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三角四的

量表形心向
示

精品资料
从动和静两个角度看三角形中四“心”的向量表示

平面几何中中三角形的四“心” ,即三角形的内心、外心、重心、垂心。在引入向量这个工具后，
我们可以从动和静两个角度看三角形中 的四“心”的向量表示，其一可以使我们对三角形中的四“心”
有全新的认识；其二使我们对向量形式的 多样性和向量运算的灵活性有更清楚的认识。
一．从静止的角度看向量的四“心”
1．已知 点
O
是三角形
ABC
所在平面上一点，若
OAOBOC0，则
O
是三角形
ABC
的
（ ）
（A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心
分 析：若
OAOBOC0
，则
OAOBOC
，设以
OA< br>、
OB
为邻边的平行四边形为
OAC

B
,
OC
与
AB
交于点
D
,则
D
为
AB
的中点,由
OAOBOC

得,
OCOC

,即
C
、
O
、
D
、
C

四点共线,故
CD
为
ABC
的中线,所以
O
在边
AB
的中线上,同理可证,
O
在边
AC
的中线
上,
O
在边
BC
的中线上所以
O
是三角形
ABC
的重心.
2. 已知点
O
是三角形所在平面上一点，若
OAOBOBOCO COA
,则
O
是三角形
ABC
的（ ）
（A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心
分析:由
OAOBOBOC
得,
OB(OAOC) 0
,即
OBCA0
,所以
OBCA,
同理可
证:OCAB,OABC
,所以
O
是
ABC
的垂心.
3. 已知点
O
是三角形所在平面上一点，若
aOAbOBcOC0< br>,则
O
是三角形
ABC
的（ ）
（A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心
分 析::若
aOAbOBcOC0
,又因为
OBOAAB,OCOAAC ,
则
(abc)OAbABcAC0
.
所以
AO
bc

ABAC

ABAC

,因为
与分别表示
AB
和
AC
方向上的单位向量,设

abc

|AB||AC|

|AB|
|AC|
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2

精品资料
AP
ABAC
+,则
AP
平分
BAC
.又
AO
、
AP
共线，知
AO
平分
BAC
。同理可证，
BO
平
|AB|
|AC|
分
BAC
，
CO
平分
BAC
。从而
O
是
ABC
的内心。
4．已知点
O是三角形所在平面上一点，若
OAOBOC
，则
O
是三角形
ABC
的（ ）
（A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心
分析：因为
OAOBOC
，所以
OAOBOC
，即
OAOBOC
，所以
O
是
222
222
222
ABC
的外心。
二．从运动的角度看三角形的四“心”
1．已知点
O
是平面上一个定点，< br>A
、
B
、
C
是平面内不共线三点，动点
P
满 足
OPOA

(ABAC)
,

R
，则动 点
P
一定通过
ABC
的（ ）
（A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心
解:
OPOA

(ABAC) ,可得
AP
(ABAC),由于
ABAC
表示以AB,AC为邻边的
平行四边形的对角线 ,所以点
P
在边
BC
的中线所在直线上,,故动点
P
的轨迹 一定通过
ABC
的重心.
2．已知点
O
是平面上一个定点，A
、
B
、
C
是平面内不共线三点，动点
P
满足

ABAC

OPOA


+

,

R
，则动点
P
一定通过
ABC
的 （ ）
|AB||AC|

（A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心

AB

ABAC

AC

+

得，
AP


+

。由于分析： 由
OPOA



|AB||AC|

|A B||AC|


ABAC

+

表示
BAC
的平分线所在的方向向量。故当

R
时，动点则动点
P
一定通过


|AB||AC|

ABC
的内心 。
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3

精品资料
3已知点
O
是平面上一个定点，
A
、
B
、
C
是平面内不共线三点，动点
P
满足

ABAC
OPO A


+

,

R
，则动点P
一定通过
ABC
的（ ）

|AB|cosB|AC|cosC

（A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心

ABAC
分析: 由
OPOA


+

得，

|AB|cosB|AC|cosC


ABAC
+

。由于
AP


|AB|c osB|AC|cosC


ABACABBCACBC
+ 
BCBCBC0
,所以

|AB|cosB|AC|c osC|AB|cosB|AC|cosC

APBC0
。即点
P的轨迹是过点A且垂直于
BC
的直线，故动点
P
的轨迹一定通过
ABC
的垂
心。
4. 已知
O
平面上一个定点，
A、
B
、
C
是平面内不共线三点，动点
P
满足
O P
OBOC


2

ABAC
+

,

R
，则动点
P
一定通过
ABC的（ ）

|AB|cosB|AC|cosC

（A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心
分 析:设
BC
的中点为为
D
,则
OBOC
OP

2
OBOC
OD
,所以由
2

ABAC< br>+

可得
DP


|AB|cosB|AC| cosC


ABAC
+

,当

R

|AB|cosB|AC|cosC


ABAC+

表示垂直于
BC
的向量,所以
DP
为线段BC
的垂直平分线,故动点时,



|AB|cosB|A C|cosC

P
的轨迹一定通过
ABC
的外心.
上面 通过动和静两个角度看三角形的四”心”的向量表示,得出了椒优美的结论,使我们对向量的四
心有了新 的认识,更好的体会到辩证的和谐的统一.
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三角四的

量表形心向
示

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从动和静两个角度看三角形中四“心”的向量表示

平面几何中中三角形的四“心” ,即三角形的内心、外心、重心、垂心。在引入向量这个工具后，
我们可以从动和静两个角度看三角形中 的四“心”的向量表示，其一可以使我们对三角形中的四“心”
有全新的认识；其二使我们对向量形式的 多样性和向量运算的灵活性有更清楚的认识。
一．从静止的角度看向量的四“心”
1．已知 点
O
是三角形
ABC
所在平面上一点，若
OAOBOC0，则
O
是三角形
ABC
的
（ ）
（A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心
分 析：若
OAOBOC0
，则
OAOBOC
，设以
OA< br>、
OB
为邻边的平行四边形为
OAC

B
,
OC
与
AB
交于点
D
,则
D
为
AB
的中点,由
OAOBOC

得,
OCOC

,即
C
、
O
、
D
、
C

四点共线,故
CD
为
ABC
的中线,所以
O
在边
AB
的中线上,同理可证,
O
在边
AC
的中线
上,
O
在边
BC
的中线上所以
O
是三角形
ABC
的重心.
2. 已知点
O
是三角形所在平面上一点，若
OAOBOBOCO COA
,则
O
是三角形
ABC
的（ ）
（A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心
分析:由
OAOBOBOC
得,
OB(OAOC) 0
,即
OBCA0
,所以
OBCA,
同理可
证:OCAB,OABC
,所以
O
是
ABC
的垂心.
3. 已知点
O
是三角形所在平面上一点，若
aOAbOBcOC0< br>,则
O
是三角形
ABC
的（ ）
（A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心
分 析::若
aOAbOBcOC0
,又因为
OBOAAB,OCOAAC ,
则
(abc)OAbABcAC0
.
所以
AO
bc

ABAC

ABAC

,因为
与分别表示
AB
和
AC
方向上的单位向量,设

abc

|AB||AC|

|AB|
|AC|
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精品资料
AP
ABAC
+,则
AP
平分
BAC
.又
AO
、
AP
共线，知
AO
平分
BAC
。同理可证，
BO
平
|AB|
|AC|
分
BAC
，
CO
平分
BAC
。从而
O
是
ABC
的内心。
4．已知点
O是三角形所在平面上一点，若
OAOBOC
，则
O
是三角形
ABC
的（ ）
（A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心
分析：因为
OAOBOC
，所以
OAOBOC
，即
OAOBOC
，所以
O
是
222
222
222
ABC
的外心。
二．从运动的角度看三角形的四“心”
1．已知点
O
是平面上一个定点，< br>A
、
B
、
C
是平面内不共线三点，动点
P
满 足
OPOA

(ABAC)
,

R
，则动 点
P
一定通过
ABC
的（ ）
（A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心
解:
OPOA

(ABAC) ,可得
AP
(ABAC),由于
ABAC
表示以AB,AC为邻边的
平行四边形的对角线 ,所以点
P
在边
BC
的中线所在直线上,,故动点
P
的轨迹 一定通过
ABC
的重心.
2．已知点
O
是平面上一个定点，A
、
B
、
C
是平面内不共线三点，动点
P
满足

ABAC

OPOA


+

,

R
，则动点
P
一定通过
ABC
的 （ ）
|AB||AC|

（A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心

AB

ABAC

AC

+

得，
AP


+

。由于分析： 由
OPOA



|AB||AC|

|A B||AC|


ABAC

+

表示
BAC
的平分线所在的方向向量。故当

R
时，动点则动点
P
一定通过


|AB||AC|

ABC
的内心 。
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精品资料
3已知点
O
是平面上一个定点，
A
、
B
、
C
是平面内不共线三点，动点
P
满足

ABAC
OPO A


+

,

R
，则动点P
一定通过
ABC
的（ ）

|AB|cosB|AC|cosC

（A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心

ABAC
分析: 由
OPOA


+

得，

|AB|cosB|AC|cosC


ABAC
+

。由于
AP


|AB|c osB|AC|cosC


ABACABBCACBC
+ 
BCBCBC0
,所以

|AB|cosB|AC|c osC|AB|cosB|AC|cosC

APBC0
。即点
P的轨迹是过点A且垂直于
BC
的直线，故动点
P
的轨迹一定通过
ABC
的垂
心。
4. 已知
O
平面上一个定点，
A、
B
、
C
是平面内不共线三点，动点
P
满足
O P
OBOC


2

ABAC
+

,

R
，则动点
P
一定通过
ABC的（ ）

|AB|cosB|AC|cosC

（A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心
分 析:设
BC
的中点为为
D
,则
OBOC
OP

2
OBOC
OD
,所以由
2

ABAC< br>+

可得
DP


|AB|cosB|AC| cosC


ABAC
+

,当

R

|AB|cosB|AC|cosC


ABAC+

表示垂直于
BC
的向量,所以
DP
为线段BC
的垂直平分线,故动点时,



|AB|cosB|A C|cosC

P
的轨迹一定通过
ABC
的外心.
上面 通过动和静两个角度看三角形的四”心”的向量表示,得出了椒优美的结论,使我们对向量的四
心有了新 的认识,更好的体会到辩证的和谐的统一.
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