武汉大学三行情书-实习鉴定表

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇
一、四心的概念介绍
（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；
（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；
（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四心与向量的结合
（1）
OAOBOC0
O
是
ABC
的重心. < br>证法1：设
O(x,y),A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),C(x
3
,y
3
)

(x
1
x)(x
2
x)(x
3
x )0


(y
1
y)(y
2
y)(y< br>3
y)0
x
1
x
2
x
3

x


3



y
y
1
y
2
y
3

3

OAOBO C0


O
是
ABC
的重心.
证法2：如图

OAOBOC

OA2OD0

A

AO2OD


A、O、D
三点共线，且
O
分
AD

O
E
为2：1

O
是
ABC
的重心

BDC
（2）
OAOBOBOCOCOA
O
为
ABC
的垂心.
证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足.
OAOBOBOCOB(OAOC)OBCA0

OBAC

O
A
E
同理
OABC
，
OCAB


O
为
ABC
的垂心


（3）设a,
b
,c是三角形的三条边长，O是

ABC的内心
aOAbOBcOC0O
为
ABC
的内心.
BDC证明：


AB
AC
b
AC
AC
方向 上的单位向量，
、
分别为
AB、
cb
AB
c
< br>平分
BAC
,
AB
c

AC
b
AO

(
)，令


bc
abc


AO
bc
abc
（
AB
c

AC
b
)
化简得
(abc)OAbABcAC0


aOAbOBcOC0


（4）
OAOBOC

O
为
ABC
的外心。

典型例题：
例1：
O
是平面上一定点，
A、B、C是平面上不共线的三个点，动点
P
满足
OPOA

(AB AC)
，



0,

，则点
P
的轨迹一定通过
ABC
的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
分析：如图所示
ABC< br>，
D、E
分别为边
BC、AC
的
点.
ABAC2AD

A
中
E

OPOA2

AD

OPOAAP

AP2

AD

BDC
AP

AD


点
P
的轨 迹一定通过
ABC
的重心，即选
C
.

例2：（03全 国理4）
O
是平面上一定点，
A、B、C
是平面上不共线的三个点，动点P
满足
OPOA

(
AB
AB

AC
AC
)
，



0,

，则点
P
的轨迹一定通过
ABC
的（ B ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
分析：

ABAB

、
AC
AC
AC
方向上的单位向量， 分别为< br>AB、
AB
AB

AC
AC
平分
BAC< br>,

点
P
的轨迹一定通过
ABC
的内心，即选< br>B
.

例3：
O
是平面上一定点，
A、B、C是平面上不共线的三个点，动点
P
满足
OPOA

(
AB
ABcosB

AC
ACcosC
)
，
< br>

0,

，则点
P
的轨迹一定通过
ABC
的

（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

分析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC， D、E是垂足.
(
AB
A BcosB

AC
ACcosC

ACBC
ACcosC
)
BC

A
E
=
ABBC
ABcosB

B
D< br>C
ABBCcosBACBCcosC

=
ABcosB

ACcosC
=
BC
+
BC
=0

点
P
的轨迹一定通过
ABC
的垂心，即选
D
.

练习：
1．已知
ABC
三个顶点
A、B、C
及平面内一 点
P
，满足
PAPBPC0
，若实数

满足：
ABAC

AP
，则

的值为（ ）
A．2 B．
3
2
C．3 D．6
2．若
ABC
的外接圆的圆心为O，半径为1，
OAOBOC0
，则
OA OB
( )
A．
1
2
B．0 C．1 D．

1
2

3．点
O
在
ABC
内部且满足
OA2OB2OC0
，则
ABC面积与凹四边形
ABOC
面积之比是（ ）
A．0 B．
3
2
5
4
4
3
C． D．
4．
ABC
的外接圆的圆心为O，若
OHOAOBOC
，则
H
是
ABC
的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
5．
O
是 平面上一定点，
A、B、C
是平面上不共线的三个点，若
OA
CA
2
2
BC
2
OB

2
OC
2
AB
，则
O
是
ABC
的（ ）
2
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
6．
ABC
的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，
O Hm(OAOBOC)
，

则实数m =
→→→→
ABACABAC1
→→→
7．（06陕西）已知非零向量AB与AC满足( + )·BC=0且 · = , 则△
2
→→→→
|AB||AC||AB||AC|
ABC为( )
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
8．已知
ABC
三个顶点
A、B、C
，若
AB
为（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．既非等腰又非直角三角形
练习答案：C、D、C、D、D、1、D、C


2
则
ABC
ABACABCBBCCA
，
1.定义：我们把三角形三个内角 的角平分线的交点叫做三角形的内心,
即三角形内切圆圆心;三角形三条边上的中垂线的交点叫做三角形 的
外心,即三角形外接圆圆心;三角形三条边上的中线的交点叫做三角形
的重心;三角形三条高 线的交点叫做三角形的垂心.我们将三角形的
“内心”、“外心”、“重心”、“垂心”合称为三角形的 “四心”.
2.应用:三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的外心到三角
形三个顶 点的距离相等;三角形的重心到三角形的顶点的距离是相应
中线长的三分之二;三角形的垂心与顶点的连 线垂直于该顶点的对边.
3.注意点:三角形的“四心”与平面向量知识的结合.
一、 典型例题分析
[例]已知点
G
是
ABC
内任意一点,点
M
是
ABC
所在平面内一点.试根
据下列条件判断
G
点可 能通过
ABC
的__________心.(填“内心”或“外
心”或“重心”或“ 垂心”).


ABAC
(1)若存在 常数

,满足
MGMA

(



)(

0)
,则点
G
ABAC
可能通 过

ABC
的__________.

(2)若点< br>D
是
ABC
的底边
BC
上的中点,满足
GDGB
通过
ABC
的__________.
GDGC
,则点G
可能




ABAC



0

,则点
G

(3)若存在常数

,满足
MGMA




ACsinC

ABsinB

可
能通过
ABC
的___ _______.




ABAC



0

,则点
G

(4)若存在常数

,满足
MGMA




ABcosB ACcosC


可
能通过
ABC
的_______ ___.
二、 综合运用
2.若O点是
ABC
的外心, H点是
ABC
的垂心,

且
O Hm(OAOBOC)
,求实数m的值.






练习：
举一反三：通过上述例题及解答,我们可以总结出关于三角形“四心”< br>的向量表达式.若
P
点为
ABC
内任意一点，若
P
点满足:





ABAC
< br>

),

0

AP

(

ABAC


P为

ABC的内心1．



BABC

BPt (



)，t0

BABC
< br>
;
2.
D、E
两点分别是
ABC
的边
BC、CA
上的中点,且



DP

PBDP

PC

P 为

ABC的外心




EP
< br>PCEP

PA
;

1



AP(ABAC),


3
3.


P为

ABC的重心

1
 

BP(BABC)，

3

< br>
AP

BC0
P为

ABC的垂心
4 .






BP
< br>AC0
;
.


练习练习
1．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足
OP
=

1
3
(
1
2
OA+
1
2
OB
+2
OC
),则点P一定为三角形ABC的 （ B ）
边中线的中点 边中线的三等分点（非重心）
C.重心 边的中点
1. B 取AB边的中点M，则
OAOB2OM
，由
OP
=
3
OP3OM2MC
，∴
MP
点P不过重心，故选B.
2
3
1
3
(
1
2
OA
+1
2
OB
+2
OC
)可得
MC
，即点P为三角 形中AB边上的中线的一个三等分点，且

 

2
2
22
2
2．在同一个平面上有ABC
及一点Ｏ满足关系式：
O
A
＋
BC
＝
OB
＋
CA
＝
OC
＋

AB
2
，则Ｏ为
ABC
的 （ D ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心

2．已知△A BC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：
PAPBPC0
，则P为
A BC
的
（ C ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
3．已知O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：
OPOA

(ABAC)
，则P的轨迹一定通过△ABC的 （ C ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心

4．已知△ABC，P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：
 
PAPCPAPBPBPC0
，则P 点为三角形的 （ D ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心

5．已知△ABC，P为三角形所在平面上的一点，且 点P满足：
aPAbPBcPC0
，则P点为三
角形的 （ B ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
6．在三角形ABC中，动点P满足：
CA
（ B ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
→→→→
→→
ABAC
→
ABAC1
7.已知非零向量AB与AC满足( + )·BC=0且 · = , 则△ABC为( )
2
→→→→
|AB||AC||AB||AC|
A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形
2
CB
2
2ABCP
，则P点轨迹一定通过△ABC的：

ABAC



)·
解析 ：非零向量与满足(

=0，即角A的平分线垂直于BC，∴ AB=AC，又
| AB||AC|

AB
cosA


|AB ||


AC
1

=
，∠A=，所以△ABC为等边三角形，选D．
2
3
AC|
8.
 ABC
的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，
OHm(OAOBOC)
，则实数m = 1
9.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足
OAOBOB OCOCOA
，则点O是
ABC
的（B ）
（A）三个内角的角平分线的交点
（C）三条中线的交点




（B）三条边的垂直平分线的交点
（D）三条高的交点


练习
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向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇
一、四心的概念介绍
（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；
（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；
（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四心与向量的结合
（1）
OAOBOC0
O
是
ABC
的重心. < br>证法1：设
O(x,y),A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),C(x
3
,y
3
)

(x
1
x)(x
2
x)(x
3
x )0


(y
1
y)(y
2
y)(y< br>3
y)0
x
1
x
2
x
3

x


3



y
y
1
y
2
y
3

3

OAOBO C0


O
是
ABC
的重心.
证法2：如图

OAOBOC

OA2OD0

A

AO2OD


A、O、D
三点共线，且
O
分
AD

O
E
为2：1

O
是
ABC
的重心

BDC
（2）
OAOBOBOCOCOA
O
为
ABC
的垂心.
证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足.
OAOBOBOCOB(OAOC)OBCA0

OBAC

O
A
E
同理
OABC
，
OCAB


O
为
ABC
的垂心


（3）设a,
b
,c是三角形的三条边长，O是

ABC的内心
aOAbOBcOC0O
为
ABC
的内心.
BDC证明：


AB
AC
b
AC
AC
方向 上的单位向量，
、
分别为
AB、
cb
AB
c
< br>平分
BAC
,
AB
c

AC
b
AO

(
)，令


bc
abc


AO
bc
abc
（
AB
c

AC
b
)
化简得
(abc)OAbABcAC0


aOAbOBcOC0


（4）
OAOBOC

O
为
ABC
的外心。

典型例题：
例1：
O
是平面上一定点，
A、B、C是平面上不共线的三个点，动点
P
满足
OPOA

(AB AC)
，



0,

，则点
P
的轨迹一定通过
ABC
的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
分析：如图所示
ABC< br>，
D、E
分别为边
BC、AC
的
点.
ABAC2AD

A
中
E

OPOA2

AD

OPOAAP

AP2

AD

BDC
AP

AD


点
P
的轨 迹一定通过
ABC
的重心，即选
C
.

例2：（03全 国理4）
O
是平面上一定点，
A、B、C
是平面上不共线的三个点，动点P
满足
OPOA

(
AB
AB

AC
AC
)
，



0,

，则点
P
的轨迹一定通过
ABC
的（ B ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
分析：

ABAB

、
AC
AC
AC
方向上的单位向量， 分别为< br>AB、
AB
AB

AC
AC
平分
BAC< br>,

点
P
的轨迹一定通过
ABC
的内心，即选< br>B
.

例3：
O
是平面上一定点，
A、B、C是平面上不共线的三个点，动点
P
满足
OPOA

(
AB
ABcosB

AC
ACcosC
)
，
< br>

0,

，则点
P
的轨迹一定通过
ABC
的

（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

分析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC， D、E是垂足.
(
AB
A BcosB

AC
ACcosC

ACBC
ACcosC
)
BC

A
E
=
ABBC
ABcosB

B
D< br>C
ABBCcosBACBCcosC

=
ABcosB

ACcosC
=
BC
+
BC
=0

点
P
的轨迹一定通过
ABC
的垂心，即选
D
.

练习：
1．已知
ABC
三个顶点
A、B、C
及平面内一 点
P
，满足
PAPBPC0
，若实数

满足：
ABAC

AP
，则

的值为（ ）
A．2 B．
3
2
C．3 D．6
2．若
ABC
的外接圆的圆心为O，半径为1，
OAOBOC0
，则
OA OB
( )
A．
1
2
B．0 C．1 D．

1
2

3．点
O
在
ABC
内部且满足
OA2OB2OC0
，则
ABC面积与凹四边形
ABOC
面积之比是（ ）
A．0 B．
3
2
5
4
4
3
C． D．
4．
ABC
的外接圆的圆心为O，若
OHOAOBOC
，则
H
是
ABC
的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
5．
O
是 平面上一定点，
A、B、C
是平面上不共线的三个点，若
OA
CA
2
2
BC
2
OB

2
OC
2
AB
，则
O
是
ABC
的（ ）
2
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
6．
ABC
的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，
O Hm(OAOBOC)
，

则实数m =
→→→→
ABACABAC1
→→→
7．（06陕西）已知非零向量AB与AC满足( + )·BC=0且 · = , 则△
2
→→→→
|AB||AC||AB||AC|
ABC为( )
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
8．已知
ABC
三个顶点
A、B、C
，若
AB
为（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．既非等腰又非直角三角形
练习答案：C、D、C、D、D、1、D、C


2
则
ABC
ABACABCBBCCA
，
1.定义：我们把三角形三个内角 的角平分线的交点叫做三角形的内心,
即三角形内切圆圆心;三角形三条边上的中垂线的交点叫做三角形 的
外心,即三角形外接圆圆心;三角形三条边上的中线的交点叫做三角形
的重心;三角形三条高 线的交点叫做三角形的垂心.我们将三角形的
“内心”、“外心”、“重心”、“垂心”合称为三角形的 “四心”.
2.应用:三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的外心到三角
形三个顶 点的距离相等;三角形的重心到三角形的顶点的距离是相应
中线长的三分之二;三角形的垂心与顶点的连 线垂直于该顶点的对边.
3.注意点:三角形的“四心”与平面向量知识的结合.
一、 典型例题分析
[例]已知点
G
是
ABC
内任意一点,点
M
是
ABC
所在平面内一点.试根
据下列条件判断
G
点可 能通过
ABC
的__________心.(填“内心”或“外
心”或“重心”或“ 垂心”).


ABAC
(1)若存在 常数

,满足
MGMA

(



)(

0)
,则点
G
ABAC
可能通 过

ABC
的__________.

(2)若点< br>D
是
ABC
的底边
BC
上的中点,满足
GDGB
通过
ABC
的__________.
GDGC
,则点G
可能




ABAC



0

,则点
G

(3)若存在常数

,满足
MGMA




ACsinC

ABsinB

可
能通过
ABC
的___ _______.




ABAC



0

,则点
G

(4)若存在常数

,满足
MGMA




ABcosB ACcosC


可
能通过
ABC
的_______ ___.
二、 综合运用
2.若O点是
ABC
的外心, H点是
ABC
的垂心,

且
O Hm(OAOBOC)
,求实数m的值.






练习：
举一反三：通过上述例题及解答,我们可以总结出关于三角形“四心”< br>的向量表达式.若
P
点为
ABC
内任意一点，若
P
点满足:





ABAC
< br>

),

0

AP

(

ABAC


P为

ABC的内心1．



BABC

BPt (



)，t0

BABC
< br>
;
2.
D、E
两点分别是
ABC
的边
BC、CA
上的中点,且



DP

PBDP

PC

P 为

ABC的外心




EP
< br>PCEP

PA
;

1



AP(ABAC),


3
3.


P为

ABC的重心

1
 

BP(BABC)，

3

< br>
AP

BC0
P为

ABC的垂心
4 .






BP
< br>AC0
;
.


练习练习
1．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足
OP
=

1
3
(
1
2
OA+
1
2
OB
+2
OC
),则点P一定为三角形ABC的 （ B ）
边中线的中点 边中线的三等分点（非重心）
C.重心 边的中点
1. B 取AB边的中点M，则
OAOB2OM
，由
OP
=
3
OP3OM2MC
，∴
MP
点P不过重心，故选B.
2
3
1
3
(
1
2
OA
+1
2
OB
+2
OC
)可得
MC
，即点P为三角 形中AB边上的中线的一个三等分点，且

 

2
2
22
2
2．在同一个平面上有ABC
及一点Ｏ满足关系式：
O
A
＋
BC
＝
OB
＋
CA
＝
OC
＋

AB
2
，则Ｏ为
ABC
的 （ D ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心

2．已知△A BC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：
PAPBPC0
，则P为
A BC
的
（ C ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
3．已知O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：
OPOA

(ABAC)
，则P的轨迹一定通过△ABC的 （ C ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心

4．已知△ABC，P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：
 
PAPCPAPBPBPC0
，则P 点为三角形的 （ D ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心

5．已知△ABC，P为三角形所在平面上的一点，且 点P满足：
aPAbPBcPC0
，则P点为三
角形的 （ B ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
6．在三角形ABC中，动点P满足：
CA
（ B ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
→→→→
→→
ABAC
→
ABAC1
7.已知非零向量AB与AC满足( + )·BC=0且 · = , 则△ABC为( )
2
→→→→
|AB||AC||AB||AC|
A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形
2
CB
2
2ABCP
，则P点轨迹一定通过△ABC的：

ABAC



)·
解析 ：非零向量与满足(

=0，即角A的平分线垂直于BC，∴ AB=AC，又
| AB||AC|

AB
cosA


|AB ||


AC
1

=
，∠A=，所以△ABC为等边三角形，选D．
2
3
AC|
8.
 ABC
的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，
OHm(OAOBOC)
，则实数m = 1
9.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足
OAOBOB OCOCOA
，则点O是
ABC
的（B ）
（A）三个内角的角平分线的交点
（C）三条中线的交点




（B）三条边的垂直平分线的交点
（D）三条高的交点


练习
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