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巴蜀中学平面几何讲义第四讲罗贵文
第四讲：三角形的五心
三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心.
一、外心.
三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.
外心有如下美妙的性质：
性质1:外心是三角形三条边上的中垂线的交点。也就是说，三角形 的外心到三顶点的
距离相等。
性质2：设O是△ABC所在平面内一点，则O为
△A BC
的内心的充要条件是满足下述
条件之一：
（1）：
BOC2A，AOC2B,BOC2C;

(2):
OBOC,且BOC2A.同理有其他两式.

必要性显然，充分性只需注意到定弦一侧张定角的轨迹圆弧是唯一的即可得证。
性质3：
R=
abc
。
4S

abc
性 质4：直角三角形的外心为斜边中点，锐角三角形的外心在形内，钝角三角形的外心
在形外。
性质5：三角形的外心到三边的有向距（外心在形内一侧时为正，不然为负）之和等于
其外接圆半径与内 切圆半径之和。
二、重心
三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.三角形的重心有下列有趣性质：
（1）设G为△ ABC的重心，连结AG并延长交BC于D，则D为BC的中点，则
AG:GD2:1
； < br>（2）设G为△ABC的重心，则
S
ABG
S
BCG
 S
ACG

1
S
ABC
；
3
（3） 设G为△ABC的重心，过G作DE∥BC交AB于D，交AC于E，过G作PF∥AC交
AB于P，交 BC于F，过G作HK∥AB交AC于K，交BC于H，则
DEFPKH2DEFPKH
 ;2
；
BCCAAB3BCCAAB
（4）设G为△ABC的重心，则有如下数量关系
①< br>BC
2
3GA
2
CA
2
3GB
2AB
2
3GC
2
；
1
3
③
PA
2
PB
2
PC
2
GA
2
GB2
GC
2
3PG
2
（P为△ABC内任意一点）；
④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即
GA
2
GB
2
GC
2
最小；
②
GA
2
GB
2
 GC
2
(AB
2
BC
2
CA
2
)< br>；
可用解析几何方法证明：设A(x
1
，y
1
)，B(x< br>2
，y
2
)，C(x
3
，y
3
)．P(x， y)，
则S=(x－x
1
)
2
+(y－y
1
)< br>2
+(x－x
2
)
2
+(y－y
2
)
2
+(x－x
3
)
2
+(y－y
3
)
2

=3x
2
－2(x
1
+x
2
+x3
)x+(x
1
2
+x
2
2
+x
3< br>2
)+3y
2
－2(y
1
+y
2
+y
3
)y+(y
1
2
+y
2
2
+y
32
)
11
显然，当x=(x
1
+x
2
+x< br>3
)，y=(y
1
+y
2
+y
3
)时，S取 得最小值．即当P为ABC的重心时，S取
33
得最小值．
⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；
1

巴蜀中学平面几何讲义第四讲罗贵文
设三角形ABC的三边长为a
、
b
、
c，点P到三边的距离分别为x
，
y
，
z．
2

3
则2

=ax+by+cz
≥
3a x
·
by
·
cz．即xyz
≤
．等号当且仅当ax=by= cz，即

PAB
、
PBC
、
3
3abc

PCA的面积相等时成立．此时P为

ABC的重心．
掌握重心将每条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.
三、垂心
三角 形三条高的交点，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角
形，给我们解题提供 了极大的便利.垂心有如下美妙性质：
（1） △ABC的垂心为H，D
、
E
、
F为垂足，则有
AHHDBHHECHHF

（2） 三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；
（3）垂心H关于△ABC的三边的对称点，均在△ABC的外接圆上；
（4）△ABC的垂心为H，则△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆；
（5）设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则
BAOHAC,CBOABH,BCO HCA
．
（6）△ABC的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形中，以垂 足三角形周长
最短。
证明 (Fejer方法)分成几部分来证明：
A
1 先在BC上任取一点D，固定D，求出以D为一个顶点⊿ABC的内接
Q
三角形中周长最小者
．

P
D'
作D关于AB、AC的对称点D’、D”，连D’D”交 AB、AC于点F
、
E，
D
F
E
连DF、D’F，DE、D ”E，对于任一以DD一个顶点的⊿ABC的内接三角形
B
D
XPQ，连QD’、QD ，PD”、PD，于是可证
A
C
DE+EF+FD=D’D”≤D’Q+QP+PD”=DQ+QP+PD．
即⊿DEF为固定点D后周长最小的内接三角形．
D'
D
F
E2当点D的BC上运动时，对每一点D，都作出1中得出的周长最小三
角形，再求这些三角形的 周长最小值．
B
DC
连AD、AD’、AD”，则AD=AD’=AD”，且D’ AB=DAB，D”AC=DAC，
D'
A
于是D’AD”=2A．所以D ’D”=2ADsinA．当点D在BC上运动时，以点D为
BC边上高的垂足时AD最小．
F
3说明此时的最小三角形就是⊿ABC的垂足三角形．
E
由于D为BC 边上的垂足．对于垂足三角形DEF，由DEC=AEF，而
D
DEC=CED，故点 E在D’D”上，同理，F在D’D”上，即⊿DEF为所求得
B
D
C
的周长 最小三角形．
(Schwarz解法）这是一个非常奇妙的证法：
如图，⊿DEF为⊿AB C的垂足三角形，⊿PQR为⊿ABC的任一内接三角形．作⊿ABC
关于AC的对称图形⊿ACB1
，由DEC=FEA，故EF的关于AC的对称线段EF
1
应与DE
共线．再作⊿ACB
1
关于AB
1
的对称三角形AB
1
C
1
，…，这样连续作五次对称三角形，就得
到下图：
2

巴蜀中学平面几何讲义第四讲罗贵文
A
R
F
BH
D
P
C
P
1
D
1
B
1E
H
1
F
1
R
1
Q
1
E1
C
1
P
3
D
3
Q
B
2H
2
D
2
P
2
H
3
E
2Q
2
H
4
F
3
R
3
H
5D
4
P
4
F
2
R
2
Q
3A
1
E
3
C
2

在此图中的DD
4< br>=⊿DEF的周长的两倍．而折线PQR
1
P
2
Q
2
R
3
P
4
也等于⊿PQR的周长的
两倍．
但易证BDE +B
2
D
4
F
3
=180，于是DP∥D
4< br>P
4
，且DP=D
4
P
4
，从而线段PP
4
=DD
4
=⊿
DEF周长的两倍．显然，折线PQR
1
P< br>2
Q
2
R
3
P
4
的长>线段PP
4
的长．即⊿PQR的周长>⊿DEF
的周长．
四、内心
三角形的三条角分 线的交点是内切圆圆心，简称内心，内心到三角形各边距离相等。内心有
如下优美性质：
（1）设I为△ABC的内心，则I到△ABC三边的距离相等，反之亦然；
（2）设I为△ ABC的内心，则
BIC90
111
A,AIC90B,AI B90C
；
222
（3）***三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另 两顶点的距离与到内心的距离相等；反
之，若
A
平分线交△ABC外接圆于点K，I 为线段AK上的点且满足KI=KB，则I为△ABC
的内心；
（4）设I为△ABC的内心 ，
BCa,ACb,ABc,
A
平分线交BC于D，交△ABC外接圆
AIAKIKbc


IDKIKDa
（5）设I为△ABC的内心 ，
BCa,ACb,ABc,
I在
BC,AC,AB
上的射影分别为< br>D,E,F
，
于点K，则
内切圆半径为
r
，令
p( abc)
，则
①
S
ABC
pr
；
②
AEAFpa;BDBFpb;CECDpc
；
③
abcrpAIBICI
．
五、旁心
三角形的一条内角平分线与 另两个内角的外角平分线相交于一点，是旁切圆的圆心，称为旁
心.旁心常常与内心联系在一起，旁心还 与三角形的半周长关系密切.
设△ABC的三边
BCa,ACb,ABc,
令
p
1
2
1
分别与
BC,AC,AB
外侧相切的< br>(abc)
，
2
旁切圆圆心记为
I
A
,I
B
,I
C
，其半径分别记为
r
A
,r
B
,r
C
．则旁心有如下性质：
3

巴蜀中学平面几何讲义第四讲罗贵文
（1）
BI
A
C90
（2）
I
A
I
B
I
C

11
；
A,BI
B
CBI
C
CA,
（对于顶角B，C也有类似的式子）
22
1
(AC)
； 2
（3）设
AI
A
的连线交△ABC的外接圆于D，则
DIA
DBDC
（对于
BI
B
,CI
C
有同样 的结
论）；
（4）△ABC是△I
A
I
B
I
C< br>的垂足三角形，且△I
A
I
B
I
C
的外接圆半径R'
等于△ABC的直径为2R．
（5）
r
A

2S

abc
，同理有其它两式.


4

巴蜀中学平面几何讲义第四讲罗贵文
第四讲：三角形的五心
三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心.
一、外心.
三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.
外心有如下美妙的性质：
性质1:外心是三角形三条边上的中垂线的交点。也就是说，三角形 的外心到三顶点的
距离相等。
性质2：设O是△ABC所在平面内一点，则O为
△A BC
的内心的充要条件是满足下述
条件之一：
（1）：
BOC2A，AOC2B,BOC2C;

(2):
OBOC,且BOC2A.同理有其他两式.

必要性显然，充分性只需注意到定弦一侧张定角的轨迹圆弧是唯一的即可得证。
性质3：
R=
abc
。
4S

abc
性 质4：直角三角形的外心为斜边中点，锐角三角形的外心在形内，钝角三角形的外心
在形外。
性质5：三角形的外心到三边的有向距（外心在形内一侧时为正，不然为负）之和等于
其外接圆半径与内 切圆半径之和。
二、重心
三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.三角形的重心有下列有趣性质：
（1）设G为△ ABC的重心，连结AG并延长交BC于D，则D为BC的中点，则
AG:GD2:1
； < br>（2）设G为△ABC的重心，则
S
ABG
S
BCG
 S
ACG

1
S
ABC
；
3
（3） 设G为△ABC的重心，过G作DE∥BC交AB于D，交AC于E，过G作PF∥AC交
AB于P，交 BC于F，过G作HK∥AB交AC于K，交BC于H，则
DEFPKH2DEFPKH
 ;2
；
BCCAAB3BCCAAB
（4）设G为△ABC的重心，则有如下数量关系
①< br>BC
2
3GA
2
CA
2
3GB
2AB
2
3GC
2
；
1
3
③
PA
2
PB
2
PC
2
GA
2
GB2
GC
2
3PG
2
（P为△ABC内任意一点）；
④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即
GA
2
GB
2
GC
2
最小；
②
GA
2
GB
2
 GC
2
(AB
2
BC
2
CA
2
)< br>；
可用解析几何方法证明：设A(x
1
，y
1
)，B(x< br>2
，y
2
)，C(x
3
，y
3
)．P(x， y)，
则S=(x－x
1
)
2
+(y－y
1
)< br>2
+(x－x
2
)
2
+(y－y
2
)
2
+(x－x
3
)
2
+(y－y
3
)
2

=3x
2
－2(x
1
+x
2
+x3
)x+(x
1
2
+x
2
2
+x
3< br>2
)+3y
2
－2(y
1
+y
2
+y
3
)y+(y
1
2
+y
2
2
+y
32
)
11
显然，当x=(x
1
+x
2
+x< br>3
)，y=(y
1
+y
2
+y
3
)时，S取 得最小值．即当P为ABC的重心时，S取
33
得最小值．
⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；
1

巴蜀中学平面几何讲义第四讲罗贵文
设三角形ABC的三边长为a
、
b
、
c，点P到三边的距离分别为x
，
y
，
z．
2

3
则2

=ax+by+cz
≥
3a x
·
by
·
cz．即xyz
≤
．等号当且仅当ax=by= cz，即

PAB
、
PBC
、
3
3abc

PCA的面积相等时成立．此时P为

ABC的重心．
掌握重心将每条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.
三、垂心
三角 形三条高的交点，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角
形，给我们解题提供 了极大的便利.垂心有如下美妙性质：
（1） △ABC的垂心为H，D
、
E
、
F为垂足，则有
AHHDBHHECHHF

（2） 三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；
（3）垂心H关于△ABC的三边的对称点，均在△ABC的外接圆上；
（4）△ABC的垂心为H，则△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆；
（5）设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则
BAOHAC,CBOABH,BCO HCA
．
（6）△ABC的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形中，以垂 足三角形周长
最短。
证明 (Fejer方法)分成几部分来证明：
A
1 先在BC上任取一点D，固定D，求出以D为一个顶点⊿ABC的内接
Q
三角形中周长最小者
．

P
D'
作D关于AB、AC的对称点D’、D”，连D’D”交 AB、AC于点F
、
E，
D
F
E
连DF、D’F，DE、D ”E，对于任一以DD一个顶点的⊿ABC的内接三角形
B
D
XPQ，连QD’、QD ，PD”、PD，于是可证
A
C
DE+EF+FD=D’D”≤D’Q+QP+PD”=DQ+QP+PD．
即⊿DEF为固定点D后周长最小的内接三角形．
D'
D
F
E2当点D的BC上运动时，对每一点D，都作出1中得出的周长最小三
角形，再求这些三角形的 周长最小值．
B
DC
连AD、AD’、AD”，则AD=AD’=AD”，且D’ AB=DAB，D”AC=DAC，
D'
A
于是D’AD”=2A．所以D ’D”=2ADsinA．当点D在BC上运动时，以点D为
BC边上高的垂足时AD最小．
F
3说明此时的最小三角形就是⊿ABC的垂足三角形．
E
由于D为BC 边上的垂足．对于垂足三角形DEF，由DEC=AEF，而
D
DEC=CED，故点 E在D’D”上，同理，F在D’D”上，即⊿DEF为所求得
B
D
C
的周长 最小三角形．
(Schwarz解法）这是一个非常奇妙的证法：
如图，⊿DEF为⊿AB C的垂足三角形，⊿PQR为⊿ABC的任一内接三角形．作⊿ABC
关于AC的对称图形⊿ACB1
，由DEC=FEA，故EF的关于AC的对称线段EF
1
应与DE
共线．再作⊿ACB
1
关于AB
1
的对称三角形AB
1
C
1
，…，这样连续作五次对称三角形，就得
到下图：
2

巴蜀中学平面几何讲义第四讲罗贵文
A
R
F
BH
D
P
C
P
1
D
1
B
1E
H
1
F
1
R
1
Q
1
E1
C
1
P
3
D
3
Q
B
2H
2
D
2
P
2
H
3
E
2Q
2
H
4
F
3
R
3
H
5D
4
P
4
F
2
R
2
Q
3A
1
E
3
C
2

在此图中的DD
4< br>=⊿DEF的周长的两倍．而折线PQR
1
P
2
Q
2
R
3
P
4
也等于⊿PQR的周长的
两倍．
但易证BDE +B
2
D
4
F
3
=180，于是DP∥D
4< br>P
4
，且DP=D
4
P
4
，从而线段PP
4
=DD
4
=⊿
DEF周长的两倍．显然，折线PQR
1
P< br>2
Q
2
R
3
P
4
的长>线段PP
4
的长．即⊿PQR的周长>⊿DEF
的周长．
四、内心
三角形的三条角分 线的交点是内切圆圆心，简称内心，内心到三角形各边距离相等。内心有
如下优美性质：
（1）设I为△ABC的内心，则I到△ABC三边的距离相等，反之亦然；
（2）设I为△ ABC的内心，则
BIC90
111
A,AIC90B,AI B90C
；
222
（3）***三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另 两顶点的距离与到内心的距离相等；反
之，若
A
平分线交△ABC外接圆于点K，I 为线段AK上的点且满足KI=KB，则I为△ABC
的内心；
（4）设I为△ABC的内心 ，
BCa,ACb,ABc,
A
平分线交BC于D，交△ABC外接圆
AIAKIKbc


IDKIKDa
（5）设I为△ABC的内心 ，
BCa,ACb,ABc,
I在
BC,AC,AB
上的射影分别为< br>D,E,F
，
于点K，则
内切圆半径为
r
，令
p( abc)
，则
①
S
ABC
pr
；
②
AEAFpa;BDBFpb;CECDpc
；
③
abcrpAIBICI
．
五、旁心
三角形的一条内角平分线与 另两个内角的外角平分线相交于一点，是旁切圆的圆心，称为旁
心.旁心常常与内心联系在一起，旁心还 与三角形的半周长关系密切.
设△ABC的三边
BCa,ACb,ABc,
令
p
1
2
1
分别与
BC,AC,AB
外侧相切的< br>(abc)
，
2
旁切圆圆心记为
I
A
,I
B
,I
C
，其半径分别记为
r
A
,r
B
,r
C
．则旁心有如下性质：
3

巴蜀中学平面几何讲义第四讲罗贵文
（1）
BI
A
C90
（2）
I
A
I
B
I
C

11
；
A,BI
B
CBI
C
CA,
（对于顶角B，C也有类似的式子）
22
1
(AC)
； 2
（3）设
AI
A
的连线交△ABC的外接圆于D，则
DIA
DBDC
（对于
BI
B
,CI
C
有同样 的结
论）；
（4）△ABC是△I
A
I
B
I
C< br>的垂足三角形，且△I
A
I
B
I
C
的外接圆半径R'
等于△ABC的直径为2R．
（5）
r
A

2S

abc
，同理有其它两式.


4