南昌教育学院-初一新生自我介绍

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇
一、四心的概念介绍
（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；
（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；
（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四心与向量的结合
（1）
OAOBOC0
O
是
ABC
的重心. < br>证法1：设
O(x,y),A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),C(x
3
,y
3
)
x
1
x
2
x
3

x


(x
1
x)(x
2
x)(x
3
x) 0

3
OAOBOC0




(yy)(yy)(yy)0
yyy
23

1
23

y
1

3


O
是
ABC
的重心.
证法2：如图
A

OAOBOC

OA2OD0


AO2OD


A、O、D
三点共线，且
O
分
AD

为2：1

O
是
ABC
的重心

B
O
E
DC
（2）
OAOBOBOCOCOA
O
为
ABC
的垂心.
证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足.
OAOBOBOCOB(OAOC)OBCA0

OBAC

同理
OABC
，
OCAB

A
E
O

O
为
ABC
的垂心


（3）设
a
,
b
,
c
是三角形的三条边 长，O是

ABC的内心
BDC
aOAbOBcOC0O
为
ABC
的内心.
ABAC
AC
方向上的单位向量，
、
分别为
AB、
cb
ABAC

平分
BAC
,

cb
bc
ABAC
)，令




AO

(
abc
cb
证明：



bc
ABAC
（)

abc
cb
化简得
(abc)OAbABcAC0

AO

（4）
OAOBOC

O
为
ABC
的外心。



aOAbOBcOC0

典型例题分析
[例题]已知点
G
是
VABC
内任意一点,点
M
是
VABC
所在平面内一点.试根据下列条件
判断
G
点可能通过VABC
的_______心.(填“内心”或“外心”或“重心”或“垂心”).

[提出问题]
uuuruuur
uuuuruuur
ABAC
(1 )若存在常数

,满足
MGMA

(
uuur

uuur
)(

0)
,则点
G
可能通过
VABC
ABAC
的__________.
uuuruuuruuuruuur
GDgGBGDgGC
(2)若点
D
是
VABC
的底边< br>BC
上的中点,满足,则点
G
可能通过
uuuruuur
uu uuruuur
ABAC

uuu
)(

0)
, 则点
G
可能(3)若存在常数

,满足
MGMA
(
uuurr
ABgsinBACgsinC
VABC
的_______ ___.
通过
VABC
的__________.
uuuruuuruuuuruuur
ABAC

uuu
)(

0)< br>,则点
G
可能(4)若存在常数

,满足
MGMA

(
uuurr
ABgcosBACgcosC
通过
VABC的__________.
[思路分析]以上四个问题的解决要求不同,除了熟悉三角形的“四心 ”的性质,
同时更要熟悉平面向量的性质,对于平面向量与三角函数的结合也要相当熟悉.
u uuruuur
urur
uuururuur
ABAC
u
[解答过程 ](1)记
uuur
e
1
,
uuur
e
2,则
AG

(e
1
e
2
)
.由平 面向量的平行四边
ABAC
形或三角形法则知,点
G
是角平分线上的点,故应 填内心.
(2)简单的变形后发现点
G
是
BC
边中垂线上的点,故应填外心.
uuuruuuruuuruuur
sinBACgsinC,
记
ABg sinBACgsinCh
, (3)
QABg
uuuruuuruuur
'

'
则
AG

(ABAC)(

)
.由平面向量的平行四边形或三角形法则知,点
G
是
h
BC边的中线上的点,故应填重心.
(4)分析后发现,本题学生难以找到解决问题的突破口,主要在 于平面向量的数量

uuuruuur
uuuuruuur
ABAC
uuu
)(

0)
, 积的充分利用.由
MGM A

(
uuurr
ABgcosBACgcosC
uuuruuu r
uuur
ABAC

uuu
)(

0)
, 得
AG

(
uuurr
ABgcosBACgcosCuuuruuur
uuuruuuruuur
ABAC

uuu
)gBC(

0)
(关键点)
AGgBC

(uuurr
ABgcosBACgcosC
uuuruuuruuuruuur
u uuruuur
ABgBCACgBC
AGgBC

(
uuu
uuu
)(

0)
rr
ABgcosBACgco sC
于是.
uuuruuuruuuruuur


（BCgco s(

-B)BCgcosB）=

(BCBC)0
uuu ruuur
从而
AGBC
,点
G
是高线上的点,故应填垂心. < br>[点评]以上四个问题处理的方法各不相同,注意到平面向量及三角形的“四心”
的性质在解答问 题时的作用.特别注意第四问两边同乘以某个表达式的技巧.

总结：
（1）
OAOBOC0
O
是
ABC
的重心. < br>（2）
OAOBOBOCOCOA
O
为
ABC
的垂心.
（3）设
a
,
b
,
c
是三角形的三条边 长，O是

ABC的内心
aOAbOBcOC0O
为
ABC
的内心.
（4）
OAOBOC

O
为
ABC
的外心。
或者
若
P
点为
VABC
内任意一点，若
P
点满足
:
uuuruuur
r

uuu
ABAC
r

uuur
),

0

AP
< br>(
uuu
ABAC


P为VABC的内心
; 1 ．

uuuruuur
uur
BABC

u
BP t(
uuur

uuur
)，t0

BABC


2.
D、E
两点分别是
VABC
的边
BC、CA
上的中点,且
uuuruuuruuuruuur


DPgPB DPgPC
ruuuruuuruuur
P为VABC的外心
;
uuu


EPgPCEPgPA
r
1
uuuruu ur

uuu
AP(ABAC),


3
3.

P为VABC的重心
;
uuur
1
uuuruuur

BP(BABC)，

3


uuur uuur


APgBC0
P为VABC的垂心
. 4.

uuuruuur


BPgAC0


结合运用：
例1：
O
是平面上一定点，
A、B、C
是平面 上不共线的三个点，动点
P
满足
OPOA

(ABAC)，



0,

，则点
P
的轨迹一定通过
ABC
的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
分析：如图所示
ABC< br>，
D、E
分别为边
BC、AC
的
A
中点.
ABAC2AD

E

OPOA2

AD

OPOAAP

AP2

AD

BDC
AP

AD


点
P
的轨 迹一定通过
ABC
的重心，即选
C
.

例2：
O
是平面上一定点，
A、B、C
是平面上不共线的三个点，动点
P
满 足
OPOA

(
AB
AB

AC
AC
)
，



0,

，则点
P
的轨迹一定通过
ABC
的（ B ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
分析：

ABAC
AC
方向上的单位向量， 分别为
AB、
、
ABAC
AC
AC
平分
BAC
,

AB
AB


点
P
的轨迹一定通过
AB C
的内心，即选
B
.

例3：
O
是平面上一定点 ，
A、B、C
是平面上不共线的三个点，动点
P
满足
OPOA< br>
(
AB
ABcosB

AC
ACcosC
)
，



0,

，则点
P
的轨迹一定通过
ABC
的
（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

分析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC， D、E是垂
足.
A
(
AB
ABcosB
ABBC
ABcosB

AC
ACcosC
ACBC
)
BC< br>
E
=

ACcosC

B
D
C< br>ABBCcosB
=
ABcosB

ACBCcosC
AC cosC

=
BC
+
BC
=0

点< br>P
的轨迹一定通过
ABC
的垂心，即选
D
.

练习：
1．已知
ABC
三个顶点
A、B、C
及平面内一 点
P
，满足
PAPBPC0
，若实
数

满足 ：
ABAC

AP
，则

的值为（ ）
A．2 B．
3
C．3 D．6
2
2．若
ABC
的外接圆的圆心为O，半径为1，
OAOBO C0
，则
OAOB
( )
A．
1
1
B．0 C．1 D．


2
2
3 ．点
O
在
ABC
内部且满足
OA2OB2OC0
， 则
ABC
面积与凹四边形
ABOC
面积之比是（ ）
A．0 B．
354
C． D． < br>243
4．
ABC
的外接圆的圆心为O，若
OHOAOBOC
，则
H
是
ABC
的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
5．
O
是 平面上一定点，
A、B、C
是平面上不共线的三个点，若
OABCOB

222
CAOCAB
，则
O
是
ABC
的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
6．两条边上的高的交点为H，
ABC
的外接圆的圆心为O，
OHm( OAOBOC)
，
则实数m =
222

→→→→
1ABACABAC
→→→
7．已知非零向量AB与AC满足( + )·BC=0且 · = , 则△ABC为
2
→→→→
|AB||AC||AB||AC|
( )
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
8．已知
ABC
三个顶点
A、B、C
，若
ABABACABCBBCCA
，则
2
ABC
为（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．既非等腰又非直角三角形




练习答案：C、D、C、D、D、1、D、C

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇
一、四心的概念介绍
（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；
（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；
（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四心与向量的结合
（1）
OAOBOC0
O
是
ABC
的重心. < br>证法1：设
O(x,y),A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),C(x
3
,y
3
)
x
1
x
2
x
3

x


(x
1
x)(x
2
x)(x
3
x) 0

3
OAOBOC0




(yy)(yy)(yy)0
yyy
23

1
23

y
1

3


O
是
ABC
的重心.
证法2：如图
A

OAOBOC

OA2OD0


AO2OD


A、O、D
三点共线，且
O
分
AD

为2：1

O
是
ABC
的重心

B
O
E
DC
（2）
OAOBOBOCOCOA
O
为
ABC
的垂心.
证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足.
OAOBOBOCOB(OAOC)OBCA0

OBAC

同理
OABC
，
OCAB

A
E
O

O
为
ABC
的垂心


（3）设
a
,
b
,
c
是三角形的三条边 长，O是

ABC的内心
BDC
aOAbOBcOC0O
为
ABC
的内心.
ABAC
AC
方向上的单位向量，
、
分别为
AB、
cb
ABAC

平分
BAC
,

cb
bc
ABAC
)，令




AO

(
abc
cb
证明：



bc
ABAC
（)

abc
cb
化简得
(abc)OAbABcAC0

AO

（4）
OAOBOC

O
为
ABC
的外心。



aOAbOBcOC0

典型例题分析
[例题]已知点
G
是
VABC
内任意一点,点
M
是
VABC
所在平面内一点.试根据下列条件
判断
G
点可能通过VABC
的_______心.(填“内心”或“外心”或“重心”或“垂心”).

[提出问题]
uuuruuur
uuuuruuur
ABAC
(1 )若存在常数

,满足
MGMA

(
uuur

uuur
)(

0)
,则点
G
可能通过
VABC
ABAC
的__________.
uuuruuuruuuruuur
GDgGBGDgGC
(2)若点
D
是
VABC
的底边< br>BC
上的中点,满足,则点
G
可能通过
uuuruuur
uu uuruuur
ABAC

uuu
)(

0)
, 则点
G
可能(3)若存在常数

,满足
MGMA
(
uuurr
ABgsinBACgsinC
VABC
的_______ ___.
通过
VABC
的__________.
uuuruuuruuuuruuur
ABAC

uuu
)(

0)< br>,则点
G
可能(4)若存在常数

,满足
MGMA

(
uuurr
ABgcosBACgcosC
通过
VABC的__________.
[思路分析]以上四个问题的解决要求不同,除了熟悉三角形的“四心 ”的性质,
同时更要熟悉平面向量的性质,对于平面向量与三角函数的结合也要相当熟悉.
u uuruuur
urur
uuururuur
ABAC
u
[解答过程 ](1)记
uuur
e
1
,
uuur
e
2,则
AG

(e
1
e
2
)
.由平 面向量的平行四边
ABAC
形或三角形法则知,点
G
是角平分线上的点,故应 填内心.
(2)简单的变形后发现点
G
是
BC
边中垂线上的点,故应填外心.
uuuruuuruuuruuur
sinBACgsinC,
记
ABg sinBACgsinCh
, (3)
QABg
uuuruuuruuur
'

'
则
AG

(ABAC)(

)
.由平面向量的平行四边形或三角形法则知,点
G
是
h
BC边的中线上的点,故应填重心.
(4)分析后发现,本题学生难以找到解决问题的突破口,主要在 于平面向量的数量

uuuruuur
uuuuruuur
ABAC
uuu
)(

0)
, 积的充分利用.由
MGM A

(
uuurr
ABgcosBACgcosC
uuuruuu r
uuur
ABAC

uuu
)(

0)
, 得
AG

(
uuurr
ABgcosBACgcosCuuuruuur
uuuruuuruuur
ABAC

uuu
)gBC(

0)
(关键点)
AGgBC

(uuurr
ABgcosBACgcosC
uuuruuuruuuruuur
u uuruuur
ABgBCACgBC
AGgBC

(
uuu
uuu
)(

0)
rr
ABgcosBACgco sC
于是.
uuuruuuruuuruuur


（BCgco s(

-B)BCgcosB）=

(BCBC)0
uuu ruuur
从而
AGBC
,点
G
是高线上的点,故应填垂心. < br>[点评]以上四个问题处理的方法各不相同,注意到平面向量及三角形的“四心”
的性质在解答问 题时的作用.特别注意第四问两边同乘以某个表达式的技巧.

总结：
（1）
OAOBOC0
O
是
ABC
的重心. < br>（2）
OAOBOBOCOCOA
O
为
ABC
的垂心.
（3）设
a
,
b
,
c
是三角形的三条边 长，O是

ABC的内心
aOAbOBcOC0O
为
ABC
的内心.
（4）
OAOBOC

O
为
ABC
的外心。
或者
若
P
点为
VABC
内任意一点，若
P
点满足
:
uuuruuur
r

uuu
ABAC
r

uuur
),

0

AP
< br>(
uuu
ABAC


P为VABC的内心
; 1 ．

uuuruuur
uur
BABC

u
BP t(
uuur

uuur
)，t0

BABC


2.
D、E
两点分别是
VABC
的边
BC、CA
上的中点,且
uuuruuuruuuruuur


DPgPB DPgPC
ruuuruuuruuur
P为VABC的外心
;
uuu


EPgPCEPgPA
r
1
uuuruu ur

uuu
AP(ABAC),


3
3.

P为VABC的重心
;
uuur
1
uuuruuur

BP(BABC)，

3


uuur uuur


APgBC0
P为VABC的垂心
. 4.

uuuruuur


BPgAC0


结合运用：
例1：
O
是平面上一定点，
A、B、C
是平面 上不共线的三个点，动点
P
满足
OPOA

(ABAC)，



0,

，则点
P
的轨迹一定通过
ABC
的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
分析：如图所示
ABC< br>，
D、E
分别为边
BC、AC
的
A
中点.
ABAC2AD

E

OPOA2

AD

OPOAAP

AP2

AD

BDC
AP

AD


点
P
的轨 迹一定通过
ABC
的重心，即选
C
.

例2：
O
是平面上一定点，
A、B、C
是平面上不共线的三个点，动点
P
满 足
OPOA

(
AB
AB

AC
AC
)
，



0,

，则点
P
的轨迹一定通过
ABC
的（ B ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
分析：

ABAC
AC
方向上的单位向量， 分别为
AB、
、
ABAC
AC
AC
平分
BAC
,

AB
AB


点
P
的轨迹一定通过
AB C
的内心，即选
B
.

例3：
O
是平面上一定点 ，
A、B、C
是平面上不共线的三个点，动点
P
满足
OPOA< br>
(
AB
ABcosB

AC
ACcosC
)
，



0,

，则点
P
的轨迹一定通过
ABC
的
（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

分析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC， D、E是垂
足.
A
(
AB
ABcosB
ABBC
ABcosB

AC
ACcosC
ACBC
)
BC< br>
E
=

ACcosC

B
D
C< br>ABBCcosB
=
ABcosB

ACBCcosC
AC cosC

=
BC
+
BC
=0

点< br>P
的轨迹一定通过
ABC
的垂心，即选
D
.

练习：
1．已知
ABC
三个顶点
A、B、C
及平面内一 点
P
，满足
PAPBPC0
，若实
数

满足 ：
ABAC

AP
，则

的值为（ ）
A．2 B．
3
C．3 D．6
2
2．若
ABC
的外接圆的圆心为O，半径为1，
OAOBO C0
，则
OAOB
( )
A．
1
1
B．0 C．1 D．


2
2
3 ．点
O
在
ABC
内部且满足
OA2OB2OC0
， 则
ABC
面积与凹四边形
ABOC
面积之比是（ ）
A．0 B．
354
C． D． < br>243
4．
ABC
的外接圆的圆心为O，若
OHOAOBOC
，则
H
是
ABC
的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
5．
O
是 平面上一定点，
A、B、C
是平面上不共线的三个点，若
OABCOB

222
CAOCAB
，则
O
是
ABC
的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
6．两条边上的高的交点为H，
ABC
的外接圆的圆心为O，
OHm( OAOBOC)
，
则实数m =
222

→→→→
1ABACABAC
→→→
7．已知非零向量AB与AC满足( + )·BC=0且 · = , 则△ABC为
2
→→→→
|AB||AC||AB||AC|
( )
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
8．已知
ABC
三个顶点
A、B、C
，若
ABABACABCBBCCA
，则
2
ABC
为（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．既非等腰又非直角三角形




练习答案：C、D、C、D、D、1、D、C