檀香山大学-欢庆元旦手抄报

三角形的“四心”与向量的完美结合
三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的
向量形式
一． 知识点总结
1）O是
ABC
的重心

OAOBOC0
; S
BOC
S
AOC
S
AOB

1< br>S
ABC
3
若O是
ABC
的重心，则
故
OAOBOC0
;


uuuruuuruuuruuur
1
PG(PAPBPC)

G
为
ABC
的重心. < br>3
2）O是
ABC
的垂心

OAOBOBOCOC OA
;
若O是
ABC
(非直角三角形)的垂心，
tanB： tanC
则
S
BOC
：S
AOC
：S
AOB
tanA：

故
tanAOAtanBOBtanCOC0

3）O是
ABC
的外心

|OA||OB||OC|
(或
OAOBOC
222
)
若O是
ABC
的外心
则
S
BOC
：S
AOC
：S
AOB
sinBOC：sinAOC：sinAOBsin2A:sin2B:sin2C

故
sin2AOAsin2BOBsin2COC0

4）O是内心
ABC
的充要条件是
OA(
AB
|AB |

AC
AC
)OB(
BA
|BA|

BC
|BC|
)OC(
CA
|CA|

CB
|CB|
)0

引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记
AB,BC,C A
的

单位向量为
e
1
,e
2,e
3
，则刚才O是
ABC
内心的充要条件可以
写成
OA(e
1
e
3
)OB(e
1
e
2< br>)OC(e
2
e
3
)0

O是
ABC
内心的充要条件也可以是
aOAbOBcOC0

若O是
ABC
的内心，则
S
BOC
：S
AO C
：S
AOB
a：b：c

故
aOAbOBcOC0或sinAOAsinBOBsinCOC0
;
uuuruuuruuuruuuruuuruuurr
|AB|PC|BC|PA|CA|PB 0P
ABC
的内心;
uuur
uuur
AC
ABuur

uuur
)(


0)
所在直线过< br>ABC
的内心(是
BAC
向量

(
u
| AB||AC|
的角平分线所在直线)；
二． 范例
(一)．将平面向量与三角形内心结合考查
例1．O是平面上的一定点，A,B,C是平面上 不共线的三
个点，动点P满足
OPOA

(
AB
AB
AC
AC
)
，



0,< br>
则P点的轨
迹一定通过
ABC
的（ ）






（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心
B
C
A
P

解析：因为
A B
AB
uuur
uuuruuur
是向量
AB
的单位向量设
AB
与
AC
方向上的
单位向量分别为
e
1
和e
2
， 又
OPOAAP
，则原式可化为
由菱形的基本性质 知AP平分
BAC
，那么在
ABC
AP

(e
1
e
2
)
，
中，AP平分
BAC
，则知选B .
点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先
AB
AB
是什么？ 没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单
位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向 量的
加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性
质等，若十分熟悉，又能迅速地 将它们迁移到一起，解这道
题一点问题也没有。
(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”
HAHBHBHCHCHA
例2．
H
是△
ABC所在平面内任一点，

点
H
是△
ABC
的垂心. 由
HAHBHBHCHB(HCHA)0HBAC0HBAC
,
同理
HCAB
，
HABC
.故
H
是△
ABC
的垂心. （反之亦然（证
略））

例3.(湖南)P是△ABC所 在平面上一点，若
PAPBPBPCPCPA
，则P是△ABC的（D ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
解析:由
PAPBPBPC得PAPBPBPC0
.
即
PB(PAPC)0,即PBCA0

则
PBCA,同理PABC,PCAB

所以P为
ABC
的垂心. 故选D.
点评：本题考查平面向量有关运算， 及“数量积为零，则两
向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形
垂心的定义 与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量
所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合。
(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”
例4．
G
是△< br>ABC
所在平面内一点，
GAGBGC
=0

点
G
是△
ABC
的重心.





证明 作图如右，图中
GBGCGE

连结
BE
和< br>CE
，则
CE=GB
，
BE=GC

BGCE
为平行四边
形

D
是
BC
的中点，
AD
为
BC
边上的中线.
将
GBGCGE
代入
GAGBGC
=0，
得GAEG
=0

GAGE2GD
，故
G
是△
ABC
的重心.（反之
亦然（证略））

例5．
P
是△
ABC
所在平面内任一点.
G
是 △
ABC
的重心

PG
1
(PAPBPC)
.
3
证明
PGPAAGPBBGPCCG

3P G(AGBGCG)(PAPBPC)

∵
G
是△
ABC
的重心
∴
GAGBGC=0

3
AGBGCG
=0，即
3PGPAPBPC

A
由此可得
PG
1
(
PAPBPC
)
.（反之亦然（证略））




uuuruuuruuurr
例6若
O
为
ABC
内一点，
OAOBOC0
，则
O
是
ABC
的
（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
uuuruuuruuurruuuruuuruuur解析：由
OAOBOC0
得
OBOCOA
，如图以
B
O
E
D
C
OB、OC为相
uuuruuuruuur邻两边构作平行四边形，则
OBOCOD
，由平行四边形性质
知
OE 
1
OD
，
OA2OE
，同理可证其它两边上的这个性质，
2
uuuruuur
所以是重心，选D。
点评：本题需要扎实的平面几何知识，平 行四边形的对角线
互相平分及三角形重心性质：重心是三角形中线的内分点，
所分这比为


2
。本题在解题的过程中将平面向量的有关运
1
算与平行四边 形的对角线互相平分及三角形重心性质等相
关知识巧妙结合。

(四)．将平面向量与三角形外心结合考查
例7
uuuruuuruuur
OAOBOC
若
O
为
ABC
内一点，，则
O
是
ABC
的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
解析：由向量模的定义知
O
到
ABC
的三顶点距离相等 。故
O

是
ABC
的外心 ，选B。
点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质
等相关知识巧妙结合。
(五)将平面向量与三角形四心结合考查
例8．已知向量
OP
1
，
OP
2
，
OP
3
满足条件
OP
1
+
OP
2
+
OP
3
=0，
|
OP
1
|=|
OP
2
|=|
OP
3
|=1，
求证 △
P
1
P
2
P
3
是正三角形.（ 《数学》第一册（下），复
习参考题五
B
组第6题）
证明 由已知
OP
1
+
OP
2
=-
OP
3
，两边平方 得
OP
1
·
OP
2
=

1
，
2
同理
OP
2
OP
3
·=
OP
3
·
OP
1
=

1
，
2
∴|
P
1
P
2
|=|
P
2
P
3
|=|
P
3
P
1
|=
3
，从而△
P
1
P
2
P
3
是正三角形. < br>反之，若点
O
是正三角形△
P
1
P
2
P3
的中心，则显然有
OP
1
+
OP
2
+
OP
3
=0且|
OP
1
|=|
OP
2
| =|
OP
3
|.
即
O
是△
ABC
所在平面内一点，
OP
1
+
OP
2
+
OP
3
=0且|
OP
1|=|
OP
2
|=|
OP
3
|

点< br>O
是正△
P
1
P
2
P
3
的
中心.
例9．在△ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、
重心、垂心。求证：Q、 G、H三点共线，且QG:GH=1:2。

【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如
图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B（ x
1
,0）、C(x
2
,y
2
)，D、
E、F分别 为AB、BC、AC的中点，则有：
D（
x
1
xx
2
y
2
xy
,0)、E(
1
,)、F(
2
,
2
)

22222
y
C(x
2
,y
2
)
x
由题设可设
Q（< br>1
,y
3
)、H(x
2
,y
4
)
,
2
xx
2
y
2
G(
1
,)
< br>33
uuuuruuur
xxy
AH(x
2
,y
4
)，QF(
2

1
,
2
y
3
)

222
uuur
BC(x
2
x
1
,y
2
)

uuuuruuur
Q
AHBC
u uuuruuur
AH•BCx
2
(x
2
x
1
)y
2
y
4
0

F
G
Q
A
D
H
E
x
B(x
1
,0)
x
2
(x
2
x
1
)
y
2
uuuruuuur
Q
QFAC
uuuruuuur
xxy
Q F•ACx
2
(
2

1
)y
2
(2
y
3
)0

222
x(xx
1
)y
2
y
3

22

2y
2
2
y
4

uuuur
x2xx
1
3x
2
(x
2
x
1
)y
2
QH(x
2

1
,y
4
y
3
)（
2
, )

222y
2
2
uuur
xx
1
x
1
y
2
2xx
1
y
2
x
2(x
2
x
1
)y
2
QG(
2
 ,y
3
)（
2
,)
323632y
2
2< br>2x
2
x
1
3x
2
(x
2
x< br>1
)y
2
1
2xx
1
3x
2
(x
2
x
1
)y
2
,)(
2
,)

66y
2
6322y
2
2
ur
1
uuu
=QH
3
(

uuuuruuur
即
QH=3QG
，故
Q、G、H
三点共 线，且
QG：GH
=1：2
【注】：本例如果用平面几何知识、向量的代数运算和< br>几何运算处理，都相当麻烦，而借用向量的坐标形式，将向
量的运算完全化为代数运算，这样就将 “形”和“数”紧密
地结合在一起，从而，很多对称、共线、共点、垂直等问题
的证明，都可转 化为熟练的代数运算的论证。
例10．若
O、H
分别是△
ABC
的外心和垂心.
求证





证明 若△
ABC
的垂心为
H
，外心为
O
，如图.
连< br>BO
并延长交外接圆于
D
，连结
AD
，
CD
.
∴
ADAB
，
CDBC
.又垂心为
H
，< br>AHBC
，
CHAB
，
∴
AH
∥
CD
，
CH
∥
AD
，
∴四边形
AHCD
为平行四边形，
∴
AHDCDOOC，故
OHOAAHOAOBOC
.
著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——
外心、重心、垂心的位置关系：
（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；

OHOAOBOC
.

（2）三角形的重心在“欧拉 线”上，且为外——垂连线
的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的
2倍。
“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的
向量问题.

例11． 设
O
、
G
、
H
分别是锐角△
ABC
的外心、重心、
垂心.
求证
OG

1
OH

3
3
证明 按重心定理
G
是△
ABC
的重心

OG
1
(
OAOBOC
)

按垂心定理
由此可得
补充练习
1．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC
的重心，动点P满足
OP
=
OG

1
OH
.
3
OHOAOBOC

111
(
OA
+< br>OB
+2
OC
),则点
322
P一定为三角形ABC的
（ B ）
边中线的中点 边中线的三等
分点（非重心）
C.重心 边的中点

1. B取AB边的中点M，则
OAOB2OM，由
OP
+
OB
+2
OC
)可得3
OP3O M
1
2
2MC
，∴
MP

= (
13
1
OA
2
2
MC
，即点
3
P为三角 形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不
过重心，故选B.
2．在同一个平面上有
ABC
及一点Ｏ满足关系式：
uuuuuur2
2
＝＋＝＋
BCOBCAOC
AB
，则Ｏ为
ABC
的
222
uuuuuuruuuuur uuuuuur
uuuuuur
uuuuur
2
O
A
＋（ D ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心 2．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：
uuuruuuruuur
PAPBPC0
，则P为
ABC
的
（ C ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
3．已知O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三
个点，动点P 满足：
OPOA

(ABAC)
，则P的轨迹一定通过△ABC的
（ C ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
4．已知△ABC，P为三角形所在平面上的动点，且动点P满
足：
uuuruuu ruuuruuuruuuruuur
PA•PCPA•PBPB•PC0
，则P点为三 角形的
（ D ）

Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
5．已知△ABC ，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：
uuuruuuruuur
aPAbPB c•PC0
，则P点为三角形的
（ B ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
6．在三角形ABC中，动点P满足：
CA
2
CB2AB•CP
，则
2
P
点轨迹一定通过△ABC的：
（ B ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
7.已知非零向量与满足(+)·=0且·= , 则△ABC为( )
2
A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非
等边三角形 D.等边三角形
uuuruuur
ABAC
uur

uuur)·=0，即角
解析：非零向量与满足(
u
|AB||AC|
1
A的平分线垂
直于
uuuruuur
1

ABAC
r

uuur
=
，∠A=，所以BC，∴ AB=AC，又
cosAuuu
3
|AB||AC|
2
△ABC为等边三角形，选D．
8.
ABC
的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，
OHm(OAOB OC)
，则实数m = 1
9.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足
O AOBOBOCOCOA
，则点O是
ABC
的（B ）

（A）三个内角的角平分线的交点
垂直平分线的交点
（C）三条中线的交点
点

（B）三条边的
（D）三条高的交
10. 如图1，已知点G是
ABC
的重心，过G作直
线与AB，AC两边分别交于M，N
uuuvuuuv
11
ANyAC
，则
3
。
xy
uuuuvuuuv
两点，且
AMxAB
，
A
M
G
G


B
图1




证 点G
N
C
uuuvuuuvuuu v
是
ABC
的重心，知
GAGBGC
O，
uuu vuuuvuuuvuuuvuuuv
uuuv
1
uuuvuuuv
得
AG(ABAG)(ACAG)
O，有
AG(ABAC)
。
3
又M，N，G三点共线（A不在直线MN上），
于是存在

,

，使得
AG

AM

AN(
且< br>


1)
，
uuuvuuuvuuuv
1
uuuvuuuv
有
AG

xAB

yAC
=
(ABAC)
，
3< br>uuuvuuuuvuuuv




1
113

得

，于是得
1

xy
< br>x

y

3


三角形的“四心”与向量的完美结合
三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的
向量形式
一． 知识点总结
1）O是
ABC
的重心

OAOBOC0
; S
BOC
S
AOC
S
AOB

1< br>S
ABC
3
若O是
ABC
的重心，则
故
OAOBOC0
;


uuuruuuruuuruuur
1
PG(PAPBPC)

G
为
ABC
的重心. < br>3
2）O是
ABC
的垂心

OAOBOBOCOC OA
;
若O是
ABC
(非直角三角形)的垂心，
tanB： tanC
则
S
BOC
：S
AOC
：S
AOB
tanA：

故
tanAOAtanBOBtanCOC0

3）O是
ABC
的外心

|OA||OB||OC|
(或
OAOBOC
222
)
若O是
ABC
的外心
则
S
BOC
：S
AOC
：S
AOB
sinBOC：sinAOC：sinAOBsin2A:sin2B:sin2C

故
sin2AOAsin2BOBsin2COC0

4）O是内心
ABC
的充要条件是
OA(
AB
|AB |

AC
AC
)OB(
BA
|BA|

BC
|BC|
)OC(
CA
|CA|

CB
|CB|
)0

引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记
AB,BC,C A
的

单位向量为
e
1
,e
2,e
3
，则刚才O是
ABC
内心的充要条件可以
写成
OA(e
1
e
3
)OB(e
1
e
2< br>)OC(e
2
e
3
)0

O是
ABC
内心的充要条件也可以是
aOAbOBcOC0

若O是
ABC
的内心，则
S
BOC
：S
AO C
：S
AOB
a：b：c

故
aOAbOBcOC0或sinAOAsinBOBsinCOC0
;
uuuruuuruuuruuuruuuruuurr
|AB|PC|BC|PA|CA|PB 0P
ABC
的内心;
uuur
uuur
AC
ABuur

uuur
)(


0)
所在直线过< br>ABC
的内心(是
BAC
向量

(
u
| AB||AC|
的角平分线所在直线)；
二． 范例
(一)．将平面向量与三角形内心结合考查
例1．O是平面上的一定点，A,B,C是平面上 不共线的三
个点，动点P满足
OPOA

(
AB
AB
AC
AC
)
，



0,< br>
则P点的轨
迹一定通过
ABC
的（ ）






（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心
B
C
A
P

解析：因为
A B
AB
uuur
uuuruuur
是向量
AB
的单位向量设
AB
与
AC
方向上的
单位向量分别为
e
1
和e
2
， 又
OPOAAP
，则原式可化为
由菱形的基本性质 知AP平分
BAC
，那么在
ABC
AP

(e
1
e
2
)
，
中，AP平分
BAC
，则知选B .
点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先
AB
AB
是什么？ 没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单
位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向 量的
加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性
质等，若十分熟悉，又能迅速地 将它们迁移到一起，解这道
题一点问题也没有。
(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”
HAHBHBHCHCHA
例2．
H
是△
ABC所在平面内任一点，

点
H
是△
ABC
的垂心. 由
HAHBHBHCHB(HCHA)0HBAC0HBAC
,
同理
HCAB
，
HABC
.故
H
是△
ABC
的垂心. （反之亦然（证
略））

例3.(湖南)P是△ABC所 在平面上一点，若
PAPBPBPCPCPA
，则P是△ABC的（D ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
解析:由
PAPBPBPC得PAPBPBPC0
.
即
PB(PAPC)0,即PBCA0

则
PBCA,同理PABC,PCAB

所以P为
ABC
的垂心. 故选D.
点评：本题考查平面向量有关运算， 及“数量积为零，则两
向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形
垂心的定义 与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量
所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合。
(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”
例4．
G
是△< br>ABC
所在平面内一点，
GAGBGC
=0

点
G
是△
ABC
的重心.





证明 作图如右，图中
GBGCGE

连结
BE
和< br>CE
，则
CE=GB
，
BE=GC

BGCE
为平行四边
形

D
是
BC
的中点，
AD
为
BC
边上的中线.
将
GBGCGE
代入
GAGBGC
=0，
得GAEG
=0

GAGE2GD
，故
G
是△
ABC
的重心.（反之
亦然（证略））

例5．
P
是△
ABC
所在平面内任一点.
G
是 △
ABC
的重心

PG
1
(PAPBPC)
.
3
证明
PGPAAGPBBGPCCG

3P G(AGBGCG)(PAPBPC)

∵
G
是△
ABC
的重心
∴
GAGBGC=0

3
AGBGCG
=0，即
3PGPAPBPC

A
由此可得
PG
1
(
PAPBPC
)
.（反之亦然（证略））




uuuruuuruuurr
例6若
O
为
ABC
内一点，
OAOBOC0
，则
O
是
ABC
的
（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
uuuruuuruuurruuuruuuruuur解析：由
OAOBOC0
得
OBOCOA
，如图以
B
O
E
D
C
OB、OC为相
uuuruuuruuur邻两边构作平行四边形，则
OBOCOD
，由平行四边形性质
知
OE 
1
OD
，
OA2OE
，同理可证其它两边上的这个性质，
2
uuuruuur
所以是重心，选D。
点评：本题需要扎实的平面几何知识，平 行四边形的对角线
互相平分及三角形重心性质：重心是三角形中线的内分点，
所分这比为


2
。本题在解题的过程中将平面向量的有关运
1
算与平行四边 形的对角线互相平分及三角形重心性质等相
关知识巧妙结合。

(四)．将平面向量与三角形外心结合考查
例7
uuuruuuruuur
OAOBOC
若
O
为
ABC
内一点，，则
O
是
ABC
的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
解析：由向量模的定义知
O
到
ABC
的三顶点距离相等 。故
O

是
ABC
的外心 ，选B。
点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质
等相关知识巧妙结合。
(五)将平面向量与三角形四心结合考查
例8．已知向量
OP
1
，
OP
2
，
OP
3
满足条件
OP
1
+
OP
2
+
OP
3
=0，
|
OP
1
|=|
OP
2
|=|
OP
3
|=1，
求证 △
P
1
P
2
P
3
是正三角形.（ 《数学》第一册（下），复
习参考题五
B
组第6题）
证明 由已知
OP
1
+
OP
2
=-
OP
3
，两边平方 得
OP
1
·
OP
2
=

1
，
2
同理
OP
2
OP
3
·=
OP
3
·
OP
1
=

1
，
2
∴|
P
1
P
2
|=|
P
2
P
3
|=|
P
3
P
1
|=
3
，从而△
P
1
P
2
P
3
是正三角形. < br>反之，若点
O
是正三角形△
P
1
P
2
P3
的中心，则显然有
OP
1
+
OP
2
+
OP
3
=0且|
OP
1
|=|
OP
2
| =|
OP
3
|.
即
O
是△
ABC
所在平面内一点，
OP
1
+
OP
2
+
OP
3
=0且|
OP
1|=|
OP
2
|=|
OP
3
|

点< br>O
是正△
P
1
P
2
P
3
的
中心.
例9．在△ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、
重心、垂心。求证：Q、 G、H三点共线，且QG:GH=1:2。

【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如
图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B（ x
1
,0）、C(x
2
,y
2
)，D、
E、F分别 为AB、BC、AC的中点，则有：
D（
x
1
xx
2
y
2
xy
,0)、E(
1
,)、F(
2
,
2
)

22222
y
C(x
2
,y
2
)
x
由题设可设
Q（< br>1
,y
3
)、H(x
2
,y
4
)
,
2
xx
2
y
2
G(
1
,)
< br>33
uuuuruuur
xxy
AH(x
2
,y
4
)，QF(
2

1
,
2
y
3
)

222
uuur
BC(x
2
x
1
,y
2
)

uuuuruuur
Q
AHBC
u uuuruuur
AH•BCx
2
(x
2
x
1
)y
2
y
4
0

F
G
Q
A
D
H
E
x
B(x
1
,0)
x
2
(x
2
x
1
)
y
2
uuuruuuur
Q
QFAC
uuuruuuur
xxy
Q F•ACx
2
(
2

1
)y
2
(2
y
3
)0

222
x(xx
1
)y
2
y
3

22

2y
2
2
y
4

uuuur
x2xx
1
3x
2
(x
2
x
1
)y
2
QH(x
2

1
,y
4
y
3
)（
2
, )

222y
2
2
uuur
xx
1
x
1
y
2
2xx
1
y
2
x
2(x
2
x
1
)y
2
QG(
2
 ,y
3
)（
2
,)
323632y
2
2< br>2x
2
x
1
3x
2
(x
2
x< br>1
)y
2
1
2xx
1
3x
2
(x
2
x
1
)y
2
,)(
2
,)

66y
2
6322y
2
2
ur
1
uuu
=QH
3
(

uuuuruuur
即
QH=3QG
，故
Q、G、H
三点共 线，且
QG：GH
=1：2
【注】：本例如果用平面几何知识、向量的代数运算和< br>几何运算处理，都相当麻烦，而借用向量的坐标形式，将向
量的运算完全化为代数运算，这样就将 “形”和“数”紧密
地结合在一起，从而，很多对称、共线、共点、垂直等问题
的证明，都可转 化为熟练的代数运算的论证。
例10．若
O、H
分别是△
ABC
的外心和垂心.
求证





证明 若△
ABC
的垂心为
H
，外心为
O
，如图.
连< br>BO
并延长交外接圆于
D
，连结
AD
，
CD
.
∴
ADAB
，
CDBC
.又垂心为
H
，< br>AHBC
，
CHAB
，
∴
AH
∥
CD
，
CH
∥
AD
，
∴四边形
AHCD
为平行四边形，
∴
AHDCDOOC，故
OHOAAHOAOBOC
.
著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——
外心、重心、垂心的位置关系：
（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；

OHOAOBOC
.

（2）三角形的重心在“欧拉 线”上，且为外——垂连线
的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的
2倍。
“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的
向量问题.

例11． 设
O
、
G
、
H
分别是锐角△
ABC
的外心、重心、
垂心.
求证
OG

1
OH

3
3
证明 按重心定理
G
是△
ABC
的重心

OG
1
(
OAOBOC
)

按垂心定理
由此可得
补充练习
1．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC
的重心，动点P满足
OP
=
OG

1
OH
.
3
OHOAOBOC

111
(
OA
+< br>OB
+2
OC
),则点
322
P一定为三角形ABC的
（ B ）
边中线的中点 边中线的三等
分点（非重心）
C.重心 边的中点

1. B取AB边的中点M，则
OAOB2OM，由
OP
+
OB
+2
OC
)可得3
OP3O M
1
2
2MC
，∴
MP

= (
13
1
OA
2
2
MC
，即点
3
P为三角 形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不
过重心，故选B.
2．在同一个平面上有
ABC
及一点Ｏ满足关系式：
uuuuuur2
2
＝＋＝＋
BCOBCAOC
AB
，则Ｏ为
ABC
的
222
uuuuuuruuuuur uuuuuur
uuuuuur
uuuuur
2
O
A
＋（ D ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心 2．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：
uuuruuuruuur
PAPBPC0
，则P为
ABC
的
（ C ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
3．已知O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三
个点，动点P 满足：
OPOA

(ABAC)
，则P的轨迹一定通过△ABC的
（ C ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
4．已知△ABC，P为三角形所在平面上的动点，且动点P满
足：
uuuruuu ruuuruuuruuuruuur
PA•PCPA•PBPB•PC0
，则P点为三 角形的
（ D ）

Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
5．已知△ABC ，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：
uuuruuuruuur
aPAbPB c•PC0
，则P点为三角形的
（ B ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
6．在三角形ABC中，动点P满足：
CA
2
CB2AB•CP
，则
2
P
点轨迹一定通过△ABC的：
（ B ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
7.已知非零向量与满足(+)·=0且·= , 则△ABC为( )
2
A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非
等边三角形 D.等边三角形
uuuruuur
ABAC
uur

uuur)·=0，即角
解析：非零向量与满足(
u
|AB||AC|
1
A的平分线垂
直于
uuuruuur
1

ABAC
r

uuur
=
，∠A=，所以BC，∴ AB=AC，又
cosAuuu
3
|AB||AC|
2
△ABC为等边三角形，选D．
8.
ABC
的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，
OHm(OAOB OC)
，则实数m = 1
9.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足
O AOBOBOCOCOA
，则点O是
ABC
的（B ）

（A）三个内角的角平分线的交点
垂直平分线的交点
（C）三条中线的交点
点

（B）三条边的
（D）三条高的交
10. 如图1，已知点G是
ABC
的重心，过G作直
线与AB，AC两边分别交于M，N
uuuvuuuv
11
ANyAC
，则
3
。
xy
uuuuvuuuv
两点，且
AMxAB
，
A
M
G
G


B
图1




证 点G
N
C
uuuvuuuvuuu v
是
ABC
的重心，知
GAGBGC
O，
uuu vuuuvuuuvuuuvuuuv
uuuv
1
uuuvuuuv
得
AG(ABAG)(ACAG)
O，有
AG(ABAC)
。
3
又M，N，G三点共线（A不在直线MN上），
于是存在

,

，使得
AG

AM

AN(
且< br>


1)
，
uuuvuuuvuuuv
1
uuuvuuuv
有
AG

xAB

yAC
=
(ABAC)
，
3< br>uuuvuuuuvuuuv




1
113

得

，于是得
1

xy
< br>x

y

3
