爱不离-生活处处有语文

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇
一、四心的概念介绍
（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；
（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；
（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四心与向量的结合
（1）
OAOBOC0
O
是
ABC
的重心. < br>证法1：设
O(x,y),A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),C(x
3
,y
3
)
x
1
x
2
x
3

x


(x
1
x)(x
2
x)(x
3
x) 0

3



OAOBOC0

yyy
(yy)(yy)(yy)0
23
23

1

y
1

3


O
是
ABC
的重心.
证法2：如图
A

OAOBOC

OA2OD0


AO2OD


A、O、D
三点共线，且
O
分
AD

为2：1

O
是
ABC
的重心

B
O
E
DC
（2）
OAOBOBOCOCOA
O
为
ABC
的垂心.
证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足.
OAOBOBOCOB(OAOC)OBCA0

OBAC

同理
OABC
，
OCAB

A
E
O

O
为
ABC
的垂心
BDC


（3）设
a
,
b
,
c
是三角形的三条边长，O是

ABC的内心
aOAbOBcOC0O
为
ABC
的内心.
ABAC
、
分别为
AB、AC
方向上的单位向量，
cb
ABAC
平分
BAC
,


cb
bc
ABAC
)，令




AO< br>
(
abc
cb
证明：


AO
bc
ABAC
（)

abc
cb
化简得
(abc)OAbABcAC0


（4）
OAOBOC
O
为
ABC
的外心。

典型例题：
例1：
O
是平面上一定点，
A、B、C是平面上不共线的三个点，动点
P
满足

aOAbOBcOC0< br>
OPOA

(ABAC)
，



0,

，则点
P
的轨迹一定通过
ABC
的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
分析：如图所示
ABC< br>，
D、E
分别为边
BC、AC
的
中点.
A
ABAC2AD

E

OPOA2

AD

OPOAAP

AP2

AD

AP

AD

BDC

点
P
的轨 迹一定通过
ABC
的重心，即选
C
.

例2：（03全 国理4）
O
是平面上一定点，
A、B、C
是平面上不共线的三个点，动点P
满足
OPOA

(
AB
AB

AC
AC
则点
P
的轨迹一定通过
ABC
的（ B ）
)
，



0,

，
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 分析：

ABAC
分别为
AB
、
、AC
方向上 的单位向量，
ABAC
AC
AC
平分
BAC
,

AB
AB


点
P
的轨迹一定通过
 ABC
的内心，即选
B
.

例3：
O
是平面上一 定点，
A、B、C
是平面上不共线的三个点，动点
P
满足
OPOA 

(
AB
ABcosB

AC
ACcosC)
，



0,

，则点
P
的轨迹一定通过
ABC
的

（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

分析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC， D、E是垂足.
A(
AB
ABcosB
ABBC
ABcosB

AC< br>ACcosC
ACBC
)
BC

E
=


B
D
C
ACcosC
A CBCcosC
ACcosC

ABBCcosB
=
ABcosB

=
BC
+
BC
=0

点
P
的轨迹一定通过
ABC
的垂心，即选
D
.

练习：
1．已知
ABC
三个顶点
A、B、C
及平面内一 点
P
，满足
PAPBPC0
，若实
数

满足 ：
ABAC

AP
，则

的值为（ ）
A．2 B．
3
C．3 D．6
2
2．若
ABC
的外接圆的圆心为O，半径为1，
OAOBO C0
，则
OAOB
( )
A．
11
B．0 C．1 D．


2
2
3 ．点
O
在
ABC
内部且满足
OA2OB2OC0
， 则
ABC
面积与凹四边形
ABOC
面积之比是（ ）
A．0 B．
354
C． D． < br>243
4．
ABC
的外接圆的圆心为O，若
OHOAOBOC
，则
H
是
ABC
的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
5．
O
是 平面上一定点，
A、B、C
是平面上不共线的三个点，若
OABCOB

222
CAOCAB
，则
O
是
ABC
的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
222
ABC
的外接圆的圆心为O，6．两条边上的高的交点为H，
OHm(OAOBOC)
，

则实数m = < br>→→→→
1ABACABAC
→→→
7．（06陕西）已知非零向量AB与AC 满足( + )·BC=0且 · = , 则
2
→→→→
|AB||AC||AB||AC|
△ABC为( )
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
8．已知
ABC
三个顶点
A、B、C
，若
ABABACABCBBCCA
，则
2
ABC
为（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．既非等腰又非直角三角形
练习答案：C、D、C、D、D、1、D、C

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇
一、四心的概念介绍
（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；
（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；
（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四心与向量的结合
（1）
OAOBOC0
O
是
ABC
的重心. < br>证法1：设
O(x,y),A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),C(x
3
,y
3
)
x
1
x
2
x
3

x


(x
1
x)(x
2
x)(x
3
x) 0

3



OAOBOC0

yyy
(yy)(yy)(yy)0
23
23

1

y
1

3


O
是
ABC
的重心.
证法2：如图
A

OAOBOC

OA2OD0


AO2OD


A、O、D
三点共线，且
O
分
AD

为2：1

O
是
ABC
的重心

B
O
E
DC
（2）
OAOBOBOCOCOA
O
为
ABC
的垂心.
证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足.
OAOBOBOCOB(OAOC)OBCA0

OBAC

同理
OABC
，
OCAB

A
E
O

O
为
ABC
的垂心
BDC


（3）设
a
,
b
,
c
是三角形的三条边长，O是

ABC的内心
aOAbOBcOC0O
为
ABC
的内心.
ABAC
、
分别为
AB、AC
方向上的单位向量，
cb
ABAC
平分
BAC
,


cb
bc
ABAC
)，令




AO< br>
(
abc
cb
证明：


AO
bc
ABAC
（)

abc
cb
化简得
(abc)OAbABcAC0


（4）
OAOBOC
O
为
ABC
的外心。

典型例题：
例1：
O
是平面上一定点，
A、B、C是平面上不共线的三个点，动点
P
满足

aOAbOBcOC0< br>
OPOA

(ABAC)
，



0,

，则点
P
的轨迹一定通过
ABC
的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
分析：如图所示
ABC< br>，
D、E
分别为边
BC、AC
的
中点.
A
ABAC2AD

E

OPOA2

AD

OPOAAP

AP2

AD

AP

AD

BDC

点
P
的轨 迹一定通过
ABC
的重心，即选
C
.

例2：（03全 国理4）
O
是平面上一定点，
A、B、C
是平面上不共线的三个点，动点P
满足
OPOA

(
AB
AB

AC
AC
则点
P
的轨迹一定通过
ABC
的（ B ）
)
，



0,

，
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 分析：

ABAC
分别为
AB
、
、AC
方向上 的单位向量，
ABAC
AC
AC
平分
BAC
,

AB
AB


点
P
的轨迹一定通过
 ABC
的内心，即选
B
.

例3：
O
是平面上一 定点，
A、B、C
是平面上不共线的三个点，动点
P
满足
OPOA 

(
AB
ABcosB

AC
ACcosC)
，



0,

，则点
P
的轨迹一定通过
ABC
的

（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

分析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC， D、E是垂足.
A(
AB
ABcosB
ABBC
ABcosB

AC< br>ACcosC
ACBC
)
BC

E
=


B
D
C
ACcosC
A CBCcosC
ACcosC

ABBCcosB
=
ABcosB

=
BC
+
BC
=0

点
P
的轨迹一定通过
ABC
的垂心，即选
D
.

练习：
1．已知
ABC
三个顶点
A、B、C
及平面内一 点
P
，满足
PAPBPC0
，若实
数

满足 ：
ABAC

AP
，则

的值为（ ）
A．2 B．
3
C．3 D．6
2
2．若
ABC
的外接圆的圆心为O，半径为1，
OAOBO C0
，则
OAOB
( )
A．
11
B．0 C．1 D．


2
2
3 ．点
O
在
ABC
内部且满足
OA2OB2OC0
， 则
ABC
面积与凹四边形
ABOC
面积之比是（ ）
A．0 B．
354
C． D． < br>243
4．
ABC
的外接圆的圆心为O，若
OHOAOBOC
，则
H
是
ABC
的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
5．
O
是 平面上一定点，
A、B、C
是平面上不共线的三个点，若
OABCOB

222
CAOCAB
，则
O
是
ABC
的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
222
ABC
的外接圆的圆心为O，6．两条边上的高的交点为H，
OHm(OAOBOC)
，

则实数m = < br>→→→→
1ABACABAC
→→→
7．（06陕西）已知非零向量AB与AC 满足( + )·BC=0且 · = , 则
2
→→→→
|AB||AC||AB||AC|
△ABC为( )
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
8．已知
ABC
三个顶点
A、B、C
，若
ABABACABCBBCCA
，则
2
ABC
为（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．既非等腰又非直角三角形
练习答案：C、D、C、D、D、1、D、C