英语培训计划-淮南职业技术学校

与三角形有关的向量问题
三角形有关的问题可以很好体现向量的核心问题如和差、数乘 、数量积。在与三
角形的重心、垂心、外心、内心等问题的联系上特别值得重视。
一、 三角形基本问题
例1. 如图

ABC中，
AB
= c，
BC
= a，
CA
= b， 则下列推导不正确的是…（D）
A．若a b < 0，则△ABC为钝角三角形。
B．若a b = 0，则△ABC为直角三角形。
C．若a b = bc，则△ABC为等腰三角形。
D．若c(a + b + c) = 0，则△ABC为正三角形。
解：A．ab = |a||b|
cos

< 0，则
cos

< 0，为钝角
B．显然成立
C．由题设：|a|cosC = |c|cosA，即a、c在b上的投影相等
D．∵a + b + c = 0, ∴上式必为0，∴不能说明△ABC为正三角形
例2. 如图：已知MN是△ABC的中位线，
A
1
求证：MN=BC, 且MN∥BC
2
N
M
证：∵MN是△ABC的中位线，
11
∴
AMAB
,
ANAC

22
B
C
1111
∴
MNANAMACAB(ACAB)BC

2222
1
∴MN=BC, 且MN∥BC
2

例 3. 已知：平面上三点O、A、B不共线，求证：平面上任一点C与A、B共线
的充要条件是存在实数 λ和μ，使
OC
=λ
OA
+ μ
OB
，且λ+ μ = 1。
证：必要性：设A,B,C三点共线，则可设
AC
= t
AB
(tR)
则
OC
=
OA
+
AC
=
OA
+ t
AB
=
OA
+ t(
OB

OA
) = (1t)
OA
+ t
OB

令1t =λ，t = μ，则有：
OC
=λ
OA
+ μ
OB
，且λ+

μ = 1
充分性：
AC
=
OC

OA
=λ
OA
+ μ
OB

OA
= (λ1)
OA
+ μ
OB

= μ
OA
+ μ
OB
= μ(
OB

OA
) = μ
AB
∴三点A、B、C共线
例4.（04浙江） 已知平面上三点A,B,C
满足
AB3
，
BC4
，
CA5
，则
ABBCBCCACAAB
的值等于 一般地对于

ABC
的结论是

例 . 某人骑 车以每小时a公里的速度向东行驶，感到风从正东方向吹来，而当
速度为2a时，感到风从东北方向吹来 ，试求实际风速和方向。
解：设a表示此人以每小时a公里的速度向东行驶的向量，
P
无风时此人感到风速为a，设实际风速为v，
那么此时人感到的风速为v  a，设
OA
= a，
OB
= 2a
∵
PO
+
OA
=
PA
∴
PA
= v  a，这就是感到由正北方向
B
v

2a
A
v
O
吹来的风速，∵
PO
+
OB
=
PB
∴
PB
= v 2a，于是当此人的速度是原来的2倍
时所感受到由东北方向吹来的 风速就是
PB
，由题意：PBO = 45, PABO, BA
= AO 从而，△POB为等腰直角三角形，∴PO = PB =
2
a 即：|v | =
2
a
∴实际风速是
2
a的西北风
二、 三角形重心问题
例1 . 已知
O
是
ABC
内一点，
O A
+
OB
+
OC
=
0
，则
O
是< br>ABC
的
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
例1.1 已知
O
是
ABC
内一点，
OA
+2
OB
+3
OC
=
0
，则问
ABC
的面积 与
AOC
的面积的比是多少？
解：（一）平行四边形法：设
D,E
分别是
AC,BC
的中点，则
OAOC2OD
，
2OBOC 4OE
，故可得：
OA2OB3OC
2OD2OE0
，即
OD2OE
， 故
S
AEC
:S
AOC
3:2
，则
S
ABC
:S
AOC
3:1

（二）化归法：延长
O B
使
OB
'
2OB
，延长
OC
使
OC< br>'
2OC
，则
O
是
AB
'
C
'
的
重心，
S
AOC

11
S
AOC
'
S
AB
'
C
'
，
39

例2. 已知O是平面内一点，
A,B,C
是平面上不 共线的三点，动点
P
满足
1

OPOA


ABBC

，



0,

，则动点
P
的轨迹一定通过
ABC
的
2

A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
例3. 已知
O
是平面内一点，
A,B,C
是平面上不共线的三点， 动点
P
满足

OPOA

ABAC
，< br>


0,

，则动点
P
的轨迹一定通 过
ABC
的
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心

例4. 证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。
1
证：设
AC
= b，
CB
= a，则
AD
=
AC
+
CD
= b+a,
EBECCB
=
2
A
∵A, G, D共线，B, G, E共线
∴可设
AG
=λ
AD
，
EG
= μ
EB
,
F
11
则
AG
=λ
AD
=λ(b+a)=λb+λa,
G
22
11
EG
= μ
EB
= μ(b+a)=
μb+μa,
B
22
D
111
∵
AEEGAG
即：b + (
μb+μa) =λb+
λa
222
111
∴(μλ)a + (
μλ+
)b = 0 ∵a, b不平行，
222
2
1







0


3
AG
2
AD

2
∴



111
3




0



23

2

即：AG = 2GD 同理可化：AG = 2GD , CG = 2GF
E

C
三、 三角形垂心问题
例1.
ABC
中，
O
为其外心 ，
P
为平面内一点，
OAOBOCOP
，则
P
是
ABC
的
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心

例2. 已知
O
是平面内一点，
A,B, C
是平面上不共线的三点，动点
P
满足


ABAC
OPOA




，


0,

，则动点
P
的轨迹一定通过

A BcosBACcosC


ABC
的
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
解：



AB AC

AP




，

A BcosBACcosC




ABAC

且




BCBCBC0


ABcosBACcosC


例3. 已知
O
是
ABC
所在平面上一点，若
OAOBOBOCOCOA
，则
O
是
ABC

A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心

例4. 如图，AD、BE、CF是△ABC的三条高，
求证：AD、BE、CF相交于一点。
A
证：设BE、CF交于一点H，
AB
= a,
AC
= b,
AH
= h,
则
BH
= h  a ,
CH
= h  b ,
BC
= b  a
∵
BH

AC
,
CH

AB

∴
B
F
H
E
D
C
(ha) b0


(ha)b(hb)ah(ba)0

(ha)a0

∴
AH

BC

又∵点D在AH的延长线上，∴AD、BE、CF相交于一点


例 4. 已知O为△ABC所在平面内一点，且满足
|
OA
|
2
+ |
BC
|
2
= |
OB
|
2
+ |
CA
|
2
= |
OC
|
2
+ |
AB
|
2
，
则
O
是三角形的
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
O
解：设
OA
= a,
OB
= b,
OC
= c,
则
BC
= c  b,
CA
= a  c,
AB
= b  a
B
C
由题设：
OA
2
+
BC
2
=
OB
2
+
CA
2
=
OC
2
+
AB
2
，
化简：a
2
+ (c  b)
2
= b
2
+ (a  c)
2
= c
2
+ (b  a)
2

得： c
•
b = a
•
c = b
•
a

从而
AB
•
OC
= (b  a)
•
c = b
•
c  a
•
c = 0
∴
AB

OC
同理：
BC

OA
,
CA

OB


四、 三角形外心问题
例1. 已知
O
是
ABC所在平面上一点，若
OAOBOC
，则
O
是
ABC
的
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
例2. 已知
O
是平面内一点，
A,B,C
是平面上不共线的三点，动点
P
满足
222


OBOC
ABAC

OP



，



0,

，则动点
P
的轨迹一定通
2

ABcosBACcosC


过
ABC
的
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
解：点
P
在
BC
的垂直平分线上
五、 三角形内心问题
例1. 已知
O
是平面内一点，
A,B,C
是平面上不共线的三点，动点
P
满足


ABAC

OPOA




，



0,

，则动点
P
的轨迹一定通过
ABC
的

ABAC


A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
例2.
O
是
ABC
所在平面上一点，< br>A,B,C
所对的边分别是
a,b,c
，若
aOAbOBcOC 0
，则
O
是
ABC
的
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
解：因为
aOAbOBcOC0
，又
O BOAAB
，
OCOAAC
，所以

bc
ABAC



abc

OAbABcAC 0
，即
OA


abc

ABAC


例3. 三个不共线向量
OA,OB,OC
满足


ABCA

BACB

CABC

OA



=
OB

=
OC
< br>

ABCA

BACB


CBBC< br>


则
O
是
ABC
的
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
例4. 若
I是
ABC
的内心，
A,B,C
所对的边分别是
a,b,c，
O
为
ABC
所在平面
上一点，求证：
OI
六、 三角形心心关系
在
ABC
中，
O,G,H
分别是
ABC
的外心、重心、垂心。
A
aOAbOBcOC

abc
（1） 求证：
OHOAOBOC
；
（2） 求证：
O,G,H
三点共线；
（3） 若
AHOA
，求
BAC
的大小.
O
B
CG
H
D
解：连接BO并延长交
ABC
外接圆于点D 连接AD ,CD,AH,CH,显然
AHBC
，
CDBC
，所以
AHCD
，同理
CHDA
，所以
HACD
，即
OAOHOD OCOBOC
，所以
OHOAOBOC

因为
G
是是
ABC
的重心，所以
OGAGAO
=
11
A BACOA
=
OAOBOC
。
33
2

1


ABAC

OA

3

2



AHOA
，则
OHOAOA，所以
OBOCOA
，两边平方并注意到
OAOBOC
，又cosBOC
=
cos2BAC
=

七、
1

2

，
BAC或

33
2

与三角形有关的向量问题
三角形有关的问题可以很好 体现向量的核心问题如和差、数乘、数量积。在与三
角形的重心、垂心、外心、内心等问题的联系上特别 值得重视。
一、 三角形基本问题
例1. 如图

ABC中，
AB
= c，
BC
= a，
CA
= b， 则下列推导不正确的是…（D）
A．若a b < 0，则△ABC为钝角三角形。
B．若a b = 0，则△ABC为直角三角形。
C．若a b = bc，则△ABC为等腰三角形。
D．若c(a + b + c) = 0，则△ABC为正三角形。
解：A．ab = |a||b|
cos

< 0，则
cos

< 0，为钝角
B．显然成立
C．由题设：|a|cosC = |c|cosA，即a、c在b上的投影相等
D．∵a + b + c = 0, ∴上式必为0，∴不能说明△ABC为正三角形
例2. 如图：已知MN是△ABC的中位线，
A
1
求证：MN=BC, 且MN∥BC
2
N
M
证：∵MN是△ABC的中位线，
11
∴
AMAB
,
ANAC

22
B
C
1111
∴
MNANAMACAB(ACAB)BC

2222
1
∴MN=BC, 且MN∥BC
2

例 3. 已知：平面上三点O、A、B不共线，求证：平面上任一点C与A、B共线
的充要条件是存在实数 λ和μ，使
OC
=λ
OA
+ μ
OB
，且λ+ μ = 1。
证：必要性：设A,B,C三点共线，则可设
AC
= t
AB
(tR)
则
OC
=
OA
+
AC
=
OA
+ t
AB
=
OA
+ t(
OB

OA
) = (1t)
OA
+ t
OB

令1t =λ，t = μ，则有：
OC
=λ
OA
+ μ
OB
，且λ+

μ = 1
充分性：
AC
=
OC

OA
=λ
OA
+ μ
OB

OA
= (λ1)
OA
+ μ
OB

= μ
OA
+ μ
OB
= μ(
OB

OA
) = μ
AB
∴三点A、B、C共线
例4.（04浙江） 已知平面上三点A,B,C
满足
AB3
，
BC4
，
CA5
，则
ABBCBCCACAAB
的值等于 一般地对于

ABC
的结论是

例 . 某人骑 车以每小时a公里的速度向东行驶，感到风从正东方向吹来，而当
速度为2a时，感到风从东北方向吹来 ，试求实际风速和方向。
解：设a表示此人以每小时a公里的速度向东行驶的向量，
P
无风时此人感到风速为a，设实际风速为v，
那么此时人感到的风速为v  a，设
OA
= a，
OB
= 2a
∵
PO
+
OA
=
PA
∴
PA
= v  a，这就是感到由正北方向
B
v

2a
A
v
O
吹来的风速，∵
PO
+
OB
=
PB
∴
PB
= v 2a，于是当此人的速度是原来的2倍
时所感受到由东北方向吹来的 风速就是
PB
，由题意：PBO = 45, PABO, BA
= AO 从而，△POB为等腰直角三角形，∴PO = PB =
2
a 即：|v | =
2
a
∴实际风速是
2
a的西北风
二、 三角形重心问题
例1 . 已知
O
是
ABC
内一点，
O A
+
OB
+
OC
=
0
，则
O
是< br>ABC
的
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
例1.1 已知
O
是
ABC
内一点，
OA
+2
OB
+3
OC
=
0
，则问
ABC
的面积 与
AOC
的面积的比是多少？
解：（一）平行四边形法：设
D,E
分别是
AC,BC
的中点，则
OAOC2OD
，
2OBOC 4OE
，故可得：
OA2OB3OC
2OD2OE0
，即
OD2OE
， 故
S
AEC
:S
AOC
3:2
，则
S
ABC
:S
AOC
3:1

（二）化归法：延长
O B
使
OB
'
2OB
，延长
OC
使
OC< br>'
2OC
，则
O
是
AB
'
C
'
的
重心，
S
AOC

11
S
AOC
'
S
AB
'
C
'
，
39

例2. 已知O是平面内一点，
A,B,C
是平面上不 共线的三点，动点
P
满足
1

OPOA


ABBC

，



0,

，则动点
P
的轨迹一定通过
ABC
的
2

A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
例3. 已知
O
是平面内一点，
A,B,C
是平面上不共线的三点， 动点
P
满足

OPOA

ABAC
，< br>


0,

，则动点
P
的轨迹一定通 过
ABC
的
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心

例4. 证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。
1
证：设
AC
= b，
CB
= a，则
AD
=
AC
+
CD
= b+a,
EBECCB
=
2
A
∵A, G, D共线，B, G, E共线
∴可设
AG
=λ
AD
，
EG
= μ
EB
,
F
11
则
AG
=λ
AD
=λ(b+a)=λb+λa,
G
22
11
EG
= μ
EB
= μ(b+a)=
μb+μa,
B
22
D
111
∵
AEEGAG
即：b + (
μb+μa) =λb+
λa
222
111
∴(μλ)a + (
μλ+
)b = 0 ∵a, b不平行，
222
2
1







0


3
AG
2
AD

2
∴



111
3




0



23

2

即：AG = 2GD 同理可化：AG = 2GD , CG = 2GF
E

C
三、 三角形垂心问题
例1.
ABC
中，
O
为其外心 ，
P
为平面内一点，
OAOBOCOP
，则
P
是
ABC
的
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心

例2. 已知
O
是平面内一点，
A,B, C
是平面上不共线的三点，动点
P
满足


ABAC
OPOA




，


0,

，则动点
P
的轨迹一定通过

A BcosBACcosC


ABC
的
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
解：



AB AC

AP




，

A BcosBACcosC




ABAC

且




BCBCBC0


ABcosBACcosC


例3. 已知
O
是
ABC
所在平面上一点，若
OAOBOBOCOCOA
，则
O
是
ABC

A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心

例4. 如图，AD、BE、CF是△ABC的三条高，
求证：AD、BE、CF相交于一点。
A
证：设BE、CF交于一点H，
AB
= a,
AC
= b,
AH
= h,
则
BH
= h  a ,
CH
= h  b ,
BC
= b  a
∵
BH

AC
,
CH

AB

∴
B
F
H
E
D
C
(ha) b0


(ha)b(hb)ah(ba)0

(ha)a0

∴
AH

BC

又∵点D在AH的延长线上，∴AD、BE、CF相交于一点


例 4. 已知O为△ABC所在平面内一点，且满足
|
OA
|
2
+ |
BC
|
2
= |
OB
|
2
+ |
CA
|
2
= |
OC
|
2
+ |
AB
|
2
，
则
O
是三角形的
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
O
解：设
OA
= a,
OB
= b,
OC
= c,
则
BC
= c  b,
CA
= a  c,
AB
= b  a
B
C
由题设：
OA
2
+
BC
2
=
OB
2
+
CA
2
=
OC
2
+
AB
2
，
化简：a
2
+ (c  b)
2
= b
2
+ (a  c)
2
= c
2
+ (b  a)
2

得： c
•
b = a
•
c = b
•
a

从而
AB
•
OC
= (b  a)
•
c = b
•
c  a
•
c = 0
∴
AB

OC
同理：
BC

OA
,
CA

OB


四、 三角形外心问题
例1. 已知
O
是
ABC所在平面上一点，若
OAOBOC
，则
O
是
ABC
的
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
例2. 已知
O
是平面内一点，
A,B,C
是平面上不共线的三点，动点
P
满足
222


OBOC
ABAC

OP



，



0,

，则动点
P
的轨迹一定通
2

ABcosBACcosC


过
ABC
的
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
解：点
P
在
BC
的垂直平分线上
五、 三角形内心问题
例1. 已知
O
是平面内一点，
A,B,C
是平面上不共线的三点，动点
P
满足


ABAC

OPOA




，



0,

，则动点
P
的轨迹一定通过
ABC
的

ABAC


A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
例2.
O
是
ABC
所在平面上一点，< br>A,B,C
所对的边分别是
a,b,c
，若
aOAbOBcOC 0
，则
O
是
ABC
的
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
解：因为
aOAbOBcOC0
，又
O BOAAB
，
OCOAAC
，所以

bc
ABAC



abc

OAbABcAC 0
，即
OA


abc

ABAC


例3. 三个不共线向量
OA,OB,OC
满足


ABCA

BACB

CABC

OA



=
OB

=
OC
< br>

ABCA

BACB


CBBC< br>


则
O
是
ABC
的
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
例4. 若
I是
ABC
的内心，
A,B,C
所对的边分别是
a,b,c，
O
为
ABC
所在平面
上一点，求证：
OI
六、 三角形心心关系
在
ABC
中，
O,G,H
分别是
ABC
的外心、重心、垂心。
A
aOAbOBcOC

abc
（1） 求证：
OHOAOBOC
；
（2） 求证：
O,G,H
三点共线；
（3） 若
AHOA
，求
BAC
的大小.
O
B
CG
H
D
解：连接BO并延长交
ABC
外接圆于点D 连接AD ,CD,AH,CH,显然
AHBC
，
CDBC
，所以
AHCD
，同理
CHDA
，所以
HACD
，即
OAOHOD OCOBOC
，所以
OHOAOBOC

因为
G
是是
ABC
的重心，所以
OGAGAO
=
11
A BACOA
=
OAOBOC
。
33
2

1


ABAC

OA

3

2



AHOA
，则
OHOAOA，所以
OBOCOA
，两边平方并注意到
OAOBOC
，又cosBOC
=
cos2BAC
=

七、
1

2

，
BAC或

33
2