全国科普日-法国的气候

小学五六年级奥数解题技巧
奥赛专题--抽屉原理
【例1】一个小组共有13名同学，其中至少有2名同学同一个月过生日。
为什么？
【分析】每年里共有12个月，任何一个人的生日，一定在其中的某一个
月。如果把这12个月看成12 个“抽屉”，把13名同学的生日看成13只“苹果”，
把13只苹果放进12个抽屉里，一定有一个抽 屉里至少放2个苹果，也就是
说，至少有2名同学在同一个月过生日。
【例2】任意4个自然数，其中至少有两个数的差是3的倍数。这是为什
么？
【分析 与解】首先我们要弄清这样一条规律：如果两个自然数除以3的余
数相同，那么这两个自然数的差是3的 倍数。而任何一个自然数被3除的余
数，或者是0，或者是1，或者是2，根据这三种情况，可以把自然 数分成3
类，这3种类型就是我们要制造的3个“抽屉”。我们把4个数看作“苹果”，根据
抽 屉原理，必定有一个抽屉里至少有2个数。换句话说，4个自然数分成3类，
至少有
两个是同 一类。既然是同一类，那么这两个数被3除的余数就一定相同。
所以，任意4个自然数，至少有2个自然 数的差是3的倍数。
【例3】有规格尺寸相同的5种颜色的袜子各15只混装在箱内，试问不论
如何取，从箱中至少取出多少只就能保证有3双袜子（袜子无左、右之分）？
【分析与解】试想一下，从箱中取出6只、9只袜子，能配成3双袜子吗？
回答是否定的。 < br>按5种颜色制作5个抽屉，根据抽屉原理1，只要取出6只袜子就总有一只
抽屉里装2只，这2只 就可配成一双。拿走这一双，尚剩4只，如果再补进2
只又成6只，再根据抽屉原理1，又可配成一双拿 走。如果再补进2只，又可取
得第3双。所以，至少要取6＋2＋2=10只袜子，就一定会配成3双。
1 6

思考：1.能用抽屉原理2，直接得到结果吗？
2.把题中的要求改为3双不同色袜子，至少应取出多少只？
3.把题中的要求改为3双同色袜子，又如何？
【例4】一个布袋中有35个同样大小的木球，其中白、黄、红三种
颜色球各有10个，另外 还有3个蓝色球、2个绿色球，试问一次至少取出
多少个球，才能保证取出的球中至少有4个是同一颜色 的球？
【分析与解】从最“不利”的取出情况入手。
最不利的情况是首先取出的5个球中，有3个是蓝色球、2个绿色球。
接下来，把白、黄、红 三色看作三个抽屉，由于这三种颜色球相等均超过4
个，所以，根据抽屉原理2，只要取出的球数多于（ 4-1）×3=9个，即至少应取
出10个球，就可以保证取出的球至少有4个是同一抽屉（同一颜色） 里的球。
故总共至少应取出10＋5=15个球，才能符合要求。
思考：把题中要求改为4个不同色，或者是两两同色，情形又如何？
当我们遇到“判别具有某 种事物的性质有没有，至少有几个”这样的问题
时，想到它——抽屉原理，这是你的一条“决胜”之路。
奥赛专题--还原问题
【例1】某人去银行取款，第一次取了存款的一半多50元，第二次
取了余下的一半多100元。这时他的存折上还剩1250元。他原有存款多少
元？
【分析】从上面那个“重新包装”的事例中，我们应受到启发：要想还原，
就得反过来做（倒推）。由“ 第二次取余下的一半多100元”可知，“余下的一半
少100元”是1250元，从而“余下的一半” 是1250+100=1350（元）
余下的钱（余下一半钱的2倍）是：1350×2=2700（元）
2 6

用同样道理可算出“存款的一半”和“原有存款”。综合算式是：
[ （1250+100）×2+50]×2=5500（元）
还原问题的一般特点是：已知对某个数按照 一定的顺序施行四则运算的结
果，或把一定数量的物品增加或减少的结果，要求最初（运算前或增减变化
前）的数量。解还原问题，通常应当按照与运算或增减变化相反的顺序，进行
相应的逆运算。
【例2】有26块砖，兄弟2人争着去挑，弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥
赶来了。哥哥看弟弟 挑得太多，就拿来一半给自己。弟弟觉得自己能行，又
从哥哥那里拿来一半。哥哥不让，弟弟只好给哥 哥5块，这样哥哥比弟弟
多挑2块。问最初弟弟准备挑多少块？
【分析】我们得先算出最后哥 哥、弟弟各挑多少块。只要解一个“和差问
题”就知道：哥哥挑“（26+2）÷2=14”块，弟弟挑 “26-14=12”块。
提示：解还原问题所作的相应的“逆运算”是指：加法用减法还原，减法用
加法还原，乘法用除法还原，除法用乘法还原，并且原来是加（减）几，还原
时应为减（加）几 ，原来是乘（除）以几，还原时应为除（乘）以几。
对于一些比较复杂的还原问题，要学会列表，借助表格倒推，既能理清数
量关系，又便于验算。
奥赛专题--鸡兔同笼问题
例1鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？
[分析]：如果46只都是兔，一共应有4×46=184只脚，这和已知的128只脚
相比多了184 -128=56只脚.如果用一只鸡来置换一只兔，就要减少4-2=2（只）
脚.那么，46只兔里应 该换进几只鸡才能使56只脚的差数就没有了呢？显然，
56÷2=28，只要用28只鸡去置换28只 兔就行了.所以，鸡的只数就是28，兔的
只数是46-28=18。
解：①鸡有多少只？
（4×6-128）÷（4-2）
3 6

=（184-128）÷2
=56÷2
=28（只）
②免有多少只？
46-28=18（只）
答：鸡有28只，免有18只。
例2鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？
[分析]：这个例 题与前面例题是有区别的，没有给出它们脚数的总和，而是
给出了它们脚数的差.这又如何解答呢？ < br>假设100只全是鸡，那么脚的总数是2×100=200（只）这时兔的脚数为0，
鸡脚比兔脚 多200只，而实际上鸡脚比兔脚多80只.因此，鸡脚与兔脚的差数比
已知多了（200-80）=1 20（只），这是因为把其中的兔换成了鸡.每把一只兔换
成鸡，鸡的脚数将增加2只，兔的脚数减少4 只.那么，鸡脚与兔脚的差数增加
（2+4）=6（只），所以换成鸡的兔子有120÷6=20（只） .有鸡（100-20）=80
（只）。
解：（2×100-80）÷（2+4）=20（只）。
100-20=80（只）。
答：鸡与兔分别有80只和20只。
例3红英小学三年级有3个班共135人，二班比一班多 5人，三班比二班
少7人，三个班各有多少人？
[分析1]我们设想，如果条件中三个班人数同样多，那么，要求每班
有多少人就很容易了.由此得到启示，是否可以通过假设三个班人数同样多
来分析求解。
4 6

结合下图可以想，假设二班、三班人数和一 班人数相同，以一班为标准，
则二班人数要比实际人数少5人.三班人数要比实际人数多7-5=2（人 ）.那么，
请你算一算，假设二班、三班人数和一班人数同样多，三个班总人数应该是多
少？
解法1：
一班：[135-5+（7-5）]÷3=132÷3
=44（人）
二班：44+5=49（人）
三班：49-7=42（人）
答：三年级一班、二班、三班分别有44人、49人和42人。
[分析2]假设一、三班人数 和二班人数同样多，那么，一班人数比实际要多
5人，而三班要比实际人数多7人.这时的总人数又该是 多少？
解法2：（135+ 5+ 7）÷3 = 147÷3 = 49（人）
49-5=44（人），49-7=42（人）
答：三年级一班、二班、三班分别有44人、49人和42人。
例4刘老师带了41名同学去 北海公园划船，共租了10条船.每条大船坐6
人，每条小船坐4人，问大船、小船各租几条？
[分析]我们分步来考虑：
①假设租的10条船都是大船，那么船上应该坐6×10= 60（人）。
②假设后的总人数比实际人数多了60-（41+1）=18（人），多的原因是把小船坐的4人都假设成坐6人。
③一条小船当成大船多出2人，多出的18人是把18÷2=9（条）小船当成
大船。
5 6

解：[6×10-(41+1）÷（6-4）
= 18÷2=9（条）10-9=1（条）
答：有9条小船，1条大船。
例5有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅 膀20对（蜘
蛛8条腿；蜻蜓6条腿，两对翅膀；蝉6条腿，一对翅膀），求蜻蜓有多少
只？
[分析]这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题.观察数字特点，蜻蜓、蝉都
是6条腿，只有蜘 蛛8条腿.因此，可先从腿数入手，求出蜘蛛的只数.我们假设
三种动物都是6条腿，则总腿数为6×1 8=108（条），所差118-108=10（条），
必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的.所以， 应有（118-108）÷（8-6）=5
（只）蜘蛛.这样剩下的18-5=13（只）便是蜻蜓和蝉 的只数.再从翅膀数入手，
假设13只都是蝉，则总翅膀数1×13=13（对），比实际数少20-1 3＝7（对），
这是由于蜻蜓有两对翅膀，而我们只按一对翅膀计算所差，这样蜻
蜓只数可求7÷（2-1）=7（只）.
解：①假设蜘蛛也是6条腿，三种动物共有多少条腿？
6×18=108（条）
②有蜘蛛多少只？
（118-108）÷（8-6）=5（只）
③蜻蜒、蝉共有多少只？
18-5=13（只）
④假设蜻蜒也是一对翅膀，共有多少对翅膀？1×13=13（对）⑤蜻蜒多少
只？
（20-13）÷2-1）= 7（只）
答：蜻蜒有7只.
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小学五六年级奥数解题技巧
奥赛专题--抽屉原理
【例1】一个小组共有13名同学，其中至少有2名同学同一个月过生日。
为什么？
【分析】每年里共有12个月，任何一个人的生日，一定在其中的某一个
月。如果把这12个月看成12 个“抽屉”，把13名同学的生日看成13只“苹果”，
把13只苹果放进12个抽屉里，一定有一个抽 屉里至少放2个苹果，也就是
说，至少有2名同学在同一个月过生日。
【例2】任意4个自然数，其中至少有两个数的差是3的倍数。这是为什
么？
【分析 与解】首先我们要弄清这样一条规律：如果两个自然数除以3的余
数相同，那么这两个自然数的差是3的 倍数。而任何一个自然数被3除的余
数，或者是0，或者是1，或者是2，根据这三种情况，可以把自然 数分成3
类，这3种类型就是我们要制造的3个“抽屉”。我们把4个数看作“苹果”，根据
抽 屉原理，必定有一个抽屉里至少有2个数。换句话说，4个自然数分成3类，
至少有
两个是同 一类。既然是同一类，那么这两个数被3除的余数就一定相同。
所以，任意4个自然数，至少有2个自然 数的差是3的倍数。
【例3】有规格尺寸相同的5种颜色的袜子各15只混装在箱内，试问不论
如何取，从箱中至少取出多少只就能保证有3双袜子（袜子无左、右之分）？
【分析与解】试想一下，从箱中取出6只、9只袜子，能配成3双袜子吗？
回答是否定的。 < br>按5种颜色制作5个抽屉，根据抽屉原理1，只要取出6只袜子就总有一只
抽屉里装2只，这2只 就可配成一双。拿走这一双，尚剩4只，如果再补进2
只又成6只，再根据抽屉原理1，又可配成一双拿 走。如果再补进2只，又可取
得第3双。所以，至少要取6＋2＋2=10只袜子，就一定会配成3双。
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思考：1.能用抽屉原理2，直接得到结果吗？
2.把题中的要求改为3双不同色袜子，至少应取出多少只？
3.把题中的要求改为3双同色袜子，又如何？
【例4】一个布袋中有35个同样大小的木球，其中白、黄、红三种
颜色球各有10个，另外 还有3个蓝色球、2个绿色球，试问一次至少取出
多少个球，才能保证取出的球中至少有4个是同一颜色 的球？
【分析与解】从最“不利”的取出情况入手。
最不利的情况是首先取出的5个球中，有3个是蓝色球、2个绿色球。
接下来，把白、黄、红 三色看作三个抽屉，由于这三种颜色球相等均超过4
个，所以，根据抽屉原理2，只要取出的球数多于（ 4-1）×3=9个，即至少应取
出10个球，就可以保证取出的球至少有4个是同一抽屉（同一颜色） 里的球。
故总共至少应取出10＋5=15个球，才能符合要求。
思考：把题中要求改为4个不同色，或者是两两同色，情形又如何？
当我们遇到“判别具有某 种事物的性质有没有，至少有几个”这样的问题
时，想到它——抽屉原理，这是你的一条“决胜”之路。
奥赛专题--还原问题
【例1】某人去银行取款，第一次取了存款的一半多50元，第二次
取了余下的一半多100元。这时他的存折上还剩1250元。他原有存款多少
元？
【分析】从上面那个“重新包装”的事例中，我们应受到启发：要想还原，
就得反过来做（倒推）。由“ 第二次取余下的一半多100元”可知，“余下的一半
少100元”是1250元，从而“余下的一半” 是1250+100=1350（元）
余下的钱（余下一半钱的2倍）是：1350×2=2700（元）
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用同样道理可算出“存款的一半”和“原有存款”。综合算式是：
[ （1250+100）×2+50]×2=5500（元）
还原问题的一般特点是：已知对某个数按照 一定的顺序施行四则运算的结
果，或把一定数量的物品增加或减少的结果，要求最初（运算前或增减变化
前）的数量。解还原问题，通常应当按照与运算或增减变化相反的顺序，进行
相应的逆运算。
【例2】有26块砖，兄弟2人争着去挑，弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥
赶来了。哥哥看弟弟 挑得太多，就拿来一半给自己。弟弟觉得自己能行，又
从哥哥那里拿来一半。哥哥不让，弟弟只好给哥 哥5块，这样哥哥比弟弟
多挑2块。问最初弟弟准备挑多少块？
【分析】我们得先算出最后哥 哥、弟弟各挑多少块。只要解一个“和差问
题”就知道：哥哥挑“（26+2）÷2=14”块，弟弟挑 “26-14=12”块。
提示：解还原问题所作的相应的“逆运算”是指：加法用减法还原，减法用
加法还原，乘法用除法还原，除法用乘法还原，并且原来是加（减）几，还原
时应为减（加）几 ，原来是乘（除）以几，还原时应为除（乘）以几。
对于一些比较复杂的还原问题，要学会列表，借助表格倒推，既能理清数
量关系，又便于验算。
奥赛专题--鸡兔同笼问题
例1鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？
[分析]：如果46只都是兔，一共应有4×46=184只脚，这和已知的128只脚
相比多了184 -128=56只脚.如果用一只鸡来置换一只兔，就要减少4-2=2（只）
脚.那么，46只兔里应 该换进几只鸡才能使56只脚的差数就没有了呢？显然，
56÷2=28，只要用28只鸡去置换28只 兔就行了.所以，鸡的只数就是28，兔的
只数是46-28=18。
解：①鸡有多少只？
（4×6-128）÷（4-2）
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=（184-128）÷2
=56÷2
=28（只）
②免有多少只？
46-28=18（只）
答：鸡有28只，免有18只。
例2鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？
[分析]：这个例 题与前面例题是有区别的，没有给出它们脚数的总和，而是
给出了它们脚数的差.这又如何解答呢？ < br>假设100只全是鸡，那么脚的总数是2×100=200（只）这时兔的脚数为0，
鸡脚比兔脚 多200只，而实际上鸡脚比兔脚多80只.因此，鸡脚与兔脚的差数比
已知多了（200-80）=1 20（只），这是因为把其中的兔换成了鸡.每把一只兔换
成鸡，鸡的脚数将增加2只，兔的脚数减少4 只.那么，鸡脚与兔脚的差数增加
（2+4）=6（只），所以换成鸡的兔子有120÷6=20（只） .有鸡（100-20）=80
（只）。
解：（2×100-80）÷（2+4）=20（只）。
100-20=80（只）。
答：鸡与兔分别有80只和20只。
例3红英小学三年级有3个班共135人，二班比一班多 5人，三班比二班
少7人，三个班各有多少人？
[分析1]我们设想，如果条件中三个班人数同样多，那么，要求每班
有多少人就很容易了.由此得到启示，是否可以通过假设三个班人数同样多
来分析求解。
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结合下图可以想，假设二班、三班人数和一 班人数相同，以一班为标准，
则二班人数要比实际人数少5人.三班人数要比实际人数多7-5=2（人 ）.那么，
请你算一算，假设二班、三班人数和一班人数同样多，三个班总人数应该是多
少？
解法1：
一班：[135-5+（7-5）]÷3=132÷3
=44（人）
二班：44+5=49（人）
三班：49-7=42（人）
答：三年级一班、二班、三班分别有44人、49人和42人。
[分析2]假设一、三班人数 和二班人数同样多，那么，一班人数比实际要多
5人，而三班要比实际人数多7人.这时的总人数又该是 多少？
解法2：（135+ 5+ 7）÷3 = 147÷3 = 49（人）
49-5=44（人），49-7=42（人）
答：三年级一班、二班、三班分别有44人、49人和42人。
例4刘老师带了41名同学去 北海公园划船，共租了10条船.每条大船坐6
人，每条小船坐4人，问大船、小船各租几条？
[分析]我们分步来考虑：
①假设租的10条船都是大船，那么船上应该坐6×10= 60（人）。
②假设后的总人数比实际人数多了60-（41+1）=18（人），多的原因是把小船坐的4人都假设成坐6人。
③一条小船当成大船多出2人，多出的18人是把18÷2=9（条）小船当成
大船。
5 6

解：[6×10-(41+1）÷（6-4）
= 18÷2=9（条）10-9=1（条）
答：有9条小船，1条大船。
例5有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅 膀20对（蜘
蛛8条腿；蜻蜓6条腿，两对翅膀；蝉6条腿，一对翅膀），求蜻蜓有多少
只？
[分析]这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题.观察数字特点，蜻蜓、蝉都
是6条腿，只有蜘 蛛8条腿.因此，可先从腿数入手，求出蜘蛛的只数.我们假设
三种动物都是6条腿，则总腿数为6×1 8=108（条），所差118-108=10（条），
必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的.所以， 应有（118-108）÷（8-6）=5
（只）蜘蛛.这样剩下的18-5=13（只）便是蜻蜓和蝉 的只数.再从翅膀数入手，
假设13只都是蝉，则总翅膀数1×13=13（对），比实际数少20-1 3＝7（对），
这是由于蜻蜓有两对翅膀，而我们只按一对翅膀计算所差，这样蜻
蜓只数可求7÷（2-1）=7（只）.
解：①假设蜘蛛也是6条腿，三种动物共有多少条腿？
6×18=108（条）
②有蜘蛛多少只？
（118-108）÷（8-6）=5（只）
③蜻蜒、蝉共有多少只？
18-5=13（只）
④假设蜻蜒也是一对翅膀，共有多少对翅膀？1×13=13（对）⑤蜻蜒多少
只？
（20-13）÷2-1）= 7（只）
答：蜻蜒有7只.
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