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有关三角形五心的经典试题

三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心.
一、外心.
三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.
例1．过等 腰△
ABC
底边
BC
上一点
P
引
PM
∥< br>CA
交
AB
于
M
；引
PN
∥
BA< br>交
AC
于
N
.作点
P
关于
MN
的对 称点
P
′.试证：
P
′点在△
ABC
外接圆上.
(杭州大学《中学数学竞赛习题》)
A
P
'
分析：由已知可得MP
′=
MP
=
MB
，
NP
′=
NP
N
=
NC
，故点
M
是△
P
′
BP
的外心，点
N
是△
P
′
PC
的外心.有
M
11
B
C
∠
BP
′
P
=∠
BMP
=∠
BAC
，
22
11
∠
PP
′
C
=∠
PNC
=∠
BAC
.
22
P
∴∠
BP
′
C
=∠
B P
′
P
+∠
P
′
PC
=∠
BAC
.
从而，
P
′点与
A
，
B
，
C
共圆、即
P
′在△
ABC
外接圆上.
由于
P
′
P
平分∠
BP
′
C
，显然还有

P
′
B
:
P
′
C
=
BP
:
PC
.
例2．在△
ABC
的边
A B
，
BC
，
CA
上分别取点
P
，
Q
，
S
.证明以△
APS
，△
BQP
，△
CSQ< br>的外心为
顶点的三角形与△
ABC
相似.
(
B
·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)
A
分析：设
O
1
，
O
2
，
O
3
是△
APS
，△
BQP
，
O
1
△
CSQ
的外心，作出六边形 < br>.
.
.
.
P
K
S
O
1
PO
2
QO
3
S
后再由外
心性质可知
O
2
O
3
B
C
∠
PO
1
S
=2∠
A
，
Q
∠
QO
2
P
=2∠
B
，
∠
SO
3
Q
=2∠
C
.
∴∠
PO
1
S
+∠
QO
2
P
+∠
SO
3
Q
=360°.从而又知∠
O
1
PO
2
+ < br>∠
O
2
QO
3
+∠
O
3
SO
1
=360°
将△
O
2
QO
3
绕 着
O
3
点旋转到△
KSO
3
，易判断△
KSO1
≌△
O
2
PO
1
，同时可得△
O
1
O
2
O
3
≌△
O
1
KO
3
.
∴∠
O
2
O
1
O
3
= ∠
KO
1
O
3
=
=
1
∠
O
2
O
1
K

2
1
(∠
O
2
O
1
S
+∠
SO
1< br>K
)
2
1
=(∠
O
2
O
1
S
+∠
PO
1
O
2
)
2
1
=∠
PO
1
S
=∠
A
；
2
同理有∠
O
1
O
2
O
3
=∠
B
. 故△
O
1
O
2
O
3
∽△
ABC
.
二、重心
三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每

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条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.
例3．
AD
，
BE
，
CF
是△
ABC
的三条中线，
P
是任意一 点.证明：在△
PAD
，△
PBE
，△
PCF
中，
其中一个面积等于另外两个面积的和.
(第26届莫斯科数学奥林匹克)
A< br>分析：设
G
为△
ABC
重心，直线
PG
与
A B
A
'
F
'
，
BC
相交.从
A
，
C
，
D
，
E
，
F
分别
EF
G
作该直线的垂线，垂足为
A
′，
C
′，
E
'
D
'
D
′，
E
′，
F
′.
B
C
C
'
D
P
易证
AA′=2
DD
′，
CC
′=2
FF
′，2
EE< br>′=
AA
′+
CC
′，
∴
EE
′=
DD
′+
FF
′.
有< br>S
△
PGE
=
S
△
PGD
+
S△
PGF
.
两边各扩大3倍，有
S
△
P BE
=
S
△
PAD
+
S
△
PCF
.
例4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形
相似.其逆亦真.
分析：将△
ABC
简记为△，由三中线
AD
，< br>BE
，
CF
围成的三角形简记为△′.
G
为重心，连
DE
到
H
，使
EH
=
DE
，连
HC
，
HF
，则△′就是△
HCF
.
222
( 1)
a
，
b
，
c
成等差数列

△∽△′.
若△
ABC
为正三角形，易证△∽△′.
不妨设
a
≥
b
≥
c
，有
1
2a
2
2b
2
c
2
，
2
1
2c
2
2a
2
b
2
，
BE
=
2
1
2b
2
2c
2
a
2
.
AD
=
2

CF
=
将
a
+
c
=2
b
，分别代入以上三式，得

CF
=
222
333
a
，
BE
=
b
，
AD
=
c
.
222
333
a
:
b
:
c

222
∴
CF
:
BE
:
AD
=
=
a
:
b
:
c
.
故有△∽△′.
222
(2)△∽△′

a
，
b
，
c
成等差数列.
当△中
a
≥
b
≥
c
时，
△′中
CF
≥
BE
≥
AD
.
∵△∽△′，
S

'
CF
2
∴＝().
S

a
据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形 面积的
S

33
”，有
'
=.
S

44

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CF
2
3
22222
∴
2
=

3
a
=4
CF
=2
a
+
b
-
c
4
a

a
2
+
c
2
= 2
b
2
.
三、垂心
三角形三条高的交战，称为三角形的 垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角
形，给我们解题提供了极大的便利.
例5 ．设
A
1
A
2
A
3
A
4
为⊙O
内接四边形，
H
1
，
H
2
，
H3
，
H
4
依次为
△
A
2
A
3
A
4
，△
A
3
A
4
A
1
，△
A
4
A
1
A
2
，△
A
1< br>A
2
A
3
的垂心.求证：
H
1
，
H
2
，
H
3
，
H
4
四点共圆，并确
定出该圆的圆心位置.
(1992，全国高中联赛)
A
1
A
2
分析：连接
A
2
H
1
，
A
1< br>H
2
，
H
1
H
2
，记圆半径
为< br>R
.由△
A
2
A
3
A
4
知
.
H
2
H
1
O
A
2
H
1
=2
R

A
2
H
1
=2
R
cos∠
A
3
A
2
A
4
；
A< br>3
A
4
sinA
2
A
3
H
1 由△
A
1
A
3
A
4
得

A
1
H
2
=2
R
cos∠
A
3< br>A
1
A
4
.
但∠
A
3
A
2
A
4
=∠
A
3
A
1
A4
，故
A
2
H
1
=
A
1
H< br>2
.
易证
A
2
H
1
∥
A
1
A
2
，于是，
A
2
H
1
A
1
H
2
，
∥
=
∥
故得
H
1
H
2

A
2
A
1.设
H
1
A
1
与
H
2
A
2< br>的交点为
M
，故
H
1
H
2
与
A1
A
2
关于
M
点成中心对称.
=
同理，
H
2
H
3
与
A
2
A
3，
H
3
H
4
与
A
3
A
4，
H
4
H
1
与
A
4
A
1都关于
M
点成中心对称.故四边形
H
1
H
2
H
3
H
4
与四边形
A
1
A
2
A3
A
4
关于
M
点成中心对称，两者是全等四边形，
H< br>1
，
H
2
，
H
3
，
H
4< br>在同一个
圆上.后者的圆心设为
Q
，
Q
与
O
也关于
M
成中心对称.由
O
，
M
两点，
Q
点就不难确定
了.
例6．
H
为△
ABC
的垂心，
D
，
E
，
F
分别是
BC
，
CA
，
AB
的中心.一个以
H
为圆心的⊙
H
交直线
EF< br>，
FD
，
DE
于
A
1
，
A
2
，
B
1
，
B
2
，
C
1
，
C
2
.
求证：
AA
1
=
AA
2
=
BB
1
=
BB
2
=
CC
1
=
CC
2
.
B
2
(1989，加拿大数学奥林匹克训练题)
C
1
A
分析：只须证明
AA
1
=
BB
1
=
CC
1
即可.设 H
2
M
E
A
2
A
1
F
BC< br>=
a
，
CA
=
b
，
AB
=
c
，△
ABC
外
H
接圆半径为
R
，⊙
H
的半径为
r
.
B
C
H
1
连
HA
1
，
AH
交
EF
于
M
.
D

A
A
1
=
AM
+
A
1
M
=
AM
+
r
-
MH
222 2
222
2
2
C
2B
1
=
r
+(
AM
-
MH
)， ①
22
又
AM
-
HM
=(
11AH
1
)
2
-(
AH
-
AH
1
)
2

22
22
=
AH
·
AH
1
-
AH
=
AH
2
·
AB
-
AH

2

=cos
A
·
bc
-
AH
， ②
而
AH
222
=2
R

AH=4
R
cos
A
,
sinABH
a
222
=2
R

a
=4
R
sin
A
.
sinA

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∴
AH
+
a
=4
R
，
AH
=4
R
-
a
. ③
由①、②、③有
2222 22
b
2
c
2
a
2
22
A
A
r
·
bc
-(4
R
-
a
)
2b c
2
2
1
=+
1
22222
(
a
+
b
+
c
)-4
R
+
r
.
2< br>1
22222
2
同理，
BB
1
=(
a
+
b
+
c
)-4
R
+
r
，
2
1
CC
1
2
=(
a
2
+
b
2
+
c
2
)-4
R
2
+
r
2< br>.
2
=
故有
AA
1
=
BB
1=
CC
1
.
四、内心
三角形内切圆的圆心，简称为内心.对 于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极
为有用的等量关系：
设
I
为 △
ABC
的内心，射线
AI
交△
ABC
外接圆于
A
′，则有
A
′
I
=
A
′
B
=< br>A
′
C
.换言之，
点
A
′必是△
IBC之外心(内心的等量关系之逆同样有用).
D
例7．
ABCD
为圆内接凸四边形，取
△
DAB
，△
ABC
，△
BCD
，
O< br>4
O
3
C
△
CDA
的内心
O
1，
O
2
，
O
3
，
O
4
. 求证：
O
1
O
2
O
3
O
4
为矩形 .
O
1
O
2
(1986，中国数学奥林匹克集训题)
B
A
证明见《中等数学》1992；4
例8．已知⊙
O
内 接△
ABC
，⊙
Q
切
AB
，
AC
于
E
，
F
且与⊙
O
内切.试证：
EF
中点
P
是△
ABC
之内心.
(
B
·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)
分析：在第20届
IM O
中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增加了条件
AB
=
A C
.
当
AB
≠
AC
，怎样证明呢？
如图，显然
EF
中点
P
、圆心
Q
，
BC
中 点
K
都在∠
BAC
平分线上.易知
AQ
=
∵
QK
·
AQ
=
MQ
·
QN
，
M
R
E
O
B
N
K
r
α
α
P
Q
F
C
A
r
.
sin

MQQN
∴
QK
=
AQ
(2Rr)r
==
sin

(2Rr)
.
rsin

由Rt△
EPQ
知
PQ
=
sin

r
.
∴
PK
=
PQ
+
QK
=
si n

r
+
sin

(2Rr)
=
s in

2R
.
∴
PK
=
BK
.


利用内心等量关系之逆定理，即知
P
是△
ABC
这内心.
五、旁心
三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于

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一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起，
旁心还与三角形的半周长关系密切.
例9．在直角三角形中，求证：
r
+< br>r
a
+
r
b
+
r
c
=2
p
.
式中
r
，
r
a
，
rb
，
r
c
分别表示内切圆半径及与
a
，
b，
c
相切的旁切圆半径，
p
表示半周.
(杭州大学《中学数学竞赛习题》)
分析：设Rt△
ABC
中，
c
为斜边，先来证明一个特性：
p
(
p
-
c
)=(
p
-
a
)(
p
-
b
).
11
(
a
+
b+
c
)·(
a
+
b
-
c
)
22
1
22
=[(
a
+
b
)-
c
]
4
1
=
ab
；
2
11
(
p
-
a
)(
p
-
b
)=(-
a
+
b
+
c)·(
a
-
b
+
c
)
22
1
2
1
2
=[
c
-(
a
-
b
)]=
ab
.
42
∵
p
(
p
-
c
)=
r
c< br>O
3
O
K
A
O
2
r
b
rE
C
B
O
1
r
a
∴
p
(
p
-
c
)=(
p
-
a
)(
p
-b
). ①
观察图形，可得
r
a
=
AF
-
AC
=
p
-
b
，
r
b
=
BG
-
BC
=
p
-
a
，
r
c
=
CK
=
p
.
而
r
=
1
(
a
+
b
-
c
)
2
=
p
-
c
.
∴
r
+
r
a
+
r
b
+
r
c

=(
p
-
c
)+(
p
-
b
)+(
p
-
a
)+
p

=4
p
-(
a
+
b
+
c
)=2
p
.
由①及图形易证.
例10．
M
是△
ABC
边
AB
上的任意一点.r
1
，
r
2
，
r
分别是△
AMC，△
BMC
，△
ABC
内切圆的半径，
q
1
，
q
2
，
q
分别是上述三角形在∠
ACB
内部的旁切 圆半径.证明：
(
IMO
-12)
分析：对任意△
A
′
B
′
C
′，由正弦定理可知
r
1
r
r
·
2
=.
q
1
q
2
q
OD
=
OA
′·
sin
A'
2
sin
O
A
'
.
.
E
D
C
'
B'
A'
2
=
A
′
B
′··
sin

2
sinA'O'B'
A'B'
sinsin
22
， =
A
′
B
′·
A'B'
sin
2
.B
'
O
'

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A'B'
cos
22
.
O
′
E
= A
′
B
′·
A'B'
sin
2
ODA'B'
tgtg
. ∴
O'E22
cos
亦即有
r
1
r
ACMACNBB
tgtg
·
2=
tgtg
q
1
q
2
2222
=
tg
AB
r
tg
=.
22
q
六、众心共圆
这有两种情况：(1)同一点却是不同三角形的不同的 心；(2)同一图形出现了同一三角
形的几个心.
例11．设在圆内接凸六边形
AB CDFE
中，
AB
=
BC
，
CD
=
DE< br>，
EF
=
FA
.试证：(1)
AD
，
BE< br>，
CF
三条
对角线交于一点；
(2)AB
+
BC
+
CD
+
DE
+
EF+
FA
≥
AK
+
BE
+
CF
.
(1991，国家教委数学试验班招生试题)
分析：连接
AC
，
CE
，
EA
，由已知可证
AD
，
CF
，
EB
是△
ACE
的三条内角平分线，
I
为△
ACE
的内心.从而有
ID
=
CD
=
DE
，

IF
=
EF
=
FA
，

IB
=
AB
=
BC
.
再由△
BDF
，易证
BP
，
DQ
，
FS
是它的三条高，
I
是它的垂心，利用 不等式有：
..
Erdos

BI
+
DI
+
FI
≥2·(
IP
+
IQ
+
IS
).
A
不难证明
IE
=2
IP
，
IA
=2
IQ
，
IC
=2IS
.
F
∴
BI
+
DI
+< br>FI
≥
IA
+
IE
+
IC
.
B
Q
∴
AB
+
BC
+
CD< br>+
DE
+
EF
+
FA

I
P
E
=2(
BI
+
DI
+
FI
)
S
≥(
IA
+
IE
+
IC
)+(
BI
+DI
+
FI
)
C
D
=
AD
+
BE
+
CF
.

I
就是一点两心.
例12．△
ABC
的外心为
O
，
AB
=
AC
，
D
是
AB
中点，
E
是△
ACD
的重心.证明
OE
丄
CD
.
(加拿大数学奥林匹克训练题)
A
分析：设
AM
为高亦为中线，取
AC
中点
F< br>，
E
必在
DF
上且
DE
:
EF
=2 :1.设
E
F
D
CD
交
AM
于
G
，
G
必为△
ABC
重心.
G
连
GE
，
MF
，
MF
交
DC
于
K
.易证：
O
K
111
DG
:
GK
=
DC
:(
)
DC
=2:1.
323
∴
DG:
GK
=
DE
:
EF

GE
∥
MF
.
∵
OD
丄
AB
，
MF
∥
AB
，
B
C

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∴< br>OD
丄
MF

OD
丄
GE
.但
OG
丄
DE

G
又是△
ODE
之垂心.
易证
OE
丄
CD
.
例13．△
ABC
中∠
C
=30°，
O
是外心，
I
是内心，边
AC
上的
D
点与边
BC
上的
E
点使得
AD
=
BE
=
AB
.
求证：
OI
丄
DE
，OI
=
DE
.
(1988，中国数学奥林匹克集训题)
分析：辅助线如图所示，作∠
DAO
平分线交
BC
于
K.
易证△
AID
≌△
AIB
≌△
EIB
，
∠
AID
=∠
AIB
=∠
EIB
.
D
AC
30
°
利用内心张角公式，有
1
∠
AIB
=90°+∠
C
=105°，
2
∴∠
DIE
=360°-105°×3=45°.
I
B
F
OK
E
1
∠
DAO

2
1
=30°+(∠
BAC
-∠
BAO
)
2
1
=30°+(∠
BAC
-60°)
2
1
=∠
BAC
=∠
BAI
=∠
BEI
.
2
∵∠
AKB
=30°+
∴
AK
∥
IE
.
由等腰△
AOD
可知
DO
丄
AK
，
∴
DO
丄
IE
，即
DF
是△
DIE
的一条 高.
同理
EO
是△
DIE
之垂心，
OI丄
DE
.
由∠
DIE
=∠
IDO
，易知
OI
=
DE
.
例14．锐角△
ABC
中 ，
O
，
G
，
H
分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离 和为
d
外
，重心
A
到三边距
离和为
d
重
，垂心到三边距离和为
d
垂
. H
3
求证：1·
d
垂
+2·
d
外
=3 ·
d
重
.
G
3
O
2
O
3
G
2
分析：这里用三角法.设△
ABC
外接圆
H
2O
G
半径为1，三个内角记为
A
，
B
，
I
B
C
. 易知
d
外
=
OO
1< br>+
OO
2
+
OO
3
C
O
1
G
1
H
1
=cos
A
+co
sB
+co s
C
，
∴2
d
外
=2(cos
A< br>+cos
B
+cos
C
). ①
∵
AH
1
=sin
B
·
AB=sin
B
·(2sin
C
)=2sin
B
·sin< br>C
，
同样可得
BH
2
·
CH
3
.
∴3
d
重
=△
ABC
三条高的和
=2·(sin
B
·sin
C
+sin
C
·sin
A
+sin
A
·sin
B
) ②
∴
BH
=2，
sinBCH
∴
HH
1=cos
C
·
BH
=2·cos
B
·cos
C
.
同样可得
HH
2
，
HH
3
.
∴d
垂
=
HH
1
+
HH
2
+
H H
3

=2(cos
B
·cos
C
+cos
C
·cos
A
+cos
A
·cos
B
) ③

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欲证结论，观察①、②、③， 须证(cos
B
·cos
C
+cos
C
·cos
A
+cos
A
·
cos
C
)=sin
B
·sin
C
+sin
C
·sin
A
+sin
A·sin
B
.即可.

cos
B
)+( cos
A
+ cos
B
+
练 习 题
1.
I
为△
ABC
之内心，射线
AI
，
BI
，
CI
交△
ABC
外接圆于
A
′，
B
′，
C
′.则
AA
′+
BB
′+CC
′＞△
ABC
周长.(1982，澳大利
亚数学奥林匹克) 2.△
T
′的三边分别等于△
T
的三条中线，且两个三角形有一组角相等 .求证这两个三角形相
似.(1989，捷克数学奥林匹克)
3.
I
为△< br>ABC
的内心.取△
IBC
，△
ICA
，△
IAB< br>的外心
O
1
，
O
2
，
O
3
.求证：△
O
1
O
2
O
3
与△
ABC有公
共的外心.(1988，美国数学奥林匹克)
4.
AD
为△
ABC
内角平分线.取△
ABC
，△
ABD
，△
ADC< br>的外心
O
，
O
1
，
O
2
.则△OO
1
O
2
是等腰三角
形.
5.△
ABC< br>中∠
C
＜90°，从
AB
上
M
点作
CA，
CB
的垂线
MP
，
MQ
.
H
是△< br>CPQ
的垂心.当
M
是
AB
上动点时，求
H
的轨迹.(
IMO
-7)
6.△
ABC
的边
BC
=
1
(
AB
+
AC
)，取
AB
，
AC
中点
M
，
N
，
G
为重心，
I
为内心.试证：过
A
，
M
，
N
2
三点的圆与直线< br>GI
相切.(第27届莫斯科数学奥林匹克)
7.锐角△
ABC
的垂 心关于三边的对称点分别是
H
1
，
H
2
，
H
3
.已知：
H
1
，
H
2
，
H
3
，求作△
ABC
.(第
7届莫斯科数学奥林匹克)
8.已知△ABC
的三个旁心为
I
1
，
I
2
，
I
3
.求证：△
I
1
I
2
I
3
是锐 角三角形.
9.
AB
，
AC
切⊙
O
于
B
，
C
，过
OA
与
BC
的交点
M
任 作⊙
O
的弦
EF
.求证：(1)△
AEF
与△
AB C
有
公共的内心；(2)△
AEF
与△
ABC
有一个旁心重 合.

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有关三角形五心的经典试题

三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心.
一、外心.
三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.
例1．过等 腰△
ABC
底边
BC
上一点
P
引
PM
∥< br>CA
交
AB
于
M
；引
PN
∥
BA< br>交
AC
于
N
.作点
P
关于
MN
的对 称点
P
′.试证：
P
′点在△
ABC
外接圆上.
(杭州大学《中学数学竞赛习题》)
A
P
'
分析：由已知可得MP
′=
MP
=
MB
，
NP
′=
NP
N
=
NC
，故点
M
是△
P
′
BP
的外心，点
N
是△
P
′
PC
的外心.有
M
11
B
C
∠
BP
′
P
=∠
BMP
=∠
BAC
，
22
11
∠
PP
′
C
=∠
PNC
=∠
BAC
.
22
P
∴∠
BP
′
C
=∠
B P
′
P
+∠
P
′
PC
=∠
BAC
.
从而，
P
′点与
A
，
B
，
C
共圆、即
P
′在△
ABC
外接圆上.
由于
P
′
P
平分∠
BP
′
C
，显然还有

P
′
B
:
P
′
C
=
BP
:
PC
.
例2．在△
ABC
的边
A B
，
BC
，
CA
上分别取点
P
，
Q
，
S
.证明以△
APS
，△
BQP
，△
CSQ< br>的外心为
顶点的三角形与△
ABC
相似.
(
B
·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)
A
分析：设
O
1
，
O
2
，
O
3
是△
APS
，△
BQP
，
O
1
△
CSQ
的外心，作出六边形 < br>.
.
.
.
P
K
S
O
1
PO
2
QO
3
S
后再由外
心性质可知
O
2
O
3
B
C
∠
PO
1
S
=2∠
A
，
Q
∠
QO
2
P
=2∠
B
，
∠
SO
3
Q
=2∠
C
.
∴∠
PO
1
S
+∠
QO
2
P
+∠
SO
3
Q
=360°.从而又知∠
O
1
PO
2
+ < br>∠
O
2
QO
3
+∠
O
3
SO
1
=360°
将△
O
2
QO
3
绕 着
O
3
点旋转到△
KSO
3
，易判断△
KSO1
≌△
O
2
PO
1
，同时可得△
O
1
O
2
O
3
≌△
O
1
KO
3
.
∴∠
O
2
O
1
O
3
= ∠
KO
1
O
3
=
=
1
∠
O
2
O
1
K

2
1
(∠
O
2
O
1
S
+∠
SO
1< br>K
)
2
1
=(∠
O
2
O
1
S
+∠
PO
1
O
2
)
2
1
=∠
PO
1
S
=∠
A
；
2
同理有∠
O
1
O
2
O
3
=∠
B
. 故△
O
1
O
2
O
3
∽△
ABC
.
二、重心
三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每

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条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.
例3．
AD
，
BE
，
CF
是△
ABC
的三条中线，
P
是任意一 点.证明：在△
PAD
，△
PBE
，△
PCF
中，
其中一个面积等于另外两个面积的和.
(第26届莫斯科数学奥林匹克)
A< br>分析：设
G
为△
ABC
重心，直线
PG
与
A B
A
'
F
'
，
BC
相交.从
A
，
C
，
D
，
E
，
F
分别
EF
G
作该直线的垂线，垂足为
A
′，
C
′，
E
'
D
'
D
′，
E
′，
F
′.
B
C
C
'
D
P
易证
AA′=2
DD
′，
CC
′=2
FF
′，2
EE< br>′=
AA
′+
CC
′，
∴
EE
′=
DD
′+
FF
′.
有< br>S
△
PGE
=
S
△
PGD
+
S△
PGF
.
两边各扩大3倍，有
S
△
P BE
=
S
△
PAD
+
S
△
PCF
.
例4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形
相似.其逆亦真.
分析：将△
ABC
简记为△，由三中线
AD
，< br>BE
，
CF
围成的三角形简记为△′.
G
为重心，连
DE
到
H
，使
EH
=
DE
，连
HC
，
HF
，则△′就是△
HCF
.
222
( 1)
a
，
b
，
c
成等差数列

△∽△′.
若△
ABC
为正三角形，易证△∽△′.
不妨设
a
≥
b
≥
c
，有
1
2a
2
2b
2
c
2
，
2
1
2c
2
2a
2
b
2
，
BE
=
2
1
2b
2
2c
2
a
2
.
AD
=
2

CF
=
将
a
+
c
=2
b
，分别代入以上三式，得

CF
=
222
333
a
，
BE
=
b
，
AD
=
c
.
222
333
a
:
b
:
c

222
∴
CF
:
BE
:
AD
=
=
a
:
b
:
c
.
故有△∽△′.
222
(2)△∽△′

a
，
b
，
c
成等差数列.
当△中
a
≥
b
≥
c
时，
△′中
CF
≥
BE
≥
AD
.
∵△∽△′，
S

'
CF
2
∴＝().
S

a
据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形 面积的
S

33
”，有
'
=.
S

44

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CF
2
3
22222
∴
2
=

3
a
=4
CF
=2
a
+
b
-
c
4
a

a
2
+
c
2
= 2
b
2
.
三、垂心
三角形三条高的交战，称为三角形的 垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角
形，给我们解题提供了极大的便利.
例5 ．设
A
1
A
2
A
3
A
4
为⊙O
内接四边形，
H
1
，
H
2
，
H3
，
H
4
依次为
△
A
2
A
3
A
4
，△
A
3
A
4
A
1
，△
A
4
A
1
A
2
，△
A
1< br>A
2
A
3
的垂心.求证：
H
1
，
H
2
，
H
3
，
H
4
四点共圆，并确
定出该圆的圆心位置.
(1992，全国高中联赛)
A
1
A
2
分析：连接
A
2
H
1
，
A
1< br>H
2
，
H
1
H
2
，记圆半径
为< br>R
.由△
A
2
A
3
A
4
知
.
H
2
H
1
O
A
2
H
1
=2
R

A
2
H
1
=2
R
cos∠
A
3
A
2
A
4
；
A< br>3
A
4
sinA
2
A
3
H
1 由△
A
1
A
3
A
4
得

A
1
H
2
=2
R
cos∠
A
3< br>A
1
A
4
.
但∠
A
3
A
2
A
4
=∠
A
3
A
1
A4
，故
A
2
H
1
=
A
1
H< br>2
.
易证
A
2
H
1
∥
A
1
A
2
，于是，
A
2
H
1
A
1
H
2
，
∥
=
∥
故得
H
1
H
2

A
2
A
1.设
H
1
A
1
与
H
2
A
2< br>的交点为
M
，故
H
1
H
2
与
A1
A
2
关于
M
点成中心对称.
=
同理，
H
2
H
3
与
A
2
A
3，
H
3
H
4
与
A
3
A
4，
H
4
H
1
与
A
4
A
1都关于
M
点成中心对称.故四边形
H
1
H
2
H
3
H
4
与四边形
A
1
A
2
A3
A
4
关于
M
点成中心对称，两者是全等四边形，
H< br>1
，
H
2
，
H
3
，
H
4< br>在同一个
圆上.后者的圆心设为
Q
，
Q
与
O
也关于
M
成中心对称.由
O
，
M
两点，
Q
点就不难确定
了.
例6．
H
为△
ABC
的垂心，
D
，
E
，
F
分别是
BC
，
CA
，
AB
的中心.一个以
H
为圆心的⊙
H
交直线
EF< br>，
FD
，
DE
于
A
1
，
A
2
，
B
1
，
B
2
，
C
1
，
C
2
.
求证：
AA
1
=
AA
2
=
BB
1
=
BB
2
=
CC
1
=
CC
2
.
B
2
(1989，加拿大数学奥林匹克训练题)
C
1
A
分析：只须证明
AA
1
=
BB
1
=
CC
1
即可.设 H
2
M
E
A
2
A
1
F
BC< br>=
a
，
CA
=
b
，
AB
=
c
，△
ABC
外
H
接圆半径为
R
，⊙
H
的半径为
r
.
B
C
H
1
连
HA
1
，
AH
交
EF
于
M
.
D

A
A
1
=
AM
+
A
1
M
=
AM
+
r
-
MH
222 2
222
2
2
C
2B
1
=
r
+(
AM
-
MH
)， ①
22
又
AM
-
HM
=(
11AH
1
)
2
-(
AH
-
AH
1
)
2

22
22
=
AH
·
AH
1
-
AH
=
AH
2
·
AB
-
AH

2

=cos
A
·
bc
-
AH
， ②
而
AH
222
=2
R

AH=4
R
cos
A
,
sinABH
a
222
=2
R

a
=4
R
sin
A
.
sinA

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∴
AH
+
a
=4
R
，
AH
=4
R
-
a
. ③
由①、②、③有
2222 22
b
2
c
2
a
2
22
A
A
r
·
bc
-(4
R
-
a
)
2b c
2
2
1
=+
1
22222
(
a
+
b
+
c
)-4
R
+
r
.
2< br>1
22222
2
同理，
BB
1
=(
a
+
b
+
c
)-4
R
+
r
，
2
1
CC
1
2
=(
a
2
+
b
2
+
c
2
)-4
R
2
+
r
2< br>.
2
=
故有
AA
1
=
BB
1=
CC
1
.
四、内心
三角形内切圆的圆心，简称为内心.对 于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极
为有用的等量关系：
设
I
为 △
ABC
的内心，射线
AI
交△
ABC
外接圆于
A
′，则有
A
′
I
=
A
′
B
=< br>A
′
C
.换言之，
点
A
′必是△
IBC之外心(内心的等量关系之逆同样有用).
D
例7．
ABCD
为圆内接凸四边形，取
△
DAB
，△
ABC
，△
BCD
，
O< br>4
O
3
C
△
CDA
的内心
O
1，
O
2
，
O
3
，
O
4
. 求证：
O
1
O
2
O
3
O
4
为矩形 .
O
1
O
2
(1986，中国数学奥林匹克集训题)
B
A
证明见《中等数学》1992；4
例8．已知⊙
O
内 接△
ABC
，⊙
Q
切
AB
，
AC
于
E
，
F
且与⊙
O
内切.试证：
EF
中点
P
是△
ABC
之内心.
(
B
·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)
分析：在第20届
IM O
中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增加了条件
AB
=
A C
.
当
AB
≠
AC
，怎样证明呢？
如图，显然
EF
中点
P
、圆心
Q
，
BC
中 点
K
都在∠
BAC
平分线上.易知
AQ
=
∵
QK
·
AQ
=
MQ
·
QN
，
M
R
E
O
B
N
K
r
α
α
P
Q
F
C
A
r
.
sin

MQQN
∴
QK
=
AQ
(2Rr)r
==
sin

(2Rr)
.
rsin

由Rt△
EPQ
知
PQ
=
sin

r
.
∴
PK
=
PQ
+
QK
=
si n

r
+
sin

(2Rr)
=
s in

2R
.
∴
PK
=
BK
.


利用内心等量关系之逆定理，即知
P
是△
ABC
这内心.
五、旁心
三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于

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一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起，
旁心还与三角形的半周长关系密切.
例9．在直角三角形中，求证：
r
+< br>r
a
+
r
b
+
r
c
=2
p
.
式中
r
，
r
a
，
rb
，
r
c
分别表示内切圆半径及与
a
，
b，
c
相切的旁切圆半径，
p
表示半周.
(杭州大学《中学数学竞赛习题》)
分析：设Rt△
ABC
中，
c
为斜边，先来证明一个特性：
p
(
p
-
c
)=(
p
-
a
)(
p
-
b
).
11
(
a
+
b+
c
)·(
a
+
b
-
c
)
22
1
22
=[(
a
+
b
)-
c
]
4
1
=
ab
；
2
11
(
p
-
a
)(
p
-
b
)=(-
a
+
b
+
c)·(
a
-
b
+
c
)
22
1
2
1
2
=[
c
-(
a
-
b
)]=
ab
.
42
∵
p
(
p
-
c
)=
r
c< br>O
3
O
K
A
O
2
r
b
rE
C
B
O
1
r
a
∴
p
(
p
-
c
)=(
p
-
a
)(
p
-b
). ①
观察图形，可得
r
a
=
AF
-
AC
=
p
-
b
，
r
b
=
BG
-
BC
=
p
-
a
，
r
c
=
CK
=
p
.
而
r
=
1
(
a
+
b
-
c
)
2
=
p
-
c
.
∴
r
+
r
a
+
r
b
+
r
c

=(
p
-
c
)+(
p
-
b
)+(
p
-
a
)+
p

=4
p
-(
a
+
b
+
c
)=2
p
.
由①及图形易证.
例10．
M
是△
ABC
边
AB
上的任意一点.r
1
，
r
2
，
r
分别是△
AMC，△
BMC
，△
ABC
内切圆的半径，
q
1
，
q
2
，
q
分别是上述三角形在∠
ACB
内部的旁切 圆半径.证明：
(
IMO
-12)
分析：对任意△
A
′
B
′
C
′，由正弦定理可知
r
1
r
r
·
2
=.
q
1
q
2
q
OD
=
OA
′·
sin
A'
2
sin
O
A
'
.
.
E
D
C
'
B'
A'
2
=
A
′
B
′··
sin

2
sinA'O'B'
A'B'
sinsin
22
， =
A
′
B
′·
A'B'
sin
2
.B
'
O
'

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A'B'
cos
22
.
O
′
E
= A
′
B
′·
A'B'
sin
2
ODA'B'
tgtg
. ∴
O'E22
cos
亦即有
r
1
r
ACMACNBB
tgtg
·
2=
tgtg
q
1
q
2
2222
=
tg
AB
r
tg
=.
22
q
六、众心共圆
这有两种情况：(1)同一点却是不同三角形的不同的 心；(2)同一图形出现了同一三角
形的几个心.
例11．设在圆内接凸六边形
AB CDFE
中，
AB
=
BC
，
CD
=
DE< br>，
EF
=
FA
.试证：(1)
AD
，
BE< br>，
CF
三条
对角线交于一点；
(2)AB
+
BC
+
CD
+
DE
+
EF+
FA
≥
AK
+
BE
+
CF
.
(1991，国家教委数学试验班招生试题)
分析：连接
AC
，
CE
，
EA
，由已知可证
AD
，
CF
，
EB
是△
ACE
的三条内角平分线，
I
为△
ACE
的内心.从而有
ID
=
CD
=
DE
，

IF
=
EF
=
FA
，

IB
=
AB
=
BC
.
再由△
BDF
，易证
BP
，
DQ
，
FS
是它的三条高，
I
是它的垂心，利用 不等式有：
..
Erdos

BI
+
DI
+
FI
≥2·(
IP
+
IQ
+
IS
).
A
不难证明
IE
=2
IP
，
IA
=2
IQ
，
IC
=2IS
.
F
∴
BI
+
DI
+< br>FI
≥
IA
+
IE
+
IC
.
B
Q
∴
AB
+
BC
+
CD< br>+
DE
+
EF
+
FA

I
P
E
=2(
BI
+
DI
+
FI
)
S
≥(
IA
+
IE
+
IC
)+(
BI
+DI
+
FI
)
C
D
=
AD
+
BE
+
CF
.

I
就是一点两心.
例12．△
ABC
的外心为
O
，
AB
=
AC
，
D
是
AB
中点，
E
是△
ACD
的重心.证明
OE
丄
CD
.
(加拿大数学奥林匹克训练题)
A
分析：设
AM
为高亦为中线，取
AC
中点
F< br>，
E
必在
DF
上且
DE
:
EF
=2 :1.设
E
F
D
CD
交
AM
于
G
，
G
必为△
ABC
重心.
G
连
GE
，
MF
，
MF
交
DC
于
K
.易证：
O
K
111
DG
:
GK
=
DC
:(
)
DC
=2:1.
323
∴
DG:
GK
=
DE
:
EF

GE
∥
MF
.
∵
OD
丄
AB
，
MF
∥
AB
，
B
C

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∴< br>OD
丄
MF

OD
丄
GE
.但
OG
丄
DE

G
又是△
ODE
之垂心.
易证
OE
丄
CD
.
例13．△
ABC
中∠
C
=30°，
O
是外心，
I
是内心，边
AC
上的
D
点与边
BC
上的
E
点使得
AD
=
BE
=
AB
.
求证：
OI
丄
DE
，OI
=
DE
.
(1988，中国数学奥林匹克集训题)
分析：辅助线如图所示，作∠
DAO
平分线交
BC
于
K.
易证△
AID
≌△
AIB
≌△
EIB
，
∠
AID
=∠
AIB
=∠
EIB
.
D
AC
30
°
利用内心张角公式，有
1
∠
AIB
=90°+∠
C
=105°，
2
∴∠
DIE
=360°-105°×3=45°.
I
B
F
OK
E
1
∠
DAO

2
1
=30°+(∠
BAC
-∠
BAO
)
2
1
=30°+(∠
BAC
-60°)
2
1
=∠
BAC
=∠
BAI
=∠
BEI
.
2
∵∠
AKB
=30°+
∴
AK
∥
IE
.
由等腰△
AOD
可知
DO
丄
AK
，
∴
DO
丄
IE
，即
DF
是△
DIE
的一条 高.
同理
EO
是△
DIE
之垂心，
OI丄
DE
.
由∠
DIE
=∠
IDO
，易知
OI
=
DE
.
例14．锐角△
ABC
中 ，
O
，
G
，
H
分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离 和为
d
外
，重心
A
到三边距
离和为
d
重
，垂心到三边距离和为
d
垂
. H
3
求证：1·
d
垂
+2·
d
外
=3 ·
d
重
.
G
3
O
2
O
3
G
2
分析：这里用三角法.设△
ABC
外接圆
H
2O
G
半径为1，三个内角记为
A
，
B
，
I
B
C
. 易知
d
外
=
OO
1< br>+
OO
2
+
OO
3
C
O
1
G
1
H
1
=cos
A
+co
sB
+co s
C
，
∴2
d
外
=2(cos
A< br>+cos
B
+cos
C
). ①
∵
AH
1
=sin
B
·
AB=sin
B
·(2sin
C
)=2sin
B
·sin< br>C
，
同样可得
BH
2
·
CH
3
.
∴3
d
重
=△
ABC
三条高的和
=2·(sin
B
·sin
C
+sin
C
·sin
A
+sin
A
·sin
B
) ②
∴
BH
=2，
sinBCH
∴
HH
1=cos
C
·
BH
=2·cos
B
·cos
C
.
同样可得
HH
2
，
HH
3
.
∴d
垂
=
HH
1
+
HH
2
+
H H
3

=2(cos
B
·cos
C
+cos
C
·cos
A
+cos
A
·cos
B
) ③

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欲证结论，观察①、②、③， 须证(cos
B
·cos
C
+cos
C
·cos
A
+cos
A
·
cos
C
)=sin
B
·sin
C
+sin
C
·sin
A
+sin
A·sin
B
.即可.

cos
B
)+( cos
A
+ cos
B
+
练 习 题
1.
I
为△
ABC
之内心，射线
AI
，
BI
，
CI
交△
ABC
外接圆于
A
′，
B
′，
C
′.则
AA
′+
BB
′+CC
′＞△
ABC
周长.(1982，澳大利
亚数学奥林匹克) 2.△
T
′的三边分别等于△
T
的三条中线，且两个三角形有一组角相等 .求证这两个三角形相
似.(1989，捷克数学奥林匹克)
3.
I
为△< br>ABC
的内心.取△
IBC
，△
ICA
，△
IAB< br>的外心
O
1
，
O
2
，
O
3
.求证：△
O
1
O
2
O
3
与△
ABC有公
共的外心.(1988，美国数学奥林匹克)
4.
AD
为△
ABC
内角平分线.取△
ABC
，△
ABD
，△
ADC< br>的外心
O
，
O
1
，
O
2
.则△OO
1
O
2
是等腰三角
形.
5.△
ABC< br>中∠
C
＜90°，从
AB
上
M
点作
CA，
CB
的垂线
MP
，
MQ
.
H
是△< br>CPQ
的垂心.当
M
是
AB
上动点时，求
H
的轨迹.(
IMO
-7)
6.△
ABC
的边
BC
=
1
(
AB
+
AC
)，取
AB
，
AC
中点
M
，
N
，
G
为重心，
I
为内心.试证：过
A
，
M
，
N
2
三点的圆与直线< br>GI
相切.(第27届莫斯科数学奥林匹克)
7.锐角△
ABC
的垂 心关于三边的对称点分别是
H
1
，
H
2
，
H
3
.已知：
H
1
，
H
2
，
H
3
，求作△
ABC
.(第
7届莫斯科数学奥林匹克)
8.已知△ABC
的三个旁心为
I
1
，
I
2
，
I
3
.求证：△
I
1
I
2
I
3
是锐 角三角形.
9.
AB
，
AC
切⊙
O
于
B
，
C
，过
OA
与
BC
的交点
M
任 作⊙
O
的弦
EF
.求证：(1)△
AEF
与△
AB C
有
公共的内心；(2)△
AEF
与△
ABC
有一个旁心重 合.