洋人街-加速度

三角形的重心、内心、外心、垂心与向量联系的高考题之构造过程

三角形的“四心 ”（重心、内心、外心、垂心）与向量相结合是近年来高考命题的热点，让我们站
在命题人的角度谈谈这 类试题的构造过程.
一、 构造的基础之一：
uuuvuuuv
共线向量：若动点
P
满足
AP

AB
，则
P
在直线
AB
上，或者说
P
点的轨迹是直线
AB.

uuuvuu uv
uuuvuuvuuuvuuv
O
因为，对任意一点，
AP

AB
即
OPOA

(OBOA)
，
uuu vuuvuuuv
uuuvuuvuuuv
所以
OP(1

)O A

OB
，又常记为
OPxOAyOB
（其中
xy 1
），
这个结论在下面的证明中我们将直接使用.
二、 构造的基础之二： < br>v
uuuv
uuuvuuuvuuuvuuuv
uuu
三个向量
AD
、
AE
、
AF
如何用
AB
、
AC< br>或
BC
及其夹角或长度来表示，其中
AD
、
AE
、< br>AF
分别是三角形
ABC
的中线、角平分线、高.
uuuv
1
uuuvuuuv
（1）
AD(ABAC)
；
2
u uuvuuuvuuuvuuuv
1
uuuvuuuv
1
uuuvuuuv< br>1
uuuvuuuv
ADABBDABBCAB(ACAB)(AB AC)
. 证明：
222
（注：也可以构造平行四边形，利用向量加法的平行四边形法则来证明）
uuuvuuuv
uuuvuuuvuuuv
|AC||AB|
（2）
AE uuuvuuuvABuuuvuuuvAC
；
|AB||AC||AB||AC|

证明：由
EABEAC，即
cosEABcosEAC
，
uuuvuuuvuuuvuuuv< br>ABAEACAE
由夹角公式得
uuuvuuuv
，①
|AB ||AC|
uuuvuuuvuuuv
由
A、E、C
三点共线，
AE xAB(1x)AC
②，
联立①、②可以求得
uuuvuuuv
|AC||AB|
xuuuvuuuv,1xuuuvuuuv,

|AB| |AC||AB||AC|
uuuvuuuv
uuuvuuuvuuuv
|AC|| AB|
于是
AEuuuvuuuvABuuuvuuuvAC
.
|AB ||AC||AB||AC|
（注：也可以构造平行四边形，利用向量加法的平行四边形法则及平行 线分线段成比例来证明）
uuuvuuuv
uuuv
|AC|cosC
uu uv
|AB|cosB
uuuv
（3）
AFuuuvABuuuvAC< br>.
|BC||BC|
1

证明：由
AFBC
得
AFBC0
①

uuuvuuuvuuuvuuuv
uuuvuuuvuuuv
A、F、C
由三点共线，设
AFxAB(1x)AC
②，
联立①、②可以求得
uuuv
uuuv
|AC|cosC
xuuuvuuuvAB,

|AB|cosB|AC|cosC
uuuv
|AB|cosB
.
1xuuuvuuuv
|AB|cosB|AC|cosC
uuuvuuuvuuuv
注意到
|AB|cosB|AC|cosC|BC|
（这个结论可以用余弦定理证 明，又称射影
定理）.
uuuvuuuv
uuuv
|AC|cosC|AB |cosB
所以
xuuuvAB,1xuuuv.

|BC||BC|
uuuvuuuv
uuuv
|AC|cosC
uuuv
|AB|co sB
uuuv
于是
AFuuuvABuuuvAC
.
|BC||BC|
三、构造过程：
（一）、重心：
uuuv
1< br>uuuvuuuvuuuv
1
uuuvuuuv
因为中线
AD
对应向量
AD(ABAC)
，取与
AD(ABAC)
共线的非零向量
22
uuuvuuuvuvuuuv
uuuvuuuv
uu
uuuv uuuvuuuv
ABAC
，取过
A
的任意向量
AP
，使
AP
与
ABAC
共线，即满足
AP

(AB AC)
，于是
P
点
的轨迹就是中线
AD
所在的直线，根据三 条中线的交点是三角形的重心，可以知道
P
点的轨迹经过三
角形的重心.
于是有下面的题目：
1、若动点
P
满足
AP

(ABAC)
，

R
，则
P
点的轨迹一定通过
ABC
的（ ）.（答案：
A）
A. 重心 B. 内心 C. 垂心 D. 外心
欲使题目复杂化，可以利用减法法则把
AP
改写为
OPOA
，于是题目进一步变为
uuuvuuuvuuuv
uuuv
uu uvuuv
uuuvuuvuuuvuuuv
2、若动点
P
满足对于平面内任 意点
O
，存在

R
，使
OPOA

(ABAC)
，则
P
点的轨迹
一定通过
ABC
的（ ）.（答案：A）
A. 重心 B. 内心 C. 垂心 D. 外心

（二）、内心：
uuuvuuuv
uuuvuuuvuuuv
|AC||A B|
因为角平分线
AE
对应向量
AEuuuvuuuvABuuuvuu uvAC
，
|AB||AC||AB||AC|
2

uuuvuuuv
uuuvuuuvuuuvuuuv
uuuvuuuvv
| AC||AB|
uuu
取与
AEuu
共线的非零向量
|AC|A B|AB|AC
（或者
uvuuuvABuuuvuuuvAC
|AB||A C||AB||AC|
uuuvuuuvuuuvuuuv
uuuvuuuv
uuu vuuuvuuuvuuuv
ABACABAC
，取过
A
的任意向量
AP
，使
AP
与
|AC|AB|AB|AC
（或者
u uuuuvuuuv
）
uvuuuv
）共
|AB||AC||AB||A C|
uuuvuuuv
uuuvuuuvuuuvuuuvuuuv
uuuv
ABAC
线，即满足
AP

(|AC|AB|AB|AC)
，或
AP

(uuuvuuuv)
，于是
P
点的轨迹就 是角平
|AB||AC|
分线
AE
所在的直线，根据三条角平分线的交点是三 角形的内心，可以知道
P
点的轨迹经过三角形的
内心.
于是有下面的题目：
uuuvuuuvuuuvuuuvuuuv
1、若动点
P
满足
AP 

(|AC|AB|AB|AC)
，

R
，则< br>P
点的轨迹一定通过
ABC
的
（ ）.（答案：B）
A. 重心 B. 内心 C. 垂心 D. 外心

uuuvu uuv
uuuv
ABAC
2、若动点
P
满足
AP

(uuuvuuuv)
，

R
，则
P
点的轨 迹一定通过
ABC
的（ ）.
|AB||AC|
（答案：B）
A. 重心 B. 内心 C. 垂心 D. 外心

uuuvu uv
uuuv
欲使题目复杂化，可以利用减法法则把
AP
改写为
OP OA
，于是题目进一步变为

uvuuuvuuvuuvuuvuuuvu
3、若动点
P
满足对于平面内任意点
O
，存在

R，使
OPOA

A(|CA|BAB|AC|
则
P< br>点的轨迹一定通过
ABC
的（ ）.（答案：B）
A. 重心 B. 内心 C. 垂心 D. 外心

)
，
uuuvuuu v
uuuvuuv
ABAC
4、若动点
P
满足对于平面内任意点O
，存在

R
，使
OPOA

(uuu vuuuv)
，则
P
点
|AB||AC|
的轨迹一定通过
ABC
的（ ）.（答案：B）
A. 重心 B. 内心 C. 垂心 D. 外心

（三）、垂心：
uuuvuuuv
uuuv
|AC |cosC
uuuv
|AB|cosB
uuuv
因为高
AF
对应向量
AFuuuvABuuuvAC
，
|BC||BC|
uuuv uuuv
uuuvuuuvuuuvuuuv
uuuv
|AC|cosC
uu uv
|AB|cosB
uuuv
取与
AF
共线的非零向量为
|AC|cosCAB|AB|cosBAC
，
uuuvABuuuvAC
|BC||BC|
3

uuuvuuuv
uuuvuuuv
ABAC
A
了使式子比较“对称”，可以另取为
uu
，取过的任意向 量
AP
，使
AP
与
uvuuuv
|AB|cosB|AC |cosC
uuuvuuuvuuuvuuuv
uuuv
ABACABAC
共 线，即满足
AP

(uuuuuvuuuvuvuuuv)
，于是P
点的轨迹就是
|AB|cosB|AC|cosC|AB|cosB|AC|cosC< br>高
AD
所在的直线，根据三条高所在直线的交点是三角形的垂心，可以知道
P< br>点的轨迹经过三角形的
垂心.
于是有下面的题目：
uuuvuuuv
uuuv
ABAC
1、若动点
P
满足
AP

( uu
则
P
点的轨迹一定通过
ABC
的
uvuuuv)< br>，

R
，
|AB|cosB|AC|cosC
（ ）.（答案：C）
A. 重心 B. 内心 C. 垂心 D. 外心
欲 使题目复杂化，可以利用减法法则把
AP
改写为
OPOA
，于是题目进一步 变为
2、若动点
P
满足对于平面内任意点
O
，存在
R
，使
uuuv
uuuvuuv
uuuvuuuv
uuuvu uv
ABAC
OPOA

(uuuvuuuv)
，则
P
点的轨迹一定通过
ABC
的（ ）.（答案：C）
|AB|cosB|AC|cosC
A. 重心 B. 内心 C. 垂心 D. 外心
（四）、外心：下面的“外心”题目的演变留给读者自己思考：

若动 点
P
满足对于平面内任意点
O
，存在

R
，使< br>uuvuuuvuuuvuuuv
uuuv
OAOBABAC
OP

(uuuvuuuv)
，则
P
点的轨迹一定通过
ABC的（ ）.（答案：
2
|AB|cosB|AC|cosC
D）
A. 重心 B. 内心 C. 垂心 D. 外心
四、构造过程的深入探究：
uuuvuuvuuv
（一）、重心：
P
点是
ABC
重心
APBPCP
0

我们知道， 这一结论可以用几何法来证明（限于篇幅，本文从略），有趣的是，
P
点是
ABC< br>重
uuuvuuvuuv
uuuvuuuvuuuvuuvuuvuuuv
心< br>APBPCP
0
，这个结论可以由
AP

(AB AC)
，
BP

(BABC)
，
uuvuuvuuv< br>CP

(CACB)
这三个等式同时成立推导出来，而且可以求出符合条件 的

、

、

.探究过程如
下：
显然，

、

、

均不为0，于是

vuuuv uuuv
1
uuvuuvuuuv
1
uuvuuvuuv
1
uuu
APABAC
，
BPBABC
，
CPCACB< br>，三


uv
1
uuv
1
uuv
1
uu
式相加有
APBPCP
0
，注意我们这里是寻找

、

、

，因此，假设存在

、
、

两

4

两相等，于是APBPCP
0
，此式可以化
APAPABAPAC
0
，即为
uuuvuuvuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuv
vuuuv uuuv
uuuvuuuvuuuv
1
1
uuu
1
A，
C
所以


，即存在






，使得
3APABAC
，又因为
APAB< br>3

3
uuuvuuuvuuuvuuvuuvuuuvuuvuuvuuv< br>，，
AP

(ABAC)BP

(BABC)CP

(CACB)
这三个等式同时成立.这个推导的结果
完全与几何意义一致 .
（二）、垂心：
P
点是
ABC
垂心
PAPBP BPCPCPA
，这个结论的证明很简单，读者
可以自己完成.
对于内心和外心的一些结论，有兴趣的读者可以自己探究.
通过上面的分析，我们看到共线向量定量是 构造三角形的“四心”题的基础，共线向量也是平面
向量基本定理的基础，这两个定理结合数量积的运算 性质，可以解决很多平面几何问题.

通过上面的分析，我们看到共线向量定量是构造这类题 目的基础，共线向量也是平面向量基本定
理的基础，这两个定理结合数量积的运算性质，可以解决很多平 面几何问题.
uuvuuvuuvuuuvuuuvuuv
5