三角形四心与平面向量(用)_「金点文库网」分享知识创造价值

休斯敦大学-警察党员转正申请书

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇
一、四心的概念介绍
（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；
（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；
（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四心与向量的结合
（1）
OAOBOC0
O
是
ABC
的重心.

（2）
OAOBOBOCOCOA
O
为
A BC
的垂心.

（3）设
a
,
b
,
c 是三角形的三条边长，O是

ABC的内心
aOAbOBcOC0O
为
ABC
的内心.

（4）
OAOBOC
O
为
ABC
的外心。

典型例题：
例1：
O
是平面上一定点，
A、B、C是平面上不共线的三个点，动点
P
满足
OPOA

(AB AC)
，



0,

，则点
P
的轨迹一定通过
ABC
的（）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

例2：
O是平面上一定点，
A、B、C
是平面上不共线的三个点，动点
P
满足OPOA

(
AB
AB

AC
AC
)
，



0,

，则点
P
的轨迹一定通过
ABC
的（）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

例3：
O
是平面上一定点，
A、B、C
是平面上不共线的三个点，动点
P
满足
OPOA

(
AB
ABcosB

AC
AC cosC
)
，



0,

，则点
P
的轨迹一定通过
ABC
的
（）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心




ABAC



0

,则点G可能通过


例4：若存在常数

, 满足
MGMA




ABsinBACsinC 

ABC
的__________.
举一反三：通过上述例题及解答,我们可以总结出关于三角形“四心”的向量表达式.若
P
点
为
A BC
内任意一点，若
P
点满足:


ABAC
),

0

AP

(
ABAC


1．

P为ABC的内心
;

BPt(
BA

BC
)，t0
BABC


2.
D、E
两点分别是
AB C
的边
BC、CA
上的中点,且


DPPBDPPC
P为ABC的外心
;



EPPCEPPA
1

AP(ABAC),


3
P为ABC的重心
; 3.

1

BP(BABC)，

3



APBC0
P为ABC的垂心
. 4.



BPAC0

练习：
1．已知
ABC
三个顶点
A、B、C
及平面内一点
P
，满足
PAPBPC0
，若实数

满
足：
ABAC

AP
，则

的值为（）
A．2 B．
3
C．3 D．6
2
2．若
ABC
的外接圆的圆心为O，半径为1，
OAOBO C0
，则
OAOB
( )
A．
11
B．0 C．1 D．


2
2
3 ．点
O
在
ABC
内部且满足
OA2OB2OC0
，则
ABC
面积与凹四边形
ABOC
面积
之比是（）
A．0 B．
354
C． D． 243
4．
ABC
的外接圆的圆心为O，若
OHOAOBOC
，则
H
是
ABC
的（）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
5．
O
是平面上一定点，
A、B、C
是平面上不共线的三个点，若
OABCOB

222
CAOCAB
，则
O
是
ABC
的（）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 6．
ABC
的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，
OHm(OA OBOC)
，

222

则实数m =
→→→→
ABACABAC1
→→→
7．已知非零向量AB与AC满足( + )·BC=0且 · =
2
, 则△ABC为( )
→
||AC →
|
→
||AC
→
||AB|AB
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
8．已知
ABC
三个顶点
A、B、C
，若
ABABACAB CBBCCA
，则
ABC
为
（）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．既非等腰又非直角三角形
9．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足
2
111
OP
= (
OA
+
OB
+2
OC
),则点P一定为三角形ABC的（）
322
边中线的中点边中线的三等分点（非重心）
C.重心边的中点
10．在三角形ABC中，动点P满足：
CACB2ABCP
，则P 点轨迹一定通过△ABC
的：（）
Ａ外心Ｂ内心 C 重心 D 垂心
11.若O点是
ABC
的外心, H点是
ABC
的垂心,且OHm(OAOBOC)
,求实数m的
值.

12、已知向量
OP
1
,OP
2
,OP
3
满足条件
OP
1
OP
2
OP
3
0
，
|OP
1
||OP
2
||OP
3
|1
，求证：
22
△PP
12
P
3
是正三角形．

13.在
△ABC
内求一点
P
，使
APBPCP
最小．

P

B

C

222

A

图２

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