三角形五心定律
华中理工大学分数线-两会雷人语录
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三角形五心定律
定理
三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形
五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心
定理，旁心定理的总称。b5E2RGbCA
P
重心定理
三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三
中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。<重心原是一个物理概
念，对于等厚度的质量均匀
的三角形薄片，其重心恰为此三角形三
条中线的交点，重心因而得名）p1EanqFDPw
重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任
意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即
重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐
标是顶点坐标的算术平均数，
即其重心坐标为<
5.
以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于
零向量。
外心定理
三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
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外心的性质：
1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形
外心。
2、
若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A<∠A为锐角或直角）或
∠BOC=360°-2∠A<∠
A为钝角）。RTCrpUDGiT
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三
角形为
钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外
心在斜边上，与斜边的
中点重合。5PCzVD7HxA
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，
d3分别是
三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，
c3=d1d2；c=c1+c2+c3。外心坐标：(
(c2+c3>2c，(c1+c3>2c，
(c1+c2>2c >。jLBHrnAILg
5、外心到三顶点的距离相等
垂心定理
三角形的三条高<所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：
1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四
点圆。
2、
三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
<此直线称为三角形的欧拉线
3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离
的2倍。
2
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4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
定理证明
已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO
并延长交AB于点F
，求证：CF⊥ABLDAYtRyKfE
证明：
连接DE
∵∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四点共
圆 ∴∠ADE=∠ABE
∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC∴ΔAEO∽ΔADC
∴AEAO=ADAC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE
又∵∠ABE+∠BAC=90度 ∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB
因此，垂心定理成立！
内心定理
三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。
内心的性质：
1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。
2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的
差的二分之一。
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br>3、P为ΔABC所在空间中任意一点，点0是ΔABC内心的充要
条件是：向量P0=(a×向
量PA+b×向量PB+c×向量
PC>(a+b+c>.Zzz6ZB2Ltk
4
、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延
长AO交BC边于N，则有
AO
:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC>:BCdvzfvkwMI1
5、(欧拉
定理>⊿ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半
径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=
R^2-2Rr．rqyn14ZNXI
6、<内角平分线分三边长度关系）
△ABC中，0为内心，∠A
、∠B、∠C的内角平分线分别交BC、
AC、AB于Q、P、R， 则BQQC=cb,
CPPA=ac,
BRRA=tOco
7、内心到三角形三边距离相等。
旁心定理
三角形的旁切圆<与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）
的圆心，叫做三角形的旁心。
旁心的性质：
1、三角形一内角平分线和另
外两顶点处的外角平分线交于一点，
该点即为三角形的旁心。
2、每个三角形都有三个旁心。
3、旁心到三边的距离相等。
4
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如图，点
M就是△ABC的一个旁心。三角形任意两角的外角平分
线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形
有三个旁心，而且
一定在三角形外。SixE2yXPq5
附：三角形的中心：只有
正三角形才有中心，这时重心，内心，
外心，垂心，四心合一。
有关诗歌
三角形五心歌<重外垂内旁）
三角形有五颗心，重外垂内和旁心，五心性质很重要，认真掌
握莫记混．
重心
三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重
心性质要明了，
重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运
用掌握好．
外心
三角形有六元素，三个内角有三边．作三边的中垂线，三线相
交共一点．
此点定义为外心，用它可作外接圆．内心外心莫记混，内切外
接是关键．
垂心
三角形上作三高，三高必于垂心交．高线分割三角形，出现直
角三对整，
5
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直角三角形有十二，构成六对相似形， 四点共圆图中有，细
心分析可找清.
内心
三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做
“内心”有根源；
点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”，
如此定义理当然．
五心性质别记混，做起题来真是好。
海伦公式
假设在平面内，有
一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的
面积S可由以下公式求得：
而公式里的p为半周长<周长的一半）：
注1：《度量论》）手抄本中用s作为半周长，所以
和
两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。
由于任何n边的多边形都可
以分割成
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br>线的长度。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只
需测两点间的距离，就可以方便
地导出答案。6ewMyirQFL
申明：
所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
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三角形五心定律
定理
三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角
形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心
定理，旁心定理的
总称。b5E2RGbCAP
重心定理
三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。三
中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。<重心原是一个物理概
念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三
条中线的交点，重心因而得名）p1E
anqFDPw
重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任
意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即
重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐
标是顶点坐标的算术平均数，
即其重心坐标为<
5.
以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于
零向量。
外心定理
三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
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外心的性质：
1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形
外心。
2、
若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A<∠A为锐角或直角）或
∠BOC=360°-2∠A<∠
A为钝角）。RTCrpUDGiT
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三
角形为
钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外
心在斜边上，与斜边的
中点重合。5PCzVD7HxA
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，
d3分别是
三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，
c3=d1d2；c=c1+c2+c3。外心坐标：(
(c2+c3>2c，(c1+c3>2c，
(c1+c2>2c >。jLBHrnAILg
5、外心到三顶点的距离相等
垂心定理
三角形的三条高<所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：
1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四
点圆。
2、
三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
<此直线称为三角形的欧拉线
3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离
的2倍。
2
7
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4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
定理证明
已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO
并延长交AB于点F
，求证：CF⊥ABLDAYtRyKfE
证明：
连接DE
∵∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四点共
圆 ∴∠ADE=∠ABE
∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC∴ΔAEO∽ΔADC
∴AEAO=ADAC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE
又∵∠ABE+∠BAC=90度 ∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB
因此，垂心定理成立！
内心定理
三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。
内心的性质：
1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。
2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的
差的二分之一。
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br>3、P为ΔABC所在空间中任意一点，点0是ΔABC内心的充要
条件是：向量P0=(a×向
量PA+b×向量PB+c×向量
PC>(a+b+c>.Zzz6ZB2Ltk
4
、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延
长AO交BC边于N，则有
AO
:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC>:BCdvzfvkwMI1
5、(欧拉
定理>⊿ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半
径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=
R^2-2Rr．rqyn14ZNXI
6、<内角平分线分三边长度关系）
△ABC中，0为内心，∠A
、∠B、∠C的内角平分线分别交BC、
AC、AB于Q、P、R， 则BQQC=cb,
CPPA=ac,
BRRA=tOco
7、内心到三角形三边距离相等。
旁心定理
三角形的旁切圆<与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）
的圆心，叫做三角形的旁心。
旁心的性质：
1、三角形一内角平分线和另
外两顶点处的外角平分线交于一点，
该点即为三角形的旁心。
2、每个三角形都有三个旁心。
3、旁心到三边的距离相等。
4
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如图，点
M就是△ABC的一个旁心。三角形任意两角的外角平分
线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形
有三个旁心，而且
一定在三角形外。SixE2yXPq5
附：三角形的中心：只有
正三角形才有中心，这时重心，内心，
外心，垂心，四心合一。
有关诗歌
三角形五心歌<重外垂内旁）
三角形有五颗心，重外垂内和旁心，五心性质很重要，认真掌
握莫记混．
重心
三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重
心性质要明了，
重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运
用掌握好．
外心
三角形有六元素，三个内角有三边．作三边的中垂线，三线相
交共一点．
此点定义为外心，用它可作外接圆．内心外心莫记混，内切外
接是关键．
垂心
三角形上作三高，三高必于垂心交．高线分割三角形，出现直
角三对整，
5
7
个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途
直角三角形有十二，构成六对相似形， 四点共圆图中有，细
心分析可找清.
内心
三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做
“内心”有根源；
点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”，
如此定义理当然．
五心性质别记混，做起题来真是好。
海伦公式
假设在平面内，有
一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的
面积S可由以下公式求得：
而公式里的p为半周长<周长的一半）：
注1：《度量论》）手抄本中用s作为半周长，所以
和
两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。
由于任何n边的多边形都可
以分割成
6 7
个人收集整理资料， 仅供交流学习， 勿作商业用途 <
br>线的长度。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只
需测两点间的距离，就可以方便
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