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第六讲取整问题
第一格：阿呆一手拿着剪刀，一手挠着头看着地上的绳子，心想:
“我要把绳子截成一米长
的小段，应该怎么截呢？”地上有一根绳子，标明这根绳子长五米.
第二格：阿呆蹲在地上，拿着剪刀的手已经剪在了这根绳子的中点处.
第三格：阿呆疑惑的想：“现在还能截出多少个一米长的小段？”
教学目标
1.
了解取整符号的概念和性质；
2.
了解带有取整符号类的数列的变化区间;
3.
学会求取整数列的值；
4.
学会求解关于取整符号的方程；
知识点概述
X
拆成
X X
，然后利用
X
是整数以
X
的方程，通常都要先把
X
表示不大于
X
的最大整数，通常叫做
X
的整数部分,
—.
基本概念：
x XX
，通常叫做
x
的小数部分或真分数部分;


1.
有关
X
、
X
、

女口
3.14 3
,
3.14 0.14
.
基本性质：
1.
X 1 X X
,
X X X 1
,
0
x y 2 x y x y
X 1
；
2.
0 x 1
,
0 x
3.
若
x y n
是整数，则
x y
关取
及
X
有范围的特点求解.
X
、
y 2（x
、
y
均为整数是等号才成立
）
n
若
x
、
y
均为整数
7

n 1
若
x
、
y
均不是整数
符号的方程 于整
2.
一些复杂的
x
、
5x
中

X
的方程，有时候用换元的方法来化简求值，例如方程:
5x
2
,
然后令
5x
y
,
即有
5x 2 y
2
(其
2
3x
3
,因 为
5
x 2
于 是 方程

x
过

),
5

变 为

y 2
3y
5

3
,把

y
拆开 ,有

5 y
10
3y
15
3 y 3 y
15
,所

以
2
y 3

y
15
,
容易算出


此时
y y

y
8
1
8
1

，所以
X y 5
3 3 5 3

例 1.
(
1
)
3.1 2.5 4.75 0.8 ____
; (
2
)
4 2 _____
；
「分析」问题的关键是将取整符号和取小符号都去掉，容易知道
n
的值为
3
.
练习
1
、
10 2
n n n _____
.
例 2


(
1
)
2013 2011




(
2
)
37
2012
35
2
36
35
37 8.75
36
8.75
「分析」如何用凑整的方法把这些取整符号中的分数化成带分数.
练习
2
、(
1
)
10 3.6
2013 2011
2012

例3.
已知
x 1
,
y
2
,
z 3
，求:
x 2y 3z
的所有可能值.

「分析」
先算出
x
、
y
、
z
的取值范围，然后再根据取值范围的取法确定可能值.

练习
3
、
已知
x 1
,
y 2
,
z

3
，求：
x y z
的所有可能值.
例4.

13 1

21
13 2
L

21
13 82
21
13 83
21
剩下的就是一个等差数列，
有了取整符号之后，各项就
「分析」看到这道题，大家会想，要是没有取整符号就好了,
我们可以用配对的想法来求和. 而现在取整符号确实存在,
不构成等差数列了，那我们要怎么办呢？配对的想法在这里还用得上吗?
练习
4
、 丄」 口
L
口 口
的和是
11 11 11 11

例5．
解方程：（
1
）
2x 3 x 4 x
；
2
)
2013 x 2012 x 2011
．
分析」 先把
x
拆成
x


例6．
解方程：
2x 1 3x 0.5
．
「分析」 先把
2x 1
设为
y

x
，然后利用
x
是整数以及
x

有范围的特点求解．
，采用换元法．

课 堂 内 外 --------------------------------------------------
--------------------------------------------- -----------------
彗 星
彗星（
Comet
）,中 文俗称“扫把星”，是太阳系中小天体之一类•由冰冻物质和尘埃组 成.当它靠近太阳时即
为可见.太阳的热使彗星物质蒸发，在冰核周围形成朦胧的彗发和一 条稀薄物质流构成的彗尾•由于太阳风的压力，
彗尾总是指向背离太阳的方向.
彗星是星际间物质， 英文是
Comet
,是由希腊文演变而来的， 意思是“尾巴”或“毛发”， 也有“长发星”
的含义•而中文的“彗”字，则是“扫帚”的意思•在《天文略论》这本书 中写道：彗星为怪异之星，有首有尾.
历史上第一个被观测到相继出现的同一天体是哈雷彗星，牛顿的朋友和捐助人哈雷
（
1656
—
1742
年）在
1705
年认识到它是周期性的.它的周期是
公元前
240
年也可能自公元前
466
年来，它每次通过太阳时都被观测到了.
76
年.历史记录表明自从
它最近一次是在
1986
年通过的•离太阳很远时彗星的亮度很低，而且它的光谱单纯是反射阳光的光谱•当 彗星进入离太阳
8
个天文
单位以内时，它的亮度开始迅速增长并且光谱急剧地变化.
看到若干属于已知分子的明亮谱线. 发生这种变化是因为组成彗星的固体物质
太阳的紫外光引起这种气体发光.
科学家
（彗核）突然
彗发的 变热到足以蒸发并以叫做彗发的气体云包围彗核.
直径通常约为
105
千米，但彗尾常常很长，达
108
千米或
1
天文单位.
1066
后来，诺曼人征服了
中国民间把彗
科学家估计一般接近太阳距离只有几个天文单位的彗星将在几千年内瓦解•公元
年，诺曼人入侵英国前夕，正逢哈雷彗星回归•当时，人们怀有复杂的心情，注视着夜空中 这颗拖着长尾巴的古怪天
体， 认为是上帝给予的一种战争警告和预示.
英国，诺曼统帅的妻子把当时哈雷彗星回归的景象绣在一块挂毯上以示纪念.
情，在中外历史上有很多.彗星是在扁长轨道
阳运行的一种质量较小的云雾状小天体.
星贬称为“扫帚星”、“灾星” •像这种把彗星的出现和人间的战争、饥荒、洪水、瘟疫等灾 难联系在一起的事
（
极少数在近圆轨道
）
上绕太

作业
1.
计算：
(1
)
2.1 1.5 2.75 3.8
； (
2
)
2 6
2.
已知
x 1
,
y 2
,
z 0
，求：
(1)
(2)
x y z
的所有可能值是多少；
3x y z
的所有可能值是多少？
3 1 3 2
3.
求
11 11 11
4.
解方程：
4x 6 x 43
5.
解方程：
2x 4x 7

3 32
L
的运算结果是多少？

第六讲取整问题





例题：

例7.
答案：(
1
)
14.8
; (
2
)
72



详解：
(1
)
3.1 2.5 4.75 0.8 3 0.5 4 0.8 14.8
;


(
2
)
4 2 12 6=72
.



例

&
答案：
2011
;
42
17
—

18





详解:
(

2013 2011



2012 1 2011
2012 2011 2011

1
)


2011
;

2012 2012 2012



(
2
) 原式

36 1
35
2 36 1
35
4 0.75
42’
.



36 36

18





例9.
答案：
4
、
5
、
6
、< br>7
、
8
、
9


详解：
1 x 2 , 2 y 3 ,3 z 4
，那么，
4 2y 6 , 9 3z 12 , 4 x 2y 3z 10
, 所以
x 2y 3z
的可能值有
4
、
5
、


6
、
7
、
& 9
.




例10 .
答案：
2118

详解：我们先把首末两项配对，得到下面这个算式


13 1 13 83 13 1 13 83 13 1 13 83 13 83


21
52
13 1
21 21 21 21 21 21 21




该算式左侧为整数， 因此右侧也得是整数, 也就是说
13 1 13 83
得是整数，


21 21

I
T
V
+rz
宀一
P

而这部分一
k
定大于
0
小于
2
，所以必定是
1
. 由此可得上面这个算式的计算结果必为



52 1 51


同理可得：


13 2 13 82 13 2 13 82 13 2 13 82


21 21 21 21 21 21
52
13 2 13 82
21 21



13 3 13 81 13 3 13 81 13 3 13 81 13 3 13 81

21 21 21 21 21 21 52 21 21

51
51
51

13 41
21
.. t .
13 43
21
t ―» r
13 41 13 43 13 41 13 43
21 21
21 21
13 41
52
— 21 21
13 43

51
田此将算式自木配对，
每一对的和都是
13 21 13 63
13 39 52
;
51
，这里面还有一些特殊的情况：
13 42
除上述两组外其余共有
26 26


40

21 21 21
对


51
,总和为
40 51 52 26 2118
.

例11 .
1
答案：
(
1
)
0
、
1.4
、
2.8
; (
2
)
1
1


详解：将
x
替换为
［x］+
{
x
},然后先对
1006
［X］

进行估算再确定
{X}
的值.

例
12
. 答案：-
7 5
2
、 _
6
、
6



详解：设：
y
2x
1
，则
x
y 1

,原式变形为
2 y 3y 4
,解得
y
为
4
、
3-
>


3
于是
x
的值是
3 7 5
2


—、
2
—、
6 6
—.

练习：
1.
答案：
3
n
-
6
简答：
n
3
,
n n
3
，讲这两个算式代入计算即可:

10 2
n n n
3 3 3 3 6
.

2.
答案：
35
;
2011

2012


简答：略.


3.
答案：
6
、
7
、
8

简答：略.

4.
答案：
20

简答：

5 1 5 2 5 9 5 10



11 11
L

11 11


5 1 5 10 5 2
5 9

L
5 5 5 6

11 11 11 11 11 11
25 5


20

2
3
,


2-

作业:
6.
答案：(
1
)
5.8
; (
2
)
-

3
简答：略.
7.
答案：
(1
)
2
、
3
或
4
;
(2
)
0
、
1
、
2
、
3
、
4
简答：略.
8.
答案：
129
简答：略.
9.
答案：
11.5
简答：
4 x 4 x 6 x 43
，则有
4 x 43 2 x
，得
x 11
,
x -
,答案是
11.5
.
2
10.
答案：
3.5
或
3.25
简答：原式可化为
2x 4x 7
，令
2x y
有
y
2y 7
，将
y y
y 2 y 7
,再解方程可得
y 7
或
y 6.5
，所以
x 3.5
或
x 3.25
.

y
代入有

第六讲取整问题
第一格：阿呆一手拿着剪刀，一手挠着头看着地上的绳子，心想:
“我要把绳子截成一米长
的小段，应该怎么截呢？”地上有一根绳子，标明这根绳子长五米.
第二格：阿呆蹲在地上，拿着剪刀的手已经剪在了这根绳子的中点处.
第三格：阿呆疑惑的想：“现在还能截出多少个一米长的小段？”
教学目标
1.
了解取整符号的概念和性质；
2.
了解带有取整符号类的数列的变化区间;
3.
学会求取整数列的值；
4.
学会求解关于取整符号的方程；
知识点概述
X
拆成
X X
，然后利用
X
是整数以
X
的方程，通常都要先把
X
表示不大于
X
的最大整数，通常叫做
X
的整数部分,
—.
基本概念：
x XX
，通常叫做
x
的小数部分或真分数部分;


1.
有关
X
、
X
、

女口
3.14 3
,
3.14 0.14
.
基本性质：
1.
X 1 X X
,
X X X 1
,
0
x y 2 x y x y
X 1
；
2.
0 x 1
,
0 x
3.
若
x y n
是整数，则
x y
关取
及
X
有范围的特点求解.
X
、
y 2（x
、
y
均为整数是等号才成立
）
n
若
x
、
y
均为整数
7

n 1
若
x
、
y
均不是整数
符号的方程 于整
2.
一些复杂的
x
、
5x
中

X
的方程，有时候用换元的方法来化简求值，例如方程:
5x
2
,
然后令
5x
y
,
即有
5x 2 y
2
(其
2
3x
3
,因 为
5
x 2
于 是 方程

x
过

),
5

变 为

y 2
3y
5

3
,把

y
拆开 ,有

5 y
10
3y
15
3 y 3 y
15
,所

以
2
y 3

y
15
,
容易算出


此时
y y

y
8
1
8
1

，所以
X y 5
3 3 5 3

例 1.
(
1
)
3.1 2.5 4.75 0.8 ____
; (
2
)
4 2 _____
；
「分析」问题的关键是将取整符号和取小符号都去掉，容易知道
n
的值为
3
.
练习
1
、
10 2
n n n _____
.
例 2


(
1
)
2013 2011




(
2
)
37
2012
35
2
36
35
37 8.75
36
8.75
「分析」如何用凑整的方法把这些取整符号中的分数化成带分数.
练习
2
、(
1
)
10 3.6
2013 2011
2012

例3.
已知
x 1
,
y
2
,
z 3
，求:
x 2y 3z
的所有可能值.

「分析」
先算出
x
、
y
、
z
的取值范围，然后再根据取值范围的取法确定可能值.

练习
3
、
已知
x 1
,
y 2
,
z

3
，求：
x y z
的所有可能值.
例4.

13 1

21
13 2
L

21
13 82
21
13 83
21
剩下的就是一个等差数列，
有了取整符号之后，各项就
「分析」看到这道题，大家会想，要是没有取整符号就好了,
我们可以用配对的想法来求和. 而现在取整符号确实存在,
不构成等差数列了，那我们要怎么办呢？配对的想法在这里还用得上吗?
练习
4
、 丄」 口
L
口 口
的和是
11 11 11 11

例5．
解方程：（
1
）
2x 3 x 4 x
；
2
)
2013 x 2012 x 2011
．
分析」 先把
x
拆成
x


例6．
解方程：
2x 1 3x 0.5
．
「分析」 先把
2x 1
设为
y

x
，然后利用
x
是整数以及
x

有范围的特点求解．
，采用换元法．

课 堂 内 外 --------------------------------------------------
--------------------------------------------- -----------------
彗 星
彗星（
Comet
）,中 文俗称“扫把星”，是太阳系中小天体之一类•由冰冻物质和尘埃组 成.当它靠近太阳时即
为可见.太阳的热使彗星物质蒸发，在冰核周围形成朦胧的彗发和一 条稀薄物质流构成的彗尾•由于太阳风的压力，
彗尾总是指向背离太阳的方向.
彗星是星际间物质， 英文是
Comet
,是由希腊文演变而来的， 意思是“尾巴”或“毛发”， 也有“长发星”
的含义•而中文的“彗”字，则是“扫帚”的意思•在《天文略论》这本书 中写道：彗星为怪异之星，有首有尾.
历史上第一个被观测到相继出现的同一天体是哈雷彗星，牛顿的朋友和捐助人哈雷
（
1656
—
1742
年）在
1705
年认识到它是周期性的.它的周期是
公元前
240
年也可能自公元前
466
年来，它每次通过太阳时都被观测到了.
76
年.历史记录表明自从
它最近一次是在
1986
年通过的•离太阳很远时彗星的亮度很低，而且它的光谱单纯是反射阳光的光谱•当 彗星进入离太阳
8
个天文
单位以内时，它的亮度开始迅速增长并且光谱急剧地变化.
看到若干属于已知分子的明亮谱线. 发生这种变化是因为组成彗星的固体物质
太阳的紫外光引起这种气体发光.
科学家
（彗核）突然
彗发的 变热到足以蒸发并以叫做彗发的气体云包围彗核.
直径通常约为
105
千米，但彗尾常常很长，达
108
千米或
1
天文单位.
1066
后来，诺曼人征服了
中国民间把彗
科学家估计一般接近太阳距离只有几个天文单位的彗星将在几千年内瓦解•公元
年，诺曼人入侵英国前夕，正逢哈雷彗星回归•当时，人们怀有复杂的心情，注视着夜空中 这颗拖着长尾巴的古怪天
体， 认为是上帝给予的一种战争警告和预示.
英国，诺曼统帅的妻子把当时哈雷彗星回归的景象绣在一块挂毯上以示纪念.
情，在中外历史上有很多.彗星是在扁长轨道
阳运行的一种质量较小的云雾状小天体.
星贬称为“扫帚星”、“灾星” •像这种把彗星的出现和人间的战争、饥荒、洪水、瘟疫等灾 难联系在一起的事
（
极少数在近圆轨道
）
上绕太

作业
1.
计算：
(1
)
2.1 1.5 2.75 3.8
； (
2
)
2 6
2.
已知
x 1
,
y 2
,
z 0
，求：
(1)
(2)
x y z
的所有可能值是多少；
3x y z
的所有可能值是多少？
3 1 3 2
3.
求
11 11 11
4.
解方程：
4x 6 x 43
5.
解方程：
2x 4x 7

3 32
L
的运算结果是多少？

第六讲取整问题





例题：

例7.
答案：(
1
)
14.8
; (
2
)
72



详解：
(1
)
3.1 2.5 4.75 0.8 3 0.5 4 0.8 14.8
;


(
2
)
4 2 12 6=72
.



例

&
答案：
2011
;
42
17
—

18





详解:
(

2013 2011



2012 1 2011
2012 2011 2011

1
)


2011
;

2012 2012 2012



(
2
) 原式

36 1
35
2 36 1
35
4 0.75
42’
.



36 36

18





例9.
答案：
4
、
5
、
6
、< br>7
、
8
、
9


详解：
1 x 2 , 2 y 3 ,3 z 4
，那么，
4 2y 6 , 9 3z 12 , 4 x 2y 3z 10
, 所以
x 2y 3z
的可能值有
4
、
5
、


6
、
7
、
& 9
.




例10 .
答案：
2118

详解：我们先把首末两项配对，得到下面这个算式


13 1 13 83 13 1 13 83 13 1 13 83 13 83


21
52
13 1
21 21 21 21 21 21 21




该算式左侧为整数， 因此右侧也得是整数, 也就是说
13 1 13 83
得是整数，


21 21

I
T
V
+rz
宀一
P

而这部分一
k
定大于
0
小于
2
，所以必定是
1
. 由此可得上面这个算式的计算结果必为



52 1 51


同理可得：


13 2 13 82 13 2 13 82 13 2 13 82


21 21 21 21 21 21
52
13 2 13 82
21 21



13 3 13 81 13 3 13 81 13 3 13 81 13 3 13 81

21 21 21 21 21 21 52 21 21

51
51
51

13 41
21
.. t .
13 43
21
t ―» r
13 41 13 43 13 41 13 43
21 21
21 21
13 41
52
— 21 21
13 43

51
田此将算式自木配对，
每一对的和都是
13 21 13 63
13 39 52
;
51
，这里面还有一些特殊的情况：
13 42
除上述两组外其余共有
26 26


40

21 21 21
对


51
,总和为
40 51 52 26 2118
.

例11 .
1
答案：
(
1
)
0
、
1.4
、
2.8
; (
2
)
1
1


详解：将
x
替换为
［x］+
{
x
},然后先对
1006
［X］

进行估算再确定
{X}
的值.

例
12
. 答案：-
7 5
2
、 _
6
、
6



详解：设：
y
2x
1
，则
x
y 1

,原式变形为
2 y 3y 4
,解得
y
为
4
、
3-
>


3
于是
x
的值是
3 7 5
2


—、
2
—、
6 6
—.

练习：
1.
答案：
3
n
-
6
简答：
n
3
,
n n
3
，讲这两个算式代入计算即可:

10 2
n n n
3 3 3 3 6
.

2.
答案：
35
;
2011

2012


简答：略.


3.
答案：
6
、
7
、
8

简答：略.

4.
答案：
20

简答：

5 1 5 2 5 9 5 10



11 11
L

11 11


5 1 5 10 5 2
5 9

L
5 5 5 6

11 11 11 11 11 11
25 5


20

2
3
,


2-

作业:
6.
答案：(
1
)
5.8
; (
2
)
-

3
简答：略.
7.
答案：
(1
)
2
、
3
或
4
;
(2
)
0
、
1
、
2
、
3
、
4
简答：略.
8.
答案：
129
简答：略.
9.
答案：
11.5
简答：
4 x 4 x 6 x 43
，则有
4 x 43 2 x
，得
x 11
,
x -
,答案是
11.5
.
2
10.
答案：
3.5
或
3.25
简答：原式可化为
2x 4x 7
，令
2x y
有
y
2y 7
，将
y y
y 2 y 7
,再解方程可得
y 7
或
y 6.5
，所以
x 3.5
或
x 3.25
.

y
代入有

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