四季的雨-打屁股作文1000字

关于 三角形的“四心”与平面向量的结合

[关键字]高中|数学|平面向量|内心|外心|重心|垂心

[内容摘要]每年全 国各地高考试卷中,都有不少习题与三角形的“四心”有关，学生在解决
这些问题时错误率较高，甚至是 无从下手.笔者搜集了部分资料，结合本人积累的一些高
三知识，就高中新课标向量的相关知识进行阐述 ，对有关三角形的“四心”的相关知识
进行复习.特别体现出它们之间的结合,不当疏漏之处,恳请读者 批评指正.
一、 基础知识复习
1.定义：我们把三角形三个内角的角平分线的交点叫做三 角形的内
心,即三角形内切圆圆心;三角形三条边上的中垂线的交点叫做三
角形的外心,即三角 形外接圆圆心;三角形三条边上的中线的交点
叫做三角形的重心;三角形三条高线的交点叫做三角形的垂 心.我
们将三角形的“内心”、“外心”、“重心”、“垂心”合称为三角形的
“四心”. < br>2.应用:三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的外心到
三角形三个顶点的距离相等; 三角形的重心到三角形的顶点的距离
是相应中线长的三分之二;三角形的垂心与顶点的连线垂直于该顶< br>点的对边.
3.注意点:三角形的“四心”与平面向量知识的结合.
二、 典型例题分析
[例]已知点
G
是
ABC
内任意一点,点
M
是
ABC
所在平面内一点.试
根据下列条件判断
G
点可能 通过
ABC
的__________心.(填“内心”
或“外心”或“重心”或“垂心 ”).
[提出问题]

(1)若存在常数

,满足
MGMA

(
过
ABC
的__________.
( 2)若点
D
AB
AB

AC
AC
)(
< br>0)
,则点
G
可能通
是
ABC
的底边
BC
上的中点,满足
GDGBGDGC
,则点
G
可能通过
AB C
的__________.
(3)若存在常数

,满足
MGM A

(
可能通过
ABC
的__________.
(4 )若存在常数

,满足
MGMA

(
G
可能通 过
ABC
的__________.
AB
ABsinB

AC
ACsinC
)(

0)
,则点
G
ABABcosB

AC
ACcosC
)(

0)
,则点
[思路分析]以上四个问题的解决要求不同,除了熟悉三角形的“四
心”的性质,同时 更要熟悉平面向量的性质,对于平面向量与三角函
数的结合也要相当熟悉.
[解答过程](1 )记
AB
AB
e
1
,
AC
AC
e2
,则
AG

(e
1
e
2
).由平面向量的
平行四边形或三角形法则知,点
G
是角平分线上的点,故应填内心 .
(2)简单的变形后发现点
G
是
BC
边中垂线上的点,故应填外心.
(3)
ABsinBACsinC,
记
ABsinBACsinCh
,
则
AG

'
(ABAC)(

'
)
.由平面向量的平行四边形或三角形法则
h

知,点
G
是
BC
边的中线上的点,故应填重心.
(4)分析后发现,本题学生难以找 到解决问题的突破口,主要在于平
面向量的数量积的充分利用.由

MGMA

(
AB
ABcosB
AB


ACACcosC
AC
)(

0)
,
得
AG

(
ABcosBACcosC
AB
)(

0)
,
AC
ACcosC
(关键点)
AGBC

(
ABcosB

)BC(

0)

AGBC 

(
ABBC
ABcosB
ACBC
ACcosC
)(

0)
于是.


（BCcos(
< br>-B)BCcosB）=

(BCBC)0
从而
AGBC< br>,点
G
是高线上的点,故应填垂心.
[教师点评]以上四个问题处理的方法各 不相同,注意到平面向量及
三角形的“四心”的性质在解答问题时的作用.特别注意第四问两
边 同乘以某个表达式的技巧.
三、 综合运用
[提出问题]若O点是
ABC
的外心, H点是
ABC
的垂心,
且
OHm(OAOBOC)
,求实数m的值.
[思路分析]许多学生 在解答此类题时，只能用特殊值的方法解决.
要求学生能够充分利用本节提到的一些基础知识及相关性质 解题.
[解答过程]由
OHm(OAOBOC)
,得
OHOAm (OAOBOC)OA
,
于是
HA(m1)OAm(OBOC)
,
(关键点)
HABC(m1)OABCm(OBOC)BC

即
HABC(m1)OABCm(OBOC)(OCOB)
,
由 题意,知
HABC0
,及
(OBOC)(OCOB)0
,从而
(m1)OABC0
,

其中
OABC0
,因此
m10,即m1
.
[教师点评]请读者特别注意解题中的关键点,解这类问题时的技巧
也应熟练掌握.
[举一反三]通过上述例题及解答,我们可以总结出关于三角形“四
心”的向量表达式.若
P< br>点为
ABC
内任意一点，若
P
点满足:

ABAC
AP

(),

0

ABAC
< br>
1．

P为ABC的内心
;

BPt(BA

BC
)，t0

BABC


2.
D、E
两点分别是
ABC
的边
BC、CA
上的中点, 且


DPPBDPPC
P为ABC的外心
;
< br>

EPPCEPPA
1

AP(ABAC),


3
P为ABC的重心
; 3.


BP 
1
(BABC)，

3



APB C0
P为ABC的垂心
. 4.



BPAC0

关于 三角形的“四心”与平面向量的结合

[关键字]高中|数学|平面向量|内心|外心|重心|垂心

[内容摘要]每年全 国各地高考试卷中,都有不少习题与三角形的“四心”有关，学生在解决
这些问题时错误率较高，甚至是 无从下手.笔者搜集了部分资料，结合本人积累的一些高
三知识，就高中新课标向量的相关知识进行阐述 ，对有关三角形的“四心”的相关知识
进行复习.特别体现出它们之间的结合,不当疏漏之处,恳请读者 批评指正.
一、 基础知识复习
1.定义：我们把三角形三个内角的角平分线的交点叫做三 角形的内
心,即三角形内切圆圆心;三角形三条边上的中垂线的交点叫做三
角形的外心,即三角 形外接圆圆心;三角形三条边上的中线的交点
叫做三角形的重心;三角形三条高线的交点叫做三角形的垂 心.我
们将三角形的“内心”、“外心”、“重心”、“垂心”合称为三角形的
“四心”. < br>2.应用:三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的外心到
三角形三个顶点的距离相等; 三角形的重心到三角形的顶点的距离
是相应中线长的三分之二;三角形的垂心与顶点的连线垂直于该顶< br>点的对边.
3.注意点:三角形的“四心”与平面向量知识的结合.
二、 典型例题分析
[例]已知点
G
是
ABC
内任意一点,点
M
是
ABC
所在平面内一点.试
根据下列条件判断
G
点可能 通过
ABC
的__________心.(填“内心”
或“外心”或“重心”或“垂心 ”).
[提出问题]

(1)若存在常数

,满足
MGMA

(
过
ABC
的__________.
( 2)若点
D
AB
AB

AC
AC
)(
< br>0)
,则点
G
可能通
是
ABC
的底边
BC
上的中点,满足
GDGBGDGC
,则点
G
可能通过
AB C
的__________.
(3)若存在常数

,满足
MGM A

(
可能通过
ABC
的__________.
(4 )若存在常数

,满足
MGMA

(
G
可能通 过
ABC
的__________.
AB
ABsinB

AC
ACsinC
)(

0)
,则点
G
ABABcosB

AC
ACcosC
)(

0)
,则点
[思路分析]以上四个问题的解决要求不同,除了熟悉三角形的“四
心”的性质,同时 更要熟悉平面向量的性质,对于平面向量与三角函
数的结合也要相当熟悉.
[解答过程](1 )记
AB
AB
e
1
,
AC
AC
e2
,则
AG

(e
1
e
2
).由平面向量的
平行四边形或三角形法则知,点
G
是角平分线上的点,故应填内心 .
(2)简单的变形后发现点
G
是
BC
边中垂线上的点,故应填外心.
(3)
ABsinBACsinC,
记
ABsinBACsinCh
,
则
AG

'
(ABAC)(

'
)
.由平面向量的平行四边形或三角形法则
h

知,点
G
是
BC
边的中线上的点,故应填重心.
(4)分析后发现,本题学生难以找 到解决问题的突破口,主要在于平
面向量的数量积的充分利用.由

MGMA

(
AB
ABcosB
AB


ACACcosC
AC
)(

0)
,
得
AG

(
ABcosBACcosC
AB
)(

0)
,
AC
ACcosC
(关键点)
AGBC

(
ABcosB

)BC(

0)

AGBC 

(
ABBC
ABcosB
ACBC
ACcosC
)(

0)
于是.


（BCcos(
< br>-B)BCcosB）=

(BCBC)0
从而
AGBC< br>,点
G
是高线上的点,故应填垂心.
[教师点评]以上四个问题处理的方法各 不相同,注意到平面向量及
三角形的“四心”的性质在解答问题时的作用.特别注意第四问两
边 同乘以某个表达式的技巧.
三、 综合运用
[提出问题]若O点是
ABC
的外心, H点是
ABC
的垂心,
且
OHm(OAOBOC)
,求实数m的值.
[思路分析]许多学生 在解答此类题时，只能用特殊值的方法解决.
要求学生能够充分利用本节提到的一些基础知识及相关性质 解题.
[解答过程]由
OHm(OAOBOC)
,得
OHOAm (OAOBOC)OA
,
于是
HA(m1)OAm(OBOC)
,
(关键点)
HABC(m1)OABCm(OBOC)BC

即
HABC(m1)OABCm(OBOC)(OCOB)
,
由 题意,知
HABC0
,及
(OBOC)(OCOB)0
,从而
(m1)OABC0
,

其中
OABC0
,因此
m10,即m1
.
[教师点评]请读者特别注意解题中的关键点,解这类问题时的技巧
也应熟练掌握.
[举一反三]通过上述例题及解答,我们可以总结出关于三角形“四
心”的向量表达式.若
P< br>点为
ABC
内任意一点，若
P
点满足:

ABAC
AP

(),

0

ABAC
< br>
1．

P为ABC的内心
;

BPt(BA

BC
)，t0

BABC


2.
D、E
两点分别是
ABC
的边
BC、CA
上的中点, 且


DPPBDPPC
P为ABC的外心
;
< br>

EPPCEPPA
1

AP(ABAC),


3
P为ABC的重心
; 3.


BP 
1
(BABC)，

3



APB C0
P为ABC的垂心
. 4.



BPAC0