网上qq-语文教师个人工作总结

三角形“四心”+与向量的完美结合

三角形的“四心”与向量的完美结合
三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的向量形式
一． 知识点总结
1）O是
ABC
的重心

OAOBOC0
; 若O是
ABC
的重心，则
S
BOC
S
AOC< br>S
AOB

1
S
ABC
3

故
OAOBOC0
;

uuuruuuruuuruuur< br>1
PG(PAPBPC)

G
为
ABC
的重 心.
3
2）O是
ABC
的垂心

OAOBOBO COCOA
若O是
ABC
(非直角三角形)的垂心，
则
;
S
BOC
：S
AOC
：S
AOB
tanA ：tanB：tanC

222
3）O是
ABC
的外心

|OA||OB||OC|
(或
OAOBOC
)
若O是
ABC
的外心
则
S
BOC
：S
AOC
：S
AOB
sinBOC：sinAOC：sinAOBsi n2A:sin2B:sin2C

4）O是内心
ABC
的充要条件是 < br>OA(
AB
|AB|

AC
AC
)OB(BA
|BA|

BC
|BC|
)OC(
CA
|CA|

CB
|CB|
)0

引进单位向量，使条件 变得更简洁。如果记
AB,BC,CA
的单位向量为
e
1
,e
2
,e
3
，则刚才O是
ABC
内
心的充要条件可以写成
OA(e
1
e
3
)OB(e
1
e
2
)OC(e
2
e
3
)0

O是
ABC
内心的充要条件也可以是
aOAbOBcOC0

若O是
ABC
的内心，则
S
BOC
：S
AO C
：S
AOB
a：b：c

uuuruuuruuuruuu ruuuruuurr
|AB|PC|BC|PA|CA|PB0P
ABC
的内心;
uuur
uuur
AC
AB
uur

u uur
)(

0)
所在直线过
ABC
的内心(是
BAC
的角平分线所在直线)；
向量

(
u
|AB||AC|
二． 范例
(一)．将平面向量与三角形内心结合考查
1 6

三角形“四心”+与向量的完美结合
例1．O是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，
动点P满足
OPOA

(
AB
AB

AC
AC
)
，



0 ,

则P点的
A
e
1
e
2
B
C
轨迹一定通过
ABC
的（ ）
（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心
解析：因为
AB
AB
r
uuuruuur
uuu
是向量
AB
的单位向量设
AB< br>与
AC
方向上
P
的单位向量分别为
e
1
和e
2
， 又
OPOA AP
，则原式可化
为
AP

(e
1
e
2
)
，由菱形的基本性质知AP平分
BAC
，那么在
ABC< br>中，AP平分
BAC
，则知选B.
点评：这道题给人的印象当然是“新颖、 陌生”，首先
AB
AB
是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它
的模不就 是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基
本性 质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。
(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”
例2．
H
是△< br>ABC
所在平面内任一点，
HAHBHBHCHCHA

点
H
是△
ABC
的垂心.
由
HAHBHBHCHB (HCHA)0HBAC0HBAC
,
同理
HCAB
，
HABC
.故
H
是△
ABC
的垂心. （反之亦然（证略））

例3.(湖南)P是△ABC所在平面上一点，若
PAP BPBPCPCPA
，则P是△ABC的（D ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
解析:由
PAPBPBPC得PAPBPBPC0
.
即
PB(PAPC)0,即PBCA0

则
PBCA,同理PABC,PCAB

所以P为
ABC
的垂心. 故选D.
点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量 积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.
将三角形垂心的定义与平面向量有关运 算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合。
(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”
例4．
G
是△< br>ABC
所在平面内一点，
GAGBGC
=0

点
G
是△
ABC
的重心.
证明 作图如右，图中
GBGCGE

连结
BE
和
CE
，则
CE=GB
，
BE=GC

BGCE
为平行四边形< br>
D
是
BC
的中点，
AD
为
BC
边 上的中线.
2 6

三角形“四心”+与向量的完美结合
将
GBGCGE
代入
GAGBGC
=0，
得GAEG
=0

GAGE2GD
，故
G
是△
ABC
的重心.（反之亦然（证略））

1
例5．
P
是△
ABC
所在平面内任一点.
G
是△
ABC
的重 心

PG(PAPBPC)
.
3
证明
PGP AAGPBBGPCCG

3PG(AGBGCG)(PAPBPC)

∵
G
是△
ABC
的重心
∴
GAGB GC
=0

AGBGCG
=0，即
3PGPAPBPC

1
由此可得
PG(PAPBPC)
.（反之亦然（证略））
3
uuuruuuruuurr
例6若
O
为
ABC
内一点，
OAOBOC0
，则
O
是
ABC
的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂
心 D．重心
A
uuuruuuruuurruuuru uuruuur
解析：由
OAOBOC0
得
OBOCOA
，如图以OB、OC为相邻两边构作平行
uuuruuuruuur
uuur
1uuur
四边形，则
OBOCOD
，由平行四边形性质知
OEOD
，
OA2OE
，同理可
2
B
O
E
DC
证其
它两边上的这个性质，所以是重心，选D。
点评：本题需要扎实的平面几 何知识，平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质：重心是三角形中线的
内分点，所分这比为

2
。本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平 分及三
1
角形重心性质等相关知识巧妙结合。
(四)．将平面向量与三角形外心结合考查
uuuruuuruuur
例7若
O
为
ABC
内一点，
OAOBOC
，则
O
是
ABC
的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
解析：由向量模的定义知
O
到
A BC
的三顶点距离相等。故
O
是
ABC
的外心 ，选B。
点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。
(五)将平面向量与三角形四心结合考查
例8．已知向量
OP
1
，
OP
2
，
OP
3
满足条件
OP
1
+
OP
2
+
OP
3
=0，|
OP
1
|=|
OP
2
|=|
OP
3
|=1，
求证 △
P
1
P
2
P
3
是正三角形.（《数学》第一册（ 下），复习参考题五
B
组第6题）
证明 由已知
OP
1
+
OP
2
=-
OP
3
，两边平方得
OP
1
·
OP
2
=

同理
OP
2·
OP
3
=
OP
3
·
OP
1
=

1
，
2
1
，
2
∴|P
1
P
2
|=|
P
2
P
3
| =|
P
3
P
1
|=
3
，从而△
P
1
P
2
P
3
是正三角形.
反之，若点
O
是正三角形△
P
1
P
2
P
3
的中心，则显然有OP
1
+
OP
2
+
OP
3
=0且|< br>OP
1
|=|
OP
2
|=|
OP
3
|.
即
O
是△
ABC
所在平面内一点，
OP
1
+
OP
2
+
OP
3
=0且|
OP
1
|=|
OP
2
|=|
OP
3
|

点
O
是正△
P
1
P
2
P
3
的中 心.
3 6

三角形“四心”+与向量的完美结合
例9．在△A BC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H三点共线，且QG:GH=1:2 。
【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B （x
1
,0）、C(x
2
,y
2
)，
D、E、F分 别为AB、BC、AC的中点，则有：
x
1
xx
2
y
2
xy
,0)、E(
1
,)、F(
2
,
2
)

22222
x
由题设可设
Q（
1
,y
3
)、H(x
2
,y
4
)
,
2
xx
2
y
2
G(
1
,)
< br>33
uuuuruuur
xxy
AH(x
2
,y
4
)，QF(
2

1
,
2
y
3
)

222
uuur
BC(x
2
x
1
,y
2
)

uuuuruuur
Q
AHBC
u uuuruuur
AH•BCx
2
(x
2
x
1
)y
2
y
4
0

D（
y
C(x
2
,y
2
)
F
G
Q
A
D
H
E
x
B(x
1
,0)
x
2
(x
2
x
1
)
y
2
uuuruuuur
Q
QFAC
uuuruuuur
xxy
Q F•ACx
2
(
2

1
)y
2
(2
y
3
)0

222
x(xx
1
)y
2
y
3

22

2y
2
2
y
4

uuuur
x2xx
1
3x
2
(x
2
x
1
)y
2
QH(x
2

1
,y
4
y
3
)（
2
, )

222y
2
2
uuur
xx
1
x
1
y
2
2xx
1
y
2
x
2(x
2
x
1
)y
2
QG(
2
 ,y
3
)（
2
,)
323632y
2
2< br>2x
2
x
1
3x
2
(x
2
x< br>1
)y
2
1
2xx
1
3x
2
(x
2
x
1
)y
2
,)(
2
,)

66y
2
6322y
2
2
ur
1
uuu
=QH
3
uuuuruuur
即
QH=3 QG
，故
Q、G、H
三点共线，且
QG：GH
=1：2
(
【注】：本例如果用平面几何知识、向量的代数运算和几何运算处理，都相当麻烦，而借用向量的坐 标形
式，将向量的运算完全化为代数运算，这样就将“形”和“数”紧密地结合在一起，从而，很多对称 、共线、
共点、垂直等问题的证明，都可转化为熟练的代数运算的论证。
例10．若
O、H
分别是△
ABC
的外心和垂心.
求证
OHOAOBOC
.
证明 若△
ABC
的垂心为
H
，外心为
O
，如图.
连< br>BO
并延长交外接圆于
D
，连结
AD
，
CD
.
∴
ADAB
，
CDBC
.又垂心为
H
，< br>AHBC
，
CHAB
，
∴
AH
∥
CD
，
CH
∥
AD
，
4 6

三角形“四心”+与向量的完美结合
∴四边形
AHCD
为平行四边形，
∴
AHDCDOOC，故
OHOAAHOAOBOC
.
著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系：
（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；
（2）三角形的重心在“欧拉线 ”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到
外心距离的2倍。
“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.

例11． 设
O
、
G
、
H
分别是锐角△
ABC
的外心 、重心、垂心.
1
求证
OGOH

3
1
证明 按重心定理
G
是△
ABC
的重心

OG(OAOBOC)

3
按垂心定理
OHOAOBOC

1
由此可得
OGOH
.
3
补充练习
1．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足
11
1
OP
= (
OA
+
OB
+2
OC
),则点P一定为三角形ABC的 （ B ）
32
2
边中线的中点 边中线的三等分点（非重心）
C.重心 边的中点
1. B取AB边的中点M，则
OAOB2OM
，由
OP=
11
OA
(
32
+
1
OB
+2< br>OC
)可得
2
3
OP3OM2MC
，∴
MP< br>2
MC
，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不
3
ruuuuuuruuuuuruuuuuur
uuuuuuuuuuur
uuuuuur
2222
22
2．在同一个平面上有
ABC
及一点Ｏ满足关 系式：
O
A
＋
BC
＝
OB
＋
CA
＝
OC
＋
AB
，则
Ｏ为
ABC
的 （ D ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
过重心，故选B.
uuuruuuruuur
2．已知△ABC的三个顶点A、B、 C及平面内一点P满足：
PAPBPC0
，则P为
ABC
的
（ C ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
3．已知O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：
OPOA

(ABAC)
，则P的轨迹一定通过△ABC的 （ C ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
5 6

三角形“四心”+与向量的完美结合
4．已知△ABC，P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：
uuuruuuruuu ruuuruuuruuur
PA•PCPA•PBPB•PC0
，则P点为三角形的 （ D ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
uuuruuuruuur
5．已知△ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：
aPAbPBc•PC0
，则P点为三角形的
（ B ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
22
6． 在三角形ABC中，动点P满足：
CACB2AB•CP
，则P点轨迹一定通过△ABC的 ：
（ B ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
→→→→
1ABACABAC
→→→
7.已知非零向量AB与AC满足( + )·BC=0且 · = , 则△ABC为( )
→→→→
|AB||AC||AB||AC|
2
A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形
uuuruuur
A BAC
r

uuur
)·
解析：非零向量与满足(
uuu< br>=0，即角A的平分线垂直于BC，∴ AB=AC，又
cosA
|AB||AC|< br>∠A=
uuuruuur
ABAC
1
uuur

uu ur
=
，
|AB||AC|
2

，所以△ABC为等边三角形，选D．
3
8.
ABC
的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，
OHm(O AOBOC)
，则实数m = 1
9.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足< br>OAOBOBOCOCOA
，则点O是
ABC
的（B ）
（A）三个内角的角平分线的交点
（C）三条中线的交点


（B）三条边的垂直平分线的交点
（D）三条高的交点
10. 如图1，已知点G是
ABC
的重心，过G作直
uuuuvuuuv
线与A B，AC两边分别交于M，N两点，且
AMxAB
，
uuuvuuuv
11
ANyAC
，则
3
。
xy
M
A
G
G
B
图1
N
C
uuuvuuuvuuuv
证 点G是
ABC
的重心，知
GAGBGC
O，
得
 AG(ABAG)(ACAG)
O，有
AG
又M，N，G三点共线（A不 在直线MN上），
于是存在

,

，使得
AG
AM

AN(且



1)
，
uuuvuuuvuuuvuuuvuuuv
uuuv
1
uuuvuuuv< br>(ABAC)
。
3
uuuvuuuuvuuuv
uuuvuuuv uuuv
1
uuuvuuuv
有
AG

xAB
yAC
=
(ABAC)
，
3




1
11

3
得

，于是得
1
xy

x

y

3
6 6

三角形“四心”+与向量的完美结合

三角形的“四心”与向量的完美结合
三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件的向量形式
一． 知识点总结
1）O是
ABC
的重心

OAOBOC0
; 若O是
ABC
的重心，则
S
BOC
S
AOC< br>S
AOB

1
S
ABC
3

故
OAOBOC0
;

uuuruuuruuuruuur< br>1
PG(PAPBPC)

G
为
ABC
的重 心.
3
2）O是
ABC
的垂心

OAOBOBO COCOA
若O是
ABC
(非直角三角形)的垂心，
则
;
S
BOC
：S
AOC
：S
AOB
tanA ：tanB：tanC

222
3）O是
ABC
的外心

|OA||OB||OC|
(或
OAOBOC
)
若O是
ABC
的外心
则
S
BOC
：S
AOC
：S
AOB
sinBOC：sinAOC：sinAOBsi n2A:sin2B:sin2C

4）O是内心
ABC
的充要条件是 < br>OA(
AB
|AB|

AC
AC
)OB(BA
|BA|

BC
|BC|
)OC(
CA
|CA|

CB
|CB|
)0

引进单位向量，使条件 变得更简洁。如果记
AB,BC,CA
的单位向量为
e
1
,e
2
,e
3
，则刚才O是
ABC
内
心的充要条件可以写成
OA(e
1
e
3
)OB(e
1
e
2
)OC(e
2
e
3
)0

O是
ABC
内心的充要条件也可以是
aOAbOBcOC0

若O是
ABC
的内心，则
S
BOC
：S
AO C
：S
AOB
a：b：c

uuuruuuruuuruuu ruuuruuurr
|AB|PC|BC|PA|CA|PB0P
ABC
的内心;
uuur
uuur
AC
AB
uur

u uur
)(

0)
所在直线过
ABC
的内心(是
BAC
的角平分线所在直线)；
向量

(
u
|AB||AC|
二． 范例
(一)．将平面向量与三角形内心结合考查
1 6

三角形“四心”+与向量的完美结合
例1．O是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，
动点P满足
OPOA

(
AB
AB

AC
AC
)
，



0 ,

则P点的
A
e
1
e
2
B
C
轨迹一定通过
ABC
的（ ）
（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心
解析：因为
AB
AB
r
uuuruuur
uuu
是向量
AB
的单位向量设
AB< br>与
AC
方向上
P
的单位向量分别为
e
1
和e
2
， 又
OPOA AP
，则原式可化
为
AP

(e
1
e
2
)
，由菱形的基本性质知AP平分
BAC
，那么在
ABC< br>中，AP平分
BAC
，则知选B.
点评：这道题给人的印象当然是“新颖、 陌生”，首先
AB
AB
是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它
的模不就 是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基
本性 质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。
(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”
例2．
H
是△< br>ABC
所在平面内任一点，
HAHBHBHCHCHA

点
H
是△
ABC
的垂心.
由
HAHBHBHCHB (HCHA)0HBAC0HBAC
,
同理
HCAB
，
HABC
.故
H
是△
ABC
的垂心. （反之亦然（证略））

例3.(湖南)P是△ABC所在平面上一点，若
PAP BPBPCPCPA
，则P是△ABC的（D ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
解析:由
PAPBPBPC得PAPBPBPC0
.
即
PB(PAPC)0,即PBCA0

则
PBCA,同理PABC,PCAB

所以P为
ABC
的垂心. 故选D.
点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量 积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.
将三角形垂心的定义与平面向量有关运 算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合。
(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”
例4．
G
是△< br>ABC
所在平面内一点，
GAGBGC
=0

点
G
是△
ABC
的重心.
证明 作图如右，图中
GBGCGE

连结
BE
和
CE
，则
CE=GB
，
BE=GC

BGCE
为平行四边形< br>
D
是
BC
的中点，
AD
为
BC
边 上的中线.
2 6

三角形“四心”+与向量的完美结合
将
GBGCGE
代入
GAGBGC
=0，
得GAEG
=0

GAGE2GD
，故
G
是△
ABC
的重心.（反之亦然（证略））

1
例5．
P
是△
ABC
所在平面内任一点.
G
是△
ABC
的重 心

PG(PAPBPC)
.
3
证明
PGP AAGPBBGPCCG

3PG(AGBGCG)(PAPBPC)

∵
G
是△
ABC
的重心
∴
GAGB GC
=0

AGBGCG
=0，即
3PGPAPBPC

1
由此可得
PG(PAPBPC)
.（反之亦然（证略））
3
uuuruuuruuurr
例6若
O
为
ABC
内一点，
OAOBOC0
，则
O
是
ABC
的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂
心 D．重心
A
uuuruuuruuurruuuru uuruuur
解析：由
OAOBOC0
得
OBOCOA
，如图以OB、OC为相邻两边构作平行
uuuruuuruuur
uuur
1uuur
四边形，则
OBOCOD
，由平行四边形性质知
OEOD
，
OA2OE
，同理可
2
B
O
E
DC
证其
它两边上的这个性质，所以是重心，选D。
点评：本题需要扎实的平面几 何知识，平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质：重心是三角形中线的
内分点，所分这比为

2
。本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平 分及三
1
角形重心性质等相关知识巧妙结合。
(四)．将平面向量与三角形外心结合考查
uuuruuuruuur
例7若
O
为
ABC
内一点，
OAOBOC
，则
O
是
ABC
的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
解析：由向量模的定义知
O
到
A BC
的三顶点距离相等。故
O
是
ABC
的外心 ，选B。
点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。
(五)将平面向量与三角形四心结合考查
例8．已知向量
OP
1
，
OP
2
，
OP
3
满足条件
OP
1
+
OP
2
+
OP
3
=0，|
OP
1
|=|
OP
2
|=|
OP
3
|=1，
求证 △
P
1
P
2
P
3
是正三角形.（《数学》第一册（ 下），复习参考题五
B
组第6题）
证明 由已知
OP
1
+
OP
2
=-
OP
3
，两边平方得
OP
1
·
OP
2
=

同理
OP
2·
OP
3
=
OP
3
·
OP
1
=

1
，
2
1
，
2
∴|P
1
P
2
|=|
P
2
P
3
| =|
P
3
P
1
|=
3
，从而△
P
1
P
2
P
3
是正三角形.
反之，若点
O
是正三角形△
P
1
P
2
P
3
的中心，则显然有OP
1
+
OP
2
+
OP
3
=0且|< br>OP
1
|=|
OP
2
|=|
OP
3
|.
即
O
是△
ABC
所在平面内一点，
OP
1
+
OP
2
+
OP
3
=0且|
OP
1
|=|
OP
2
|=|
OP
3
|

点
O
是正△
P
1
P
2
P
3
的中 心.
3 6

三角形“四心”+与向量的完美结合
例9．在△A BC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H三点共线，且QG:GH=1:2 。
【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B （x
1
,0）、C(x
2
,y
2
)，
D、E、F分 别为AB、BC、AC的中点，则有：
x
1
xx
2
y
2
xy
,0)、E(
1
,)、F(
2
,
2
)

22222
x
由题设可设
Q（
1
,y
3
)、H(x
2
,y
4
)
,
2
xx
2
y
2
G(
1
,)
< br>33
uuuuruuur
xxy
AH(x
2
,y
4
)，QF(
2

1
,
2
y
3
)

222
uuur
BC(x
2
x
1
,y
2
)

uuuuruuur
Q
AHBC
u uuuruuur
AH•BCx
2
(x
2
x
1
)y
2
y
4
0

D（
y
C(x
2
,y
2
)
F
G
Q
A
D
H
E
x
B(x
1
,0)
x
2
(x
2
x
1
)
y
2
uuuruuuur
Q
QFAC
uuuruuuur
xxy
Q F•ACx
2
(
2

1
)y
2
(2
y
3
)0

222
x(xx
1
)y
2
y
3

22

2y
2
2
y
4

uuuur
x2xx
1
3x
2
(x
2
x
1
)y
2
QH(x
2

1
,y
4
y
3
)（
2
, )

222y
2
2
uuur
xx
1
x
1
y
2
2xx
1
y
2
x
2(x
2
x
1
)y
2
QG(
2
 ,y
3
)（
2
,)
323632y
2
2< br>2x
2
x
1
3x
2
(x
2
x< br>1
)y
2
1
2xx
1
3x
2
(x
2
x
1
)y
2
,)(
2
,)

66y
2
6322y
2
2
ur
1
uuu
=QH
3
uuuuruuur
即
QH=3 QG
，故
Q、G、H
三点共线，且
QG：GH
=1：2
(
【注】：本例如果用平面几何知识、向量的代数运算和几何运算处理，都相当麻烦，而借用向量的坐 标形
式，将向量的运算完全化为代数运算，这样就将“形”和“数”紧密地结合在一起，从而，很多对称 、共线、
共点、垂直等问题的证明，都可转化为熟练的代数运算的论证。
例10．若
O、H
分别是△
ABC
的外心和垂心.
求证
OHOAOBOC
.
证明 若△
ABC
的垂心为
H
，外心为
O
，如图.
连< br>BO
并延长交外接圆于
D
，连结
AD
，
CD
.
∴
ADAB
，
CDBC
.又垂心为
H
，< br>AHBC
，
CHAB
，
∴
AH
∥
CD
，
CH
∥
AD
，
4 6

三角形“四心”+与向量的完美结合
∴四边形
AHCD
为平行四边形，
∴
AHDCDOOC，故
OHOAAHOAOBOC
.
著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系：
（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；
（2）三角形的重心在“欧拉线 ”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到
外心距离的2倍。
“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.

例11． 设
O
、
G
、
H
分别是锐角△
ABC
的外心 、重心、垂心.
1
求证
OGOH

3
1
证明 按重心定理
G
是△
ABC
的重心

OG(OAOBOC)

3
按垂心定理
OHOAOBOC

1
由此可得
OGOH
.
3
补充练习
1．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足
11
1
OP
= (
OA
+
OB
+2
OC
),则点P一定为三角形ABC的 （ B ）
32
2
边中线的中点 边中线的三等分点（非重心）
C.重心 边的中点
1. B取AB边的中点M，则
OAOB2OM
，由
OP=
11
OA
(
32
+
1
OB
+2< br>OC
)可得
2
3
OP3OM2MC
，∴
MP< br>2
MC
，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不
3
ruuuuuuruuuuuruuuuuur
uuuuuuuuuuur
uuuuuur
2222
22
2．在同一个平面上有
ABC
及一点Ｏ满足关 系式：
O
A
＋
BC
＝
OB
＋
CA
＝
OC
＋
AB
，则
Ｏ为
ABC
的 （ D ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
过重心，故选B.
uuuruuuruuur
2．已知△ABC的三个顶点A、B、 C及平面内一点P满足：
PAPBPC0
，则P为
ABC
的
（ C ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
3．已知O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：
OPOA

(ABAC)
，则P的轨迹一定通过△ABC的 （ C ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
5 6

三角形“四心”+与向量的完美结合
4．已知△ABC，P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：
uuuruuuruuu ruuuruuuruuur
PA•PCPA•PBPB•PC0
，则P点为三角形的 （ D ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
uuuruuuruuur
5．已知△ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：
aPAbPBc•PC0
，则P点为三角形的
（ B ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
22
6． 在三角形ABC中，动点P满足：
CACB2AB•CP
，则P点轨迹一定通过△ABC的 ：
（ B ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
→→→→
1ABACABAC
→→→
7.已知非零向量AB与AC满足( + )·BC=0且 · = , 则△ABC为( )
→→→→
|AB||AC||AB||AC|
2
A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形
uuuruuur
A BAC
r

uuur
)·
解析：非零向量与满足(
uuu< br>=0，即角A的平分线垂直于BC，∴ AB=AC，又
cosA
|AB||AC|< br>∠A=
uuuruuur
ABAC
1
uuur

uu ur
=
，
|AB||AC|
2

，所以△ABC为等边三角形，选D．
3
8.
ABC
的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，
OHm(O AOBOC)
，则实数m = 1
9.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足< br>OAOBOBOCOCOA
，则点O是
ABC
的（B ）
（A）三个内角的角平分线的交点
（C）三条中线的交点


（B）三条边的垂直平分线的交点
（D）三条高的交点
10. 如图1，已知点G是
ABC
的重心，过G作直
uuuuvuuuv
线与A B，AC两边分别交于M，N两点，且
AMxAB
，
uuuvuuuv
11
ANyAC
，则
3
。
xy
M
A
G
G
B
图1
N
C
uuuvuuuvuuuv
证 点G是
ABC
的重心，知
GAGBGC
O，
得
 AG(ABAG)(ACAG)
O，有
AG
又M，N，G三点共线（A不 在直线MN上），
于是存在

,

，使得
AG
AM

AN(且



1)
，
uuuvuuuvuuuvuuuvuuuv
uuuv
1
uuuvuuuv< br>(ABAC)
。
3
uuuvuuuuvuuuv
uuuvuuuv uuuv
1
uuuvuuuv
有
AG

xAB
yAC
=
(ABAC)
，
3




1
11

3
得

，于是得
1
xy

x

y

3
6 6