空谷幽兰什么意思-重阳节习俗

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小学五六年级奥数解题技巧

奥赛专题 -- 抽屉原理
【例1】一个小组共有13名同学，其中至少有2名同学同一个月过
生日。为什么？

【分析】每年里共有12个月，任何一个人的生日，一定在其中的某
一个月。如果把 这12个月看成12个“抽屉”，把13名同学的生日看
成13只“苹果”，把13只苹果放进12个抽 屉里，一定有一个抽屉里
至少放2个苹果，也就是说，至少有2名同学在同一个月过生日。


【例 2】任意4个自然数，其中至少有两个数的差是3的倍数。这是
为什么？

【分析与解】首先我们要弄清这样一条规律：如果两个自然数除以3
的余数相同，那 么这两个自然数的差是3的倍数。而任何一个自然数
被3除的余数，或者是0，或者是1，或者是2，根 据这三种情况，
可以把自然数分成3类，这3种类型就是我们要制造的3个“抽屉”。
我们把4 个数看作“苹果”，根据抽屉原理，必定有一个抽屉里至少
有2个数。换句话说，4个自然数分成3类， 至少有两个是同一类。
既然是同一类，那么这两个数被3除的余数就一定相同。所以，任意
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4个自然数，至少有2个自然数的差是3的倍数。


【例3】有规格尺 寸相同的5种颜色的袜子各15只混装在箱内，试
问不论如何取，从箱中至少取出多少只就能保证有3双 袜子（袜子无
左、右之分）？

【分析与解】试想一下，从箱中取出6只、9只袜子，能配成3双袜
子吗？回答是否定的。
按5种颜色制作5个抽屉，根据抽屉原理1，只要取出6只袜子就总
有一只抽屉里装2只，这2 只就可配成一双。拿走这一双，尚剩4只，
如果再补进2只又成6只，再根据抽屉原理1，又可配成一双 拿走。
如果再补进2只，又可取得第3双。所以，至少要取6＋2＋2=10只
袜子，就一定会 配成3双。
思考：1.能用抽屉原理2，直接得到结果吗？
2.把题中的要求改为3双不同色袜子，至少应取出多少只？
3.把题中的要求改为3双同色袜子，又如何？


【例4】一个布袋中 有35个同样大小的木球，其中白、黄、红三种
颜色球各有10个，另外还有3个蓝色球、2个绿色球， 试问一次至
少取出多少个球，才能保证取出的球中至少有4个是同一颜色的球？
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【分析与解】从最“不利”的取出情况入手。
最不利的情况是首先取出的5个球中，有3个是蓝色球、2个绿色球。
接下来，把白、黄、 红三色看作三个抽屉，由于这三种颜色球相等均
超过4个，所以，根据抽屉原理2，只要取出的球数多于 （4-1）×3=9
个，即至少应取出10个球，就可以保证取出的球至少有4个是同一
抽屉（ 同一颜色）里的球。
故总共至少应取出10＋5=15个球，才能符合要求。
思考：把题中要求改为4个不同色，或者是两两同色，情形又如何？
当我们遇到“判别具有 某种事物的性质有没有，至少有几个”这样的
问题时，想到它——抽屉原理，这是你的一条“决胜”之路 。


奥赛专题 -- 还原问题


【例1】某 人去银行取款，第一次取了存款的一半多50元，第二次
取了余下的一半多100元。这时他的存折上还 剩1250元。他原有存
款多少元？

【分析】从上面那个“重新包装”的事例中 ，我们应受到启发：要想
还原，就得反过来做（倒推）。由“第二次取余下的一半多100元”
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可知，“余下的一半少100元”是1250元，从而“余下的一半”是
1250+100=1350（元）
余下的钱（余下一半钱的2倍）是： 1350×2=2700（元）
用同样道理可算出“存款的一半”和“原有存款”。综合算式是：
[（1250+100）×2+50]×2=5500（元）
还原问题的一般特点是：已知 对某个数按照一定的顺序施行四则运算
的结果，或把一定数量的物品增加或减少的结果，要求最初（运算 前
或增减变化前）的数量。解还原问题，通常应当按照与运算或增减变
化相反的顺序，进行相应 的逆运算。


【例2】有26块砖，兄弟2人争着去挑，弟弟抢在前面，刚摆好 砖，
哥哥赶来了。哥哥看弟弟挑得太多，就拿来一半给自己。弟弟觉得自
己能行，又
从哥哥那里拿来一半。哥哥不让，弟弟只好给哥哥5块，这样哥哥比
弟弟多挑2块。问最初弟弟准备挑 多少块？

【分析】我们得先算出最后哥哥、弟弟各挑多少块。只要解一个“和
差 问题”就知道：哥哥挑“（26+2）÷2=14”块，弟弟挑“26-14=12”
块。
提示：解还原问题所作的相应的“逆运算”是指：加法用减法还原，
减法用加法还原，乘法用除法还原， 除法用乘法还原，并且原来是加
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（减）几，还原时应为减（加）几，原来是乘（除）以几，还原时应
为除（乘）以几。
对于一些比较复杂的还原问题，要学会列表，借助表格倒推，既能理
清数量关系，又便于验算。
奥赛专题 -- 鸡兔同笼问题
例1 鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？
[分析] ：如果 46只都是兔，一共应有 4×46=184只脚，这和已知
的128只脚 相比多了184-128=56只脚.如果用一只鸡来置换一只兔，
就要减少4-2=2（只）脚.那么 ，46只兔里应该换进几只鸡才能使56
只脚的差数就没有了呢？显然，56÷2=28，只要用28只 鸡去置换28
只兔就行了.所以，鸡的只数就是28，兔的只数是46-28=18。
解：①鸡有多少只？
（4×6-128）÷（4-2）
=（184-128）÷2
=56÷2
=28（只）
②免有多少只？
46-28=18（只）
答：鸡有28只，免有18只。


例2 鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少
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只？
[分析]： 这个例题与前面例题是有区别的，没有给出它们脚数的总和，
而是给出了它们脚数的差.这又如何解答呢 ？
假设100只全是鸡，那么脚的总数是2×100=200（只）这时兔的脚
数为0，鸡 脚比兔脚多200只，而实际上鸡脚比兔脚多80只.因此，
鸡脚与兔脚的差数比已知多了（200-8 0）=120（只），这是因为把其
中的兔换成了鸡.每把一只兔换成鸡，鸡的脚数将增加2只，兔的脚
数减少4只.那么，鸡脚与兔脚的差数增加（2+4）=6（只），所以换
成鸡的兔子有120 ÷6=20（只）.有鸡（100-20）=80（只）。
解：（2×100-80）÷（2+4）=20（只）。
100-20=80（只）。
答：鸡与兔分别有80只和20只。


例3 红英小学三年级有3个班共135人，二班比一班多5人，三班
比二班少7人，三个班各有多少人？
[分析1] 我们设想，如果条件中三个班人数同样多，那么，要求每班
有多少人就很容易了. 由此得到启示，是否可以通过假设三个班人数
同样多来分析求解。
结合下图可以想，假设二 班、三班人数和一班人数相同，以一班为标
准，则二班人数要比实际人数少5人.三班人数要比实际人数 多7-5=2
（人）.那么，请你算一算，假设二班、三班人数和一班人数同样多，
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三个班总人数应该是多少？
解法1：
一班：[135-5+（7-5）]÷3=132÷3
=44（人）
二班：44+5=49（人）
三班：49-7=42（人）
答：三年级一班、 二班、三班分别有44人、 49人和 42人。
[分析2] 假设一、三班人数和二班人数同样多 ，那么，一班人数比实
际要多5人，而三班要比实际人数多7人.这时的总人数又该是多少？
解法2：（135+ 5+ 7）÷3 = 147÷3 = 49（人）
49-5=44（人），49-7=42（人）
答：三年级一班、二班、三班分别有44人、49人和42人。


例4 刘老师带了41名同学去北海公园划船，共租了10条船.每条大
船坐6人，每条小船坐4人，问大船、 小船各租几条？
[分析] 我们分步来考虑：
①假设租的 10条船都是大船，那么船上应该坐 6×10= 60（人）。
②假设后的总人数比实际人数多了 60-（41+1）=18（人），多的原因
是把小船坐的4人都假设成坐6人。
③一条小船当成大船多出2人，多出的18人是把18÷2=9（条）小
船当成大船。
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解：[6×10-(41+1）÷（6-4）
= 18÷2=9（条） 10-9=1（条）
答：有9条小船，1条大船。


例5 有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20
对（蜘蛛8条腿；蜻蜓 6条腿，两对翅膀；蝉6条腿，一对翅膀），
求蜻蜓有多少只？
[分析] 这是在鸡兔同笼 基础上发展变化的问题.观察数字特点，蜻蜓、
蝉都是6条腿，只有蜘蛛8条腿.因此，可先从腿数入手 ，求出蜘蛛
的只数.我们假设三种动物都是6条腿，则总腿数为 6×18=108（条），
所差 118-108=10（条），必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的 .所以，
应有（118-108）÷（8-6）=5（只）蜘蛛.这样剩下的18-5=13（只）便是蜻蜓和蝉的只数.再从翅膀数入手，假设13只都是蝉，则总翅膀
数1×13=13（对），比 实际数少 20-13＝7（对），这是由于蜻蜓有两
对翅膀，而我们只按一对翅膀计算所差，这样蜻蜓 只数可求7÷（2-1）
=7（只）.
解：①假设蜘蛛也是6条腿，三种动物共有多少条腿？
6×18=108（条）
②有蜘蛛多少只？
（118-108）÷（8-6）=5（只）
③蜻蜒、蝉共有多少只？
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18-5=13（只）
④假设蜻蜒也是一对翅膀，共有多少对翅膀？1×13=13（对）
⑤蜻蜒多少只？
（20-13）÷ 2-1）= 7（只）
答：蜻蜒有7只.

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奥赛专题 -- 抽屉原理
【例1】一个小组共有13名同学，其中至少有2名同学同一个月过
生日。为什么？

【分析】每年里共有12个月，任何一个人的生日，一定在其中的某
一个月。如果把 这12个月看成12个“抽屉”，把13名同学的生日看
成13只“苹果”，把13只苹果放进12个抽 屉里，一定有一个抽屉里
至少放2个苹果，也就是说，至少有2名同学在同一个月过生日。


【例 2】任意4个自然数，其中至少有两个数的差是3的倍数。这是
为什么？

【分析与解】首先我们要弄清这样一条规律：如果两个自然数除以3
的余数相同，那 么这两个自然数的差是3的倍数。而任何一个自然数
被3除的余数，或者是0，或者是1，或者是2，根 据这三种情况，
可以把自然数分成3类，这3种类型就是我们要制造的3个“抽屉”。
我们把4 个数看作“苹果”，根据抽屉原理，必定有一个抽屉里至少
有2个数。换句话说，4个自然数分成3类， 至少有两个是同一类。
既然是同一类，那么这两个数被3除的余数就一定相同。所以，任意
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4个自然数，至少有2个自然数的差是3的倍数。


【例3】有规格尺 寸相同的5种颜色的袜子各15只混装在箱内，试
问不论如何取，从箱中至少取出多少只就能保证有3双 袜子（袜子无
左、右之分）？

【分析与解】试想一下，从箱中取出6只、9只袜子，能配成3双袜
子吗？回答是否定的。
按5种颜色制作5个抽屉，根据抽屉原理1，只要取出6只袜子就总
有一只抽屉里装2只，这2 只就可配成一双。拿走这一双，尚剩4只，
如果再补进2只又成6只，再根据抽屉原理1，又可配成一双 拿走。
如果再补进2只，又可取得第3双。所以，至少要取6＋2＋2=10只
袜子，就一定会 配成3双。
思考：1.能用抽屉原理2，直接得到结果吗？
2.把题中的要求改为3双不同色袜子，至少应取出多少只？
3.把题中的要求改为3双同色袜子，又如何？


【例4】一个布袋中 有35个同样大小的木球，其中白、黄、红三种
颜色球各有10个，另外还有3个蓝色球、2个绿色球， 试问一次至
少取出多少个球，才能保证取出的球中至少有4个是同一颜色的球？
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【分析与解】从最“不利”的取出情况入手。
最不利的情况是首先取出的5个球中，有3个是蓝色球、2个绿色球。
接下来，把白、黄、 红三色看作三个抽屉，由于这三种颜色球相等均
超过4个，所以，根据抽屉原理2，只要取出的球数多于 （4-1）×3=9
个，即至少应取出10个球，就可以保证取出的球至少有4个是同一
抽屉（ 同一颜色）里的球。
故总共至少应取出10＋5=15个球，才能符合要求。
思考：把题中要求改为4个不同色，或者是两两同色，情形又如何？
当我们遇到“判别具有 某种事物的性质有没有，至少有几个”这样的
问题时，想到它——抽屉原理，这是你的一条“决胜”之路 。


奥赛专题 -- 还原问题


【例1】某 人去银行取款，第一次取了存款的一半多50元，第二次
取了余下的一半多100元。这时他的存折上还 剩1250元。他原有存
款多少元？

【分析】从上面那个“重新包装”的事例中 ，我们应受到启发：要想
还原，就得反过来做（倒推）。由“第二次取余下的一半多100元”
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可知，“余下的一半少100元”是1250元，从而“余下的一半”是
1250+100=1350（元）
余下的钱（余下一半钱的2倍）是： 1350×2=2700（元）
用同样道理可算出“存款的一半”和“原有存款”。综合算式是：
[（1250+100）×2+50]×2=5500（元）
还原问题的一般特点是：已知 对某个数按照一定的顺序施行四则运算
的结果，或把一定数量的物品增加或减少的结果，要求最初（运算 前
或增减变化前）的数量。解还原问题，通常应当按照与运算或增减变
化相反的顺序，进行相应 的逆运算。


【例2】有26块砖，兄弟2人争着去挑，弟弟抢在前面，刚摆好 砖，
哥哥赶来了。哥哥看弟弟挑得太多，就拿来一半给自己。弟弟觉得自
己能行，又
从哥哥那里拿来一半。哥哥不让，弟弟只好给哥哥5块，这样哥哥比
弟弟多挑2块。问最初弟弟准备挑 多少块？

【分析】我们得先算出最后哥哥、弟弟各挑多少块。只要解一个“和
差 问题”就知道：哥哥挑“（26+2）÷2=14”块，弟弟挑“26-14=12”
块。
提示：解还原问题所作的相应的“逆运算”是指：加法用减法还原，
减法用加法还原，乘法用除法还原， 除法用乘法还原，并且原来是加
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（减）几，还原时应为减（加）几，原来是乘（除）以几，还原时应
为除（乘）以几。
对于一些比较复杂的还原问题，要学会列表，借助表格倒推，既能理
清数量关系，又便于验算。
奥赛专题 -- 鸡兔同笼问题
例1 鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？
[分析] ：如果 46只都是兔，一共应有 4×46=184只脚，这和已知
的128只脚 相比多了184-128=56只脚.如果用一只鸡来置换一只兔，
就要减少4-2=2（只）脚.那么 ，46只兔里应该换进几只鸡才能使56
只脚的差数就没有了呢？显然，56÷2=28，只要用28只 鸡去置换28
只兔就行了.所以，鸡的只数就是28，兔的只数是46-28=18。
解：①鸡有多少只？
（4×6-128）÷（4-2）
=（184-128）÷2
=56÷2
=28（只）
②免有多少只？
46-28=18（只）
答：鸡有28只，免有18只。


例2 鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少
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只？
[分析]： 这个例题与前面例题是有区别的，没有给出它们脚数的总和，
而是给出了它们脚数的差.这又如何解答呢 ？
假设100只全是鸡，那么脚的总数是2×100=200（只）这时兔的脚
数为0，鸡 脚比兔脚多200只，而实际上鸡脚比兔脚多80只.因此，
鸡脚与兔脚的差数比已知多了（200-8 0）=120（只），这是因为把其
中的兔换成了鸡.每把一只兔换成鸡，鸡的脚数将增加2只，兔的脚
数减少4只.那么，鸡脚与兔脚的差数增加（2+4）=6（只），所以换
成鸡的兔子有120 ÷6=20（只）.有鸡（100-20）=80（只）。
解：（2×100-80）÷（2+4）=20（只）。
100-20=80（只）。
答：鸡与兔分别有80只和20只。


例3 红英小学三年级有3个班共135人，二班比一班多5人，三班
比二班少7人，三个班各有多少人？
[分析1] 我们设想，如果条件中三个班人数同样多，那么，要求每班
有多少人就很容易了. 由此得到启示，是否可以通过假设三个班人数
同样多来分析求解。
结合下图可以想，假设二 班、三班人数和一班人数相同，以一班为标
准，则二班人数要比实际人数少5人.三班人数要比实际人数 多7-5=2
（人）.那么，请你算一算，假设二班、三班人数和一班人数同样多，
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三个班总人数应该是多少？
解法1：
一班：[135-5+（7-5）]÷3=132÷3
=44（人）
二班：44+5=49（人）
三班：49-7=42（人）
答：三年级一班、 二班、三班分别有44人、 49人和 42人。
[分析2] 假设一、三班人数和二班人数同样多 ，那么，一班人数比实
际要多5人，而三班要比实际人数多7人.这时的总人数又该是多少？
解法2：（135+ 5+ 7）÷3 = 147÷3 = 49（人）
49-5=44（人），49-7=42（人）
答：三年级一班、二班、三班分别有44人、49人和42人。


例4 刘老师带了41名同学去北海公园划船，共租了10条船.每条大
船坐6人，每条小船坐4人，问大船、 小船各租几条？
[分析] 我们分步来考虑：
①假设租的 10条船都是大船，那么船上应该坐 6×10= 60（人）。
②假设后的总人数比实际人数多了 60-（41+1）=18（人），多的原因
是把小船坐的4人都假设成坐6人。
③一条小船当成大船多出2人，多出的18人是把18÷2=9（条）小
船当成大船。
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解：[6×10-(41+1）÷（6-4）
= 18÷2=9（条） 10-9=1（条）
答：有9条小船，1条大船。


例5 有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20
对（蜘蛛8条腿；蜻蜓 6条腿，两对翅膀；蝉6条腿，一对翅膀），
求蜻蜓有多少只？
[分析] 这是在鸡兔同笼 基础上发展变化的问题.观察数字特点，蜻蜓、
蝉都是6条腿，只有蜘蛛8条腿.因此，可先从腿数入手 ，求出蜘蛛
的只数.我们假设三种动物都是6条腿，则总腿数为 6×18=108（条），
所差 118-108=10（条），必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的 .所以，
应有（118-108）÷（8-6）=5（只）蜘蛛.这样剩下的18-5=13（只）便是蜻蜓和蝉的只数.再从翅膀数入手，假设13只都是蝉，则总翅膀
数1×13=13（对），比 实际数少 20-13＝7（对），这是由于蜻蜓有两
对翅膀，而我们只按一对翅膀计算所差，这样蜻蜓 只数可求7÷（2-1）
=7（只）.
解：①假设蜘蛛也是6条腿，三种动物共有多少条腿？
6×18=108（条）
②有蜘蛛多少只？
（118-108）÷（8-6）=5（只）
③蜻蜒、蝉共有多少只？
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18-5=13（只）
④假设蜻蜒也是一对翅膀，共有多少对翅膀？1×13=13（对）
⑤蜻蜒多少只？
（20-13）÷ 2-1）= 7（只）
答：蜻蜒有7只.

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