青岛工学院-工作计划怎么写

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圆和组合图形(1)
一、填空题
1.算出圆内正方形的面积为 .

2.右图是一个直角等腰三角形,直角边长2厘米,图中阴影部分面积是
平方厘米.
6厘米

2
3.一个扇形圆心角
120
,以扇形的半径为边长画一个正方形,这个正方形的面积是120平方厘
米.这个扇形面 积是 .
4.如图所示,以B、C为圆心的两个半圆的直径都是2厘米,则阴影部分的周长是 厘
米.(保留两位小数)

E
5.三角形ABC是直角三角形,阴影部分①的面积比阴影部分②的面积
小28平方厘米. A
B
长40厘米, BC长 厘米.
6.如右图,阴影部分的面积为2平方厘米,等腰直角三角形
C
A B D
面积为 .
C
的
7.扇形的面积是31.4平方厘米,它所在圆的面积是157平方厘米,这个扇形的圆心角是
度.
②
8.图中扇形的半径OA=OB=6厘米.
AOB45
, AC垂直OB于C,那么图中阴影部分的面积
①
是 平方厘米.
(

3.14)

B
A
9.右图中正方形周长是20厘米.图形的总面积是 平方厘米.
A
10.在右图中(单位:厘米),两个阴影部分面积的和是 平方厘米.

6
二、解答题
11. ABC是等腰直角三角形. D15 是半圆周的中点, BC是半圆的直径,已知:
45

O
AB=BC=10,那么阴影部分的面积是多少
B
?(圆周率

3.14
)
12
C

20
10
12.如图,半圆S的面积是14.13平方厘米,圆S
2
的面积是19.625平方厘米.那么长方形(阴影
1
B
A
部分的面积)是多少平方厘米?

D
S
2


S
1

13.如图,已知圆心是O,半径r=9厘米,
1 215
,那么阴影部分的面积是多少平方厘
C
米?
(

3.14)

14.右图中4个圆的圆心是正方形的4个顶点,它们的公共点是该正方形的中心.如果每个圆的
A
半径都是1厘米,那么阴影部分的总面积是多少平方厘米?
———————————————答 案——————————————————————
1 2
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0

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1. 18平方厘米. < br>由图示可知,正方形两条对角线的长都是6厘米,正方形由两个面积相等的三角形构成.三角形
1
底为6厘米,高为3厘米,故正方形面积为
63218
(平方厘米).
2
2. 1.14平方厘米.
由图示可知,图中阴影部分面积为两个圆心角为45
的扇形面积减去直角三角形的面积.即
451
2221.14(平方厘米).
3602
3. 125.6平方厘米.
3.142
2

由已知条件可知圆的半径的平方为120平方厘米.故扇形面积为
3.141 20
120
125.6
(平方
360
厘米).
4. 3.09厘米.
边结BE、CE,则BE=CE=BC=1(厘米),故三角形BCE为等边三角形. 于是
60
⌒
⌒
EBCBCE60
.BE=CE=
3.1421.045
(厘米).于是阴影部分周长为
360
1.0452 13.09
(厘米).
5. 32.8厘米.
从图中可以看出阴影部分①加 上空白部分的面积是半圆的面积,阴影部分②加上空白部分的面
积是三角形ABC的面积.又已知①的面 积比②的面积小28平方厘米,故半圆面积比三角形ABC的
面积小28平方厘米.

40

1
半圆面积为
3.14

628
(平方厘米),三角形ABC的面积为628+28=656(平方厘

2

2
米).BC的长为
65624032.8
(厘米).
9
6.
37
平方厘米.
13
将等腰直角三角形补成一 个正方形,设正方形边长为x厘米,则圆的半径为
2
2
x
厘米.图中阴影部< br>2
13200

1

分面积是正方形与圆的面积之差的,于是 有
x
2
3.14

x

82
,解 得
x
2

.故等腰直角
813

2
三角形的面积为
7.
72
.
320019
37
(平方厘米).
13213
扇形面 积是圆面积的
31.4157
11
,故扇形圆心角为
360
的即
72
.
55
8. 5.13.
三角形ACO是一个等 腰直角三角形,将AO看作底边,AO边上的高为
AO2623
(厘米),
1 45
14.13
(平方厘米),故三角形ACO的面积为
639
(平 方厘米).而扇形面积为
3.146
2

2360
从而阴影部分面 积为14.13-9=5.13(平方厘米).
9. 142.75.
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由正方形周长是20厘米,可得正方形边长也就是圆的半径为
2045
(厘米).图形总面积为两
3
个圆面积加上正方形的面积,即
4
3
3.145
2
25
2
142.75
(平方厘米).
4
10. 90平方厘米.
图中阴影部分的面积是 从两个以直角三角形直角边为直径的半圆及一个直角三角的面积和中
减去一个以直角三角形斜边为直径的 半圆的面积即
(平方厘米).
10
B
E
11. 如图作出辅助线,则阴影部分的面积为三角形
A
AED的面积减去正方形BEDO的面积再加上圆面积的
1
D
O
.
4
1
三角形AED的面积是
(10102)(102)
;正方形面
C
2
11
积是
(102)
2
,圆面积的是
3.14(1 02)
2
,故阴影部分面积为:
44

37.52519.62532.125
（平方厘米）.
12. 由已知 半圆S
1
的面积是14.13平方厘米得半径的平方为
14.1323.149
(平方厘米),故半径
为3厘米,直径为6厘米.
又因圆S
2< br>的面积为19.625平方厘米,所以S
2
半径的平方为
19.6253.1 46.25
(平方厘米),于
是它的半径为2.5厘米,直径为5厘米.
阴影部分面积为
(65)55
(平方厘米).
13. 因OA=OB,故三角形OAB为等腰三角形,即

OBA115,AOB180152150
,
同理
AOC150
,于是
BOC360150260
.
60
3.149
2
42.39
(平方厘米).
360
14. 正方形可以分割成两个底为2,高为1的三角形,其面积为
1

2122
(平方厘米).
2
1
正方形内空白部分面积为4个圆即一个圆的面积与正方形面积之差,即
4
扇形面积为:


1
22

2
(平方厘米),所有空白部分面积为
2(

2)
平方厘米.
故阴影部分面积为四个圆面积之和与两个空白面积之和的差,即为

1
2
422(

2)8
(平方厘米).
十二、圆和组合图形（2）
一、填空题
1.如图,阴影部分的面积是 .
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2.大圆的半径比小圆的半径长6厘米,且大圆半径是小圆半径的4倍.大圆的面积比小圆的面积
大 平方厘米.
3.在一个半径是4.5厘米的圆中挖去两个直径都是2厘米的圆.剩下的图形的面积是
平方厘米.(

取3.14,1
2
平方厘米)
2
结果精确到
1
4.右图中三角形是等腰直角三角形,阴影部分的面积是 (平方厘米).
5.如图所求,圆的周长是16.4厘米,圆的
面积与长方形的面积正好相等 .图中阴影部分
的周长是 厘米.
(

3.14)

6.如图,
115
的圆的周长为62.8厘米,
平行四边形的面 积为100平方厘米.阴影部分的面积是 .
7.有八个半径为1厘米的小圆 ,用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形(如图).图中黑点是
这些圆的圆心.如果圆周率

3.1416
,那么花瓣图形的面积是 平方厘米.
8.已知:ABC
D
是正方形, ED=DA=AF=2厘米,阴影部分的面积是 .

C B
1
9.图中,扇形BAC的面积是半圆ADB的面积的
1
倍,那么,
CAB
是 度.
G
3
10.右图中的正方形的边长是2厘米,以圆弧为分界线的甲、乙两部分的面积差(大减小)是
C
D
平方厘米.(

取3.14)
E
F
D
A

甲
乙
二、解答题
A
O B
2
22
11.如图:阴影部分的面积是多少?四分之一大圆的半径为r.(计算时圆周率取)
7
12.已知右图中大正方形边长是6厘米,中间小正方形边长是4厘米.求阴
影部分的面积.
13.有三个面积都是S的圆放在桌上,桌面被圆覆盖的面积是
2S+2,并且重合的两块是等面积的, 直线a过两个圆心A、B, 如果
直线a下方被圆覆盖的面积是9,求圆面积S的值.

14.如图所示,一块半径为2厘米的圆板,从平面上1的位
B a
A < br>置沿线段AB、BC、CD滚到2的位置,如果AB、BC、C
D
的长
都是20 厘米,那么圆板的正面滚过的面积是多少平方厘米?
C

———————————————答 案—————————————
1
2
—————————
1. 6.
B
两个扇形面积相等,故阴影部分面积等于一个长为3,宽为2的长方形面积,为
D
6个平方单位.
120
2. 188.4.
A
小圆的半径 为
6(41)2
(厘米),大圆的半径为
248
(厘米).大圆的 面积比小圆的面积大
C
(8
2
2
2
)3.14188.4
(平方厘米).
3. 57.
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4 .5
2
3.14(22)
2
3.14257.305
( 平方厘米)≈57(平方厘米).
4. 10.26.
从圆中可以看出,阴影部分的面积 是两个半圆的面积与三角形面积之差,即
1
3.14(62)
2
6< br>2
10.26
(平方厘米).
2
5. 20.5.
设 圆的半径为r,则圆面积即长方形面积为

r
2
,故长方形的长为
D C

r
.
⌒


rr(
rr)
1
2

r
5
2

r
阴影部分周长
DCBCBAAD
44
5
16.420 .5
(厘米).
4
5
6.
48
(平方厘米).
6
如图,连结OA、AC,过A点作CD的垂线交CD于
B
ACD的面积为
100250
(平方厘米).

A
C
E O
1
E.三角形
D
又圆半径为
6. 28(3.142)10
(厘米),因为
115
,
又OA=OD,故
AOC15230
,扇形AOC的面积为
301
3.1410
2
26
(平方厘米).三角形AOC的面积为
5 0225
(平方厘米).方形面积为
3606
1115
26251< br>(平方厘米),从而阴影部分的面积为
50148
(平方厘米).
6666
7. 19.1416.
3
花瓣图形的结构是正方形的面积,加 上四个圆面积后,再割去四个半圆的面积.圆的半径为1
4
厘米,正方形边长为4厘米.故花瓣 图形的面积是
31
4
2


1
2
 4

1
2
416

19.1416
(平方厘米).
42
8. 2.43平方厘米.
C B
如图,将①移到②得:阴影部分面积等于梯形CEFB的
G
①
②
面积减去三角形CED、三角形CDA、扇形AFG的面积,即
11145
F (223)2222
2
3.142
2
2.4 3
(平方厘
E
D
A
222360
米).
9. 60.
设扇形ABC圆心角的度数是x,半圆的半径OA=r,有
x11


(2r)
2
1

r
2
,
36032
解得x=60.
10. 0.14.
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11
3.14
(平方厘米),甲部分面积为2
2
3.1420.43
(平方厘米),
42
1
乙部分面积为
3.142220.57
(平方厘米),甲乙两部分面积差为
0.570.430.14
(平方厘
4
米).

r
11. 如图,小正方形的边长为,则①的面积为:
2
②
扇形面积为
3.142
2

122

r

rrr
2




,
47

2

227
2
2
①
③
12212
122

r

r
2
1
2
②的面积为


r
,①和②的面积和为
r
2
r
2
2r
2
.即阴影
4747
27

2

74
2
部分面积为
r
2
.
7
12. 将阴影部分旋转后,可以看出所求阴影部分面积为大正方形面积的 一半减去小正形的一半,即
阴影部分面积等于
6
2
24
2
210
(平方厘米).
13. 设一个阴影部分的面积为x,则有:
3S2 x2S2
,于是
S2x2
(1)
34S18
又2Sx9
,于是有
x2
,解得S=6.
23
1
2
14. 圆板的正面滚过的部分如右图阴影部分所求,
它的面积为:
1123
D
).
4(202)4(4
2


2
2
)

2
2
204
228.07
(平方厘米
B
423
A
面积计算（三）
C
专题简析：
对于一些比较复杂的组合图形，有时直接 分解有一定的困难，这时，可以通过把其中的部分图
形进行平移、翻折或旋转，化难为易。有些图形可以 根据“容斥问题“的原理来解答。在圆的半径
r用小学知识无法求出时，可以把“r
2
”整体地代入面积公式求面积。
例题1。
如图20－1所示，求图中阴影部分的面积。



45
○


10
45
○

20－
20－
【思路导航】
10 解法一：阴影部分的一半，可以看做是扇形中减去一个等腰直角三角形（如图20－2），等腰直角
三角形的斜边等于圆的半径，斜边上的高等于斜边的一半，圆的半径为20÷2＝10厘米
1
【3.14×10
2
×
4
－10×（10÷2）】×2＝107（平方厘米）
答：阴影部分的面积是107平方厘米。
解法二：以等腰三角形底的中点为中心点。把图的右半部分向 下旋转90度后，阴影部分的面积就
变为从半径为10厘米的半圆面积中，减去两直角边为10厘米的等 腰直角三角形的面积所
得的差。
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2
45
○

20－
11
（20÷2）×
2
－（20÷2）
2
×
2
＝107（平方厘米）
答：阴影部分的面积是107平方厘米。
练习1
1、 如图20－4所示，求阴影部分的面积（单位：厘米）
2、 如图20－5所示，用一张斜边为29厘 米的红色直角三角形纸片，一张斜边为49厘米的蓝色
直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一 个直角三角形。求红蓝两张三角形纸片面
积之和是多少？

○

45
C
49

○
45
6

○
45

B
A
D

49
29
49
20－
29
20－
例题2。
如图20－6所示，求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。

4

减去
a

6

20－
20－
【思路导航】
解法一：先用长方形的面积减去小扇形的面积， 得空白部分（a）的面积，再用大扇形的面积减去
空白部分（a）的面积。如图20－7所示。
11
3.14×6
2
×
4
－（6×4－3.14×4
2
×
4
）＝16.82（平方厘米）
解法二：把阴影部分看作（1）和（2）两部分如图20－8所示。把大、小两个扇形面积相加，刚好
多 计算了空白部分和阴影（1）的面积，即长方形的面积。

（2
减
加

（1
20－
1
2
1
2
3.14×4×
4
+3.14×6×
4
－4×6＝16.28（平方厘米）
答：阴影部分的面积是16.82平方厘米。
练习2

A
B

D
2

60
○


C
B
1、 如图20－9所示，△ABC是等腰直角三角形，求阴影部分的面积（单位：厘米）。
20－11
20－10
20－
20－10所示，三角形ABC是直角三角 形，AC长4厘米，BC长2厘米。以AC、BC为2、 如图
C
A
直径画半圆，两个半圆的交点在AB边上。求图中阴影部分的面积。
3、 如图20－11所 示，图中平行四边形的一个角为60
0
，两条边的长分别为6厘米和8厘米，高
为5. 2厘米。求图中阴影部分的面积。
例题3。
在图20－12中，正方形的边长是10厘米，求图中阴影部分的面积。
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20－13
20－14
【思路导航】
20－12
解法一：先用正方形的面积减去一个整圆的面积，得空部 分的一半（如图20－13所示），再用正
方形的面积减去全部空白部分。
空白部分的一半：10×10－（10÷2）
2
×3.14＝21.5（平方厘米）
阴影部分的面积：10×10－21.5×2＝57（平方厘米）
解法二：把图中8个扇形的面积加在 一起，正好多算了一个正方形（如图20－14所示），而8个
扇形的面积又正好等于两个整圆的面积。
（10÷2）
2
×3.14×2－10×10＝57（平方厘米）
答：阴影部分的面积是57平方厘米。
练习3
求下面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。

10
10
4
3

5

20－16 20－17
例题4。
20－15
在正方形ABCD中，AC＝6厘米。求阴影部分的面积。

D
D C
C

B
A
【思路导 航】这道题的难点在于正方形的边长未知，这样扇形的半径也就不知道。但我们可以看出，
20－18
AC是等腰直角三角形ACD的斜边。根据等腰直角三角形的对称性可知，斜边上的
高等于斜边 的一半（如图20－18所示），我们可以求出等腰直角三角形ACD的面积，
进而求出正方形ABCD 的面积，即扇形半径的平方。这样虽然半径未求出，但可以B
A
求出半径的平方，也可以把半径的平方直接代入圆面积公式计算。
既是正方形的面积，又是半径的平方为：6×（6÷2）×2＝18（平方厘米）
阴影部分的面积为：18－18×3.14÷4＝3.87（平方厘米）
答：阴影部分的面积是3.87平方厘米。
练习4
1、 如图20－19、20－20所示 ，图形中正方形的面积都是50平方厘米，分别求出每个图形中阴
影部分的面积。
2、 如图 20－21所示，正方形中对角线长10厘米，过正方形两个相对的顶点以其边长为半径分
别做弧。求图 形中阴影部分的面积（试一试，你能想出几种办法）。

20－21
20－20
20－19
例题5。
在图20－22的扇形中，正方形的面积是30平方厘米。求阴影部分的面积。

A

B
A B

【思路导航】阴影部分的面积等于扇形的面积减去 正方形的面积。可是扇形的半径未知，又无法求
20－22
出，所以我们寻求正方形的面积与 扇形面积的半径之间的关系。我们以扇形的半径为
边长做一个新的正方形（如图20－23所示），从图 中可以看出，新正方形的面积是
30×2＝60平方厘米，即扇形半径的平方等于60。这样虽然半径未 求出，但能求出半
径的平方，再把半径的平等直接代入公式计算。
1
3.14×（30×2）×
4
－30＝17.1（平方厘米）
答：阴影部分的面积是17.1平方厘米。
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练习5
1、 如图20－24所示，平行四边形的面积是100平方厘米，求阴影部分的面积。
2、 如图20－2 5所示，O是小圆的圆心，CO垂直于AB,三角形ABC的面积是45平方厘米，求
阴影部分的面积。
3、 如图20－26所示，半圆的面积是62.8平方厘米，求阴影部分的面积。
A
A
D

O

C
C
B
O

45
○

B

20－26
20－25
答案：
20－24
练1
1、 如图答20－1所 示，因三角形BCD中BC边上高等于BC的一半，所以阴影部分的面积是：
451
6
2
×3.14× －6×（6÷2）× ＝5.13平方厘米
3602
2、 如图答 20－2所示，将红色直角三角形纸片旋转90
0
，红色和蓝色的两个直角三角形就拼成了一个直角边分别是49厘米和29厘米的直角三角形，因此，所求的面积为：
1
49×29× ＝710.5平方厘米
2
练2
1、 如图答20－3所示，可以看 做两个半圆重叠在一起，从中减去一个三角形的面积就得到阴影
部分的面积。
11
（2÷2）
2
×3.14×
2
×2－2×2×
2
＝1.14平方厘米
2、 思路与第一题相同
111
（4÷2）
2
×3.14×
2
+（2÷2）
2
×3.14×
2
－4×2×
2
＝3.85平方厘米
3、 如图答20－4所示，用大小两个扇形面积和减去一个平行四边形的面积， 即得到阴影部分的
一半，因此阴影部分的面积是：
607
【（8
2
+6
2
）×3.14×
360
－8×5.2】×2＝21
15
平方厘米
练3
1、 如图答20－5所示，阴影部分的面积等于四个半圆的面积减去一个正方形的面积，即：
1
（10÷2）
2
×3.14×
2
×4－10×10＝57平方厘米
2、 如图答20－6所示，阴影部分的面积等于半圆与扇形面积的和，减去一个三角形的面积，即：< br>4511
10
2
×3.14×
360
+（10÷2）
2
×3.14×
2
－10×10×
2
＝28.5平方厘米
3、 如图答20－7所示，整个图形的面积等于两个半圆的面积加上一个三角形 的面积，用整个图
形的面积减去一个最大半圆的面积就等于阴影部分的面积，即：
1111
（4÷2）
2
×3.14×
2
+（3÷2）
2
×3.14×
2
+4×3×
2
－（5÷2）
2
×3.14×
2
＝6平方厘米
练4
1
1、 （1）因为圆的半径的平方等于正方形面积的
4
，所以阴影部分的面积是
（50÷4）×3.14＝39.25平方厘米
（2）因为扇形半径的平方等于正方形的面积，所以，阴影部分的面积是
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1
50－50×3.14×
4
＝1075平方厘米
2、 提示：仔细阅读例4，仿照例4先求扇形半径的平方，然后设法求出阴影部分的面积。
1
10×（10÷2）×3.14×
4
×2－10×（10÷2）＝28.5平方厘米
练5
1、 如图答20－8所示，连结AC可以看出平行四边形面积的一半等于圆半径的平方 ，所以，阴
11
影部分的面积是100÷2×3.14×
4
－100×
4
＝14.25平方厘米
2、 如图答20－9所示，
1< br>（1）因为三角形ABC的面积等于小圆半径的平方，所以小圆的面积的一半是45×3.14×
2

＝70.65平方厘米
1
（2）因为大圆半径的平方等于三角形ABC 面积的2倍，所以大圆的面积的
4
是45×2×3.14
1
×
4
＝70.65平方厘米
（3）弓形AB的面积是70.65－45＝25.65平方厘米
（4）阴影部分的面积是70.65－25.65＝45平方厘米
3、 如图答20－10所示，
（1）半圆半径的平方是62.8×2+3.14＝40平方厘米
（2）三角形AOB的面积是40÷2＝20平方厘米
（3）阴影部分所在圆的半径的平方是40×2＝80平方厘米
45
（4）阴影部分的面积是80×3.14×
360
－20＝11.4平方厘米

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圆和组合图形(1)
一、填空题
1.算出圆内正方形的面积为 .

2.右图是一个直角等腰三角形,直角边长2厘米,图中阴影部分面积是
平方厘米.
6厘米

2
3.一个扇形圆心角
120
,以扇形的半径为边长画一个正方形,这个正方形的面积是120平方厘
米.这个扇形面 积是 .
4.如图所示,以B、C为圆心的两个半圆的直径都是2厘米,则阴影部分的周长是 厘
米.(保留两位小数)

E
5.三角形ABC是直角三角形,阴影部分①的面积比阴影部分②的面积
小28平方厘米. A
B
长40厘米, BC长 厘米.
6.如右图,阴影部分的面积为2平方厘米,等腰直角三角形
C
A B D
面积为 .
C
的
7.扇形的面积是31.4平方厘米,它所在圆的面积是157平方厘米,这个扇形的圆心角是
度.
②
8.图中扇形的半径OA=OB=6厘米.
AOB45
, AC垂直OB于C,那么图中阴影部分的面积
①
是 平方厘米.
(

3.14)

B
A
9.右图中正方形周长是20厘米.图形的总面积是 平方厘米.
A
10.在右图中(单位:厘米),两个阴影部分面积的和是 平方厘米.

6
二、解答题
11. ABC是等腰直角三角形. D15 是半圆周的中点, BC是半圆的直径,已知:
45

O
AB=BC=10,那么阴影部分的面积是多少
B
?(圆周率

3.14
)
12
C

20
10
12.如图,半圆S的面积是14.13平方厘米,圆S
2
的面积是19.625平方厘米.那么长方形(阴影
1
B
A
部分的面积)是多少平方厘米?

D
S
2


S
1

13.如图,已知圆心是O,半径r=9厘米,
1 215
,那么阴影部分的面积是多少平方厘
C
米?
(

3.14)

14.右图中4个圆的圆心是正方形的4个顶点,它们的公共点是该正方形的中心.如果每个圆的
A
半径都是1厘米,那么阴影部分的总面积是多少平方厘米?
———————————————答 案——————————————————————
1 2
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0

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1. 18平方厘米. < br>由图示可知,正方形两条对角线的长都是6厘米,正方形由两个面积相等的三角形构成.三角形
1
底为6厘米,高为3厘米,故正方形面积为
63218
(平方厘米).
2
2. 1.14平方厘米.
由图示可知,图中阴影部分面积为两个圆心角为45
的扇形面积减去直角三角形的面积.即
451
2221.14(平方厘米).
3602
3. 125.6平方厘米.
3.142
2

由已知条件可知圆的半径的平方为120平方厘米.故扇形面积为
3.141 20
120
125.6
(平方
360
厘米).
4. 3.09厘米.
边结BE、CE,则BE=CE=BC=1(厘米),故三角形BCE为等边三角形. 于是
60
⌒
⌒
EBCBCE60
.BE=CE=
3.1421.045
(厘米).于是阴影部分周长为
360
1.0452 13.09
(厘米).
5. 32.8厘米.
从图中可以看出阴影部分①加 上空白部分的面积是半圆的面积,阴影部分②加上空白部分的面
积是三角形ABC的面积.又已知①的面 积比②的面积小28平方厘米,故半圆面积比三角形ABC的
面积小28平方厘米.

40

1
半圆面积为
3.14

628
(平方厘米),三角形ABC的面积为628+28=656(平方厘

2

2
米).BC的长为
65624032.8
(厘米).
9
6.
37
平方厘米.
13
将等腰直角三角形补成一 个正方形,设正方形边长为x厘米,则圆的半径为
2
2
x
厘米.图中阴影部< br>2
13200

1

分面积是正方形与圆的面积之差的,于是 有
x
2
3.14

x

82
,解 得
x
2

.故等腰直角
813

2
三角形的面积为
7.
72
.
320019
37
(平方厘米).
13213
扇形面 积是圆面积的
31.4157
11
,故扇形圆心角为
360
的即
72
.
55
8. 5.13.
三角形ACO是一个等 腰直角三角形,将AO看作底边,AO边上的高为
AO2623
(厘米),
1 45
14.13
(平方厘米),故三角形ACO的面积为
639
(平 方厘米).而扇形面积为
3.146
2

2360
从而阴影部分面 积为14.13-9=5.13(平方厘米).
9. 142.75.
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由正方形周长是20厘米,可得正方形边长也就是圆的半径为
2045
(厘米).图形总面积为两
3
个圆面积加上正方形的面积,即
4
3
3.145
2
25
2
142.75
(平方厘米).
4
10. 90平方厘米.
图中阴影部分的面积是 从两个以直角三角形直角边为直径的半圆及一个直角三角的面积和中
减去一个以直角三角形斜边为直径的 半圆的面积即
(平方厘米).
10
B
E
11. 如图作出辅助线,则阴影部分的面积为三角形
A
AED的面积减去正方形BEDO的面积再加上圆面积的
1
D
O
.
4
1
三角形AED的面积是
(10102)(102)
;正方形面
C
2
11
积是
(102)
2
,圆面积的是
3.14(1 02)
2
,故阴影部分面积为:
44

37.52519.62532.125
（平方厘米）.
12. 由已知 半圆S
1
的面积是14.13平方厘米得半径的平方为
14.1323.149
(平方厘米),故半径
为3厘米,直径为6厘米.
又因圆S
2< br>的面积为19.625平方厘米,所以S
2
半径的平方为
19.6253.1 46.25
(平方厘米),于
是它的半径为2.5厘米,直径为5厘米.
阴影部分面积为
(65)55
(平方厘米).
13. 因OA=OB,故三角形OAB为等腰三角形,即

OBA115,AOB180152150
,
同理
AOC150
,于是
BOC360150260
.
60
3.149
2
42.39
(平方厘米).
360
14. 正方形可以分割成两个底为2,高为1的三角形,其面积为
1

2122
(平方厘米).
2
1
正方形内空白部分面积为4个圆即一个圆的面积与正方形面积之差,即
4
扇形面积为:


1
22

2
(平方厘米),所有空白部分面积为
2(

2)
平方厘米.
故阴影部分面积为四个圆面积之和与两个空白面积之和的差,即为

1
2
422(

2)8
(平方厘米).
十二、圆和组合图形（2）
一、填空题
1.如图,阴影部分的面积是 .
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2.大圆的半径比小圆的半径长6厘米,且大圆半径是小圆半径的4倍.大圆的面积比小圆的面积
大 平方厘米.
3.在一个半径是4.5厘米的圆中挖去两个直径都是2厘米的圆.剩下的图形的面积是
平方厘米.(

取3.14,1
2
平方厘米)
2
结果精确到
1
4.右图中三角形是等腰直角三角形,阴影部分的面积是 (平方厘米).
5.如图所求,圆的周长是16.4厘米,圆的
面积与长方形的面积正好相等 .图中阴影部分
的周长是 厘米.
(

3.14)

6.如图,
115
的圆的周长为62.8厘米,
平行四边形的面 积为100平方厘米.阴影部分的面积是 .
7.有八个半径为1厘米的小圆 ,用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形(如图).图中黑点是
这些圆的圆心.如果圆周率

3.1416
,那么花瓣图形的面积是 平方厘米.
8.已知:ABC
D
是正方形, ED=DA=AF=2厘米,阴影部分的面积是 .

C B
1
9.图中,扇形BAC的面积是半圆ADB的面积的
1
倍,那么,
CAB
是 度.
G
3
10.右图中的正方形的边长是2厘米,以圆弧为分界线的甲、乙两部分的面积差(大减小)是
C
D
平方厘米.(

取3.14)
E
F
D
A

甲
乙
二、解答题
A
O B
2
22
11.如图:阴影部分的面积是多少?四分之一大圆的半径为r.(计算时圆周率取)
7
12.已知右图中大正方形边长是6厘米,中间小正方形边长是4厘米.求阴
影部分的面积.
13.有三个面积都是S的圆放在桌上,桌面被圆覆盖的面积是
2S+2,并且重合的两块是等面积的, 直线a过两个圆心A、B, 如果
直线a下方被圆覆盖的面积是9,求圆面积S的值.

14.如图所示,一块半径为2厘米的圆板,从平面上1的位
B a
A < br>置沿线段AB、BC、CD滚到2的位置,如果AB、BC、C
D
的长
都是20 厘米,那么圆板的正面滚过的面积是多少平方厘米?
C

———————————————答 案—————————————
1
2
—————————
1. 6.
B
两个扇形面积相等,故阴影部分面积等于一个长为3,宽为2的长方形面积,为
D
6个平方单位.
120
2. 188.4.
A
小圆的半径 为
6(41)2
(厘米),大圆的半径为
248
(厘米).大圆的 面积比小圆的面积大
C
(8
2
2
2
)3.14188.4
(平方厘米).
3. 57.
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4 .5
2
3.14(22)
2
3.14257.305
( 平方厘米)≈57(平方厘米).
4. 10.26.
从圆中可以看出,阴影部分的面积 是两个半圆的面积与三角形面积之差,即
1
3.14(62)
2
6< br>2
10.26
(平方厘米).
2
5. 20.5.
设 圆的半径为r,则圆面积即长方形面积为

r
2
,故长方形的长为
D C

r
.
⌒


rr(
rr)
1
2

r
5
2

r
阴影部分周长
DCBCBAAD
44
5
16.420 .5
(厘米).
4
5
6.
48
(平方厘米).
6
如图,连结OA、AC,过A点作CD的垂线交CD于
B
ACD的面积为
100250
(平方厘米).

A
C
E O
1
E.三角形
D
又圆半径为
6. 28(3.142)10
(厘米),因为
115
,
又OA=OD,故
AOC15230
,扇形AOC的面积为
301
3.1410
2
26
(平方厘米).三角形AOC的面积为
5 0225
(平方厘米).方形面积为
3606
1115
26251< br>(平方厘米),从而阴影部分的面积为
50148
(平方厘米).
6666
7. 19.1416.
3
花瓣图形的结构是正方形的面积,加 上四个圆面积后,再割去四个半圆的面积.圆的半径为1
4
厘米,正方形边长为4厘米.故花瓣 图形的面积是
31
4
2


1
2
 4

1
2
416

19.1416
(平方厘米).
42
8. 2.43平方厘米.
C B
如图,将①移到②得:阴影部分面积等于梯形CEFB的
G
①
②
面积减去三角形CED、三角形CDA、扇形AFG的面积,即
11145
F (223)2222
2
3.142
2
2.4 3
(平方厘
E
D
A
222360
米).
9. 60.
设扇形ABC圆心角的度数是x,半圆的半径OA=r,有
x11


(2r)
2
1

r
2
,
36032
解得x=60.
10. 0.14.
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11
3.14
(平方厘米),甲部分面积为2
2
3.1420.43
(平方厘米),
42
1
乙部分面积为
3.142220.57
(平方厘米),甲乙两部分面积差为
0.570.430.14
(平方厘
4
米).

r
11. 如图,小正方形的边长为,则①的面积为:
2
②
扇形面积为
3.142
2

122

r

rrr
2




,
47

2

227
2
2
①
③
12212
122

r

r
2
1
2
②的面积为


r
,①和②的面积和为
r
2
r
2
2r
2
.即阴影
4747
27

2

74
2
部分面积为
r
2
.
7
12. 将阴影部分旋转后,可以看出所求阴影部分面积为大正方形面积的 一半减去小正形的一半,即
阴影部分面积等于
6
2
24
2
210
(平方厘米).
13. 设一个阴影部分的面积为x,则有:
3S2 x2S2
,于是
S2x2
(1)
34S18
又2Sx9
,于是有
x2
,解得S=6.
23
1
2
14. 圆板的正面滚过的部分如右图阴影部分所求,
它的面积为:
1123
D
).
4(202)4(4
2


2
2
)

2
2
204
228.07
(平方厘米
B
423
A
面积计算（三）
C
专题简析：
对于一些比较复杂的组合图形，有时直接 分解有一定的困难，这时，可以通过把其中的部分图
形进行平移、翻折或旋转，化难为易。有些图形可以 根据“容斥问题“的原理来解答。在圆的半径
r用小学知识无法求出时，可以把“r
2
”整体地代入面积公式求面积。
例题1。
如图20－1所示，求图中阴影部分的面积。



45
○


10
45
○

20－
20－
【思路导航】
10 解法一：阴影部分的一半，可以看做是扇形中减去一个等腰直角三角形（如图20－2），等腰直角
三角形的斜边等于圆的半径，斜边上的高等于斜边的一半，圆的半径为20÷2＝10厘米
1
【3.14×10
2
×
4
－10×（10÷2）】×2＝107（平方厘米）
答：阴影部分的面积是107平方厘米。
解法二：以等腰三角形底的中点为中心点。把图的右半部分向 下旋转90度后，阴影部分的面积就
变为从半径为10厘米的半圆面积中，减去两直角边为10厘米的等 腰直角三角形的面积所
得的差。
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2
45
○

20－
11
（20÷2）×
2
－（20÷2）
2
×
2
＝107（平方厘米）
答：阴影部分的面积是107平方厘米。
练习1
1、 如图20－4所示，求阴影部分的面积（单位：厘米）
2、 如图20－5所示，用一张斜边为29厘 米的红色直角三角形纸片，一张斜边为49厘米的蓝色
直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一 个直角三角形。求红蓝两张三角形纸片面
积之和是多少？

○

45
C
49

○
45
6

○
45

B
A
D

49
29
49
20－
29
20－
例题2。
如图20－6所示，求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。

4

减去
a

6

20－
20－
【思路导航】
解法一：先用长方形的面积减去小扇形的面积， 得空白部分（a）的面积，再用大扇形的面积减去
空白部分（a）的面积。如图20－7所示。
11
3.14×6
2
×
4
－（6×4－3.14×4
2
×
4
）＝16.82（平方厘米）
解法二：把阴影部分看作（1）和（2）两部分如图20－8所示。把大、小两个扇形面积相加，刚好
多 计算了空白部分和阴影（1）的面积，即长方形的面积。

（2
减
加

（1
20－
1
2
1
2
3.14×4×
4
+3.14×6×
4
－4×6＝16.28（平方厘米）
答：阴影部分的面积是16.82平方厘米。
练习2

A
B

D
2

60
○


C
B
1、 如图20－9所示，△ABC是等腰直角三角形，求阴影部分的面积（单位：厘米）。
20－11
20－10
20－
20－10所示，三角形ABC是直角三角 形，AC长4厘米，BC长2厘米。以AC、BC为2、 如图
C
A
直径画半圆，两个半圆的交点在AB边上。求图中阴影部分的面积。
3、 如图20－11所 示，图中平行四边形的一个角为60
0
，两条边的长分别为6厘米和8厘米，高
为5. 2厘米。求图中阴影部分的面积。
例题3。
在图20－12中，正方形的边长是10厘米，求图中阴影部分的面积。
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20－13
20－14
【思路导航】
20－12
解法一：先用正方形的面积减去一个整圆的面积，得空部 分的一半（如图20－13所示），再用正
方形的面积减去全部空白部分。
空白部分的一半：10×10－（10÷2）
2
×3.14＝21.5（平方厘米）
阴影部分的面积：10×10－21.5×2＝57（平方厘米）
解法二：把图中8个扇形的面积加在 一起，正好多算了一个正方形（如图20－14所示），而8个
扇形的面积又正好等于两个整圆的面积。
（10÷2）
2
×3.14×2－10×10＝57（平方厘米）
答：阴影部分的面积是57平方厘米。
练习3
求下面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。

10
10
4
3

5

20－16 20－17
例题4。
20－15
在正方形ABCD中，AC＝6厘米。求阴影部分的面积。

D
D C
C

B
A
【思路导 航】这道题的难点在于正方形的边长未知，这样扇形的半径也就不知道。但我们可以看出，
20－18
AC是等腰直角三角形ACD的斜边。根据等腰直角三角形的对称性可知，斜边上的
高等于斜边 的一半（如图20－18所示），我们可以求出等腰直角三角形ACD的面积，
进而求出正方形ABCD 的面积，即扇形半径的平方。这样虽然半径未求出，但可以B
A
求出半径的平方，也可以把半径的平方直接代入圆面积公式计算。
既是正方形的面积，又是半径的平方为：6×（6÷2）×2＝18（平方厘米）
阴影部分的面积为：18－18×3.14÷4＝3.87（平方厘米）
答：阴影部分的面积是3.87平方厘米。
练习4
1、 如图20－19、20－20所示 ，图形中正方形的面积都是50平方厘米，分别求出每个图形中阴
影部分的面积。
2、 如图 20－21所示，正方形中对角线长10厘米，过正方形两个相对的顶点以其边长为半径分
别做弧。求图 形中阴影部分的面积（试一试，你能想出几种办法）。

20－21
20－20
20－19
例题5。
在图20－22的扇形中，正方形的面积是30平方厘米。求阴影部分的面积。

A

B
A B

【思路导航】阴影部分的面积等于扇形的面积减去 正方形的面积。可是扇形的半径未知，又无法求
20－22
出，所以我们寻求正方形的面积与 扇形面积的半径之间的关系。我们以扇形的半径为
边长做一个新的正方形（如图20－23所示），从图 中可以看出，新正方形的面积是
30×2＝60平方厘米，即扇形半径的平方等于60。这样虽然半径未 求出，但能求出半
径的平方，再把半径的平等直接代入公式计算。
1
3.14×（30×2）×
4
－30＝17.1（平方厘米）
答：阴影部分的面积是17.1平方厘米。
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练习5
1、 如图20－24所示，平行四边形的面积是100平方厘米，求阴影部分的面积。
2、 如图20－2 5所示，O是小圆的圆心，CO垂直于AB,三角形ABC的面积是45平方厘米，求
阴影部分的面积。
3、 如图20－26所示，半圆的面积是62.8平方厘米，求阴影部分的面积。
A
A
D

O

C
C
B
O

45
○

B

20－26
20－25
答案：
20－24
练1
1、 如图答20－1所 示，因三角形BCD中BC边上高等于BC的一半，所以阴影部分的面积是：
451
6
2
×3.14× －6×（6÷2）× ＝5.13平方厘米
3602
2、 如图答 20－2所示，将红色直角三角形纸片旋转90
0
，红色和蓝色的两个直角三角形就拼成了一个直角边分别是49厘米和29厘米的直角三角形，因此，所求的面积为：
1
49×29× ＝710.5平方厘米
2
练2
1、 如图答20－3所示，可以看 做两个半圆重叠在一起，从中减去一个三角形的面积就得到阴影
部分的面积。
11
（2÷2）
2
×3.14×
2
×2－2×2×
2
＝1.14平方厘米
2、 思路与第一题相同
111
（4÷2）
2
×3.14×
2
+（2÷2）
2
×3.14×
2
－4×2×
2
＝3.85平方厘米
3、 如图答20－4所示，用大小两个扇形面积和减去一个平行四边形的面积， 即得到阴影部分的
一半，因此阴影部分的面积是：
607
【（8
2
+6
2
）×3.14×
360
－8×5.2】×2＝21
15
平方厘米
练3
1、 如图答20－5所示，阴影部分的面积等于四个半圆的面积减去一个正方形的面积，即：
1
（10÷2）
2
×3.14×
2
×4－10×10＝57平方厘米
2、 如图答20－6所示，阴影部分的面积等于半圆与扇形面积的和，减去一个三角形的面积，即：< br>4511
10
2
×3.14×
360
+（10÷2）
2
×3.14×
2
－10×10×
2
＝28.5平方厘米
3、 如图答20－7所示，整个图形的面积等于两个半圆的面积加上一个三角形 的面积，用整个图
形的面积减去一个最大半圆的面积就等于阴影部分的面积，即：
1111
（4÷2）
2
×3.14×
2
+（3÷2）
2
×3.14×
2
+4×3×
2
－（5÷2）
2
×3.14×
2
＝6平方厘米
练4
1
1、 （1）因为圆的半径的平方等于正方形面积的
4
，所以阴影部分的面积是
（50÷4）×3.14＝39.25平方厘米
（2）因为扇形半径的平方等于正方形的面积，所以，阴影部分的面积是
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1
50－50×3.14×
4
＝1075平方厘米
2、 提示：仔细阅读例4，仿照例4先求扇形半径的平方，然后设法求出阴影部分的面积。
1
10×（10÷2）×3.14×
4
×2－10×（10÷2）＝28.5平方厘米
练5
1、 如图答20－8所示，连结AC可以看出平行四边形面积的一半等于圆半径的平方 ，所以，阴
11
影部分的面积是100÷2×3.14×
4
－100×
4
＝14.25平方厘米
2、 如图答20－9所示，
1< br>（1）因为三角形ABC的面积等于小圆半径的平方，所以小圆的面积的一半是45×3.14×
2

＝70.65平方厘米
1
（2）因为大圆半径的平方等于三角形ABC 面积的2倍，所以大圆的面积的
4
是45×2×3.14
1
×
4
＝70.65平方厘米
（3）弓形AB的面积是70.65－45＝25.65平方厘米
（4）阴影部分的面积是70.65－25.65＝45平方厘米
3、 如图答20－10所示，
（1）半圆半径的平方是62.8×2+3.14＝40平方厘米
（2）三角形AOB的面积是40÷2＝20平方厘米
（3）阴影部分所在圆的半径的平方是40×2＝80平方厘米
45
（4）阴影部分的面积是80×3.14×
360
－20＝11.4平方厘米

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