暑假小报-云南省招考频道

三角形的四心在解析几何中的应用

的内心、外心、重心、垂心，在平面几何 中有着广泛的应用，如果把

的四心与解析几何有关
图形的性质有机地结合，可拓展应 用的范围，使很多解析几何问题获得明快的解决．
一、内心

内切圆的圆心，就是

的内心，也就是

三条内角平分线的交点．
例1 （2010年 河南六市）已知点
P
是双曲线
x
a
2
2

y
b
2
2
1(a,b
>
0)
右支上一点，
F
1
,F
2
分别是双
1
2
S
IF1
F
2
成立，则
e
双

（ ） 曲线的左 、右焦点，
I
为
PF
1
F
2
的内心，若
S
IPF
S
IPF

12
A. 4 B.
5
2
C. 2 D.
1
2
5
3

1
2
|PF
2
|r,S
IF
1
F
2

1
2
|F< br>1
F
2
|r.
分析 设内切圆半径为
r,
则< br>S
IPF

1
|PF
1
|r,S
IP F
2

由已知易有，
|PF
1
||PF
2
|
1
2
|F
1
F
2
|,2ac,e2
故选C
例2 （2008年哈尔滨九中）已知点
M
是椭圆
x
a
2
2

y
b
2
2
1(a
>
b
>
0)
上一点，椭圆两焦点分别是
F
1
,F
2
，点
I
是
MF
1
F
2
的内心，连结
MI
，并延长交线段
F
1
F
2
于N,
则
22
|MI|
|IN|
2

( )
A.
a
ab
22
B.
b
ab
22
C.
ab
b
D.
ab
a
2

分析 点
I
是
MF
1
F
2
的内心，根据

内角平分线的性质与椭圆的定 义，有
|MI|
|IN|

|MF
1
|
|F1
N|

|MF
2
|
|F
2
N|
|MF
1
||MF
2
|
|F
1
N ||F
2
N|

2a
2c

a
ab< br>22
.
故选A
点评 例1和例2把内心的性质与双曲线、椭圆的定义及 性质有机地结合，使

的内心与已知
条件挂起钩来，使得问题顺利解决．
二、外心

外接圆的圆心，称为外心，就是

三边在垂直平分线的交点。
例3 已知抛物线
y4x
的通经为
AB,P
是抛物线上非
A,B
的动点，分别过
A,B
作
AP,BP
的
垂线，它们 相交于点
M
，求点
M
的轨迹方程．
分析
A,P,B, M
四点共圆，圆心C就是
PM
的中点，即
APB
的外心，故点C
在线段
AB
垂
直平分线
x
轴上，
设
M(x,y),P(x
0
,y
0
),y
0
y
①
2

而
k
PA
k
MA

y
0
2
x
0
1

y2
x 1
2
1

把①代入上式有
x
0

y4
x1

1
②
将①、②代入抛物线的方程有
(y)4(
2y4
x1
2
1),(x1)(y4)4(y4).
< br>22
又
P
是抛物线上非
A,B
的动点，知
y
2
40,

故点
M
的轨迹方程为
x5(y2).

点评 本例利用外心的定义及性质，使已知条件与外心挂起钩来，使得问题顺利解决．
三、重心

三边中线的交点，就是

的重心，重心将每条中线都分成1:2两部分．
例4 （2010年广西梧州）
F
1
,F
2
分别是双曲线
x
a
2
2

y
b
2
2
 1(a,b
>
0)
的左、右焦点，
A
是它的右顶

点，过
F
2
作
x
轴的垂线与双曲线的一个交点为
P,G< br>是
PF
1
F
2
的重心，若
GAF
1F
2
0,
则
e
双

（ ）
A.
2
B.
3
C. 2 D. 1

分析
G
是
PF
1
F
2
的重心，由
GAF
1
F
2
0,
有
G APF
2
,OF
2
3OA,c3a,e3

例5 （2009年武汉）已知
ABC
内接于椭圆
x
a
2
2

y
b
2
2
1(a
>
b< br>>
0)
，且
ABC
的重心落在坐标
原点，则
SABC


x
a
2
2
分析 椭圆
b
a

y
b
2
2
1(a
>
b< br>>
0)
是圆
x
1
y
1
a
经过变 换：横坐标不变
(xx
1
)
，纵坐标缩
222
短
(yy
1
)
得到的，在圆中
MNK
是内接

， 且重心在原点，它一定是正

，且边长为
3a,S
MNK

33
4
a,
经过变换后得到椭圆的内接
ABC
且重心
G
仍在原点，
2
由此得
S
ABC

33
4
a
2
b
a

33
4
ab.

点评 本题利用坐标变换简捷地求出

的面积，跳出运算繁琐的陷阱，这是一种新颖的方法．
四、垂心

三边高线的交点，就是

的垂心．

例6 （2010年江西卷）设
C
1
:
x
a
2
2

y
b
2
2
22
1(a
>
b
>
0)
,抛物线
C
2
:xbyb .

(I)若
C
2
经过
C
1
的两焦点，求
C
1
的离心率；
(II)设
A(0,b),Q(33,b)
，又
M,N
为
C
1
与
C
2
不在
y
轴上的两交点，若
AMN
的垂心为
4
B(0,
3
4
b),
且
QMN
的重心在
C
2
。求椭圆C
1
与抛物线
C
2
的方程．
5
分析 (I )有抛物线
C
2
经过椭圆
C
1
的两焦点
F
1
(c,0),F
2
(c,0),

c
a
22
可得
cb,abc2c,
222222

12
,e
2
2
.

(II)由
M,N
关于
y
轴对称，可设
M(x
1
,y
1
),N( x
1
,y
1
)(x
1
>
0)
，
则由
AMN
的垂心为
B(0,
3
4
2

b),
有
BMAN0,x
1
(y
1

2
3
4
b)(y
1
b)0
①
由
N(x
1
,y
1
)
在
C
2
上，有
x
1
by
1
b
2
.
②
由①、②有
y
1

b
4
.

2
再用重心条件，即求得
b2,a
3x
16
2
16
3
.

所以椭圆
C
1
的方程为

y2
4
1
，抛物线
C
2
的方程为
x2y4 .

2
点评 本题灵活运用重心和垂心，把几何条件代数化，顺利地解出椭圆和抛物线的方程．

三角形的四心在解析几何中的应用

的内心、外心、重心、垂心，在 平面几何中有着广泛的应用，如果把

的四心与解析几何有关
图形的性质有机地结合， 可拓展应用的范围，使很多解析几何问题获得明快的解决．
一、内心

内切圆的圆 心，就是

的内心，也就是

三条内角平分线的交点．
例1 （2 010年河南六市）已知点
P
是双曲线
x
a
2
2

y
b
2
2
1(a,b
>
0)
右支上一点 ，
F
1
,F
2
分别是双
1
2
S
 IF
1
F
2
成立，则
e
双

（ ） 曲线的左、右焦点，
I
为
PF
1
F
2
的内心，若
S
IPF
S
IPF

12
A. 4 B.
5
2
C. 2 D.
1
2
5
3

1
2
|PF
2
|r,S
IF
1
F
2

1
2
|F< br>1
F
2
|r.
分析 设内切圆半径为
r,
则< br>S
IPF

1
|PF
1
|r,S
IP F
2

由已知易有，
|PF
1
||PF
2
|
1
2
|F
1
F
2
|,2ac,e2
故选C
例2 （2008年哈尔滨九中）已知点
M
是椭圆
x
a
2
2

y
b
2
2
1(a
>
b
>
0)
上一点，椭圆两焦点分别是
F
1
,F
2
，点
I
是
MF
1
F
2
的内心，连结
MI
，并延长交线段
F
1
F
2
于N,
则
22
|MI|
|IN|
2

( )
A.
a
ab
22
B.
b
ab
22
C.
ab
b
D.
ab
a
2

分析 点
I
是
MF
1
F
2
的内心，根据

内角平分线的性质与椭圆的定 义，有
|MI|
|IN|

|MF
1
|
|F1
N|

|MF
2
|
|F
2
N|
|MF
1
||MF
2
|
|F
1
N ||F
2
N|

2a
2c

a
ab< br>22
.
故选A
点评 例1和例2把内心的性质与双曲线、椭圆的定义及 性质有机地结合，使

的内心与已知
条件挂起钩来，使得问题顺利解决．
二、外心

外接圆的圆心，称为外心，就是

三边在垂直平分线的交点。
例3 已知抛物线
y4x
的通经为
AB,P
是抛物线上非
A,B
的动点，分别过
A,B
作
AP,BP
的
垂线，它们 相交于点
M
，求点
M
的轨迹方程．
分析
A,P,B, M
四点共圆，圆心C就是
PM
的中点，即
APB
的外心，故点C
在线段
AB
垂
直平分线
x
轴上，
设
M(x,y),P(x
0
,y
0
),y
0
y
①
2

而
k
PA
k
MA

y
0
2
x
0
1

y2
x 1
2
1

把①代入上式有
x
0

y4
x1

1
②
将①、②代入抛物线的方程有
(y)4(
2y4
x1
2
1),(x1)(y4)4(y4).
< br>22
又
P
是抛物线上非
A,B
的动点，知
y
2
40,

故点
M
的轨迹方程为
x5(y2).

点评 本例利用外心的定义及性质，使已知条件与外心挂起钩来，使得问题顺利解决．
三、重心

三边中线的交点，就是

的重心，重心将每条中线都分成1:2两部分．
例4 （2010年广西梧州）
F
1
,F
2
分别是双曲线
x
a
2
2

y
b
2
2
 1(a,b
>
0)
的左、右焦点，
A
是它的右顶

点，过
F
2
作
x
轴的垂线与双曲线的一个交点为
P,G< br>是
PF
1
F
2
的重心，若
GAF
1F
2
0,
则
e
双

（ ）
A.
2
B.
3
C. 2 D. 1

分析
G
是
PF
1
F
2
的重心，由
GAF
1
F
2
0,
有
G APF
2
,OF
2
3OA,c3a,e3

例5 （2009年武汉）已知
ABC
内接于椭圆
x
a
2
2

y
b
2
2
1(a
>
b< br>>
0)
，且
ABC
的重心落在坐标
原点，则
SABC


x
a
2
2
分析 椭圆
b
a

y
b
2
2
1(a
>
b< br>>
0)
是圆
x
1
y
1
a
经过变 换：横坐标不变
(xx
1
)
，纵坐标缩
222
短
(yy
1
)
得到的，在圆中
MNK
是内接

， 且重心在原点，它一定是正

，且边长为
3a,S
MNK

33
4
a,
经过变换后得到椭圆的内接
ABC
且重心
G
仍在原点，
2
由此得
S
ABC

33
4
a
2
b
a

33
4
ab.

点评 本题利用坐标变换简捷地求出

的面积，跳出运算繁琐的陷阱，这是一种新颖的方法．
四、垂心

三边高线的交点，就是

的垂心．

例6 （2010年江西卷）设
C
1
:
x
a
2
2

y
b
2
2
22
1(a
>
b
>
0)
,抛物线
C
2
:xbyb .

(I)若
C
2
经过
C
1
的两焦点，求
C
1
的离心率；
(II)设
A(0,b),Q(33,b)
，又
M,N
为
C
1
与
C
2
不在
y
轴上的两交点，若
AMN
的垂心为
4
B(0,
3
4
b),
且
QMN
的重心在
C
2
。求椭圆C
1
与抛物线
C
2
的方程．
5
分析 (I )有抛物线
C
2
经过椭圆
C
1
的两焦点
F
1
(c,0),F
2
(c,0),

c
a
22
可得
cb,abc2c,
222222

12
,e
2
2
.

(II)由
M,N
关于
y
轴对称，可设
M(x
1
,y
1
),N( x
1
,y
1
)(x
1
>
0)
，
则由
AMN
的垂心为
B(0,
3
4
2

b),
有
BMAN0,x
1
(y
1

2
3
4
b)(y
1
b)0
①
由
N(x
1
,y
1
)
在
C
2
上，有
x
1
by
1
b
2
.
②
由①、②有
y
1

b
4
.

2
再用重心条件，即求得
b2,a
3x
16
2
16
3
.

所以椭圆
C
1
的方程为

y2
4
1
，抛物线
C
2
的方程为
x2y4 .

2
点评 本题灵活运用重心和垂心，把几何条件代数化，顺利地解出椭圆和抛物线的方程．