有关青春的作文-托福必备词汇

小学六年级奥数题集锦

搬运一个仓库的货物，甲需要10小时， 乙需要12小时，丙需要15小时.有同样
的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物， 丙开始帮助甲搬运，
中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？
解：设搬运一个仓库的货物的工作量是1.现在相当于三人共同完成工作量
2，所需时间是





答：丙帮助甲搬运3小时，帮助乙搬运5小时
解本题的关键，是先算出三人共同搬运两个仓库的时 间.本题计算当然也可
以整数化，设搬运一个仓库全部工作量为 60.甲每小时搬运 6，乙每小时搬运 5，
丙每小时搬运4
三人共同搬完，需要
60 × 2÷（6+ 5+ 4）= 8（小时）
甲需丙帮助搬运
（60- 6× 8）÷ 4= 3（小时）
乙需丙帮助搬运
（60- 5× 8）÷4= 5（小时） < br>一件工作,若由甲单独做72天完成,现在甲做1天后,乙加入一起工作,合作2天后,
丙也一起 工作,三人再一起工作4天,完成全部工作的13,又过了8天,完成了全部
工作的56,若余下的工作 由丙单独完成,还需要几天?

答案
甲乙丙3人8天完成 :56-13=12
甲乙丙3人每天完成 :12÷8=116，
甲乙丙3人4天完成 :116×4=14
则甲做一天后乙做2天要做 :13-14=112
那么乙一天做 :[112-172×3]2=148
则丙一天做 :116-172-148=136
则余下的由丙做要 :[1-56]÷136=6天
答：还需要6天

某书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次购书用100元，按该书定 价
2.8元出售，很快售完。第二次购书时，每本的批发价比第一次增多了0.5元，
用去15 0元，所购数量比第一次多10本，当这批书售出45时出现滞销，便以
定价的5折售完剩余图书。试问 该老板第二次售书是赔钱还是赚钱，若赔，赔多
少，若赚，赚多少
答案
（100+40）2.8=50本 10050=2 150(2+0.5）=60本 60*80%=48本
48*2.8+2.8*50*12-150=1.2 盈利1.2元

育才小学原来体育达标人数与未达标人数比是3：5，后来又有60名同学达标，
这 时达标人数是未达标人数的911，育才小学共有学生多少人？
答案
原来达标人数占总人数的
3÷（3＋5）＝38
现在达标人数占总人数的
911÷（1＋911）＝920
育才小学共有学生
60÷（920－38）＝800人

甲乙丙三个村合修一条水渠，修完后，甲乙丙 村可灌溉的面积比是
8
：
7
：
5
原来
三个村计划按 可灌溉的面积比派出劳力，后来因为丙村抽不出劳力，经协商，丙
村应抽出的劳力由甲乙两村分担，丙村 付给甲乙两村工钱
1350
元，结果，甲村
共派出
60
人，乙村共派 出
40
人，问甲乙两村各应分得工钱多少元？

答案

根据甲乙丙村可灌溉的面积比算出总份数：
8+7+5=20
份

20=5
人

每份需要的人数：（
60+40
）
÷
5=40
人，多出劳力人数：
60-40=20
人

甲村需 要的人数：
8×
5=35
人，多出劳力人数：
40-35=5
人
乙村需要的人数：
7×
5=25
人

或
20+5=25
人

丙村需要的人数：
5×
25=54
元

每人应得的钱数：
1350÷
20=1080
元

甲村应得的工钱：
54×
5=270
元

乙村应得的工钱：
54×

某人到商店买红蓝两种钢笔，红钢笔定价5元， 蓝钢笔定价9元，由于购买量
较多，商店给予优惠，红钢笔八五折，蓝钢笔八折，结果此人付的钱比原来 节省
的18%，已知他买了蓝钢笔30枝，那么。他买了几支红钢笔？
答案

红笔买了x支。
（5x+30×9）×（1-18%)=5x×0.85+30×9×0.8
x=36.
十字交叉法，需要算总钱数比

< br>甲说：“我乙丙共有100元。”乙说：“如果甲的钱是现有的6倍，我的钱是现有
的13，丙的 钱不变，我们仍有钱100元。”丙说：“我的钱都没有30元。”三人
原来各有多少钱？
答案
乙的话表明：甲钱5倍与乙钱23一样多
所以，乙钱是3*5=15的倍数，甲钱是偶数

丙钱不足30，所以，甲乙钱和多于70，
而乙多于甲的6倍，
所以，乙多于60

设乙=75，甲=75*23÷5=10,丙=100-10-75=15
设乙=90，甲=90*23÷5=12,90+12>100,不行

所以，三人原来：甲10元，乙75元，丙15元

两支成分不同的蜡烛,其中1支 以均匀速度燃烧,2小时烧完,另一支可以燃烧3小
时,傍晚6时半同时点燃蜡烛，到什么1支剩余部分 正好是另一支剩余的2倍？
答案
两支蜡烛分别设为A蜡烛和B蜡烛，其中A蜡烛是那支烧得快点的
A蜡烛，两小时烧完，那么每小时燃烧12
B蜡烛，三小时烧完，那么每小时燃烧13
设过了x小时以后，B蜡烛剩余的部分是A的两倍
2（1—x2）=1—x3
解得x=1.5
由于是6点半开始的，所以到8点的时候刚刚好

学校组织春游，同学们下午
1
点从学校出发，走了一段平路，爬了一座山后按原
路 返回，下午七点回到学校。已知他们的步行速度平路
4Km
小时，爬山
3Km
小时，下山为
6Km
小时，返回时间为
2.5
时。问：他们一共行了多少路< br>
答案1
设走的平路是X公里 山路是Y公里
因为1点到七点共用时间6小时 返回为2.5小时 则去时用3.5小时
Y3-Y6=1小时
Y=6公里
去时共用3.5小时 则X4+Y3=3.5 X=6
所以总路程为2（6+6）=24km
答案
2
解：春游共用时：7：00－1：00＝6（小时）
上山用时：6－2.5＝3.5（小时）
上山多用：3.5－2.5＝1（小时）
山路：（6－3）×1÷（3÷6）＝6（千米）
下山用时：6÷6＝1（小时）

平路：（2.5－1）×4＝6（千米）
单程走路：6＋6＝12（千米）
共走路：12×2＝24（千米）
答：他们共走24千米。



工程问题
1．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独 开，
排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水
管丙，问 水池注满还是要多少小时？
解：
120+116＝980表示甲乙的工作效率
980×5＝4580表示5小时后进水量
1-4580＝3580表示还要的进水量
3580÷（980-110）＝35表示还要35小时注满
答：5小时后还要35小时就能将水池注满。

2．修一条水渠，单独修，甲队需要 20天完成，乙队需要30天完成。如果两队合
作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲 队的工作效率是原来的
五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。现在计划16天修完这条水渠，< br>且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？
解：由题意得，甲的工效为120，乙 的工效为130，甲乙的合作工效为
120*45+130*910＝7100，可知甲乙合作工效>甲 的工效>乙的工效。
又因为，要求“两队合作的天数尽可能少”，所以应该让做的快的甲多做，16天 内
实在来不及的才应该让甲乙合作完成。只有这样才能“两队合作的天数尽可能
少”。
设合作时间为x天，则甲独做时间为（16-x）天
120*（16-x）+7100*x＝1
x＝10
答：甲乙最短合作10天

3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。现在先请甲、
丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时？
解：
由题意知，14表示甲乙合作1小时的工作量，15表示乙丙合作1小时的工作量
（14+15）×2＝910表示甲做了2小时、乙做了4小时、丙做了2小时的工作量。
根 据“甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成”可知甲做2小时、乙做6
小时、丙做2小时一共 的工作量为1。
所以1－910＝110表示乙做6-4＝2小时的工作量。
110÷2＝120表示乙的工作效率。
1÷120＝20小时表示乙单独完成需要20小时。
答：乙单独完成需要20小时。

4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙 做，这样交替
轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，
第 四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做
这项工程需17天完成，甲 单独做这项工程要多少天完成？
解：由题意可知
1甲+1乙+1甲+1乙+……+1甲＝1
1乙+1甲+1乙+1甲+……+1乙+1甲×0.5＝1
（1甲表示甲的工作效率、1乙表 示乙的工作效率，最后结束必须如上所示，否
则第二种做法就不比第一种多0.5天）
1甲＝1乙+1甲×0.5（因为前面的工作量都相等）
得到1甲＝1乙×2
又因为1乙＝117
所以1甲＝217，甲等于17÷2＝8.5天

5 ．师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了12时，徒弟完成了120个。当师
傅完成了任务时，徒弟 完成了45这批零件共有多少个？
答案为300个
120÷（45÷2）＝300个 可以这样想：师傅第一次完成了12，第二次也是12，两次一共全部完工，那么
徒弟第二次后共完 成了45，可以推算出第一次完成了45的一半是25，刚好是
120个。

6．一 批树苗，如果分给男女生栽，平均每人栽6棵；如果单份给女生栽，平均
每人栽10棵。单份给男生栽， 平均每人栽几棵？
答案是15棵
算式：1÷（16-110）＝15棵

7．一个池上装有3根水管。甲管为进水管，乙管为出水管，20分钟可将满池水
放完，丙管也是出水 管，30分钟可将满池水放完。现在先打开甲管，当水池水
刚溢出时，打开乙,丙两管用了18分钟放完 ，当打开甲管注满水是，再打开乙管，
而不开丙管，多少分钟将水放完？
答案45分钟。
1÷（120+130）＝12 表示乙丙合作将满池水放完需要的分钟数。
112*（18-12）＝112*6＝12 表示乙丙合作将漫池水放完后，还多放了6分钟
的水，也就是甲18分钟进的水。
12÷18＝136 表示甲每分钟进水
最后就是1÷（120-136）＝45分钟。

8．某工程队需要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙队去
做， 要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如
期完成，问规定日期为几天？
答案为6天
解：

由“若乙队去做，要超过规定日期三天 完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单
独做，恰好如期完成，”可知：
乙做3天的工作量＝甲2天的工作量
即：甲乙的工作效率比是3：2
甲、乙分别做全部的的工作时间比是2：3
时间比的差是1份
实际时间的差是3天
所以3÷（3-2）×2＝6天，就是甲的时间，也就是规定日期
方程方法：
[1x+1（x+2）]×2+1（x+2）×（x-2）＝1
解得x＝6
9．两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小时，而点完一根细蜡烛要1小时，
一天晚上停电，小 芳同时点燃了这两根蜡烛看书，若干分钟后来点了，小芳将两
支蜡烛同时熄灭，发现粗蜡烛的长是细蜡烛 的2倍，问：停电多少分钟？
答案为40分钟。
解：设停电了x分钟
根据题意列方程
1-1120*x＝（1-160*x）*2
解得x＝40


二．鸡兔同笼问题
1．鸡与兔共100只,鸡的腿数比兔的腿数少28条,问鸡与兔各有几只?
解：
4*100＝400，400-0＝400 假设都是兔子，一共有400只兔子的脚，那么鸡的脚
为0只，鸡的脚比兔子的脚少400只。
400-28＝372 实际鸡的脚数比兔子的脚数只少28只，相差372只，这是为什么？
4+2＝6 这是因为只要将一只兔子换成一只鸡，兔子的总脚数就会减少4只（从
400只变 为396只），鸡的总脚数就会增加2只（从0只到2只），它们的相差数就会
少4+2＝6只（也就是 原来的相差数是400-0＝400，现在的相差数为396-2＝394，
相差数少了400-394 ＝6）
372÷6＝62 表示鸡的只数，也就是说因为假设中的100只兔子中有62只改为了鸡，所以脚的相差数从400改为28，一共改了372只
100-62＝38表示兔的只数




三．数字数位问题
1．把1至2005这200 5个自然数依次写下来得到一个多位数123456789.....2005,
这个多位数除以9余数 是多少?
解：
首先研究能被9整除的数的特点：如果各个数位上的数字之和能被9整除，那么

这个数也能被9整除；如果各个位数字之和不能被9整除，那么得的余数就是这
个数除以9得的 余数。
解题：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；45能被9整除
依次类推：1~1999这些数的个位上的数字之和可以被9整除
10~19，20~29… …90~99这些数中十位上的数字都出现了10次，那么十位上的
数字之和就是10+20+30+… …+90=450 它有能被9整除
同样的道理，100~900 百位上的数字之和为4500 同样被9整除
也就是说1~999这些连续的自然数的各个位上的数字之和可以被9整除；
同样的道理：1000~1999这些连续的自然数中百位、十位、个位 上的数字之和
可以被9整除（这里千位上的“1”还没考虑，同时这里我们少
2
从1000~1999千位上一共999个“1”的和是999，也能整除；
2的各位数字之和是27，也刚好整除。
最后答案为余数为0。

2．A和B是小于100的两个非零的不同自然数。求A+B分之A-B的最小值...
解：
(A-B)(A+B) = (A+B - 2B)(A+B) = 1 - 2 * B(A+B)
前面的 1 不会变了，只需求后面的最小值，此时 (A-B)(A+B) 最大。
对于 B (A+B) 取最小时，(A+B)B 取最大，
问题转化为求 (A+B)B 的最大值。
(A+B)B = 1 + AB ，最大的可能性是 AB = 991
(A+B)B = 100
(A-B)(A+B) 的最大值是： 98 100

3．已知A.B.C都是非0自然数,A2 + B4 + C16的近似值市6.4,那么它的准确值
是多少?
答案为6.375或6.4375
因为A2 + B4 + C16＝8A+4B+C16≈6.4，
所以8A+4B+C≈1 02.4，由于A、B、C为非0自然数，因此8A+4B+C为一个整数，
可能是102，也有可能是 103。
当是102时，10216＝6.375
当是103时，10316＝6.4375

4．一个三位数的各位数字 之和是1 7.其中十位数字比个位数字大1.如果把这个
三位数的百位数字与个位数字对调,得到一个新的三位数 ,则新的三位数比原三位
数大198,求原数.
答案为476
解：设原数个位为a，则十位为a+1，百位为16-2a
根据题意列方程100a+10a+16-2a－100（16-2a）-10a-a＝198
解得a＝6，则a+1＝7 16-2a＝4
答：原数为476。

5． 一个两位数,在它的前面写上3,所组成的三位数比原两位数的7倍多24,求原来

的两位数.
答案为24
解：设该两位数为a，则该三位数为300+a
7a+24＝300+a
a＝24
答：该两位数为24。

6 ．把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数,它与原数相加,和
恰好是某自然数的平方, 这个和是多少?
答案为121
解：设原两位数为10a+b，则新两位数为10b+a
它们的和就是10a+b+10b+a＝11（a+b）
因为这个和是一个平方数，可以确定a+b＝11
因此这个和就是11×11＝121
答：它们的和为121。

7．一个六位数的末位数字是2,如果把2移到首位,原数就是新数的3倍,求原数.
答案为85714
解：设原六位数为abcde2，则新六位数为2abcde（字母上无法 加横线，请将整
个看成一个六位数）
再设abcde（五位数）为x，则原六位数就是10x+2，新六位数就是200000+x
根据题意得，（200000+x）×3＝10x+2
解得x＝85714
所以原数就是857142
答：原数为857142

8．有一个四位数 ,个位数字与百位数字的和是12,十位数字与千位数字的和是9,
如果个位数字与百位数字互换,千位 数字与十位数字互换,新数就比原数增加
2376,求原数.
答案为3963
解：设原四位数为abcd，则新数为cdab，且d+b＝12，a+c＝9
根据“新数就比原数增加2376”可知abcd+2376=cdab,列竖式便于观察
abcd
2376
cdab
根据d+b＝12，可知d、b可能是3、9；4、8；5、7；6、6。
再观察竖式中的个位，便可以知道只有当d＝3，b＝9；或d＝8，b＝4时成立。
先取d＝3，b＝9代入竖式的百位，可以确定十位上有进位。
根据a+c＝9，可知a、c可能是1、8；2、7；3、6；4、5。
再观察竖式中的十位，便可知只有当c＝6，a＝3时成立。
再代入竖式的千位，成立。
得到：abcd＝3963
再取d＝8，b＝4代入竖式的十位，无法找到竖式的十位合适的数，所以不成立。

9．有一个两位数,如果用它去除以个位数字,商为9余数为6,如果用这个 两位数除
以个位数字与十位数字之和,则商为5余数为3,求这个两位数.
解：设这个两位数为ab
10a+b＝9b+6
10a+b＝5（a+b）+3
化简得到一样：5a+4b＝3
由于a、b均为一位整数
得到a＝3或7，b＝3或8
原数为33或78均可以

10．如果现在 是上午的10点21分,那么在经过28799...99(一共有20个9)分钟之后
的时间将是几点 几分?
答案是10：20
解：
（28799……9（20个9）+1）6024 整除，表示正好过了整数天，时间仍然还是
10：21，因为事先计算时加了1分钟，所以现在时间是1 0：20

四．排列组合问题
1．有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有（ ）
A 768种 B 32种 C 24种 D 2的10次方中
解：
根据乘法原理，分两步：
第一步 是把5对夫妻看作5个整体，进行排列有5×4×3×2×1＝120种不同的排法，
但是因为是围成一 个首尾相接的圈，就会产生5个5个重复，因此实际排法只有
120÷5＝24种。
第二步每 一对夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫妻均有2种排法，
总共又2×2×2×2×2＝32 种
综合两步，就有24×32＝768种。

2 若把英语单词hello的字母写错了,则可能出现的错误共有 ( )
A 119种 B 36种 C 59种 D 48种
解：
5全排列5*4*3*2*1=120
有两个l所以1202=60
原来有一种正确的所以60-1=59





五．容斥原理问题
1． 有100种赤贫.其中含钙的有6 8种,含铁的有43种,那么,同时含钙和铁的食品种
类的最大值和最小值分别是( )
A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11

解：根据容斥原理最小值68+43-100＝11
最大值就是含铁的有43种

2．在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学
生至 少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解
出第三题的人数的2倍: (3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人
数多1人;(4)只解出一道题的学生中,有 一半没有解出第一题,那么只解出第二题
的学生人数是( )
A，5 B，6 C，7 D，8
解：根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为7类：只答第1题，
只 答第2题，只答第3题，只答第1、2题，只答第1、3题，只答2、3题，答1、2、
3题。
分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123
由（1）知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123＝25…①
由（2）知：a2+a23＝（a3+ a23）×2……②
由（3）知：a12+a13+a123＝a1－1……③
由（4）知：a1＝a2+a3……④
再由②得a23＝a2－a3×2……⑤
再由③④得a12+a13+a123＝a2+a3－1⑥
然后将④⑤⑥代入①中，整理得到
a2×4+a3＝26
由于a2、a3均表示人数，可以求出它们的整数解：
当a2＝6、5、4、3、2、1时，a3＝2、6、10、14、18、22
又根据a23＝a2－a3×2……⑤可知：a2>a3
因此，符合条件的只有a2＝6，a3＝2。
然后可以推出a1＝8，a12+a13+a1 23＝7，a23＝2，总人数＝8+6+2+7+2＝25，
检验所有条件均符。
故只解出第二题的学生人数a2＝6人。

3．一次考试共有5道试题。做对第1、 2、3、、4、5题的分别占参加考试人数的
95%、80%、79%、74%、85%。如果做对三道 或三道以上为合格，那么这次考
试的合格率至少是多少？
答案：及格率至少为71％。
假设一共有100人考试
100-95＝5
100-80＝20
100-79＝21
100-74＝26
100-85＝15
5+20+21+26+15＝87（表示5题中有1题做错的最多人数）
87÷3＝29（表示5题中有3题做错的最多人数，即不及格的人数最多为29人）
100-29＝71（及格的最少人数，其实都是全对的）
及格率至少为71％

六．抽屉原理、奇偶性问题
1．一只布袋中装有大小相 同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种，
问最少要摸出几只手套才能保证有3副同色的？ < br>解：可以把四种不同的颜色看成是4个抽屉，把手套看成是元素，要保证有一副
同色的，就是1个 抽屉里至少有2只手套，根据抽屉原理，最少要摸出5只手套。
这时拿出1副同色的后4个抽屉中还剩3 只手套。再根据抽屉原理，只要再摸出2
只手套，又能保证有一副手套是同色的，以此类推。
把四种颜色看做4个抽屉，要保证有3副同色的，先考虑保证有1副就要摸出5只
手套。这时拿出1副同 色的后，4个抽屉中还剩下3只手套。根据抽屉原理，只要
再摸出2只手套，又能保证有1副是同色的。 以此类推，要保证有3副同色的，共
摸出的手套有：5+2+2=9（只）
答：最少要摸出9只手套，才能保证有3副同色的。

2．有四种颜色的积木若干， 每人可任取1-2件，至少有几个人去取，才能保证有
3人能取得完全一样？
答案为21
解：
每人取1件时有4种不同的取法,每人取2件时,有6种不同的取法.
当有11人时,能保证至少有2人取得完全一样:
当有21人时,才能保证到少有3人取得完全一样.

3．某盒子内装50只球，其 中10只是红色，10只是绿色，10只是黄色，10只是
蓝色，其余是白球和黑球，为了确保取出的球 中至少包含有7只同色的球，问：
最少必须从袋中取出多少只球？
解：需要分情况讨论，因为无法确定其中黑球与白球的个数。
当黑球或白球其中没有大于或等于7个的，那么就是：
6*4+10+1=35(个)
如果黑球或白球其中有等于7个的，那么就是：
6*5+3+1＝34（个）
如果黑球或白球其中有等于8个的，那么就是：
6*5+2+1＝33
如果黑球或白球其中有等于9个的，那么就是：
6*5+1+1＝32

4．地上有四堆石子，石子数分别是1、9、15、31如果每次从其中的三堆同时各
取出1个，然后都 放入第四堆中，那么，能否经过若干次操作，使得这四堆石子
的个数都相同?（如果能请说明具体操作， 不能则要说明理由）
不可能。
因为总数为1+9+15+31＝56
564＝14
14是一个偶数
而原来1、9、15、31都是奇数，取出1个和放 入3个也都是奇数，奇数加减若干
次奇数后，结果一定还是奇数，不可能得到偶数（14个）。

七．路程问题
1．狗跑5步的时间马跑3步，马跑4步 的距离狗跑7步，现在狗已跑出30米，马开
始追它。问：狗再跑多远，马可以追上它？
解：
根据“马跑4步的距离狗跑7步”，可以设马每步长为7x米，则狗每步长为4x米。
根据“ 狗跑5步的时间马跑3步”，可知同一时间马跑3*7x米＝21x米，则狗跑5*4x
＝20米。
可以得出马与狗的速度比是21x：20x＝21：20
根据“现在狗已跑出30米”，可以 知道狗与马相差的路程是30米，他们相差的份
数是21-20＝1，现在求马的21份是多少路程，就 是 30÷（21-20）×21＝630米

2．甲乙辆车同时从a b两地相对开出，几 小时后再距中点40千米处相遇？已知，
甲车行完全程要8小时，乙车行完全程要10小时，求a b 两地相距多少千米？
答案720千米。
由“甲车行完全程要8小时，乙车行完全程要10小 时”可知，相遇时甲行了10份，
乙行了8份（总路程为18份），两车相差2份。又因为两车在中点4 0千米处相遇，
说明两车的路程差是（40+40）千米。所以算式是（40+40）÷（10-8）× （10+8）
＝720千米。

3．在一个600米的环形跑道上，兄两人同时从同 一个起点按顺时针方向跑步，
两人每隔12分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出 发，
哥哥改为按逆时针方向跑，则两人每隔4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分
钟？
答案为两人跑一圈各要6分钟和12分钟。
解：
600÷12=50，表示哥哥、弟弟的速度差
600÷4=150，表示哥哥、弟弟的速度和
（50+150）÷2=100，表示较快的速度，方法是求和差问题中的较大数
（150-50）2=50，表示较慢的速度，方法是求和差问题中的较小数
600÷100=6分钟，表示跑的快者用的时间
60050=12分钟，表示跑得慢者用的时间

4．慢车车长125米，车速每秒 行17米，快车车长140米，车速每秒行22米，慢
车在前面行驶，快车从后面追上来，那么，快车从 追上慢车的车尾到完全超过慢
车需要多少时间？
答案为53秒
算式是（140+125)÷(22-17)=53秒
可以这样理解：“快车从追上慢车的车 尾到完全超过慢车”就是快车车尾上的点追
及慢车车头的点，因此追及的路程应该为两个车长的和。

5．在300米长的环形跑道上，甲乙两个人同时同向并排起跑，甲平均速度是每
秒 5米，乙平均速度是每秒4.4米，两人起跑后的第一次相遇在起跑线前几米？
答案为100米

300÷（5-4.4）＝500秒，表示追及时间
5×500＝2500米，表示甲追到乙时所行的路程
2500÷300＝8圈……100米 ，表示甲追及总路程为8圈还多100米，就是在原来起
跑线的前方100米处相遇。
6．一个人在铁道边，听见远处传来的火车汽笛声后，在经过57秒火车经过她前
面，已知火车鸣笛 时离他1360米，(轨道是直的),声音每秒传340米，求火车的速
度（得出保留整数）
答案为22米秒
算式：1360÷(1360÷340+57）≈22米秒
关键理 解：人在听到声音后57秒才车到，说明人听到声音时车已经从发声音的
地方行出1360÷340＝4 秒的路程。也就是1360米一共用了4+57＝61秒。

7．猎犬发现在离它10米远的 前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去，猎犬的
步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的 动作快，猎犬跑2步的时间，
兔子却能跑3步，问猎犬至少跑多少米才能追上兔子。
正确的答案是猎犬至少跑60米才能追上。
解：
由“猎犬跑5步的路程，兔子要跑 9步”可知当猎犬每步a米，则兔子每步59米。
由“猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步”可知同一时 间，猎犬跑2a米，兔子可跑
59a*3＝53a米。从而可知猎犬与兔子的速度比是2a：53a＝6 ：5，也就是说
当猎犬跑60米时候，兔子跑50米，本来相差的10米刚好追完

8． AB两地,甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是4:5,如果甲乙二人分别
同时从 AB两地相对行使,40分钟后两人相遇,相遇后各自继续前行,这样，乙到达
A地比甲到达B地要晚多 少分钟?
答案：18分钟
解：设全程为1,甲的速度为x乙的速度为y
列式40x+40y=1
x:y=5:4
得x=172 y=190
走完全程甲需72分钟,乙需90分钟
故得解
9．甲乙两车同时从AB两地相对开 出。第一次相遇后两车继续行驶，各自到达
对方出发点后立即返回。第二次相遇时离B地的距离是AB全 程的15。已知甲
车在第一次相遇时行了120千米。AB两地相距多少千米？
答案是300千米。
解：通过画线段图可知，两个人第一次相遇时一共行了1个AB的路程， 从开始
到第二次相遇，一共又行了3个AB的路程，可以推算出甲、乙各自共所行的路
程分别是 第一次相遇前各自所走的路程的3倍。即甲共走的路程是120*3＝360千
米，从线段图可以看出， 甲一共走了全程的（1+15）。
因此360÷（1+15）＝300千米

从A 地到B地，甲、乙两人骑自行车分别需要4小时、6小时，现在甲乙分别AB

两地同时出发相向而行，相遇时距AB两地中点2千米。如果二人分别至B地，
A地后都立即折回。第二 次相遇点第一次相遇点之间有（）千米

10．一船以同样速度往返于两地之间，它顺流需要 6小时;逆流8小时。如果水流
速度是每小时2千米，求两地间的距离？
解：（16-18）÷2＝148表示水速的分率
2÷148＝96千米表示总路程

11．快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，快车每小时行33千米，相遇是已行
了 全程的七分之四，已知慢车行完全程需要8小时，求甲乙两地的路程。
解：
相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是4：3
时间比为3：4
所以快车行全程的时间为84*3＝6小时
6*33＝198千米

12 ．小华从甲地到乙地,3分之1骑车,3分之2乘车;从乙地返回甲地,5分之3骑车,5
分之2乘车, 结果慢了半小时.已知,骑车每小时12千米,乘车每小时30千米,问:甲乙
两地相距多少千米?
解：
把路程看成1，得到时间系数
去时时间系数：13÷12+23÷30
返回时间系数：35÷12+25÷30
两者之差：（35÷12+25÷30）-（13÷12+23÷30）=175相当于12小时
去时时间：12×（13÷12）÷175和12×（23÷30）175
路程：12×〔1 2×（13÷12）÷175〕+30×〔12×（23÷30）175〕=37.5（千米）
小学奥数题80道

六年综合奥数题 工程问题

1．甲乙两个 水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独开，排一池
水要10小时，若水池 没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问水池注
满还是要多少小时？

解： 120+116＝980表示甲乙的工作效率

980×5＝4580表示5小时后进水量

1-4580＝3580表示还要的进水量

3580÷（980-110）＝35表示还要35小时注满

答：5小时后还要35小时就能将水池注满。

2．修一条水渠，单独修，甲队 需要20天完成，乙队需要30天完成。如果两队合作，由于
彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低 ，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作
效率只有原来的十分之九。现在计划16天修完这条水渠 ，且要求两队合作的天数尽可能少，
那么两队要合作几天？

< br>解：由题意得，甲的工效为120，乙的工效为130，甲乙的合作工效为120*45+130*910
＝7100，可知甲乙合作工效>甲的工效>乙的工效。

又因为，要求“两队合 作的天数尽可能少”，所以应该让做的快的甲多做，16天内实在来不
及的才应该让甲乙合作完成。只有 这样才能“两队合作的天数尽可能少”。

设合作时间为x天，则甲独做时间为（16-x）天

120*（16-x）+7100*x＝1 x＝10 答：甲乙最短合作10天

3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。现在先请甲、丙合做
2小时后，余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时？

解： 由题意知，14表示甲乙合作1小时的工作量，15表示乙丙合作1小时的工作量

（14+15）×2＝910表示甲做了2小时、乙做了4小时、丙做了2小时的工作量。

根据“甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成”可知甲做2小时、乙做6小时、丙
做 2小时一共的工作量为1。

所以1－910＝110表示乙做6-4＝2小时的工作量。

110÷2＝120表示乙的工作效率。

1÷120＝20小时表示乙单独完成需要20小时。

答：乙单独完成需要20小时。

4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第 三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那
么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三 天乙做，第四天甲做，这样交替
轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需17 天完成，甲单独做
这项工程要多少天完成？

解：由题意可知

1甲+1乙+1甲+1乙+……+1甲＝1

1乙+1甲+1乙+1甲+……+1乙+1甲×0.5＝1

（1甲表示甲的工作 效率、1乙表示乙的工作效率，最后结束必须如上所示，否则第二种做
法就不比第一种多0.5天）

1甲＝1乙+1甲×0.5（因为前面的工作量都相等）

得到1甲＝1乙×2

又因为1乙＝117

所以1甲＝217，甲等于17÷2＝8.5天

5．师徒俩人加工同样多的零 件。当师傅完成了12时，徒弟完成了120个。当师傅完成了
任务时，徒弟完成了45这批零件共有多 少个？

答案为300个

120÷（45÷2）＝300个

可以这样想：师傅第一次完成了12，第二次也是12，两次一共全部完工，那么徒弟第二< br>次后共完成了45，可以推算出第一次完成了45的一半是25，刚好是120个。

6．一批树苗，如果分给男女生栽，平均每人栽6棵；如果单份给女生栽，平 均每人栽10
棵。单份给男生栽，平均每人栽几棵？

答案是15棵

算式：1÷（16-110）＝15棵

7．一个池上装有3根水管。甲管为进水 管，乙管为出水管，20分钟可将满池水放完，丙管
也是出水管，30分钟可将满池水放完。现在先打开 甲管，当水池水刚溢出时，打开乙,丙两
管用了18分钟放完，当打开甲管注满水是，再打开乙管，而不 开丙管，多少分钟将水放完？

答案45分钟。

1÷（120+130）＝12 表示乙丙合作将满池水放完需要的分钟数。

112*（18-12）＝112*6＝12 表示乙丙合作将漫池水放完后，还多放了6分钟的水，也就
是甲18分钟进的水。

12÷18＝136 表示甲每分钟进水

最后就是1÷（120-136）＝45分钟。

8．某工程队需要在规定日期 内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙队去做，要超过
规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天， 再由乙队单独做，恰好如期完成，问规定日期为
几天？

答案为6天

解： 由“若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，
恰好如期完成，”可知：

乙做3天的工作量＝甲2天的工作量

即：甲乙的工作效率比是3：2

甲、乙分别做全部的的工作时间比是2：3

时间比的差是1份

实际时间的差是3天

所以3÷（3-2）×2＝6天，就是甲的时间，也就是规定日期

方程方法：

[1x+1（x+2）]×2+1（x+2）×（x-2）＝1

解得x＝6

9．两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小时，而点完一根细 蜡烛要1小时，一天晚上
停电，小芳同时点燃了这两根蜡烛看书，若干分钟后来点了，小芳将两支蜡烛同 时熄灭，发
现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍，问：停电多少分钟？

答案为40分钟。

解：设停电了x分钟

根据题意列方程 1-1120*x＝（1-160*x）*2 解得x＝40

二．鸡兔同笼问题

1．鸡与兔共100只,鸡的腿数比兔的腿数少28条,问鸡与兔各有几只?

解： 4*100＝400，400-0＝400 假设都是兔子，一共有400只兔子的脚，那么鸡的脚为0
只，鸡的脚比兔子的脚少400只。

400-28＝372 实际鸡的脚数比兔子的脚数只少28只，相差372只，这是为什么？

4+2＝6 这是 因为只要将一只兔子换成一只鸡，兔子的总脚数就会减少4只（从400只变为
396只），鸡的总脚数 就会增加2只（从0只到2只），它们的相差数就会少4+2＝6只（也
就是原来的相差数是400-0 ＝400，现在的相差数为396-2＝394，相差数少了400-394＝6）

372÷6＝62 表示鸡的只数，也就是说因为假设中的100只兔子中有62只改为了鸡，所以脚< br>的相差数从400改为28，一共改了372只

100-62＝38表示兔的只数

三．数字数位问题

1．把1至2005这2005个自然数依次写 下来得到一个多位数123456789.....2005,这个多位数
除以9余数是多少?

解：首先研究能被9整除的数的特点：如果各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个数< br>也能被9整除；如果各个位数字之和不能被9整除，那么得的余数就是这个数除以9得的余
数。

解题：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；45能被9整除

依次类推：1~1999这些数的个位上的数字之和可以被9整除

10~19， 20~29……90~99这些数中十位上的数字都出现了10次，那么十位上的数字之和就
是10+2 0+30+……+90=450 它有能被9整除

同样的道理，100~900 百位上的数字之和为4500 同样被9整除

也就是说1~999这些连续的自然数的各个位上的数字之和可以被9整除；

同样的道理：1000~1999这些连续的自然数中百位、十位、个位 上的数字之和可以被9整
除（这里千位上的“1”还没考虑，同时这里我们少2

从1000~1999千位上一共999个“1”的和是999，也能整除；

2的各位数字之和是27，也刚好整除。

最后答案为余数为0。

2．A和B是小于100的两个非零的不同自然数。求A+B分之A-B的最小值...

解： (A-B)(A+B) = (A+B - 2B)(A+B) = 1 - 2 * B(A+B)

前面的 1 不会变了，只需求后面的最小值，此时 (A-B)(A+B) 最大。

对于 B (A+B) 取最小时，(A+B)B 取最大，

问题转化为求 (A+B)B 的最大值。

(A+B)B = 1 + AB ，最大的可能性是 AB = 991

(A+B)B = 100

(A-B)(A+B) 的最大值是： 98 100

3．已知A.B.C都是非0自然数,A2 + B4 + C16的近似值市6.4,那么它的准确值是多少?

答案为6.375或6.4375

因为A2 + B4 + C16＝8A+4B+C16≈6.4，

所以8A+4B+C≈102.4，由于A、B 、C为非0自然数，因此8A+4B+C为一个整数，可能是
102，也有可能是103。

当是102时，10216＝6.375

当是103时，10316＝6.4375

4．一个三位数的各位数字 之和 是17.其中十位数字比个位数字大1.如果把这个三位数的百
位数字与个位数字对调,得到一个新的三 位数,则新的三位数比原三位数大198,求原数.

答案为476

解：设原数个位为a，则十位为a+1，百位为16-2a

根据题意列方程100a+10a+16-2a－100（16-2a）-10a-a＝198

解得a＝6，则a+1＝7 16-2a＝4

答：原数为476。

5．一个两位数,在它的前面写上3,所组成的三位数比原两位数的7倍多24,求原来的两位数.

答案为24

解：设该两位数为a，则该三位数为300+a

7a+24＝300+a

a＝24

答：该两位数为24。

6．把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一 个新数,它与原数相加,和恰好是某自
然数的平方,这个和是多少?

答案为121

解：设原两位数为10a+b，则新两位数为10b+a

它们的和就是10a+b+10b+a＝11（a+b）

因为这个和是一个平方数，可以确定a+b＝11

因此这个和就是11×11＝121

答：它们的和为121。

7．一个六位数的末位数字是2,如果把2移到首位,原数就是新数的3倍,求原数.

答案为85714

解：设原六位数为abcde2，则新六位数为2abcde （字母上无法加横线，请将整个看成一个
六位数）

再设abcde（五位数）为x，则原六位数就是10x+2，新六位数就是200000+x

根据题意得，（200000+x）×3＝10x+2

解得x＝85714

所以原数就是857142

答：原数为857142

8．有一个四位数,个位 数字与百位数字的和是12,十位数字与千位数字的和是9,如果个位数
字与百位数字互换,千位数字与 十位数字互换,新数就比原数增加2376,求原数.

答案为3963

解：设原四位数为abcd，则新数为cdab，且d+b＝12，a+c＝9

根据“新数就比原数增加2376”可知abcd+2376=cdab,列竖式便于观察

abcd 2376 cdab

根据d+b＝12，可知d、b可能是3、9；4、8；5、7；6、6。

再观察竖式中的个位，便可以知道只有当d＝3，b＝9；或d＝8，b＝4时成立。

先取d＝3，b＝9代入竖式的百位，可以确定十位上有进位。

根据a+c＝9，可知a、c可能是1、8；2、7；3、6；4、5。

再观察竖式中的十位，便可知只有当c＝6，a＝3时成立。

再代入竖式的千位，成立。

得到：abcd＝3963

再取d＝8，b＝4代入竖式的十位，无法找到竖式的十位合适的数，所以不成立。

9．有一个两位数,如果用它去除以个位数字,商为9余数为6,如果用这个两位数除以个位数
字与十位数字之和,则商为5余数为3,求这个两位数.

解：设这个两位数为ab

10a+b＝9b+6 10a+b＝5（a+b）+3

化简得到一样：5a+4b＝3

由于a、b均为一位整数

得到a＝3或7，b＝3或8

原数为33或78均可以

10．如果现在是上午的10点21分,那么在经过28799...99(一共有20个9)分钟之后的时间< br>将是几点几分?

答案是10：20

解： （28799 ……9（20个9）+1）6024整除，表示正好过了整数天，时间仍然还是10：
21，因为事先计 算时加了1分钟，所以现在时间是10：20

四．排列组合问题

1．有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有（ ）

A 768种 B 32种 C 24种 D 2的10次方中

解： 根据乘法原理，分两步：

第一步是把5对夫妻看作5个整体，进行排列有5×4×3×2 ×1＝120种不同的排法，但是因为
是围成一个首尾相接的圈，就会产生5个5个重复，因此实际排法 只有120÷5＝24种。

第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫 妻均有2种排法，总共又
2×2×2×2×2＝32种

综合两步，就有24×32＝768种。

2 若把英语单词hello的字母写错了,则可能出现的错误共有 ( )

A 119种 B 36种 C 59种 D 48种

解： 5全排列5*4*3*2*1=120

有两个l所以1202=60

原来有一种正确的所以60-1=59

五．容斥原理问题

1． 有100种赤贫.其中含钙的有68种, 含铁的有43种,那么,同时含钙和铁的食品种类的最大
值和最小值分别是( )

A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11

解：根据容斥原理最小值68+43-100＝11

最大值就是含铁的有43种

2．在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学 生至少解
出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的2
倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是( )

A，5 B，6 C，7 D，8

解：根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为 7类：只答第1题，只答第2
题，只答第3题，只答第1、2题，只答第1、3题，只答2、3题，答1 、2、3题。

分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123

由（1）知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123＝25…①

由（2）知：a2+a23＝（a3+ a23）×2……②

由（3）知：a12+a13+a123＝a1－1……③

由（4）知：a1＝a2+a3……④

再由②得a23＝a2－a3×2……⑤

再由③④得a12+a13+a123＝a2+a3－1⑥

然后将④⑤⑥代入①中，整理得到

a2×4+a3＝26

由于a2、a3均表示人数，可以求出它们的整数解：

当a2＝6、5、4、3、2、1时，a3＝2、6、10、14、18、22

又根据a23＝a2－a3×2……⑤可知：a2>a3

因此，符合条件的只有a2＝6，a3＝2。

然后可以推出a1＝8，a12+ a13+a123＝7，a23＝2，总人数＝8+6+2+7+2＝25，检验所有条件
均符。

故只解出第二题的学生人数a2＝6人。

3．一次考试共有5道试题。做对第1、2、3、、4、5题的分别占参加考试人数的95%、
80%、 79%、74%、85%。如果做对三道或三道以上为合格，那么这次考试的合格率至少是
多少？

答案：及格率至少为71％。

假设一共有100人考试

100-95＝5

100-80＝20

100-79＝21

100-74＝26

100-85＝15

5+20+21+26+15＝87（表示5题中有1题做错的最多人数）

87÷3＝29（表示5题中有3题做错的最多人数，即不及格的人数最多为29人）

100-29＝71（及格的最少人数，其实都是全对的）

及格率至少为71％

六．抽屉原理、奇偶性问题

1．一只布袋中装有大小相同但颜色不 同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种，问最少要摸
出几只手套才能保证有3副同色的？

解：可以把四种不同的颜色看成是4个抽屉，把手套看成是元素，要保证有一副同色的，就
是1 个抽屉里至少有2只手套，根据抽屉原理，最少要摸出5只手套。这时拿出1副同色的
后4个抽屉中还剩 3只手套。再根据抽屉原理，只要再摸出2只手套，又能保证有一副手套
是同色的，以此类推。

把四种颜色看做4个抽屉，要保证有3副同色的，先考虑保证有1副就要摸出5只手套。这< br>时拿出1副同色的后，4个抽屉中还剩下3只手套。根据抽屉原理，只要再摸出2只手套，
又能保 证有1副是同色的。以此类推，要保证有3副同色的，共摸出的手套有：5+2+2=9（只）

答：最少要摸出9只手套，才能保证有3副同色的。

2．有四种颜色的积木若 干，每人可任取1-2件，至少有几个人去取，才能保证有3人能取
得完全一样？ 答案为21

解： 每人取1件时有4种不同的取法,每人取2件时,有6种不同的取法.

当有11人时,能保证至少有2人取得完全一样:

当有21人时,才能保证到少有3人取得完全一样.

3．某盒子内装50只球 ，其中10只是红色，10只是绿色，10只是黄色，10只是蓝色，其
余是白球和黑球，为了确保取出 的球中至少包含有7只同色的球，问：最少必须从袋中取出
多少只球？

解：需要分情况讨论，因为无法确定其中黑球与白球的个数。

当黑球或白球其中没有大于或等于7个的，那么就是：

6*4+10+1=35(个)

如果黑球或白球其中有等于7个的，那么就是：

6*5+3+1＝34（个）

如果黑球或白球其中有等于8个的，那么就是：

6*5+2+1＝33

如果黑球或白球其中有等于9个的，那么就是：

6*5+1+1＝32

4．地上有四堆石子，石子数分别是1、9 、15、31如果每次从其中的三堆同时各取出1个，
然后都放入第四堆中，那么，能否经过若干次操作 ，使得这四堆石子的个数都相同?（如果
能请说明具体操作，不能则要说明理由）

不可能。

因为总数为1+9+15+31＝56

564＝14

14是一个偶数

而原来1、9、15、3 1都是奇数，取出1个和放入3个也都是奇数，奇数加减若干次奇数后，
结果一定还是奇数，不可能得到 偶数（14个）。

七．路程问题

1．狗跑5步的时间马跑3步 ，马跑4步的距离狗跑7步，现在狗已跑出30米，马开始追它。
问：狗再跑多远，马可以追上它？

解：

根据“马跑4步的距离狗跑7步”，可以设马每步长为7x米，则狗每步长为4x米。
< br>根据“狗跑5步的时间马跑3步”，可知同一时间马跑3*7x米＝21x米，则狗跑5*4x＝20米。

可以得出马与狗的速度比是21x：20x＝21：20

根据“现在 狗已跑出30米”，可以知道狗与马相差的路程是30米，他们相差的份数是21-20
＝1，现在求马 的21份是多少路程，就是 30÷（21-20）×21＝630米

2．甲乙辆车同时从a b两地相对开出，几小时后再距中点40千米处相遇？已知，甲车行
完全程要8 小时，乙车行完全程要10小时，求a b 两地相距多少千米？

答案720千米。

由“甲车行完全程要8小时，乙车行完全程要10小时”可知，相遇时甲行了10份，乙行了 8
份（总路程为18份），两车相差2份。又因为两车在中点40千米处相遇，说明两车的路程
差是（40+40）千米。所以算式是（40+40）÷（10-8）×（10+8）＝720千米。

3．在一个600米的环形跑道上，兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人每隔
12分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方
向跑 ，则两人每隔4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟？

答案为两人跑一圈各要6分钟和12分钟。

解：600÷12=50，表示哥哥、弟弟的速度差

600÷4=150，表示哥哥、弟弟的速度和

（50+150）÷2=100，表示较快的速度，方法是求和差问题中的较大数

（150-50）2=50，表示较慢的速度，方法是求和差问题中的较小数

600÷100=6分钟，表示跑的快者用的时间

60050=12分钟，表示跑得慢者用的时间

4．慢车车长125米，车速 每秒行17米，快车车长140米，车速每秒行22米，慢车在前面
行驶，快车从后面追上来，那么，快 车从追上慢车的车尾到完全超过慢车需要多少时间？

答案为53秒

算式是（140+125)÷(22-17)=53秒

可以这样理解：“快车从 追上慢车的车尾到完全超过慢车”就是快车车尾上的点追及慢车车头
的点，因此追及的路程应该为两个车 长的和。

5．在300米长的环形跑道上，甲乙两个人同时同向并排起跑，甲平均速度 是每秒5米，乙
平均速度是每秒4.4米，两人起跑后的第一次相遇在起跑线前几米？

答案为100米

300÷（5-4.4）＝500秒，表示追及时间

5×500＝2500米，表示甲追到乙时所行的路程

2500÷3 00＝8圈……100米，表示甲追及总路程为8圈还多100米，就是在原来起跑线的前
方100米处 相遇。

6．一个人在铁道边，听见远处传来的火车汽笛声后，在经过57秒火车经过她 前面，已知
火车鸣笛时离他1360米，(轨道是直的),声音每秒传340米，求火车的速度（得出保 留整数）

答案为22米秒

算式：1360÷(1360÷340+57）≈22米秒

关键理解：人在听到 声音后57秒才车到，说明人听到声音时车已经从发声音的地方行出
1360÷340＝4秒的路程。也 就是1360米一共用了4+57＝61秒。



7．猎犬发现在离它 10米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去，猎犬的步子大，它
跑5步的路程，兔子要跑9步， 但是兔子的动作快，猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步，
问猎犬至少跑多少米才能追上兔子。

正确的答案是猎犬至少跑60米才能追上。

解： 由“猎犬跑5步 的路程，兔子要跑9步”可知当猎犬每步a米，则兔子每步59米。由
“猎犬跑2步的时间，兔子却能跑 3步”可知同一时间，猎犬跑2a米，兔子可跑59a*3＝53a
米。从而可知猎犬与兔子的速度比是 2a：53a＝6：5，也就是说当猎犬跑60米时候，兔子
跑50米，本来相差的10米刚好追完

8． AB两地,甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是4:5,如果甲乙二人分别同 时从AB
两地相对行使,40分钟后两人相遇,相遇后各自继续前行,这样，乙到达A地比甲到达B地要
晚多少分钟?

答案：18分钟

解：设全程为1,甲的速度为x乙的速度为y

列式40x+40y=1

x:y=5:4

得x=172 y=190

走完全程甲需72分钟,乙需90分钟

故得解

9．甲乙两车同时从AB两地相对开出。第一次相遇后两车继续行驶，各自到达对方出发点
后立即返回。第二次相遇时离B地的距离是AB全程的15。已知甲车在第一次相遇时行了
12 0千米。AB两地相距多少千米？

答案是300千米。

解：通过 画线段图可知，两个人第一次相遇时一共行了1个AB的路程，从开始到第二次相
遇，一共又行了3个A B的路程，可以推算出甲、乙各自共所行的路程分别是第一次相遇前
各自所走的路程的3倍。即甲共走的 路程是120*3＝360千米，从线段图可以看出，甲一共
走了全程的（1+15）。

因此360÷（1+15）＝300千米

从A地到B地，甲、乙两人骑自行车 分别需要4小时、6小时，现在甲乙分别AB两地同
时出发相向而行，相遇时距AB两地中点2千米。如 果二人分别至B地，A地后都立即折回。
第二次相遇点第一次相遇点之间有（）千米

10．一船以同样速度往返于两地之间，它顺流需要6小时;逆流8小时。如果水流速度是每
小时2千米，求两地间的距离？

解：（16-18）÷2＝148表示水速的分率

2÷148＝96千米表示总路程

11．快车和慢车同时从甲乙两 地相对开出，快车每小时行33千米，相遇是已行了全程的七
分之四，已知慢车行完全程需要8小时，求 甲乙两地的路程。

解： 相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是4：3

时间比为3：4

所以快车行全程的时间为84*3＝6小时

6*33＝198千米

12．小华从甲地到乙地,3分之1骑车, 3分之2乘车;从乙地返回甲地,5分之3骑车,5分之2
乘车,结果慢了半小时.已知,骑车每小时1 2千米,乘车每小时30千米,问:甲乙两地相距多少千
米?

解： 把路程看成1，得到时间系数

去时时间系数：13÷12+23÷30

返回时间系数：35÷12+25÷30

两者之差：（35÷12+25÷30）-（13÷12+23÷30）=175相当于12小时

去时时间：12×（13÷12）÷175和12×（23÷30）175
< br>路程：12×〔12×（13÷12）÷175〕+30×〔12×（23÷30）175〕=37.5（ 千米）

八．比例问题

1．甲乙两人 在河边钓鱼,甲钓了三条,乙钓了两条,正准备吃,有一个人请求跟他们一起吃,于是
三人将五条鱼平分 了,为了表示感谢,过路人留下10元,甲、乙怎么分？快快快

答案：甲收8元，乙收2元。

解：

“三人将五条鱼平分 ，客人拿出10元”，可以理解为五条鱼总价值为30元，那么每条鱼价值
6元。

又因为“甲钓了三条”，相当于甲吃之前已经出资3*6＝18元，“乙钓了两条”，相当于乙吃之
前 已经出资2*6＝12元。

而甲乙两人吃了的价值都是10元，所以

甲还可以收回18-10＝8元

乙还可以收回12-10＝2元

刚好就是客人出的钱。

2．一种商品，今年的成本比去年增加了10分之1， 但仍保持原售价，因此，每份利润下
降了5分之2，那么，今年这种商品的成本占售价的几分之几？

答案2225

最好画线段图思考：

把去年原 来成本看成20份，利润看成5份，则今年的成本提高110，就是22份，利润下降
了25，今年的利 润只有3份。增加的成本2份刚好是下降利润的2份。售价都是25份。

所以，今年的成本占售价的2225。



3．甲乙两车分别 从A.B两地出发,相向而行,出发时,甲.乙的速度比是5:4,相遇后,甲的速度减
少20%,乙的 速度增加20%,这样,当甲到达B地时,乙离A地还有10千米,那么A.B两地相距
多少千米?

解：

原来甲.乙的速度比是5:4

现在的甲：5×（1-20％）＝4

现在的乙：4×（1+20％）4.8

甲到B后，乙离A还有：5-4.8＝0.2

总路程：10÷0.2×（4+5）＝450千米



4．一个圆柱的底面周长减少25%，要使体积增加13，现在的高和原来的高度比是多少？

答案为64：27

解：根据“周长减少25％”，可知周长是原来的 34，那么半径也是原来的34，则面积是原
来的916。

根据“体积增加13”，可知体积是原来的43。

体积÷底面积＝高

现在的高是43÷916＝6427，也就是说现在的高是原来的高的6427

或者现在的高：原来的高＝6427：1＝64：27



5 ．某市场运来香蕉、苹果、橘子和梨四种水果其中橘子、苹果共30吨香蕉、橘子和梨共
45吨。橘子正 好占总数的13分之2。一共运来水果多少吨？

第二题：答案为65吨

橘子+苹果＝30吨 香蕉+橘子+梨＝45吨 所以橘子+苹果+香蕉+橘子+梨＝75吨



橘子÷（香蕉+苹果+橘子+梨）＝213

说明：橘子是2份，香蕉+苹果+橘子+梨是13份

橘子+香蕉+苹果+橘子+梨一共是2+13＝15份

过桥问题（1）

1. 一列火车经过南京长江大桥，大桥长6700米，这列火车长140米，火车每分钟行 400米，
这列火车通过长江大桥需要多少分钟？

分析：这道题求的是通过时间 。根据数量关系式，我们知道要想求通过时间，就要知道路程
和速度。路程是用桥长加上车长。火车的速 度是已知条件。

总路程： （米） 通过时间： （分钟） 答：这列火车通过长江大桥需要17.1分钟。



2. 一列火车长200米，全车通过长700米的桥需要30秒钟，这列火车每秒行多少米？

分析与解答：这是一道求车速的过桥问题。我们知道，要想求车速，我们就要知道路程和通
过时间这两个 条件。可以用已知条件桥长和车长求出路程，通过时间也是已知条件，所以车
速可以很方便求出。

总路程： （米） 火车速度： （米） 答：这列火车每秒行30米。



3. 一列火车长240米，这列火车每秒行15米，从车头进山洞到全车出山洞共用20秒，山
洞长多少米？

分析与解答：火车过山洞和火车过桥的思路是一样的。火车头进山洞就相当于火车头上桥；< br>全车出洞就相当于车尾下桥。这道题求山洞的长度也就相当于求桥长，我们就必须知道总路
程和车 长，车长是已知条件，那么我们就要利用题中所给的车速和通过时间求出总路程。

总路程： 山洞长： （米） 答：这个山洞长60米。



和倍问题

1. 秦奋和妈妈的年龄加在一起是40岁，妈妈的年龄是秦奋年龄的4倍，问秦奋和妈妈各是
多少岁？

我们把秦奋的年龄作为1倍，“妈妈的年龄是秦奋的4倍”，这样 秦奋和妈妈年龄的和就相当
于秦奋年龄的5倍是40岁，也就是（4＋1）倍，也可以理解为5份是40 岁，那么求1倍是
多少，接着再求4倍是多少？

（1）秦奋和妈妈年龄倍数和是：4＋1＝5（倍）

（2）秦奋的年龄：40÷5＝8岁

（3）妈妈的年龄：8×4＝32岁

综合：40÷（4＋1）＝8岁 8×4＝32岁

为了保证此题的正确，验证

（1）8＋32＝40岁 （2）32÷8＝4（倍）

计算结果符合条件，所以解题正确。

2. 甲乙两架飞机同时从机场向相反方向飞行，3小时共飞行3600千米，甲的速度是乙的2
倍，求它们的速度各是多少？

已知两架飞机3小时共飞行3600千米，就可以求出两 架飞机每小时飞行的航程，也就是两
架飞机的速度和。看图可知，这个速度和相当于乙飞机速度的3倍， 这样就可以求出乙飞机
的速度，再根据乙飞机的速度求出甲飞机的速度。

甲乙飞机的速度分别每小时行800千米、400千米。

3. 弟弟有课外书20本，哥哥有课外书25本，哥哥给弟弟多少本后，弟弟的课外书是哥哥
的2倍？

思考：（1）哥哥在给弟弟课外书前后，题目中不变的数量是什么？

（2）要想求哥哥给弟弟多少本课外书，需要知道什么条件？

（3）如果把哥哥 剩下的课外书看作1倍，那么这时（哥哥给弟弟课外书后）弟弟的课外书
可看作是哥哥剩下的课外书的几 倍？

思考以上几个问题的基础上，再求哥哥应该给弟弟多少本课外书。根据条件需要先求 出哥哥
剩下多少本课外书。如果我们把哥哥剩下的课外书看作1倍，那么这时弟弟的课外书可看作
是哥哥剩下的课外书的2倍，也就是兄弟俩共有的倍数相当于哥哥剩下的课外书的3倍，而
兄弟俩人课 外书的总数始终是不变的数量。

（1）兄弟俩共有课外书的数量是20＋25＝45。

（2）哥哥给弟弟若干本课外书后，兄弟俩共有的倍数是2＋1＝3。

（3）哥哥剩下的课外书的本数是45÷3＝15。

（4）哥哥给弟弟课外书的本数是25－15＝10。

试着列出综合算式：

4. 甲乙两个粮库原来共存粮170吨，后来从甲库运出30吨，给乙库运进10吨，这时 甲库
存粮是乙库存粮的2倍，两个粮库原来各存粮多少吨？

根据甲乙两个粮库原 来共存粮170吨，后来从甲库运出30吨，给乙库运进10吨，可求出这
时甲、乙两库共存粮多少吨。 根据“这时甲库存粮是乙库存粮的2倍”，如果这时把乙库存粮
作为1倍，那么甲、乙库所存粮就相当于 乙存粮的3倍。于是求出这时乙库存粮多少吨，进
而可求出乙库原来存粮多少吨。最后就可求出甲库原来 存粮多少吨。

甲库原存粮130吨，乙库原存粮40吨。



列方程组解应用题（一）

1. 用白铁皮做罐 头盒，每张铁皮可制盒身16个，或制盒底43个，一个盒身和两个盒底配
成一个罐头盒，现有150张 铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，才能使盒身与盒底正好
配套？

依据题意 可知这个题有两个未知量，一个是制盒身的铁皮张数，一个是制盒底的铁皮张数，
这样就可以用两个未知 数表示，要求出这两个未知数，就要从题目中找出两个等量关系，列
出两个方程，组在一起，就是方程组 。

两个等量关系是：A做盒身张数+做盒底的张数=铁皮总张数

B制出的盒身数×2=制出的盒底数

用86张白铁皮做盒身，64张白铁皮做盒底。



奇数与偶数（一）

其实，在日常生活中同学们就已经接触了很多的奇数、偶数。

凡是能被2整除的数叫偶数，大于零的偶数又叫双数；凡是不能被2整除的数叫奇数，大于< br>零的奇数又叫单数。

因为偶数是2的倍数，所以通常用 这个式子来表示偶数（这里 是整数）。因为任何奇数除
以2其余数都是1，所以通常用式子 来表示奇数（这里 是整数）。

奇数和偶数有许多性质，常用的有：

性质1 两个偶数的和或者差仍然是偶数。

例如：8+4=12，8-4=4等。

两个奇数的和或差也是偶数。

例如：9+3=12，9-3=6等。

奇数与偶数的和或差是奇数。

例如：9+4=13，9-4=5等。

单数个奇数的和是奇，双数个奇数的和是偶数，几个偶数的和仍是偶数。

性质2 奇数与奇数的积是奇数。

偶数与整数的积是偶数。

性质3 任何一个奇数一定不等于任何一个偶数。

1. 有5张扑克牌，画面向上。小明每次翻转 其中的4张，那么，他能在翻动若干次后，使5
张牌的画面都向下吗？

同学们可 以试验一下，只有将一张牌翻动奇数次，才能使它的画面由向上变为向下。要想使
5张牌的画面都向下， 那么每张牌都要翻动奇数次。

5个奇数的和是奇数，所以翻动的总张数为奇数时才能使5 张牌的牌面都向下。而小明每次
翻动4张，不管翻多少次，翻动的总张数都是偶数。

所以无论他翻动多少次，都不能使5张牌画面都向下。

2. 甲盒中放有180个白色围棋子和181个黑色围棋子，乙盒中放有181个白色围棋子，李平每次任意从甲盒中摸出两个棋子，如果两个棋子同色，他就从乙盒中拿出一个白子放入甲
盒；如果 两个棋子不同色，他就把黑子放回甲盒。那么他拿多少后，甲盒中只剩下一个棋子，
这个棋子是什么颜色 的？

不论李平从甲盒中拿出两个什么样的棋子，他总会把一个棋子放入甲盒。所以他每拿 一次，
甲盒子中的棋子数就减少一个，所以他拿180+181-1=360次后，甲盒里只剩下一个棋 子。

如果他拿出的是两个黑子，那么甲盒中的黑子数就减少两个。否则甲盒子中的黑子数 不变。
也就是说，李平每次从甲盒子拿出的黑子数都是偶数。由于181是奇数，奇数减偶数等于奇数。所以，甲盒中剩下的黑子数应是奇数，而不大于1的奇数只有1，所以甲盒里剩下的一
个棋子应 该是黑子。

奥赛专题 -- 称球问题

例1 有4堆外表上一 样的球，每堆4个。已知其中三堆是正品、一堆是次品，正品球每个
重10克，次品球每个重11克，请 你用天平只称一次，把是次品的那堆找出来。

解 ：依次从第一、二、三、四堆球中，各 取1、2、3、4个球，这10个球一起放到天平上
去称，总重量比100克多几克，第几堆就是次品球 。

2 有27个外表上一样的球，其中只有一个是次品，重量比正品轻，请你用天平只称 三次（不
用砝码），把次品球找出来。

解 ：第一次：把27个球分为三堆，每 堆9个，取其中两堆分别放在天平的两个盘上。若天
平不平衡，可找到较轻的一堆；若天平平衡，则剩下 来称的一堆必定较轻，次品必在较轻的
一堆中。

第二次：把第一次判定为较轻的 一堆又分成三堆，每堆3个球，按上法称其中两堆，又可找
出次品在其中较轻的那一堆。

第三次：从第二次找出的较轻的一堆3个球中取出2个称一次，若天平不平衡，则较轻的就
是次 品，若天平平衡，则剩下一个未称的就是次品。

例3 把10个外表上一样的球，其中只有一个是次品，请你用天平只称三次，把次品找出来。

解：把10个球分成3个、3个、3个、1个四组，将四组球及其重量分别用A、B、C、D表
示。把A 、B两组分别放在天平的两个盘上去称，则

（1）若A=B，则A、B中都是正品，再称 B、C。如B=C，显然D中的那个球是次品；如
B＞C，则次品在C中且次品比正品轻，再在C中取出 2个球来称，便可得出结论。如B＜
C，仿照B＞C的情况也可得出结论。

（2 ）若A＞B，则C、D中都是正品，再称B、C，则有B=C，或B＜C（B＞C不可能，为
什么？）如 B=C，则次品在A中且次品比正品重，再在A中取出2个球来称，便可得出结
论；如B＜C，仿前也可 得出结论。

（3）若A＜B，类似于A＞B的情况，可分析得出结论。

奥赛专题 -- 抽屉原理

【例1】一个小组共有13名同学，其中至少有2名同学同一个月过生日。为什么？

【分析】每年里共有12个月，任何一个人的生日，一定在其中的某一个月。 如果把这12
个月看成12个“抽屉”，把13名同学的生日看成13只“苹果”，把13只苹果放进1 2个抽屉
里，一定有一个抽屉里至少放2个苹果，也就是说，至少有2名同学在同一个月过生日。

【例 2】任意4个自然数，其中至少有两个数的差是3的倍数。这是为什么？

【分析与解】首先我们要弄清这样一条规律：如果两个自然数除以3的余数相同，那么这两
个自 然数的差是3的倍数。而任何一个自然数被3除的余数，或者是0，或者是1，或者是
2，根据这三种情 况，可以把自然数分成3类，这3种类型就是我们要制造的3个“抽屉”。
我们把4个数看作“苹果”， 根据抽屉原理，必定有一个抽屉里至少有2个数。换句话说，4
个自然数分成3类，至少有两个是同一类 。既然是同一类，那么这两个数被3除的余数就一
定相同。所以，任意4个自然数，至少有2个自然数的 差是3的倍数。

【例3】有规格尺寸相同的5种颜色的袜子各15只混装在箱内，试问不 论如何取，从箱中
至少取出多少只就能保证有3双袜子（袜子无左、右之分）？

【分析与解】试想一下，从箱中取出6只、9只袜子，能配成3双袜子吗？回答是否定的。

按5种颜色制作5个抽屉，根据抽屉原理1，只要取出6只袜子就总有一只抽屉里装2只，
这2 只就可配成一双。拿走这一双，尚剩4只，如果再补进2只又成6只，再根据抽屉原理
1，又可配成一双 拿走。如果再补进2只，又可取得第3双。所以，至少要取6＋2＋2=10
只袜子，就一定会配成3双 。

思考：1.能用抽屉原理2，直接得到结果吗？

2.把题中的要求改为3双不同色袜子，至少应取出多少只？

3.把题中的要求改为3双同色袜子，又如何？

【例4】一个布袋中有35个同 样大小的木球，其中白、黄、红三种颜色球各有10个，另外
还有3个蓝色球、2个绿色球，试问一次至 少取出多少个球，才能保证取出的球中至少有4
个是同一颜色的球？

【分析与解】从最“不利”的取出情况入手。

最不利的情况是首先取出的5个球中，有3个是蓝色球、2个绿色球。

接下来， 把白、黄、红三色看作三个抽屉，由于这三种颜色球相等均超过4个，所以，根据
抽屉原理2，只要取出 的球数多于（4-1）×3=9个，即至少应取出10个球，就可以保证取出
的球至少有4个是同一抽屉 （同一颜色）里的球。

故总共至少应取出10＋5=15个球，才能符合要求。

思考：把题中要求改为4个不同色，或者是两两同色，情形又如何？

当我们遇到“判别具有某种事物的性质有没有，至少有几个”这样的问题时，想到它——抽屉
原理，这是 你的一条“决胜”之路。

奥赛专题 -- 还原问题

【例1】某 人去银行取款，第一次取了存款的一半多50元，第二次取了余下的一半多100
元。这时他的存折上还 剩1250元。他原有存款多少元？

【分析】从上面那个“重新包装”的事例中，我们应 受到启发：要想还原，就得反过来做（倒
推）。由“第二次取余下的一半多100元”可知，“余下的一 半少100元”是1250元，从而“余
下的一半”是 1250+100=1350（元）

余下的钱（余下一半钱的2倍）是： 1350×2=2700（元）

用同样道理可算出“存款的一半”和“原有存款”。综合算式是：

[（1250+100）×2+50]×2=5500（元）

还原问题的一般特 点是：已知对某个数按照一定的顺序施行四则运算的结果，或把一定数量
的物品增加或减少的结果，要求 最初（运算前或增减变化前）的数量。解还原问题，通常应
当按照与运算或增减变化相反的顺序，进行相 应的逆运算。

【例2】有26块砖，兄弟2人争着去挑，弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥 赶来了。哥哥看
弟弟挑得太多，就拿来一半给自己。弟弟觉得自己能行，又

从哥 哥那里拿来一半。哥哥不让，弟弟只好给哥哥5块，这样哥哥比弟弟多挑2块。问最初
弟弟准备挑多少块 ？

【分析】我们得先算出最后哥哥、弟弟各挑多少块。只要解一个“和差问题”就知道： 哥哥挑
“（26+2）÷2=14”块，弟弟挑“26-14=12”块。

提示 ：解还原问题所作的相应的“逆运算”是指：加法用减法还原，减法用加法还原，乘法用
除法还原，除法 用乘法还原，并且原来是加（减）几，还原时应为减（加）几，原来是乘（除）
以几，还原时应为除（乘 ）以几。

对于一些比较复杂的还原问题，要学会列表，借助表格倒推，既能理清数量关系，又便于验
算。

奥赛专题 -- 鸡兔同笼问题

例1 鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？

[分析] ：如果 46只都是兔，一共应有 4×46=184只脚，这和已知的128只脚相比多了
184-128=5 6只脚.如果用一只鸡来置换一只兔，就要减少4-2=2（只）脚.那么，46只兔里应
该换进几只鸡 才能使56只脚的差数就没有了呢？显然，56÷2=28，只要用28只鸡去置换28
只兔就行了.所 以，鸡的只数就是28，兔的只数是46-28=18。

解：①鸡有多少只？

（4×6-128）÷（4-2）

=（184-128）÷2

=56÷2

=28（只）

②免有多少只？

46-28=18（只）

答：鸡有28只，免有18只。

例2 鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？

[分析]： 这个例题与前面例题是有区别的，没有给出它们脚数的总和，而是给出了它们脚
数 的差.这又如何解答呢？

假设100只全是鸡，那么脚的总数是2×100=200（只 ）这时兔的脚数为0，鸡脚比兔脚多200
只，而实际上鸡脚比兔脚多80只.因此，鸡脚与兔脚的差数 比已知多了（200-80）=120（只），
这是因为把其中的兔换成了鸡.每把一只兔换成鸡，鸡的 脚数将增加2只，兔的脚数减少4

只.那么，鸡脚与兔脚的差数增加（2+4 ）=6（只），所以换成鸡的兔子有120÷6=20（只）.
有鸡（100-20）=80（只）。

解：（2×100-80）÷（2+4）=20（只）。

100-20=80（只）。

答：鸡与兔分别有80只和20只。

例3 红英小学三年级有3个班共135人，二班比一班多5人，三班比二班少7人，三个班
各有多少人？

[分析1] 我们设想，如果条件中三个班人数同样多，那么，要求每班有多少人就很容易了 .
由此得到启示，是否可以通过假设三个班人数同样多来分析求解。

结合下图可 以想，假设二班、三班人数和一班人数相同，以一班为标准，则二班人数要比实
际人数少5人.三班人数 要比实际人数多7-5=2（人）.那么，请你算一算，假设二班、三班
人数和一班人数同样多，三个班 总人数应该是多少？

解法1：

一班：[135-5+（7-5）]÷3=132÷3

=44（人）

二班：44+5=49（人）

三班：49-7=42（人）

答：三年级一班、 二班、三班分别有44人、 49人和 42人。

[分析2] 假设一、三班人数和二班人数同样多，那么，一班人数比实际要多5人，而三班要
比实际人数多7人.这时的总人数又该是多少？

解法2：（135+ 5+ 7）÷3 = 147÷3 = 49（人）

49-5=44（人），49-7=42（人）

答：三年级一班、二班、三班分别有44人、49人和42人。

例4 刘老师带了41名同学去北海公园划船，共租了10条船.每条大船坐6人，每条小船坐
4人，问大船、 小船各租几条？

[分析] 我们分步来考虑：

①假设租的 10条船都是大船，那么船上应该坐 6×10= 60（人）。

②假设后的总人数比实际人数多了 60-（41+1）=18（人），多的原因是把小船坐的4人都
假设成坐6人。

③一条小船当成大船多出2人，多出的18人是把18÷2=9（条）小船当成大船。

解：[6×10-(41+1）÷（6-4）

= 18÷2=9（条） 10-9=1（条）

答：有9条小船，1条大船。

例5 有蜘蛛 、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对（蜘蛛8条腿；蜻蜓6
条腿，两对翅膀；蝉 6条腿，一对翅膀），求蜻蜓有多少只？

[分析] 这是在鸡 兔同笼基础上发展变化的问题.观察数字特点，蜻蜓、蝉都是6条腿，只有
蜘蛛8条腿.因此，可先从腿 数入手，求出蜘蛛的只数.我们假设三种动物都是6条腿，则总
腿数为 6×18=108（条），所差 118-108=10（条），必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的.
所以，应有（118-108） ÷（8-6）=5（只）蜘蛛.这样剩下的18-5=13（只）便是蜻蜓和蝉的
只数.再从翅膀数入手 ，假设13只都是蝉，则总翅膀数1×13=13（对），比实际数少 20-13
＝7（对），这是由 于蜻蜓有两对翅膀，而我们只按一对翅膀计算所差，这样蜻蜓只数可求
7÷（2-1）=7（只）.

解：①假设蜘蛛也是6条腿，三种动物共有多少条腿？

6×18=108（条）

②有蜘蛛多少只？

（118-108）÷（8-6）=5（只）

③蜻蜒、蝉共有多少只？

18-5=13（只）

④假设蜻蜒也是一对翅膀，共有多少对翅膀？1×13=13（对）

⑤蜻蜒多少只？

（20-13）÷ 2-1）= 7（只）

答：蜻蜒有7只.

牛吃草问题

1． 一个牧场，草每天 匀速生长，每头牛每天吃的草量相同，17头牛30天可以将草吃完，
19头牛只需要24天就可以将草 吃完，现有一群牛，吃了6天后，卖掉4头牛，余下的牛再
吃2天就将草吃完。问没有卖掉4头牛之前， 这一群牛一共有多少头？

17×30=510（头） 19×24=456（头）（51 0-456）÷（30-24）=9（头）30×17-30×9=240（头）
（6+2）×9=72 （头）240+72+2×4=320（头）320÷（6+2）=40（头）

2． 一 个蓄水池，每分钟流入4立方米水。如果打开5个水龙头，2小时半就把水池中的
水放光；如果打开8个 水龙头，1小时半就把池中的水放光，现打开13个水龙头，问要多
少时间才能把水池中的水放光（每个 水龙头每小时放走的水量相同）？









3． 甲、乙、丙3个仓库，各存放着同样数量的化肥，甲仓库用皮带 输送机一台和12个工
人，需要5小时才能把甲仓库搬空；乙仓库用一台皮带输送机和28个工人，需要 3小时才
能把乙仓库搬空；丙仓库有两台皮带输送机，如果要求2小时把丙仓库搬空，同时还需要多少工人（皮带输送机的功效相同，每个工人每小时的搬运量相同，皮带输送机与工人同时往
处搬运化 肥）？

1×5=5（台） 12×5=60（人）28×3=84（人）1×3=3（台 ）84-60=24（人）24÷（5-3）=12（人）
1×5×12=60（人） 60+12×5=120（人）2×2×12=48（人）（120-48）÷2=36（人）

4． 快、中、慢3辆车同时从同一地点出发，沿同一条公路追赶前面的 一个骑车的小偷，
这3辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟，追上小偷，现在知道快车的速度是每小 时24
千米，中车的速度是每小时20千米，问慢车的速度是多少？。

奥赛专题 -- 列车过桥问题

1、一列长300米的火车以每分1080米的速度通过 一座大桥。从车头开上桥到车尾离开桥一
共需3分。这座大桥长多少米？

2、某 人步行的速度为每秒2米.一列火车从后面开来,超过他用了10秒.已知火车长90米.求
火车的速度 。

3、.在环形跑道上，两人都按顺时针方向跑时，每12分钟相遇一次，如果两人速度 不变，
其中一人改成按逆时针方向跑，每隔4分钟相遇一次,问两人各跑一圈需要几分钟？

4、一列长300米的火车，以每分1080米的速度通过一座长为940米的在桥，从车头开上桥到车尾离开桥需要多少分钟？

5、一列火车通过530米的桥需40秒钟，以同样的 速度穿过380米的山洞需30秒钟。求这
列火车的速度是多少米秒，全长是多少米？
< br>6、铁路沿线的电杆间隔是40米，某旅客在运行的火车中，从看到第一根电线杆到看到第
51根 电线杆正好是2分钟，火车每小时行多少千米。

7、一个人站在铁道旁,听见行近来的火 车汽笛声后,再过57秒钟火车经过他面前.已知火车汽
笛时离他1360米;(轨道是笔直的)声速是 每秒钟340米,求火车的速度?(得数保留整数)

一列450米长的货车，以每秒12米的速度通过一座570米长的铁桥，需要几秒钟？

8、现有两列火车同时同方向齐头行进，行12秒后快车超过慢车。快车每秒行18米，慢车
每 秒行10米。如果这两列火车车尾相齐同时同方向行进，则9秒后快车超过慢车，求两列
火车的车身长。

9、李明和张忆在300米的环形跑道上练习跑步，李明每秒跑5米，张忆每秒跑3米，两 人
同时从起跑点出发同向而行，问出发后李明第一次追上张忆时，张忆跑了多少米？
10、速度为快、中、慢的三辆汽车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面一个骑车人，
这三辆 车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人，现在知道快车每小时24千米，中速
车每小时20千 米，那么慢车每小时行多少千米？（选做题）

11、周长为400米的圆形跑道上，有相 距100米的A、B两点，甲、乙两人分别从A、B两
点同时相背而跑，两人相遇后，乙立刻转身与甲同 向而跑，当甲跑到A时，乙恰好跑到B.
如果以后甲、乙跑的速度和方向都不变，那么追上乙时，甲共跑 了多少米（从出发时算起）？

奥赛专题 -- 平均数问题

1 蔡琛在期末考试中，政治、语文、数学、英语、生物五科的平均分是 89分.政治、数学两
科的平均分 是91.5分.语文、英语两科的平均分是84分.政治、英语两科的平均分是86 分，
而且英语比语文多10分.问蔡琛这次考试的各科成绩应是多少分？

2 果 品店把2千克酥糖，3千克水果糖，5千克奶糖混合成什锦糖.已知酥糖每千克4.40元，
水果糖每千 克4.20元，奶糖每千克7.20元.问：什锦糖每千克多少元？

3甲乙两块棉田，平 均亩产籽棉185斤.甲棉田有5亩，平均亩产籽棉203斤；乙棉田平均亩
产籽棉170斤，乙棉田有 多少亩？

4已知八个连续奇数的和是144，求这八个连续奇 数。新华小学订了若干张《中国少年报》，
如果三张三张地数，余数为1张；五张五张地数，余数为2张 ；七张七张地数，余数为2
张。新华小学订了多少张《中国年呢？ 商店里三天共卖出1026米布。第 二天卖出的是第一
天的2倍；第三天卖出的是第二天的3倍。求三天各卖出多少米布？

1.分数的四则混和运算：求13+115 +135+ 163 +199 +1143

简便方法：

13=1×(13)=12(1-13)

115 =(13)×(15)=12(13-15)

135=（15)×(17)=12(15-17)

163 =(17)×(19)=12(17-19)

199 =(19)×(111)=12(19-111)

1143=(111)×(113)=12(111-113)

所以13+115 +135+ 163 +199
+1143=12(1-13)+12(13-1 5)+12(15-17)+12(17-19)+12(19-111)+12(111-113)

提公因式12得12(1-13+13-15+15-17+17-19+19-111+1 11-113)

可观察到式子中间部分都抵消，最后只剩下12(1-113)=613

也就是13+115 +135+ 163 +199 +1143=613.

概念题型

2.八分之a、十分之b、十五分之c是三个最简分数，已知三个分 数的积是二分之一，求这
三个分数各是多少？

a8×b10×c15=abc1200

因为它们的积是12 所以abc=600

把600分解质因数600=2×2×5×3×2×5

又因为它们的分母分别是8、10、15 而且是最简分数，它们的分子里依次不能有2、2和5、
3和5

因此，只能是5×5=25，3，2×2×2=8、

所以这三个分数分别是：258、310、815

分类讨论题型：

3.两根同样长的绳子,第一根剪下五分之三米,第二根剪下五分之三,哪根剩下的多?

当绳子大于一米时，第一根剩下的多，

当绳子等于一米时，两根剩下的一样多，

当绳子小于一米时，第二根剩下的多

公约公倍和同余

1.今天是星期六，再过1000天是星期几？

2.已知两个自然数a和b（a＞b），已知a和b除以13的 余数分别是5和9，求a+b，a-b，
a×b，a2-b2各自除以13的余数。

3.2100除以一个两位数得到的余数是56，求这个两位数。

4.被除数、除数、商与余数之和是903，已知除数是35，余数是2，求被除数。

5.用一个整数去除345和543所得的余数相同，且商相差9，求这个数。

6.有一个整数，用它去除312，231，123得到的三个余数之和是41，求这个数。

1．答：根据题意不难看出，这个大班小朋友的人数是115-7=108，148-4=144，7 4-2=72的
最大公约数．所以，这个大班的小朋友最多有36人．

2．答： 与上题类似，依题意，正方体的棱长应是9，6，7的最小公倍数，9，6，7的最小
公倍数是126． 所以，至少需要这种长方体木块 126×126×126÷（9×6×7）=5292(块)

3、答：此数为28。方法同例题。

4、答：这两个数为4与120，或8与60，或12与40，或20与24。方法同例题。

5答：所求的两个数为15与150，或30与135，或45与120，或60与105， 或75与90。
方法同例题。

6、答：因为1+2+…+9=5×9，所以无论 这些九位数的值如何，它们的数字之和总可以被9
整除，因而9是所有这些九位数的公约数．现任取这些 九位数中的两个相差9的数，如
413798256和413798265。

7、答：1925=5×5×7×11 两个商为5和11， 1925÷5=385 ； 1925÷11=175 答：根据1。题
意不难看出，这个大班小朋友的人数是115-7=108， 148-4=144，74-2=72的最大公约数．所
以，这个大班的小朋友最多有36人．

2．答：与上题类似，依题意，正方体的棱长应是9，6，7的最小公倍数，9，6，7的最 小
公倍数是126．所以，至少需要这种长方体木块 126×126×126÷（9×6×7）=5292(块)

3．答：此数为28。方法同例题。

4．答：这两个数为4与120，或8与60，或12与40，或20与24。方法同例题。

5．答：所求的两个数为15与150，或30与135，或45与120，或60与105 ，或75与90。
方法同例题。

6．答：因为1+2+…+9=5×9，所以无 论这些九位数的值如何，它们的数字之和总可以被9
整除，因而9是所有这些九位数的公约数．现任取这 些九位数中的两个相差9的数，如
413798256和413798265。

答：1925=5×5×7×11 两个商为5和11， 1925÷5=385 ； 1925÷11=175

7．幼儿园有糖115颗、饼干148块、桔子74个，平均 分给大班小朋友，结果糖多出7颗，
饼干多出4块，桔子多出2个．这个大班的小朋友最多有几个人？

8．用长是9厘米、宽是6厘米、高是7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要这种
长方体木块多少块．

9．已知某数与24的最大公约数为4，最小公倍数为168，求此数。

10．已知两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为120，求这两个数。

11．已知两个自然数的和为165，它们的最大公约数为15，求这两个数。

选做题

12．把1，2，3，4，5，6，7，8 ，9九个数依不同的次序排列，可以得到362880个不同的
九位数，求所有这些九位数的最大公约数 ．



13．两个整数的最小公倍数是1925，这两个整数分别除以 他们的最大公约数，得到两个商
的和是16，请写出这两个整数（第七届华杯赛试题）。

（必做）第五讲 奇数与偶数及奇偶性的应用

发布日期：[2007-4-22 17:23:11] 共阅[376]次

1.能否在下式中填入适当的“+”，“-”，使等式成立？

9□8□7□6□5□4□3□2□1=28

2.在a、b、c三个数中，有一个是2 003，一个是2004，一个是2005。问（a－1）（b－2）
（c－3）是奇数还是偶数。

3.用代表整数的字母a、b、c、d写成等式组：

a×b×c×d-a=1983

a×b×c×d-b=1993

a×b×c×d-c=2003

a×b×c×d-d=2013

试说明：符合条件的整数a、b、c、d是否存在。

4.有一串 数，最前面的四个数依次是1、9、8、7.从第五个数起，每一个数都是它前面相邻
四个数之和的个位 数字.问：在这一串数中，会依次出现1、9、8、8这四个数吗？

5.任意改变某一个三位数的各位数字的顺序得到一个新数.试证新数与原数之和不能等于
999。

最大公约数和最小公倍数(闫老师班)

发布日期：[2007-10-16 19:01:58] 共阅[154]次

1.甲、 乙两地相距465千米，一辆汽车从甲地开往乙地，以每小时60千米的速度行驶一段
后，每小时加速1 5千米，共用了7小时到达乙地。每小时60千米的速度行驶了几小时？

2.笼中装有鸡 和兔若干只，共100只脚，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共92只脚。笼中原
有兔、鸡各多少只？

3.蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀。蝉有6条腿和1对翅膀。现在这三种小虫共1 8
只，有118条腿和20对翅膀，每种小虫各几只？

4.学雷锋活动中，同学 们共做好事240件，大同学每人做好事8件，小同学每人做好事3件，
他们平均每人做好事6件。参加 这次活动的小同学有多少人？

5.某班42个同学参加植树，男生平均每人种3棵，女生 平均每人种2棵，已知男生比女生
多种56棵，男、女生各有多少人？

答案：

1.解：设每小时60千米的速度行驶了x小时。

60x+(60+15)(7-x)=465

60x+525-75x=465

525-15x=465

15x=60

x=4

答：每小时60千米的速度行驶了4小时。

2.解：兔换成鸡，每只就减少了2只脚。

(100-92)2=4只，

兔子有4只。

(100-4*4)2=42只

答：兔子有4只，鸡有42只。

3.解：设蜘蛛18只，蜻蜓y只，蝉z只。

三种小虫共18只，得：

x+y+z=18……a式

有118条腿，得：

8x+6y+6z=118……b式

有20对翅膀，得：

2y+z=20……c式

将b式-6*a式，得：

8x+6y+6z-6(x+y+z)=118-6*18

2x=10

x=5

蜘蛛有5只，

则蜻蜓和蝉共有18-5=13只。

再将z化为(13-y)只。

再代入c式，得：

2y+13-y=20

y=7

蜻蜓有7只。

蝉有18-5-7=6只。

答：蜘蛛有5只，蜻蜓有7只，蝉有6只。

4.解：同学们共做好事240件,他们平均每人做好事6件,

说明他们共有2406=40人

设大同学有x人，小同学有(40-x)人。

8x+3(40-x)=240

8x+120-3x=240

5x+120=240

5x=120

x=24

40-x=16

答：大同学有24人，小同学有16人。



5.解：设男生x人，女生(42-x)人。

3x-2(42-x)=56

3x+2x-84=56

5x=140

x=28

42-x=14

答：男生28人，女生14人

1．答：根据题意不难看出，这个大班小朋友的人数是115-7=108，148-4= 144，74-2=72的
最大公约数．所以，这个大班的小朋友最多有36人．

2．答：与上题类似，依题意，正方体的棱长应是9，6，7的最小公倍数，9，6，7的最小
公倍数 是126．所以，至少需要这种长方体木块 126×126×126÷（9×6×7）=5292(块)

3、答：此数为28。方法同例题。

4、答：这两个数为4与120，或8与60，或12与40，或20与24。方法同例题。

5答：所求的两个数为15与150，或30与135，或45与120，或60与105， 或75与90。
方法同例题。

6、答：因为1+2+…+9=5×9，所以无论 这些九位数的值如何，它们的数字之和总可以被9
整除，因而9是所有这些九位数的公约数．现任取这些 九位数中的两个相差9的数，如
413798256和413798265。

7、答：1925=5×5×7×11 两个商为5和11， 1925÷5=385 ； 1925÷11=175 答：根据1。题
意不难看出，这个大班小朋友的人数是115-7=108， 148-4=144，74-2=72的最大公约数．所
以，这个大班的小朋友最多有36人．

2．答：与上题类似，依题意，正方体的棱长应是9，6，7的最小公倍数，9，6，7的最 小
公倍数是126．所以，至少需要这种长方体木块 126×126×126÷（9×6×7）=5292(块)

3．答：此数为28。方法同例题。

4．答：这两个数为4与120，或8与60，或12与40，或20与24。方法同例题。

5．答：所求的两个数为15与150，或30与135，或45与120，或60与105 ，或75与90。
方法同例题。

6．答：因为1+2 +…+9=5×9，所以无论这些九位数的值如何，它们的数字之和总可以被9
整除，因而9是所有这些 九位数的公约数．现任取这些九位数中的两个相差9的数，如
413798256和413798265 。

答：1925=5×5×7×11 两个商为5和11， 1925÷5=385 ； 1925÷11=175

7．幼儿园有糖115颗、饼干148块、桔子74个，平 均分给大班小朋友，结果糖多出7
颗，饼干多出4块，桔子多出2个．这个大班的小朋友最多有几个人？



8．用长是9厘米、宽是6厘米、高是7厘米的长方体木块叠成一个正 方体，至少需要这种
长方体木块多少块．

9．已知某数与24的最大公约数为4，最小公倍数为168，求此数。

10．已知两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为120，求这两个数。

11．已知两个自然数的和为165，它们的最大公约数为15，求这两个数。

选做题

12．把1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数依不同的次序排列，可以得到3628 80个不同的
九位数，求所有这些九位数的最大公约数．



13．两个整数的最小公倍数是1925，这两个整数分别除以他们的最大公约数，得到两个商
的和是1 6，请写出这两个整数（第七届华杯赛试题）。

最大公约数和最小公倍数(闫老师班)

发布日期：[2007-10-16 19:01:58] 共阅[154]次

一、填空

1、用96朵红花和72朵白花做成花束，如果每束花里红 花的朵数相同，白花的朵数也相同，
每束花里最少有 朵花？

2、7月6日，宝 珠从避暑山庄打电话向拴柱问好，贾六来看望拴柱，喜子在打扫房间。如
果喜子每隔3天打扫一次，宝珠 每隔6天打一次电话，贾六每隔5天看望一次，至少经过

天，问好、看望、打扫这三件事才能同时发生。

3、一筐梨，按每份两个梨分多 1个，每份3个梨分多2个，每份5个梨分多4个，则筐里
至少有 个梨。

二、解答题

1、 为了搞试验，将一块长为75米，宽为60米的长方形土地分 为面积相等的小正方形土地，
那么小正方形土地的面积最大是多少平方米？

2、 两个数的最大公约数是18，最小公倍数是180，两个数相差54，求这两个数各是多少？

3、有一种新型的电子钟，每到正点和半点都响一次铃，每过9分钟亮一次灯，如果中午
12 点时，它既响了铃，又亮了灯，那么下一次既响铃又亮灯要到什么时间？

回答者： 知道100℃ - 千总 四级 1-14 18:49

周期问题

1.有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13绿花的顺序排列着，最后一朵是什么颜色的花？



根据题意可知，者写按5红，9黄，13绿的顺序轮流排列着，即5+ 9+13=27（朵)花为一个
周期，不断循环。因为249除以27等于9余6，也就是经过9个周期 还余下6朵花，是黄
花。

2.1除以7等于0.7.....小数点后的第一百位是多少？

142857，有6个数在循环，就用100除以6等于16余4，是8

一、填空题

1.有两列火车,一列长102米,每秒行20米;一列长120米,每秒行 17米.两车同向而行,从第一
列车追及第二列车到两车离开需要几秒?

2.某 人步行的速度为每秒2米.一列火车从后面开来,超过他用了10秒.已知火车长90米.求火
车的速度 .

3.现有两列火车同时同方向齐头行进,行12秒后快车超过慢车.快车每秒行18米 ,慢车每秒行
10米.如果这两列火车车尾相齐同时同方向行进,则9秒后快车超过慢车,求两列火车的 车身
长.

4.一列火车通过440米的桥需要40秒,以同样的速度穿过310 米的隧道需要30秒.这列火车
的速度和车身长各是多少?

5.小英和小敏为了 测量飞驶而过的火车速度和车身长,他们拿了两块跑表.小英用一块表记下
了火车从她面前通过所花的时 间是15秒;小敏用另一块表记下了从车头过第一根电线杆到车
尾过第二根电线杆所花的时间是20秒. 已知两电线杆之间的距离是100米.你能帮助小英和小
敏算出火车的全长和时速吗?
< br>6.一列火车通过530米的桥需要40秒,以同样的速度穿过380米的山洞需要30秒.求这列火车的速度与车身长各是多少米.

7.两人沿着铁路线边的小道,从两地出发,以相同 的速度相对而行.一列火车开来,全列车从甲
身边开过用了10秒.3分后,乙遇到火车,全列火车从乙 身边开过只用了9秒.火车离开乙多少
时间后两人相遇?

8. 两列火车,一列 长120米,每秒行20米;另一列长160米,每秒行15米,两车相向而行,从车头
相遇到车尾离开 需要几秒钟?

9.某人步行的速度为每秒钟2米.一列火车从后面开来,越过他用了10 秒钟.已知火车的长为
90米,求列车的速度.

10.甲、乙二人沿铁路相向而 行,速度相同,一列火车从甲身边开过用了8秒钟,离甲后5分钟又
遇乙,从乙身边开过,只用了7秒钟 ,问从乙与火车相遇开始再过几分钟甲乙二人相遇?



二、解答题

11.快车长182米,每秒行20米,慢车长1034米,每秒行18米.两车同向并行, 当快车车尾接慢车
车尾时,求快车穿过慢车的时间?

12.快车长182米,每 秒行20米,慢车长1034米,每秒行18米.两车同向并行,当两车车头齐时,
快车几秒可越过慢车 ?

13.一人以每分钟120米的速度沿铁路边跑步.一列长 288米的火车从对面开来,从他身边通过
用了8秒钟,求列车的速度.

14. 一列火车长600米,它以每秒10米的速度穿过长200米的隧道,从车头进入隧道到车尾离
开隧道共 需多少时间?

———————————————答 案
——————————————————————

一、填空题

120米 102米 17x米 20x米 尾 尾 头 头

1. 这题是“两列车”的追及问题.在这里,“追及”就是第一列车的车头追及第二列车的车尾,“离
开”就是第一列车的车尾离开第二列车的车头.

设从第一列车追及第二列车到两列车离开需要x秒,列方程得:

102+120+17 x =20 x x =74.

2. 设列车的速度是每秒x米,列方程得

10 x =90+2×10

x =11.

3. ( 则快车长:18×12-10×12=96(米)

(2)车尾相齐,同时同方向行进,快车

则慢车长:18×9-10×9=72(米)



4. (1)火车的速度是:(440-310)÷(40-30)=13(米秒)

(2)车身长是:13×30-310=80(米)

5. (1)火车的时速是:100÷(20-15)×60×60=72000(米小时)

(2)车身长是:20×15=300(米)

6. 设火车车身长x米,车身长y米.根据题意,得

①②

解得

7. 设火车车身长x米,甲、乙两人每秒各走y米,火车每秒行z米.根据题意,列方程组,得

①②

①-②,得:

火车离开乙后两人相遇时间为:

(秒) (分).

8. 解: 从车头相遇到车尾离开,两车所行距离之和恰为两列车长之和,故用相遇问题得所求时
间为:(120+ 60)?(15+20)=8(秒).

9. 这样想:列车越过人时,它们的路程差就 是列车长.将路程差(90米)除以越过所用时间(10
秒)就得到列车与人的速度差.这速度差加上人 的步行速度就是列车的速度.

90÷10+2=9+2=11(米)

答:列车的速度是每秒种11米.

10. 要求过几分钟甲、乙二人相遇,就必须求出甲、乙二人这时的距离与他们速度的关 系,
而与此相关联的是火车的运动,只有通过火车的运动才能求出甲、乙二人的距离.火车的运行
时间是已知的,因此必须求出其速度,至少应求出它和甲、乙二人的速度的比例关系.由于本问
题较难 ,故分步详解如下:

①求出火车速度 与甲、乙二人速度 的关系,设火车车长为l,则:

(i)火车开过甲身边用8秒钟,这个过程为追及问题:

故 (1)

(i i)火车开过乙身边用7秒钟,这个过程为相遇问题:

故 . (2)

由(1)、(2)可得: ,

所以, .

②火车头遇到甲处与火车遇到乙处之间的距离是:

.③求火车头遇到乙时甲、乙二人之间的距离.

火车头遇甲后,又经过(8+5 ×60)秒后,火车头才遇乙,所以,火车头遇到乙时,甲、乙二人之间的距
离为:

④求甲、乙二人过几分钟相遇?

(秒) (分钟)

答:再过 分钟甲乙二人相遇.

二、解答题

11. 1034÷(20-18)=91(秒) 12. 182÷(20-18)=91(秒) 13. 288÷8-120÷60=36-2=34(米秒) 答:
列车的速度是每秒34米. 14. (600+200)÷10=80(秒) 答:从车头进入隧道到车尾离开隧道共
需80秒.

1．答：根据题意不难看出，这个大班小朋友的人数是115-7=108，148-4=1 44，74-2=72的
最大公约数．所以，这个大班的小朋友最多有36人．

2．答：与上题类似，依题意，正方体的棱长应是9，6，7的最小公倍数，9，6，7的最小
公倍数是 126．所以，至少需要这种长方体木块 126×126×126÷（9×6×7）=5292(块)

3、答：此数为28。方法同例题。

4、答：这两个数为4与120，或8与60，或12与40，或20与24。方法同例题。

5答：所求的两个数为15与150，或30与135，或45与120，或60与105， 或75与90。
方法同例题。

6、答：因为1+2+…+9=5×9，所以无论 这些九位数的值如何，它们的数字之和总可以被9
整除，因而9是所有这些九位数的公约数．现任取这些 九位数中的两个相差9的数，如
413798256和413798265。

7、答：1925=5×5×7×11 两个商为5和11， 1925÷5=385 ； 1925÷11=175 答：根据1。题
意不难看出，这个大班小朋友的 人数是115-7=108，148-4=144，74-2=72的最大公约数．所
以，这个大班的小 朋友最多有36人．

2．答：与上题类似，依题意，正方体的棱长应是9，6，7的最小 公倍数，9，6，7的最小
公倍数是126．所以，至少需要这种长方体木块 126×126×126÷（9×6×7）=5292(块)

3．答：此数为28。方法同例题。

4．答：这两个数为4与120，或8与60，或12与40，或20与24。方法同例题。

5．答：所求的两个数为15与150，或30与135，或45与120，或60与105 ，或75与90。
方法同例题。

6．答：因为1+2+…+9=5×9，所以无 论这些九位数的值如何，它们的数字之和总可以被9
整除，因而9是所有这些九位数的公约数．现任取这 些九位数中的两个相差9的数，如
413798256和413798265。

答：1925=5×5×7×11 两个商为5和11， 1925÷5=385 ； 1925÷11=175

7．幼儿园有糖115颗、饼干148块、桔子74个，平均 分给大班小朋友，结果糖多出7颗，
饼干多出4块，桔子多出2个．这个大班的小朋友最多有几个人？

8．用长是9厘米、宽是6厘米、高是7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要这种
长方体木块多少块．

9．已知某数与24的最大公约数为4，最小公倍数为168，求此数。

10．已知两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为120，求这两个数。

11．已知两个自然数的和为165，它们的最大公约数为15，求这两个数。

选做题

12．把1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数依不同的次序排列，可以得到3628 80个不同的
九位数，求所有这些九位数的最大公约数．

13．两个整数的最 小公倍数是1925，这两个整数分别除以他们的最大公约数，得到两个商
的和是16，请写出这两个整 数（第七届华杯赛试题）。

（必做）第五讲 奇数与偶数及奇偶性的应用

发布日期：[2007-4-22 17:23:11] 共阅[376]次

1.能否在下式中填入适当的“+”，“-”，使等式成立？

9□8□7□6□5□4□3□2□1=28

2.在a、b、c三个数中，有一个是2 003，一个是2004，一个是2005。问（a－1）（b－2）
（c－3）是奇数还是偶数。

3.用代表整数的字母a、b、c、d写成等式组：

a×b×c×d-a=1983

a×b×c×d-b=1993

a×b×c×d-c=2003

a×b×c×d-d=2013

试说明：符合条件的整数a、b、c、d是否存在。

4.有一串数，最前面的四个数依次是1、9、8、7.从第五个数起，每一个数都是它前 面相邻
四个数之和的个位数字.问：在这一串数中，会依次出现1、9、8、8这四个数吗？

5.任意改变某一个三位数的各位数字的顺序得到一个新数.试证新数与原数之和不能等

小学六年级奥数题集锦

搬运一个仓库的货物 ，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时.有同样
的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库 同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，
中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助 甲、乙各多少时
间？
解：设搬运一个仓库的货物的工作量是1.现在相当于三人共同完成工作量
2，所需时间是





答：丙帮助甲搬运3小时，帮助乙搬运5小时
解本题的关键，是先算出三人共同搬运两个仓库的时 间.本题计算当然也可
以整数化，设搬运一个仓库全部工作量为 60.甲每小时搬运 6，乙每小时搬运 5，
丙每小时搬运4
三人共同搬完，需要
60 × 2÷（6+ 5+ 4）= 8（小时）
甲需丙帮助搬运
（60- 6× 8）÷ 4= 3（小时）
乙需丙帮助搬运
（60- 5× 8）÷4= 5（小时） < br>一件工作,若由甲单独做72天完成,现在甲做1天后,乙加入一起工作,合作2天后,
丙也一起 工作,三人再一起工作4天,完成全部工作的13,又过了8天,完成了全部
工作的56,若余下的工作 由丙单独完成,还需要几天?

答案
甲乙丙3人8天完成 :56-13=12
甲乙丙3人每天完成 :12÷8=116，
甲乙丙3人4天完成 :116×4=14
则甲做一天后乙做2天要做 :13-14=112
那么乙一天做 :[112-172×3]2=148
则丙一天做 :116-172-148=136
则余下的由丙做要 :[1-56]÷136=6天
答：还需要6天

某书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次购书用100元，按该书定 价
2.8元出售，很快售完。第二次购书时，每本的批发价比第一次增多了0.5元，
用去15 0元，所购数量比第一次多10本，当这批书售出45时出现滞销，便以
定价的5折售完剩余图书。试问 该老板第二次售书是赔钱还是赚钱，若赔，赔多
少，若赚，赚多少
答案
（100+40）2.8=50本 10050=2 150(2+0.5）=60本 60*80%=48本
48*2.8+2.8*50*12-150=1.2 盈利1.2元

育才小学原来体育达标人数与未达标人数比是3：5，后来又有60名同学达标，
这 时达标人数是未达标人数的911，育才小学共有学生多少人？
答案
原来达标人数占总人数的
3÷（3＋5）＝38
现在达标人数占总人数的
911÷（1＋911）＝920
育才小学共有学生
60÷（920－38）＝800人

甲乙丙三个村合修一条水渠，修完后，甲乙丙 村可灌溉的面积比是
8
：
7
：
5
原来
三个村计划按 可灌溉的面积比派出劳力，后来因为丙村抽不出劳力，经协商，丙
村应抽出的劳力由甲乙两村分担，丙村 付给甲乙两村工钱
1350
元，结果，甲村
共派出
60
人，乙村共派 出
40
人，问甲乙两村各应分得工钱多少元？

答案

根据甲乙丙村可灌溉的面积比算出总份数：
8+7+5=20
份

20=5
人

每份需要的人数：（
60+40
）
÷
5=40
人，多出劳力人数：
60-40=20
人

甲村需 要的人数：
8×
5=35
人，多出劳力人数：
40-35=5
人
乙村需要的人数：
7×
5=25
人

或
20+5=25
人

丙村需要的人数：
5×
25=54
元

每人应得的钱数：
1350÷
20=1080
元

甲村应得的工钱：
54×
5=270
元

乙村应得的工钱：
54×

某人到商店买红蓝两种钢笔，红钢笔定价5元， 蓝钢笔定价9元，由于购买量
较多，商店给予优惠，红钢笔八五折，蓝钢笔八折，结果此人付的钱比原来 节省
的18%，已知他买了蓝钢笔30枝，那么。他买了几支红钢笔？
答案

红笔买了x支。
（5x+30×9）×（1-18%)=5x×0.85+30×9×0.8
x=36.
十字交叉法，需要算总钱数比

< br>甲说：“我乙丙共有100元。”乙说：“如果甲的钱是现有的6倍，我的钱是现有
的13，丙的 钱不变，我们仍有钱100元。”丙说：“我的钱都没有30元。”三人
原来各有多少钱？
答案
乙的话表明：甲钱5倍与乙钱23一样多
所以，乙钱是3*5=15的倍数，甲钱是偶数

丙钱不足30，所以，甲乙钱和多于70，
而乙多于甲的6倍，
所以，乙多于60

设乙=75，甲=75*23÷5=10,丙=100-10-75=15
设乙=90，甲=90*23÷5=12,90+12>100,不行

所以，三人原来：甲10元，乙75元，丙15元

两支成分不同的蜡烛,其中1支 以均匀速度燃烧,2小时烧完,另一支可以燃烧3小
时,傍晚6时半同时点燃蜡烛，到什么1支剩余部分 正好是另一支剩余的2倍？
答案
两支蜡烛分别设为A蜡烛和B蜡烛，其中A蜡烛是那支烧得快点的
A蜡烛，两小时烧完，那么每小时燃烧12
B蜡烛，三小时烧完，那么每小时燃烧13
设过了x小时以后，B蜡烛剩余的部分是A的两倍
2（1—x2）=1—x3
解得x=1.5
由于是6点半开始的，所以到8点的时候刚刚好

学校组织春游，同学们下午
1
点从学校出发，走了一段平路，爬了一座山后按原
路 返回，下午七点回到学校。已知他们的步行速度平路
4Km
小时，爬山
3Km
小时，下山为
6Km
小时，返回时间为
2.5
时。问：他们一共行了多少路< br>
答案1
设走的平路是X公里 山路是Y公里
因为1点到七点共用时间6小时 返回为2.5小时 则去时用3.5小时
Y3-Y6=1小时
Y=6公里
去时共用3.5小时 则X4+Y3=3.5 X=6
所以总路程为2（6+6）=24km
答案
2
解：春游共用时：7：00－1：00＝6（小时）
上山用时：6－2.5＝3.5（小时）
上山多用：3.5－2.5＝1（小时）
山路：（6－3）×1÷（3÷6）＝6（千米）
下山用时：6÷6＝1（小时）

平路：（2.5－1）×4＝6（千米）
单程走路：6＋6＝12（千米）
共走路：12×2＝24（千米）
答：他们共走24千米。



工程问题
1．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独 开，
排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水
管丙，问 水池注满还是要多少小时？
解：
120+116＝980表示甲乙的工作效率
980×5＝4580表示5小时后进水量
1-4580＝3580表示还要的进水量
3580÷（980-110）＝35表示还要35小时注满
答：5小时后还要35小时就能将水池注满。

2．修一条水渠，单独修，甲队需要 20天完成，乙队需要30天完成。如果两队合
作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲 队的工作效率是原来的
五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。现在计划16天修完这条水渠，< br>且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？
解：由题意得，甲的工效为120，乙 的工效为130，甲乙的合作工效为
120*45+130*910＝7100，可知甲乙合作工效>甲 的工效>乙的工效。
又因为，要求“两队合作的天数尽可能少”，所以应该让做的快的甲多做，16天 内
实在来不及的才应该让甲乙合作完成。只有这样才能“两队合作的天数尽可能
少”。
设合作时间为x天，则甲独做时间为（16-x）天
120*（16-x）+7100*x＝1
x＝10
答：甲乙最短合作10天

3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。现在先请甲、
丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时？
解：
由题意知，14表示甲乙合作1小时的工作量，15表示乙丙合作1小时的工作量
（14+15）×2＝910表示甲做了2小时、乙做了4小时、丙做了2小时的工作量。
根 据“甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成”可知甲做2小时、乙做6
小时、丙做2小时一共 的工作量为1。
所以1－910＝110表示乙做6-4＝2小时的工作量。
110÷2＝120表示乙的工作效率。
1÷120＝20小时表示乙单独完成需要20小时。
答：乙单独完成需要20小时。

4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙 做，这样交替
轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，
第 四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做
这项工程需17天完成，甲 单独做这项工程要多少天完成？
解：由题意可知
1甲+1乙+1甲+1乙+……+1甲＝1
1乙+1甲+1乙+1甲+……+1乙+1甲×0.5＝1
（1甲表示甲的工作效率、1乙表 示乙的工作效率，最后结束必须如上所示，否
则第二种做法就不比第一种多0.5天）
1甲＝1乙+1甲×0.5（因为前面的工作量都相等）
得到1甲＝1乙×2
又因为1乙＝117
所以1甲＝217，甲等于17÷2＝8.5天

5 ．师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了12时，徒弟完成了120个。当师
傅完成了任务时，徒弟 完成了45这批零件共有多少个？
答案为300个
120÷（45÷2）＝300个 可以这样想：师傅第一次完成了12，第二次也是12，两次一共全部完工，那么
徒弟第二次后共完 成了45，可以推算出第一次完成了45的一半是25，刚好是
120个。

6．一 批树苗，如果分给男女生栽，平均每人栽6棵；如果单份给女生栽，平均
每人栽10棵。单份给男生栽， 平均每人栽几棵？
答案是15棵
算式：1÷（16-110）＝15棵

7．一个池上装有3根水管。甲管为进水管，乙管为出水管，20分钟可将满池水
放完，丙管也是出水 管，30分钟可将满池水放完。现在先打开甲管，当水池水
刚溢出时，打开乙,丙两管用了18分钟放完 ，当打开甲管注满水是，再打开乙管，
而不开丙管，多少分钟将水放完？
答案45分钟。
1÷（120+130）＝12 表示乙丙合作将满池水放完需要的分钟数。
112*（18-12）＝112*6＝12 表示乙丙合作将漫池水放完后，还多放了6分钟
的水，也就是甲18分钟进的水。
12÷18＝136 表示甲每分钟进水
最后就是1÷（120-136）＝45分钟。

8．某工程队需要在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙队去
做， 要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如
期完成，问规定日期为几天？
答案为6天
解：

由“若乙队去做，要超过规定日期三天 完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单
独做，恰好如期完成，”可知：
乙做3天的工作量＝甲2天的工作量
即：甲乙的工作效率比是3：2
甲、乙分别做全部的的工作时间比是2：3
时间比的差是1份
实际时间的差是3天
所以3÷（3-2）×2＝6天，就是甲的时间，也就是规定日期
方程方法：
[1x+1（x+2）]×2+1（x+2）×（x-2）＝1
解得x＝6
9．两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小时，而点完一根细蜡烛要1小时，
一天晚上停电，小 芳同时点燃了这两根蜡烛看书，若干分钟后来点了，小芳将两
支蜡烛同时熄灭，发现粗蜡烛的长是细蜡烛 的2倍，问：停电多少分钟？
答案为40分钟。
解：设停电了x分钟
根据题意列方程
1-1120*x＝（1-160*x）*2
解得x＝40


二．鸡兔同笼问题
1．鸡与兔共100只,鸡的腿数比兔的腿数少28条,问鸡与兔各有几只?
解：
4*100＝400，400-0＝400 假设都是兔子，一共有400只兔子的脚，那么鸡的脚
为0只，鸡的脚比兔子的脚少400只。
400-28＝372 实际鸡的脚数比兔子的脚数只少28只，相差372只，这是为什么？
4+2＝6 这是因为只要将一只兔子换成一只鸡，兔子的总脚数就会减少4只（从
400只变 为396只），鸡的总脚数就会增加2只（从0只到2只），它们的相差数就会
少4+2＝6只（也就是 原来的相差数是400-0＝400，现在的相差数为396-2＝394，
相差数少了400-394 ＝6）
372÷6＝62 表示鸡的只数，也就是说因为假设中的100只兔子中有62只改为了鸡，所以脚的相差数从400改为28，一共改了372只
100-62＝38表示兔的只数




三．数字数位问题
1．把1至2005这200 5个自然数依次写下来得到一个多位数123456789.....2005,
这个多位数除以9余数 是多少?
解：
首先研究能被9整除的数的特点：如果各个数位上的数字之和能被9整除，那么

这个数也能被9整除；如果各个位数字之和不能被9整除，那么得的余数就是这
个数除以9得的 余数。
解题：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；45能被9整除
依次类推：1~1999这些数的个位上的数字之和可以被9整除
10~19，20~29… …90~99这些数中十位上的数字都出现了10次，那么十位上的
数字之和就是10+20+30+… …+90=450 它有能被9整除
同样的道理，100~900 百位上的数字之和为4500 同样被9整除
也就是说1~999这些连续的自然数的各个位上的数字之和可以被9整除；
同样的道理：1000~1999这些连续的自然数中百位、十位、个位 上的数字之和
可以被9整除（这里千位上的“1”还没考虑，同时这里我们少
2
从1000~1999千位上一共999个“1”的和是999，也能整除；
2的各位数字之和是27，也刚好整除。
最后答案为余数为0。

2．A和B是小于100的两个非零的不同自然数。求A+B分之A-B的最小值...
解：
(A-B)(A+B) = (A+B - 2B)(A+B) = 1 - 2 * B(A+B)
前面的 1 不会变了，只需求后面的最小值，此时 (A-B)(A+B) 最大。
对于 B (A+B) 取最小时，(A+B)B 取最大，
问题转化为求 (A+B)B 的最大值。
(A+B)B = 1 + AB ，最大的可能性是 AB = 991
(A+B)B = 100
(A-B)(A+B) 的最大值是： 98 100

3．已知A.B.C都是非0自然数,A2 + B4 + C16的近似值市6.4,那么它的准确值
是多少?
答案为6.375或6.4375
因为A2 + B4 + C16＝8A+4B+C16≈6.4，
所以8A+4B+C≈1 02.4，由于A、B、C为非0自然数，因此8A+4B+C为一个整数，
可能是102，也有可能是 103。
当是102时，10216＝6.375
当是103时，10316＝6.4375

4．一个三位数的各位数字 之和是1 7.其中十位数字比个位数字大1.如果把这个
三位数的百位数字与个位数字对调,得到一个新的三位数 ,则新的三位数比原三位
数大198,求原数.
答案为476
解：设原数个位为a，则十位为a+1，百位为16-2a
根据题意列方程100a+10a+16-2a－100（16-2a）-10a-a＝198
解得a＝6，则a+1＝7 16-2a＝4
答：原数为476。

5． 一个两位数,在它的前面写上3,所组成的三位数比原两位数的7倍多24,求原来

的两位数.
答案为24
解：设该两位数为a，则该三位数为300+a
7a+24＝300+a
a＝24
答：该两位数为24。

6 ．把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数,它与原数相加,和
恰好是某自然数的平方, 这个和是多少?
答案为121
解：设原两位数为10a+b，则新两位数为10b+a
它们的和就是10a+b+10b+a＝11（a+b）
因为这个和是一个平方数，可以确定a+b＝11
因此这个和就是11×11＝121
答：它们的和为121。

7．一个六位数的末位数字是2,如果把2移到首位,原数就是新数的3倍,求原数.
答案为85714
解：设原六位数为abcde2，则新六位数为2abcde（字母上无法 加横线，请将整
个看成一个六位数）
再设abcde（五位数）为x，则原六位数就是10x+2，新六位数就是200000+x
根据题意得，（200000+x）×3＝10x+2
解得x＝85714
所以原数就是857142
答：原数为857142

8．有一个四位数 ,个位数字与百位数字的和是12,十位数字与千位数字的和是9,
如果个位数字与百位数字互换,千位 数字与十位数字互换,新数就比原数增加
2376,求原数.
答案为3963
解：设原四位数为abcd，则新数为cdab，且d+b＝12，a+c＝9
根据“新数就比原数增加2376”可知abcd+2376=cdab,列竖式便于观察
abcd
2376
cdab
根据d+b＝12，可知d、b可能是3、9；4、8；5、7；6、6。
再观察竖式中的个位，便可以知道只有当d＝3，b＝9；或d＝8，b＝4时成立。
先取d＝3，b＝9代入竖式的百位，可以确定十位上有进位。
根据a+c＝9，可知a、c可能是1、8；2、7；3、6；4、5。
再观察竖式中的十位，便可知只有当c＝6，a＝3时成立。
再代入竖式的千位，成立。
得到：abcd＝3963
再取d＝8，b＝4代入竖式的十位，无法找到竖式的十位合适的数，所以不成立。

9．有一个两位数,如果用它去除以个位数字,商为9余数为6,如果用这个 两位数除
以个位数字与十位数字之和,则商为5余数为3,求这个两位数.
解：设这个两位数为ab
10a+b＝9b+6
10a+b＝5（a+b）+3
化简得到一样：5a+4b＝3
由于a、b均为一位整数
得到a＝3或7，b＝3或8
原数为33或78均可以

10．如果现在 是上午的10点21分,那么在经过28799...99(一共有20个9)分钟之后
的时间将是几点 几分?
答案是10：20
解：
（28799……9（20个9）+1）6024 整除，表示正好过了整数天，时间仍然还是
10：21，因为事先计算时加了1分钟，所以现在时间是1 0：20

四．排列组合问题
1．有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有（ ）
A 768种 B 32种 C 24种 D 2的10次方中
解：
根据乘法原理，分两步：
第一步 是把5对夫妻看作5个整体，进行排列有5×4×3×2×1＝120种不同的排法，
但是因为是围成一 个首尾相接的圈，就会产生5个5个重复，因此实际排法只有
120÷5＝24种。
第二步每 一对夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫妻均有2种排法，
总共又2×2×2×2×2＝32 种
综合两步，就有24×32＝768种。

2 若把英语单词hello的字母写错了,则可能出现的错误共有 ( )
A 119种 B 36种 C 59种 D 48种
解：
5全排列5*4*3*2*1=120
有两个l所以1202=60
原来有一种正确的所以60-1=59





五．容斥原理问题
1． 有100种赤贫.其中含钙的有6 8种,含铁的有43种,那么,同时含钙和铁的食品种
类的最大值和最小值分别是( )
A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11

解：根据容斥原理最小值68+43-100＝11
最大值就是含铁的有43种

2．在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学
生至 少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解
出第三题的人数的2倍: (3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人
数多1人;(4)只解出一道题的学生中,有 一半没有解出第一题,那么只解出第二题
的学生人数是( )
A，5 B，6 C，7 D，8
解：根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为7类：只答第1题，
只 答第2题，只答第3题，只答第1、2题，只答第1、3题，只答2、3题，答1、2、
3题。
分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123
由（1）知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123＝25…①
由（2）知：a2+a23＝（a3+ a23）×2……②
由（3）知：a12+a13+a123＝a1－1……③
由（4）知：a1＝a2+a3……④
再由②得a23＝a2－a3×2……⑤
再由③④得a12+a13+a123＝a2+a3－1⑥
然后将④⑤⑥代入①中，整理得到
a2×4+a3＝26
由于a2、a3均表示人数，可以求出它们的整数解：
当a2＝6、5、4、3、2、1时，a3＝2、6、10、14、18、22
又根据a23＝a2－a3×2……⑤可知：a2>a3
因此，符合条件的只有a2＝6，a3＝2。
然后可以推出a1＝8，a12+a13+a1 23＝7，a23＝2，总人数＝8+6+2+7+2＝25，
检验所有条件均符。
故只解出第二题的学生人数a2＝6人。

3．一次考试共有5道试题。做对第1、 2、3、、4、5题的分别占参加考试人数的
95%、80%、79%、74%、85%。如果做对三道 或三道以上为合格，那么这次考
试的合格率至少是多少？
答案：及格率至少为71％。
假设一共有100人考试
100-95＝5
100-80＝20
100-79＝21
100-74＝26
100-85＝15
5+20+21+26+15＝87（表示5题中有1题做错的最多人数）
87÷3＝29（表示5题中有3题做错的最多人数，即不及格的人数最多为29人）
100-29＝71（及格的最少人数，其实都是全对的）
及格率至少为71％

六．抽屉原理、奇偶性问题
1．一只布袋中装有大小相 同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种，
问最少要摸出几只手套才能保证有3副同色的？ < br>解：可以把四种不同的颜色看成是4个抽屉，把手套看成是元素，要保证有一副
同色的，就是1个 抽屉里至少有2只手套，根据抽屉原理，最少要摸出5只手套。
这时拿出1副同色的后4个抽屉中还剩3 只手套。再根据抽屉原理，只要再摸出2
只手套，又能保证有一副手套是同色的，以此类推。
把四种颜色看做4个抽屉，要保证有3副同色的，先考虑保证有1副就要摸出5只
手套。这时拿出1副同 色的后，4个抽屉中还剩下3只手套。根据抽屉原理，只要
再摸出2只手套，又能保证有1副是同色的。 以此类推，要保证有3副同色的，共
摸出的手套有：5+2+2=9（只）
答：最少要摸出9只手套，才能保证有3副同色的。

2．有四种颜色的积木若干， 每人可任取1-2件，至少有几个人去取，才能保证有
3人能取得完全一样？
答案为21
解：
每人取1件时有4种不同的取法,每人取2件时,有6种不同的取法.
当有11人时,能保证至少有2人取得完全一样:
当有21人时,才能保证到少有3人取得完全一样.

3．某盒子内装50只球，其 中10只是红色，10只是绿色，10只是黄色，10只是
蓝色，其余是白球和黑球，为了确保取出的球 中至少包含有7只同色的球，问：
最少必须从袋中取出多少只球？
解：需要分情况讨论，因为无法确定其中黑球与白球的个数。
当黑球或白球其中没有大于或等于7个的，那么就是：
6*4+10+1=35(个)
如果黑球或白球其中有等于7个的，那么就是：
6*5+3+1＝34（个）
如果黑球或白球其中有等于8个的，那么就是：
6*5+2+1＝33
如果黑球或白球其中有等于9个的，那么就是：
6*5+1+1＝32

4．地上有四堆石子，石子数分别是1、9、15、31如果每次从其中的三堆同时各
取出1个，然后都 放入第四堆中，那么，能否经过若干次操作，使得这四堆石子
的个数都相同?（如果能请说明具体操作， 不能则要说明理由）
不可能。
因为总数为1+9+15+31＝56
564＝14
14是一个偶数
而原来1、9、15、31都是奇数，取出1个和放 入3个也都是奇数，奇数加减若干
次奇数后，结果一定还是奇数，不可能得到偶数（14个）。

七．路程问题
1．狗跑5步的时间马跑3步，马跑4步 的距离狗跑7步，现在狗已跑出30米，马开
始追它。问：狗再跑多远，马可以追上它？
解：
根据“马跑4步的距离狗跑7步”，可以设马每步长为7x米，则狗每步长为4x米。
根据“ 狗跑5步的时间马跑3步”，可知同一时间马跑3*7x米＝21x米，则狗跑5*4x
＝20米。
可以得出马与狗的速度比是21x：20x＝21：20
根据“现在狗已跑出30米”，可以 知道狗与马相差的路程是30米，他们相差的份
数是21-20＝1，现在求马的21份是多少路程，就 是 30÷（21-20）×21＝630米

2．甲乙辆车同时从a b两地相对开出，几 小时后再距中点40千米处相遇？已知，
甲车行完全程要8小时，乙车行完全程要10小时，求a b 两地相距多少千米？
答案720千米。
由“甲车行完全程要8小时，乙车行完全程要10小 时”可知，相遇时甲行了10份，
乙行了8份（总路程为18份），两车相差2份。又因为两车在中点4 0千米处相遇，
说明两车的路程差是（40+40）千米。所以算式是（40+40）÷（10-8）× （10+8）
＝720千米。

3．在一个600米的环形跑道上，兄两人同时从同 一个起点按顺时针方向跑步，
两人每隔12分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出 发，
哥哥改为按逆时针方向跑，则两人每隔4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分
钟？
答案为两人跑一圈各要6分钟和12分钟。
解：
600÷12=50，表示哥哥、弟弟的速度差
600÷4=150，表示哥哥、弟弟的速度和
（50+150）÷2=100，表示较快的速度，方法是求和差问题中的较大数
（150-50）2=50，表示较慢的速度，方法是求和差问题中的较小数
600÷100=6分钟，表示跑的快者用的时间
60050=12分钟，表示跑得慢者用的时间

4．慢车车长125米，车速每秒 行17米，快车车长140米，车速每秒行22米，慢
车在前面行驶，快车从后面追上来，那么，快车从 追上慢车的车尾到完全超过慢
车需要多少时间？
答案为53秒
算式是（140+125)÷(22-17)=53秒
可以这样理解：“快车从追上慢车的车 尾到完全超过慢车”就是快车车尾上的点追
及慢车车头的点，因此追及的路程应该为两个车长的和。

5．在300米长的环形跑道上，甲乙两个人同时同向并排起跑，甲平均速度是每
秒 5米，乙平均速度是每秒4.4米，两人起跑后的第一次相遇在起跑线前几米？
答案为100米

300÷（5-4.4）＝500秒，表示追及时间
5×500＝2500米，表示甲追到乙时所行的路程
2500÷300＝8圈……100米 ，表示甲追及总路程为8圈还多100米，就是在原来起
跑线的前方100米处相遇。
6．一个人在铁道边，听见远处传来的火车汽笛声后，在经过57秒火车经过她前
面，已知火车鸣笛 时离他1360米，(轨道是直的),声音每秒传340米，求火车的速
度（得出保留整数）
答案为22米秒
算式：1360÷(1360÷340+57）≈22米秒
关键理 解：人在听到声音后57秒才车到，说明人听到声音时车已经从发声音的
地方行出1360÷340＝4 秒的路程。也就是1360米一共用了4+57＝61秒。

7．猎犬发现在离它10米远的 前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去，猎犬的
步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的 动作快，猎犬跑2步的时间，
兔子却能跑3步，问猎犬至少跑多少米才能追上兔子。
正确的答案是猎犬至少跑60米才能追上。
解：
由“猎犬跑5步的路程，兔子要跑 9步”可知当猎犬每步a米，则兔子每步59米。
由“猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步”可知同一时 间，猎犬跑2a米，兔子可跑
59a*3＝53a米。从而可知猎犬与兔子的速度比是2a：53a＝6 ：5，也就是说
当猎犬跑60米时候，兔子跑50米，本来相差的10米刚好追完

8． AB两地,甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是4:5,如果甲乙二人分别
同时从 AB两地相对行使,40分钟后两人相遇,相遇后各自继续前行,这样，乙到达
A地比甲到达B地要晚多 少分钟?
答案：18分钟
解：设全程为1,甲的速度为x乙的速度为y
列式40x+40y=1
x:y=5:4
得x=172 y=190
走完全程甲需72分钟,乙需90分钟
故得解
9．甲乙两车同时从AB两地相对开 出。第一次相遇后两车继续行驶，各自到达
对方出发点后立即返回。第二次相遇时离B地的距离是AB全 程的15。已知甲
车在第一次相遇时行了120千米。AB两地相距多少千米？
答案是300千米。
解：通过画线段图可知，两个人第一次相遇时一共行了1个AB的路程， 从开始
到第二次相遇，一共又行了3个AB的路程，可以推算出甲、乙各自共所行的路
程分别是 第一次相遇前各自所走的路程的3倍。即甲共走的路程是120*3＝360千
米，从线段图可以看出， 甲一共走了全程的（1+15）。
因此360÷（1+15）＝300千米

从A 地到B地，甲、乙两人骑自行车分别需要4小时、6小时，现在甲乙分别AB

两地同时出发相向而行，相遇时距AB两地中点2千米。如果二人分别至B地，
A地后都立即折回。第二 次相遇点第一次相遇点之间有（）千米

10．一船以同样速度往返于两地之间，它顺流需要 6小时;逆流8小时。如果水流
速度是每小时2千米，求两地间的距离？
解：（16-18）÷2＝148表示水速的分率
2÷148＝96千米表示总路程

11．快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，快车每小时行33千米，相遇是已行
了 全程的七分之四，已知慢车行完全程需要8小时，求甲乙两地的路程。
解：
相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是4：3
时间比为3：4
所以快车行全程的时间为84*3＝6小时
6*33＝198千米

12 ．小华从甲地到乙地,3分之1骑车,3分之2乘车;从乙地返回甲地,5分之3骑车,5
分之2乘车, 结果慢了半小时.已知,骑车每小时12千米,乘车每小时30千米,问:甲乙
两地相距多少千米?
解：
把路程看成1，得到时间系数
去时时间系数：13÷12+23÷30
返回时间系数：35÷12+25÷30
两者之差：（35÷12+25÷30）-（13÷12+23÷30）=175相当于12小时
去时时间：12×（13÷12）÷175和12×（23÷30）175
路程：12×〔1 2×（13÷12）÷175〕+30×〔12×（23÷30）175〕=37.5（千米）
小学奥数题80道

六年综合奥数题 工程问题

1．甲乙两个 水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独开，排一池
水要10小时，若水池 没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问水池注
满还是要多少小时？

解： 120+116＝980表示甲乙的工作效率

980×5＝4580表示5小时后进水量

1-4580＝3580表示还要的进水量

3580÷（980-110）＝35表示还要35小时注满

答：5小时后还要35小时就能将水池注满。

2．修一条水渠，单独修，甲队 需要20天完成，乙队需要30天完成。如果两队合作，由于
彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低 ，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作
效率只有原来的十分之九。现在计划16天修完这条水渠 ，且要求两队合作的天数尽可能少，
那么两队要合作几天？

< br>解：由题意得，甲的工效为120，乙的工效为130，甲乙的合作工效为120*45+130*910
＝7100，可知甲乙合作工效>甲的工效>乙的工效。

又因为，要求“两队合 作的天数尽可能少”，所以应该让做的快的甲多做，16天内实在来不
及的才应该让甲乙合作完成。只有 这样才能“两队合作的天数尽可能少”。

设合作时间为x天，则甲独做时间为（16-x）天

120*（16-x）+7100*x＝1 x＝10 答：甲乙最短合作10天

3．一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。现在先请甲、丙合做
2小时后，余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时？

解： 由题意知，14表示甲乙合作1小时的工作量，15表示乙丙合作1小时的工作量

（14+15）×2＝910表示甲做了2小时、乙做了4小时、丙做了2小时的工作量。

根据“甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成”可知甲做2小时、乙做6小时、丙
做 2小时一共的工作量为1。

所以1－910＝110表示乙做6-4＝2小时的工作量。

110÷2＝120表示乙的工作效率。

1÷120＝20小时表示乙单独完成需要20小时。

答：乙单独完成需要20小时。

4．一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第 三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那
么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三 天乙做，第四天甲做，这样交替
轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需17 天完成，甲单独做
这项工程要多少天完成？

解：由题意可知

1甲+1乙+1甲+1乙+……+1甲＝1

1乙+1甲+1乙+1甲+……+1乙+1甲×0.5＝1

（1甲表示甲的工作 效率、1乙表示乙的工作效率，最后结束必须如上所示，否则第二种做
法就不比第一种多0.5天）

1甲＝1乙+1甲×0.5（因为前面的工作量都相等）

得到1甲＝1乙×2

又因为1乙＝117

所以1甲＝217，甲等于17÷2＝8.5天

5．师徒俩人加工同样多的零 件。当师傅完成了12时，徒弟完成了120个。当师傅完成了
任务时，徒弟完成了45这批零件共有多 少个？

答案为300个

120÷（45÷2）＝300个

可以这样想：师傅第一次完成了12，第二次也是12，两次一共全部完工，那么徒弟第二< br>次后共完成了45，可以推算出第一次完成了45的一半是25，刚好是120个。

6．一批树苗，如果分给男女生栽，平均每人栽6棵；如果单份给女生栽，平 均每人栽10
棵。单份给男生栽，平均每人栽几棵？

答案是15棵

算式：1÷（16-110）＝15棵

7．一个池上装有3根水管。甲管为进水 管，乙管为出水管，20分钟可将满池水放完，丙管
也是出水管，30分钟可将满池水放完。现在先打开 甲管，当水池水刚溢出时，打开乙,丙两
管用了18分钟放完，当打开甲管注满水是，再打开乙管，而不 开丙管，多少分钟将水放完？

答案45分钟。

1÷（120+130）＝12 表示乙丙合作将满池水放完需要的分钟数。

112*（18-12）＝112*6＝12 表示乙丙合作将漫池水放完后，还多放了6分钟的水，也就
是甲18分钟进的水。

12÷18＝136 表示甲每分钟进水

最后就是1÷（120-136）＝45分钟。

8．某工程队需要在规定日期 内完成，若由甲队去做，恰好如期完成，若乙队去做，要超过
规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天， 再由乙队单独做，恰好如期完成，问规定日期为
几天？

答案为6天

解： 由“若乙队去做，要超过规定日期三天完成，若先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，
恰好如期完成，”可知：

乙做3天的工作量＝甲2天的工作量

即：甲乙的工作效率比是3：2

甲、乙分别做全部的的工作时间比是2：3

时间比的差是1份

实际时间的差是3天

所以3÷（3-2）×2＝6天，就是甲的时间，也就是规定日期

方程方法：

[1x+1（x+2）]×2+1（x+2）×（x-2）＝1

解得x＝6

9．两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小时，而点完一根细 蜡烛要1小时，一天晚上
停电，小芳同时点燃了这两根蜡烛看书，若干分钟后来点了，小芳将两支蜡烛同 时熄灭，发
现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍，问：停电多少分钟？

答案为40分钟。

解：设停电了x分钟

根据题意列方程 1-1120*x＝（1-160*x）*2 解得x＝40

二．鸡兔同笼问题

1．鸡与兔共100只,鸡的腿数比兔的腿数少28条,问鸡与兔各有几只?

解： 4*100＝400，400-0＝400 假设都是兔子，一共有400只兔子的脚，那么鸡的脚为0
只，鸡的脚比兔子的脚少400只。

400-28＝372 实际鸡的脚数比兔子的脚数只少28只，相差372只，这是为什么？

4+2＝6 这是 因为只要将一只兔子换成一只鸡，兔子的总脚数就会减少4只（从400只变为
396只），鸡的总脚数 就会增加2只（从0只到2只），它们的相差数就会少4+2＝6只（也
就是原来的相差数是400-0 ＝400，现在的相差数为396-2＝394，相差数少了400-394＝6）

372÷6＝62 表示鸡的只数，也就是说因为假设中的100只兔子中有62只改为了鸡，所以脚< br>的相差数从400改为28，一共改了372只

100-62＝38表示兔的只数

三．数字数位问题

1．把1至2005这2005个自然数依次写 下来得到一个多位数123456789.....2005,这个多位数
除以9余数是多少?

解：首先研究能被9整除的数的特点：如果各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个数< br>也能被9整除；如果各个位数字之和不能被9整除，那么得的余数就是这个数除以9得的余
数。

解题：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；45能被9整除

依次类推：1~1999这些数的个位上的数字之和可以被9整除

10~19， 20~29……90~99这些数中十位上的数字都出现了10次，那么十位上的数字之和就
是10+2 0+30+……+90=450 它有能被9整除

同样的道理，100~900 百位上的数字之和为4500 同样被9整除

也就是说1~999这些连续的自然数的各个位上的数字之和可以被9整除；

同样的道理：1000~1999这些连续的自然数中百位、十位、个位 上的数字之和可以被9整
除（这里千位上的“1”还没考虑，同时这里我们少2

从1000~1999千位上一共999个“1”的和是999，也能整除；

2的各位数字之和是27，也刚好整除。

最后答案为余数为0。

2．A和B是小于100的两个非零的不同自然数。求A+B分之A-B的最小值...

解： (A-B)(A+B) = (A+B - 2B)(A+B) = 1 - 2 * B(A+B)

前面的 1 不会变了，只需求后面的最小值，此时 (A-B)(A+B) 最大。

对于 B (A+B) 取最小时，(A+B)B 取最大，

问题转化为求 (A+B)B 的最大值。

(A+B)B = 1 + AB ，最大的可能性是 AB = 991

(A+B)B = 100

(A-B)(A+B) 的最大值是： 98 100

3．已知A.B.C都是非0自然数,A2 + B4 + C16的近似值市6.4,那么它的准确值是多少?

答案为6.375或6.4375

因为A2 + B4 + C16＝8A+4B+C16≈6.4，

所以8A+4B+C≈102.4，由于A、B 、C为非0自然数，因此8A+4B+C为一个整数，可能是
102，也有可能是103。

当是102时，10216＝6.375

当是103时，10316＝6.4375

4．一个三位数的各位数字 之和 是17.其中十位数字比个位数字大1.如果把这个三位数的百
位数字与个位数字对调,得到一个新的三 位数,则新的三位数比原三位数大198,求原数.

答案为476

解：设原数个位为a，则十位为a+1，百位为16-2a

根据题意列方程100a+10a+16-2a－100（16-2a）-10a-a＝198

解得a＝6，则a+1＝7 16-2a＝4

答：原数为476。

5．一个两位数,在它的前面写上3,所组成的三位数比原两位数的7倍多24,求原来的两位数.

答案为24

解：设该两位数为a，则该三位数为300+a

7a+24＝300+a

a＝24

答：该两位数为24。

6．把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一 个新数,它与原数相加,和恰好是某自
然数的平方,这个和是多少?

答案为121

解：设原两位数为10a+b，则新两位数为10b+a

它们的和就是10a+b+10b+a＝11（a+b）

因为这个和是一个平方数，可以确定a+b＝11

因此这个和就是11×11＝121

答：它们的和为121。

7．一个六位数的末位数字是2,如果把2移到首位,原数就是新数的3倍,求原数.

答案为85714

解：设原六位数为abcde2，则新六位数为2abcde （字母上无法加横线，请将整个看成一个
六位数）

再设abcde（五位数）为x，则原六位数就是10x+2，新六位数就是200000+x

根据题意得，（200000+x）×3＝10x+2

解得x＝85714

所以原数就是857142

答：原数为857142

8．有一个四位数,个位 数字与百位数字的和是12,十位数字与千位数字的和是9,如果个位数
字与百位数字互换,千位数字与 十位数字互换,新数就比原数增加2376,求原数.

答案为3963

解：设原四位数为abcd，则新数为cdab，且d+b＝12，a+c＝9

根据“新数就比原数增加2376”可知abcd+2376=cdab,列竖式便于观察

abcd 2376 cdab

根据d+b＝12，可知d、b可能是3、9；4、8；5、7；6、6。

再观察竖式中的个位，便可以知道只有当d＝3，b＝9；或d＝8，b＝4时成立。

先取d＝3，b＝9代入竖式的百位，可以确定十位上有进位。

根据a+c＝9，可知a、c可能是1、8；2、7；3、6；4、5。

再观察竖式中的十位，便可知只有当c＝6，a＝3时成立。

再代入竖式的千位，成立。

得到：abcd＝3963

再取d＝8，b＝4代入竖式的十位，无法找到竖式的十位合适的数，所以不成立。

9．有一个两位数,如果用它去除以个位数字,商为9余数为6,如果用这个两位数除以个位数
字与十位数字之和,则商为5余数为3,求这个两位数.

解：设这个两位数为ab

10a+b＝9b+6 10a+b＝5（a+b）+3

化简得到一样：5a+4b＝3

由于a、b均为一位整数

得到a＝3或7，b＝3或8

原数为33或78均可以

10．如果现在是上午的10点21分,那么在经过28799...99(一共有20个9)分钟之后的时间< br>将是几点几分?

答案是10：20

解： （28799 ……9（20个9）+1）6024整除，表示正好过了整数天，时间仍然还是10：
21，因为事先计 算时加了1分钟，所以现在时间是10：20

四．排列组合问题

1．有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有（ ）

A 768种 B 32种 C 24种 D 2的10次方中

解： 根据乘法原理，分两步：

第一步是把5对夫妻看作5个整体，进行排列有5×4×3×2 ×1＝120种不同的排法，但是因为
是围成一个首尾相接的圈，就会产生5个5个重复，因此实际排法 只有120÷5＝24种。

第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫 妻均有2种排法，总共又
2×2×2×2×2＝32种

综合两步，就有24×32＝768种。

2 若把英语单词hello的字母写错了,则可能出现的错误共有 ( )

A 119种 B 36种 C 59种 D 48种

解： 5全排列5*4*3*2*1=120

有两个l所以1202=60

原来有一种正确的所以60-1=59

五．容斥原理问题

1． 有100种赤贫.其中含钙的有68种, 含铁的有43种,那么,同时含钙和铁的食品种类的最大
值和最小值分别是( )

A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11

解：根据容斥原理最小值68+43-100＝11

最大值就是含铁的有43种

2．在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学 生至少解
出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的2
倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是( )

A，5 B，6 C，7 D，8

解：根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为 7类：只答第1题，只答第2
题，只答第3题，只答第1、2题，只答第1、3题，只答2、3题，答1 、2、3题。

分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123

由（1）知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123＝25…①

由（2）知：a2+a23＝（a3+ a23）×2……②

由（3）知：a12+a13+a123＝a1－1……③

由（4）知：a1＝a2+a3……④

再由②得a23＝a2－a3×2……⑤

再由③④得a12+a13+a123＝a2+a3－1⑥

然后将④⑤⑥代入①中，整理得到

a2×4+a3＝26

由于a2、a3均表示人数，可以求出它们的整数解：

当a2＝6、5、4、3、2、1时，a3＝2、6、10、14、18、22

又根据a23＝a2－a3×2……⑤可知：a2>a3

因此，符合条件的只有a2＝6，a3＝2。

然后可以推出a1＝8，a12+ a13+a123＝7，a23＝2，总人数＝8+6+2+7+2＝25，检验所有条件
均符。

故只解出第二题的学生人数a2＝6人。

3．一次考试共有5道试题。做对第1、2、3、、4、5题的分别占参加考试人数的95%、
80%、 79%、74%、85%。如果做对三道或三道以上为合格，那么这次考试的合格率至少是
多少？

答案：及格率至少为71％。

假设一共有100人考试

100-95＝5

100-80＝20

100-79＝21

100-74＝26

100-85＝15

5+20+21+26+15＝87（表示5题中有1题做错的最多人数）

87÷3＝29（表示5题中有3题做错的最多人数，即不及格的人数最多为29人）

100-29＝71（及格的最少人数，其实都是全对的）

及格率至少为71％

六．抽屉原理、奇偶性问题

1．一只布袋中装有大小相同但颜色不 同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种，问最少要摸
出几只手套才能保证有3副同色的？

解：可以把四种不同的颜色看成是4个抽屉，把手套看成是元素，要保证有一副同色的，就
是1 个抽屉里至少有2只手套，根据抽屉原理，最少要摸出5只手套。这时拿出1副同色的
后4个抽屉中还剩 3只手套。再根据抽屉原理，只要再摸出2只手套，又能保证有一副手套
是同色的，以此类推。

把四种颜色看做4个抽屉，要保证有3副同色的，先考虑保证有1副就要摸出5只手套。这< br>时拿出1副同色的后，4个抽屉中还剩下3只手套。根据抽屉原理，只要再摸出2只手套，
又能保 证有1副是同色的。以此类推，要保证有3副同色的，共摸出的手套有：5+2+2=9（只）

答：最少要摸出9只手套，才能保证有3副同色的。

2．有四种颜色的积木若 干，每人可任取1-2件，至少有几个人去取，才能保证有3人能取
得完全一样？ 答案为21

解： 每人取1件时有4种不同的取法,每人取2件时,有6种不同的取法.

当有11人时,能保证至少有2人取得完全一样:

当有21人时,才能保证到少有3人取得完全一样.

3．某盒子内装50只球 ，其中10只是红色，10只是绿色，10只是黄色，10只是蓝色，其
余是白球和黑球，为了确保取出 的球中至少包含有7只同色的球，问：最少必须从袋中取出
多少只球？

解：需要分情况讨论，因为无法确定其中黑球与白球的个数。

当黑球或白球其中没有大于或等于7个的，那么就是：

6*4+10+1=35(个)

如果黑球或白球其中有等于7个的，那么就是：

6*5+3+1＝34（个）

如果黑球或白球其中有等于8个的，那么就是：

6*5+2+1＝33

如果黑球或白球其中有等于9个的，那么就是：

6*5+1+1＝32

4．地上有四堆石子，石子数分别是1、9 、15、31如果每次从其中的三堆同时各取出1个，
然后都放入第四堆中，那么，能否经过若干次操作 ，使得这四堆石子的个数都相同?（如果
能请说明具体操作，不能则要说明理由）

不可能。

因为总数为1+9+15+31＝56

564＝14

14是一个偶数

而原来1、9、15、3 1都是奇数，取出1个和放入3个也都是奇数，奇数加减若干次奇数后，
结果一定还是奇数，不可能得到 偶数（14个）。

七．路程问题

1．狗跑5步的时间马跑3步 ，马跑4步的距离狗跑7步，现在狗已跑出30米，马开始追它。
问：狗再跑多远，马可以追上它？

解：

根据“马跑4步的距离狗跑7步”，可以设马每步长为7x米，则狗每步长为4x米。
< br>根据“狗跑5步的时间马跑3步”，可知同一时间马跑3*7x米＝21x米，则狗跑5*4x＝20米。

可以得出马与狗的速度比是21x：20x＝21：20

根据“现在 狗已跑出30米”，可以知道狗与马相差的路程是30米，他们相差的份数是21-20
＝1，现在求马 的21份是多少路程，就是 30÷（21-20）×21＝630米

2．甲乙辆车同时从a b两地相对开出，几小时后再距中点40千米处相遇？已知，甲车行
完全程要8 小时，乙车行完全程要10小时，求a b 两地相距多少千米？

答案720千米。

由“甲车行完全程要8小时，乙车行完全程要10小时”可知，相遇时甲行了10份，乙行了 8
份（总路程为18份），两车相差2份。又因为两车在中点40千米处相遇，说明两车的路程
差是（40+40）千米。所以算式是（40+40）÷（10-8）×（10+8）＝720千米。

3．在一个600米的环形跑道上，兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人每隔
12分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方
向跑 ，则两人每隔4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟？

答案为两人跑一圈各要6分钟和12分钟。

解：600÷12=50，表示哥哥、弟弟的速度差

600÷4=150，表示哥哥、弟弟的速度和

（50+150）÷2=100，表示较快的速度，方法是求和差问题中的较大数

（150-50）2=50，表示较慢的速度，方法是求和差问题中的较小数

600÷100=6分钟，表示跑的快者用的时间

60050=12分钟，表示跑得慢者用的时间

4．慢车车长125米，车速 每秒行17米，快车车长140米，车速每秒行22米，慢车在前面
行驶，快车从后面追上来，那么，快 车从追上慢车的车尾到完全超过慢车需要多少时间？

答案为53秒

算式是（140+125)÷(22-17)=53秒

可以这样理解：“快车从 追上慢车的车尾到完全超过慢车”就是快车车尾上的点追及慢车车头
的点，因此追及的路程应该为两个车 长的和。

5．在300米长的环形跑道上，甲乙两个人同时同向并排起跑，甲平均速度 是每秒5米，乙
平均速度是每秒4.4米，两人起跑后的第一次相遇在起跑线前几米？

答案为100米

300÷（5-4.4）＝500秒，表示追及时间

5×500＝2500米，表示甲追到乙时所行的路程

2500÷3 00＝8圈……100米，表示甲追及总路程为8圈还多100米，就是在原来起跑线的前
方100米处 相遇。

6．一个人在铁道边，听见远处传来的火车汽笛声后，在经过57秒火车经过她 前面，已知
火车鸣笛时离他1360米，(轨道是直的),声音每秒传340米，求火车的速度（得出保 留整数）

答案为22米秒

算式：1360÷(1360÷340+57）≈22米秒

关键理解：人在听到 声音后57秒才车到，说明人听到声音时车已经从发声音的地方行出
1360÷340＝4秒的路程。也 就是1360米一共用了4+57＝61秒。



7．猎犬发现在离它 10米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去，猎犬的步子大，它
跑5步的路程，兔子要跑9步， 但是兔子的动作快，猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步，
问猎犬至少跑多少米才能追上兔子。

正确的答案是猎犬至少跑60米才能追上。

解： 由“猎犬跑5步 的路程，兔子要跑9步”可知当猎犬每步a米，则兔子每步59米。由
“猎犬跑2步的时间，兔子却能跑 3步”可知同一时间，猎犬跑2a米，兔子可跑59a*3＝53a
米。从而可知猎犬与兔子的速度比是 2a：53a＝6：5，也就是说当猎犬跑60米时候，兔子
跑50米，本来相差的10米刚好追完

8． AB两地,甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是4:5,如果甲乙二人分别同 时从AB
两地相对行使,40分钟后两人相遇,相遇后各自继续前行,这样，乙到达A地比甲到达B地要
晚多少分钟?

答案：18分钟

解：设全程为1,甲的速度为x乙的速度为y

列式40x+40y=1

x:y=5:4

得x=172 y=190

走完全程甲需72分钟,乙需90分钟

故得解

9．甲乙两车同时从AB两地相对开出。第一次相遇后两车继续行驶，各自到达对方出发点
后立即返回。第二次相遇时离B地的距离是AB全程的15。已知甲车在第一次相遇时行了
12 0千米。AB两地相距多少千米？

答案是300千米。

解：通过 画线段图可知，两个人第一次相遇时一共行了1个AB的路程，从开始到第二次相
遇，一共又行了3个A B的路程，可以推算出甲、乙各自共所行的路程分别是第一次相遇前
各自所走的路程的3倍。即甲共走的 路程是120*3＝360千米，从线段图可以看出，甲一共
走了全程的（1+15）。

因此360÷（1+15）＝300千米

从A地到B地，甲、乙两人骑自行车 分别需要4小时、6小时，现在甲乙分别AB两地同
时出发相向而行，相遇时距AB两地中点2千米。如 果二人分别至B地，A地后都立即折回。
第二次相遇点第一次相遇点之间有（）千米

10．一船以同样速度往返于两地之间，它顺流需要6小时;逆流8小时。如果水流速度是每
小时2千米，求两地间的距离？

解：（16-18）÷2＝148表示水速的分率

2÷148＝96千米表示总路程

11．快车和慢车同时从甲乙两 地相对开出，快车每小时行33千米，相遇是已行了全程的七
分之四，已知慢车行完全程需要8小时，求 甲乙两地的路程。

解： 相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是4：3

时间比为3：4

所以快车行全程的时间为84*3＝6小时

6*33＝198千米

12．小华从甲地到乙地,3分之1骑车, 3分之2乘车;从乙地返回甲地,5分之3骑车,5分之2
乘车,结果慢了半小时.已知,骑车每小时1 2千米,乘车每小时30千米,问:甲乙两地相距多少千
米?

解： 把路程看成1，得到时间系数

去时时间系数：13÷12+23÷30

返回时间系数：35÷12+25÷30

两者之差：（35÷12+25÷30）-（13÷12+23÷30）=175相当于12小时

去时时间：12×（13÷12）÷175和12×（23÷30）175
< br>路程：12×〔12×（13÷12）÷175〕+30×〔12×（23÷30）175〕=37.5（ 千米）

八．比例问题

1．甲乙两人 在河边钓鱼,甲钓了三条,乙钓了两条,正准备吃,有一个人请求跟他们一起吃,于是
三人将五条鱼平分 了,为了表示感谢,过路人留下10元,甲、乙怎么分？快快快

答案：甲收8元，乙收2元。

解：

“三人将五条鱼平分 ，客人拿出10元”，可以理解为五条鱼总价值为30元，那么每条鱼价值
6元。

又因为“甲钓了三条”，相当于甲吃之前已经出资3*6＝18元，“乙钓了两条”，相当于乙吃之
前 已经出资2*6＝12元。

而甲乙两人吃了的价值都是10元，所以

甲还可以收回18-10＝8元

乙还可以收回12-10＝2元

刚好就是客人出的钱。

2．一种商品，今年的成本比去年增加了10分之1， 但仍保持原售价，因此，每份利润下
降了5分之2，那么，今年这种商品的成本占售价的几分之几？

答案2225

最好画线段图思考：

把去年原 来成本看成20份，利润看成5份，则今年的成本提高110，就是22份，利润下降
了25，今年的利 润只有3份。增加的成本2份刚好是下降利润的2份。售价都是25份。

所以，今年的成本占售价的2225。



3．甲乙两车分别 从A.B两地出发,相向而行,出发时,甲.乙的速度比是5:4,相遇后,甲的速度减
少20%,乙的 速度增加20%,这样,当甲到达B地时,乙离A地还有10千米,那么A.B两地相距
多少千米?

解：

原来甲.乙的速度比是5:4

现在的甲：5×（1-20％）＝4

现在的乙：4×（1+20％）4.8

甲到B后，乙离A还有：5-4.8＝0.2

总路程：10÷0.2×（4+5）＝450千米



4．一个圆柱的底面周长减少25%，要使体积增加13，现在的高和原来的高度比是多少？

答案为64：27

解：根据“周长减少25％”，可知周长是原来的 34，那么半径也是原来的34，则面积是原
来的916。

根据“体积增加13”，可知体积是原来的43。

体积÷底面积＝高

现在的高是43÷916＝6427，也就是说现在的高是原来的高的6427

或者现在的高：原来的高＝6427：1＝64：27



5 ．某市场运来香蕉、苹果、橘子和梨四种水果其中橘子、苹果共30吨香蕉、橘子和梨共
45吨。橘子正 好占总数的13分之2。一共运来水果多少吨？

第二题：答案为65吨

橘子+苹果＝30吨 香蕉+橘子+梨＝45吨 所以橘子+苹果+香蕉+橘子+梨＝75吨



橘子÷（香蕉+苹果+橘子+梨）＝213

说明：橘子是2份，香蕉+苹果+橘子+梨是13份

橘子+香蕉+苹果+橘子+梨一共是2+13＝15份

过桥问题（1）

1. 一列火车经过南京长江大桥，大桥长6700米，这列火车长140米，火车每分钟行 400米，
这列火车通过长江大桥需要多少分钟？

分析：这道题求的是通过时间 。根据数量关系式，我们知道要想求通过时间，就要知道路程
和速度。路程是用桥长加上车长。火车的速 度是已知条件。

总路程： （米） 通过时间： （分钟） 答：这列火车通过长江大桥需要17.1分钟。



2. 一列火车长200米，全车通过长700米的桥需要30秒钟，这列火车每秒行多少米？

分析与解答：这是一道求车速的过桥问题。我们知道，要想求车速，我们就要知道路程和通
过时间这两个 条件。可以用已知条件桥长和车长求出路程，通过时间也是已知条件，所以车
速可以很方便求出。

总路程： （米） 火车速度： （米） 答：这列火车每秒行30米。



3. 一列火车长240米，这列火车每秒行15米，从车头进山洞到全车出山洞共用20秒，山
洞长多少米？

分析与解答：火车过山洞和火车过桥的思路是一样的。火车头进山洞就相当于火车头上桥；< br>全车出洞就相当于车尾下桥。这道题求山洞的长度也就相当于求桥长，我们就必须知道总路
程和车 长，车长是已知条件，那么我们就要利用题中所给的车速和通过时间求出总路程。

总路程： 山洞长： （米） 答：这个山洞长60米。



和倍问题

1. 秦奋和妈妈的年龄加在一起是40岁，妈妈的年龄是秦奋年龄的4倍，问秦奋和妈妈各是
多少岁？

我们把秦奋的年龄作为1倍，“妈妈的年龄是秦奋的4倍”，这样 秦奋和妈妈年龄的和就相当
于秦奋年龄的5倍是40岁，也就是（4＋1）倍，也可以理解为5份是40 岁，那么求1倍是
多少，接着再求4倍是多少？

（1）秦奋和妈妈年龄倍数和是：4＋1＝5（倍）

（2）秦奋的年龄：40÷5＝8岁

（3）妈妈的年龄：8×4＝32岁

综合：40÷（4＋1）＝8岁 8×4＝32岁

为了保证此题的正确，验证

（1）8＋32＝40岁 （2）32÷8＝4（倍）

计算结果符合条件，所以解题正确。

2. 甲乙两架飞机同时从机场向相反方向飞行，3小时共飞行3600千米，甲的速度是乙的2
倍，求它们的速度各是多少？

已知两架飞机3小时共飞行3600千米，就可以求出两 架飞机每小时飞行的航程，也就是两
架飞机的速度和。看图可知，这个速度和相当于乙飞机速度的3倍， 这样就可以求出乙飞机
的速度，再根据乙飞机的速度求出甲飞机的速度。

甲乙飞机的速度分别每小时行800千米、400千米。

3. 弟弟有课外书20本，哥哥有课外书25本，哥哥给弟弟多少本后，弟弟的课外书是哥哥
的2倍？

思考：（1）哥哥在给弟弟课外书前后，题目中不变的数量是什么？

（2）要想求哥哥给弟弟多少本课外书，需要知道什么条件？

（3）如果把哥哥 剩下的课外书看作1倍，那么这时（哥哥给弟弟课外书后）弟弟的课外书
可看作是哥哥剩下的课外书的几 倍？

思考以上几个问题的基础上，再求哥哥应该给弟弟多少本课外书。根据条件需要先求 出哥哥
剩下多少本课外书。如果我们把哥哥剩下的课外书看作1倍，那么这时弟弟的课外书可看作
是哥哥剩下的课外书的2倍，也就是兄弟俩共有的倍数相当于哥哥剩下的课外书的3倍，而
兄弟俩人课 外书的总数始终是不变的数量。

（1）兄弟俩共有课外书的数量是20＋25＝45。

（2）哥哥给弟弟若干本课外书后，兄弟俩共有的倍数是2＋1＝3。

（3）哥哥剩下的课外书的本数是45÷3＝15。

（4）哥哥给弟弟课外书的本数是25－15＝10。

试着列出综合算式：

4. 甲乙两个粮库原来共存粮170吨，后来从甲库运出30吨，给乙库运进10吨，这时 甲库
存粮是乙库存粮的2倍，两个粮库原来各存粮多少吨？

根据甲乙两个粮库原 来共存粮170吨，后来从甲库运出30吨，给乙库运进10吨，可求出这
时甲、乙两库共存粮多少吨。 根据“这时甲库存粮是乙库存粮的2倍”，如果这时把乙库存粮
作为1倍，那么甲、乙库所存粮就相当于 乙存粮的3倍。于是求出这时乙库存粮多少吨，进
而可求出乙库原来存粮多少吨。最后就可求出甲库原来 存粮多少吨。

甲库原存粮130吨，乙库原存粮40吨。



列方程组解应用题（一）

1. 用白铁皮做罐 头盒，每张铁皮可制盒身16个，或制盒底43个，一个盒身和两个盒底配
成一个罐头盒，现有150张 铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，才能使盒身与盒底正好
配套？

依据题意 可知这个题有两个未知量，一个是制盒身的铁皮张数，一个是制盒底的铁皮张数，
这样就可以用两个未知 数表示，要求出这两个未知数，就要从题目中找出两个等量关系，列
出两个方程，组在一起，就是方程组 。

两个等量关系是：A做盒身张数+做盒底的张数=铁皮总张数

B制出的盒身数×2=制出的盒底数

用86张白铁皮做盒身，64张白铁皮做盒底。



奇数与偶数（一）

其实，在日常生活中同学们就已经接触了很多的奇数、偶数。

凡是能被2整除的数叫偶数，大于零的偶数又叫双数；凡是不能被2整除的数叫奇数，大于< br>零的奇数又叫单数。

因为偶数是2的倍数，所以通常用 这个式子来表示偶数（这里 是整数）。因为任何奇数除
以2其余数都是1，所以通常用式子 来表示奇数（这里 是整数）。

奇数和偶数有许多性质，常用的有：

性质1 两个偶数的和或者差仍然是偶数。

例如：8+4=12，8-4=4等。

两个奇数的和或差也是偶数。

例如：9+3=12，9-3=6等。

奇数与偶数的和或差是奇数。

例如：9+4=13，9-4=5等。

单数个奇数的和是奇，双数个奇数的和是偶数，几个偶数的和仍是偶数。

性质2 奇数与奇数的积是奇数。

偶数与整数的积是偶数。

性质3 任何一个奇数一定不等于任何一个偶数。

1. 有5张扑克牌，画面向上。小明每次翻转 其中的4张，那么，他能在翻动若干次后，使5
张牌的画面都向下吗？

同学们可 以试验一下，只有将一张牌翻动奇数次，才能使它的画面由向上变为向下。要想使
5张牌的画面都向下， 那么每张牌都要翻动奇数次。

5个奇数的和是奇数，所以翻动的总张数为奇数时才能使5 张牌的牌面都向下。而小明每次
翻动4张，不管翻多少次，翻动的总张数都是偶数。

所以无论他翻动多少次，都不能使5张牌画面都向下。

2. 甲盒中放有180个白色围棋子和181个黑色围棋子，乙盒中放有181个白色围棋子，李平每次任意从甲盒中摸出两个棋子，如果两个棋子同色，他就从乙盒中拿出一个白子放入甲
盒；如果 两个棋子不同色，他就把黑子放回甲盒。那么他拿多少后，甲盒中只剩下一个棋子，
这个棋子是什么颜色 的？

不论李平从甲盒中拿出两个什么样的棋子，他总会把一个棋子放入甲盒。所以他每拿 一次，
甲盒子中的棋子数就减少一个，所以他拿180+181-1=360次后，甲盒里只剩下一个棋 子。

如果他拿出的是两个黑子，那么甲盒中的黑子数就减少两个。否则甲盒子中的黑子数 不变。
也就是说，李平每次从甲盒子拿出的黑子数都是偶数。由于181是奇数，奇数减偶数等于奇数。所以，甲盒中剩下的黑子数应是奇数，而不大于1的奇数只有1，所以甲盒里剩下的一
个棋子应 该是黑子。

奥赛专题 -- 称球问题

例1 有4堆外表上一 样的球，每堆4个。已知其中三堆是正品、一堆是次品，正品球每个
重10克，次品球每个重11克，请 你用天平只称一次，把是次品的那堆找出来。

解 ：依次从第一、二、三、四堆球中，各 取1、2、3、4个球，这10个球一起放到天平上
去称，总重量比100克多几克，第几堆就是次品球 。

2 有27个外表上一样的球，其中只有一个是次品，重量比正品轻，请你用天平只称 三次（不
用砝码），把次品球找出来。

解 ：第一次：把27个球分为三堆，每 堆9个，取其中两堆分别放在天平的两个盘上。若天
平不平衡，可找到较轻的一堆；若天平平衡，则剩下 来称的一堆必定较轻，次品必在较轻的
一堆中。

第二次：把第一次判定为较轻的 一堆又分成三堆，每堆3个球，按上法称其中两堆，又可找
出次品在其中较轻的那一堆。

第三次：从第二次找出的较轻的一堆3个球中取出2个称一次，若天平不平衡，则较轻的就
是次 品，若天平平衡，则剩下一个未称的就是次品。

例3 把10个外表上一样的球，其中只有一个是次品，请你用天平只称三次，把次品找出来。

解：把10个球分成3个、3个、3个、1个四组，将四组球及其重量分别用A、B、C、D表
示。把A 、B两组分别放在天平的两个盘上去称，则

（1）若A=B，则A、B中都是正品，再称 B、C。如B=C，显然D中的那个球是次品；如
B＞C，则次品在C中且次品比正品轻，再在C中取出 2个球来称，便可得出结论。如B＜
C，仿照B＞C的情况也可得出结论。

（2 ）若A＞B，则C、D中都是正品，再称B、C，则有B=C，或B＜C（B＞C不可能，为
什么？）如 B=C，则次品在A中且次品比正品重，再在A中取出2个球来称，便可得出结
论；如B＜C，仿前也可 得出结论。

（3）若A＜B，类似于A＞B的情况，可分析得出结论。

奥赛专题 -- 抽屉原理

【例1】一个小组共有13名同学，其中至少有2名同学同一个月过生日。为什么？

【分析】每年里共有12个月，任何一个人的生日，一定在其中的某一个月。 如果把这12
个月看成12个“抽屉”，把13名同学的生日看成13只“苹果”，把13只苹果放进1 2个抽屉
里，一定有一个抽屉里至少放2个苹果，也就是说，至少有2名同学在同一个月过生日。

【例 2】任意4个自然数，其中至少有两个数的差是3的倍数。这是为什么？

【分析与解】首先我们要弄清这样一条规律：如果两个自然数除以3的余数相同，那么这两
个自 然数的差是3的倍数。而任何一个自然数被3除的余数，或者是0，或者是1，或者是
2，根据这三种情 况，可以把自然数分成3类，这3种类型就是我们要制造的3个“抽屉”。
我们把4个数看作“苹果”， 根据抽屉原理，必定有一个抽屉里至少有2个数。换句话说，4
个自然数分成3类，至少有两个是同一类 。既然是同一类，那么这两个数被3除的余数就一
定相同。所以，任意4个自然数，至少有2个自然数的 差是3的倍数。

【例3】有规格尺寸相同的5种颜色的袜子各15只混装在箱内，试问不 论如何取，从箱中
至少取出多少只就能保证有3双袜子（袜子无左、右之分）？

【分析与解】试想一下，从箱中取出6只、9只袜子，能配成3双袜子吗？回答是否定的。

按5种颜色制作5个抽屉，根据抽屉原理1，只要取出6只袜子就总有一只抽屉里装2只，
这2 只就可配成一双。拿走这一双，尚剩4只，如果再补进2只又成6只，再根据抽屉原理
1，又可配成一双 拿走。如果再补进2只，又可取得第3双。所以，至少要取6＋2＋2=10
只袜子，就一定会配成3双 。

思考：1.能用抽屉原理2，直接得到结果吗？

2.把题中的要求改为3双不同色袜子，至少应取出多少只？

3.把题中的要求改为3双同色袜子，又如何？

【例4】一个布袋中有35个同 样大小的木球，其中白、黄、红三种颜色球各有10个，另外
还有3个蓝色球、2个绿色球，试问一次至 少取出多少个球，才能保证取出的球中至少有4
个是同一颜色的球？

【分析与解】从最“不利”的取出情况入手。

最不利的情况是首先取出的5个球中，有3个是蓝色球、2个绿色球。

接下来， 把白、黄、红三色看作三个抽屉，由于这三种颜色球相等均超过4个，所以，根据
抽屉原理2，只要取出 的球数多于（4-1）×3=9个，即至少应取出10个球，就可以保证取出
的球至少有4个是同一抽屉 （同一颜色）里的球。

故总共至少应取出10＋5=15个球，才能符合要求。

思考：把题中要求改为4个不同色，或者是两两同色，情形又如何？

当我们遇到“判别具有某种事物的性质有没有，至少有几个”这样的问题时，想到它——抽屉
原理，这是 你的一条“决胜”之路。

奥赛专题 -- 还原问题

【例1】某 人去银行取款，第一次取了存款的一半多50元，第二次取了余下的一半多100
元。这时他的存折上还 剩1250元。他原有存款多少元？

【分析】从上面那个“重新包装”的事例中，我们应 受到启发：要想还原，就得反过来做（倒
推）。由“第二次取余下的一半多100元”可知，“余下的一 半少100元”是1250元，从而“余
下的一半”是 1250+100=1350（元）

余下的钱（余下一半钱的2倍）是： 1350×2=2700（元）

用同样道理可算出“存款的一半”和“原有存款”。综合算式是：

[（1250+100）×2+50]×2=5500（元）

还原问题的一般特 点是：已知对某个数按照一定的顺序施行四则运算的结果，或把一定数量
的物品增加或减少的结果，要求 最初（运算前或增减变化前）的数量。解还原问题，通常应
当按照与运算或增减变化相反的顺序，进行相 应的逆运算。

【例2】有26块砖，兄弟2人争着去挑，弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥 赶来了。哥哥看
弟弟挑得太多，就拿来一半给自己。弟弟觉得自己能行，又

从哥 哥那里拿来一半。哥哥不让，弟弟只好给哥哥5块，这样哥哥比弟弟多挑2块。问最初
弟弟准备挑多少块 ？

【分析】我们得先算出最后哥哥、弟弟各挑多少块。只要解一个“和差问题”就知道： 哥哥挑
“（26+2）÷2=14”块，弟弟挑“26-14=12”块。

提示 ：解还原问题所作的相应的“逆运算”是指：加法用减法还原，减法用加法还原，乘法用
除法还原，除法 用乘法还原，并且原来是加（减）几，还原时应为减（加）几，原来是乘（除）
以几，还原时应为除（乘 ）以几。

对于一些比较复杂的还原问题，要学会列表，借助表格倒推，既能理清数量关系，又便于验
算。

奥赛专题 -- 鸡兔同笼问题

例1 鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？

[分析] ：如果 46只都是兔，一共应有 4×46=184只脚，这和已知的128只脚相比多了
184-128=5 6只脚.如果用一只鸡来置换一只兔，就要减少4-2=2（只）脚.那么，46只兔里应
该换进几只鸡 才能使56只脚的差数就没有了呢？显然，56÷2=28，只要用28只鸡去置换28
只兔就行了.所 以，鸡的只数就是28，兔的只数是46-28=18。

解：①鸡有多少只？

（4×6-128）÷（4-2）

=（184-128）÷2

=56÷2

=28（只）

②免有多少只？

46-28=18（只）

答：鸡有28只，免有18只。

例2 鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？

[分析]： 这个例题与前面例题是有区别的，没有给出它们脚数的总和，而是给出了它们脚
数 的差.这又如何解答呢？

假设100只全是鸡，那么脚的总数是2×100=200（只 ）这时兔的脚数为0，鸡脚比兔脚多200
只，而实际上鸡脚比兔脚多80只.因此，鸡脚与兔脚的差数 比已知多了（200-80）=120（只），
这是因为把其中的兔换成了鸡.每把一只兔换成鸡，鸡的 脚数将增加2只，兔的脚数减少4

只.那么，鸡脚与兔脚的差数增加（2+4 ）=6（只），所以换成鸡的兔子有120÷6=20（只）.
有鸡（100-20）=80（只）。

解：（2×100-80）÷（2+4）=20（只）。

100-20=80（只）。

答：鸡与兔分别有80只和20只。

例3 红英小学三年级有3个班共135人，二班比一班多5人，三班比二班少7人，三个班
各有多少人？

[分析1] 我们设想，如果条件中三个班人数同样多，那么，要求每班有多少人就很容易了 .
由此得到启示，是否可以通过假设三个班人数同样多来分析求解。

结合下图可 以想，假设二班、三班人数和一班人数相同，以一班为标准，则二班人数要比实
际人数少5人.三班人数 要比实际人数多7-5=2（人）.那么，请你算一算，假设二班、三班
人数和一班人数同样多，三个班 总人数应该是多少？

解法1：

一班：[135-5+（7-5）]÷3=132÷3

=44（人）

二班：44+5=49（人）

三班：49-7=42（人）

答：三年级一班、 二班、三班分别有44人、 49人和 42人。

[分析2] 假设一、三班人数和二班人数同样多，那么，一班人数比实际要多5人，而三班要
比实际人数多7人.这时的总人数又该是多少？

解法2：（135+ 5+ 7）÷3 = 147÷3 = 49（人）

49-5=44（人），49-7=42（人）

答：三年级一班、二班、三班分别有44人、49人和42人。

例4 刘老师带了41名同学去北海公园划船，共租了10条船.每条大船坐6人，每条小船坐
4人，问大船、 小船各租几条？

[分析] 我们分步来考虑：

①假设租的 10条船都是大船，那么船上应该坐 6×10= 60（人）。

②假设后的总人数比实际人数多了 60-（41+1）=18（人），多的原因是把小船坐的4人都
假设成坐6人。

③一条小船当成大船多出2人，多出的18人是把18÷2=9（条）小船当成大船。

解：[6×10-(41+1）÷（6-4）

= 18÷2=9（条） 10-9=1（条）

答：有9条小船，1条大船。

例5 有蜘蛛 、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对（蜘蛛8条腿；蜻蜓6
条腿，两对翅膀；蝉 6条腿，一对翅膀），求蜻蜓有多少只？

[分析] 这是在鸡 兔同笼基础上发展变化的问题.观察数字特点，蜻蜓、蝉都是6条腿，只有
蜘蛛8条腿.因此，可先从腿 数入手，求出蜘蛛的只数.我们假设三种动物都是6条腿，则总
腿数为 6×18=108（条），所差 118-108=10（条），必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的.
所以，应有（118-108） ÷（8-6）=5（只）蜘蛛.这样剩下的18-5=13（只）便是蜻蜓和蝉的
只数.再从翅膀数入手 ，假设13只都是蝉，则总翅膀数1×13=13（对），比实际数少 20-13
＝7（对），这是由 于蜻蜓有两对翅膀，而我们只按一对翅膀计算所差，这样蜻蜓只数可求
7÷（2-1）=7（只）.

解：①假设蜘蛛也是6条腿，三种动物共有多少条腿？

6×18=108（条）

②有蜘蛛多少只？

（118-108）÷（8-6）=5（只）

③蜻蜒、蝉共有多少只？

18-5=13（只）

④假设蜻蜒也是一对翅膀，共有多少对翅膀？1×13=13（对）

⑤蜻蜒多少只？

（20-13）÷ 2-1）= 7（只）

答：蜻蜒有7只.

牛吃草问题

1． 一个牧场，草每天 匀速生长，每头牛每天吃的草量相同，17头牛30天可以将草吃完，
19头牛只需要24天就可以将草 吃完，现有一群牛，吃了6天后，卖掉4头牛，余下的牛再
吃2天就将草吃完。问没有卖掉4头牛之前， 这一群牛一共有多少头？

17×30=510（头） 19×24=456（头）（51 0-456）÷（30-24）=9（头）30×17-30×9=240（头）
（6+2）×9=72 （头）240+72+2×4=320（头）320÷（6+2）=40（头）

2． 一 个蓄水池，每分钟流入4立方米水。如果打开5个水龙头，2小时半就把水池中的
水放光；如果打开8个 水龙头，1小时半就把池中的水放光，现打开13个水龙头，问要多
少时间才能把水池中的水放光（每个 水龙头每小时放走的水量相同）？









3． 甲、乙、丙3个仓库，各存放着同样数量的化肥，甲仓库用皮带 输送机一台和12个工
人，需要5小时才能把甲仓库搬空；乙仓库用一台皮带输送机和28个工人，需要 3小时才
能把乙仓库搬空；丙仓库有两台皮带输送机，如果要求2小时把丙仓库搬空，同时还需要多少工人（皮带输送机的功效相同，每个工人每小时的搬运量相同，皮带输送机与工人同时往
处搬运化 肥）？

1×5=5（台） 12×5=60（人）28×3=84（人）1×3=3（台 ）84-60=24（人）24÷（5-3）=12（人）
1×5×12=60（人） 60+12×5=120（人）2×2×12=48（人）（120-48）÷2=36（人）

4． 快、中、慢3辆车同时从同一地点出发，沿同一条公路追赶前面的 一个骑车的小偷，
这3辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟，追上小偷，现在知道快车的速度是每小 时24
千米，中车的速度是每小时20千米，问慢车的速度是多少？。

奥赛专题 -- 列车过桥问题

1、一列长300米的火车以每分1080米的速度通过 一座大桥。从车头开上桥到车尾离开桥一
共需3分。这座大桥长多少米？

2、某 人步行的速度为每秒2米.一列火车从后面开来,超过他用了10秒.已知火车长90米.求
火车的速度 。

3、.在环形跑道上，两人都按顺时针方向跑时，每12分钟相遇一次，如果两人速度 不变，
其中一人改成按逆时针方向跑，每隔4分钟相遇一次,问两人各跑一圈需要几分钟？

4、一列长300米的火车，以每分1080米的速度通过一座长为940米的在桥，从车头开上桥到车尾离开桥需要多少分钟？

5、一列火车通过530米的桥需40秒钟，以同样的 速度穿过380米的山洞需30秒钟。求这
列火车的速度是多少米秒，全长是多少米？
< br>6、铁路沿线的电杆间隔是40米，某旅客在运行的火车中，从看到第一根电线杆到看到第
51根 电线杆正好是2分钟，火车每小时行多少千米。

7、一个人站在铁道旁,听见行近来的火 车汽笛声后,再过57秒钟火车经过他面前.已知火车汽
笛时离他1360米;(轨道是笔直的)声速是 每秒钟340米,求火车的速度?(得数保留整数)

一列450米长的货车，以每秒12米的速度通过一座570米长的铁桥，需要几秒钟？

8、现有两列火车同时同方向齐头行进，行12秒后快车超过慢车。快车每秒行18米，慢车
每 秒行10米。如果这两列火车车尾相齐同时同方向行进，则9秒后快车超过慢车，求两列
火车的车身长。

9、李明和张忆在300米的环形跑道上练习跑步，李明每秒跑5米，张忆每秒跑3米，两 人
同时从起跑点出发同向而行，问出发后李明第一次追上张忆时，张忆跑了多少米？
10、速度为快、中、慢的三辆汽车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面一个骑车人，
这三辆 车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人，现在知道快车每小时24千米，中速
车每小时20千 米，那么慢车每小时行多少千米？（选做题）

11、周长为400米的圆形跑道上，有相 距100米的A、B两点，甲、乙两人分别从A、B两
点同时相背而跑，两人相遇后，乙立刻转身与甲同 向而跑，当甲跑到A时，乙恰好跑到B.
如果以后甲、乙跑的速度和方向都不变，那么追上乙时，甲共跑 了多少米（从出发时算起）？

奥赛专题 -- 平均数问题

1 蔡琛在期末考试中，政治、语文、数学、英语、生物五科的平均分是 89分.政治、数学两
科的平均分 是91.5分.语文、英语两科的平均分是84分.政治、英语两科的平均分是86 分，
而且英语比语文多10分.问蔡琛这次考试的各科成绩应是多少分？

2 果 品店把2千克酥糖，3千克水果糖，5千克奶糖混合成什锦糖.已知酥糖每千克4.40元，
水果糖每千 克4.20元，奶糖每千克7.20元.问：什锦糖每千克多少元？

3甲乙两块棉田，平 均亩产籽棉185斤.甲棉田有5亩，平均亩产籽棉203斤；乙棉田平均亩
产籽棉170斤，乙棉田有 多少亩？

4已知八个连续奇数的和是144，求这八个连续奇 数。新华小学订了若干张《中国少年报》，
如果三张三张地数，余数为1张；五张五张地数，余数为2张 ；七张七张地数，余数为2
张。新华小学订了多少张《中国年呢？ 商店里三天共卖出1026米布。第 二天卖出的是第一
天的2倍；第三天卖出的是第二天的3倍。求三天各卖出多少米布？

1.分数的四则混和运算：求13+115 +135+ 163 +199 +1143

简便方法：

13=1×(13)=12(1-13)

115 =(13)×(15)=12(13-15)

135=（15)×(17)=12(15-17)

163 =(17)×(19)=12(17-19)

199 =(19)×(111)=12(19-111)

1143=(111)×(113)=12(111-113)

所以13+115 +135+ 163 +199
+1143=12(1-13)+12(13-1 5)+12(15-17)+12(17-19)+12(19-111)+12(111-113)

提公因式12得12(1-13+13-15+15-17+17-19+19-111+1 11-113)

可观察到式子中间部分都抵消，最后只剩下12(1-113)=613

也就是13+115 +135+ 163 +199 +1143=613.

概念题型

2.八分之a、十分之b、十五分之c是三个最简分数，已知三个分 数的积是二分之一，求这
三个分数各是多少？

a8×b10×c15=abc1200

因为它们的积是12 所以abc=600

把600分解质因数600=2×2×5×3×2×5

又因为它们的分母分别是8、10、15 而且是最简分数，它们的分子里依次不能有2、2和5、
3和5

因此，只能是5×5=25，3，2×2×2=8、

所以这三个分数分别是：258、310、815

分类讨论题型：

3.两根同样长的绳子,第一根剪下五分之三米,第二根剪下五分之三,哪根剩下的多?

当绳子大于一米时，第一根剩下的多，

当绳子等于一米时，两根剩下的一样多，

当绳子小于一米时，第二根剩下的多

公约公倍和同余

1.今天是星期六，再过1000天是星期几？

2.已知两个自然数a和b（a＞b），已知a和b除以13的 余数分别是5和9，求a+b，a-b，
a×b，a2-b2各自除以13的余数。

3.2100除以一个两位数得到的余数是56，求这个两位数。

4.被除数、除数、商与余数之和是903，已知除数是35，余数是2，求被除数。

5.用一个整数去除345和543所得的余数相同，且商相差9，求这个数。

6.有一个整数，用它去除312，231，123得到的三个余数之和是41，求这个数。

1．答：根据题意不难看出，这个大班小朋友的人数是115-7=108，148-4=144，7 4-2=72的
最大公约数．所以，这个大班的小朋友最多有36人．

2．答： 与上题类似，依题意，正方体的棱长应是9，6，7的最小公倍数，9，6，7的最小
公倍数是126． 所以，至少需要这种长方体木块 126×126×126÷（9×6×7）=5292(块)

3、答：此数为28。方法同例题。

4、答：这两个数为4与120，或8与60，或12与40，或20与24。方法同例题。

5答：所求的两个数为15与150，或30与135，或45与120，或60与105， 或75与90。
方法同例题。

6、答：因为1+2+…+9=5×9，所以无论 这些九位数的值如何，它们的数字之和总可以被9
整除，因而9是所有这些九位数的公约数．现任取这些 九位数中的两个相差9的数，如
413798256和413798265。

7、答：1925=5×5×7×11 两个商为5和11， 1925÷5=385 ； 1925÷11=175 答：根据1。题
意不难看出，这个大班小朋友的人数是115-7=108， 148-4=144，74-2=72的最大公约数．所
以，这个大班的小朋友最多有36人．

2．答：与上题类似，依题意，正方体的棱长应是9，6，7的最小公倍数，9，6，7的最 小
公倍数是126．所以，至少需要这种长方体木块 126×126×126÷（9×6×7）=5292(块)

3．答：此数为28。方法同例题。

4．答：这两个数为4与120，或8与60，或12与40，或20与24。方法同例题。

5．答：所求的两个数为15与150，或30与135，或45与120，或60与105 ，或75与90。
方法同例题。

6．答：因为1+2+…+9=5×9，所以无 论这些九位数的值如何，它们的数字之和总可以被9
整除，因而9是所有这些九位数的公约数．现任取这 些九位数中的两个相差9的数，如
413798256和413798265。

答：1925=5×5×7×11 两个商为5和11， 1925÷5=385 ； 1925÷11=175

7．幼儿园有糖115颗、饼干148块、桔子74个，平均 分给大班小朋友，结果糖多出7颗，
饼干多出4块，桔子多出2个．这个大班的小朋友最多有几个人？

8．用长是9厘米、宽是6厘米、高是7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要这种
长方体木块多少块．

9．已知某数与24的最大公约数为4，最小公倍数为168，求此数。

10．已知两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为120，求这两个数。

11．已知两个自然数的和为165，它们的最大公约数为15，求这两个数。

选做题

12．把1，2，3，4，5，6，7，8 ，9九个数依不同的次序排列，可以得到362880个不同的
九位数，求所有这些九位数的最大公约数 ．



13．两个整数的最小公倍数是1925，这两个整数分别除以 他们的最大公约数，得到两个商
的和是16，请写出这两个整数（第七届华杯赛试题）。

（必做）第五讲 奇数与偶数及奇偶性的应用

发布日期：[2007-4-22 17:23:11] 共阅[376]次

1.能否在下式中填入适当的“+”，“-”，使等式成立？

9□8□7□6□5□4□3□2□1=28

2.在a、b、c三个数中，有一个是2 003，一个是2004，一个是2005。问（a－1）（b－2）
（c－3）是奇数还是偶数。

3.用代表整数的字母a、b、c、d写成等式组：

a×b×c×d-a=1983

a×b×c×d-b=1993

a×b×c×d-c=2003

a×b×c×d-d=2013

试说明：符合条件的整数a、b、c、d是否存在。

4.有一串 数，最前面的四个数依次是1、9、8、7.从第五个数起，每一个数都是它前面相邻
四个数之和的个位 数字.问：在这一串数中，会依次出现1、9、8、8这四个数吗？

5.任意改变某一个三位数的各位数字的顺序得到一个新数.试证新数与原数之和不能等于
999。

最大公约数和最小公倍数(闫老师班)

发布日期：[2007-10-16 19:01:58] 共阅[154]次

1.甲、 乙两地相距465千米，一辆汽车从甲地开往乙地，以每小时60千米的速度行驶一段
后，每小时加速1 5千米，共用了7小时到达乙地。每小时60千米的速度行驶了几小时？

2.笼中装有鸡 和兔若干只，共100只脚，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共92只脚。笼中原
有兔、鸡各多少只？

3.蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀。蝉有6条腿和1对翅膀。现在这三种小虫共1 8
只，有118条腿和20对翅膀，每种小虫各几只？

4.学雷锋活动中，同学 们共做好事240件，大同学每人做好事8件，小同学每人做好事3件，
他们平均每人做好事6件。参加 这次活动的小同学有多少人？

5.某班42个同学参加植树，男生平均每人种3棵，女生 平均每人种2棵，已知男生比女生
多种56棵，男、女生各有多少人？

答案：

1.解：设每小时60千米的速度行驶了x小时。

60x+(60+15)(7-x)=465

60x+525-75x=465

525-15x=465

15x=60

x=4

答：每小时60千米的速度行驶了4小时。

2.解：兔换成鸡，每只就减少了2只脚。

(100-92)2=4只，

兔子有4只。

(100-4*4)2=42只

答：兔子有4只，鸡有42只。

3.解：设蜘蛛18只，蜻蜓y只，蝉z只。

三种小虫共18只，得：

x+y+z=18……a式

有118条腿，得：

8x+6y+6z=118……b式

有20对翅膀，得：

2y+z=20……c式

将b式-6*a式，得：

8x+6y+6z-6(x+y+z)=118-6*18

2x=10

x=5

蜘蛛有5只，

则蜻蜓和蝉共有18-5=13只。

再将z化为(13-y)只。

再代入c式，得：

2y+13-y=20

y=7

蜻蜓有7只。

蝉有18-5-7=6只。

答：蜘蛛有5只，蜻蜓有7只，蝉有6只。

4.解：同学们共做好事240件,他们平均每人做好事6件,

说明他们共有2406=40人

设大同学有x人，小同学有(40-x)人。

8x+3(40-x)=240

8x+120-3x=240

5x+120=240

5x=120

x=24

40-x=16

答：大同学有24人，小同学有16人。



5.解：设男生x人，女生(42-x)人。

3x-2(42-x)=56

3x+2x-84=56

5x=140

x=28

42-x=14

答：男生28人，女生14人

1．答：根据题意不难看出，这个大班小朋友的人数是115-7=108，148-4= 144，74-2=72的
最大公约数．所以，这个大班的小朋友最多有36人．

2．答：与上题类似，依题意，正方体的棱长应是9，6，7的最小公倍数，9，6，7的最小
公倍数 是126．所以，至少需要这种长方体木块 126×126×126÷（9×6×7）=5292(块)

3、答：此数为28。方法同例题。

4、答：这两个数为4与120，或8与60，或12与40，或20与24。方法同例题。

5答：所求的两个数为15与150，或30与135，或45与120，或60与105， 或75与90。
方法同例题。

6、答：因为1+2+…+9=5×9，所以无论 这些九位数的值如何，它们的数字之和总可以被9
整除，因而9是所有这些九位数的公约数．现任取这些 九位数中的两个相差9的数，如
413798256和413798265。

7、答：1925=5×5×7×11 两个商为5和11， 1925÷5=385 ； 1925÷11=175 答：根据1。题
意不难看出，这个大班小朋友的人数是115-7=108， 148-4=144，74-2=72的最大公约数．所
以，这个大班的小朋友最多有36人．

2．答：与上题类似，依题意，正方体的棱长应是9，6，7的最小公倍数，9，6，7的最 小
公倍数是126．所以，至少需要这种长方体木块 126×126×126÷（9×6×7）=5292(块)

3．答：此数为28。方法同例题。

4．答：这两个数为4与120，或8与60，或12与40，或20与24。方法同例题。

5．答：所求的两个数为15与150，或30与135，或45与120，或60与105 ，或75与90。
方法同例题。

6．答：因为1+2 +…+9=5×9，所以无论这些九位数的值如何，它们的数字之和总可以被9
整除，因而9是所有这些 九位数的公约数．现任取这些九位数中的两个相差9的数，如
413798256和413798265 。

答：1925=5×5×7×11 两个商为5和11， 1925÷5=385 ； 1925÷11=175

7．幼儿园有糖115颗、饼干148块、桔子74个，平 均分给大班小朋友，结果糖多出7
颗，饼干多出4块，桔子多出2个．这个大班的小朋友最多有几个人？



8．用长是9厘米、宽是6厘米、高是7厘米的长方体木块叠成一个正 方体，至少需要这种
长方体木块多少块．

9．已知某数与24的最大公约数为4，最小公倍数为168，求此数。

10．已知两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为120，求这两个数。

11．已知两个自然数的和为165，它们的最大公约数为15，求这两个数。

选做题

12．把1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数依不同的次序排列，可以得到3628 80个不同的
九位数，求所有这些九位数的最大公约数．



13．两个整数的最小公倍数是1925，这两个整数分别除以他们的最大公约数，得到两个商
的和是1 6，请写出这两个整数（第七届华杯赛试题）。

最大公约数和最小公倍数(闫老师班)

发布日期：[2007-10-16 19:01:58] 共阅[154]次

一、填空

1、用96朵红花和72朵白花做成花束，如果每束花里红 花的朵数相同，白花的朵数也相同，
每束花里最少有 朵花？

2、7月6日，宝 珠从避暑山庄打电话向拴柱问好，贾六来看望拴柱，喜子在打扫房间。如
果喜子每隔3天打扫一次，宝珠 每隔6天打一次电话，贾六每隔5天看望一次，至少经过

天，问好、看望、打扫这三件事才能同时发生。

3、一筐梨，按每份两个梨分多 1个，每份3个梨分多2个，每份5个梨分多4个，则筐里
至少有 个梨。

二、解答题

1、 为了搞试验，将一块长为75米，宽为60米的长方形土地分 为面积相等的小正方形土地，
那么小正方形土地的面积最大是多少平方米？

2、 两个数的最大公约数是18，最小公倍数是180，两个数相差54，求这两个数各是多少？

3、有一种新型的电子钟，每到正点和半点都响一次铃，每过9分钟亮一次灯，如果中午
12 点时，它既响了铃，又亮了灯，那么下一次既响铃又亮灯要到什么时间？

回答者： 知道100℃ - 千总 四级 1-14 18:49

周期问题

1.有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13绿花的顺序排列着，最后一朵是什么颜色的花？



根据题意可知，者写按5红，9黄，13绿的顺序轮流排列着，即5+ 9+13=27（朵)花为一个
周期，不断循环。因为249除以27等于9余6，也就是经过9个周期 还余下6朵花，是黄
花。

2.1除以7等于0.7.....小数点后的第一百位是多少？

142857，有6个数在循环，就用100除以6等于16余4，是8

一、填空题

1.有两列火车,一列长102米,每秒行20米;一列长120米,每秒行 17米.两车同向而行,从第一
列车追及第二列车到两车离开需要几秒?

2.某 人步行的速度为每秒2米.一列火车从后面开来,超过他用了10秒.已知火车长90米.求火
车的速度 .

3.现有两列火车同时同方向齐头行进,行12秒后快车超过慢车.快车每秒行18米 ,慢车每秒行
10米.如果这两列火车车尾相齐同时同方向行进,则9秒后快车超过慢车,求两列火车的 车身
长.

4.一列火车通过440米的桥需要40秒,以同样的速度穿过310 米的隧道需要30秒.这列火车
的速度和车身长各是多少?

5.小英和小敏为了 测量飞驶而过的火车速度和车身长,他们拿了两块跑表.小英用一块表记下
了火车从她面前通过所花的时 间是15秒;小敏用另一块表记下了从车头过第一根电线杆到车
尾过第二根电线杆所花的时间是20秒. 已知两电线杆之间的距离是100米.你能帮助小英和小
敏算出火车的全长和时速吗?
< br>6.一列火车通过530米的桥需要40秒,以同样的速度穿过380米的山洞需要30秒.求这列火车的速度与车身长各是多少米.

7.两人沿着铁路线边的小道,从两地出发,以相同 的速度相对而行.一列火车开来,全列车从甲
身边开过用了10秒.3分后,乙遇到火车,全列火车从乙 身边开过只用了9秒.火车离开乙多少
时间后两人相遇?

8. 两列火车,一列 长120米,每秒行20米;另一列长160米,每秒行15米,两车相向而行,从车头
相遇到车尾离开 需要几秒钟?

9.某人步行的速度为每秒钟2米.一列火车从后面开来,越过他用了10 秒钟.已知火车的长为
90米,求列车的速度.

10.甲、乙二人沿铁路相向而 行,速度相同,一列火车从甲身边开过用了8秒钟,离甲后5分钟又
遇乙,从乙身边开过,只用了7秒钟 ,问从乙与火车相遇开始再过几分钟甲乙二人相遇?



二、解答题

11.快车长182米,每秒行20米,慢车长1034米,每秒行18米.两车同向并行, 当快车车尾接慢车
车尾时,求快车穿过慢车的时间?

12.快车长182米,每 秒行20米,慢车长1034米,每秒行18米.两车同向并行,当两车车头齐时,
快车几秒可越过慢车 ?

13.一人以每分钟120米的速度沿铁路边跑步.一列长 288米的火车从对面开来,从他身边通过
用了8秒钟,求列车的速度.

14. 一列火车长600米,它以每秒10米的速度穿过长200米的隧道,从车头进入隧道到车尾离
开隧道共 需多少时间?

———————————————答 案
——————————————————————

一、填空题

120米 102米 17x米 20x米 尾 尾 头 头

1. 这题是“两列车”的追及问题.在这里,“追及”就是第一列车的车头追及第二列车的车尾,“离
开”就是第一列车的车尾离开第二列车的车头.

设从第一列车追及第二列车到两列车离开需要x秒,列方程得:

102+120+17 x =20 x x =74.

2. 设列车的速度是每秒x米,列方程得

10 x =90+2×10

x =11.

3. ( 则快车长:18×12-10×12=96(米)

(2)车尾相齐,同时同方向行进,快车

则慢车长:18×9-10×9=72(米)



4. (1)火车的速度是:(440-310)÷(40-30)=13(米秒)

(2)车身长是:13×30-310=80(米)

5. (1)火车的时速是:100÷(20-15)×60×60=72000(米小时)

(2)车身长是:20×15=300(米)

6. 设火车车身长x米,车身长y米.根据题意,得

①②

解得

7. 设火车车身长x米,甲、乙两人每秒各走y米,火车每秒行z米.根据题意,列方程组,得

①②

①-②,得:

火车离开乙后两人相遇时间为:

(秒) (分).

8. 解: 从车头相遇到车尾离开,两车所行距离之和恰为两列车长之和,故用相遇问题得所求时
间为:(120+ 60)?(15+20)=8(秒).

9. 这样想:列车越过人时,它们的路程差就 是列车长.将路程差(90米)除以越过所用时间(10
秒)就得到列车与人的速度差.这速度差加上人 的步行速度就是列车的速度.

90÷10+2=9+2=11(米)

答:列车的速度是每秒种11米.

10. 要求过几分钟甲、乙二人相遇,就必须求出甲、乙二人这时的距离与他们速度的关 系,
而与此相关联的是火车的运动,只有通过火车的运动才能求出甲、乙二人的距离.火车的运行
时间是已知的,因此必须求出其速度,至少应求出它和甲、乙二人的速度的比例关系.由于本问
题较难 ,故分步详解如下:

①求出火车速度 与甲、乙二人速度 的关系,设火车车长为l,则:

(i)火车开过甲身边用8秒钟,这个过程为追及问题:

故 (1)

(i i)火车开过乙身边用7秒钟,这个过程为相遇问题:

故 . (2)

由(1)、(2)可得: ,

所以, .

②火车头遇到甲处与火车遇到乙处之间的距离是:

.③求火车头遇到乙时甲、乙二人之间的距离.

火车头遇甲后,又经过(8+5 ×60)秒后,火车头才遇乙,所以,火车头遇到乙时,甲、乙二人之间的距
离为:

④求甲、乙二人过几分钟相遇?

(秒) (分钟)

答:再过 分钟甲乙二人相遇.

二、解答题

11. 1034÷(20-18)=91(秒) 12. 182÷(20-18)=91(秒) 13. 288÷8-120÷60=36-2=34(米秒) 答:
列车的速度是每秒34米. 14. (600+200)÷10=80(秒) 答:从车头进入隧道到车尾离开隧道共
需80秒.

1．答：根据题意不难看出，这个大班小朋友的人数是115-7=108，148-4=1 44，74-2=72的
最大公约数．所以，这个大班的小朋友最多有36人．

2．答：与上题类似，依题意，正方体的棱长应是9，6，7的最小公倍数，9，6，7的最小
公倍数是 126．所以，至少需要这种长方体木块 126×126×126÷（9×6×7）=5292(块)

3、答：此数为28。方法同例题。

4、答：这两个数为4与120，或8与60，或12与40，或20与24。方法同例题。

5答：所求的两个数为15与150，或30与135，或45与120，或60与105， 或75与90。
方法同例题。

6、答：因为1+2+…+9=5×9，所以无论 这些九位数的值如何，它们的数字之和总可以被9
整除，因而9是所有这些九位数的公约数．现任取这些 九位数中的两个相差9的数，如
413798256和413798265。

7、答：1925=5×5×7×11 两个商为5和11， 1925÷5=385 ； 1925÷11=175 答：根据1。题
意不难看出，这个大班小朋友的 人数是115-7=108，148-4=144，74-2=72的最大公约数．所
以，这个大班的小 朋友最多有36人．

2．答：与上题类似，依题意，正方体的棱长应是9，6，7的最小 公倍数，9，6，7的最小
公倍数是126．所以，至少需要这种长方体木块 126×126×126÷（9×6×7）=5292(块)

3．答：此数为28。方法同例题。

4．答：这两个数为4与120，或8与60，或12与40，或20与24。方法同例题。

5．答：所求的两个数为15与150，或30与135，或45与120，或60与105 ，或75与90。
方法同例题。

6．答：因为1+2+…+9=5×9，所以无 论这些九位数的值如何，它们的数字之和总可以被9
整除，因而9是所有这些九位数的公约数．现任取这 些九位数中的两个相差9的数，如
413798256和413798265。

答：1925=5×5×7×11 两个商为5和11， 1925÷5=385 ； 1925÷11=175

7．幼儿园有糖115颗、饼干148块、桔子74个，平均 分给大班小朋友，结果糖多出7颗，
饼干多出4块，桔子多出2个．这个大班的小朋友最多有几个人？

8．用长是9厘米、宽是6厘米、高是7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要这种
长方体木块多少块．

9．已知某数与24的最大公约数为4，最小公倍数为168，求此数。

10．已知两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为120，求这两个数。

11．已知两个自然数的和为165，它们的最大公约数为15，求这两个数。

选做题

12．把1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数依不同的次序排列，可以得到3628 80个不同的
九位数，求所有这些九位数的最大公约数．

13．两个整数的最 小公倍数是1925，这两个整数分别除以他们的最大公约数，得到两个商
的和是16，请写出这两个整 数（第七届华杯赛试题）。

（必做）第五讲 奇数与偶数及奇偶性的应用

发布日期：[2007-4-22 17:23:11] 共阅[376]次

1.能否在下式中填入适当的“+”，“-”，使等式成立？

9□8□7□6□5□4□3□2□1=28

2.在a、b、c三个数中，有一个是2 003，一个是2004，一个是2005。问（a－1）（b－2）
（c－3）是奇数还是偶数。

3.用代表整数的字母a、b、c、d写成等式组：

a×b×c×d-a=1983

a×b×c×d-b=1993

a×b×c×d-c=2003

a×b×c×d-d=2013

试说明：符合条件的整数a、b、c、d是否存在。

4.有一串数，最前面的四个数依次是1、9、8、7.从第五个数起，每一个数都是它前 面相邻
四个数之和的个位数字.问：在这一串数中，会依次出现1、9、8、8这四个数吗？

5.任意改变某一个三位数的各位数字的顺序得到一个新数.试证新数与原数之和不能等