圆r为高的三个三角形，求得三个三角形三个面积和为原三
角形面积即得结果．关于三角 形面积公式
p(pa)(pb)(pc)
，可用政下法 得到：如图，设
分别< br>ADh,BDa
1
,DCa
2
,a
1
a2
a,ACb,ABc
，
1
2
第2题
在Rt△ ABD、△ADC中，
a
1
2
c
2
h
2
,a
2
2
b
2
h
2
，再由
a
1
a
2
a
，则
ch
22
bh
22
2
a
，求出
h
，再由
Sah
求出面积，计 算，化简即得该
1
2
公式．
3．提示：分别求出内切圆半径，外接圆半径
R
角边及斜边长），即得结果． 4．如图，作O到BC距离OM，连接BO并延长交外接圆于N，由BN是
直径，得∠BAN=∠B CN=90°，从而证得AH∥NC，AN∥CH，得四边形ANCH
为平行四边形，则AH=NC，再 证NC=2QM，则有AH=2QM．





第4题 第5题
c
（
a
、b、c分别为两直
5．提示：利用上一题结果，如 图，有AH：OD=2：1，连接OH、AD，交
于G，从而有AG：GD=2：1，则G为重心，从而 外心（O），重心（G），垂心
（H）三点在同一直线上。


阅读材料3 平面几何有关的定理与性质
A组

1．45． 2．30°．提示：利用OC
2
=AC·BC=AB·CN=2OC·CD
3．16． 4．
513
． 5．
65
17
cm

6．提示：过点D作DE∥AC交BA的延长线于点E．
18

7 ．
AC534cm,BD334cm
．提示：取AB的中点M，连接CM、MD，
则CM⊥AB，DM⊥AB，且C、O、M、D共线．
8．作AE⊥BD于E，∵PQRS是△ABC 的内接矩形，∴
SR
BC

AS
AB

ABSB
AB
1

,SP4

,SR6(1
< br>)
．
1
4
S
ABC

1
4121

，
SP
AE

BS
BA

，
SR24

(1

)
．∵
S
矩形PQRS

∴
S
矩形PQRS
SP·∴
24

(1

)3
，解得


B组
2
4
2
．
1．12．提示：∵弦心距
O H10
2
8
2
6
，OH∥AE∥BF，
∴
AE
OH

AG
OG

10OG
OG
，
BF
OH

GB
OG

10OG
OG< br>，两式相减，得
AEBF
OH
2
，
∴AE－BF=12．
2．
2
．提示：作B关于直径MN的对称点B
1
，则PB=PB
1
，OB
1
=OB=1，
且AP+BP =AP+PB
1
≥AB
1
，当且仅当A、P、B
1
三点共线 时AP+BP取最小值AB．
3．
423
．如图，连接OM、OE，过C作CN⊥ AB于
N，延长BA、CD相交于S．由条件知△SBC、△OCE均为
等边三角形．∵圆O切 AB于点M，∴OM⊥SB，OM∥CN，
SO
SC

OM
NC< br>．设圆O的半径为r，则
1r
1

r
3
2
，解得
第3题
r233
．∴
BE1r423
． 2S
ABC
BC

6
3
4．∵
BC3,S
ABC

BC
3
3
3
2
2
,< br>∴
AH
．又HB=2HC，∴
CH
．由AH⊥BC知，△AHC 、△COH都是直角三角形．由勾股定
2
理得
AC
∴
1
2
HCAH
2
1
．∵S
△
AHC
=S
△
AOC
+S
△
OHC
，
1
2
HCOH AHHC
1
2
ACOH
（点O到AC边的距离等于OH）.
19

∴
AHHCOH(ACHC).

6

3
3
3
3

32
6
6
∴
OH
AHHC
ACHC

3
1
，圆O 的半径为
32
6
6
．
5．如图，O
1
、O2
是两个相同的喷水器所在的位置，ABCD是设计的矩形花
坛．设AD=x．在Rt△Q
1
E中，
Q
1
EQ
1
QQE
2210
2

x




2

2

1
2
400x,

2
∴圆心距< br>O
1
O
2
2O
1
E
S
222
400x(0x20).

2
222
4x(400x(4 00x)4(x200)160000,

∴
x
2
20 0
，
即
x102
时S
2
取最大值160000，S取最大
值为400．∵符合要求的设计是两个喷水器的距离
O
1
O
2
102
米，矩形两边长
AD102
米，
第5题
AB202
OY ，矩形花坛有最大面积。


20

第八讲 三角形的重心、垂心、外心和内心

初中阶段我们已经学 习了关于三角形的边和角的许多性质，也涉及三角形边
上中线、高线、垂直平分线以及内角平分线的一些 性质。例如，线段（如三角形
的一边）的垂直平分线上的点和这条线段两站点的距离相等。反之，和一条 线段
两个端点距离相等的点在这线段的垂直平分线上；角（如三角形的一个内角）的
平分线上的 点到这个角的两边的距离相等。反之，到一个角的两边距离相等的点
在这个角的平分线上，诸如此类。
涉及一个三角形的三条中线、三条高线、三条边的垂直平分线以及三个内角
平分线的性质及相互 关系是中学平面几何的重要内容。在高中学习中，会涉及三
角形三条中线交点、三条高线交点、三条边的 垂直平分线交点以及三个内角平分
线交点，即三角形的几个“巧合点”。本节将对这些知识作较系统的阐 述。
一、三角形的重心
如图8-1，在△ABC中，AD、BD是两条中线，记它们的交点 为G，连接
DE、DE是三角形的中位线。
∴DE∥AB，且
DE
1
2
AB.

∴∠GAB=∠GDE，∠GBA=∠GED.
∴△AGB∽△DGE，且相似比为2：1.
∴AG=2GD，BG=2GE. 于是得到关于三角形中线的一个重要性质：三角形
的两条中线的交点把这两条中线都分成2：1的两段。
现在再研究第三条中线与其他两条中线交点有什么特殊性质。






图8-1 图8-2
1

如图8 -2，设△ABC的两条中线AD、BE交于G，中线CF、BE交于G′.
由已知的三角形中线的性质 ，则有BG=2GE，且BG′=2G′E，CG′=2G′F.
∴G′与G重合，则三角形的三条中 线相交于一点，且该点把三角形的各中
线分成长度比为2：1的两段，这个交点称为三角形的重心。三角 形的重心必在
三角形的内部。今后我们也常说：三角形的重心把中线分成2：1的两段。
例1 如图8-3，已知E、F分别是平行四边形ABCD边AD、CD的中点，
BE和BF分别交对角线AC 于M、N，求证：AM=MN=NC。
分析 四边形问题常转化为三解形问题，连接BD，则BE、B F分别为△ABD、
△CBD的中线，再利用中线、重心的性质问题，则问题迎刃而解。
证明 连接BD，BD与AC交于O，根据平行四边形性质，O为BD的中点。
∵E为AD的中点，∴M是△A BD的重心，∴AM=2MO。
同理，CN=2NO，则
MO
MN
2< br>3
AO
2
3
COAMCN.

1
3< br>AO,NO
1
3
CO
，
由于AO=CO，∴




图8-3 图8-4

例2 求证：两条中线相等的三角形是等腰三角形。
已知：△ABC中，中线BE=CD
求证：△ABC是等腰三角形
证明：如图8-4，设中线BE、CD交于G，则G为△ABC 的重心。∴
GB
2
3
BE,CG
2
3
CO.< br>
∵BE=CD，∴GB=CG
则∠GBC=∠GCB（同一三角形中，等边对等角）
又BC为△BEC和△CBD的公共边，
∴△EBC≌△DCB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC
故△ABC是等腰三角形。
2
图8-5

一般地，涉及三角形中两条或三条中线关系的问题， 应考虑利用三角形重心
及其性质来解。
二、三角形的垂心
下面来研究三角形三条高所在直线的关系。
如图8-5，锐角三角形ABC中，BC、AC上 的高AD、BE交于H。试问：
AB上的高是否也过点H？
回答是肯定的。连接CH并延长交AB于F，现在来证明CF就是AB上的
高。
∵∠ CEH=∠CDH=90°，∴以CH为直径作圆，D、E在这圆上，∴∠BCF
∠DEB（对同弧DH
）。
同理，D、E也在以AB为直径的圆上，∠DEB=∠DAB，∴∠BCF=∠DAB
又在△ BCF、△BAD中，∠B为共公角，∴∠CFB=∠ADB=90°，即CF⊥
AB，CF为AB上高 。
则△ABC的三条高AD、BE、CF交于一点H。对
于锐角三角形来讲，这交点一定位于 三角形内部。
如图8-6，Rt△ABC中，∠C=90°，BC、AC上高
是AC、BC， 显然AB上高CF与前两条高相交于点C。
图8-6
⌒
读者可以证明，钝角三角形的三条高在直线也相交于一点，这交点在三角形
外部。
我们把三角形三条高或其延长线的交点称为三角形的垂心。锐角三角形垂心
在三角形形内；直角 三角形垂心为这三角形的直角顶点；钝角三角形的垂心在三
角形形外（如图8-7所示）。




图8-7

3

例3 如图8-8，△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=62°，H为△∠ABC
的垂心，求∠BHC 的度数。
解 延长BH、CH分别交AC、AB于D、E
∵H为△ABC的垂心，∴∠ADB=∠AEC=90°
在四边形ADHE中，∠A=180°－∠ABC－∠ACB=78°，
∠BHC=∠DHE=360°－∠ADB－∠AEC－∠A=102°
三、三角形的内心
在初中阶段已经学习了三角表外心的知识。三角形三条边的垂直平分线相交
于一点，这一点称为 三角形的外心，即三角形外接圆圆心。如图8-9所示，我们
还知道，锐角三角形外心在三角形形内；直 角三角形外心为直角三角形斜边中点；
钝角三角形外心在三角形形外。





图8-9
图8-8
例4 如图8-10，等腰三角形AB C外心为O，O到△ABC底边BC的距离
为a，到顶点A的距离为R，求△ABC的各边长。
解 ∵等腰三角形底边上的高与中线两线合一，
∴等腰三角形外心O必在三角形底边上的高 上，记高为
AD，即O在AD上，连接OB，则OB=R，且已知OD=a，
在Rt△BOD 中，
BD
在Rt△ABD中，
AB
Ra
，则
BC2 Ra
AD
2
2222

2
图8-10
2R2aR.

2
BD
2
(Ra)Ra22
∴△ABC的腰长为
2R
2
2aR
，底边长为
2 R
2
a
2
。
例5 求证：连接三角形三边中点所得三角形的重心是原三角形的外心。
已知：△ABC各边中点D、E、F，连接ED、EF、FD。
求证：△EDF的垂心是△ABC的外心。
4

证明 如图8- 11，设△DEF的垂心为O，连接OD、
OE、OF，则OD⊥EF，OE⊥DF，OF⊥ED。
∵EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC，∴OD⊥
BC
同理，OE⊥AC，OF⊥AB
∵D、E、F分别为BC、CA、AB的中点，
∴直线OD、OE、OF分别为BC、CA、AB的垂直平分线，则O是△ABC
的外心。
四、三角形的内心
初中阶段也已经学习了三角形的内心知识。三角形
的内心指的是三 角形三个内角平分线的交点，它具有到
三角形三条边距离相等的性质，它就是三角形内切圆圆
心 。因此称之为内心，如图8-12所示。
不论是锐角三角形，还是直角三角形、钝角三角形，它的内心都在三角形的
内部。
如 图8-12，设△ABC内切圆⊙I与边BC、CA、AB分别切于M、N、S，根
据圆的切线性质，知 AS=AN，BS=BM，CM=CN，
∴
ASAN
1
2
(A BACCN)
1
2
1
2
(ABACBMMC)
1
2
1
2
(ABACBC)

同理，
BM BC(BCBAAC),CMCN
1
2
(abc)
(CBC AAB).

记BC=a，AC=b，AB=c，
p
ASAN
CMCN
1
2
1
2
(bca)pa
，则有
1
2
(acb)pb
；
；
BMBS
(abc)pc

上述结果在涉及三角形内心或内切圆问题时常
用到。
例6 已知Rt△ABC中，两直角边BC、AC
分别为5、12，求△ABC内切圆半径。
图8-13
5

解 如图8-13，△ABC内心I，内切圆与三角形各
边相切于D、E、F，连接ID、IE、IF，
∵∠C=90°，易知DIEC为正方形，
∴内切圆半径r=CD=CE=p－c，
其中c为三角表斜边=
51213
，
p
1
2
(abc)
1
2
(51213)15.
∴r=2。
22
图8-13
例7 求证：内心与外心为同一点的三角形一定是正三角形。
已知：△ABC的内心与外心同为O。
求证：△ABC是正直角三角形。
证明：如图8-14，∵O为△ABC的外心，
∴OB=OC=OA，∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA
又O是△ABC的内心，∴∠OAB=∠OAC，
∴∠OBA=∠OCA，∴∠AOB=AOC=180°－2∠OAB
∠△AOB≌△AOC，∴AB=AC，同理AB=BC
∴△ABC是正三角形。
本题有多种证法，同学们自己可试一试。
一般地还可以得到多个真命题：“若三角形内心和重 心为同一点，则这个三
角形是正三角形”；“若三角形外心和重心为同一点，则这个三角形为正三角形”„„同学们可自行探究。
当我们研究三角形的一个内角平分线与其他两个角的外角平分线的关 系时，
我们会发现这样的三条直线也会相交于一点，且这点到三角形各边或它的延长线
等距离， 如图8-15。
△ABC中，∠A平分线、∠B、∠C的外角∠CBB′、
∠BCC′的平分 线（或其延长线）相交于一点I
1
，I
1
到BC、AB′、AC′的距离相等 （图中I
1
D= I
1
E= I
1
F），
那么以I
1
为圆心，以到三角形各边（或其延长线）的
距离为半径的圆与三角形的三边（或其延 长）均相切。
图8-15
图8-14
6

但这圆的圆心 在三角形形外，有别于三角形的内切圆圆心，俗称旁心。三角形有
三个旁心。
练 习
A 组
1．如图，△ABC的重心为G，直线ι过顶点A，B、C到ι的距离分别为
10cm、14cm，求重心G到ι的距离。





M、N，使
BM
1
3
BE,CN
1
3
CF（第2题）
2．如图，△ABC的三条中线为AD、BE、CF，在中线BE、CF上分别取点< br>B，求证：四边形EFMN是平行四边形。
3．如图，△ABC的外心为O，若∠ABC=40°，∠ACB=72°，求∠BOC。





（第3题）
4．如图，△ABC的内心为I，若 ∠ABC=70°，∠ACB=50°，求∠BIC、
∠CIA、∠AIB。
5．求证：若三角形的垂心和重心为同一点，则该三角形为正三角形。
6．已知△ABC中，BC=3，AB=4，AC=5，求△ABC内切圆周长与面积。
B组
1．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、
AD的中点，连接BF、D E并分别交对角线AC于M、N，
求证：AM=MN=NC。
2．已知△ABC的三边长分别为a、b、c，内切圆半径记为r，
7
（第1题）

p
1
2
(abc).
求证：
（1）△ABC的面积S=rp；
（2）
r
(pa)(pb)(p c)
p
，
Sp(pa)(pb)(pc)

（已知三角形面积公式，读者可考虑该公司如何证明）
3．求证：直角三角形内切圆直径与外接圆直径的和等于两直角边的和。
4．设△ABC的外心为O，垂心为H，求证：AH等于点O到边BC距离的
2倍。
5．求证：三角形的外心、重心、垂心在同一直线上。


阅读材料3 平面几何有关的定理与性质

在高中向量、解析几何与立体几何学习中需要用到平行线分线段 成比例定
理、直角三角形的射影定理以及圆中的垂径定理、直线与圆的位置关系、两圆的
位置关 系等知识，因此有必要对这些知识进行归纳、整理。
本讲分两部分，第一部分从同学们熟悉的相似三角 形知识入手，介绍平行线
分线段成比例定理、三角形内角与外角平分线性质定理、直角三角形中的射影定
理；第二部分介绍与圆有关的定理：垂径定理、相交弦定理、切割弦定理，同时
探讨直线与圆、 圆与圆的位置关系。
一、与比例线段有关的定理
1．平行线分线段成比例定理
如 图1，在△ABC中，若DE∥BC，DE交AB于D，交AC于E，则△ADE
∽△ABC。因此，< br>AD
DB

AE
EC
,
AD
AE

DB
EC
AD
AB

AE
AC

DE
BC
，利用比例的性质可以得到
。将此结论推广，可以得到平行线分线段成比例定 理。
平行线分段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

8

图1

图2
AB
BC
DE
EF
.


如图2，ι
1
∥ι
2
∥ι
3
，则

分析 为便于使用三角形中比例线段的性质，我们过点A作AH∥DF。
证明 如图2，过A作AH∥D 交ι
GH=EF。∵BG∥CH，∴
AB
BC

AG
GH< br>
DE
EF
2
于点G，交ι
，即
AB
BC< br>AB
BC


DE
DF
DE
EF
,
3
于点H，则AG=DE，


BC
EF
根据比例 的性质可得其他的比例式，如
AB
DE
等。
利用平行线分线段比例定理，可 以将一条直线上的比例线段“移”到另一条
直线上，它是解决有关比例线段问题的常用方法。如，由平行 线分线段成比例定
理可推出三角形内角与外角平分线性质定理。
例1 如图3，在△ABC 中，若DE∥AB∥FG，且FG到DE、AB的距离之
比为1：2，若△ABC的面积为32，△CD E的面积为2，则△CFG的面积S等于
（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
分析 由DE∥AB∥FG知，△CDE∽△CFG∽△C AB，要求△CFG的面积
S只需求出它们的相似比。
解 ∵DE∥AB∥FG，∴△CDE∽△CAS
∴
CD
CA

SCDE
S
CAB

2
32

1
4
,CD
1
4
AC,AD
FD
FA
3
4

AC.

1
2
∵FG到DE、AB的距离之比为1：2， ∴
∴
FD
AD

1
3
,FD
1
3
AD
1
3

3
4
AC
1
4
2
.

图3
AC.

2
∴
FDDC,

CD
CF

1
2
,
S
CDE
S
CAB
1

CD< br>
1



.


4

CF

2

9

∴△CFG的面积S等于8，选B。
例2 如图4，△ABC中，D、E分 别在边BC、AB上，且∠1=∠2=∠3，
设△ABC、△EBD、△ADC的周长分别为m、m1
、m
2
，求
m
1
m
2
m
m
1
m
2
m
的最大值。
分析 利用相似三角形的性质建立与
二次函数的性质求最大值。
解 设AB=c，BC=a，CA=b
由∠2=∠3，知DE∥AC
∴△EDB∽△ACB，< br>m
1
m

BD
BC

BE
BA与三角形之间的联系，再利用

DE
AC
，即
m
1m

BD
a

BE
b

DE
c
.

在△BAC和△ADC中，由∠1=∠3，∠C为公共角，知
△BAC∽△ADC
∴
m
2
m
DC
b

AD
AB
ba

DC
AC

AC
BC
.

，即
m
2
m

AD
c

DC
b

b
a
.

∴
,DC
b
2
图4
a
∴
b
a
m
1
m
2
m
1
2

BDa

b
a

aDC
a

b
a
1
b
a
2
2
55

b1






，
当且仅
a44

a2

b
2
当

，
即BC=2A时，
m
1
m
2
m
5

5
4
.

∴
m
1
m
2
m
的最大值为
.

4
2．三角形内外与外角平分线性质定理
（1）三角形内角平分线性质定理 三角形的内角平分线分对边所得的两条
线段和这个角的两边对应成比例。
如图5，在△ABC中，AD是∠A的平分线，点D在线段BC上，则
证明 如图6，过点C 作CE∥AD交BA的延长线于E，则
∵CE∥AD，∴∠DAC=∠ACE，∠BAD=∠AEC.
10
DB
DC


AB
AC
.

.

DB
DC
AB
AE

图5
图6
∵AD平分∠BAC，∠BAD=∠DAC，∴∠ACE=∠AEC，AE=AC.
∴
DB
DC

AB
AE

AB
AC
结论成 立。
（2）三角形外角平分线性质定理 三角形的外角平分线分对边所得的两条
线段和这个角的两边对应成比例。
如图7，在△ABC 中，AD是∠A的外角∠FAC的平分线，点D在线段BC
的延长线上，则
DB
DC< br>
AB
AC
.

请同学们依照三角形内角平分线性质定理的证明完
成本定理的证明。
3．直角三角形中的射影定理
图7
如图8，在Rt△ABC中，CD是斜边AB边 上的高，则CD
2
=AD·BD，
AC
2
=AD·AB，BC
2
=BD·BA.
证明 在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CAD=∠DCB，∠CDA=∠CDB=90°，△CAD∽△BCD.
∴
A D
DC

DC
DB
，CD
2
=AD·BD.
同理，△ACD∽△ABC，△BCD∽△BAC，
∴
AC
AB

AD
AC
,
BC
BA

BD
BC
.

图8
∴AC
2
=AD·AB，BC
2
=BD·BA.
在处理与 直角三角形有关问题时，还常常用到关系式CA×CB＝CD×AB，
即直角三角形两直角边的乘积等于 斜边与斜边上高的乘积。
上述提到的四个式子，是处理与直角三角形有关问题时，经常使用的关系式。
例3 如图9，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，DE为Rt△CDB斜
11

边BC上的高，若BE=6，CE=4，求AD的长。
解 在Rt△CDB 中，由DE是斜边BC上的高知，
DE
2
=BE×EC=6×4=24.
∴ CD
2
=CE
2
＋DE
2
=16＋24=40，DB
2
=BC
2
－CD
2
=100
－40=60.
又CD为Rt△ABC斜边AB上的高,
∴
CD
2
图9
ADBD,AD
CD
DB
2

40
25
< br>415
3
.
∴AD的长为
415
3
.

二、与圆有关的定理
1．垂径定理
如图10，将圆沿垂直于弦AB的直径CD对折 ，发现点A与
⌒⌒
⌒⌒
点B重合，线段AM与MB、
AC与CB
、< br>AD与DB
分别相等。
垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的
两条弧
图10
⌒⌒
如图1 0，CD是垂直于弦AB的直径，交弦于AB于点M，
⌒⌒
交弦AB所对的劣弧和优弧分别为C 、D，则AM=BM，
ACCB
，
ADDB
。
2．相交弦定理与切割线定理
相交弦定理 圆内的两条相交弦，每条弦上被交噗分成的两条线段长的积相
等。
如图11，AB、CD是圆的两条相交弦，交点为P，则PA·PB=PC·PD。
切割线定理 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的两个交
点的两条线段长的 积相等，且都等于这点到圆所作切线长的平方。





如图12，PAB、PCD是圆的两条割线，PT是圆的切线，则PA·PB=PC·PD=PT
2< br>.
12
图11
图12

这两个定理的证明都不 准，只要连接AC、BD和TC、TD后结合圆周角与
弦切角的性质，应用相似三角形性质即可，请同学 们给出证明。
例4 如图13，过圆O外一点P作圆O的两条切线PA、PB，连接OP与圆
O交于点C，过C作AP的垂线，垂足为E。若PA=10cm，PC=5cm，求CE的
长。





图13
图14
解：如图1 4，连接OA，延长PO交圆O于点D，设圆O的半径为rcm，则
PD=5+2r.
∵PA为圆O的切线，PCD为圆O的割线，
∴由切割线定理，知PA
2
= PC×PD，即10
2
=5×（2r＋5）.
解得
r
15
2
.
∴
OA
15
2
cm,PO
25
2
cm.

CE
OA

PC
PO
,CE
OAPC
PO
3cm.
∵OA⊥PA，CE⊥PA，∴CE∥OA，
3．直线与圆的位置关系
已知圆O的半径为r， 圆心O到直线ι的距离为d，则可以通过比较d与r
的大小关系得直线ι与圆O的位置关系；当d＞r时 ，直线ι与圆O相离；当d=r
时，直线ι与圆O相切；当d＜r时，直线ι与圆O相交。反这也成立， 即右直
线ι与圆O相离，则d＞r；若直线ι与圆O相切，则d=r；若直线ι与圆O相
交，则 d＜r；如图15中的（1）、（2）、（3）。






图15
13

直线ι与圆O相交时，设两个交点为A、B 。若ι过圆心O，则AB为圆O
的直径；若ι不过圆心O，连接圆心O与弦AB的中点M，则OM⊥AB （如图
16）。在Rt△OMA中，由OA为圆的半径r，OM为圆心O到直线ι的距离d，
M A为弦AB长的一半，根据勾股定理，得弦长计算公式
AB2r
2
d
2< br>.






图16
图17
例5 如图17，已知圆O的半径OB=5cm，弦AB=6cm，D是弧AB的中点，
求弦B D的长和△OBD的面积。
解 连接OD，交AB于点E
∵BD=AD，O为圆心，
∴OD⊥AB，
BEAE
1
2
AB3cm.

∵在Rt△BOE，OB=5cm，BE=3cm，
∴
OEOB
2
BE
2
4cm.

∵在Rt△BDE中，BE=3cm，DE=1cm，
∴
BDBE
2
DE
2
10cm.

∵等腰三角形OBD的底边，腰OB=OD=5cm，
∴BD边上的高
hOB2


1
2

BD


2< br>
1
2
2


2
5



10


2



2

310
2
2
cm
，
∴△OBD的面积
S
4．两圆的位置关系
BDh10
310
2
15
2
cm.
设圆O
1
与圆O
2
的半径分别为R、r（R≥r），两圆的圆心距O1
O
2
=d，则当d
＞R+r时，两圆相离；当d=R+r时，两圆相外 切；当R－r＜d＜R＋r时，两圆相
交；当d=R－r时，两圆相内切；当d＜R－r时，两圆内含。 反之也成立，即当
14

两圆相离时，d＞R+r；当两圆相外切时，d=R ＋r；当两圆相交时，R－r＜d＜R
＋r；当两圆相内切时，d=R－r；当两圆内含时，d＜R－r 。如图18中的（1）、
（2）、（3）、（4）、（5）。





图18
如果圆O
1
与圆O
2
相交于 A、B两点，则O
1
O
2
垂直平分AB，即相交两圆的公共
弦被两圆 的连心线垂直平分。
例6 半径为13和半径为5的两圆相交，圆心距为12，求两圆的公共弦长。
解 如图19，设AB为O
1
O
2
的公共弦，半径O
1A=13，O
2
A-5.
连接O
1
O
2
交A B于点C,则O
1
O
2
=12,且O
1
0
2
垂直平分弦AB.
设AC=x,则
O
1
C13
2
x
2
,O
2
C5
2
x
2
.
< br>∴
13
2
x
2
5
2
x
212
,即
5
2
x
2
1213
2
x
2
.

两边平方,得
25x
2
144 24169x
2
169x
2
,化简得
169x
2< br>图19
12.

解得x=5，AB=10，即两圆的公共弦长为10.

练 习
1．在直角三角形中，若三条高之积等于三边乘积的一半，则该三角形的最
小角的大小是 度。
2．如图，以线段AB为直线作一个半圆，圆心为O，C是半圆周上一点，
过C作CD⊥ AB于点D，若OC
2
=AB·BC，则∠COD= 。



第2题
15
第3题

3．如图， BD、CE分别是△ABC的AC、AB边上的中线，且BD⊥CE，若
BD=4，CE=6，则△AB C的面积等于 （提示：连接DE，对角线互相
垂直的四边形的面积等于两对角线积的一半）。
4．已知圆O内两弦AB、CD交于点P，且AP=4，BP=3，CD=10，则CP= .
5．在△ABC中，已知AC⊥BC，AC=12cm，BC=5cm，∠C的内角平分线
交A B于点T，则BT的长为 .
6．如图，在△ABC中，AD是∠A的外角∠FAC 的
平分线，点D在线段BC的延长线上，求证：
DB
DC

ABAC
.

7．如图，圆O的半径为17cm，弦AB=30cm，AB所
对的劣弧和优弧的中点分别为D、C，求弦AC和BD的长.





第7题 第8题
第6题

8．如图，锐角三角形ABC中，B C=6，BC边上的高线长为4，PQRS是△
ABC的内接矩形，记且
S
矩形PQR S


B 组
1．圆O的直径AB=20，弦CD交AB于点G，AG＞ BG，CD=16，作AE
⊥CD于点E，BF⊥CD于点F，则AE－BF= .
2．如图，A为半圆O上一个三等分点，B是弧AM
的中点，P为直径MN上一动点，圆O的半 径为1，则
AP＋BP的最小值是 .
第2题
1
4
S
ABC
，记
BS
BA


.
求λ的值.
3．如图，四边形ABCD中，∠B=∠C=60°，BC=1，以CD为直径作圆与< br>AB相切于M，且交BC边于E点，则BE= .


16

第3题 第4题
4．如图，在△ABC中，
BC3,SABC

2
2
，AH⊥BC于H，HB=2HC，
圆O与∠C 的两边相切，且圆心在AH上，求圆O的半径。
5．利用两个相同的喷水器，修建一个矩形花坛，使花 坛全部都能喷到水，
已知每个喷水器的喷水区域是半径为10米的圆，问：如何设计（求出两喷水器之间的距离和矩形的长、宽），才能使矩形花坛的面积最大？


第八讲 三角形的重心、垂心、外心和内心

A组
1．8cm．提示：作中线AM，先求出M到ι的距离为12cm，再求G到ι
的距离．
2．提示：去证明四边形的两对角线ME、NF互相平分．
3．360°．
4．120°，125°，115°．
5．提示：去证明同一边上的中线和高线重合，从而得出为等腰三角形，再
说明各边都相等．
6．周长为2π（长度单位），面积为π（面积单位）．
B组
1．提示：连接BD，证得M、N分别为△ABD、△CBD的重心．
2．提示：将内心与三角形三顶点分别连接，得以a、b、c为底边，以内切
17