改变的都是分子，或都是分母，如果分子、分母
同时变化，那么会怎样呢
数a。






求这个自然数。

例7 一个分数的分子与分母之和是23，分母增加19后得到一个新分数，

练习2












是多少

第三讲 分数运算的技巧
对于分数的混合运算，除了掌握常规的四则运算法则外，还应该掌
握一些 特殊的运算技巧，才能提高运算速度，解答较难的问题。
1.凑整法
与整数运算中 的“凑整法”相同，在分数运算中，充分利用四则运
算法则和运算律（如交换律、结合律、分配律），使 部分的和、差、积、
商成为整数、整十数……从而使运算得到简化。

2.约分法











3.裂项法
若能将每个分数都分解成两个分数之差，并且使中间的分数相互抵
消，则能大大简化运算。

例7 在自然数1～100中找出10个不同的数，使这10个数的倒数
的和等于1。






4.代数法

5.分组法

练习3

8.在自然数1～60中找出8个不同的数，使这
1。



8个数的倒数之和等于

答案与提示 练习3
。












，6， 8， 12， 20， 30， 42， 56。

。

解：从前向后，分子与 分母之和等于2的有1个，等于3的有2个，
等于4的有3个人……一般地，分子与分母之和等于n的有 (n-1)个。
分子与分母之和小于9+99=108的有1+2+3+…+106=5671（个）

5671+9=5680（个）。
第四讲 循环小数与分数
任 何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小
数，而循环小数又分为纯循环小数和混循 环小数两类。那么，什么样的
分数能化成有限小数什么样的分数能化成纯循环小数、混循环小数呢我们先看下面的分数。


（1）中的分数都化成了有限小数，其分数的分母只有质因数2和5，
化

因为40=2×5，含有3个2，1个5，所以化成的小数有三位。
（2）中的分数都化成了纯循环小数，其分数的分母没有质因数2
和5。
3

< br>（3）中的分数都化成了混循环小数，其分数的分母中既含有质因数2
或5，又含有2和5以外的 质因数，化成的混循环小数中的不循环部分
的位数与
5，所以化成混循环小数中的不循环部分有两位。
于是我们得到结论：
一个最简分数化为小数有三种情况：
（1）如果分母只含有质因数2和5，那么这个分数一定能化 成有限
小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个
数的个数；
（2）如果分母中只含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定
能化成纯循环小数；
（3）如果分母中既含有质因数2或5，又含有2与5以外的质因数，
那么这个分数一定能 化成混循环小数，并且不循环部分的位数等于分母
中质因数2与5中个数较多的那个数的个数。
例1判断下列分数中，哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环
小数能化成有限小数的， 小数部分有几位能化成混循环小数的，不循环
部分有几位

分析与解：上述分数都是最简分数，并且
32=2，21=3×7，250=2×5，78=2×3×13，
53

117=3×13，850=2×5×17，
根据上面的结论，得到：



32
不循环部分有两位。
将分数化为小数是非常简单的。反过来，将小数 化为分数，同学们可能
比较熟悉将有限小数化成分数的方法，而对将循环小数化成分数的方法
就 不一定清楚了。我们分纯循环小数和混循环小数两种情况，讲解将循
环小数化成分数的方法。
1.将纯循环小数化成分数。

将上两式相减，得将上两式相减，
得从例2 、例3可以总结出将纯循
环小数化成分数的方法。
纯循环小数化成分数的方法：

分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数都是9，9
的个数与循环节的位数相同。

2.将混循环小数化成分数。
将上两式相减，得
将上两式相减，得
从例4、例5可以总结出将混循环小数化成分数的方法。
混循环小数化成分数的方法：
分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位 数字所
组成的数，减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几位数字是
9，末几位数字都 是0，其中9的个数与循环节的位数相同，0的个数与
不循环部分的位数相同。
掌握了将循环小数化成分数的方法后，就可以正确地进行循环小数
的运算了。

例6 计算下列各式：

练习4
1.下列各式中哪些不正确为什么







2.划去小数0.后面的若干位，再添上表示循环节的两个圆点，得到
一个循环小数，例如。请找出这样 的小数中最大的与最小的。
3.将下列纯循环小数化成最简分数：
4.将下列混循环小数化成最简分数：
5.计算下列各式：


答案与提示 练习4
1.（1）（3）（4）不正确。

第五讲 工程问题（一）
顾名思义，工程问题指的是与工程 建造有关的数学问题。其实，这
类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多< br>内容。
在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：
工作量=工作效率×工作时间，
工作时间=工作量÷工作效率，
工作效率=工作量÷工作时间。
工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数1表示，
也可
工作效率指的是干工 作的快慢，
其意义是单位时间里所干的工作量。单位时间的选取，根据题目需要，
可以是天，也 可以是时、分、秒等。
工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量天”，或“工作量
时 ”等。但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。
例1 单独干某项工程，甲队需10 0天完成，乙队需150天完成。甲、
乙两队合干50天后，剩下的工程乙队干还需多少天

分析与解：以全部工程量为单位1。甲队单独干需100天，甲的工作效

例2 某项工程，甲单独做需36天完成，乙单独做需45天完成。如果开
工时甲、乙两队合做 ，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了18
天才完成任务。问：甲队干了多少天
分析 ：将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干18天，后面的工作甲、
乙两队合干需多少天”这样一来，问 题就简单多了。

答：甲队干了12天。
例3 单独完成某工程，甲队需10天，乙 队需15天，丙队需20天。开
始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完成< br>这一工程。问：甲队实际工作了几天
分析与解：乙、丙两队自始至终工作了6天，去掉乙、丙两 队6天的工
作量，剩下的是甲队干的，所以甲队实际工作了

例4 一批零 件，张师傅独做20时完成，王师傅独做30时完成。如
果两人同时做，那么完成任务时张师傅比王师傅 多做60个零件。这批
零件共有多少个

分析与解：这道题可以分三步。首先求出两人合作完成需要的时间，

例5 一水池装有一个放 水管和一个排水管，单开放水管5时可将空池灌
满，单开排水管7时可将满池水排完。如果一开始是空池 ，打开放水管
1时后又打开排水管，那么再过多长时间池内将积有半池水


例6 甲、乙二人同时从两地出发，相向而行。走完全程甲需60分
钟，乙需40分钟。出 发后5分钟，甲因忘带东西而返回出发点，取东
西又耽误了5分钟。甲再出发后多长时间两人相遇
分析：这道题看起来像行程问题，但是既没有路程又没有速度，所
以不能用时间、路程、速 度三者的关系来解答。甲出发5分钟后返回，
路上耽误10分钟，再加上取东西的5分钟，等于比乙晚出 发15分钟。
我们将题目改述一下：完成一件工作，甲需60分钟，乙需40分钟，乙
先干15 分钟后，甲、乙合干还需多少时间由此看出，这道题应该用工
程问题的解法来解答。
答：甲再出发后15分钟两人相遇。
练习5

1.某工程甲单独干10天完成，乙单独干15天完成，他们合干多少
天才可完成工程的一半
2.某工程甲队单独做需48天，乙队单独做需36天。甲队先干了6
天后转交给乙队干，后来甲队重新 回来与乙队一起干了10天，将工程
做完。求乙队在中间单独工作的天数。
3.一条水渠 ，甲、乙两队合挖需30天完工。现在合挖12天后，剩
下的乙队单独又挖了24天挖完。这条水渠由甲 队单独挖需多少天
则完成任务时乙比甲多植50棵。
这批树共有多少棵
5.修一 段公路，甲队独做要用40天，乙队独做要用24天。现在两队
同时从两端开工，结果在距中点750米 处相遇。这段公路长多少米
6.蓄水池有甲、乙两个进水管，单开甲管需18时注满，单开乙管需24
时注满。如果要求12时注满水池，那么甲、乙两管至少要合开多长时
间
7.两列火车从甲、乙两地相向而行，慢车从甲地到乙地需8时，比快车
从
答案与提示 练习5
天。
天。
棵。



40千米。求甲、乙两地的距离。

5.6000米。
时。
提示：甲管12时都开着，乙管开
千米。




第六讲 工程问题（二）
上一讲我们讲述的是已知工作效率的较简单的工程问题。在较复 杂的
工程问题中，工作效率往往隐藏在题目条件里，这时，只要我们灵活运
用基本的分析方法， 问题也不难解决。
例1 一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可完成；如
果甲先做20天，那么乙接着做8天可完成。如果甲、乙合做，那么多
少天可以完成
分析与解：本题没有直接给出工作效率，为了求出甲、乙的工作效率，
我们先画出示意图：

从上图可直观地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，
即甲5天的 工作量等于乙4天的工作量。于是可用“乙工作4天”等量
替换题中“甲工作5天”这一条件，通过此替 换可知乙单独做这一工程
需用20+4=24（天）

甲、乙合做这一工程，需用的时间为

例2 一项工程，甲、乙两队合作需6天完成，现在乙队先做7天，
然后

么还要几天才能完成
分析与解：题中没有告诉甲、乙两队单独的工作效率，只知道他们
合作

们把“乙先做7天，甲再做4天”的过程转化为“甲、乙合做4天，乙
再单独



例3 单独完成一件工作，甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超
过规定时间3天才能完成。如果甲、乙二人合做2天后，剩下的继续由

乙单独做，那么刚 好在规定时间完成。问：甲、乙二人合做需多少天完
成
分析与解：乙单独做要超过3天， 甲、乙合做2天后乙继续做，刚
好按时完成，说明甲做2天等于乙做3天，即完成这件工作，乙需要的< br>时间是甲的

，乙需要10+5=15（天）。甲、乙合作需要

例4 放满一个水池的水，若同时打开1，2，3号阀门，则20分钟
可以完成；若同时打开2，3，4 号阀门，则21分钟可以完成；若同时
打开1，3，4号阀门，则28分钟可以完成；若同时打开1，2 ，4号阀
门，则30分钟可以完成。问：如果同时打开1，2，3，4号阀门，那么
多少分钟可 以完成
分析与解：同时打开1，2，3号阀门1分钟，再同时打开2，3，4
号阀门1分 钟，再同时打开1，3，4号阀门1分钟，再同时打开1，2，
4号阀门1分钟，这时，1，2，3，4 号阀门各打开了3分钟，放水量等
于一

例5 某工 程由一、二、三小队合干，需要8天完成；由二、三、四
小队合干，需要10天完成；由一、四小队合干 ，需15天完成。如果按
一、二、三、四、一、二、三、四、……的顺序，每个小队干一天地轮
流干，那么工程由哪个队最后完成
分析与解：与例4类似，可求出一、二、三、四小队的工作效率之
和是
例6 甲、乙、丙 三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人
一天轮流去做，恰好整天做完，并且结束工作的是乙。 若按乙、丙、甲
的顺序轮流


件工作，要用多少天才能完成
分析与解：把甲、乙、丙三人每人做一天称为一轮。在一轮中，无
论谁先谁后，完成的总工作量都相同。 所以三种顺序前面若干轮完成的
工作量及用的天数都相同（见下图虚线左边），相差的就是最后一轮（见下图虚线右边）。

由最后一轮完成的工作量相同，得到

练习6
1.甲、乙二人同时开始加工一批零件，每人加工零件总数的一半。甲完
成
有多少个

需的时间相等。问：甲、乙单独做各需多少天
3.加工一批零件，王师傅先做 6时李师傅再做12时可完成，王师
傅先做8时李师傅再做9时也可完成。现在王师傅先做2时，剩下的 两
人合做，还需要多少小时


独修各需几天
5.蓄水池有 甲、乙、丙三个进水管，甲、乙、丙管单独灌满一池水
依次需要10，12，15时。上午8点三个管同 时打开，中间甲管因故关
闭，结果到下午2点水池被灌满。问：甲管在何时被关闭
6.单 独完成某项工作，甲需9时，乙需12时。如果按照甲、乙、
甲、乙、……的顺序轮流工作，每次1时， 那么完成这项工作需要多长
时间

7.一项工程，乙单独干要17天完成。 如果第一天甲干，第二天乙
干，这样交替轮流干，那么恰好用整天数完成；如果第一天乙干，第二
天甲干，这样交替轮流干，那么比上次轮流的做法多用半天完工。问：
甲单独干需要几天
答案与提示练习6
个。


2.甲18天，乙12天。


3.7.2时。
解：由下页图知，王干2时等于李干3时，所以 单独干李需
12+6÷2×3=21（时），王需21÷3×2=14（时）。所求为

5.上午9时。

时15分。


7.8.5天。
解：如果 两人轮流做完的天数是偶数，那么不论甲先还是乙先，两种
轮流做的方式完成的天数必定相同（见左下图 ）。
甲乙甲乙……甲乙甲乙甲乙……甲乙 甲

现在乙先比甲先要多用半天 ，所以甲先时，完成的天数一定是奇数，
于是得到右上图，其中虚线左边的工作量相同，右边的工作量也 相同，
说明乙做1天等于甲做半天，所以乙做17天等于甲做天。
第七讲 巧用单位“1”
在工程问题中，我们往往设工作总量为单位“1”。在许多分数应用题
中，都会遇到单位“1” 的问题，根据题目条件正确使用单位“1”，能
使解答的思路更清晰，方法更简捷。

分析：因为第一天、第二天都是与全书比较，所以应以全书的页数
为单位


答：这本故事书共有240页。

分析与解：本题条件中单位“1”的量在变化，依次是 “全书的页
数”、“第一天看后余下的页数”、“第二天看后余下的页数”，出现
了3个不同的 单位“1”。按照常规思路，需要统一单位“1”，转化分
率。但在本题中，不统一单位“1”反而更方 便。我们先把全书看成
“1”，

看成“1”，就可以求出第三天看后余下的部分占全书的



共有多少本图书

分析与解：故事书增加了，图书的总数随之增加。题中出现两个分
率，
这给计算带来很多不便 ，需要统一单位“1”。统一单位“1”的一个窍
门就是抓“不变量”为单位“1”。
本题中故事书、图书总数都发生了变化，而其它书的本数没有变，
可以以

图书室原来共有图书


分析与解：与例3类似，甲、乙组人数都发生 了变化，不变量是甲、
乙组的总人数，所以以甲、乙组的总人数为单位“1”。

例5 公路上同向行驶着三辆汽 车，客车在前，货车在中，小轿车在
后。在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离相等；走了10分钟， 小
轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车，再过多少分钟，
货车追上客车
分析与解：根据“在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离相等”，
设这段距离为单位“1 ”。由“走了10分钟，小轿车追上了货车”，可
知小轿
可知小轿车(10+5)分钟比客车多行了两个这样的距离，每分钟多行这段
距离的

两班各有多少人


乙班有84-48=36（人）。
练习7


树上原有多少个桃

剩下的部分收完后刚好又装满6筐。共收西红柿多少千克


7.六年级两个班共有学生94人，其中女生有39人，已知一班的女
生占本
答案与提示 练习7
个。

个。

吨。


千克。

6.男生15人，女生21人。


7.一班45人，二班49人。



第八讲 比和比例
比的概念是借助于除法的概念建立的。
两个数相除叫做两个数的比。例如，5÷6可记作5∶6。

比值。
表示两个比相等的式子叫做比例（式）。如，3∶7=9∶21。判断两个
比是否成比例，就要看它们的 比值是否相等。两个比的比值相等，这两
个比能组成比例，否则不能组成比例。
在任意一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积。即：如果a∶
b=c∶d，那么a×d=b×c。
两个数的比叫做单比，两个以上的数的比叫做连比。例如a∶b∶c。
连比中的“∶”不能 用“÷”代替，不能把连比看成连除。把两个比化

为连比，关键是使第一个比的后项等于 第二个比的前项，方法是把这两
项化成它们的最小公倍数。例如，
甲∶乙=5∶6，乙∶丙=4∶3，
因为[6，4]=12，所以
5∶ 6=10∶ 12， 4∶3=12∶9，
得到甲∶乙∶丙=10∶12∶9。
例1 已知3∶(x-1)=7∶9，求x。
解： 7×(x-1)=3×9，
x-1=3×9÷7，

例2 六年级一班的男、女生比例为3∶ 2，又来了4名女生后，全
班共有44人。求现在的男、女生人数之比。
分析与解：原来 共有学生44-4=40（人），由男、女生人数之比为
3∶2知，如果将人数分为5份，那么男生占3 份，女生占2份。由此求
出

女生增加4人变为16+4=20（人），男生人数不变，现在男、女生
人数之比为 24∶20=6∶5。
在例2中，我们用到了按比例分配的方法。

将一个总量按照一定的比分成若干个分量叫做按比例分配。按比例
分配的方法是将按已知比分配变为按份 数分配，把比的各项相加得到总
份数，各项与总份数之比就是各个分量在总量中所占的分率，由此可求< br>得各个分量。
例3 配制一种农药，其中生石灰、硫磺粉和水的重量比是1∶2∶
12，现在要配制这种农药2700千克，求各种原料分别需要多少千克。
分析：总量是2700千克，各分量的比是1∶2∶12，总份数是
1+2+12=15，


答：生石灰、硫磺粉、水分别需要180，360和2160千克。
在按 比例分配的问题中，也可以先求出每份的量，再求出各个分量。
如例3中，总份数是1+2+12=15 ，每份的量是2700÷15=180（千克），
然后用每份的量分别乘以各分量的份数，即用180千 克分别乘以1，2，
12，就可以求出各个分量。
例4 师徒二人共加工零件400个， 师傅加工一个零件用9分钟，徒
弟加工一个零件用15分钟。完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零< br>件
分析与解：解法很多，这里只用按比例分配做。师傅与徒弟的工作
效率

有多少学生


按比例分配得到


例6 某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是 ：大客车30元，
小客车15元，小轿车10元。某日通过该收费站的大客车和小客车数量
之比 是5∶6，小客车与小轿车之比是4∶11，收取小轿车的通行费比大
客车多210元。求这天这三种车 辆通过的数量。
分析与解：大客车、小轿车通过的数量都是与小客车相比，如果能
将5∶ 6中的6与4∶11中的4统一成[4，6]=12，就可以得到大客车∶
小客车∶小轿车的连比。
由5∶6=10∶12和4∶11=12∶33，得到

大客车∶小客车∶小轿车=10∶12∶33。
以10辆大客车、12辆小客车、33辆小轿车为 一组。因为每组中收
取小轿车的通行费比大客车多10×33-30×10=30（元），所以这天通过
的车辆共有210÷30=7（组）。这天通过
大客车=10×7=70（辆），
小客车=12×7=84（辆），
小轿车=33×7=231（辆）。
练习8
1.一块长方形的地，长和宽的比是5∶3，周长是96米，求这块地
的面积。
2.一个 长方体，长与宽的比是4∶3，宽与高的比是5∶4，体积是
450分米。问：长方体的长、宽、高各多 少厘米
3.一把小刀售价6元。如果小明买了这把小刀，那么小明与小强的钱数
之比是3∶5 ；如果小强买了这把小刀，那么小明与小强的钱数之比是9∶
11。问：两人原来共有多少钱
3

5.甲、乙、丙三人分138只贝壳，甲每取走5只乙就取走4只，乙
每取走5只丙就取走6只。问：最后三人各分到多少只贝壳
6.一条路全长60千米，分成上坡 、平路、下坡三段，各段路程的
长度之比是1∶2∶3，某人走各段路程所用的时间之比是3∶4∶5。 已
知他走平路的速度是5千米时，他走完全程用多少时间

7.某俱乐部男 、女会员的人数之比是3∶2，分为甲、乙、丙三组，
甲、乙、丙三组的人数之比是10∶8∶7。如果 甲组中男、女会员的人数
之比是3∶1，乙组中男、女会员的人数之比是5∶3，那么丙组中男、
女会员的人数之比是多少
答案与提示练习8
米。

2.长100厘米，宽75厘米，高60厘米。
解：长∶宽∶高=20∶15∶12，
450000÷(20×15×12)=125=5。
长=20×5=100（厘米），宽=15×5=75（厘米），
高=12×5=60（厘米）。
元。
解：设小明有x元钱。根据小强的钱数可列方程


36+50=86（元）。
元。


5.甲50只，乙40只，丙48只。
解：甲∶乙∶丙=25∶20∶24，138÷(25+20+24)=2，
甲=2×25=50（只），乙=2×20=40（只），
3
2

丙=2×24=48（只）。
时。


：9




第九讲 百分数
百分数有两种不同的定义。
（1）分母是100的分数叫做百分数。这种定义着眼于形式，把百
分数作为分数的一种特殊形式。
（2）表示一个数（比较数）是另一个数（标准数）的百分之几的
数叫做百分数。这种定义 着眼于应用，用来表示两个数的比。所以百分
数又叫百分比或百分率。
百分数通常不写成分数形式，而采用符号“％”来表示，叫做百分
号。
在第二种定义中，出现了比较数、标准数、分率（百分数），这三
者的关系如下：
比较数÷标准数=分率（百分数），

标准数×分率=比较数，
比较数÷分率=标准数。
根据比较数、标准数、分率三者的关系，就可以解答许多与百分数
有关的应用题。
例1 纺织厂的女工占全厂人数的80％，一车间的男工占全厂男工
的25％。问：一车间的男工占全厂人数的 百分之几
分析与解：因为“女工占全厂人数的80％”，所以男工占全厂人数
的1-80％=20％。
又因为“一车间的男工占全厂男工的25％”，所以一车间的男工占
全厂人数的20％×25％=5％。
例2 学校去年春季植树500棵，成活率为85％，去年秋季植树的
成活率为90％。已 知去年春季比秋季多死了20棵树，那么去年学校共
种活了多少棵树
分析与解：去年春季 种的树活了500×85％=425（棵），死了500-
425=75（棵）。去年秋季种的树，死了 75-20=55（棵），活了 55÷
（1-90％）×90％=495（棵）。所以，去年学校共种 活425+495=920
（棵）。
例3 一次考试共有5道试题。做对第1，2，3， 4，5题的人数分别
占参加考试人数的85％，95％，90％，75％，80％。如果做对三道或三< br>道以上为及格，那么这次考试的及格率至少是多少

分析与解：因为百分数的含义是部分量占总量的百分之几，所以不
妨设总量即参加考试的人数为100。
由此得到做错第1题的有100×（1-85％）=15（人）；
同理可得，做错第2，3，4，5题的分别有5，10，25，20人。
总共做错15+5+10+25+20=75（题）。
一人做错3道或3道以上为不及格，由75 ÷3=25（人），推知至多
有25人不及格，也就是说至少有75人及格，及格率至少是75％。
例4 育红小学四年级学生比三年级学生多25％，五年级学生比四
年级学生少10％，六 年级学生比五年级学生多10％。如果六年级学生
比三年级学生多38人，那么三至六年级共有多少名学 生
分析：以三年级学生人数为标准量，则四年级是三年级的125％，
五年级是三年级的 125％×（1-10％），六年级是三年级的125％×
（1-10％）×（1+10％）。因为已知 六年级比三年级多38人，所以可
根据六年级的人数列方程。
解：设三年级有x名学生，根据六年级的人数可列方程：
x×125％×（1-10％）×（1+10％）=x+38，
x×125％×90％×110％=x+38，
=x+38，
=38，
x=160。

三年级有160名学生。
四年级有学生 160×125％=200（名）。
五年级有学生200×（1-10％）＝180（名）。
六年级有学生 160+38=198（名）。
160+200+180+198=738（名）。
答：三至六年级共有学生738名。
在百分数应用题中有一类叫溶液配比问题。我们都知道，将糖 溶于
水就得到了糖水，其中糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液。如果水的量
不变，那么糖加得越 多，糖水就越甜，也就是说，糖水甜的程度是由糖
（溶质）与糖水（溶液=糖+水）二者重量的比值决定 的，这个比值就叫
糖水的含糖量或糖含量。类似地，酒精溶于水中，纯酒精与酒精溶液二
者重量 的比值就叫酒精含量。溶质、溶剂、溶液及溶质含量有如下基本
关系：
溶液重量=溶质重量+溶剂重量，
溶质含量=溶质重量÷溶液重量，
溶液重量=溶质重量÷溶质含量，
溶质重量=溶液重量×溶质含量。
溶质含量通常用百分数表示。例如，10克白糖溶于90克水中，含
糖量（溶

例5 有含糖量为7％的糖水600克，要使其含糖量加大到10％，需
要再加入多少克糖
分析与解：在600克含糖量为7％的糖水中，有糖（溶质）600×7％
=42（克）。
设再加x克糖，可使其含糖量加大到10％。此时溶质有（42+x）克，
溶液有（600+x）克，根 据溶质含量可得方程

需要再加入20克糖。
例6 仓库运来含水量 为90％的一种水果100千克，一星期后再测，
发现含水量降低到80％。现在这批水果的总重量是多 少千克
分析与解：可将水果分成“水”和“果”两部分。一开始，果重
100×（1-90％）=10（千克）。
一星期后含水量变为80％，“果”与“水”的比值为

因为“果”始终是10千克，可求出此时“水”的重量为
所以总重量是10+40=50（千克）。
练习9

1.某修路队修一条路，5天完成了全长的20％。照此计算，完成任
务还需多少天
2. 服装厂一车间人数占全厂的25％，二车间人数比一车间少20％，
三车间人数比二车间多30％。已知 三车间有156人，全厂有多少人
3.有三块地，第二块地的面积是第一块地的80％，第三块地 的面积
比第二块多20％，三块地共69公顷，求三块地各多少公顷。
4.某工厂四个季 度的全勤率分别为90％，86％，92％，94％。问：
全年全勤的人至少占百分之几
5.有酒精含量为30％的酒精溶液若干，加了一定数量的水后稀释成
酒精含量为24％的溶液，如果再 加入同样多的水，那么酒精含量将变为
多少
6.配制硫酸含量为20％的硫酸溶液100 0克，需要用硫酸含量为18％
和23％的硫酸溶液各多少克
7.有一堆含水量％的煤， 经过一段时间的风干，含水量降为10％，
现在这堆煤的重量是原来的百分之几
答案与提示
练习9
天。
解：5÷20％-5=20（天）。
人。解：156÷[(1-20％) × (1+30％)]÷25％=600（人）。
3.第一 、二、三块依次为25，20和24公顷。解：第一块地的面积
为69÷[1+80％+80％×(1+ 20％)]=25（公顷），第二块地为25×80％
=20（公顷），第三块地为69-25=24（ 公顷）。

％。解；设全厂有100人，则四个季度没有全勤的共有
10+ 14+8+6=38（人次）。当四个季度没有全勤的人互不相同时，全年没
有全勤的人最多，为38人 ，所以至少有100-36=62（人）全勤，即全年
全勤率至少为62％。
％。
解：设酒精含量为30％的酒精溶液有100克，则溶质为30克。稀
释成酒精含量为24 ％的酒精溶液需加水30÷24％-100=25（克）。若再
加入25克水，则酒精含量变为
30÷(100+25+25)=20％。
克，400克。
提示：设需要18％的溶液x克，则需要23％的溶液(100-x)克。根
据溶质重量可得
x×18％+(1000-x)×23％=1000×20％。解得x=600。
％。
解：设原有100吨煤，则有水份吨。又设风干掉水份x吨，则由含

现在煤的重量为100-5=95（吨），是原来的95％。
第十讲 商业中的数学
市场 经济中有许多数学问题。同学们可能都有和父母一起去买东西的经
历，都知道商品有定价，但是这个价格 是怎样定的这就涉及到商品的成
本、利润等听起来有些陌生的名词。
这一讲的内容就是小学数学知识在商业中的应用。
利润=售出价-成本，