三角形几个心的定理
文学社活动计划-高一化学总结
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一、三角形重心定理
二、三角形外心定理
三、三角形垂心定理
四、三角形内心定理
五、三角形旁心定理
有关三角形五心的诗歌
三角形五心定理
三角形的重心，外心，垂心，内心和
旁心称之为三角形的五心。三角形五心定理是指三
角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心
定理的总称。
一、三角形重心定理
三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的
重心。三中线交于一点可用燕尾定
理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀
的三角形薄片，其重
心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名） 重心的性质：
1、重心到顶点
的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。 2、重心和三角形任意两个顶点组
成的3
个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3
个顶点距离的平方和最小。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标
的算术
平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)3，（Y1+Y2+Y3)3。
二、三角形外心定理
三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。 外心的性质：
1、三角形的三条
边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。 2、若O是△ABC的外心
，则
∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。 3
、当三角形
为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三<
br>角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。 4、计算外心的坐标应先
计算下
列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，
c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。外心坐标：(
(c2+c3)2c，(c1+c3)2c，
(c1+c2)2c )。
5、外心到三顶点的距离相等
三、三角形垂心定理
三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。 垂心的性质：
1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。 2、三角形外心O、
重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））
3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、垂心分每
条高线的两部分乘积相等。 定理证明
已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、
BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F
，求证：CF⊥AB 证明： 连接DE
∵∠ADB=∠AEB=90度
∴A、B、D、E四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE ∵∠EAO=∠DAC
∠AEO=∠ADC
∴ΔAEO∽ΔADC ∴AEAO=ADAC ∴ΔEAD∽ΔOAC
∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90度
∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB
因此，垂心定理成立！
四、三角形内心定理
三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。 内心的性质：
1、三角形的三条
内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。
2、直角三角形的内心到边的距离等
于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。 3、P为ΔABC
所在平面上任意一点，点0
是ΔABC内心的充要条件是：向量P0=(a×向量PA+b×向量PB+
c×向量PC)(a+b+c). 4、
O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，
延长AO交BC边于N，则有
AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC
5、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC
内心的充要条件是：
a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0． 6、、(欧拉定
理)⊿ABC中，
R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则
OI^2=R^2-2Rr．
7、（内角平分线分三边长度关系） △ABC中，0为内心，∠A 、
∠B、
∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R， 则BQQC=cb, CPPA=ac,
BRRA=ab.
五、三角形旁心定理
三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形
的旁心。
旁心的性质：
1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交
于一点，该点即为三角形的旁心。
2、每个三角形都有三个旁心。 3、旁心到三
边的距离相等。 如图，点M就是△ABC的一
个旁心。三角形任意两角的外角平分线和
第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一
定在三角形外。
附：
三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。
有关三角形五心的诗歌
三角形五心歌（重外垂内旁）
三角形有五颗心，重外垂内和旁心， 五心性质很重
要，认真掌握莫记混． 重 心
三条中线定相交，交点位置真奇巧， 交点命名为“重
心”，重心性质要明了，
重心分割中线段，数段之比听分晓； 长短之比二比一，灵活
运用掌握好． 外 心
三角形有六元素，三个内角有三边． 作三边的中垂线，三线
相交共一点．
此点定义为外心，用它可作外接圆． 内心外心莫记混，内切外接是关
键． 垂 心
三角形上作三高，三高必于垂心交． 高线分割三角形，出现直角三对
整，
直角三角形有十二，构成六对相似形， 四点共圆图中有，细心分析可找清. 内
心
三角对应三顶点，角角都有平分线， 三线相交定共点，叫做“内心”有根源；
点
至三边均等距，可作三角形内切圆， 此圆圆心称“内心”，如此定义理当然．
五心性质
别记混，做起题来真是好
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一、三角形重心定理
二、三角形外心定理
三、三角形垂心定理
四、三角形内心定理
五、三角形旁心定理
有关三角形五心的诗歌
三角形五心定理
三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。三角形五心定理是
指三
角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、三角形重心定理
三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定
理证
明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重
心恰为此三角形三
条中线的交点，重心因而得名） 重心的性质：
1、重心到顶点
的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。 2、重心和三角形任意两个顶点组
成的3
个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3
个顶点距离的平方和最小。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标
的算术
平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)3，（Y1+Y2+Y3)3。
二、三角形外心定理
三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。 外心的性质：
1、三角形的三条
边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。 2、若O是△ABC的外心
，则
∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。 3
、当三角形
为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三<
br>角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。 4、计算外心的坐标应先
计算下
列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，
c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。外心坐标：(
(c2+c3)2c，(c1+c3)2c，
(c1+c2)2c )。
5、外心到三顶点的距离相等
三、三角形垂心定理
三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。 垂心的性质：
1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。 2、三角形外心O、
重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））
3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、垂心分每
条高线的两部分乘积相等。 定理证明
已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、
BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F
，求证：CF⊥AB 证明： 连接DE
∵∠ADB=∠AEB=90度
∴A、B、D、E四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE ∵∠EAO=∠DAC
∠AEO=∠ADC
∴ΔAEO∽ΔADC ∴AEAO=ADAC ∴ΔEAD∽ΔOAC
∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90度
∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB
因此，垂心定理成立！
四、三角形内心定理
三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。 内心的性质：
1、三角形的三条
内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。
2、直角三角形的内心到边的距离等
于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。 3、P为ΔABC
所在平面上任意一点，点0
是ΔABC内心的充要条件是：向量P0=(a×向量PA+b×向量PB+
c×向量PC)(a+b+c). 4、
O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，
延长AO交BC边于N，则有
AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC
5、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC
内心的充要条件是：
a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0． 6、、(欧拉定
理)⊿ABC中，
R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则
OI^2=R^2-2Rr．
7、（内角平分线分三边长度关系） △ABC中，0为内心，∠A 、
∠B、
∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R， 则BQQC=cb, CPPA=ac,
BRRA=ab.
五、三角形旁心定理
三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形
的旁心。
旁心的性质：
1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交
于一点，该点即为三角形的旁心。
2、每个三角形都有三个旁心。 3、旁心到三
边的距离相等。 如图，点M就是△ABC的一
个旁心。三角形任意两角的外角平分线和
第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一
定在三角形外。
附：
三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。
有关三角形五心的诗歌
三角形五心歌（重外垂内旁）
三角形有五颗心，重外垂内和旁心， 五心性质很重
要，认真掌握莫记混． 重 心
三条中线定相交，交点位置真奇巧， 交点命名为“重
心”，重心性质要明了，
重心分割中线段，数段之比听分晓； 长短之比二比一，灵活
运用掌握好． 外 心
三角形有六元素，三个内角有三边． 作三边的中垂线，三线
相交共一点．
此点定义为外心，用它可作外接圆． 内心外心莫记混，内切外接是关
键． 垂 心
三角形上作三高，三高必于垂心交． 高线分割三角形，出现直角三对
整，
直角三角形有十二，构成六对相似形， 四点共圆图中有，细心分析可找清. 内
心
三角对应三顶点，角角都有平分线， 三线相交定共点，叫做“内心”有根源；
点
至三边均等距，可作三角形内切圆， 此圆圆心称“内心”，如此定义理当然．
五心性质
别记混，做起题来真是好