三角形中的四心与向量_「金点文库网」分享知识创造价值

雅思基础-华中科技大学教务科

三角形中的四“心”与向量

平面几何中的三角形四“心”，即三角形的内心（内角平分线的交点，内切圆的
圆心）、重心（中线的交点）、垂心（高线的交点）、外心（各边垂直平分线的交
点，三角形外接圆的圆心）。在引入向量这个工具后，我们可以通过向量来表示
三角形的四“心”，这样使我们对向量形式的多样性和向量运算的灵活性有更清
楚的认识。
一、重心：
uuuruuuruuurr
例1、已知
O
是
VABC
所在平面上的一点，若
OAOBOC0
,则
O
是VABC

的
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
uuuruuuruuurruuuruuuruuur
uuuruuur
【解析】若
OAOBOC0
，则
OAOB=OC
，以
OA,OB
为邻边作平行
r
uuuruuur
uuuu
四边形
OACB
，设
OC
与
AB
交于点
D
，则
D
为
AB
中点，有
OAOB=OC
'
，
'
r
uuur
uuuu
得
OC=OC
'
，即
C,O,D,C
'
四点共线，故
CD
为
VABC
的中线，同理
AE ,BF
亦为
VABC
的中线，所以
O
是
VABC
的重心。
例2、已知
O
是平面上一定点，
A,B,C
是平面上不共线的三点，动点
P
满足
uuuruuuruuuruuur
OPOA
(ABAC),

(0,)
，则动点
P
的轨迹一定通过
VABC
的
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
uuuruuuruuuruuuruuur
【解析】上式可化为
AP

(ABAC)
，当

(0 ,)
时，由于

(ABAC)
表
示
BC
边上的中线所在直线的方向向量，故动点
P
的轨迹一定通过
VABC
的
重心。
uuur
2
uuur
2
uuur
2
例3、在
VABC
内，存在一点
P
，使
PAPBPC
最小，则点
P
是
VABC

的

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
【解析】利用解析法设
A,B,C
三点坐标分别为
(x
1
,y1
),(x
2
,y
2
),(x
3
,y
3
)
，点
P
的
坐标为
(x,y)
，
则
uuur
2
uuur
2
uuur
2
PAPB PC(xx
1
)
2
(yy
1
)
2
(xx
2
)
2
(yy
2
)
2
( xx
3
)
2
(yy
3
)
2

2222
3x
2
2(x
1
x
2
x
3
)xx
1
2
x
2
x
3
 3y
2
2(y
1
y
2
y
3
)yy
1
2
y
2
y
3

uuur
2
uuur
2
uuur
2
x
1
x
2
x
3
y
1
y
2
y
3
当且仅当
x
时，
PAPBPC
取最小值，
,y
33
即点
P
是
VABC
的重心。
例4、已知
O
是平面上一定点，
A,B,C
是平面上不共线的三点，动点
P
满足
uu uruuur
uuuruuur
ABAC
OPOA

(
uuu

uuur
),

(0,)
，则动点
P
的轨迹一定通过
r
ABsinBACsinC
VABC
的
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
uuuruuuruuuruuur
【解析】由正弦定理得
ABsinB ACsinC
，故可设
ABsinBACsinC=

，
uuu ruuur
uuuruuuruuur

uuuruuur

ABA C

uuur
)=
OA
+(
ABAC
),

(0,

)
，设
则
OPOA

(
uuur

ABsinBACsinC
uuuruuuruuuruuu ur

t
，则
APt(ABAC)2tAM(t(0,)) ，其中
M
为
BC
边的中点，

所以
A,P, M
三点共线，即点
P
的轨迹是从
A
点出发经过
M
点的射线（除去
A
点），故点
P
的轨迹一定通过
VABC
的重心。
二、内心：
uuuruuuruuur
例5、三个不共线的向量
OA,OB,OC
满足

uuuruuuru uuruuuruuuruuur
uuur
ABCA
uuur
BACB
uuur
BCCA
OA(
uuur

uuur
)OB (
uuur

uuur
)OC(
uuur

uuur
)0
，则
O
点一定
ABCABACBBCCA
是
VABC
的
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
uuuruuuruuur
【解析】因为
OA,OB,OC
均与
VABC
的外角平分线垂直，所以
O
为内心。
例6、已知
O
是
VABC
所在平面上的一点，
A, B,C
所对的边分别为
a,b,c
，若
uuuruuuruuurr
aOAbOBcOC0
，则
O
是
VABC
的
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
uuuruuuruuurr
【解析】
因为
OA
 a

OB

b

OC

c
0
，
uuuruuuruuuruuuruuurruuuruuuruuurr
OA

a
(
OA

AB
)
b
(
OA

AC
)
c
0
OA(abc) ABbACc0
所以
，则，
uuuruuuruuuruuur
u uur
bcABACbcABAC
(

)

(
uu u
所以
AO
r

uuur
)
，所以
AO
平分
BAC
，
(abc)cb(abc)
ABAC
同理可证：
BO
平分
ABC
，
CO
平分
AC B
，从而O为
ABC
的内心。
例7、
已知
O
是平面上一定点，
A,B,C
是平面上不共线的三点，动点
P
满足
uu uruuur
uuuruuur
ABAC
OPOA

(
uuur

uuur
),

(0,)
，则动点
P
的轨迹一定通过
VABC
的
ABAC
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
uuuruuuruuuruuur
uuur
ABACABAC
【解析】上式可化为
AP

(
uuu
当

(0,)
时，由于

(
uuur

uuur
)
， r

uuur
)

ABACABAC
表示
 BAC
的平分线所在直线的方向向量，故动点
P
的轨迹一定通过
VABC的内心。
三、外心：
uuur
2
uuur
2
uuu r
2
例8、设
O
为
VABC
所在平面上一点，若
O AOBOC
，则
O
是
VABC
的
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

uu ur
2
uuur
2
uuur
2
uuur
2
uuur
2
uuur
2
uuuruuuruuur
【解析】若
OAOBOC
，则
OAOBOC
，即
OAOBOC
，
则
O
是
VABC
的外心。
例9、已知
O
是平面上一定点，
A,B,C
是平面上不共线的三点，动点
P
满足
u uuruuuruuuruuur
uuur
OBOCABAC
OP
 (
uuu

uuur
),

(0,)
，则动点
P
的轨迹一定
r
2
ABcosBACcosC
通过
VABC
的
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
uuuruuur
OBOC
【解析】由于过
BC
的中点，当

(0,)
时，
2
uuuruuur
uuur
ABAC

(
uuu

uuur
)
表示垂直于
BC
的向量，所以点
P
在
BC
的垂直平分
r
ABcosBACcosC
线上，故动点
P
的轨迹一定通过
VABC
的外心。
四、垂心：
例10、在同一平面上有
VABC
及一点
O
满足关系式：
uuur
2
uuur
2
uuur
2
uuur
2uuur
2
uuur
2
OABCOBCAOCAB
，则
O
是
VABC
的
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
【解析】
uuur
2
uuu r
2
uuur
2
uuur
2
uuur
2
u uur
2
uuur
2
uuur
2
uuur
2
uuur
2
OABCOBCAOCAB(OAOB)(BCCA)0 
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
(OAO B)(OAOB)(BCCA)(BCCA)0

uuuruuuruuuru uuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
(OAOB)BABA (BCCA)0BA(OAOBBCCA)0

uuuruuuruuuru uuruuuruuuruuuruuur
BA(2OC)0BAOC
，同理
AOBC,BOAC
,
故
O
是
VABC
的垂心。
uuuruuuruuuruuur
例11、设
O
为
VABC
的外心，平面上一点
P
使
OPOAOBOC
，则点
P
是
VABC
的

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
uuuruuuruuuruuuruuuruuuru uuruuuruuuruuuruuur
【解析】
OPOAOBOCOPOAOBOCAPOBOC

u uuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
2
uu ur
2

APBC(OBOC)BC(OBOC)(OCOB)OCOB

uuuruuur
uuuruuuruuuruuur
而
O
为
VABC
的外心，故
OCOB
，即
APBC=0,APB C
，同理
uuuruuuruuuruuur
BPAC,CPAB
，故点
P
是
VABC
的垂心。
例12、
O
为空间中一点，动点
P
在
A,B,C
三点确定的平面的平面内且满足
uuuruu uruuuruuur
(OPOA)(ABAC)0
，则点
P
的轨迹一定通过
VABC
的
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
uuuruuuruuuruuur
uuuru uuruuuruuur
【解析】因为
(OPOA)(ABAC)0
，所以 APCB=0
，即
APCB
，故点
P

的轨迹一定通过
VABC
的垂心。
uuuruuuruuuruuuruu uruuur
例13、
P
是
VABC
所在平面上一点，若
P APBPBPCPCPA
，则
P
是
VABC
的
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
【解析】若
PAP BPBPCPCPA
，由
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruu uruuuruuuruuuruuur
PAPBPBPCPAPBPBPC0PB (PAPC)0

uuuruuuruuuruuur
uuuruuuruuu ruuur
PBCA0PBCA
，同理可证
PCAB,PABC
，所以
P
是
VABC

的垂心。
例14、已知
O
是平面上一定点，
A,B,C
是平面上不共线的三点，动点
P
满足
uuuruuur
uuuruuur
ABAC
OPOA

(
uuu

uuur
),

(0,)
，则动点
P
的轨迹一定通过
r
ABcosBACcosC
VABC的
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

uuuruuur
uuur
ABAC

u uur
),


(0,

)
，所以
【解析】上式可化为
AP

(
uuur
ABcosBACcosC
uuuruuuruuuruuur
uuuruuuruuur
ABACABBC APBC

(
uuu

uuur
)BC
(
uuu

rr
ABcosBACcosCABcosBuuuruuuruuuruuur
ABBCcos(

B)ACBCcosC



(
uuur
)0

uuur
ABcosBACcosC
uuuruuur
ACBC
)

uuur
ACcosC
uuuruuur
所以
APBC
，即点
P
在过
A
点且垂直
BC
的直线上，故动点
P
的轨迹一
定通过
VABC
的垂心。
上面我们通过看三角形中的四“心”的向量表示，得出了相当优美的结论，
使我们对三角形中的四“心”有了新的认识，更好的体会到事物之间的辩证和
谐的统一关系。

三角形中的四“心”与向量

平面几何中的三角形四“心”，即三角形的内心（内角平分线的交点，内切圆的
圆心）、重心（中线的交点）、垂心（高线的交点）、外心（各边垂直平分线的交
点，三角形外接圆的圆心）。在引入向量这个工具后，我们可以通过向量来表示
三角形的四“心”，这样使我们对向量形式的多样性和向量运算的灵活性有更清
楚的认识。
一、重心：
uuuruuuruuurr
例1 、已知
O
是
VABC
所在平面上的一点，若
OAOBOC0 ,则
O
是
VABC

的
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
uuuruuuruuurruuuruuuruuur
uuuruuur
【解析】若
OAOBOC0
，则
OAOB=OC
，以
OA,OB
为邻边作平行
r
uuuruuur
uuuu
四边形
OACB
，设
OC
与
AB
交于点
D
，则
D
为
AB
中点，有
OAOB=OC
'
，
'
r
uuur
uuuu
得
OC=OC
'
，即
C,O,D,C
'
四点共线，故
CD
为
VABC
的中线，同理
AE ,BF
亦为
VABC
的中线，所以
O
是
VABC
的重心。
例2、已知
O
是平面上一定点，
A,B,C
是平面上不共线的三点，动点
P
满足
uuuruuuruuuruuur
OPOA
(ABAC),

(0,)
，则动点
P
的轨迹一定通过
VABC
的
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
uuuruuuruuuruuuruuur
【解析】上式可化为
AP

(ABAC)
，当

(0 ,)
时，由于

(ABAC)
表
示
BC
边上的中线所在直线的方向向量，故动点
P
的轨迹一定通过
VABC
的
重心。
uuur
2
uuur
2
uuur
2
例3、在
VABC
内，存在一点
P
，使
PAPBPC
最小，则点
P
是
VABC

的

孙国祥-端午节由来

初一日记大全-拜年作文400字

高考资料-局长述职述廉报告

爱因斯坦名言-关于春天的句子摘抄

怀念父亲的诗-毕业设计工作总结

天冷关心短信-二年级学生评语

李海石-党员转正申请

浙江三本大学排名-教资面试时间