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三角形的四心

三角形的四心，指的是三角形的垂心。重心、内心、外心，它 们的性质在几何
证明与计算中具有重要的作用。
（1）三角形的垂心是指三条高线的交点。垂心常用字母H来表示。
（2）三角形的垂心是指 三条中线的交点。重心常用字母G来表示。重心到顶点
的距离是它到对边中点距离的二倍。
（ 3）三角形的内心是指三条内角平分线的交点。内心常用字母I来表示。内心
到三边的距离相等。 （4）三角形的外心是指三边的中垂线的交点外心常用字母O来表示。外心到三
角形三个顶点的距离 相等。

例1 已知G为△ABC的重心，不过三角形顶点的直线L过G点，从A、B、C三
点向直线L引垂线AO， BE，CF，O，E，F为垂足。
求证：AO=BE+CF。
思路 直接证AO=BE+C F比较困难。可考虑连AG延长交BC于D，过D作
于H，则可知DH为梯形BCFE的中位线，问题即 可得证。
证明 如图3-15-1所示，连AG并延长交BC于D。
∵G是重心，BD=DC。
过D点作
又
于H，

∴DH为梯形BCFE的中位线，

又∵△AOG∽△DHG,
即

因此，AO=BE+CF。
例2 如图3-15-2， I 为△ABC的内心，且I，D，C，E在同一圆周上，若DE=1，
试求ID和IE之长。
思路分析 由I，D，C，E四点共圆可知，
的内心知 故可求得

又由Ｉ为△ABC
这时问题即可解决。

解∵I， D， C， E共圆，

又∵I为△ABC的内心。

从而知
连CI则
因而ID=IE。
在△DIE中，
即由余弦定理解得

∵I, D, C, E 共圆。



例3 已知△ABC的重心G和内心O的连线GOBC，求证AB+CA=2BC。
思路1 由于题设中有内心O的条件，所以可考虑利用三角形内角平分线定理证
之。
证明1 如图3-15-3，连AG， AO并延长交BC于M，T，连CO，则AG为中线，
AO
和CO分别为

又∵CO是∠ACB的平分线，
得CA=2CT。
同理可证AB=2BT。
∴AB+CA=2（BT+CT）=2BC。
思路2 也可以考虑利用面积公式证明。
证明2 如图3-15-4所示，作中线AM和高AH，则AM过G，又过G作
于D。
∵GOBC，∴GD等于△ABC的内切圆半径r,
于是 从而

的平分线。

AH=3GD=3r.
又
∴AB+AC=2BC.
例4 如图3-15-5，在△ABC中AB=4，AC=6，B C=5，∠A的平分线AD交△ABC的
外接圆于K。O， I分别为△ABC的外心和内心。求证OI⊥AK。
证明 连结并延长KO交△ABC的外接圆于E，连结AE，则
∵I为△ABC的内心


∴OIAE. ∵KE是直径，

例5 求证任一三角形中, 外心, 重心和垂心共线, 且垂心到重心的距离二倍于
外心到重心的距离。
证明 如图3-15-6，设H，G，O分别为△ABC的垂心，重心，外心，取BC中点M，
连AM，
则G在AM上。且AG=2GM，连OM，则OM⊥BC。
连结AH，则AH⊥BC。
∴AHOM 连CO延长交外接圆于P，
再连AP，BP，BH（如图）易证AH=20M，又
∠HAG=∠OMG得
△AGH∽△MGO，7

又∠AGH=∠MGO，故HG=2GO且H，G，O共线。
例6 如图3-15-7, 在△ABC中, ∠C的平分线交边AB及三角形外接圆于D, K,
I为△ABC的内心, 求证:

证明
于是易得到

由②有
即 ③
②

①

①-③得
(2)由性质(4)有
④
由①-④得
例7如图3-15-8, D, E, F分别为△ABC各边BC、CA、AB上的点，且
则△ABC和△DEF有相同的垂心。
证明 令则

令G为△ABC的重心，连GA，GB，GC，GD，GE， GF，得

②+③得
④-①得

∴G为△DEF的垂心。




练习
A级
（一）填空题：
1. 已知AD, BE, CF为锐角△ABC三条高线, 垂心为H, 则图中直角三角形的个数为
_____。
2. 若一等腰三角形的底边上的高等于18厘米, 腰上的中线等于15厘米, 则该等腰
三角形的面积等于_______。
3. 已知△ABC的垂心为M，AM=3， BM=4， CM=5，那么= _______。
4. 已知H为△ABC的垂心, 求证由A、B、C、H四点中任意三点所确定的各圆相等。

B级
5. 设锐角△ABC的三条高AD、DE、CF交于H，若BC=a, AC=b, AB=c, 则
的值是多少？
6. 设H为等腰三角形ABC的垂心, 在底边BC保持不变的情况下, 让顶点A至底边
BC的距离变小, 这时乘积
论。
的值变小,变大, 还是不变? 并证明你的结




参考答案或提示
A级
（一）填空题：
1． 答案：12
提示：直角三角形有△ADB, △ADC, △BEA, △BEC; △CFA, △CFB; △HDB,
△HDC;△HEC, △HEA; △HFA, △HFB.
2. 答案:

提示: 如图3-15-11所示, AD=8, BE=CF=15, 过D作DMBE, 与CF交于M点, 易
知
OD=6, OM=MD=5,

3. 答案: 18.
提示: 延长MF到N, 使
则

4. 简证: (1)当△ABC为锐角三角形时, H为垂心, 设R和
的外接圆半径. 据正弦定理, 在△ABC中,
A, D, H, E四点共圆.
分别为△ABC, △HBC
但


同理可让 △HAC、△HAB外接圆半径均为R。
（2）当△ABC为锐角三角形时，可将A看作△HBC的垂心，即可化归为（1）。
（3）当△ABC为


时，命题显然成立。

B级
（5）由D、H、E、C四点共圆知


cos




故
∵BC保持不变，

的值保持不变。